Matemática 9ª série

Capítulo Equações 2º grau – Aula 6 – Definição. Raízes de equações incompletas.

Antonio Abrantes

2020

Matemática 9º ano

2

Apresentação Este é um trabalho com alguns temas em matemática que constam da base currricular do Colégio Pedro II para o 9º ano. A ideia do trabalho é oferecer um suporte adicional para os alunos poderem manter seus estudos em matemática durante a pandemia. O material é apresentado online na plataforma Google Meet duas vezes por semana (https://meet.google.com/qmx-npai-mjp). Uma apresentação resumida (não a versão online mas uma versão offline) fica guardada no youtube (https://www.youtube.com/playlist?list=PLaw9P95vuAiOxF2jBH3QvqbfGOwWGLlfT). Os alunos dispoe também de um aplicativo chamado QuizMath (ios, Android) onde podem realizar testes.

A preparação das aulas é feita com base em livros didáticos do nono ano e vídeos do youtube em espacial os canais: Aula Paraná: https://www.youtube.com/watch?v=q7DBBm6jYkU&list=PLnGI1S4-A8rseNIFHodv1TOhCU9qcojp6

Portal da Matemática OBMEP https://www.youtube.com/watch?v=C0lKIgwc5nw&list=PL7RjLI0hJPfAx3HzRmhspfmHkN9LOZ7Up

Toda a Matemática https://www.youtube.com/c/GustavoViegascurso/playlists

Matemática 9º ano

3

Aula 6 – Definição. Raízes de equações incompletas.

Definição Toda a equação do 2º grau com uma incógnita pode ser reduzida à forma.

Onde a é coeficiente da incógnita ao quadrado, b é o coeficiente da incógnita e c é o termo independente. Quando tivermos todos os termos a, b, c diferentes de zero teremos uma equação de segundo grau na forma completa. Na equação abaixo temos a=2, b=3, c=-6

caso contrário, teremos uma equação incompleta. Na equação abaixo a=2, b =3, c=0

Matemática 9º ano

4

Na equação abaixo a=1/2 , b=0, e c = -3

Para colocar uma equação na forma reduzida temos de ajustar os termos para que fiquem igual a zero.

Matemática 9º ano

5

Para qual valor n a equação abaixo não será de segundo grau ? Note que quando o termo em a for nulo não teremos uma equação de segundo grau, ou seja, quando 5n + 2 = 0 ou seja x = -2/5

Raízes da equação de segundo grau Raiz de uma equação de segundo grau é o valor que torna a equação verdadeira. Por exemplo, na equação abaixo x=2 é uma das raízes da equação:

Matemática 9º ano

6

Determine m na equação abaixo de modo que uma de suas raízes seja 2

Determine p na equação abaixo de modo que uma de suas raízes seja 4

Matemática 9º ano

7

Raízes de equação incompleta do 2º grau

a) Equação na forma ax2 + bx = 0 Toda equação de segundo grau deste tipo tem duas raízes endo uma das raízes igual a zero.

b) Equação na forma (mx + n)2 = 0

Toda a equação que assuma esta forma possui duas raízes reais iguais. Observe que algumas equações do segundo grau formam um trinônmio quadrado perfeito em que temos (mx +n)2 = m2x2 + 2mn.x + n2 = 0. Assim considere a equação:

x2 +12x + 36 = 0

Matemática 9º ano

8

Note que na equação m=1. O termo em c é um quadrado perfeito 36, cuja raiz n=6. Note que o termo em b será dado por 2mn = 2.1.6 = 12, logo confere ! Podemos assumir m=1 e n=6 ou seja, podemos dizer que:

x2 +12x + 36 = (x+6) 2 = 0

Logo as raízes da equação acontecem quando x+6=0, ou seja x=-6. Temos duas raízes iguais. _____________________________________________________ Resolva:

x2 -14x + 49 = 0 Neste caso 49 é o quadrado perfeito de 7 podemos escrever

x2 -14x + 49 = (x-7) 2 = 0

Logo as raízes da equanção acontecem quando x-7=0, ou seja x=7 Temos duas raízes iguais.

c) Equação na forma ax2 + c = 0 Quando uma equação de segundo grau desta forma admitir raízes reais, elas serão sempre opostas.

x2 – 25 = 0

logo x2 = 25, então x = +5 e x=-5

Caso, por exemplo:

x2 + 25 = 0

logo x2 = -25, então x não pertence ao conjunto dos Reais

Aponte onde está o erro do seguinte raciocinio: a = 1 a3 = a2 a3 – 1 = a2 – 1 (a – 1)(a2 + a + 1) = (a + 1)(a – 1)

Matemática 9º ano

9

a2 + a + 1 = a + 1 como a = 1 12 + 1 + 1 = 1 + 1 3 = 2 (??) Resposta: Quando se dividiu por (a-1) isso só é válido para a diferente de 1

Questões de concurso

[FUNDATEC 2011] O valor positivo de m, para que a equação 3x² + mx + 3 = 0 tenha raízes reais e iguais, é equivalente a

A m=10

B m=2

C m=1

D m=4

E m=6

Para ter raízes reais e iguais a equação de segundo grau deve assumir a forma (ax + b)2 = 0 ou seja a2x2 + 2abx + b2 = 0, logo a=raiz3, e b=raiz3, logo m = 2ab = 2.raiz3.raiz3 = 2.3 = 6 resposta E [FAEPESUL, 2016] Assinale a alternativa que apresenta o(s) possível(eis) valor(es) de m para que a equação x2 − 4x + (m − 6) = 0 possua duas raízes reais e distintas

A S = {10}

B S = {m ∈ R| m ≤ 10}

C S = {m ∈ R| m < 10}

D S = {m ∈ R| m > 10}

E S = {m ∈ R| m ≥ 10}

Matemática 9º ano

10

Para ter raízes e distintas ele não pode ter raízes reais e iguais. Ele terá raízes reais e iguais se

assumir a forma (ax + b)2 = 0 ou seja a2x2 + 2abx + b2 = 0 ou seja a=1, 2ab = -4 logo 2.1.b = -4 então b=-2 então b2 = (-2)(-2) = 4 então m-6=4 logo m =10 Se m=10 teremos raízes iguais. Note que se m=10 teremos (x-2)2=0 Então a resposta é termos m diferente de 10. Por exemplo, se m=6 teremos x2 – 4x = 0 ou seja raízes x(x-4)=0 x=0 e x=4, logo a resposta é letra C [Pref. Toledo 2016] Resolva a equação de segundo grau: x² - 7x + 6, e assinale a alternativa que representa respectivamente as raízes x1 e x2 desta equação.

A x1 = 5 e x2 =3.

B x1 = 4 e x2 =2.

C x1 = 6 e x2 = 1.

D x1 = 2e x2 =3.

E x1 = 5 e x2 =4.

Susbstuindo na opção A temos x=5 logo (5)(5) -7.5 + 6 = 25 – 35 + 6 = -4 logo não é raiz da equação. Na opção B temos x= 4 logo 4.4 – 7.4 + 6 = 16 – 28 + 6 = -6 logo não é raiz da equação, opção C temos x=6 logo 6.6 – 7.6 + 6 = 0 confere e X=1 temos 1.1 – 7.1 + 6 = 0 confere também, logo a resposta é C Fonte: https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/disciplinas/matematica-matematica/equacao-de-2-grau-e-problemas-de-2-grau/questoes?page=3

Matemática 9º ano

11

Conectando com a história

Fonte: https://www.britishmuseum.org/collection/object/W_1896-0402-1

A placa de argila 13901 no Museu Britânico em Londres mostra uma tabua encontrada na Mesopotâmia em que escrita cuneiforme que mostra como primeiro problema matemático o seguinte: Quanto mede o lado de uma região quadrada se a área dessa região menos a medida do lado é igual a 870 ? Na linguagem algébrica matemática atual (que não existia na época) podemos escrever o problema na seguinte forma:

x2 – x = 870 x2 – x – 870 = 0

Note que temos uma equação de segundo grau completa.

Matemática 9º ano

12

Questões (Aula 6):

1) Determine a, b, c na equação de segundo grau

2) Verificar se 5 é raiz da equação:

3) Calcule q de modo que x=-1 seja raiz da equação:

4) Resolva as raízes da equação

5) Calcule onde x é diferente de 6 e diferente de 2

6) O dobro do quadrado de um número negativo somado ao triplo dele é igual a zero. Determine esse número.

7) Resolva a equação:

Matemática 9º ano

13

8) Resolva

9) Pensei em um número, elevei-o ao quadrado, subtraí 60 e obrive 840. Se pensei em um número negativo, qual é esse número ?

10) João tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar um terreno de 90 metros quadrados que faz divisao com o que ele já possui. Desse modo ele ficaria co um terreno retangular de 414 metros quadrados. Qual é a medida do lado do terreno de formato quadrado de João ?

Matemática 9º ano

14

Bons estudos !

Matemática 9º ano

15

Respostas Aula 6

1) Resposta

2) Resposta

3) Resposta:

4) Resposta:

Matemática 9º ano

16

5) Resolva:

6) Resposta

Matemática 9º ano

17

7) Resposta:

8) Resposta

9) Resposta

10) Resposta