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MATEMÁTICA II

Aula 13Sistemas Lineares

Professor Luciano Nóbrega

3º Bimestre

1

2www.professorlucianonobrega.wordpress.com

SISTEMAS LINEARES

INTRODUÇÃO – “Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram

juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?”

Para responder a essa pergunta, considere “x” e “y”, respectivamente, o

número de pontos que cada jogador marcou. Então, escreva, no espaço

reservado, uma equação com duas incógnitas:Na equação que você escreveu:

Se x = 30, qual o valor de y? Se y = 18, qual o valor de x?

A situação anterior admite várias soluções, pois os dados da questão não

são suficientes para determinar o número total de pontos marcados por

cada jogador.

EQUAÇÕES LINEARES – De modo geral, denomina-se

equação linear toda equação que pode ser escrita na

forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b1

Na qual: x1, x2, x3, ... , xn são as incógnitas de grau 1;

a1, a2, a3, ... , an são números reais denominados por

“coeficientes das incógnitas”;

b1 é o termo independente, ou seja, quenão tem a

incógnita como fator.

EX: Dizemos que

“3x + 5y – z = 23” é uma

equação linear com três

incógnitas.

Escreva uma equação

linear qualquer com:

a) DUAS INCÓGNITAS

b) CINCO INCÓGNITAS


SISTEMAS LINEARES

Denomina-se “Sistema Linear” m x n (lê-se: m por n), o conjunto S de m

equações lineares com n incógnitas, que pode ser representado assim:

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + ... + a1n.xn = b1

a21.x1 + a22.x2 + a23.x3 + ... + a2n.xn = b2

S = a31.x1 + a32.x2 + a33.x3 + ... + a3n.xn = b3

... ... ... ...

am1.x1 + am2.x2 + am3.x3 + ... + amn.xn = bm

2x +3y = 13 SISTEMA 4 x 4

3x –5y = 10 é um sistema linear 2 x 2, com incógnitas “x” e “y”.

Escreva um sistema linear 4 x 4, com incógnitas “x”, “y”, “z” e “w”.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR – Dizemos que a n-upla (r1, r2, r3, ..., rn)

é solução de um sistema linear quando ela é, simultaneamente, solução de

cada uma das equações lineares do sistema.

Observe que (5,1) é solução do sistema abaixo.

2x +3y = 13 2.(5) +3.(1) = 13

3x –5y = 10 3.(5) –5.(1) = 10

27 – Verifique se a tripla ordenada (1, 3, –2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1

4x – y – z = 3

x + y – z = 6


SISTEMAS LINEARES

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA – O par ordenado que é solução de um

sistema linear determina, num gráfico, o ponto de interseção das retas

dadas pelas equações lineares.

Em outras palavras, se fizermos o esboço do gráfico das retas dadas pelas

equações, poderemos interpretar graficamente a solução do sistema linear,

ou mesmo a inexistência dessa solução, ou ainda, as infinitas soluções.

Equações que representam duas retas que se interceptam podem ser

facilmente identificadas porque possuem diferentes coeficientes

angulares. Exemplo: y = 2x –3 Coef. Ang. = 2

y = –x +3 Coef. Ang. = –1

Equações que representam duas retas paralelas possuem o mesmo

coeficiente angular e coeficientes lineares diferentes.

Exemplo: y = 2x – 3 Coef. Ang. = 2

y = 2x + 1 Coef. Ang. = 2

Equações que representam a mesma reta são equações com mesmo

coeficiente angular e mesmo coeficiente linear ou são múltiplas.

Exemplo: y = 2x – 3 Se dividirmos a segunda equação por 3,

3y = 6x – 9 veremos que são iguais.

Faça a representação gráfica dos três sistemas lineares anteriores.


SISTEMAS LINEARES

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAROs sistemas lineares podem ser classificados de acordo

com sua representação gráfica da seguinte maneira ao lado:

Considere o sistema:

a1x +b1y = k1

a2x +b2y = k2 Se NÃO há proporcionalidade entre os coeficientes das

mesmas incógnitas, então temos um S.P.D (Sistema Possível e Determinado);Se há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e ela

SE MANTÉM nos termos independentes, então temos um S.P.I. (Sist. Possível

e Indeterminado);Se há proporcionalidade entre os coeficientes das mesmas incógnitas e ela

NÃO SE MANTÉM nos termos independentes, então temos um S.I. (Sistema

Impossível). Em resumo:

a1 ≠ b1 SPD a1 = b1 = k1 SPI a1 = b1 ≠ k1 SI

a2 b2 a2 b2 k2 a2 b2 k2

28 – Classifique, justificando, os sistemas lineares abaixo:

4x – 6y = 2

6x – 9y = 3

– 2x + y = – 3

x + y = 3

– 2x + y = – 3

– 4x + 2y = –6– 2x + y = – 3

– 4x + 2y = 1

9x – 6y = 1

6x – 9y = 3x – y = 3

3x – 9y = 1


SISTEMAS LINEARES

REPRESENTAÇÃO MATRICIAL O sistema linear

a1x +b1y = k1 pode ser escrito na a1 b1 x k1

a2x +b2y = k2 forma matricial como: a2 b2 . y = k2

Se fizermos o determinante da matriz dos coeficientes, obtemos D = a1.b2 – a2.b1

Se D ≠ 0, então a1.b2 – a2.b1 ≠ 0 e a1.b2 ≠ a2.b1, logo

a1 ≠ b1 então o sistema é SPD.

a2 b2

Portanto, basta D ≠ 0 para que tenhamos um SPD.

EXEMPLO: Represente o seguinte sistema na sua forma matricial:

29 – Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20 Verifique se o sistema é SPD;

2x – 2y + 2z = 8 Verifique se as n-uplas ordenadas são

2x – 2y – 2z = 0 soluções: a) (2, 3, 5) b) (5, 3, 2)

REGRA DE CRAMER Um sistema linear n x n, cujo determinante é “D”, é

possível e determinado se, e somente se, “D ≠ 0” e sua única solução é dada

por: x = Dx/D; y = Dy/D; z = Dz/D ... n = Dn/D

Onde Dx, Dy, Dz e Dn são os determinantes obtidos substituindo-se,

respectivamente a coluna dos coeficientes de “x”, “y”, “z” e “n” pela coluna dos

termos independentes (coluna do 2º membro). Esse procedimento para solução

de um sistema linear é denominado “regra de Cramer”.

30 – Resolva o sistema do

exercício “29” utlizando a

Regra de Cramer

Se “D = 0”, então o sistema é impossível (nenhuma solução) ou é possível e

indeterminado (infinitas soluções), a diferença é que:

no primeiro caso temos Dx ≠ Dy ≠ Dz ≠ Dn,

enquanto que no segundo, temos Dx = Dy = Dz = Dn.


SISTEMAS LINEARESREGRA DE CRAMER (continuação)

31 – Sendo assim, verifique se o sistema é possível, em caso afirmativo,

encontre o valor de “y”:

x + y + z = 6

4x + 2y – z = 5

x + 3y + 2z = 13

32 – Utilize a Regra de Cramer para resolver o sistema linear abaixo

33 – Utilize a Regra de Cramer para resolver o sistema linear abaixo

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Significa

determinar se um sistema é SPD ou SPI ou SI

34 – Discuta os sistemas lineares abaixo:


SISTEMAS LINEARES

Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

e

Verifique que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo,

S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. Propriedades Operatórias

P1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro

sistema equivalente. Exemplo:e

P2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K

real, K ≠ 0, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo:

P3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra

equação desse mesmo sistema por um número k real, K ≠ 0, obtemos um

sistema equivalente ao anterior. Exemplo:*Substituindo a equação (II) pela soma do

produto de (I) por –1 com (II), obtemos:

*Teorema de JacobiObserve que S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é

solução de ambos os sistemas.


SISTEMAS LINEARES

Sistemas escalonados

A técnica do escalonamento facilita a discussão e resolução de

quaisquer sistemas lineares.Dizemos que um sistema está escalonado se o número de

coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta

de equação para equação.

Ou seja:

Na 2ª equação temos 0.x

e na 3ª equação tem 0.x + 0.y

Para escalonar um sistema devemos utilizar as propriedades de sistemas

equivalentes (de preferência P3, o Teorema de Jacobi), procurando anular todos os

coeficientes da 1ª incógnita das demais equações;Repetimos o processo com as demais incógnitas, procurando

tornar o sistema na forma triangular.

35 – Escalone os seguintes sistemas:

x + y = 3

x – y = 1

x + y + z = 10

x – y + z = 4

2x – 2y – 2z = 0

x + y + z = 6

x + 2y – z = 5

x + 3y + 2z = 13


TESTANDO OS CONHECIMENTOS

36 – (UFCE) A soma dos quadrados das soluções do sistema é: A) 34 B) 16 C) 4 D) 64 E) 25

37 – (UFRN) Se a, b, e c são as soluções do sistema

, então a . b . c vale: A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

38 – (UFPR) Se os sistemas e

são equivalentes, então a2+b2 é igual a:A) 1 B) 4 C) 5 D) 9 E) 10

39 – (FGV – SP) Seja ( a, b, c, d ) a solução do sistema

então o produto a . b . c vale:A) 0 B) 12 C) –12 D) 24 E) –24

40 – (UFMG) O sistema de equações terá uma única

solução se:A) a = 5b B) 5ab = 0 C) a + 5b = 0 D) a – 5b = 0 E) 5ab≠0

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