El conjunto Z

El conjunto de los números enteros permite expresar 12° bajo 0 como: -12° y se lee menos 12. También, si se debe $5 000, decir: – $5 000, que se lee menos $5 000; o si retrocedemos 49, señalar -49.

De esta manera, el ámbito numérico se nos agranda hacia la izquierda de la recta numérica, donde el 0 es el origen.

Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convención, a la derecha del 0, y ahora los llamaremos enteros positivos. Estos números no necesitan llevar signo + , pero para identificarlos mejor, los escribiremos con su signo. Así:

Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce como

Hacia la izquierda del 0, colocaremos los números enteros negativos. Estos van a la misma distancia del 0 que los enteros positivos.

A los enteros negativos no les puede faltar el signo – . Los enteros negativos se simbolizan como

Como los enteros negativos están a la misma distancia del 0 que los positivos, se les llama opuestos. Entonces, -5 es el opuesto de +5.

Resumiendo…

El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.

Cuando al conjunto de los enteros positivos le agregamos el 0, lo simbolizamos como .

Esto se lee como Z más subcero o Z positivo subcero.

Fracciones:

Un número mixto está formado por un número natural y una fracción. Todas las fracciones mayores que la unidad se pueden expresar en forma de número mixto.

Hay dos casos:

Primero. Pasar de fracción a número mixto. Ejemplo 8/5. Se hace la división 8:5= 1 y el resto es 3. Por tanto: 1 es el número natural y 3 es el numerador de la fracción y le denominador no cambia, es decir 5.

Segundo: Pasar de número mixto a fracción. El numero natural se multiplica por el denominador y se suma el numerador. Ejemplo 1 + 2/3. Operamos: 1X3 = 3+2 = 5

4- Cómo sumar dos números mixtos cuyas fracciones tienen el mismo denominador:

- Suma los numeradores de las dos fracciones.- Coloca el resultado sobre el común denominador.- Si la fracción es impropia (el numerador es más grande o igual al denominador), entonces hay que convertirla a número mixto.- Suma los enteros de los dos números mixtos.-Si al sumar las fracciones se crea un número mixto, entonces suma la parte entera al total anterior.

Ejemplo:

1°Suma la parte fraccionaria de los números mixtos

2°Convierte 4/3 a número mixto 4/3 = 1 1/3

3°Suma la parte entera de los números mixtos4°Suma el número entero de la suma de las fracciones 8 + 1 = 9

Establece el resultado final:

5- Cómo restar números mixtos que tienen el mismo denominador

- Si el primer numerador es más pequeño que el segundo, hazlo más grande.

- Resta el segundo numerador del primero.

- Coloca la diferencia sobre el común denominador.

- Resta las porciones enteras de los dos números mixtos.

Formula el resultado

Ejemplo:

1°Haz que el primer numerador sea mayor que el segundo:

2°Resta las partes fraccionarias de los números mixtos

3° Resta los enteros de los números mixtos:

Formula la respuesta final:

Resolver los problemas de decimales:

Problemas decimales

Potencia:

Las potencias son una manera abreviada de escribir una multiplicación formada por varios números iguales. Son muy útiles para simplificar multiplicaciones donde se repite el mismo número.

Las potencias están formadas por la base y por el exponente. La base es el número que se está multiplicando varias veces y el exponente es el número de veces que se multiplica la base.

¿Que número se está multiplicando? LA BASE

¿Cuántas veces se repite el número? El EXPONENTE

Las potencias se disponen de la siguiente manera: el número de la base de escribe de forma normal, y el número de la potencia se escribe más pequeño que la base en la parte superior derecha.

Vamos a verlo con el siguiente ejemplo:

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

¿Qué número se está multiplicando? 5 –> BASE

¿Cuántas veces se repite el número? 7 –> EXPONENTE

Escribiendo la potencia quedaría así:

Vamos a ver otro ejemplo: 3 x 3 x 3 x 3

¿Qué número se está multiplicando? 3 –> BASE

¿Cuántas veces se repite el número? 4 –> EXPONENTE

3 x 3 x 3 x 3 = 3 4

Problema de potencias:

La Hidra de Lerna es un personaje mitológico que aparece en algunas historias, como la de las 12 pruebas de Hércules. La Hidra era un monstruo con 1 cabeza, pero si se le cortaba, le nacían 2 cabezas en su lugar. Si un héroe intentaba vencerla cortándole todas sus cabezas cada día, ¿cuántas cabezas tendría la Hidra el tercer día? ¿y al cabo de 10 días intentando vencerla?

Vamos a resolver la primera pregunta de este problema, pensemos:

El primer día, al cortarle una cabeza, el monstruo tenía 2 cabezas

El segundo día, al cortarle todas las cabezas, nacieron el doble: 2 x 2 = 4 cabezas

El tercer día, volvieron a nacer el doble de cabezas: 2 x 2 x 2 = 8 cabezas

En resumen, para saber cuántas cabezas tenía tras estos 3 días, hemos multiplicado 2 tres veces.

Para resolver la segunda pregunta, tendríamos que hacer el mismo procedimiento, pero es un poco largo.

Para saber cuántas cabezas tendría el monstruo en 10 días, debemos hacer la siguiente operación:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

También es muy largo, ¿verdad? Por eso será más fácil de resolver si utilizamos una potencia, expresando la misma operación del siguiente modo:

210 = 1024 cabezas

Problemas tipo sobre aplicaciones (notación científica)

1) La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 × 102 segundos en llegar a la Tierra . ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra? R: 1.5 × 108 kms = 150,000,000 kms.

2) Una nave espacial tarda aproximadamente 5 días en llegar a la Luna. A este ritmo ¿cuánto le tomará viajar de la Tierra a Marte? R: 7.9217 × 102 días = 729.17 días

Distancia desde la tierra

Luna

240,000 mi

Sol

93,000,000 mi

Marte

35,000,000 mi

Plutón

2,670,000,000 mi

3) La distancia aproximada de Neptuno al Sol es de 2,790,000,000 mi. ¿Cuánto tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno? R: 1.5 × 1014

4) La luz viaja a una velocidad aproximada de 300 000 kilómetros por segundo. La distancia media de la Tierra al Sol es 150 000 000 kilómetros. Usa la notación científica para calcular cuánto tarda la luz del sol en llegar a la Tierra.

5) Basándote en la información anterior, emplea la notación científica para demostrar que un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es, aproximadamente, 9.44 × 1012 = 9,440,000,000,000 kilómetros.

6) Chasqueamos los dedos y los volvemos a chasquear 1 minuto después. A continuación esperamos 2 minutos y chasqueamos los dedos, después 4 minutos, 8 minutos, 16 minutos, etc. Esto es, se duplica el intervalo entre los chasquidos sucesivos. Si siguiéramos haciendo esto durante 1 año ¿cuántas veces chasquearíamos los dedos?

Problemas con raíces:

Elementos de la raíz.

El número 36 es el cuadrado de 6. También podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36. El signo Ö se llama signo radical.

En el ejemplo anterior el 36 se llama radicando; el 6 es la raíz cuadrada y Ö es el signo radical.

Se nos pide resolver

Como no hay instrucciones en cuanto a la forma o método para resolverlo, debemos tener presente que:

a) no se puede extraer raíz (5 es número primo)

b) no se pueden restar los términos porque no son términos semejantes

c) no se puede dividir porque no hay términos que sean múltiplos

Esta expresión se puede racionalizar; es decir, se puede amplificar por un factor adecuado que permita transformar el numerador irracional en un número racional.

La fracción se puede amplificar por el número porque al multiplicarlo por el numerador se obtiene el producto notablellamado suma por diferencia:

Ejercicio 2

Se nos pide calcular raíz de equis al cuadrado (x2) menos y al cuadrado (y2), por raíz de equis (x) menos y (todo sin paréntesis).

Expresado en forma matemática, nos queda:

Recordemos la propiedad de las raíces acerca de la multiplicación de raíces de igual índice:

Se multiplican las bases y se conserva el índice.

Entonces, hacemos:

Aquí podemos ver que la primera expresión dentro de la raíz corresponde a un producto notable (suma por diferencia), que ya vimos y que podemos factorizar, cuya fórmula es:

Entonces, factorizamos esa primera expresión:

Antes de multiplicar los términos entre sí los reordenamos y podemos ver que hay un cuadrado del binomio:

Entonces, nuestra expresión queda:

Aplicamos la misma propiedad anterior, pero ahora en sentido inverso y nos queda:

En seguida, aplicamos otra de las propiedades de raíces:

Para extraer la raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice, de la forma , exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada. Dicho de otro modo, exponente e índice, iguales, se simplifican, y desaparece el signo radical:

Lo que no deja la expresión final del siguiente modo:

Ejercicios para resolver

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Razones y proporciones

Actividad Nº 293

1- Razón

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo:

En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres.¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?

La relación entre el numero de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "

El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.

El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

1.1- Resolución de problemas:

Veamos como resolver problemas de razones:

Ejemplo 1:

La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.

Solución:

Si las edades son a y b

Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema:

Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa

Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

¿Cuándo son directamente proporcionales? Cuando al aumentar una de las magnitudes aumenta proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.

Sin embargo, son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de las magnitudes disminuye proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese mismo número, o viceversa: si al dividir una de ellas entre un número la otra queda multiplicada por este número.

Problemas de proporcionalidad

Ahora vamos a ver algunos problemas de proporcionalidad, pensaremos si son de proporcionalidad directa o inversa y los resolveremos.

Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos…

Si en lugar de 5 centímetros hablásemos deldoble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?

Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.

Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de una proporcionalidad directa

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará…

600 : 5 = 120 metros

Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán…

120 x 8 = 960 metros

Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel

Vamos a ver otro problema de proporcionalidad:

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Nos preguntamos si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos…

Si en lugar de 3 camiones hablásemos del doble de camiones (6 camiones), ¿tendrían que hacer más o menos viajes?

Cuantos más camiones carguen mercancía, en menos viajes se cargará toda: necesitarían justo la mitad de viajes

Si al duplicar una magnitud (camiones) se divide entre dos la otra (viajes necesarios) estamos hablando de una proporcionalidad inversa

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer…

3 x 6 = 18 viajes

Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer…

18 : 2 = 9 viajes

Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes cada uno

Conversión de unidades

Recuerda que en el apartado de presentación de los múltiplos y submúltiplos del metro te recordamos que el orden de las unidades de la imagen era importante. A continuación verás por qué.

También comentamos que:

La unidad principal es el metro (m)

Las unidades más pequeñas que el metro se llaman SUBMÚLTIPLOS y son: decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm): 1 m = 10 dm | 1 m = 100 cm | 1 m = 1000 mm

Las unidades más grandes que el metro se llaman MÚLTIPLOS y son: decámetro(dam), hectómetro (hm) y kilómetro (km): 1 dam = 10 m | 1 hm = 100 m | 1 km = 1000 m

De aquí podemos deducir lo siguiente:

Referente a los submúltiplos: 1 m = 10 dm | 1 dm = 10 cm | 1 cm = 10 mm

Referente a los múltiplos: 1 dam = 10 m | 1 hm = 10 dam | 1 km = 10 hm

Ésto queda representado en la siguiente la imagen:

Imagen propia, bajo misma licencia que esta obra.

Si queremos convertir desde una unidad que está "separada" de otra, debemos "acumular las operaciones" según "subimos" o "bajamos" de la escalera.

Ejemplos:

Para pasar de metro a centímetro bajamos 2 peldaños, por tanto, debemos multiplicar X10 y X10, es decir, multiplicaremos X100 (1m=100cm, 5m=500cm)

Para pasar de metro a kilómetro subimos 3 peldaños, por tanto, debemos dividir ÷10, ÷10 y ÷10, es decirdividiremos ÷1000 (1000m=1km, 3000m=3km)