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Professor Mauricio Lutz

1

MATRIZES 1. INTRODUÇÃO

Quando um problema envolve um grande número de dados (constantes

ou variáveis), a disposição destes numa tabela retangular de dupla entrada propicia

uma visão mais global do mesmo. As tabelas assim formadas são chamadas

matrizes.

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das

matrizes encontre cada vez mais aplicações em setores tais como: economia,

engenharia, matemática, física, estatística, etc ...

Exemplo: A tabela abaixo descreve as safras de milho, trigo, soja, arroz e feijão, em

toneladas, durante os anos de 1991, 1992, 1993 e 1994.

Milho Trigo Soja Arroz Feijão 1991 80 130 180 100 40 1992 90 120 200 80 30 1993 90 130 200 120 40 1994 80 110 240 120 50

Com os dados dispostos na forma de tabela (matriz), imediatamente

conseguimos fazer comparações, estabelecer relações e até mesmo tirar conclusões

relativas as safras. Isto mostra o quanto pode ser útil a notação matricial.

Geralmente, as matrizes são tabelas de elementos dispostos em linhas e

colunas , sendo representados entre parênteses, colchetes ou barras duplas. Desta

forma, uma representação por matriz da tabela das safras é:

501202401108040120200130903080200120904010018013080

501202401108040120200130903080200120904010018013080

501202401108040120200130903080200120904010018013080

S

As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda

para a direita.





2

2 DEFINIÇÃO

Chama-se matriz de ordem mxn (m e n *) a toda tabela constituída por

m e n elementos, dispostos em m linhas e n colunas.

Observação:

Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o número de linhas

e em seguida o número de colunas.

Exemplos:

1.

013142

A ordem 2x3

2. 32A ordem 1x2

3 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus

elementos por letras minúsculas, acompanhadas de 2 índices que indicam,

respectivamente a linha e a coluna ocupada pelo elemento. Assim, uma matriz A do

tipo mxn é representada por:





3

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

........................

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

ou abreviadamente, A=(aij)mxn, onde i representa a linha e j representa a coluna que

o elemento ocupa na matriz, por exemplo a23 é o elemento da 2º linha e da 3º coluna.

Exemplo:

1.

1228132

A onde a12=-3; a13=-1 e a22=2

2. Determine a matriz A=(aij)3x3, tal que aij=i2-2j.

Resolução:

357202531

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

a11=12-2.1=-1; a12=12-2.2=-3; a13=12-2.3=-5;

a21=22-2.1=2; a22=22-2.2=0; a23=22-2.3=-2;

a31=32-2.1=7; a32=32-2.2=5; a33=32-2.3=3.

(1) Exercícios

1. Identifique a ordem das matrizes:

a)

041312

A b) 351 B c)

31

2C d)

821012413

D





4

2. Dada a matriz

932744

021523

A identifique os elementos da:

a) 1º linha b) 3º linha c) a23 d) a31

3. Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz?

4. Determine a matriz A=(aij)2x3, tal que aij=i2+j.

5. Construa as matrizes:

a) M=(aij)2x3, tal que aij=i+j.

b) N=(aij)2x2, tal que aij=i2-3j.

c) Q=(aij)3x3, tal que

jise

jisejiaij ,0

,.

4 MATRIZES COM DENOMINAÇÕES ESPECIAIS

4.1 Matriz linha

É toda matriz do tipo 1xn, isto é, com uma única linha. Por exemplo:

31094 xA ou 5114791 xB .

4.2 Matriz coluna

É toda matriz do tipo mx1, isto é, com uma única coluna. Por exemplo:

1321

4

x

A

ou

1275

x

B

.





5

4.3 Matriz retangular

É toda matriz mxn, sendo mn, ou seja, o número de linhas e diferente do

número de colunas. Por exemplo: 32021

543

x

A

ou

23211234

x

B

.

4.4 Matriz quadrada

É toda matriz do tipo nxn, isto é, com o mesmo número de linhas e

colunas. Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo:

33562903724

x

A

ou

224721

x

B

.

a) Diagonal principal: diagonal principal de uma matriz quadrada é o

conjunto de elementos dessa matriz, tais que i=j.

b) Diagonal secundária: diagonal secundária de uma matriz quadrada é

o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i+j=n+1. É a diagonal que se opõe a

diagonal principal.

Exemplos: 1. Seja A a seguinte matriz de ordem 2:

2. Seja B a seguinte matriz de ordem 3:





6

4.5 Matriz nula

É a matriz em que todos os elementos são nulos. Representa-se por Omxn

ou apenas O. Por exemplo: seja

000000

32xO .

4.6 Matriz diagonal

É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na

diagonal principal são nulos. Por exemplo:

33500010004

x

A

ou

224001

x

B

.

4.7 Matriz escalar

É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos

iguais. Por exemplo

33400040004

x

A

ou

222002

x

B

.

4.8 Matriz identidade

É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são

iguais a 1 e os demais são nulos. Representa-se por In, onde n indica a ordem da

matriz identidade. Por exemplo

100010001

3I ou

1001

2I . Assim, uma matriz

identidade

jisejisea

aI ijijn ,0

,1. Toda matriz identidade é também matriz diagonal.





7

4.9 Matriz transposta

Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a

partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por

linhas. Por exemplo 32121

032

x

A

e

23102312

x

tA

. Desse modo, se a matriz

A é do tipo mxn, At é do tipo nxm.

4.9.1 Propriedades da matriz transposta

Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:

a) (At)t=A;

b) (A+B)t=At+Bt;

c) (rA)t=rAt.

4.10 Matriz oposta

Chamamos de matriz oposta de A a matriz obtida a partir de A, trocando-

se o sinal de todos os seus elementos. Representamos a matriz oposta de A por -A.

Por exemplo: seja

5403

A a oposta é

5403

A .

4.11 Matriz simétrica

Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=At. por exemplo

tAA sejaou ,3221

,3221

tAA .





8

4.12 Matriz anti-simétrica

Uma matriz é anti-simétrica quando sua matriz transposta for igual à sua

matriz oposta ou seja At=-A. Por exemplo:

042401210

A ,

042401210

tA e

042401210

A .

4.13 Matriz triangular inferior

Os elementos acima da diagonal principal são todos nulos (m=n e aij=0

para i<j). Por exemplo:

3214001000720005

A .

4.14 Matriz triangular superior

Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos (m=n e aij=0

para i>j). Por exemplo:

800210342

A .

5 IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes, A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e os elementos

correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B(bij) são matrizes do tipo mxn,

então

njmi

baBA ijij 1 1

.





9

Exemplos:

1. Dadas as matrizes

11052

A e

153 yxyx

B , calcular x e y para que A=Bt.

Resolução:

1032

135

11052

yxyx

yxyx

BA t

Resolvendo o sistema, temos:

X=3 e y=-1.

2. Determinar x e y na igualdade:

594

5

log23

yx

.

Resolução:

8134log 43 xxx

3992 yyy

(2) Exercícios

1. Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 5?

2. Determine x e y para que a matriz

2120

yyx

A seja diagonal.

3. Escreva a matriz (At)t, quadrada de ordem 3, tal que A=(aij) e aij=3j-4i.

4. Determine x e y para que a matriz

413142

13y

xM seja simétrica.

5. Determine a matriz real quadrada B de ordem 2, definida por:

jiiji

bji

ij se 1 se 2

2.

6. Dada a matriz A=(aij)3x2, com aij=i2-j3, obter a matriz oposta de A. IF Farroupilha - Campus Alegrete

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10

7. Sejam

811log27

161

3

2aA e

caB

b

3

92 , determine a, b e c para que A=B.

8. Determine os elementos da diagonal principal, sabendo que

yxx

yyxA

352

é

uma matriz diagonal.

9. Dada a matriz identidade

800013

501

3

db

caI , calcule a+b+c+d.

10. Determine a, b e c, de modo que a matriz

231

112323

bca

A , seja triangular

inferior.

6. OPERAÇÕES COM MATRIZES

6.1 Adição e subtração de matrizes

6.1.1 Adição de matrizes

Dadas 2 matrizes de mesmo tipo A=(aij)mxn e B=(bij)mxn denomina-se matriz

soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B

(lembrar que A e B são matrizes de mesma ordem).

A+B=(aij+bij)mxn, onde 1 i m e 1 j n.





11

Exemplo: Dadas as matrizes

7108125967612810

A e

9111014610786101012

B , calcule

A+B.

Resolução:

162118261119131512221822

9111014610786101012

7108125967612810

BA

6.1.2 Subtração de matrizes

Sejam A e B duas matrizes do tipo mxn. Denomina-se diferença entre A e

B, e vamos representá-la por A-B, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou

seja, A-B=A+(-B).

Exemplo: Dada as matrizes

0610533

A e

243714

B , determine A-B.

Resolução:

21013221

243714

0610533

BA

6.1.3 Propriedades da adição e subtração de matrizes

Dadas uma matriz A e B de ordem mxn valem as seguintes propriedades:

a) Comutativa: A+B=B+A

b) Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)

c) Elemento neutro: A+0=0+A=A

d) Elemento oposto: A+(-A)=(-A)+A=0

e) Cancelamento: A=B A+C=B+C





12

(3) Exercícios

1. Ache m, n, p e q, de modo que:

5187

32

qqnn

ppmm

.

2. Sejam as matrizes A=(aij)2x2, com aij=2i-j2 e B=(bij)2x2, com bij=aij+1. Calcule:

a) A-B b) B-A c) (A+B)t d) At-Bt

3. Sendo A=(aij)1x3 tal que aij=2i-j e B=(bij)1x3 tal que bij=-i+j+1, calcule A+B.


314251

A ,

240132

B e

102316

C . Calcule:

a) A-B b) B-C c) A-B-C d) C-A+B e) At-Ct f) C-(B-A)

5. Ache x, y, z e w, de modo que:

58

0114

32wzyx

.

6.2 Multiplicação de matrizes

6.2.1 Multiplicação de matriz por escalar

Para multiplicar uma matriz por um escalar (número real ou complexo),

multiplicamos todos os elementos da matriz por este escalar.

Se A=(aij)mxn e k é um escalar, então kA=(kaij)mxn.

Exemplo: Dada a matriz

410312

A , calcule 3.A.

Resolução:

1230936

4.31.30.33.31.32.3

3A





13

6.2.2 Multiplicação de matriz por matriz

Dada uma matriz A=(aij)mxn e uma matriz B=(bij)nxp, o produto AB é a matriz

C=(cik)mxp, tal que o elemento cik é calculado multiplicando-se ordenadamente os

elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e somando-

se os produtos obtidos, ou seja:

Cik=ai1.bik+ai2.b2k+ai3.b3k+...+aim.bmk

Da definição decorre que: O produto das matrizes A e B existe quando o número de coluna da

matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.

O produto de duas matrizes A e B, se existir, tem o mesmo número de

linhas de A e o mesmo número de colunas da matriz B, isto é, se A é do tipo mxn e

B do tipo nxp, então AB é do tipo mxp, assim:

a) Se A é a matriz do tipo 3x4 e B é matriz do tipo 4x2, então existe a

matriz AB, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A matriz

AB é do tipo 3x2.

Veja o esquema abaixo.

b) Se A é do tipo 3x4 e B é do tipo 3x2, não existe a matriz AB, pois o

número de colunas de A é diferente do número de linhas de B.

Exemplo:

Dadas as matrizes 32042

321

x

A

e

43013110531142

x

B

determine AxB.





14

Resolução:

622816342311

0.01.41.21.00.41.23.05.44.21.03.42.20.31.21.11.30.21.13.35.24.11.33.22.1

013110531142

042321

4332

xx

xAxB

6.2.3 Propriedades da multiplicação

Após verificadas as condições de existência para a multiplicação de

matrizes, são válidas as seguintes propriedades:

a) Associativa: (A.B).C=A.(B.C)

b) Distributiva em relação a adição: A.(B+C)=A.B+A.C ou (A+B).C=A.C+B.C

c) Elemento neutro: A.In=In.A, onde In é a matriz identidade de ordem n.

Observações:

Não valem as seguintes propriedades:

a) Comutativa, pois, em geral A.BB.A

b) Sendo Omxn não implica, necessariamente que A=Omxn ou B=Omxn.

(4) Exercícios

1. Calcule os produtos das seguintes matrizes, se existirem:

a) 32

23

031142

1014

32

xx

x

b)

2223

1110

113210

xx

x

c) 12

23

12

016231

xx

x

d) 31

13

1321

42

x

x

x





15

e)

2322 04

2213

1142

xx

x

f)

1332 7

01

20542/11

xx

x

2. Dadas as matrizes A=(aij)6x4, tal que aij=i-j, B(bij)4x5, tal que bij=j-i, e C=A.B,

determine o elemento C42.

3. Dadas as matrizes A=(aij) e B(bij), quadradas de ordem 2, com aij=3i+4j e bij=-

4i-3j se C=A+B, então C2 é igual a?

4. O valor de x para que o produto da matrizes

132 x

A e

1011

B seja uma

matriz simétrica, é?


3121

A ,

0111

B , calcule:

a) (A+B)2 b) A2+2.(A.B)+B2

6. Sabendo que

1021

A e

1102

B , calcule AB-BA.

7. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das afirmações relacionadas

com matrizes transpostas.

( ) Se a matriz A=(aij)2x2 é tal que aij=aji, então At=A.

( ) Qualquer que seja a matriz A, (At)t=A.

( ) Sejam A=(aij)mxn e B=(bij)nxp, então (A.B)t=At.Bt.

A sequência correta é:

a) V – V – V.

b) V – F – V.

c) F – V – F.

d) F – F – V.

e) V – V – F.





16

8. Seja A=(aij) uma matriz nxn com n>2. A relação que gera, na matriz A, linhas cujos

elementos estão em P.A. é

a) aij=ij

b) aij=2i+j

c) aij=i/j

d) aij=i.j

e) aij=(-1)j+j

9. A matriz

fornece os preços (em reais) por kg de erva-mate, feijão, arroz e açúcar nos

mercados M1, M2, M3 e M4. Se um consumidor necessita comprar 2kg de erva-mate,

3 kg de feijão, e 5kg de arroz e 4 kg de açúcar, então a matriz que fornece os custos

(em reais) nos mercados M1, M2, M3 e M4, respectivamente, é

a) [12,80 12,20 12,70 13,60]

b) [26,40 12,40 10,50 13,80]

c) [25,40 13,80 10,50 9,00]

d) [12,80 12,40 12,70 13,60]

e) [12,80 13,80 12,70 9,00]

10. Considere as matrizes ji

aA jixij

11)( 23 e kjbB xjk 32)( . O elemento

C23 da matriz produto C=A.B é

a) –11/12 b) 1/12 c) 5/12 d) 11/12 e) 1





17

7 MATRIZ INVERSA

Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir

uma matriz indicada por A-1, tal que A.A-1=A-1.A=In.

Existe a matriz inversa somente quando o determinante da matriz for

diferente de zero.

Observações:

I é uma matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B;

Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, em caso

contrário, não inversível ou singular;

Se a matriz quadrada A é inversível, ela é única.

Exemplo: Determinar a inversa da matriz

5142

A

Resolução:

Fazendo

dcba

A 1 . Sabemos que A.A-1=I2.

1001

554242

1001

5142

dbcadbca

dcba

x

pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:

61 e

65

05142

caca

ca

31 e

32

15042

dbdb

db

Portanto

31

61

32

65

1A .





18

(5) Exercícios

1. Determine a inversa das matrizes:

a)

1143

A b)

021131001

B


5723

A e

1111

B , obtenha a matriz A.B+A-1.

3. Se

1221

A e

2013

B , então obtenha a matriz X=(A.B-1)t

4. Mostre que a inversa da matriz

1134

é

4131

.

5. Dadas matrizes

20

03A ,

5312

P e

ba

B75

10131 , determine os valores

de a e b, tais que B=P.A.P-1.

(6) Exercícios complementares

1. O produto M.N da matriz

111

M pela matriz 111N :

a) não se define.

b) é uma matriz identidade de ordem 3.

c) é uma matriz de uma linha e uma coluna.

d) é uma matriz quadrada de ordem 3.

e) não é uma matriz quadrada.





19

2. Considere a matriz quadrada de ordem 2, ji

aA ij

12)( . Se B é a matriz inversa

de A, então B+Bt é igual a:

a)

3222/3

b)

32

22/3 c)

6443

d)

6/14/14/16/1

e)

64

43

3. A matriz quadrada A=(aij) de ordem 2, onde

. se .cos

se 1.sen

jiji

jiji

aij

tem como

inversa a matriz A-1 igual a

a)

1001

b)

10

01 c)

1011

d)

11

01 e)

11

01

4. Considere as matrizes quadradas de ordem 2, A=(aij) onde )(21 jiaij e B=(bij)

onde jibij . A matriz X=4A2-6B é igual a

a)

1001

b)

1101

c)

1111

d)

0110

e)

10

11

5. Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB=I2, podemos afirmar

que:

a) A2x3 e B3x2

b) A2x2 e B2x2

c) A2x1 e B1x2

d) todas as opções anteriores são corretas

e) nenhuma resposta

6. Se aij é uma matriz de ordem 3x4 definida por

jiji

aij se ,1 se ,5

, então o valor de

a32.a34.a22 é:

a) –125 b) –25 c) –5 d) 5 e) 25





20


52

3xA e

135

yB , os valores de x e y,

respectivamente, para que

1001

.BA :

a) 2 e –1 b) 1 e 2 c) –1 e –2 d) –1 e 2 e) –1 e 1

8. Se

10212 xx

A ,

10

42

B ,

6

20C e A.B=C, então log4x é:

a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) 0

9. A matriz A=(aij)3x3 é definida de tal modo que

jijia

ji

ij se ,0 se ,)1( , então A é:

a)

011101

110 b)

100010001

c)

011101110

d)

100010001

e)

011101110

10. Sejam

aa

X2

1 e

2842

Y onde a se X2=Y, então a é:

a) –2 b) –1 c) – ½ d) 1 e) ½





21

GABARITOS (1) 1. a) 2x3 b) 1x3 c) 3x1 d) 3x3 2. a) 3 -2 5 b) –4 4 -7 c) a23=0 d) a32= -4

3. 2x2; 1x4; 4x1 4.

765432

5. a)

543432

b)

2152

c)

054503430

(2) 1. 25 elementos 2. x=2 e y=1 3.

369625921

4. x=3 e y=½ 5.

5582

B 6.

184370

7. a= -3; b= -4; c= -4 8.

80

01 9. –3 10.

a=0; b= -1; c=23

(3) 1. m=5; n=2; q= -1; p=2 2. a)

1111

b)

1111

c)

13

73 d)

1111

3. 222 4. a)

154183

b)

142228

c)

056293

d)

056293

e)

266115

f)

252479

5. x= -3; y=3; z=12; w= -6.

(4) 1. a)

03141392171

b)

2113

11 c)

2101

d)

1324128264

e) não existe o produto f)

1927

2. C42=2 3.

10

01 4. x=1

5. a)

9054

b)

8155

6.

2022

7. e 8. d 9.d 10. c.

(5) 1. a)

31

41 b)

2312

12

1021

001 2.

155

36 3.

61

65

32

31

X





22

5. a=24 e b= -11. (6) 1. d 2. c 3. e 4. a 5. b 6. b 7. d 8. c 9. a 10. a

DETERMINANTES 1. DEFINIÇÃO

A toda matriz quadrada de ordem n, podemos associar, através de certas

operações, um número real chamado determinante da matriz.

Representa-se o determinante da matriz

5421

A como 5421

det A ou

5421

.

2 DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 1

O determinante da matriz A=(a11) é o próprio número real a11.

Exemplo: Seja a matriz A=(2) logo det A=|2|=2

3 MENOR COMPLEMENTAR

Chama-se menor complementar de um elemento aij de um determinante

, um novo determinante, representado como Dij, que se obtém suprimindo a linha i

e a coluna j que passam por aij de .

Exemplos: 1. O menor complementar do elemento 5 (2º linha e 3º coluna) é: Resolução:

713

21

813570421

23

D

2. O menor complementar do elemento –2 é:

Resolução:





23

666542

11

D

4 ADJUNTO OU COFATOR OU COMPLEMENTO ALGÉBRICO

Cofator (cof) de um elemento aij de uma matriz, é o produto do menor

complementar deste elemento pelo fator (-1)i+j.Dij, ou seja, Aij=(-1)i+j.Dij.

Exemplos:

1. Calcule o cofator do elemento a21 do determinante 4032

.

Resolução:

3)3).(1(3.)1(.)1(4032 3

2112

21 DA

2. O complemento algébrico ou cofator do elemento 1 é:

Resolução:

26)620.(14165

.)1(.)1(418652341

211

1111

DA

5. DETERMINANTE DA MATRIZ DE ORDEM 2

Dada a matriz

2221

1211

aaaa

A , o det A é a soma dos produto dos

elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Calculando:

A11=(-1)1+1.|a22|=a22

A12=(-1)1+2.|a21|=-a21

A21=(-1)2+1.|a12|=-a12

A22=(-1)2+2.|a11|=a11.

Desenvolvendo pela 1º linha:





24

det A=a11.A11+a12.A12=a11.a22+a12.(-a21)=a11.a22-a12.a21 (I)

Desenvolvendo pela 2º linha:

det A=a21.A21+a22.A22=a21.(-a12)+a22.a11=-a21.a12+a22.a11 (II)

Desenvolvendo pela 1º coluna:

det A=a11.A11+a21.A21=a11.a22+a21.(-a12)=a11.a22-a21.a12 (III)

Desenvolvendo pela 2º coluna:

det A=a12.A12+a22.A22=a12.(-a21)+a22.(-a11)=-a12.a21+a11.a22 (IV)

Concluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV).

Exemplo: Calcule o determinante de 7521

A .

Resolução:

Desenvolvendo-se pela 1º linha temos:

det A=a11.A11+a12.A12=(-1)1+1.1.|7|+(-1)1+2.2.|5|=7-10=-3

Regra prática:

Consideremos a matriz

2221

1211

aaaa

A , o determinante de uma matriz de

ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o

produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja,

211222112221

1211 ..det aaaaaaaa

A

Exemplo:

1. Ache o valor do determinante 3410

.

Resolução:





25

4404).1(3.03410

2. Ache o valor do determinante 2573

.

Resolução:

413565.72.32573

(1) Exercícios

1. Calcular o cofator do elemento a21 da matriz A=(aij)2x2, onde aij=2j+1, se ij; i+j, se

i=j.

2. Resolva as equações:

a) 32

13

x

xx b) 0

752

xx c) 0

5

xxx

3. Sabendo que 0 x 2, resolva a equação 2275

sen13sen

x

x.

4. Calcular o cofator dos elementos a12 e a22 da matriz

5231

A .

5. Calcular o valor do determinante das matrizes seguinte, usando a definição.

a)

8310

A b)

5231

B

6. Calcular o valor do determinante, usando a regra prática.

a) 2359

b) yxyx

c) aaaa

cossensencos





26

7. Sendo A=(aij) uma matriz de ordem 2 e aij=j-i2, calcular o determinante da matriz

A.

8. Seja A=(aij) uma matriz quadrada de 2º ordem, tal que aij=i2+i.j . Calcule det A.

9. Sendo

2031

A e

0231

B , calcule det (AB).

10. Ache o valor dos determinantes:

a) 1325

b) 512

151 c)

231123

d) ba

ba 11 e)

3246


Dada a matriz

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A , chama-se det A a soma dos produtos

dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Desenvolvendo-se pela 1º linha:

(I) ............)..()..()..(

.)1.(.)1.(.)1.(

...det

312213332112322311332113312312332211

312232211331233321123223332211

3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111

131312121111

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

AaAaAaA

Desenvolvendo-se pela 3º coluna:





27

)( ............)..()..()..(

.)1.(.)1.(.)1.(

...det

211233321123312213221133311223322113

211222113331123211233122322113

2221

12113333

3231

12113223

3231

22213113

333323231313

IIaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

a

AaAaAaA

Concluí-se que (I)=(II).

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

311212

713A , pela 1º linha e 2º

coluna.

Resolução:

1º linha:

167815)12(7)26(1)23(31112

.)1.(73122

.)1.(13121

.)1.(3det 312111

A

2º coluna:

168168)146(1)79(1)26(122

73.)1.(1

3173

.)1.(13122

.)1.(1det 232221

A

Regra prática: Regra de Sarrus

Sendo A uma matriz quadrada de 3º ordem, seu determinante será

calculado através da “Regra de Sarrus”: repete-se as duas primeiras colunas a

direita da matriz (ou as duas primeiras linhas após a 3º linha) e adiciona-se o produto

dos elementos da diagonal principal ao produto de suas paralelas, subtraí-se deste

resultado o produto da diagonal secundária e o das suas paralelas a ela.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz

311212

713A .





28

Resolução:

166671429)3).(2).(1()1).(2).(3()1).(1).(7()1).(2).(7()1).(2).(1()3).(1).(3(

113111221213713

311212

713

(2) Exercícios

1. Seja a matriz quadrada de 3º ordem e que aij=2i-j, calcular o cofator do elemento

a12?

2. Calcular o valor do determinante das matrizes seguintes usando a definição:

a)

412011302

A b)

5103102

yy

B

3. Calcule usando a regra de Sarrus:

a) 432314523

b) 524132030

c)

034111022

d) 610240

350

4. Resolver as equações, sendo x.

a) 3140123

322

2xx

xx

b) 5

2112113

xx

5. Seja S=(sij) a matriz quadrada de ordem 3, onde

jijijiji

jisij

,,

,0, calcular o valor

do determinante de S.





29

6. O determinante da matriz B=(bij) de ordem 3, onde

jiji

sebij se ,4

ji ,0, é igual a:

a) –180 b) –162 c) 0 d) 162 e) 180

7. Calcule o valor de 3.det (A) –2.det (B)+5.det (C)=0, sendo

35

2 xA ,

31

2 xxB ,

2/3

24x

xC .

a) 2 b) 1 c) 0 d) –2 e) –4

8. Sabendo que 2231

a e 311122131

b , calcule a2-2b.

9. Ache o valor do determinante da matriz P2, sabendo que

220112

112P .

10. Considere as matrizes

xzzxyyzyx

A ,

xzyzzxyx

B e

4264

C . Sabendo

que a matriz B é igual à matriz C, calcule o determinante da matriz A.


O determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos

de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores (Teorema de Laplace).

Exemplo: Calcule o determinante

10011153

02012102

A .

Resolução:

45)9.(5.5.0.5.0.0det 3242322212 AAAAAA





30

9144.1144.1101021212

.)1( 2332

A

8 MATRIZ COFATORA

Dada a matriz quadrada A(aij)mxn chama-se matriz cofatora de A a matriz

B=(bij)mxn cujos elementos são cofatores dos elementos correspondentes de A.

j e i , ijij AbAcofB .

Exemplo: Seja a matriz

115123321

A , determine a B cofatora de A.

Resolução:

1)12.(11112

.)1( 1111 A 2)53.(1

1513

.)1( 2112 A

7)103.(11523

.)1( 3113 A 1)32.(1

1132

.)1( 1221 A

14)151.(11531

.)1( 2222 A 9)101.(1

1521

.)1( 3223 A

4)62.(11232

.)1( 1331 A 8)91.(1

1331

.)1( 2332 A

4)62.(12321

.)1( 3333 A

Portanto a matriz

4849141721

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

B

9 MATRIZ ADJUNTA

A transposta da matriz cofatora de A é chamada matriz adjunta de A.





31

tAcofAAdj

Exemplo: Seja a matriz

115123321

A , determine a matriz Adj A.

Resolução:

Cálculo da matriz cofatora

Pelo exemplo anterior sabemos que a matriz cofatora de A é

4849141721

B .

Cálculo da matriz transposta

4849141721

B e

4978142411

tB

Portanto a tt BAcofAAdj

Logo

4978142411

A Adj .

10 INVERSÃO DE MATRIZES COM AUXÍLIO DA TEORIA DOS DETERMINANTES

Dada a matriz quadrada A=(aij)mxn se 0det A , então existe a inversa de

A e esta é dada por:

tcofA

A A .det

11 ou A .det

11 AdjA

A

Exemplo: Determine a inversa da matriz

3112

A se existir, com o auxilio dos

determinantes.

Resolução:

Cálculo do determinante IF Farroupilha - Campus Alegrete




32

7163112

det

A

Cálculo da matriz cofatora

3112

A ,

2113

2221

1211

AAAA

BAcof

33.)1( 1111 A 1)1).(1(1.)1( 21

12 A

11).1(1.)1( 1221 A 22.)1( 22

22 A

Cálculo da matriz adjunta

tt BAcofAAdj

2113

2113

t

AAdj

Cálculo da inversa da matriz

A .det

1A .det

11 AdjA

cofA

A t

72

71

71

73

2113

.711A

Observações:

1. Uma matriz quadrada que possui seu determinante diferente de zero é

chamada matriz regular ou não-singular. Logo, é inversível.

2. Uma matriz quadrada que possui seu determinante igual a zero é

chamada matriz não regular ou singular. Logo, não é inversível.

(3) Exercícios

1. Se

011213112

A e 1)( 2 xxxf , calcule

Af

det1 .





33

2. Determine a inversa da matriz

xxxx

Asencoscossen

, caso exista.

3. Verifique se matriz

31

06A admite inversa, caso positivo, calcule-a.

4. Calcule x para que exista a inversa da matriz

x

xA12

01233

.

5. Calcular a inversa das matrizes, caso exista:

a)

4132

A b)

751432321

B

11 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1º) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o

determinante dessa matriz é nulo.

Exemplos:

1. 0)000()000(5105142042

13013

051042013

2. 0)000()000(0000035135

21821

000135821

2º) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplos:





34

1.

055)41524()41524(1321342542

13213

213542213

2.

044)6212()2612(1331342242

11111

313242111

3º) Se duas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é

nulo.

Exemplos:

1.

0130130)808030()808030(1051010534834

21221

10105834221

.5 13

LL

2.

05050)80030()08030(05100534834

21221

1005834221

.2 13

CC

4º) Se o elemento de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos

elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Combinações lineares de duas ou mais filas paralelas de um determinante

é uma fila paralela às filas consideradas, representados pela soma dos produtos das

filas por números reais.

Exemplos:

1.

01313)02815()805(431-4-3

5275201101

143

752101

213

CCC





35

2.

077)46360()54565(941-94527-5221321

194752

321 .2 213

LLL

5º) O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de

uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

22123)089()2401(431431221201301

143212

301

222547)0833()4801(4111-411142-1401301

1411214

301 .2 211

CCC

226341)0063()4807(431-4374-07-4-

01301

143074301

.2 322

LLL

6º) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

Seja a matriz

5423

A , calcule det A e det At.

23)8(155423

det

A

23)8(155243

det

tA

Portanto det A=det At.





36

7º) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz,

o determinante fica multiplicado por esse número.

Exemplo:

23)89()2400(430431221201301

043212

301A

46)01618()4800(460461421402302

046214

302.2 11

CC

ou seja, det A=23, como multiplicamos a coluna 1 por 2 o det A fica multiplicado

também por 2, o novo det A=46.

8º) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma

matriz muda de sinal.

Exemplo:

23124)089()2400(430431221201301

043212

301

23241)2400()089(013011221243043

301212

043

23241)0240()809(403401221203103

340212103

9º) Quando em uma matriz os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.





37

Exemplos:

1. 8)000()008(7327342042

01001

273042001

2. 8)000()008(0020040240

71171

200240171

10º) O determinante do produto das matrizes A e B é igual ao produto do

determinante A pelo determinante B, ou seja ).det(det.det BABA .

Exemplo:

Sejas as matrizes

4321

A e

8315

B .

35271711

323121516165

8315

.4321

.BA

7445938535271711

).det( BA

2644321

det A 373408315

det B

).det(7437).2(det.det BABA

11º) Multiplicando-se a matriz A de ordem n pelo número real k obtém-se a matriz

k.A, de modo que AkAk n det.).det( .

Exemplo:

Seja a matriz

4231

A de ordem 2 e k=2.

8462

4231

.2.Ak

824168462

).det( Ak





38

2644231

det A

8)2.(4)2.(2det. 2 Ak n ,

portanto AkAk n det.).det(

(4) Exercícios

1. O determinante de uma matriz é 36. Se multiplicarmos a segunda linha dessa

matriz por 2 e dividirmos sua primeira coluna por 9, o determinante da nova matriz

será:

a) 72 b) 4 c) 8 d) 162 e) –162

2. Dada a matriz

124212213

A , calcule o determinante de 3A.

3. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que determinante de A0, A2+2A=0,

calcule det A.

4. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, det A=5, calcular o determinante de 2A.

5. Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2, se det A=2 e det B=3, calcule det

(2A3.B3).

6. Sabendo que a matriz A é tal que det A=5, calcule det A-1.

7. Calcule os determinantes através das propriedades, justificando os valores

obtidos:

a) 152311243

b)

84321094196538432

c)

1302280449035102

d)

50003400

92305421





39

8. Se det A=20, calcule det (A)t.

9. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que det A=6

e det B=4, calcule det (A.B).

10. O valor de um determinante de 5º ordem é 42. Se dividirmos a 1º linha por 7 e

multiplicarmos a 1º coluna por 3, o valor do novo determinante será?

11. O determinante de uma matriz quadrada A vale 12. Quando valerá o novo

determinante, se multiplicarmos a 2º linha da matriz por 8 e dividirmos a 3º coluna

por 4?

12. Se A é uma matriz quadrada, At a sua transposta e det A=4, então det At é igual

a:

a) 4 b) 2 c) 1 d) ½ e) ¼

13. Multiplicando-se a 1º linha da matriz A por 2 e a segunda por 3, obtém-se a matriz

B. Se det A=5, então det B é:

a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 30

14. O determinante de uma matriz quadrada é 35. Trocando-se entre si a 1º linha

com a 2º linha e dividindo a 4º coluna por 7, o novo valor do determinante será:

a) 5 b) –5 c) 245 d) –245 e) 8

15. Se 121296321

zyx

, então 321

1296zyx

vale:

a) –4 b) –4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12

16. Se 10312203

cba, então

cba406624

é igual a:





40

a) 40 b) 20 c) –10 d) –20 e) –40

17. Uma matriz A de terceira ordem tem determinante 3. O determinante de 2A é:

a) 6 b) 8 c) 16 d) 24 e) 30

18. Se A é uma matriz quadrada de 4º ordem e det A=6, então det 3A é igual a:

a) 6 b) 12 c) 486 d) 243 e) 81

19. Se A é uma matriz quadrada de terceira ordem e det A=4, desta forma det 2A é

igual a:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

20. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A=5 e

3412

.BA , então

det B é:

a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10


1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e O a matriz nula de ordem n. Então,

a afirmativa correta é a seguinte:

a) Se At é a matriz transposta de A, então det At det A.

b) Se det A0, existe a matriz inversa A-1 e tAcofA

A ) .(det

11 , onde cof A é a matriz

dos cofatores de A.

c) Se A.B=O, então A=O ou B=O.

d) (A-B)2=A2-2AB+B2.

e) Se k, então det (kA)=k(det A), para todo k.

2. Sejam A, B e C matrizes reais 3x3, tais que A.B=C-1, B=2A e det C=8. Então o

valor de |det A| é

a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16





41

3. Analise as afirmativas a seguir.

I. A matriz

)2(240

)1(22

ccxb

aa é inversível se x=2b.

II. Se det (AB)=m, pode-se garantir que existe det A e det B.

III. Se det A=m0 e det B=1/m, então det (AB)=1.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) I, II, III.

4. Seja A matriz 2x2 com determinante não-nulo. Se det A2=det (A+A), então det A

é

a) –4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16

5. Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A=det B0, então

1.

21det BA t é igual a

a) n21 b) ½ c) tAdet

21 d) An det

21 e) n2

6. Dada a matriz

xx

xA

113411

, com x, o intervalo real para o qual det At<0

x é

a) (-, 0[ b) ]0, ) c) [-1, 0[ d) ]0, 2] e) ]-1, 4/3[

7. Considere uma matriz Anxn, onde A=(aij). Pode(m)-se afirmar:

I. AA n det.2.2det 2/ .

II. Se a1j=a2j, 1 j n, então det A=1.

III. Se det A0, então det A.det A-1=1.





42

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) apenas III. e) apenas I e III.

8. Dadas a matrizes quadradas

3212

A ,

1001

I e sendo x um número real,

considere a matriz A-xI.

Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas.

( )

x

xxIA

3212

.

( ) det (A-xI)0 para todo x real.

( ) A-xI é inversível se x1 e x4.

A sequência correta é

a) V – F – F. b) F – V – F. c) V – V – V. d) F – F – V. e) V – F – V.

9. As afirmações a seguir referem-se a matrizes e determinantes. Assinale V nas

verdadeiras e F nas falsas.

( ) A solução da equação 8

1000302211000

x

xx

é 4.

( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e A=kB, com k número real, então

det A=kn(det B).

( ) Se A é uma matriz de ordem mxp e B é uma matriz de ordem qxn, o produto

A.B é definido se p=q e, nesse caso, a ordem da matriz produto A.B será mxn.


a) V – F – V. b) V – F – F. c) F – V – F. d) F – V – V. e) F – F – V.

10. Considere a equação 1010sen10cos1

cos0sen

xx

xx





43

A soma de suas soluções, no intervalo 0 x 2, é igual a

a) -/2 b) 0 c) 1 d) /2 e) 3/2

GABARITOS

(1) 1. –5 2. a)

1,

35S b) 5S c) 5,0S 3.

23,

2S

4. A21= -2 e A22=1 5. a) –3 b) 11 6. a) –3 b) 0 c) 1 7. 3 8. –2 9. –12

10. a) 11 b) –2 c) 2 d) b–a e) 26

(2) 1. –4 2. a) 5 b) 5y2-16 3. a) 15 b) 42 c) 2 d) 0

4. a)

83,0S b) 2,1S 5. 48 6. d 7. D 8. 36 9. 64 10. 4

(3) 1. 43

2.

xxxx

sencoscossen

3.

31

181

061

4.

1" e

34'/ xxxS

5. a)

52

51

53

54

b) Não existe inversa

(4) 1. a 2. 135 3. 16 4. 40 5. 864 6. 51

7. a) 0, 4º propr. b) 0, 2º propr. C) 0, 1º propr. d) -60, 9º propr.

8. 20 9. 24 10. 18 11. 24 12. a 13. e 14. b 15. e

16. e 17. d 18. c 19. d 20. c.

(5) 1. b 2. b 3. c 4. c 5. a 6. e 7. e 8. e 9. d 10. e





44

SISTEMAS LINEARES 1. DEFINIÇÃO

Consideremos uma equação da forma: a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1, onde

a1, a2,a3, ..., an e b são números conhecidos e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis .

Uma equação desse tipo é chamada equação linear de n incógnitas sobre

.

Exemplos: 1. 5x1=40

2. 2x1+x2=12

3. x1+x2+x3=15

4. 3x1-4x2+x3-5x4=10

Nomenclatura: Coeficientes: são os números reais a1, a2,a3, ..., an.

Termo independente: é o número real b1.

Incógnitas: são os números reais x1, x2, x3, ..., xn.

Observação: Não são lineares, por exemplo, as equações:

1. 342 2 yx , pois a incógnita x tem expoente 2. Nas equações lineares, o

expoente de cada incógnita é sempre 1.

2. 032 zyx , pois a incógnita y tem expoente ½ .

3. 32

yx , pois a incógnita y tem expoente –1.

4. 142 zxyx , pois existe um termo com o produto xy. Nas equações lineares,

as incógnitas aparecem isoladamente em cada terno.





45

2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Consideremos a equação linear de n incógnitas sobre :

a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b1

Chama-se solução dessa equação a uma seqüência de n números reais

(1, 2, 3, ..., n) tal que, substituindo-se respectivamente as incógnitas:

x1 por 1, x2 por 2, x3 por 3, ..., xn por n

obtém-se a igualdade verdadeira:

a11+a22+a33+...+ann=b1

Exemplos: 1. O par (5,3) é solução da equação:

2x+4y=22, pois 2.5+4.3=22.

2. A ordenada (1,2,0,3) não é a solução da equação: 3x+2y-5z-t=32, pois 3.1+2.2-5.0-3=432.

3. EQUAÇÕES LINEARES

É toda a equação da forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b, onde:

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas

Exemplos: 1. 3x1+5x2=4 , equação linear de 2 incógnitas;

2. 3x+2y-z=1, equação linear de 3 incógnitas;

3. x+y+z-t=-1, equação linear de 4 incógnitas.





46

Observações: 1. Observe que os expoente das incógnitas são iguais a um;

2. Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação linear denomina-se

equação linear homogênia, por exemplo 5x-3y=0;

3. Uma equação linear não apresenta termos da forma x2, xy, x½, ..., isto é, cada

termo da equação linear tem uma incógnita, cujo expoente é sempre 1.

4. A solução de uma equação linear an incógnitas é a sequência de números reais,

(1, 2, 3, ..., n) que colocamos respectivamente no lugar de x1,x2,x3, ...xn, que

tornam verdadeira a igualdade dada.

(1) Exercícios

1. Ache duas soluções de equação –x1+x2=0.

a) x1=-3 b) x1=1

2. Determine “m” para que (-1, 1, -2) seja solução da equação mx+y-2z=6.

3. Dada a equação 132

yx ache para que (, +1) torne a sentença verdadeira.

4. SISTEMAS LINEARES

4.1 Definição

Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais

equações lineares.

Exemplos:

1.

2342

1 yxyx

SL SL1 é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas.

2.

12

0322 zyx

zyxSL SL2 é um sistema linear de duas equações e três incógnitas.





47

3.

628123

2

3

yxyx

yxSL SL3 é um sistema linear de três equações e duas incógnitas.

Um sistema linear de m equações (m 2) de n incógnitas (x1, x2, x3, ...,

xn) pode ser assim escrito:

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

bxaxaxaxa

SL

. . .. . . . . . . . . . . . . . .

. . .

. . .. . .

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Veja que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois

índices: o primeiro representa a equação e o segundo representa a incógnita à qual

o coeficiente pertence. Por exemplo:

a23 representa, na 2º equação, o coeficiente de x3.



4.2 Solução e conjunto solução de um sistema linear

Já sabemos em que condições uma sequência de números reais (1, 2,

3, ..., n) é a solução de uma equação linear de n incógnitas.

Para que uma sequência de números reais seja solução de um sistema

linear de m equações a n incógnitas, ela deve ser, simultaneamente, solução de

todas as m equações desse sistema.

Exemplos:

1. Considere este sistema linear:

4273

yxyx





48

Neste sistema de duas equações a duas incógnitas, toda solução é um

par ordenado (pois são duas as incógnitas). Veja que o par ordenado (1, 2) é a

solução do sistema, pois:

421.272.31

.

2. Considere o sistema linear:

06

zyxzyx

Como agora temos três incógnitas, cada solução será uma terna

ordenada de números. Veja que as ternas (3, 1, 2) e (3, 3, 0) são soluções do

sistema, pois:

00336033

e 02136213

.

O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto formado

por todas as soluções desse sistema.

Se o conjunto ordenado de números reais (1, 2, 3, ..., n) satisfazer

todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.

Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo,

isto é, b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo.

Exemplo:

03250402

zyxzyxzyx

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x=y=z=0. Esta

solução chama-se solução trivial do sistema linear homogêneo. Outra solução, onde

as incógnitas não são todas nulas, será chamada solução não trivial.





49

0. . .. . . . . . . . . . . . . . . 0. . .0. . .

0. . .

332211

3333232131

2323222121

1313212111

nmnmmm

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxaxaxaxaxa

xaxaxaxa

Solução trivial: x1=x2=x3=...=xn=0

Solução não trivial: qualquer outra solução as incógnitas não são todas

nulas. (2) Exercícios

1. Seja o sistema

2

52032

zyxzyxzyx

S

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução do sistema.

b) Verifique se (0, 0, 0) é a solução do sistema.

2. Seja o sistema

3293 2

kyxkyx , calcule k para que o sistema seja homogêneo.

5. SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES

Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles são

ditos sistemas equivalentes.

Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:

521

yxyx

e

2

1mynxnymx





50

Resolução:

Cálculo do x e y:

1121

2 x63x 521

yyyxyxyx

Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem:

155 442

12

)2.(2212

nnnm

nm

mnnm

00211212 mmmnm

Portanto n=1 e m=0.

(3) Exercícios

1. Verifique se os sistemas

752

1 yxyx

S e

93

1152 yx

yxS são equivalentes.

2. Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:

20

yxyx

e

11

aybxbyax

6. EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução

de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear:

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

bxaxaxaxa

. . .. . . . . . . . . . . . . . .

. . .

. . .. . .

332211

33333232131

22323222121

11313212111





51

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

x

aaa

aaaaaa

.

.

.

.

.

.

.....................

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

(1) (2) (3)

(1) matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas;

(2) matriz coluna constituída pelas incógnitas;

(3) matriz coluna dos termos independentes.

Exemplo: Represente o seguinte sistema na forma matricial:

8271634

052

zyxzyx

zyx

Resolução:

Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:

81

0

217634152

zyx

x

Observe que se efetuarmos a multiplicação iremos obter o sistema dado.

Observação:

Seja o sistema

252

yxyx

1. Matriz completa: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos

termos independentes.

211512

2. Matriz incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

1112





52

3. Matriz das incógnitas: é a matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema.

yx

4. Matriz dos termos independentes: é a matriz coluna formada pelos termos

independentes do sistema.

25

(4) Exercícios

1. Expresse matricialmente os sistemas:

a)

0352

yxyx

b)

2530

12

cbaca

cba

2. A expressão matricial de um sistema S é

74

1352

ba

x , determine as

equações de S.

3. Dados os sistemas, obtenha as matrizes completas associadas:

a)

18323xyxy

b)

yzxzyx

yxzyx

2322362

461485

4. Dadas as matrizes completas, escrever os sistemas a elas associados:

a)

63392113

b)

312013201532





53

7 SISTEMA LINEAR NORMAL

É um sistema linear de n equações e n incógnitas em que o determinante

da matriz dos coeficientes das incógnitas é diferente de zero.

Considere os seguintes sistemas:

a)

1

521 yx

yxS , S1 é um sistema normal, pois 0

1112

b)

532

42 zyx

zyxS , S2 não é um sistema normal, porque o número de

equações é diferente do número de incógnitas.

c)

3212

172542

3

zyx

zyxzyx

S , S3 não é um sistema normal pois 0

2121721

421 .

Resumo:

0 .

º º .

incógnitasdascoefmatrizincógnitasnequaçõesn

NormalLinearSist

(5) Exercícios

1. Verifique se os sistemas abaixo são normais:

a)

425232

1

zyxzyx

zyx b)

9430

832

yxzyx

zyx

2. Determine os valores de k (k), para que os sistemas sejam normais:

a)

194732

1

2 zyxkzykx

zyx b)

kyxkkyxk

312)1(24)1(





54

8 REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema

linear normal. Consideremos o sistema de “n” equações lineares a “n” incógnitas.

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.... . ... . .

......

2211

22222121

11212111

Consideremos os seguintes determinantes, cujas matrizes são formadas

com os coeficientes do sistema dado:

a) Determinantes dos coeficientes:

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

22221

11211

b) Determinantes das incógnitas:

mnmn

n

n

aab

aabaab

x

...............

...

...

2

2222

1121

1

x1 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos

coeficientes x1 pela coluna dos temos independentes.

mnnm

n

n

aba

abaaba

x

...............

...

...

1

2221

1111

2

x2 é o determinante obtido de , substituindo-se a coluna dos

coeficientes x2 pela coluna dos temos independentes.





55

E assim sucessivamente, até xn

nmm

n

baa

baabaa

x

...............

...

...

21

22221

11211

Para obtermos sua solução, calculamos:

1º) () determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis

do sistema.

2º) (x1, x2, ..., xn) determinantes das matrizes obtidas a partir de ,

substituindo a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do

sistema.

3º) A solução do sistema linear é dada por:

..., , , 22

11

nn

xx

xx

xx .

Exemplo: Encontrar a solução do sistema

0372

yxyx

.

Resolução:

76113

21

710

27

x 1

77

xx

210371

y 3721

yy

S={(1,3)}





56

(6) Exercícios

1. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.

a)

43252

yxyx

b)

93143

yxyx

c)

3233932

22

zyxzyx

zyx d)

63232

cbacbacba

e)

2223103

342

zyxzyxzyx

f)

0305

010

zyzxyx

9 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Seja o sistema linear de “n” equações a “n” incógnitas.

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.... . ... . .

......

2211

22222121

11212111

Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou indeterminado.

Utilizando a Regra de Cramer, temos:

..., , , 22

11

nn

xx

xx

xx .

Sistema possível ou compatível (quando admite solução):

Sistema possível determinado (admite uma única solução), 0.

Sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções),

0...21 nxxx .

Sistema impossível ou incompatível (quando não admite soluções),

=0 e pelo menos um dos xn0.





57

Exemplos:

1. Encontrar a solução do sistema

123

yxmyx

.

Resolução:

mm

311

3, m

mx

2

112

, 1231123

y

Discussão:

0:

S.P.D.: 0, -3-m0, m-3.

S. P. I.: Não existe m, pois y0

=0

S.I: =0, m=-3 e y0.

2. Determine m, de modo que o sistema

40

2

zyxzmyx

yx seja impossível ou

incompatível.

Resolução:

1111

11011

mm 62

11410012

mmx

4141

101021

y 6641101211

mmz

Fazendo =0 -m-1=0 m=-1.

x=0 2m-6=0 m=-3.

z=0 6m+6=0 m=-1.

Sendo y=-40 quando =0 ou seja m=-1; o sistema é impossível, pois

para m=-1 teremos: 04

x (impossível), 04

y (impossível) e 00

z

(indeterminado) IF Farroupilha - Campus Alegrete




58

3. Discuta e resolva o sistema

1423122

263

zyxzyx

zyx.

Resolução:

0423

212631

Se =0, o sistema pode ser: S.P.I.? ou S.I.?

0421

211632

x , 0

413212621

y , 0

123112231

z

Sendo =x=y=z=0, logo o sistema é S.P.I.. Vamos agora descobrir a

sua solução geral. Fazendo z=k e usando as duas primeiras equações, vamos obter

um sistema 2x2 de incógnitas x e y, onde 0.

kyxkyx

kyxkyx

212623

122263

Temos: =5, x=-5, y=10k+5

155

xx e 12

5510

kkyy

Portando a solução geral é {(-1, 2k+1,k)}.

(7) Exercícios

1. Classifique e resolva os sistemas:

a)

12342

yxyx

b)

4

822yx

yx c)

1223

yxyx

2. Discuta os sistemas:

a)

myx

ymx 2 b)

21

yxykx





59

3. Determine k para que o sistema indicado seja determinado:

523

5

kyxkyx

yx

4. Calcule os valores de a para que o sistema

04123

yaxyx

seja compatível e

determinado.

5. Determine a e b para que o sistema

byxayx44

126 seja indeterminado.

6. Discutir e resolver o sistema

37342523

12

zyxzyx

zyx.

10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Como já vimos, um sistema linear homogêneo é formado por equações

cujos termos independentes são todos nulos.

Todo o sistema linear homogêneo é sempre possível pois admite a

solução (0, 0, 0), chamada solução trivial.

Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre x1=0, x2=0,

..., xn=0 (pois sempre uma coluna será toda zero, logo, pela propriedade, o

determinante é nulo). Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo

é suficiente o estudo dos determinantes das incógnitas.

Sistema possível determinado, 0 (o sistema admite a solução trivial

e sem soluções próprias).

Sistema possível e indeterminado, =0 (o sistema admite a solução

trivial e soluções próprias).





60

Exemplos:

1. Verifique se o sistema

0

023yx

yx é determinado (0) ou indeterminado (=0).

Resolução:

051123

S.P.D, como 0, o sistema é determinado.

2. Calcule o valor de m para que o sistema

000

zyxmzyx

zyx tenha somente a solução

trivial.

Resolução:

Para que o sistema tenha somente a solução trivial, isto é, seja

determinado, é necessário que 0.

221111111

11111

mmmm

1 022 mm

1/ mmS .

3. Calcule o valor de a para que o sistema

00

ayaxyax

tenha soluções diferentes da

trivial.

Resolução:

Para ter soluções diferentes da trivial o sistema tem que ser possível e

indeterminado, isto é, =0.

11 2 aaaaaa

a





61

101

00

aaa

Portanto {0,1}.

(8) Exercícios

1. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.

a)

086043

yxyx

b)

030422

0

zyxzyx

zyx c)

040302

yxzyxzyx

2. Determine m para que o sistema

023054032

zmyxzyxzyx

tenha soluções próprias.

3. Calcule o valor de , para que o sistema

0100

zyxzyxzyx

admita soluções

distintas de (0, 0, 0).

4. Qual deve ser o valor de k para que o sistema

03253

kzxzyxyzx

admita somente a

solução nula?

5. Classifique e resolva os sistemas:

a)

014042032

zxzyxzyx

b)

096064

yxyx

c)

0420

053

zyxzyx

zyx





62

11 SISTEMAS ESCALONADOS

11.1 Definição

Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o número

e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar de equação a

equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no final, equações

com todos os coeficientes das incógnitas nulos.

Exemplos:

1.

100520

4

1

zyxzyx

zyxS 2.

5500083200

5202

2

tzyxtzyx

tzyxtzyx

S

11.2 Método da eliminação gaussiana

Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja equivalente

e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é também chamado de método de escalonamento parcial.

Exemplos:

1.

22z 3z2y 423

1

zyxS 2.

3 22 12

62

2

ttztzy

tzyx

S

Procedimentos para escalonar um sistema: 1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da

primeira variável diferente de zero;

2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os coeficientes

da primeira variável das demais equações;

3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira

equação;

4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se

torne escalonado,





63

Exemplos: 1. Resolver o sistema

505724745654663

zyxzyxzyx

.

Resolução:

505724745654663

zyxzyxzyx

3 6 6 54

6 5 4 47

2 7 5 50

1º) Multiplicar a primeira equação por (-2) e adicionar com a segunda

equação, substituindo nesta:

5057261870

54663

zyxzyxzyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

2 7 5 50

2º) Multiplicar a primeira equação por (-2/3) e adicionar com a terceira


143061870

54663

zyxzyxzyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

0 3 1 14

3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira


786

71700

6187054663

zyx

zyxzyx

3 6 6 54

0 -7 -8 -61

0 0 -17/7 -85/7





64

O sistema escalonado é:

)()()(

786

717

6187 54663

IIIIII

z

zyzyx

De (III), obtemos 5z . Substituindo 5z em (II), obtemos 3y e

substituindo esses valores em (I), teremos 2x .

Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}.

2. Resolver o sistema

733822542

zyxzyxzyx

.

Resolução:

1 2 4 5

2 -1 2 8 212 2 LLL

3 -3 -1 7 313 3 LLL

1 2 4 5

0 -5 -6 -2 22 )5/1( LL

0 -9 -13 -8

1 2 4 5

0 1 -6/5 -2/5

0 -9 -13 -8 323 9 LLL

1 2 4 5

-22/511/5z- -2/56/5z-1y

42 zyx 0 1 -6/5 -2/5

0 0 -11/5 -22/5

Logo 2z . Substituindo z na 2º equação, obtemos 2y , e substituindo

os valores anteriores na 1º equação obteremos 1x .

Portanto S={(1, -2, 2)}.





65

(9) Exercícios

1. Escalone e resolva os seguintes sistemas:

a)

12262

92

zyxzyx

zyx b)

2220223

zyxzyxzyx

c)

3433234

12

zyxzyx

zyx

d)

4320

yxyx

e)

10351642

2

zyxzyx

zyx f)

231

zyzxyx

2. Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:

a)

35253

yxyxyx

b)

32432

0

yxyx

yx c)

82225

26

yxyx

yxyx

d)

12

13zyx

zyx e)

525123

2132

yxzx

zyxzyx

f)

73213

yxyxyx


1. Dado o sistema de equações lineares

11

zyxzyx

zyx

com , , então,

a) se -1, o sistema é possível e determinado.

b) se =-1 e 1, o sistema é possível e determinado.

c) se -1, o sistema é impossível.

d) se -1 e =1, o sistema é possível e indeterminado.

e) se =-1 e =1, o sistema é possível e determinado.





66

2. Sejam a e b números reais tais que o sistema

btztzyx

atzyxzyx

342263

12

admita

solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,

a) –2 e 8 b) 8 e 5 c) 5 e 8 d) 5 e –2 e) –2 e 5

3. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

045033022

0

tzyxzyxtzx

tzyx

então, pode-se afirmar que o sistema é

a) impossível.

b) possível e determinado.

c) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta

ordem, uma progressão aritmética.

d) possível e qualquer solução (x, y, z, t) é tal que os números x, y, z, formam, nesta

ordem, uma progressão geométrica.

e) possível, porém não admite a solução nula.

4. Dado o sistema

210

2

tzxtyxzyx

tzyx

os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que

satisfazem o sistema,

a) formam uma P.G. crescente. b) formam uma P.G. decrescente.

c) formam uma P.A. decrescente. d) formam uma P.A. crescente.

e) são todos iguais.





67

5. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

7522)1(

442

zyxzyx

zyx

Então pode-se afirmar que

a) existem exatamente dois valores reais de para os quais o sistema não tem

solução.

b) existe um único valor real de para o qual o sistema admite infinitas soluções.

c) o sistema não tem solução para todo .

d) o sistema não tem solução para =½.

e) o sistema admite solução para todo ½.

6. Considere as afirmativas referentes ao sistema

2)1(00203

12

zkyxzyx

zyx onde x, y, z,

k, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) Se k1/3, o sistema é possível e determinado.

( ) Se k=1/3, o sistema é impossível.

( ) Se k=1/3, o sistema é possível e indeterminado.


a) V – F – V. b) F – V – F. c) V – V – F. d) V – F – F. e) F – F – V.

7. O valor da expressão zyxA ).2( , onde x, y e z são soluções do sistema

16662624

132

zyxzyx

zyx é

a) 3

32 b) 3

32 c) 0 d)

32 e)

32





68

8. Assinale V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, com referência ao sistema

linear

123

11111111

zyx

a

a, com a0.

( ) a

a

a

a12

11111111

det

.

( ) Se 21

aa , então o sistema é possível e indeterminado.

( ) Se 21

aa , então o sistema é impossível.


a) V – F – V. b) F – V – F. c) F – V – V. d) V – F – F. e) V – V – F.

9. sistema linear

523223

221

zyxzyx

zyxzyx

a) é possível e determinado. b) é possível e indeterminado.

c) é impossível. d) tem a soma de suas soluções igual a 2.

e) tem o produto de suas soluções igual a 3.

10. Considere o sistema linear

bazyzy

zyx

4432

12 onde a e b são números reais.

Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.

( ) Se a=-6, o sistema é impossível qualquer que seja b.

( ) Se b8, o sistema tem infinitas soluções qualquer que seja a.

( ) Se a-6, o sistema é possível e determinado qualquer que seja b.


a) V – V – F. b) V – V – V. c) V – F – V. d) F – F – V. e) F – V – F.





69

GABARITOS

(1) 1. a) x2= -3 b) x2= 1 2. m= -1 3. 54

.

(2) 1. a) é solução b) não é solução 2. K= -3

(3) 1. São equivalente 2. b=1; a=0

(4) 1. a)

0

531

12yx

b)

201

153101112

cba

2.

73452

baba

3. a)

1823

013 b)

322162324011

14685

4. a)

633923

zyxzyx

b)

3203

2532

yxyx

xyx

(5) 1. a) É SLN b) Não é SLN 2. a) 3 e 2/ kkkS b)

31/ kkS

(6) 1. a) 2,1S b) 2,3S c) 3,2,1S d)

59,

512,

59S

e) 1,32 S f) 1,4,6S

(7) 1. a) S.P.D.; 2,1S b) S.P.I.; kkS ,4 c) S.I.

2. a) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1 b) S.P.D. se m -1 e S.I. se m= -1

3. k=1 ou k=15 4. a -6 5. a=6 e b=8 6. S.P.I.; kkkS ,1,

(8) 1. a) S.P.I. b) S.P.I. c) S.P.D. 2. m=133 3. =1

4. k -1 5. a) kkkS ,9,14 b)

kkS ,

23 c) kkkS ,2,

(9) 1. a) 3,1,2 S b)

kkkS ,542,

534 c) S d)

54,

54S

e) 2,3,1 S f) 2,0,1S 2. a) 1,4S b) S c) 2,4S

d)

kkkS ,5

3,524 e)

kkkS ,355,

321 f) S

(10) 1. a 2. e 3. c 4. d 5. b 6. c 7. a 8. d 9. c 10. d





70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALD, Atelmo Aloisio, COGO, Sandra E. Vielmo. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares. Caderno Didático – Santa Maria: UFSM, CCNE, Departamento de Matemática, 1997. Currículo Básico do PEIES. Universidade Federal de Santa Maria. Programa de Ingresso ao Ensino Superior. V. 5, Santa Maria, 1999 DECISAÔ PRÉ-VESTIBULAR. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1997, não paginado. ESCOLA ESTADUAL DE 2º GRAU CILON ROSA. Matrizes, Determinantes, Sistemas de equações Lineares e Análise Combinatória. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 1999, 108 p. FÓTON VESTIBULARES. Matemática. Polígrafo – Santa Maria [s.n.], 2000, não paginado. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R. Matemática. V. 2, Editora FTD S.A., São Paulo, 1992. IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN, D., PÉRIGO, R. Matemática. Volume Único, Editora Atual, São Paulo, 2002. SILVA, J. D., FERNANDES, V. dos S., MABELINI, O. D. Matemática: Novo Ensino Médio – Volúme Único Curso Completo. Sistema de Ensino IPEP, São Paulo, 2002.

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