CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

27

QUANTIFICADORES

1. PRIMEIRO QUANTIFICADOR UNIVERSAL ( )

Seja a proposio ( ) | 2 4 0p x x x . Buscando os valores de x que atendem a

inequao temos, 2.x Nessas condies o conjunto soluo dado por: | 2V x x . Assim

podemos afirmar:

a) Para todo x de V , ( )p x verdadeira.

b) Qualquer que seja x V , ( )p x verdadeira. Indicamos esse fato usando a simbologia.

( ) verdadeirax V p x ou : ( )x V p x

: l-se, qualquer que seja, todo, para todo, para cada.

Exemplo 1:

Seja a proposio ( )p x dada por ( )p x = ( )( 2 1)n n . A proposio ( )p x verdadeira e tem como conjunto verdade { )( 0}V n x , logo, podemos escrever:

( ) verdadeiran V p x

2. SEGUNDO QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ( )

Analogamente como fizemos com o primeiro quantificador universal escrevemos:

x V ( ) verdadeirap x , o smbolo,

: l-se, existe, algum, existe pelo menos 1.

Quando dizemos Existe um x tal que ... no estamos dizendo que esse x nico, mas podem ocorrer inmeras solues.

Exemplo 2:

Seja a proposio ( )p x : Existe um nmero real x tal que 2x x , em smbolos 2( | )x x x . De fato para

2

1 1 1 1,

2 2 2 4x .

Exemplo 3:

A proposio 2( ) | 4 0p x x x falsa, e podemos escrever 2( )( 4)x x .

Exemplo 4:

Seja a proposio: No existe aluna feia que estude nesta sala.

Escrevendo de forma equivalente:

Qualquer que seja a aluna desta sala ela no feia.

Escrevendo em smbolos temos:

CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

28

( ) :A x aluna feia

( ) :E x estuda nesta sala.

( ) ( )x A x E x ou ( )( ( ) ( ))x A x E x

Exemplo 5:

Seja a proposio: Existe nmero par que no inteiro.

Escrevendo em smbolos temos:

( ) :p x nmero par.

( ) :i x nmero inteiro.

( ) ( )x p x i x .

Exemplo 6:

Negue a proposio:

( )(2 )x x x

Negando: ( ) 2x x x 2x x x 2x x x

Exemplo 7:

Negue a proposio: Para todos os nmeros naturais n , 2 4.n Em smbolos:

( )( )( 2 4)n n n .

Negando:

( )( , 2 4)n n n ( )( )( 2 4)n n n , l-se:

Existe um n tal que 2 4.n

Exemplo 8:

Negue a proposio: Existe um planeta habitvel.

Negando:

Todos os planetas no so habitveis.

Exerccios de aplicao 8:

Escreva as proposies usando os quantificadores.

1) Todo nmero primo inteiro.

CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

29

2) Existe aluno que no estuda.

3) Ele foi para Botucatu.

4) Todas as moas so bonitas.

5) Nenhuma moa bonita.

6) Algumas moas no so bonitas.

7) Existem moas que so bonitas.

8)Ningum almoou aqui.

CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

30

9) Negue a sentena:

Existe nmero par que no inteiro.

10) Negue a sentena:

Existe aluno que no estuda.

11) Sejam as proposies:

x nmero natural no nulo. ( ) :A x x divisvel por 2.

( ) :B x x divisvel por 3.

Traduzir as sentenas.

a) ( )x A x :

b) ( )x A x :

c) ( ) ( )x A x B x :

d) ( ) ( )x A x B x :

CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

31

12) Sejam as proposies: x nmero natural no nulo.

( , ) :A x y

x maior que y.

( ,100) :B x

x maior que 100.

Traduzir as sentenas.

) ( , ) :a x y A x y

) ( , ) :b x y A x y

) ( , ) :c x y A x y

) ( , ) :d x y A x y

) ( ,100) :e x B x

) ( ,100) :f x B x

13) Sejam o universo seres vivos e

( ) :A x x velocista.

( ) :B x x veloz.

Escreva as proposies na forma de ( ) e ( ).A x B x

a) Todos que so velocistas so velozes.

b) Todos so velocistas e todos so velozes.

c) Existem seres que so velocistas e seres que no so velozes.

d) Existem seres que so velocistas e que so velozes.

CAPTULO 3 - Quantificadores Paulette

32

14) Negue as proposies.

a) 2 3 2x x x .

b) 2 5 7x x x x .

15) Negue as proposies. Sendo 1,2,3,4A .

a) 3 6 .x A x

b) 3 6 .x A x

16) Negar as proposies. Sendo x nmero real.

a) 22 7 1 3 .x x x x

b) 2 9 2 5 7x x x x .