1- MATRIZ1.1 - DEFINIÇÃO: Denomina-se matriz m x n uma tabela retangular formada por m . n números reais, dispostos em m linhas e n colunas.

Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n.Ex: notas de dois alunos.

ou

matriz de ordem 2 x 2

- Quando m=1, a matriz é chamada de matriz linha.- Quando n=1, a matriz é chamada de matriz coluna.

1º bim

2º bim

Roberto

6 8

Carlos 5 9

95

86

95

86

Cap. 7 - pág.98

1.2 – REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ

De maneira abreviada, podemos escrever uma matriz A na forma:

Genericamente:

A=

jienjmicomaAnxmij

,1,1)(

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

Cap. 7 - pág.99

EXEMPLO.

Vamos escrever a matriz

jiparaa

jiparaa

quetaljeicomaB

ij

ij

ij

0

1

,3131)(

100

010

001

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Cap. 7 - pág.98

1.3 – TIPOS DE MATRIZES

1.3.1 - Matriz quadrada: quando m = n dizemos que a matriz é quadrada de ordem m x m ou simplesmente de ordem m.

Matriz de ordem 2.

diagonal secundaria diagonal principal

A diagonal principal de uma matriz quadrada é formada pelos elementos

aij com i=j.

130

071

352

Cap. 7 - pág.100

1.3.2 - Matriz triangular: quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são ZEROS.

aij = 0 para i>j ou aij = 0 para i<j.

Matriz triangular superior matriz triangular inferior

1.3.3 - Matriz diagonal: quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são ZEROS.

aij = 0 para

597

038

002

500

430

312

ji

500

030

002

Cap. 7 - pág. 101

1.3.4 - Matriz identidade In : quando os elementos da diagonal principal é 1 e os outros elementos são ZEROS.

In =

Ex: I3 =

1.3.5 - Matriz nula on : quando todos os elementos são ZEROS.

aij = 0 para todo

02 =

jiparaa

jiparaa

ij

ij

0

1

100

010

001

ji,

00

00

Cap. 7 - pág. 101

1.4 – OPERAÇÕES COM MATRIZES1.4.1 - Igualdade de matrizes: Duas matrizes A e B são iguais,

se e somente se, tem o mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais.

Ex.

njemicombaBA

bBeaA

ijij

nxmijnxmij

11,

)()(

5

3

0

7

:,

0

7

5

3

d

c

b

a

entãoBAse

d

cBe

b

aAmatrizesasdadas

Cap. 7 - pág. 102

1.4.2 - Adição de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, a matriz A+B do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Ex.

.11

)()()(

njemicom

baBAsomaabBeaAnxmijijnxmijnxmij

97

33

9007

0321

90

02

07

31BAentãoBeA

Cap. 7 - pág. 103

1.4.3 - Matriz oposta: chama-se matriz oposta de A, indicada por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula.

1.4.4 - Subtração de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, denomina-se diferença entre as matrizes A e B, a matriz A-B do tipo m x n na qual cada elemento é obtido subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Ex.

20)(

12

63

12

63

AApoisAentãoAse

.11

)()()(

njemicom

baBAtemosbBeaAnxmijijnxmijnxmij

2514

111

154

632

1010

523

Cap. 7 - pág. 104

1.4.5 - Multiplicação de um número real por uma matriz: Se A é uma matriz m x n, de elementos aij , e k é um número real, então k.A é uma matriz m x n cujos elementos são k.aij .

Ex.

1.4.6 - Multiplicação de matrizes: Só definimos o produto da matriz A pela matriz B, quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

A.B é obtida multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B, e somando-se os produtos obtidos.

42820

1284

175

321.4.4

175

321AentãoAse

pxmpxnnxmABBA

Cap. 7 - pág. 105

Ex.

927

515

721

2.41.16.43.1

2.01.56.03.5

2.21.36.33.3

26

13

41

05

23

BA

.26

13

41

05

23

BAcalculeBeAdadas

Cap. 7 - pág. 107

1.5 – MATRIZ TRANSPOSTASeja uma matriz Am x n , denomina-se transposta de A, a matriz

At n x m , cujas as linhas são, ordenadamente as colunas de A.

Ex.

1.6 – MATRIZ INVERSADada uma matriz quadrada Am , se A-1 é uma matriz tal que A.

A-1 =In , então A-1 é denominada matriz inversa de A. Lembre-se que In é a matriz identidade.

Ex.

61

210

03

620

1103 tAA

32

851AdeAinversamatrizaindique

10

01

3232

8585

10

01.

32

851

dbca

dbca

dc

baIAA

Cap. 7 - pág. 106

Ex.

32

851AdeAinversamatrizaindique

10

01

3232

8585

10

01.

32

851

dbca

dbca

dc

baIAA

032

185

ca

caI

132

085

db

dbII

2182

3.5

32

2.3

2

3

ccc

aac

a

5185

8.2

85

)5.(8

5

8

ddd

bbd

b

52

831

dc

baAassim

Cap. 7 - pág. 111