Matemática Profª.: Liliam Benhame

Qts. extras de CONJUNTOS

3. (Enem 2ª aplicação 2016) O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa, como ilustra a figura.

Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a

forma de um retângulo, cujos lados medem AC 105 cm e

AB 120 cm.

Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com a mesma espessura, sendo:

Tipo 1: 110 cm 125 cm

Tipo 2: 115 cm 125 cm

Tipo 3: 115 cm 130 cm

Tipo 4: 120 cm 130 cm

Tipo 5: 120 cm 135 cm

O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em

vidro, limitada por um mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da

base da mesa, de cada lado. Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. (Enem 2ª aplicação 2016) O Índice de Massa Corporal (IMC) pode ser considerado uma alternativa prática, fácil e barata para a medição direta de gordura corporal. Seu valor pode ser obtido pela fórmula

2

MassaIMC ,

(Altura) na qual a massa é em quilograma e a altura, em

metro. As crianças, naturalmente, começam a vida com um alto índice de gordura corpórea, mas vão ficando mais magras conforme envelhecem, por isso os cientistas criaram um IMC especialmente

para as crianças e jovens adultos, dos dois aos vinte anos de idade, chamado de IMC por idade.

Uma mãe resolveu calcular o IMC de seu filho, um menino de dez

anos de idade, com 1,20 m de altura e 30,92 kg.

Disponível em: http://saude.hsw.uol.com. Acesso em: 31 jul. 2012. Para estar na faixa considerada normal de IMC, os valores mínimo e máximo que esse menino precisa emagrecer, em quilograma, devem ser, respectivamente,

a) 1,12 e 5,12.

b) 2,68 e 12,28.

c) 3,47 e 7,47.

d) 5,00 e 10,76.

e) 7,77 e 11,77.

5. (Enem 2ª aplicação 2016) O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.

País Ouro Prata Bronze Total

1º China 9 5 3 17

2º EUA 5 7 4 16

3º França 3 1 3 7

4º Argentina 3 2 2 7

5º Itália 2 6 2 10

6º Brasil 2 5 3 10

Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada por esse país? a) 1ª. b) 2ª.

c) 3ª. d) 4ª. e) 5ª. 6. (Enem 2ª aplicação 2016) Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o

conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a

48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um

funcionário público, a pena sofrerá um aumento de 1 3.

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de reclusão poderá variar de

a) 4 a 16 meses.

b) 16 a 52 meses.

c) 16 a 64 meses.

d) 24 a 60 meses.

e) 28 a 64 meses.

7. (Enem 2ª aplicação 2016) Para que o pouso de um avião seja autorizado em um aeroporto, a aeronave deve satisfazer, necessariamente, as seguintes condições de segurança: I. a envergadura da aeronave (maior distância entre as pontas das asas do avião) deve ser, no máximo, igual à medida da largura da pista;

II. o comprimento da aeronave deve ser inferior a 60 m;

III. a carga máxima (soma das massas da aeronave e sua carga) não

pode exceder 110 t.

Suponha que a maior pista desse aeroporto tenha 0,045 km de

largura, e que os modelos de aviões utilizados pelas empresas aéreas, que utilizam esse aeroporto, sejam dados pela tabela.

Modelo Dimensões (comprimento envergadura)

Carga máxima

A 44,57 m 34,10 m 110.000 kg

B 44,00 m 34,00 m 95.000 kg

C 44,50 m 39,50 m 121.000 kg

D 61,50 m 34,33 m 79.010 kg

E 44,00 m 34,00 m 120.000 kg

Os únicos aviões aptos a pousar nesse aeroporto, de acordo com as regras de segurança, são os de modelos a) A e C. b) A e B. c) B e D. d) B e E. e) C e E. 8. (Enem 2015) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes

devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No

estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm;

3,021mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm.

Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de

a) 2,099.

b) 2,96.

c) 3,021.

d) 3,07.

e) 3,10.

9. (Enem 2015) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado, No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?

a) 9

b) 7

c) 5

d) 4

e) 3

10. (Enem PPL 2014) André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é a) André, Carlos e Fábio. b) André, Fábio e Carlos. c) Carlos, André e Fábio. d) Carlos, Fábio e André. e) Fábio, Carlos e André. 11. (Enem PPL 2014) Um clube de futebol abriu inscrições para novos

jogadores. Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa

seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências:

os jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior

à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 7

8 têm

mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 1

2

têm estatura igual ou superior à mínima exigida e, destes, 2

3 têm

bom preparo físico. A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi

a) 12.

b) 14.

c) 16.

d) 32.

e) 42.

12. (Enem PPL 2014) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de

popularidade é 0,3121212 O índice revela que as quantidades

relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são

a) 103 em cada 330.

b) 104 em cada 333.

c) 104 em cada 3.333.

d) 139 em cada 330.

e) 1.039 em cada 3.330.

] 13. (Enem PPL 2013) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

a)

b)

c)

d)

e) 14. (Enem 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6. b) 7. c) 8. d) 11. e) 12. 15. (Enem 2012) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é a) 0,20 m e 1,45 m. b) 0,20 m e 1,40 m. c) 0,25 m e 1,35 m. d) 0,25 m e 1,30 m. e) 0,45 m e 1,20 m. 16. (Enem 2ª aplicação 2010) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010. Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais? a) 1667 b) 2036 c) 3846 d) 4300 e) 5882

17. (Enem 2ª aplicação 2010) Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável – quanto maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo terá vários elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura. Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso em: 20 abr. 2010 (adaptado). Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00? a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura. b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura. 18. (Enem 2004) Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado um número significativo

de eleitores, dos quais 36% responderam que iriam votar no

candidato X; 33%, no candidato Y e 31%, no candidato Z. A

margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para

mais ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confirmado o resultado da pesquisa,

a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39%

do total de votos.

b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer.

c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5%

sobre X.

d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no máximo,

1% sobre X.

e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5%

sobre o candidato Y.

19. (Enem cancelado 2009) Uma pesquisa foi realizada para tentar descobrir, do ponto de vista das mulheres, qual é o perfil da parceira ideal procurada pelo homem do séc. XXI. Alguns resultados estão apresentados no quadro abaixo.

O QUE AS MULHERES PENSAM QUE OS HOMENS PREFEREM

72% das mulheres têm certeza de que os homens odeiam ir ao shopping

65% pensam que os homens preferem mulheres que façam todas as tarefas da casa

No entanto, apenas 39% dos homens disseram achar a atividade insuportável

No entanto, 84% deles disseram acreditar que as tarefas devem ser divididas entre o casal

Correio Braziliense, 29 jun. 2008 (adaptado). Se a pesquisa foi realizada com 300 mulheres, então a quantidade delas que acredita que os homens odeiam ir ao shopping e pensa que eles preferem que elas façam todas as tarefas da casa é a) inferior a 80. b) superior a 80 e inferior a 100. c) superior a 100 e inferior a 120. d) superior a 120 e inferior a 140. e) superior a 140.

Problemas com Diagrama

20) (Enem 2ª aplicação 2010) Os estilos musicais preferidos pelos jovens brasileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a seguir registra o resultado de uma pesquisa relativa à preferência musical de um grupo de 1 000 alunos de uma escola. Alguns alunos disseram não ter preferência por nenhum desses três estilos.

Preferência musical

rock samba MPB rock e samba

número de alunos

200 180 200 70

Preferência musical

rock e MPB

samba e MPB

rock, samba e MPB

número de alunos

60 50 20

Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir somente MPB? a) 2% b) 5% c) 6% d) 11% e) 20% 21. (Enem 2008) A vida na rua como ela é

O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome

(MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa

nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas

31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse

levantamento, constatou-se que a maioria dessa população

sabe ler e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de

esmolas e que, entre os moradores de rua que ingressaram no

ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros dados da pesquisa

são apresentados nos quadros a seguir.

No universo pesquisado, considere que P seja o conjunto das

pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e

Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é

a decepção amorosa. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no

grupo pesquisado e supondo-se que seja igual a 40% a

probabilidade de que essa pessoa faça parte do conjunto P ou

do conjunto Q , então a probabilidade de que ela faça parte do

conjunto interseção de P e Q é igual a

a) 12%. b) 16%. c) 20%. d) 36%. e) 52%. 22. (Enem 2013) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1

2

b) 5

8

c) 1

4

d) 5

6

e) 23. (Enem 2018) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando

no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, …, até

o último andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício. De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o a)16º b)22º c)23º d)25º e)32º

Resposta da questão 3: [C] A medida da menor dimensão do tampo deve pertencer ao intervalo

[113,121], enquanto que a medida da maior dimensão deve

pertencer ao intervalo [128,136]. Desse modo, os tampos tipo 1 e

tipo 2 não convêm, já que a maior dimensão de ambos não pertence

ao intervalo [128,136]. Ademais, é fácil ver que a área do tampo

tipo 4 é menor do que a área do tampo tipo 5, e que a área do

tampo tipo 3 é menor do que a área do tampo tipo 4.

Portanto, o proprietário avaliou que deve ser escolhido o tampo tipo

3.

Resposta da questão 4: [D] Para estar na faixa considerada normal, a massa da criança deve ser, em quilogramas, um número pertencente ao intervalo

2 2[14 1,2 ;18 1,2 ] [20,16; 25,92]. Em consequência, os

valores mínimo e máximo que esse menino precisa emagrecer são,

respectivamente, 30,92 25,92 5kg e

30,92 20,16 10,76kg.

Resposta da questão 5: [B] Considere a tabela, em que Brasarg é o novo país.

País Ouro Prata Bronze Total

1º China 9 5 3 17

2º Brasarg 5 7 5 17

3º EUA 5 7 4 16

4º França 3 1 3 7

5º Itália 2 6 2 10

Resposta da questão 6: [C]

A pena poderá variar de 4

12 163 a

448 64

3 meses.

Resposta da questão 7: [B]

Apenas os modelos A e B estão aptos a pousar no aeroporto. De

fato, os modelos C e E possuem carga máxima maior do que

110 t 110.000kg, e o modelo D possui comprimento maior do

que 60 m.

Resposta da questão 8: [C]

Calculando o desvio absoluto da espessura de cada lente em relação à

medida 3mm, obtemos: | 3,10 3 | 0,100;

| 3,021 3 | 0,021; | 2,96 3 | 0,040;

| 2,099 3 | 0,901 e | 3,07 3 | 0,070. Portanto, como o

menor desvio absoluto é o da lente de espessura 3,021mm, segue

o resultado. Resposta da questão 9: [E]

É imediato que 6 3

0,75 75%.8 4 Portanto, a resposta é 3.

Resposta da questão 10: [D]

Tem-se que 5

20 e

4

6 são frações próprias e

6

4 é uma fração

imprópria. Logo, ambas são menores do que 6

.4

Além disso, segue

que 5 1 3 8 4

.20 4 12 12 6

Portanto, a ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é Carlos, Fábio e André. Resposta da questão 11: [B] A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi

7 1 248 14.

8 2 3

Resposta da questão 12: [A] Tem-se que

0,3121212 0,3 0,0121212

10,3 0,121212

10

3 1 12

10 10 99

3 1 4

10 10 33

99 4

330

103.

330

Portanto, o índice revela que as quantidades relativas de admiradores

do estudante e pessoas que visitam seu perfil são 103 em cada

330.

Resposta da questão 13: [D]

Como 1

x 3 1,7; y 0,52

e 3

z 1,5,2

tem-se

t y z x. Assim, a figura que representa o jogo de Clara é a da

alternativa [D]. Note que na alternativa [A], x 3.

Resposta da questão 14: [C]

Serão necessários 2 81 190 352 metros de tela para cercar o

terreno. Logo, como cada rolo tem 48 metros de comprimento,

segue-se que o número de rolos necessários é o menor número

inteiro maior do que 352

7,3,48

ou seja, 8.

Resposta da questão 15: [E] Menor altura possível para a tomada: 0,40 m. Maior altura possível para o interruptor: 1,35 m. Portanto, as únicas medidas que obedecem simultaneamente às duas condições citadas acima são as da alternativa [E] (0,45 m > 0,4 0m e 1,20 m < 1,35 m). Resposta da questão 16: [B]

Com R$1.000,00 é possível fabricar 1000

58820,17

cédulas de

R$ 1,00, enquanto que é possível produzir 1000

38460,26

moedas

de R$1,00 com a mesma quantia. Portanto, seria possível fabricar

5882 3846 2036 cédulas a mais.

Resposta da questão 17: [C]

De acordo com o texto, as dimensões da nova nota de R$100,00

serão 14 1,6 15,6cm e 6,5 0,5 7cm.

Resposta da questão 18: [D]

Como a margem de erro é de 3%, segue que os intervalos

representativos dos percentuais que os candidatos X, Y e Z

poderão obter no pleito são, respectivamente, [33, 39], [30, 36] e

[28, 34].

Portanto, o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no

máximo, 34% 33% 1% sobre X.

Resposta da questão 19: [C]

N(AUB) = N(A) + N(B) – N(A B)

100% = 72% + 65% - N(A B)

N(A B) = 37% Calculando 37% de 300 temos 111 (maior que 100 e menor que 120)

Resposta da questão 20: [D] De acordo com os dados da tabela, obtemos o seguinte diagrama.

Portanto, a probabilidade de um estudante selecionado ao

acaso preferir apenas MPB é dada por

Resposta da questão 21:

[A]

Queremos calcular P(P Q).

Aplicando o Teorema da Soma obtemos

P(P Q) P(P) P(Q) P(P Q)

40% 36% 16% P(P Q)

P(P Q) 52% 40% 12%.

Resposta da questão 22: [A]

Sejam U, I e E, respectivamente, o conjunto universo, o

conjunto dos alunos que falam inglês e o conjunto dos alunos que falam espanhol.

Queremos calcular P(E | I ).

Sabendo que n(U) 1200, n(I) 600, n(E) 500 e

n(I E) 300, temos

n(I E) n(U) n(I E) 1200 300 900.

Além disso, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos n(I E) n(I) n(E) n(I E) 900 600 500 n(I E)

n(I E) 200.

Portanto, Resposta da questão 23: [C] Se a criança desceu quatro andares e parou no quinto andar, então ela partiu do nono andar. Mas, sabemos que, para chegar ao nono andar, ela subiu nove andares e, assim, podemos afirmar que ela partiu do térreo. Se ela desceu dez andares e, depois, mais treze andares para chegar ao térreo, então a criança partiu do 23º andar. Em consequência, sabendo que ela subiu sete andares para chegar ao 23º andar, concluímos que ela entrou no elevador no 16º andar. O último andar do edifício é o 23º.

110

100% 11%.1000