Material Básico Sup. Pesq. - UEL

ELETRODINÂMICA

ANTONIO EDSON GONÇALVES

9 de maio de 2017

2

Antonio Edson Gonçalves

Depto de Física - Centro de Ciências Exatas

Universidade Estadual de Londrina

Cx. Posta 86100 -Londrina - Paraná

[email protected]

05.06.2016

Sumário

1 Eletrostática 91.1 A função Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Algumas representações da função delta . . . . . . . . 121.1.2 Propriedades da função delta . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 O Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 O Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 A Lei de Gauss: uma abordagem geométrica . . . . . . . . . . 211.6 Forma diferencial da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Potencial escalar e trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Distribuições superficiais de cargas e dipolos, descontinuidades

no campo e potencial elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9 Equações de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10 Generalidades acerca das Funções de Green . . . . . . . . . . 34

1.10.1 Um pouco de formalidade . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10.2 Menos formalidade e mais física . . . . . . . . . . . . . 371.10.3 Solução geral da Equação de Poisson . . . . . . . . . . 391.10.4 A la Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.11 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.11.1 O Teorema de Reciprocidade . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.12 A forma integral da equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . 46

2 Condições de Contorno em Eletrostática I 512.1 Esfera condutora isolada na presença de uma carga puntiforme 542.2 Expansão em Funções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.1 Séries e Transformadas de Fourier em espaços curvos . 61

3 Condições de Contorno em Eletrostática II 633.1 Teorema de Adição de Harmônicos Esféricos I . . . . . . . . . 633.2 Teorema de Adição de Harmônicos Esféricos II . . . . . . . . . 653.3 Teorema de Adição dos Harmônicos Esféricos III . . . . . . . 72

3

4 SUMÁRIO

4 Multipolos Eletrostáticos 774.1 Expansão multipolar do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Expansão multipolar par o campo elétrico . . . . . . . . . . . 834.3 O cálculo das derivadas para o dipolo e quadrupolo. . . . . . 834.4 Observações gerais acerca de multipolos . . . . . . . . . . . . . 854.5 O campo escalar e vetorial de um dipolo . . . . . . . . . . . . 864.6 O significado geométrico do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . 90

4.6.1 A diferença básica entre o dipolo elétrico e o magnético 924.7 Expansão multipolar da energia de uma distribuição de cargas

em um campo externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Magnetostática 1055.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2 A Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4 Equações Diferenciais para a Magnetostática . . . . . . . . . . 1165.5 O Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6 O Potencial Vetor e Indução Magnética de um Anel com Cor-

rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.7 Campos Magnéticos de Distribuições de Correntes Localizadas 123

5.7.1 O limite Não Relativístico da Equação de Dirac . . . . 1345.8 Força, Torque e Energia de uma Distribuição de Corrente Lo-

calizada, em um Campo de Indução Externo . . . . . . . . . . 1385.8.1 Hamiltoniano de Interação Hyperfina . . . . . . . . . . 1425.8.2 Autofunções radiais e o Deslocamento Hiperfino . . . . 158

6 Potencial Retardados 1656.1 Propriedades de Funções Retardadas . . . . . . . . . . . . . . 165

7 Comentários e Complementos dos Problemas Propostos 1697.1 Problema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.2 Problema 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

A Propriedade simples 177

B Comentários sobre a função Delta de Dirac 179

Appendix 177

Referências Bibliográficas 180

Índice 183

Lista de Figuras

1.1.1 Função retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Função de Heaveside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3 Contornos de integração para a função degrau . . . . . . . . . 161.3.1 Referencial para a representação vetorial Lei de Gauss . . . . . 201.5.1 Geometria da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Lei de Gauss: carga exterior da esfera . . . . . . . . . . . . . . 231.7.1 Trabalho realizado por uma força externa para mover uma

carga teste em uma região do espaço aonde existe uma campoelétrico.[? ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1 Descontinuidade na componente normal do campo elétrico quandoda passagem por um filme carregado . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8.2 Condições de contorno para os vetores do campo eletromagnético 291.8.3 Simulação de um filme de dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8.4 Geometria do filme de dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.10.1Carga puntiforme na presença de um plano condutor . . . . . 401.10.2Angulo Sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12.1Volume e fronteiras para a forma integral do potencial . . . . 48

2.0.1 Garga próxima condutor Aterrado Isolado . . . . . . . . . . . 522.0.2 Placa Condutora Carga Puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . 522.0.3 Esfera isolada descarregada na presença de uma carga punti-

forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.1 Esfera Condutora de raio a, nas presença de carga q e imagem q′ 54

3.2.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.2 Sistema de Coordenadas Girado . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.1 Rotação do estado |k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Tabela de alguns HE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.1.2 Tabela alguns HE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.1 4-Polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5

6 LISTA DE FIGURAS

4.5.1 Geometria para calculo campo dipolo . . . . . . . . . . . . . . 874.6.1 Calculo co campo médio nas regiões a e b . . . . . . . . . . . 934.6.2 Sistema coordenadas para integração . . . . . . . . . . . . . . 994.7.1 Exemplo de distribuição de cargas na presença de campo externo102

5.1.1 Arranjo geométrico ilustrativo da conservação da garga . . . . 1075.2.1 Geometria Lei Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2 Indução magnética fio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.1 Dois circuitos de correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.2 Geometria para a Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.3 Força entre fios paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.1 Geometria Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.5.1 Potencial vetor cilindro finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5.2 Potencial Vetor de um fio finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.6.1 Construção geométrica para o cálculo do potencial vetor A . . 1225.7.1 Divergente da fonte de indução magnética . . . . . . . . . . . 1255.7.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7.3 Superfície Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.8.1 Comportamento da função k(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.8.2 função de onda radial normalizada multiplicada por r para o

estado 1s1/2e Z = 28. A abcissa é expressa em r/(~/mec) e osubscrito nr refere-se à função de onda não relativística. . . . 160

5.8.3 Estado 2s1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.8.4 Estado 2p1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.8.5 Estado 2p3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.8.6 Níveis de energia do átomo de hidrogêneo . . . . . . . . . . . . 163

7.1.1 Geometria da esfera carga interior: Método Imagem . . . . . . 1707.1.2 Condições Contorno Vetores Campo Elétrico . . . . . . . . . . 1717.1.3 Carga na presença esfera condutora isolada . . . . . . . . . . . 173

Lista de Tabelas

7

8 LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Eletrostática

IntroduçãoDiscutiremos alguns tópicos selecionados de eletrostática uma vez que o as-sunto já é bastante discutido nos cursos básicos de graduação. Optamos pordar preferência aos teoremas diferenciais e integrais envolvendo as equaçõesde Laplace e Poisson, visto a grande utilidade destas equações nos cálcu-los dos potenciais eletrostáticos envolvendo condições de contorno. Para istosimplesmente apresentamos as equações de Maxwell para os campos elétricose magnéticos estáticos para em seguida focarmos em um rápido formalismomatemáticos básicos para a abordagem dos assuntos aqui discutidos.

As equações básica da eletrostática são derivadas das equações de Maxwell

∇ ·D = ρ,∇× E + ∂B∂t,= 0

∇ ·B = 0,∇×H = J + ∂D∂t

,

(1.0.1)

onde

E = E(r, t), B = B(r),ρ = ρ(r, t), J = J(r, t),

e valem as relações constitutivas entre os campos no vácuo e num meio linear

D = εE,B = µH.

Para campos estáticos ou estacionários ou seja = E(r), B = B(r) asEq.(1.0.1) para o vácuo reduzem-se à

,

9

10 CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA

∇ · E = ρ

ε0,∇× E,= 0,

∇ ·B = 0,∇×B = µ0J,(1.0.2)

com as fontes também independentes do tempo. Certamente para o casoestático, a equação da continuidade expressando a conservação da carga

∂ρ

∂t+∇ · J = 0,

reduz-se a∇ · J = 0.

Antes de discutirmos os campos elétricos e magnéticos estáticos, aborda-remos algumas definições, equações e teoremas relevantes para nossas discus-sões futuras.

1.1 A função Delta de DiracA “função “ δ de Dirac é de fato uma distribuição [1], entretanto comoa maiorias dos físicos esta será tratada como uma função. Embora estaabordagem não é matematicamente rigorosa é suficiente para as aplicaçõesem eletrodinâmica 4.6

Considere a função δ(ε)(x) esquematizada na Fig. (1.1.1)

δ(ε)(x) =

1ε

para − ε2 < x < − ε

2 ,

0 para |x| > ε2

onde ε > 0. Considere a integralˆ a

−af(x)δ(ε)(x)dx,

com a > 0 e a > ε, e f(x) é uma função arbitrária e regular em x = 0. Devidoa nulidade da função δ(ε) a região de integração é reduzida ao intervalo

ˆ ε/2

−ε/2f(x)δ(ε)(x)dx.

Para ε suficientemente pequeno a função f(x) no integrando varia pouco no

1.1. A FUNÇÃO DELTA DE DIRAC 11

Figura 1.1.1: Função retangular

intervalo de integração [−ε, ε] e o valor de f(x) é constante, portanto para

limε−→0

ˆ ε/2

−ε/2f(x)δ(ε)(x)dx = lim

ε−→0

ˆ ε/2

−ε/2f(0)δ(ε)(x)dx

= f(0) limε−→0

ˆ ε/2

−ε/2δ(ε)(x)dx

= f(0) limε−→0

ˆ ε/2

−ε/2

1εdx

= f(0) limε−→0

ˆ ε/2

−ε/2

1εdx

= f(0) limε−→0

(1εx|

ε2− ε2

)= f(0).

Em geral define-se a função delta da forma

δ(x) = 0, para x 6= 0,ˆV

f(x)δ(x)dx = f(x),(1.1.1)


onde V é o volume de integração que inclui o ponto de singularidade dafunção delta.

1.1.1 Algumas representações da função deltaPode-se mostrar, provar que as seguintes distribuições, satisfazem a condiçãoEq. (1.1.1)

12εe

−|x|ε, (1.1.2)1π

ε

x2 + ε2 , (1.1.3)1

ε√πe−x

2ε2, (1.1.4)

1π

sen(x/ε)x

, (1.1.5)

ε

π

sen2(x/ε)x2 . (1.1.6)

Em particular a representação

∇2(

1|r− r′|

)= −4πδ(r− r′), (1.1.7)

da função delta é muito útil na solução da equação de Laplace. Que está érealmente uma representação segue de que

∇2(

1|r|

)= 1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

1r

)= − 1

r2∂

∂r

(r2 1r2

)= 0, se r 6= 0.

Este resultado é a primeira condição a ser satisfeita para que a representaçãoseja uma função delta. A segunda condição é

ˆV

∇2(

1|r|

)dV =

ˆV

∇ ·∇(

1|r|

)dV

=teor. div

˛ [∇(

1|r|

)]· ndA

= −˛ [

rr2

]· ndA = −

˛dΩ

= −4π,


já que o volume de integração inclui a origem. Uma discussão mais detalhadada lei de Gauss será feita posteriormente onde retorna-se a considerações maisdetalhadas dos resultados prévios. Em resumo, os resultados anteriores

∇2(

1|r|

)= 0, se r 6= 0,

ˆV

∇2(

1|r|

)dV = −4π, se r = 0,

provam que (−1/4π)∇2(

1|r|

)é uma representação da função delta de Dirac.

A integral do Laplaciano de 1/r pode ser calculada via o limite da função

lima−→0

∇2 1√r2 + a2

= lima−→0

1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

1√r2 + a2

)

= − lima−→0

1r2

∂

∂r

[r3

(r2 + a2)3/2

]

= − lima−→0

1r2

[3r2

(r2 + a2)3/2 −3r4

(r2 + a2)5/2

]

= − lima−→0

1r2

[3r2 (r2 + a2)− 3r4

(r2 + a2)5/2

]

= − lima−→0

3a2

(r2 + a2)5/2 .

Segue queˆV

∇2(

1|r|

)dV = lim

a−→0

ˆV

∇2 1√r2 + a2

dV

= − lima−→0

ˆV

3a2

(r2 + a2)5/2dV

= − lima−→0

3a2ˆV

r2dΩdr(r2 + a2)5/2

= −4π lima−→0

3a2ˆ ∞

0

r2dr

(r2 + a2)5/2 .

Esta integral pode ser também calculada via mudança de variável:ˆ ∞

0

r2dr

(r2 + a2)5/2 r = a tanα−−−−−−−→

ˆ π/2

0

a2 tan2 αa sec2 αdα

a5 (1 + tan2 α)5/2


ˆ ∞0

r2dr

(r2 + a2)5/2 r = a tanα−−−−−−−→

ˆ π/2

0

a2 tan2 αa sec2 αdα

a5 (1 + tan2 α)5/2

= a3

a5

ˆ π/2

0

tan2 α sec2 αdα

sec5 α

= 1a2

ˆ π/2

0

tan2 αdα

sec3 α= 1a2

ˆ π/2

0sen2α cosαdα

x = senα−−−−−−→1a2

ˆ 1

0x2dx = 1

3a2 ,

ou seja ˆ ∞0

r2dr

(r2 + a2)5/2 = 13a2 ,

fornecendoˆV

∇2(

1|r|

)dV = −4π lim

a−→03a2

ˆ ∞0

r2dr

(r2 + a2)5/2 = −4π lima−→0

3a2 13a2 = −4π.

Este procedimento também comprova que

∇2(

1|r|

),

é uma representação da função delta de Dirac.

1.1.2 Propriedades da função deltaAs seguintes propriedades da função delta podem ser demonstradas utili-zando a definição Eq. (1.1.1)

δ(x) = δ(−x),

δ(cx) = 1|c|δ(x),

δ [f(x)] =∑j

1|f ′(xj)|

δ(x− xj),

δ(x2 − a2) = 12|a| [δ(x− a) + δ(x+ a)]

−f ′(x)δ(x) = f(x)δ′(x),

xj são os zeros simples da função f(x),

(1.1.8)


Figura 1.1.2: Função de Heaveside

Em coordenadas curvilineares ξi a função delta é escrita como

δ(r− r0) =3∏i=1

δ(ξi − ξi0)hi

, (1.1.9)

onde os hi são os coeficientes de Lamé

hi =

√√√√(∂x∂ξi

)2

(1.1.10)

Um outra função muito útil que aparece com frequência tanto na ele-trodinâmica quanto na mecânica quântica é a função degrau ou função deHeaveside definida como

θ(τ) =0, x < 0,

1, x > 1,(1.1.11)

cujo gráfico é apresentado na Fig.((1.1.2)).Uma representação desta função é

θ(τ) = limε−→0+

− 12π

ˆ ∞−∞

dωe−ıωτ

ω + ıε, (1.1.12)

de onde pode provar a propriedade

dθ(τ)dτ

= δ(τ) (1.1.13)

Demonstração. Para provar que a função degrau pode ser representada pelaEq.( (1.1.12)) é necessário verificar se esta representação satisfaz à definiçãoEq.( (1.1.11)). Para isto faz-se a extensão analítica desta representação esua integração no plano complexo para os dois contornos esquematizados nafigura 1.1.3. O integrando da equação (1.1.12) possui um único polo simples

ω + ıε = 0 =⇒ ω = −ıε.


Figura 1.1.3: Contornos de integração para a função degrau

Considere τ > 0 : para o contorno no semi-plano inferior com z = Re−ıθ, olema de Jordan fornece um valor nulo para a integral ao longo do arco:

I =dz

e−ızτ

z + ıε

=R

−R

dze−ızτ

z + ıε+

&arco

dze−ızτ

z + ıε

=R

−R

dze−ızτ

z + ıε+

&arco

Re−ıθdθe−ıR(cos θ−ı sin θ)τ

Re−ıθ + ıε.

Considerando os dois limites:

limε→o+

limR→∞I = lim

ε→o+limR→∞

R

−R

dze−ızτ

z + ıε+

&arco

Re−ıθdθe−ıR(cos θ−ı sin θ)τ

Re−ıθ + ıε

= limε→o+

limR→∞

R

−R

dze−ızτ

z + ıε+

&arco

e−ıθdθe−ıR(cos θ−ı sin θ)τ

e−ıθ + ıε/R

= limε→o+

limR→∞

R

−R

dze−ızτ

z + ıε+

&arco

dθe−ıR cos θτ−R sin θτ

= lim

ε→o+

∞

−∞

dωe−ıωτ

ω + ıε

= −2πıθ(τ).

Por outro lado, a integral I pode ser calculada com o auxílio do teorema dosresíduos:

1.2. O TEOREMA DE HELMHOLTZ 17

I = −2πıe−ı(−ıετ) = −2πıe−ετ ,

e

limε→o+

limR→∞I = −2πı.

Comparando as duas equações encontra-se que

−2πıθ(τ) = −2πı =⇒

θ(τ) = 1, τ > 0.

Para τ < 0, utiliza-se o contorno do semi-plano superior da figura 1.1.3.Nota-se imediatamente que o integrando é analítico nesta região do planocomplexo, portanto I = 0 e

θ(τ) = 0, τ < 0.

1.2 O Teorema de HelmholtzUm campo vetorial arbitrário pode sempre ser decomposto em uma soma dedois campos vetoriais: um com divergência zero e outro com rotacional zero.a esta afirmativa atribui-se o status de um teorema:

Teorema 1.2.1. Todos campos vetoriais são univocamente definidos se suasdensidades de circulação e densidades de fontes são especificadas em todosos pontos do espaço e também se anulam no infinito.

A prova deste teorema é relativamente simples, para isto considere V umcampo vetorial genérico o qual decompomos como

V = V ‖ + V ⊥,

com∇ · V ⊥ = 0,

e∇× V ‖ = 0.


Devido as conhecidas propriedades de campos vetoriais∇ · T = 0 =⇒ T =∇× F ,∇×U = 0 =⇒ U = −∇Ω,

adota-se representação explicita e de interesse para as componentes paralelae perpendicular do campo V

V ⊥ =∇× F (r),V ‖ = −∇Ω(r).

Desta maneiraV =∇× F (r)−∇Ω(r).

Note que desta equação obtêm-se que∇ · V = −∇2Ω(r),∇× V =∇×∇× F (r) =∇∇ · F −∇2F (r).

Uma vez resolvidas estas equações determina-se F e Ω em função do campoV . Uma forma de resolver estas equações é escrever o campo vetorial noponto r é a de escrevê-lo em termos da função delta:

V (r) =ˆV

V (r′)δ(r− r′)d3r′

= − 14π

ˆV

V (r′)∇2(

1|r− r′|

)d3r′

= − 14π

ˆV

∇2(V (r′)|r− r′|

)d3r′

= − 14π

ˆV

[∇∇ ·

(V (r′)|r− r′|

)−∇×∇×

(V (r′)|r− r′|

)]d3r′

= −∇[

14π

ˆV

∇ ·(V (r′)|r− r′|

)d3r′

]+∇×

[1

4π

ˆV

∇×(V (r′)|r− r′|

)d3r′

]devido que ∇2 opera nas coordenadas sem linha. Observando que

∇′ ·[(

V (r′)|r− r′|

)]= ∇

′ · V (r′)|r− r′|

+ V (r′) ·∇′(

1|r− r′|

)

= ∇′ · V (r′)|r− r′|

− V (r′) ·∇(

1|r− r′|

)

= ∇′ · V (r′)|r− r′|

−∇ ·(V (r′)|r− r′|

)=⇒

=⇒∇ ·(V (r′)|r− r′|

)= ∇

′ · V (r′)|r− r′|

−∇′ ·[(

V (r′)|r− r′|

)],

1.3. A LEI DE COULOMB 19

obtêm-se que

V (r) = −∇

14π

ˆV

∇′ · V (r′)|r− r′|

−∇′ ·[(

V (r′)|r− r′|

)]d3r′

+∇×[

14π

ˆV

∇′ × V (r′)|r− r′|

−∇′ ×[(

V (r′)|r− r′|

)]d3r′

]

= −∇ 14π

ˆV

∇′ · V (r′)|r− r′|

d3r′ +∇×ˆV

∇′ × V (r′)|r− r′|

d3r′

+∇

14π

ˆV

∇′ ·[(

V (r′)|r− r′|

)]d3r′

−∇×

1

4π

ˆV

∇′ ·[(

V (r′)|r− r′|

)]d3r′

.

As integrais de volume podem ser transformadas em integrais de superfíciesque para fontes localizadas vão a zero quando as superfícies de integraçãoestão suficientemente afastadas das fontes, com isto

V (r) = −∇ 14π

ˆV

∇′ · V (r′)|r− r′|

d3r′ +∇× 14π

ˆV

∇′ × V (r′)|r− r′|

d3r′

=∇× F (r)−∇Ω(r),

com

Ω(r) = 14π

ˆV

∇′ · V (r′)|r− r′|

d3r′, (1.2.1)

F (r) = 14π

ˆV

∇′ × V (r′)|r− r′|

d3r′. (1.2.2)

Neste ponto cabe uma observação: comentário do caderno rascunho Mickey,pág.110.

1.3 A Lei de CoulombResultados experimentais que caracterizam a interação elétrica entre corposcarregados:

• proporcional a intensidade das cargas em interação

• proporcional ao inverso do quadrado da distância entre as cargas

• atua ao longo da linha que une as cargas

• é atrativa para cargas de sinal oposto e repulsiva para cargas de mesmosinal


Figura 1.3.1: Referencial para a representação vetorial Lei de Gauss

E muito importante: a força total produzida em uma dada carga prova devidoa interação com diversas outras cargas em sua vizinhança é a soma vetorialda força exercida sobre a carga prova por cada uma das diversas cargasindividuais. Este resultado experimental é expresso como o Princípio dasuperposição linear. De fato este princípio se aplica no vácuo ou em meioscom suscetibilidade elétrica e permeabilidade magnética constantes.

A lei de Coulomb que expressa a força eletrostática que atua em umadada carga q localizada no ponto P tendo como vetor posição o vetor rreferido a origem O de um referencial inercial K , devido a interação comuma distribuição volumétrica de cargas caracterizada por uma densidadevolumétrica ρ(r′) é escrita no sistema MKS como

F q(r) = 14πε0

ˆV

qρ(r′)(r− r′)dV ′

|r− r′|3= 1

4πε0

ˆV

qρ(r′)edV ′

|r− r′|2, (1.3.1)

onde

e = r− r′

|r− r′|,

é um vetor unitário ao longo da linha que une as partículas em interação. AFig. (1.3.1) contém uma representação esquemática da geometria da Lei naforma integral.

1.4. O CAMPO ELÉTRICO 21

Figura 1.5.1: Geometria da Lei de Gauss

1.4 O Campo ElétricoEmbora o que se mede são forças de interação, o conceito de campo elétrico éútil. Inicialmente este é definido como força por unidade de carga, sendo umvetor que é representado por E. Na definição do campo elétrico está implícitoo fato de que a carga a ser utilizada deve ser o suficientemente pequena paraque não altere a configuração do arranjo de cargas do qual se quer medir ocampo elétrico. Nesta condição segue diretamente da Eq.(1.3.1) que

E(r) = limq−→0

F

q= 1

4πε0

ˆV

ρ(r′)edV ′

|r− r′|2, (1.4.1)

que para uma distribuição discreta de n cargas é escrita como

E(r) = 14πε0

n∑ı=1

qir− r′

|r− r′|3. (1.4.2)

O princípio de superposição é utilizado nas duas expressões do campo.

1.5 A Lei de Gauss: uma abordagem geomé-trica

Considere uma superfície esférica de raio r = |x| cujo centro O coincide coma origem do sistema de coordenadas, como esquematizado na Fig. (1.5.1).


Nesta figura o vetor posição r′ refere-se à posição da distribuição de cargasrelativa a origem O do sistema de coordenadas S, portanto em coordenadasesféricas o da distribuição de cargas possui as coordenadas (r′, θ′, φ′) enquantoque ao observador (posição onde mede-se o campo) refere-se o vetor r eportanto o observador possui as coordenadas (r, θ, φ).

Consideramos primeiramente o caso em que r > r′. Como a esferade raios r envolve toda a distribuição de cargas torna-se mais simples trans-ladarmos a origem do sistema de coordenadas para o CM das cargas, o queequivale a fazer r′ = 0. Esta geometria corresponde àquela da figura elípticana Fig.(1.5.1). Considere então o cálculo do campo elétrico sobre a superfícieesférica de raio r, note que a integração é feita sobre as coordenadasdo observador e não sobre àquelas da distribuição de cargas. Sejaentão

ΦE =˛S

E · nda,

onde o vetor unitário n é o vetor normal à superfície e θ é o angulo entre anormal e a direção do campo elétrico naquele ponto, então

ΦE =˛S

[ˆ 14πε0

ρ(r′)δ(r′)|r− r′|3

(r− r′) dv′]· nda

=˛S

[ˆ 14πε0

ρ(r′)δ(r′)|r|3

(r) dv′]· nda

= q

4πε0

˛rr3 · nr

2dΩ

= q

4πε0

˛n · ndΩ

= q

4πε0

ˆΩdΩ = q

4πε04π

= q

ε0,

onde a carga q é dada por

q =ˆV

ρ(r′)dV ′.

A outra situação é aquela para a qual a distribuição de cargas encontra-se fora da esfera definida pelo vetor posição do observador, por-tanto r′ > r. A geometria desta configuração está esquematizada na Fig.(1.5.2).

A fim de simplificarmos os cálculos, giramos o sistema de coordenadas daconfiguração inicial a qual depende dos três parâmetros da distribuição de

1.5. A LEI DE GAUSS: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA 23

Figura 1.5.2: Lei de Gauss: carga exterior da esfera

cargas e dos três parâmetros do observador, enfim há o angulo γ que é funçãode θ′, θ, φ′, φ, como mostrado na figura. O giro é feito de forma a alinhar oeixo z na direção do vetor posição da distribuição de cargas, finalizando coma configuração geométrica da segunda figura na qual o angulo θ torna-se oangulo entre os vetores r e e consequentemente

cos γ = cos θ cos θ′ + senθsenθ′ cos(φ− φ′) = cos θ,

uma vez que θ′ = 0. Com esta escolha, o fluxo do campo elétrico no pontode observação (superfície da esfera S) será

ΦE =˛S

[ˆ 14πε0

ρ(r′)|r− r′|3

(r− r′) dv′]· nda

= 14πε0

ˆV

dv′ρ(r′)[˛

S

1|r− r′|3

(r− r′) · nda], n = r

r.


Trabalhando somente com a integra de superfície termos

IS =˛S

1|r− r′|3

(r− r′) · nda

=ˆ

Ω

(r − r′ cos θ)(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 r

2senθdθdφ

= 2πˆ

r3

(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

− 2πˆ

r′r2 cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

≡ I1 − I2.

Calculamos separadamente cada integral, para I1 fazemos a mudança devariável

u = r2 − 2rr′ cos θ + r′2 =⇒ du = 2rr′senθdθ

=⇒ senθdθ = du

2rr′ ,

para obtermos

I1 = 2πr3ˆ (r+r′)2

(r−r′)2u−3/2 du

2rr′

= πr2

r′(−2)u−1/2

∣∣∣(r+r′)2

(r−r′)2

= −2πr2

r′

1√(r + r′)2

− 1√(r − r′)2

,que para este caso r′ > r é necessário inverter a raiz

√(r − r′)2 −→

√(r′ − r)2 =

r′ − r, fornecendo então para o resultado da primeira integral

I1 = −2πr2

r′

[ 1r + r′

− 1r′ − r

]= −2πr

2

r′−2r

r′2 − r2 = 4πr3

r′ (r′2 − r2) .

A segunda integral I2 será

I2 = 2πˆ

r′r2 cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ

= 2πr′r2ˆ π

0

cos θ(r2 − 2rr′ cos θ + r′2)3/2 senθdθ.

1.5. A LEI DE GAUSS: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA 25

Novamente fazermos

u = r2 − 2rr′ cos θ + r′2 =⇒ du = 2rr′senθdθ =⇒ senθdθ = du

2rr′ ,

u ≡ a− b cos θ, a ≡ r2 + r′2, b ≡ 2rr′

fornecendo que

I2 = 2πr′r2ˆ (a+b)

(a−b)2

a− ubu3/2

du

b

= 2πr′r2

b2

ˆ (a+b)

(a−b)2(a− u)u−3/2du

= 2πr′r2

b2

a (−2)u−1/2

∣∣∣(a+b)2

(a−b)2− 2 u1/2

∣∣∣(a+b)2

(a−b)2

= −4πr′r2

b2

a

[1√a+ b

− 1√a− b

]+√a+ b−

√a− b

Devido que

a+ b = (r + r′)2

a− b = (r′ − r)2, r′ > r

teremos

I2 = − 4πr′r2

(2rr′)2

a

[1√a+ b

− 1√a− b

]+√a+ b−

√a− b

= −πr′

a[ 1r + r′

− 1r′ − r

]+ r + r′ − (r′ − r)

= −π

r′

a[ −2rr′2 − r2

]+ r + r′ − (r′ − r)

= −2πr

r′

(r2 + r′2

) [ −1r′2 − r2

]+ 1

= −2πr

r′

[r′2 − r2 − (r2 + r′2)

r′2 − r2

]

= 4πr3

r′ (r′2 − r2) .

Segue diretamente dos cálculos anteriores que

I1 + I2 = 0,

portanto o fluxo do campo elétrico é nulo nesta situação em que o vetorposição do observador r é menor que o vetor posição da distribuição decargas ou seja as fontes estão fora da superfície.


Resumindo encontramos que˛S

E · nda =q/ε0 se q está no interiror de S

0 se q está no exteriror de S(1.5.1)

Onde está a abordagem geométrica?

1.6 Forma diferencial da Lei de GaussO teorema da divergência

˛A · nda =

ˆV

∇ ·AdV, (1.6.1)

possibilita que se obtenha diretamente a forma diferencial para a lei de Gauss.Utilizando o teorema na forma integral da Lei de Gauss tem-se que

ˆV

∇′ ·E(r′)dV ′ = 1ε0

ˆV

ρ(r′)dV ′ =⇒ˆV

(∇′ ·E(r′)− ρ(r′)

ε0

)dV ′ = 0.

Há uma diferença fundamental entre a forma integral e diferencial da Lei deGaus: a forma integral é uma equação global, já a forma diferencial é local,deve ser válida ponto a ponto, ou seja o integrando na equação anterior seanula somente se a divergência do campo for calculada no mesmo ponto dafonte, portanto neste caso têm-se que

∇ ·E(r) = ρ(r)ε0

. (1.6.2)

1.7 Potencial escalar e trabalhoA equação Eq.(1.6.2) não determina completamente o campo elétrico. Umcampo vetorial é ser completamente determinado se o divergente e o rota-cional são dados sobre todo o domínio, conforme o Teorema de Helmholtzanteriormente discutido. No caso de eletrostática, segue diretamente da leide Coulomb, Eq. (1.3.1) que

∇× E = 0, (1.7.1)

indicando que na eletrostática o campo elétrico é conservativo.

1.7. POTENCIAL ESCALAR E TRABALHO 27

Desta maneira, como rotacional de um gradiente é sempre nulo em espaçoscontratíveis, i.e. ∇×∇ψ = 0 ∀ψ, podemos descrever o campo elétrico comosendo o gradiente1 do potencial escalar Φ (x)

E (r) = −∇Φ (r) . (1.7.2)

Da Eq.(1.4.1) obtêm-se a representação integral par o campo escalar es-tático

E (r) = 14πε0

ˆρ (r′) r− r′

|r− r′|3d3r′

= 14πε0

ˆρ (r′)

[−∇

(1

|r− r′|

)]d3r′

= −∇[

14πε0

ˆρ (r′)|r− r′|

d3r′]

= −∇Φ (r) =⇒ (1.7.3)

=⇒ Φ (r) = 14πε0

ˆρ (r′)|r− r′|

d3r′ , (1.7.4)

com a integral sendo feita em todo o espaço. O potencial é definido a menosde uma constante arbitrárias que pode ser utilizada para definir o ponto ondeo campo se anula.

A interpretação física deste potencial escalar pode ser obtida com a noçãode trabalho mecânico. Seja F uma força externa que atua sobre uma cargateste q em movimento em uma região do espaço aonde existe um campoelétrico E como representado na figura 1.7.1. O trabalho realizado por estaforça para deslocá-la desde o ponto A até o ponto B com velocidade constantena presença do campo externo E é

W = −ˆ B

A

F · dl = −qˆ B

A

E · dl

= q

ˆ B

A

∇Φ · dl = q

ˆ B

A

dΦ

= q (ΦB − ΦA) . (1.7.5)

O sinal negativo representa que um agente externo realiza trabalho sobrea carga para deslocá-la com velocidade constante. Este trabalho fica arma-zenado no campo na forma de energia potencial elétrica e a quantidade deenergia armazenada no campo é exatamente igual a produto da carga elétricapela diferença de potencial entre os pontos A e B no campo.

1O sinal de menos é apenas uma convenção.


Figura 1.7.1: Trabalho realizado por uma força externa para mover umacarga teste em uma região do espaço aonde existe uma campo elétrico.[? ]

Segue diretamente da Eq.((1.7.2)) que a integral de linha do campo elé-trico entre dois pontos é independente do caminho utilizado para a integraçãoentre estes dois pontos. Este resultado também é uma consequência diretado teorema de Stokes

˛C

A · dl =ˆS

(∇×A) · n da . (1.7.6)

para um campo irrotacional, em particular o campo eletrostático satisfazendo∇× E = 0, segue do teorema de Stokes que

˛C

E · dl = 0 , (1.7.7)

indicando que a circulação do campo elétrico em uma trajetória fechada énula e portanto a diferença de potencial entre dois pontos independe docaminho que liga os dois pontos.

1.8 Distribuições superficiais de cargas e di-polos, descontinuidades no campo e po-tencial elétrico.

Em geral o objetivo desta seção é discutir a aplicabilidade da lei da Gaussna solução de problemas de eletrostática, a qual é uma ferramente eficientese as distribuições de cargas possuírem simetria suficiente para a aplicaçãoda lei. Em particular o objetivo desta seção é fornecer informações sobreas descontinuidades do campo e potencial para determinadas distribuiçõesde cargas,k por exemplo dipolos e filmes carregados, para serem utilizadas

1.8. DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS E DIPOLOS, DESCONTINUIDADES NO CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO.29

Figura 1.8.1: Descontinuidade na componente normal do campo elétricoquando da passagem por um filme carregado

Figura 1.8.2: Condições de contorno para os vetores do campo eletromagné-tico

como condições se fronteiras a serem impostas numa discussão posterior dassoluções da equação de Poisson via funções de Green.

Um problema típico em eletrostática é o cálculo do campo elétrico parauma dada distribuição de cargas. A lei de Gauss permite que se obtenha ocampo quase que diretamente se houver simetria suficiente na distribuiçãolocalizada de fontes. Por exemplo o campo de um plano infinito é imedia-tamente encontrado via lei de Gauss E = σ/2ε. Entretanto para um doismeios com a mesma propriedade eletromagnética, separados por um filmecom uma distribuição superficial de cargas, veja Fig. (1.8.1), as condições decontorno sobre o campo elétrico na passagem da região 1 para a 2 são, vejaFig. (1.8.2), para a componente normal

(E2 − E1) · n = σ

ε0, (1.8.1)

enquanto que para a componente tangencial

E2‖ − E1‖ = 0. (1.8.2)


Este resultado indica que a componente tangencial é contínua como segue daaplicação do teorema de Stokes na interface de separação entre os dois meios.O resultado expresso na Eq.(1.8.1) não determina os campos E1 e E2 já que énecessário também o conhecimento das componentes tangenciais dos campos,que são iguais pela Eq.(1.8.2). Mesmos assim estas equações fornecem adescontinuidade no campo e não os campos em si. O máximo que estaequação indica é que existe uma descontinuidade de σ/2ε0 na componentenormal do campo elétrico quando da passagem do meio 1 ao meio 2.

Para se encontrar a expressão explicita do campo pode-se calcular o po-tencial (e na sequência o campo via gradiente) utilizando a Eq. (1.7.4) comρdV ′ −→ σda′, em todos os pontos do espaço, com exceção da superfície (jáque diverge)

Φ (r) = 14πε0

ˆS

σ (r′)|r− r′|

da′ . (1.8.3)

Para uma distribuição superficial ou volumétrica de cargas, o potencial écontínuo em todo o espaço inclusive na região de distribuição de cargas, porexemplo para um plano infinito com uma densidade superficial de cargasuniforme σ ou para uma distribuição esférica uniforme de cargas onde o po-tencial e campo são contínuos e definidos em todos os pontos do espaço e nointerior da distribuição. Isto pode ser demonstrado diretamente pela inte-gração da Eq.(1.7.4) ou pelo cálculo do potencial pela integração do campoelétrico em todo o espaço.

Um outro problema de interesse diretamente relacionado as condições decontorno na solução da equação de Poisson é a de um filme de dipolo. Pode-se imaginar o campo devido a esta configuração de cargas como o camporesultante da superposição do campo devido duas superfícies S ′ e S infi-nitesimalmente próximas e com densidades −σ e σ respectivamente, comorepresentado na figura Fig.(1.8.3).

Quando as superfícies S e S ′ se encontram infinitesimalmente próximas,no limite em que d (r)→ 0 tem-se que

limd(r)→0

σ (r) d (r) = D (r) , (1.8.4)

onde D (r) é a intensidade da densidade de camada de dipolo2. Note-se que adireção do dipolo é tem a direção na normal as superfícies. Uma das formas

2Recorde a definição de dipolo que é o produto da carga positiva pela distância entre ascargas e tem direção da carga negativa para a positiva. O momento de dipolo é definido porp = ede. Por analogia com esta definição denomina-se de camada de dipolo a quantidadeD = σd(x). Note que σ e carga por unidade de área, enquanto que D é o produto de(carga por unidade de área)X distância de separação entre as duas superfícies. Veja que aanalogia com a definição de dipolo é direta.

1.8. DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS E DIPOLOS, DESCONTINUIDADES NO CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO.31

Figura 1.8.3: Simulação de um filme de dipolo

de se calcular o potencial é da distribuição é calcular o potencial devido aum único dipolo para em seguida por superposição linear calcular o camporesultante devido a toda distribuição. Uma outra forma é utilizar diretamenteo processo limite anteriormente descrito, o qual será utilizado fornecendo

Φ (r) = 14πε0

ˆS

σ (r′)|r− r′|

da′ − 14πε0

ˆS′

σ (r′)|r− r′ + nd|

da′′ . (1.8.5)

Como a distância d é pequena quando comparada a distância do ponto, àorigem, é possível expandir o termo

1|r− r′ + nd|

= 1|r− r′ + nd|

∣∣∣∣∣d=0

+ (nd) ∇ 1|r− r′ + nd|

∣∣∣∣∣d=0

+O(d2)

= 1|r− r′ + nd|

∣∣∣∣∣d=0− (nd) · ∇′ 1

|r− r′ + nd|

∣∣∣∣∣d=0

+O(d2)

= 1|r− r′|

− (nd) ·(

r− r′

|r− r′|3

)+O

(d2)

= 1|r− r′|

− d (r′) n · (r− r′)|r− r′|3

+O(d2).

Introduzindo a notação

I (r, d) ≡ 14πε0

ˆS′

σ (r′)|r− r′ + nd|

da′′,

reescrevemos


limd(r)→0

I (r, d) = limd(r)→0

14πε0

ˆS′σ (r′)

[1

|r− r′|− d (r′) n · (r− r′)

|r− r′|3+O

(d2)]

da′′

= limd(r)→0

[1

4πε0

ˆS′

σ (r′)|r− r′|

da′′ − 14πε0

ˆS′σ (r′) d (r′) n · (r− r′)

|r− r′|3da′′

]

= 14πε0

ˆS

σ (r′)|r− r′|

da′ − 14πε0

ˆS

D (r′) n · (r− r′)|r− r′|3

da′ , (1.8.6)

veja que neste limite S ′ → S e da′ → da. Portanto o potencial elétrico deuma camada dipolar é

Φ (r) = 14πε0

ˆS

D (r′) n · (r− r′)|r− r′|3

da′ . (1.8.7)

Pode-se comparar a Eq.(1.8.7) com àquele de um dipolo puntiforme

Φ(r) = 14πε0

p · (r− r′). |r− r′|

. (1.8.8)

A comparação das Eq.(1.8.7) com a Eq.(1.8.8) sugere que a primeira equaçãopode ser interpretada como o potencial no ponto r devido uma dipolo deintensidade Dda′ = Dnda′,no ponto r′.

A Eq.(1.8.7) possui uma simples interpretação geométrica, nota-se que aquantidade

n · (r− r′)|r− r′|3

da′ = −|n| |r− r′| cos θ|r− r′|3

da′ = − cos θ|r− r′|2

da′ = −dΩ (1.8.9)

é o angulo sólido3 subentendido pela elemento infinitesimal de área da′noponto de observaçãoO, como representado esquematicamente na figura Fig.(1.8.4)

O potencial pode ser escrito como

Φ (r) = − 14πε0

ˆS

D (r′) dΩ . (1.8.10)

Para uma densidade superficial constante de momento dipolar da camada, opotencial é simplesmente o produto de 1

4πε0D pelo ângulo sólido subentendido

3O sinal nesta equação esta correto. Ele é introduzido por causa do papel invertido entrefonte e observador na definição de ângulo sólido. O angulo sólido é definido considerandoa superfície gerada pela dos pontos posição do observador, com relação à origem O ondeestá a origem do sistema. Por exemplo na lei de Gauss o angulo sólido é calculado pelaporção de área definida pelo vetor posição do observador com relação à origem O dossistema onde está localizada a carga.

1.9. EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 33

Figura 1.8.4: Geometria do filme de dipolo

pela distribuição no ponto de observação. Considerando ser esta a caracte-rística da distribuição percebe-se haver uma mudança no sinal do potencialquando o ponto de observação “atravessa” o filme, expressando dessa formauma descontinuidade no potencial devido a presença do filme na interface deseparação dos dois meios. Nota-se que para o ponto de observação no interiorda camada o potencial vale

Φ(r) = − 14πε0

D2π = − D

2ε0,

enquanto que para o ponto de observação fora da camada o angulo sólido valeΩ = −sen(π + θ)dϕ = +senθdϕ = 2π, resultando em uma descontinuidadeno potencial na passagem do interior para o exterior do filme de

Φ2 − Φ1 = D

ε0. (1.8.11)

Este resultado é análogo àquele da Eq.(1.8.2) para a descontinuidade docampo elétrico ao cruzar uma interface de separação com uma densidadesuperficial de cargas entre dois meios. A Eq.(1.8.11) pode ser interpretadafisicamente como a queda no valor do potencial que ocorre no interior dofilme de dipolos.

1.9 Equações de Laplace e PoissonAs equação da eletrostática para o campo elétrico são dadas pelo par dasequações, Eq.(1.0.2), de Maxwell para o campos elétrico E

∇ · E = ρ

ε0e ∇× E = 0 .

A condição de rotacional nulo permite que se obtenha o campo via gradientede um potencial escalar

E = −∇Φ.

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