matsisv1011

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Apontamentos de

Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Escola Superior de Tecnologia de SetúbalDepartamento de Matemática

Ano Lectivo de 2010/2011

Nota Prévia

Os presentes apontamentos destinam-se aos alunos da unidade curricular de ALGA leccionadanos cursos de Engenharia da EST Setúbal/IPS. Foram originalmente baseados no capítulo 4do livro “Álgebra Linear” da autoria de Carlos Luz, Ana Matos e Sandra Nunes, editado pelaEST Setúbal em 2003. Ao longo dos últimos anos, têm sido adaptados a novos contextoscurriculares e sofrido diversos melhoramentos, os quais têm sido levados a cabo por Carlos Luzcom a colaboração de Cristina Almeida e Paula Pereira. São também de assinalar as sugestõesdadas por vários outros colegas que, assim, têm contribuído para a melhoria deste instrumentode estudo dos alunos. Neste ano lectivo, os anteriormente designados exercícios suplementarescoligidos por Carla Rodrigues foram incorporados na secção de exercícios propostos.

Índice

1 Definição de Matriz. Matrizes Especiais. 3

2 Operações com Matrizes. Matriz Inversa 62.1 Adição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Propriedades da adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Multiplicação de Matrizes por um Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Propriedades da multiplicação de um escalar por uma matriz . . . . . . . 82.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Propriedades da multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Potência de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Exercícios Resolvidos 16

4 Dependência e Independência Linear de Linhas e Colunas 18

5 Característica e Operações Elementares 23


7 Sistemas de Equações Lineares 307.1 Resolução de Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Inversão de Matrizes 41


10 Exercícios Propostos 46

11 Soluções dos Exercícios Propostos 53

2 ALGA—Ano Lectivo 2010/2011

1 Definição de Matriz. Matrizes Especiais.

Intuitivamente, uma matriz é uma tabela onde se dispõem elementos dum dado conjunto. Estu-daremos a seguir as matrizes formadas por elementos do conjunto dos números reais. Em estudosposteriores, há necessidade de considerar matrizes cujos elementos são números complexos. Denotar contudo que as definições e propriedades que veremos são igualmente válidas neste caso.

Definição 1.1 Uma matriz de tipo m×n é um quadro com mn números reais dispostos em mlinhas e n colunas.

Seja A uma matriz de tipo m× n. Representa-se por aij o elemento de A situado na linha ie na coluna j, isto é, na posição (i, j) da matriz. Assim, representa-se a matriz A por

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

......

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ou, abreviadamente, por

A = [aij ]1≤i≤m1≤j≤n

,

ou apenas porA = [aij ] ,

se não houver risco de confusão. É também costume designar aij por elemento genérico damatriz A.

Uma matriz diz-se quadrada de ordem n se m = n, isto é, se tiver igual número de linhase de colunas. Se m 6= n, então diz-se uma matriz rectangular.

Se m = 1, isto é, se a matriz tiver uma só linha, estamos perante uma matriz linha. Cason = 1, isto é, se a matriz tiver uma só coluna, a matriz designa-se por matriz coluna.

Exemplo 1.1 A matriz

A =

⎡⎣ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎤⎦é uma matriz quadrada de ordem 3. Por outro lado,

B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

132537

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦é uma matriz coluna e

C =£2 4 5

¤é uma matriz linha.


Consideremos uma matriz quadrada de ordem n:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

......

......

...an1 an2 · · · anj · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

Os elementos a11, a22, a33, . . . , ann da matriz quadrada dizem-se elementos principais oudiagonais e formam a diagonal principal. Os elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1 formama diagonal secundária.

Uma matriz quadrada A = [aij ] diz-se triangular superior se aij = 0 sempre que i > j,isto é, se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Se aij = 0 sempre quei < j, isto é, se todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, então a matriz diz-setriangular inferior.

Exemplo 1.2 Dadas

A =

⎡⎣ 0 3 20 1 50 0 3

⎤⎦ e B =

⎡⎣ 2 0 01 0 010 5 3

⎤⎦ ,tem-se que A é uma matriz triangular superior e B é uma matriz triangular inferior.

Uma matriz quadrada diz-se diagonal se aij = 0 sempre que i 6= j, ou seja, todos oselementos fora da diagonal principal são nulos. Uma matriz quadrada A = [aij ] diz-se escalarse for diagonal e os elementos principais forem todos iguais a um escalar λ, isto é,

aij =

½λ se i = j0 se i 6= j

.

Exemplo 1.3 A matriz

⎡⎣ 2 0 00 7 00 0 8

⎤⎦ é diagonal enquanto⎡⎣ 2 0 00 2 00 0 2

⎤⎦ é escalar.A matriz escalar de ordem n em que os elementos principais são iguais a 1 designa-se por

matriz identidade de ordem n e representa-se por In.Sendo i e j números naturais, dá-se a designação de símbolo de Kronecker à variável δij

definida por

δij =

½1 se i = j0 se i 6= j

.

Utilizando este símbolo, pode representar-se uma matriz escalar por A = [λδij ] . Em particular,a matriz identidade de ordem n representa-se por In = [δij ].


Exemplo 1.4 As matrizes seguintes,

I2 =

∙δ11 δ12δ21 δ22

¸=

∙1 00 1

¸,

I3 =

⎡⎣ δ11 δ12 δ12δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33

⎤⎦ =⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 1

⎤⎦ e I4 =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⎤⎥⎥⎦ ,constituem, respectivamente, as matrizes identidade de ordens 2, 3 e 4.

Uma matriz A = [aij ] de tipo m × n diz-se nula se todos os seus elementos são nulos, istoé, aij = 0, para quaisquer i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Daqui em diante, representaremos umamatriz nula de tipo m× n por Om×n ou simplesmente pela letra O.

Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] de tipo m × n são iguais se e só se aij = bij , paraquaisquer i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. De forma mais sugestiva, diz-se que duas matrizes sãoiguais se e só se os seus elementos homólogos forem iguais.

Exemplo 1.5 As matrizes A =∙1 04 3

¸e B =

∙1 0

4√9

¸são iguais. A haver alguma dúvida,

ela residiria nos elementos homólogos a22 = 3 e b22 =√9 que, evidentemente, são iguais.

Chama-se oposta duma matriz A = [aij ] do tipom×n à matriz B = [bij ] do mesmo tipo, talque aij = −bij, para quaisquer i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. A matriz oposta de A representa-sehabitualmente por −A = [−aij ].

Exemplo 1.6 A matriz A =

⎡⎣ 2 −8 04 7 3−6 5 8

⎤⎦ tem oposta

−A =

⎡⎣ −2 8 0−4 −7 −36 −5 −8

⎤⎦ .Chama-se transposta da matriz A = [aij ] do tipom×n à matriz B = [bij ], do tipo n×m, tal

que bij = aji, para quaisquer i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. A matriz transposta de A representa-sehabitualmente por AT . Verifica-se, evidentemente, que¡

AT¢T= A (1)

e que a transposta de uma matriz linha é uma matriz coluna e a transposta de uma matrizcoluna é uma matriz linha.

Exemplo 1.7 A matriz A =

⎡⎣ 2 43 04 8

⎤⎦ tem por transposta

AT =

∙2 3 44 0 8

¸.


Por outro lado, a matriz linha A =£2 4 5

¤tem por transposta a matriz coluna AT =⎡⎣ 24

5

⎤⎦.Uma matriz A diz-se simétrica se é igual à sua transposta, isto é, se

A = AT .

Uma matriz simétrica é sempre uma matriz quadrada. Com efeito, se A é do tipo m× n, AT édo tipo n×m. Como, por definição de matriz simétrica, A = AT , conclui-se que m = n. Alémdisto, sendo A = [aij ], tem-se aij = aji, isto é, os elementos que ocupam posições simétricasrelativamente à diagonal principal são iguais. Exemplificando, a matriz⎡⎣ 2 1 5

1 7 25 2 8

⎤⎦é simétrica.

Uma matriz A diz-se anti-simétrica se A = −AT . Uma matriz anti-simétrica é sempreuma matriz quadrada e, se A = [aij ], tem-se

A = −AT ⇔ aij = −aji,∀(i, j).

Sendo i = j, obtém-se aii = −aii o que implica aii = 0. Conclui-se que numa matriz anti-simétrica os elementos da diagonal principal são nulos e os elementos colocados simetricamenteem relação à diagonal principal são simétricos. Como exemplo de matriz anti-simétrica, temos:⎡⎣ 0 1 4

−1 0 3−4 −3 0

⎤⎦ .2 Operações com Matrizes. Matriz Inversa

2.1 Adição de Matrizes

Definição 2.1 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes de elementos reais de tipo m × n.Chama-se soma de A e B à matriz C = [cij ], de tipo m × n, cujo elemento genérico écij = aij + bij. Escreve-se então C = A+B.

Exemplo 2.1 Dadas as matrizes

A =

∙2 3 44 0 8

¸e B =

∙6 −5 43 9 18

¸,

a soma de A e B é a matriz

C = A+B =

∙8 −2 87 9 26

¸.


2.1.1 Propriedades da adição de matrizes

Listam-se seguidamente as propriedades básicas da adição de matrizes. As primeiras quatrodeduzem-se das propriedades da adição de números reais, sendo a última consequência da defi-nição de matriz transposta.

Proposição 2.1 São válidas as seguintes propriedades:

(a) A adição de matrizes é comutativa, isto é, A+B = B +A, para quaisquer matrizes A e Bdo mesmo tipo.

(b) A adição de matrizes é associativa, isto é, A + (B + C) = (A+B) + C, para quaisquermatrizes A, B e C do mesmo tipo.

(c) A adição de matrizes tem elemento neutro, isto é, para cada tipo de matrizes, existe umamatriz nula O desse tipo tal que, qualquer que seja a matriz A do tipo considerado, A+O =O +A = A.

(d) A adição de matrizes tem elemento simétrico, isto é, para qualquer matriz A, existe umamatriz oposta −A do mesmo tipo, tal que A+ (−A) = (−A) +A = O.

(e) A transposta da soma de matrizes é igual à soma das transpostas, isto é,

(A+B)T = AT +BT ,

quaisquer que sejam A e B matrizes do mesmo tipo.

2.2 Multiplicação de Matrizes por um Escalar

Definição 2.2 Seja A = [aij ] uma matriz de elementos reais de tipo m×n e λ um escalar real.Chama-se produto do escalar λ pela matriz A, à matriz do mesmo tipo que se representapor λA e cujo elemento genérico é λaij, isto é, a matriz que se obtém de A multiplicando todosos seus elementos por λ.

Exemplo 2.2 Sendo A =∙2 3 44 0 8

¸e λ = 4, tem-se

λA = 4

∙2 3 44 0 8

¸=

∙8 12 1616 0 32

¸,

enquanto, para λ = −12 , vem

λA = −12A =

∙−1 −32 −2−2 0 −4

¸.


2.2.1 Propriedades da multiplicação de um escalar por uma matriz

Listam-se seguidamente as propriedades básicas da multiplicação escalar. As primeiras quatrodeduzem-se das propriedades da multiplicação de números reais e a última é consequência dadefinição de matriz transposta.

Proposição 2.2 Sejam A e B matrizes de tipo m× n e λ e μ escalares quaisquer. Então, sãoválidas as seguintes propriedades:

(a) λ(A+B) = λA+ λB;

(b) (λ+ μ)A = λA+ μA;

(c) (λμ)A = λ(μA);

(d) 1A = A; (−1)A = −A; 0A = Om×n.

(e) (λA)T = λAT .

2.3 Multiplicação de Matrizes

Definição 2.3 Duas matrizes A e B dizem-se encadeadas se A é do tipo m×n e B é do tipon× p, isto é, se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

Exemplo 2.3 As matrizes

A =

∙2 3 44 0 8

¸e B =

⎡⎣ 2 0 00 7 00 0 8

⎤⎦são encadeadas.

Definição 2.4 Sejam A = [aij ] e B = [bij ] duas matrizes encadeadas de elementos reais de tiposm × n e n × p, respectivamente. Chama-se produto da matriz A pela matriz B à matrizC = [cij ] de tipo m×p, cujo elemento genérico cij se obtém somando os produtos dos elementosda linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B, isto é,

cij = ai1b1j + · · ·+ aikbkj + · · ·+ ainbnj =nX

k=1

aikbkj,

com i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , p. Escreve-se, então, C = AB.

Resulta da definição que o elemento genérico cij da matriz C = AB pode ser encarado comoo produto da matriz linha formada pelos elementos da linha i de A pela matriz coluna formada


pelos elementos da coluna j de B, isto é,

cij =£ai1 · · · aik · · · ain

¤| {z }linha i de A

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣b1j...bkj...bnj

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦| {z }

coluna j de B

= ai1b1j + · · ·+ aikbkj + · · ·+ ainbnj =nX

k=1

aikbkj .

Por outro lado, é evidente que o produto C = AB tem o mesmo número de linhas que a matrizA e o mesmo número de colunas que a matriz B, isto é, AB é do tipo m×p. Esquematicamente:

(m× n) vezes (n× p) = (m× p).

Exemplo 2.4 Para A =

⎡⎣ 4 5 3 21 2 4 56 0 1 9

⎤⎦ e B =

⎡⎢⎢⎣0 18 94 56 3

⎤⎥⎥⎦ tem-se

C = AB =

⎡⎣ 4 5 3 21 2 4 56 0 1 9

⎤⎦| {z }

(3×4)

⎡⎢⎢⎣0 18 94 56 3

⎤⎥⎥⎦| {z }(4×2)

=

⎡⎣ 4× 0 + 5× 8 + 3× 4 + 2× 6 4× 1 + 5× 9 + 3× 5 + 2× 31× 0 + 2× 8 + 4× 4 + 5× 6 1× 1 + 2× 9 + 4× 5 + 5× 36× 0 + 0× 8 + 1× 4 + 9× 6 6× 1 + 0× 9 + 1× 5 + 9× 3

⎤⎦=

⎡⎣ 64 7062 5458 38

⎤⎦| {z }

(3×2)

.

2.3.1 Propriedades da multiplicação de matrizes

Vejamos algumas propriedades da multiplicação de matrizes.

Proposição 2.3 A multiplicação de matrizes é associativa, isto é,

(AB)C = A(BC)

em que A = [aij ] é do tipo m× n, B = [bij ] do tipo n× p e C = [cij ] do tipo p× q.


Demonstração. As matrizes (AB)C e A(BC) são ambas do tipo m × q e considerando D =[dij ] = (AB)C, E = [eij ] = A(BC), AB = [fij ] e BC = [gij ], resulta

dij =

pXk=1

fikckj =

pXk=1

ÃnX

s=1

aisbsk

!ckj =

pXk=1

nXs=1

aisbskckj

e

eij =nX

s=1

aisgsj =nX

s=1

ais

ÃpX

k=1

bskckj

!=

nXs=1

pXk=1

aisbskckj .

Exemplo 2.5 Para

A =

∙0 12 2

¸, B =

∙0 1 3−1 2 4

¸e C =

⎡⎣ 425

⎤⎦tem-se

(AB)C =

∙−1 2 4−2 6 14

¸⎡⎣ 425

⎤⎦ = ∙ 2074

¸e

A(BC) =

∙0 12 2

¸ ∙1720

¸=

∙2074

¸.

Proposição 2.4 A multiplicação de matrizes é distributiva relativamente à adição, isto é,

A(B + C) = AB +AC e (D +E)F = DF +EF

desde que os produtos indicados existam.

Demonstração. Sejam A = [aij ] do tipo m × n, B = [bij ] do tipo n × p e C = [cij ] do tipon× p.

Então, B +C é do tipo n× p e A(B +C) é do tipo m× p. De modo semelhante, verifica-seque AB é do tipo m× p e AC é do tipo m× p e AB +AC é do tipo m× p. Assim, as matrizesA(B +C) e AB +AC são do mesmo tipo.

Para que sejam iguais têm que ter os elementos homólogos iguais. O elemento situado nalinha i da coluna j de A(B+C) é igual ao elemento situado na linha i da coluna j de AB+ACpois,

nXk=1

aik(bkj + ckj) =nX

k=1

(aikbkj + aikckj) =nX

k=1

aikbkj +nX

k=1

aikckj .

Exemplo 2.6 Para

A =

∙1 2 −10 4 5

¸, B =

⎡⎣ 4 3 20 0 01 2 3

⎤⎦ e C =

⎡⎣ 3 2 04 1 05 6 0

⎤⎦tem-se

A(B + C) =

∙1 2 −10 4 5

¸⎡⎣ 7 5 24 1 06 8 3

⎤⎦ = ∙ 9 −1 −146 44 15

¸


e

AB +AC =

∙3 1 −15 10 15

¸+

∙6 −2 041 34 0

¸=

∙9 −1 −146 44 15

¸.

Nota 2.1 Já vimos que, à semelhança da multiplicação de números reais, a multiplicação dematrizes é associativa e distributiva. Convém, contudo, salientar que algumas propriedadesválidas para a multiplicação de números reais não são válidas para a multiplicação de matrizes.Assim:

1. A multiplicação de matrizes não é comutativa.

Na verdade, AB e BA podem não estar simultaneamente definidas. Se A é do tipo m× ne B é do tipo n × p, o produto BA só está definido se p = m. Neste caso, AB é do tipom×m e BA é do tipo n × n. Se m 6= n, AB e BA são de tipos diferentes e não podemser iguais.

Por outro lado, se m = n, isto é, se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, AB eBA também são quadradas da mesma ordem, mas em geral, BA 6= AB. Pode no entantoacontecer que AB = BA e, neste caso, as matrizes A e B dizem-se permutáveis.

Exemplo 2.7 Para A =∙0 1 2 33 2 1 0

¸e B =

⎡⎢⎢⎣0 31 22 13 0

⎤⎥⎥⎦ tem-se

AB =

∙0 1 2 33 2 1 0

¸⎡⎢⎢⎣0 31 22 13 0

⎤⎥⎥⎦ = ∙ 14 44 14

¸

e

BA =

⎡⎢⎢⎣0 31 22 13 0

⎤⎥⎥⎦∙ 0 1 2 33 2 1 0

¸=

⎡⎢⎢⎣9 6 3 06 5 4 33 4 5 60 3 6 9

⎤⎥⎥⎦ ,donde A e B não são permutáveis.

Também as matrizes quadradas C =∙

2 −1−1 2

¸e D =

∙1 4−1 1

¸não são permutáveis

pois,

CD =

∙2 −1−1 2

¸ ∙1 4−1 1

¸=

∙3 7−3 −2

¸e

DC =

∙1 4−1 1

¸ ∙2 −1−1 2

¸=

∙−2 7−3 3

¸.

2. Não é válida a lei do anulamento do produto, isto é, o produto de duas matrizes pode sernulo sem que nenhuma delas o seja.


Exemplo 2.8 Tem-se, por exemplo,∙1 11 1

¸ ∙1 −2−1 2

¸=

∙0 00 0

¸.

3. Não é válida a lei do corte para a multiplicação, isto é, a igualdade AB = AC não implicaB = C, mesmo quando a matriz A é não nula.

Exemplo 2.9 Sejam

A =

∙1 11 1

¸, B =

∙1 −2−1 2

¸e C =

∙3 −4−3 4

¸.

Com efeito, AB = AC pois

AB =

∙1 11 1

¸ ∙1 −2−1 2

¸=

∙0 00 0

¸e

AC =

∙1 11 1

¸ ∙3 −4−3 4

¸=

∙0 00 0

¸,

mas B 6= C.

Proposição 2.5 (lei do salto) Se A e B são matrizes encadeadas e λ é um escalar, então

A (λB) = (λA)B = λ (AB) .

Demonstração. Vamos provar a primeira igualdade, deixando a segunda como exercício.Sejam A = [aij ] , B = [bij ], A (λB) = [fij ] e (λA)B = [gij ]. Vamos provar que fij = gij .

Como λA = [λaij ] e λB = [λbij ], temos

fij =nX

k=1

aik (λbkj) =nX

k=1

(λaik) bkj = gij ,

atendendo à propriedade associativa da multiplicação de números reais.

Proposição 2.6 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e In a matriz identidade de ordemn. Então

AIn = InA = A.

Demonstração. Sejam A = [aij ] , In = [δij ] e AIn = [cij ]. Temos

cij = ai1δ1j + ai2δ2j + · · ·+ aijδjj + · · ·+ ainδnj = aij ,

atendendo à definição de δij (símbolo de Kronecker). De modo análogo se demonstra queInA = A.


Exemplo 2.10 Sendo A =∙

3 7−3 −2

¸e I2 =

∙1 00 1

¸, tem-se

AI2 =

∙3 7−3 −2

¸ ∙1 00 1

¸=

∙3 7−3 −2

¸e

I2A =

∙1 00 1

¸ ∙3 7−3 −2

¸=

∙3 7−3 −2

¸.

Proposição 2.7 Seja A = λIn uma matriz escalar de ordem n. Então A é permutável comqualquer matriz quadrada B de ordem n.

Demonstração. Tem-se, atendendo à duas propriedades anteriores:

AB = (λIn)B = λ (InB) = λB

eBA = B (λIn) = λ (BIn) = λB.

Logo, AB = BA = λB.

Exemplo 2.11 Tem-se∙2 00 2

¸ ∙3 −12 5

¸=

∙3 −12 5

¸ ∙2 00 2

¸=

∙6 −24 10

¸= 2

∙3 −12 5

¸.

Proposição 2.8 A transposta do produto é igual ao produto das transpostas por ordem inversa,isto é,

(AB)T = BTAT ,

em que A = [aij ] é do tipo m× n e B = [bij ] do tipo n× p.

Demonstração. Sendo C = AB, tem-se que C é do tipo m× p e CT é do tipo p×m. ComoBT é do tipo p× n e AT é do tipo n×m, a matriz D = BTAT é do tipo p×m.

Assim, as matrizes CT e D são do mesmo tipo. Para mostrar que CT = D, basta verificarque os elementos homólogos são iguais.

Sejam C = [cij ], CT = [fij ] , A = [aij ] e B = [bij ]. Temos:

fij = cji =nX

k=1

ajkbki.

Sejam D = [dij ], AT = [gij ] e BT = [hij ]. Temos:

dij =nX

k=1

hikgkj .

Como hik = bki e gkj = ajk, tem-se dij =Pn

k=1 ajkbki e, portanto, fij = dij .


Exemplo 2.12 Para A =

⎡⎣ 3 −11 02 −2

⎤⎦ e B =

∙0 −32 1

¸, vem

(AB)T =

⎛⎝⎡⎣ 3 −11 02 −2

⎤⎦∙ 0 −32 1

¸⎞⎠T

=

⎡⎣ −2 −100 −3−4 −8

⎤⎦T = ∙ −2 0 −4−10 −3 −8

¸.

Pela proposição anterior, esta matriz coincide com BTAT , como se comprova seguidamente:

BTAT =

∙0 2−3 1

¸ ∙3 1 2−1 0 −2

¸=

∙−2 0 −4−10 −3 −8

¸.

Proposição 2.9 Qualquer que seja a matriz A, a matriz AAT é simétrica.

Demonstração. Com efeito,¡AAT

¢T=¡AT¢T

AT = AAT . A primeira igualdade deve-se àproposição anterior e a segunda à propriedade (1) da pág. 5.

Exemplo 2.13 Sendo A =

⎡⎣ 4−21

⎤⎦ tem-se que

AAT =

⎡⎣ 4−21

⎤⎦ £ 4 −2 1¤=

⎡⎣ 16 −8 4−8 4 −24 −2 1

⎤⎦é simétrica.

2.4 Potência de uma Matriz Quadrada

Definição 2.5 Seja A uma matriz quadrada. Definem-se as potências de expoente natural deA por ½

A1 = AAp = Ap−1A, ∀p ∈ N .

Exemplo 2.14 Sendo A =∙

2 4−1 2

¸vem,

A2 = AA =

∙0 16−4 0

¸, A3 = A2A =

∙−16 32−8 −16

¸.


2.5 Matriz Inversa

Definição 2.6 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz A diz -se invertível (ounão singular) se existe uma matriz quadrada de ordem n, habitualmente designada por A−1,tal que

A¡A−1

¢=¡A−1

¢A = In.

A matriz A−1 diz-se a matriz inversa de A.

Uma matriz não invertível diz-se singular.

Exemplo 2.15 A matriz A =∙

2 4−1 2

¸tem por inversa a matriz

A−1 =

∙1/4 −1/21/8 1/4

¸.

Efectivamente tem-se

AA−1 =

∙2 4−1 2

¸ ∙1/4 −1/21/8 1/4

¸=

∙1 00 1

¸e

A−1A =

∙1/4 −1/21/8 1/4

¸ ∙2 4−1 2

¸=

∙1 00 1

¸.

Veremos adiante como calcular a inversa duma matriz.

Teorema 2.2 A inversa de uma matriz quando existe é única.

Demonstração. Suponhamos que A é quadrada de ordem n e admite duas inversas A0 e A00.Então,

A0 = A0In = A0¡AA00

¢=¡A0A

¢A00 = InA

00

isto é, A0 = A00 (justifique as igualdades!).

Vejamos algumas propriedades das matrizes invertíveis.

Proposição 2.10 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Então:

(a) Se A é invertível, A−1 é invertível e a sua inversa é A, isto é,¡A−1

¢−1= A.

(b) Se A e B são invertíveis, a matriz AB é invertível e

(AB)−1 = B−1A−1.

(c) Se A é invertível, AT é invertível e ¡AT¢−1

=¡A−1

¢T.


(d) Se A é invertível e p é um número inteiro positivo, Ap é invertível e

(Ap)−1 =¡A−1

¢p.

Demonstração. A propriedade (a) é consequência imediata das igualdadesAA

−1= A

−1A = In.

Quanto a (b), basta verificar que

(AB)¡B−1A−1

¢= A

¡BB−1

¢A−1 = AInA

−1 = (AIn)A−1 = AA−1 = In

e ¡B−1A−1

¢(AB) = B−1

¡A−1A

¢B = B−1InB = B−1 (InB) = B−1B = In.

Estas igualdades resultam da propriedade associativa da multiplicação de matrizes e daproposição 2.6.

Relativamente a (c), basta verificar que

AT (A−1)T =¡A−1A

¢T= ITn = In

e(A−1)TAT =

¡AA−1

¢T= ITn = In.

Estas igualdades resultam da proposição 2.8 e do facto de In ser uma matriz simétrica.Por fim, (d) resulta intuitivamente das igualdades

(Ap)−1 =(AA× · · · ×A)| {z }p factores

−1=A−1A−1 × · · · ×A−1| {z }p factores

=¡A−1

¢p.

No entanto, a demonstração rigorosa desta propriedade deve ser feita pelo método de indução,o que deixamos como exercício.

Nota 2.3 A definição de potência de uma matriz pode ser generalizada a expoentes inteiros.Se A é invertível de ordem n e se p > 0 é um inteiro, define-se

A0 = In e A−p = (Ap)−1 =¡A−1

¢p.

Assim, as seguintes propriedades tornam-se válidas, sempre que p e q forem inteiros eA invertível:

ApAq = Ap+q e (Ap)q = Apq.

No entanto, como o produto de matrizes não é comutativo, em geral tem-se que(AB)p 6= ApBp.

3 Exercícios Resolvidos¤£ ¡¢1 Uma matriz quadrada diz-se idempotente se A2 = A. Mostre que se AB = A e BA = B,então A, B e ATBT são idempotentes.

Resolução: Vamos provar que A e ATBT são idempotentes. A prova da idempotênciade B é similar.


Ora,A2 = AA = (AB)A = A (BA) = AB = A,

sendo a 1a igualdade justificada pela definição de potência, a 2a, a 4a e a 5a pelas hipótesese a 3a pela associatividade da multiplicação de matrizes.

Por outro lado, ¡ATBT

¢2= AT

¡BTAT

¢BT = AT (AB)T BT

= ATATBT = AT (BA)T = ATBT ,

atendendo, respectivamente, à definição de potência, à associatividade da multiplicação eà proposição 2.8 juntamente com as hipóteses AB = A e BA = B.¤£ ¡¢2 Considere A, B e C matrizes invertíveis de ordem n.

(a) Será A+B invertível? E AB?

(b) Qual a inversa de AB−1C?

(c) Mostre que A−1(A+B)B−1 = A−1 +B−1.

Resolução:

(a) Pode não ser, como acontece por exemplo com In e −In. Com efeito, estas matrizessão invertíveis mas a soma, In + (−In) = O, não é invertível. A matriz AB é invertível(proposição 2.10-(b)) e tem por inversa B−1A−1.

(b) Pela proposição 2.10-(b), AB−1C é invertível e¡AB−1C

¢−1= C−1BA−1.

(c) Tendo em conta a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes em relação àadição, a definição de matriz inversa e a proposição 2.6, tem-se

A−1(A+B)B−1 =¡A−1A+A−1B

¢B−1 =

¡In +A−1B

¢B−1

= InB−1 +A−1BB−1

= B−1 +A−1In = A−1 +B−1.¤£ ¡¢3 Duas matrizes quadradas A e B de ordem n dizem-se semelhantes se existir uma matrizinvertível P tal que A = P−1BP.

Prove que:

(a) Se A e B são semelhantes e B é invertível, então A é invertível.

(b) Se A e B são matrizes semelhantes, então se A2 = O também B2 = O.

(c) Se A e B são matrizes quadradas e A é invertível, então AB e BA são semelhantes.


Resolução:

(a) Sendo A e B semelhantes existe uma matriz invertível P tal que A = P−1BP. Aten-dendo à proposição 2.10 e ao facto de B ser invertível, tem-se¡

P−1BP¢−1

= P−1B−1¡P−1

¢−1= P−1B−1P,

isto é, A é invertível e A−1 = P−1B−1P .

(b) O resultado sai da igualdade A2 = P−1B2P pois, se A2 = O, também é verdade queP−1B2P = O. Então, multiplicando esta igualdade à esquerda por P e à direita por P−1,obtém-se B2 = O.

Resta provar que A2 = P−1B2P. Com efeito,

A2 = AA =¡P−1BP

¢ ¡P−1BP

¢= P−1B

¡PP−1

¢BP

= P−1BInBP = P−1B2P,

sendo a 2a igualdade devida ao facto de A = P−1BP e as restantes decorrentes da associa-tividade da multiplicação, das definições de potência e de matriz inversa e da proposição2.6. Fica, pois, provada a igualdade A2 = P−1B2P.

(c) Sendo A invertível, AB = A (BA)A−1, pelo que tomando P = A−1, AB = P−1 (BA)P.

4 Dependência e Independência Linear de Linhas e Colunas

Para definir a noção de característica de uma matriz na secção seguinte é necessário introduzir osconceitos de combinação linear e de dependência e independência linear das linhas (ou colunas)de uma matriz.

Dada uma matriz A = [aij ] de tipo m × n, não faremos distinção entre a linha i de A e amatriz linha

[ai1 ai2 · · · ain] .

Analogamente, a coluna j de A será identificada com a matriz coluna⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a1j...aij...

amj

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .

Definição 4.1 Chama-se combinação linear das linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp de A a qual-quer expressão da forma

λ1X1 + λ2X2 + · · ·+ λpXp,

onde λ1, λ2, . . . , λp são quaisquer números reais designados por coeficientes da combinaçãolinear.


Exemplo 4.1 A matriz linha [2 − 3 1] é uma combinação linear das linhas da matriz identidade

I3 =

⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 1

⎤⎦ pois[2 − 3 1] = 2 [1 0 0]− 3 [0 1 0] + 1 [0 0 1] .

Neste caso, têm-se os coeficientes λ1 = 2, λ2 = −3 e λ3 = 1.

A matriz coluna

⎡⎣ 40−8

⎤⎦ pode ser escrita na forma⎡⎣ 4

0−8

⎤⎦ = 4⎡⎣ 100

⎤⎦− 8⎡⎣ 001

⎤⎦ ,pelo que é uma combinação linear de duas colunas de I3.

Por outro lado, a matriz coluna

⎡⎣ 100

⎤⎦ não é uma combinação linear das colunas da matriz⎡⎣ 0 0 01 0 10 1 0

⎤⎦ .Definição 4.2 Diz-se que as linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp de uma matriz são linearmenteindependentes se qualquer combinação linear de X1,X2, . . . ,Xp igual a uma linha (coluna)nula tem os escalares todos nulos. Isto é, a seguinte implicação é verdadeira:

λ1X1 + λ2X2 + · · ·+ λpXp = O =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λp = 0.

De contrário, isto é, se λ1X1 + λ2X2 + · · · + λpXp = O e os escalares λ1, λ2, . . . , λp não sãotodos nulos, as linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp dizem-se linearmente dependentes.

Exemplo 4.2 As linhas da matriz I3 =

⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 1

⎤⎦ são linearmente independentes. De facto,a igualdade

λ1 [1 0 0] + λ2 [0 1 0] + λ3 [0 0 1] = [0 0 0]

implica que[λ1 λ2 λ3] = [0 0 0] ,

isto é, λ1 = λ2 = λ3 = 0. Analogamente se veria que as linhas de qualquer matriz In sãolinearmente independentes, sendo também de notar que o mesmo acontece com as colunas.


Exemplo 4.3 Pretende-se verificar que as linhas da matriz

⎡⎣ 0 −3 12 4 12 −1 0

⎤⎦ são linearmente in-dependentes. Na verdade, quaisquer que sejam os escalares reais λ1, λ2 e λ3, tem-se

λ1 [0 − 3 1] + λ2 [2 4 1] + λ3 [2 − 1 0] = [0 0 0]m

[2λ2 + 2λ3 − 3λ1 + 4λ2 − λ3 λ1 + λ2] = [0 0 0]

m⎧⎨⎩2λ2 + 2λ3 = 0−3λ1 + 4λ2 − λ3 = 0λ1 + λ2 = 0

⇓⎧⎨⎩λ1 = 0λ2 = 0λ3 = 0

.

Exemplo 4.4 Vejamos agora que as colunas da matriz

⎡⎣ 2 4 23 0 −34 8 4

⎤⎦ são linearmente depen-dentes. Por definição, isto acontece se existem escalares λ1, λ2 e λ3, não todos nulos, tais que

λ1

⎡⎣ 234

⎤⎦+ λ2

⎡⎣ 408

⎤⎦+ λ3

⎡⎣ 2−34

⎤⎦ =⎡⎣ 000

⎤⎦ .Equivale a dizer que esta equação matricial tem outras soluções para além da solução nula. Defacto, a referida equação é equivalente ao sistema de equações lineares,⎧⎨⎩

2λ1 + 4λ2 + 2λ3 = 03λ1 − 3λ3 = 04λ1 + 8λ2 + 4λ3 = 0

.

Passando à resolução deste sistema, obtém-se sucessivamente:⎧⎨⎩2λ1 + 4λ2 + 2λ3 = 03λ1 − 3λ3 = 04λ1 + 8λ2 + 4λ3 = 0

⇔

⎧⎨⎩4λ2 + 4λ3 = 0λ1 = λ38λ2 + 8λ3 = 0

⇔

⎧⎨⎩λ2 = −λ3λ1 = λ30 = 0

.

Assim, as soluções do sistema são da forma⎧⎨⎩λ1 = λ3λ2 = −λ3λ3 ∈ R,

onde a condição λ3 ∈ R significa que à incógnita λ3 pode ser atribuído qualquer valor real.Conclui-se assim que o sistema possui soluções não nulas visto que é indeterminado (isto é,


possui uma infinidade de soluções). Por consequência, as colunas da matriz dada são linearmentedependentes.

Convém, a propósito, assinalar que, por simples inspecção, se pode imediatamente concluirque as colunas da matriz dada são linearmente dependentes. Na verdade, a primeira coluna é adiferença das outras duas, donde resulta que⎡⎣ 23

4

⎤⎦−⎡⎣ 408

⎤⎦+⎡⎣ 2−34

⎤⎦ =⎡⎣ 000

⎤⎦ .Existe pois uma combinação linear das colunas desta matriz igual a uma matriz nula sem queos escalares sejam todos nulos (neste caso são iguais a 1, −1 e 1, respectivamente).

Exemplo 4.5 A linha (respectivamente coluna) de uma matriz linha (resp. matriz coluna) nãonula é linearmente independente. Por exemplo, a linha da matriz A = [2 0 3] é linearmenteindependente pois se λ [2 0 3] = [0 0 0] então⎧⎨⎩

2λ = 00 = 03λ = 0

⇒ {λ = 0 .

Por outro lado, a linha da matriz nula A = [0 0 0] é linearmente dependente pois a combi-nação linear λ [0 0 0] pode ser nula sem que o escalar λ seja nulo. De facto, linha (respectivamentecoluna) de uma matriz linha (resp. matriz coluna) nula é linearmente dependente.

Uma caracterização alternativa da noção de dependência linear é a seguinte:

Teorema 4.1 As linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp (p ≥ 2) de uma matriz são linearmente de-pendentes se e só se uma delas é combinação linear das restantes.

Demonstração. Suponha-se que as linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp de uma matriz são linear-mente dependentes. Por definição, existem escalares λ1, λ2, . . . , λp, não todos nulos, tais que

λ1X1 + λ2X2 + · · ·+ λpXp = O.

Sem perda de generalidade, podemos supor que λ1 6= 0. Da igualdade anterior resulta que

X1 = −λ2λ1

X2 − · · ·−λpλ1

Xp,

ou seja, X1 é combinação linear das restantes linhas (colunas).Reciprocamente, suponha-se, igualmente sem perda de generalidade, que X1 é combinação

linear das restantes linhas (colunas), isto é, X1 = λ2X2 + · · ·+ λpXp. Então,

−X1 + λ2X2 + · · ·+ λpXp = O,

o que mostra a dependência linear das linhas (colunas) consideradas dado que os escalares nãosão todos nulos (o coeficiente de X1 é −1).


Exemplo 4.6 As linhas da matriz

⎡⎣ 1 1 02 5 30 1 1

⎤⎦ são linearmente dependentes pois[2 5 3] = 2 [1 1 0] + 3 [0 1 1] .

Também as colunas da matriz∙1 22 4

¸são dependentes dado que são proporcionais, isto é,

uma delas é um múltiplo escalar da outra, como comprova a igualdade∙24

¸= 2

∙12

¸.

Uma consequência imediata desta proposição é a seguinte:

Corolário 4.1.1 Se uma das linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xp de uma matriz é nula, entãoX1,X2, . . . ,Xp são linearmente dependentes.

Demonstração. Suponha-se, sem perda de generalidade, que X1 = O. Como O = 0X2+ · · ·+0Xp, conclui-se o resultado do teorema anterior.

Exemplo 4.7 As linhas da matriz∙2 50 0

¸são linearmente dependentes pois a segunda linha

é nula.

Vejamos agora algumas propriedades da dependência e independência linear de linhas ou dascolunas de uma matriz, muito importantes para o que se segue.

Proposição 4.1 As linhas (colunas) X1,X2, . . . ,Xi, . . . ,Xj , . . . ,Xp de uma matriz são linear-mente independentes (respectivamente dependentes) se e só se

X1,X2, . . . ,Xi + λXj , . . . ,Xj , . . . ,Xp

são linearmente independentes (resp. dependentes), para qualquer escalar λ.

Demonstração. Provaremos a parte relativa à independência, resultando por negação a parterelativa à dependência.

Para estabelecer a propriedade no que diz respeito à independência, basta atender a queλ1X1 + · · ·+ λiXi + · · ·+ λjXj + · · ·+ λpXp se pode escrever na forma

λ1X1 + · · ·+ λi (Xi + λXj) + · · ·+ (λj − λλi)Xj + · · ·+ λpXp

e reparar que os coeficientes de uma combinação linear são nulos se e só se o mesmo acontecercom os da outra.

Podemos enunciar esta propriedade de modo mais sugestivo:

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriznão se altera se adicionarmos a uma delas qualquer outra multiplicada porum escalar.


Proposição 4.2 Se λ 6= 0, as linhas (colunas) X1,X2, . . .Xi, . . . ,Xp de uma matriz são linear-mente independentes (resp. dependentes) se e só se X1,X2, . . . , λXi, . . . ,Xp são linearmenteindependentes (resp. dependentes).

Demonstração. A parte relativa à independência decorre imediatamente da igualdade

λ1X1 + λ2X2 + · · ·+ λiXi + · · ·+ λpXp = λ1X1 + λ2X2 + · · ·+

+λiλ(λXi) + · · ·+ λpXp

e, tal como na demonstração anterior, do facto dos coeficientes de uma combinação linear seremnulos se e só se o mesmo acontecer com os da outra.

A parte relativa à dependência obtém-se por negação.De modo mais sugestivo podemos enunciar esta propriedade como segue:

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriznão se altera se multiplicarmos uma delas por um escalar diferente de zero.

Finalmente, por aplicação repetida da proposição 4.1 conclui-se:

Proposição 4.3 A independência ou dependência linear das linhas (colunas) de uma matriznão se altera se a uma delas adicionarmos uma combinação linear das restantes.

Exemplo 4.8 Designemos por L1, L2 e L3 as linhas de I3 que, como se sabe, são linearmenteindependentes. Adicionando à linha L3 de I3 a combinação linear 5L1+2L2, obtém-se a matriz⎡⎣ 1 0 00 1 05 2 1

⎤⎦. Pela proposição 4.3 ficamos também a saber que as linhas desta última matriz

são também linearmente independentes.

5 Característica e Operações Elementares

Podemos agora definir a noção de característica de uma matriz.

Definição 5.1 Chama-se característica de uma matriz A ao número máximo de linhaslinearmente independentes da matriz. Utiliza-se a notação c(A) para representar este número.

Antes de descrevermos a forma de obter a característica de uma matriz qualquer, é necessáriover como ela pode ser obtida numa classe particular de matrizes – as matrizes em escada.

Definição 5.2 Uma matriz de tipo m× n diz-se uma matriz em escada se:

1. As primeiras k linhas (k ≤ m) contêm elementos não nulos e as restantes linhas, se exis-tirem, só contêm elementos nulos.


2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo a contar da esquerda aparece àdireita do primeiro elemento não nulo (a contar da esquerda) de qualquer linha acimadele.

Exemplo 5.1 As seguintes matrizes estão em escada:

A =

⎡⎣ 1 0 2 −30 2 1 8

0 0 3 −4

⎤⎦ , B =

⎡⎣ 0 2 −2 4 5

0 0 0 1 20 0 0 0 0

⎤⎦ ,C =

⎡⎣ 1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 0 4

⎤⎦ e D =

∙0 00 0

¸.

Os primeiros elementos não nulos (a contar da esquerda) de cada linha não nula de uma matrizem escada, designam-se por elementos redutores (ou pivots). Nas matrizes anteriores esteselementos encontram-se assinalados por um quadrado.

Vejamos dois exemplos de matrizes que não estão em escada:

E =

⎡⎣ 1 0 00 0 00 1 0

⎤⎦ e F =

⎡⎣ 1 0 50 1 10 2 2

⎤⎦ .Com efeito, a 2a linha da matriz E, contém elementos todos nulos e a 3a linha não. Isto

viola a regra 1 da definição de matriz em escada. No caso da matriz F, o 1o elemento não nuloda 3a linha não aparece à direita do 1o elemento não nulo da 2a linha. Temos, pois, a violaçãoda regra 2 da definição de matriz em escada.

Para facilitar a exposição que se segue, consideremos a matriz em escada do tipo 5× 5,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 a13 a14 a150 a22 a23 a24 a250 0 0 0 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,

onde os redutores estão assinalados por um quadrado. Representando as linhas desta matriz porLi (i = 1, 2, . . . , 5), tem-se que as linhas não nulas L1, L2 e L3 são linearmente independentes.De facto, a igualdade

λ1L1 + λ2L2 + λ3L3 = O

equivale a[λ1a11 λ1a12 + λ2a22 . . . λ1a15 + λ2a25 + λ3a35] = [0 0 0 0 0]

donde se deduz que λ1 = λ2 = λ3 = 0.Por outro lado, se acrescentarmos ao conjunto formado pelas linhas L1, L2, e L3 uma ou mais

das restantes linhas da matriz, a proposição 4.1.1 leva-nos a concluir que obtemos um conjuntode linhas linearmente dependentes. Assim, a característica da matriz é igual ao número de linhasnão nulas ou, o que é o mesmo, ao número de redutores da matriz.


Representando as colunas desta matriz por Ci, i = 1, 2, . . . , 5, verifica-se também que ascolunas onde figuram os redutores (as colunas C1, C2 e C5) são linearmente independentes.Com efeito, a igualdade

λ1C1 + λ2C2 + λ3C5 = O

equivale a[λ1a11 + λ2a12 + λ3a15 λ2a22 + λ3a25 λ3a35] = [0 0 0]

o que implica que λ1 = λ2 = λ3 = 0.O que dissemos acima pode ser generalizado para uma matriz em escada qualquer, pelo que

podemos afirmar o seguinte:

Proposição 5.1 Para uma matriz em escada tem-se:

(a) As linhas não nulas são linearmente independentes.

(b) As colunas que contêm os redutores são linearmente independentes.

(c) A característica é igual ao número de linhas não nulas ou, equivalentemente, ao número deredutores.

Desta proposição conclui-se que as matrizes A, B, C e D, do exemplo 5.1, têm característicasc(A) = 3, c(B) = 2, c(C) = 3 e c(D) = 0.

Vejamos agora como pode ser obtida a característica de uma matriz qualquer.Referiu-se no início desta secção que a dependência ou independência linear das linhas ou

colunas de uma matriz não é alterada nem pela multiplicação de uma delas por um escalar nãonulo (proposição 4.2) nem pela adição a uma delas doutra multiplicada por um escalar (propo-sição 4.1). Por outro lado, é evidente que trocar a ordem das linhas ou colunas também nãoaltera a respectiva independência linear. Por conseguinte, as chamadas operações elementa-res sobre linhas (ou sobre colunas) que a seguir se enunciam, não alteram a dependência ouindependência linear das linhas (colunas) de uma matriz:

OE1 Troca entre si de 2 linhas (colunas) da matriz.

OE2 Multiplicação dos elementos de uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero.

OE3 Adição a uma linha (coluna) doutra linha (coluna) multiplicada por uma constante.

Acontece adicionalmente que as operações elementares sobre linhas (ou sobre colunas) tambémnão alteram a dependência ou independência linear das colunas (linhas) de uma matriz. Istopode ser comprovado como segue.

Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m× n e

C1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11...ai1...

am1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , C2 =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a12...ai2...

am2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , . . . , Cn =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a1n...ain...

amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦25 ALGA—Ano Lectivo 2010/2011

as colunas de A. O estudo da dependência linear das colunas de A equivale ao estudo daigualdade

λ1C1 + λ2C2 + · · ·+ λnCn = O,

a qual é uma forma sucinta de escrever o seguinte sistema de m equações com n incógnitasλ1, λ2, . . . , λn: ⎧⎪⎨⎪⎩

a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn = 0...

am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn = 0.

As operações elementares sobre as linhas da matriz reflectem-se neste sistema ou pela troca deequações ou pela multiplicação de uma equação por um escalar não nulo ou ainda pela soma auma equação de outra multiplicada por uma constante. Deste modo, aquelas operações reprodu-zem sempre um sistema equivalente ao inicial, isto é, com as mesmas soluções, não alterandopor isso a dependência ou independência linear da colunas C1, . . . , Cn. Analogamente se mos-traria que as operações elementares sobre colunas não alteram a dependência ou independêncialinear das linhas de uma matriz.

Cabe agora perguntar qual o papel das operações elementares no cálculo da característicade uma matriz. Efectivamente, aquelas operações estão na base de um processo que permiteo referido cálculo, qualquer que seja a matriz dada. Este processo consiste em transformar amatriz dada numa matriz em escada, efectuando repetidamente operações sobre linhas. Comoestas não alteram a dependência ou independência linear das linhas e das colunas da matrizsobre a qual são aplicadas, a característica da matriz em escada obtida no final do processo seráigual à característica da matriz inicial!

Vamos exemplificar o procedimento referido com a ajuda da matriz

A =

⎡⎣ 0 8 −16 321 2 1 01 −2 −1 5

⎤⎦ .A etapa inicial consiste em colocar um elemento não nulo na posição mais à esquerda da 1a linhada matriz. Podemos conseguir este objectivo trocando a 1a linha com a 2a linha ou com a 3a

linha. Optando por trocar a 1a linha com a 2a (operação OE1), obtém-se a matriz

A(1) =

⎡⎣ 1 2 1 00 8 −16 321 −2 −1 5

⎤⎦ .O elemento 1, que está assinalado por um quadrado, será o redutor da 1a linha da matriz emescada obtida no final do processo.

A etapa seguinte será usar este elemento para anular os restantes elementos da 1a coluna.Como o único elemento não nulo da 1a coluna é o elemento 1 que se encontra na 3a linha,bastará multiplicar a 1a linha de A(1) por −1 e adicionar o resultado à 3a linha (operação OE3).Obtém-se então

A(2) =

⎡⎣ 1 2 1 00 8 −16 320 −4 −2 5

⎤⎦ .26 ALGA—Ano Lectivo 2010/2011

Podemos agora simplificar a 2a linha de A(2) multiplicando-a por 18 (operação OE2). Como

resultado, obtém-se a matriz

A(3) =

⎡⎣ 1 2 1 00 1 −2 40 −4 −2 5

⎤⎦ .A matriz A(3) não está em escada pois o primeiro elemento não nulo da 3a linha a contar daesquerda não aparece à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior (a contar daesquerda). Poderemos então multiplicar a 2a linha por 4 e adicioná-la à 3a, o que conduz àmatriz

A(4) =

⎡⎢⎣ 1 2 1 0

0 1 −2 4

0 0 −10 21

⎤⎥⎦ .Esta matriz é uma matriz em escada cuja característica é 3. Concluímos, portanto, que a matrizinicial A tem igualmente característica 3.

De uma maneira geral, dada a matriz A de tipo m× n,

A =

⎡⎢⎢⎢⎣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎦ ,o procedimento anterior pode ser sintetizado como segue.

Mediante a troca de linhas, suponha-se que é possível colocar um elemento não nulo na po-sição (1, 1) (se isto não for possível avançamos para a posição (1, 2) e procedemos analogamente).Continuando a representar pela matriz inicial A a matriz resultante da eventual troca de linhase admitindo que a11 6= 0, usamos este elemento para anular os restantes elementos da 1a coluna,adicionando à linha i (i = 2, . . . ,m) a 1a linha multiplicada por −ai1/a11, obtendo-se assim aseguinte matriz:

A(1) =

⎡⎢⎢⎢⎣a11 a12 · · · a1n0 a022 · · · a02n...

......

...0 a0m2 · · · a0mn

⎤⎥⎥⎥⎦ .Se o elemento a022 é não nulo, adicionamos a cada linha i (i = 3, . . . ,m) de A

(1) o produto da 2a

linha por −a0i2/a022, anulando assim os elementos da 2a coluna de A(1) que estão abaixo de a022.Obtemos pois:

A(2) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 a13 · · · a1n

0 a022 a023 · · · a02n0 0 a0033 · · · a003n...

......

......

0 0 a00m3 · · · a00mn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .

Caso o elemento a022 seja nulo, por troca de linhas colocamos um elemento não nulo na po-sição (2, 2), o qual pode ser utilizado para anular os elementos que estão abaixo (se não for


possível colocar em (2, 2) um elemento não nulo, avançamos para a posição (2, 3) e procedemosanalogamente).

O processo é seguidamente repetido a partir da posição (3, 3) (ou (2, 3), caso tenhamosavançado para esta posição) e termina quando obtivermos uma matriz em escada. A caracterís-tica da matriz em escada obtida no final do procedimento acabado de descrever é, como vimos,igual à característica da matriz inicial, o que permite afirmar:

Proposição 5.2 Sendo A uma matriz qualquer, a caraterística de A coincide com a caracterís-tica da matriz em escada obtida a partir de A por operações elementares sobre linhas.

Utilizando repetidamente as operações elementares sobre linhas e/ou colunas de uma matriz,veremos seguidamente que a característica de uma matriz coincide com o número máximo decolunas linearmente independentes da matriz. Efectivamente, tem-se:

Teorema 5.1 O número máximo de linhas linearmente independentes de uma matriz é igualao número máximo de colunas linearmente independentes dessa matriz.

Demonstração. Seja A uma matriz qualquer. Como vimos, por aplicação das operaçõeselementares sobre linhas podemos transformar A numa matriz em escada A. Efectuando umaadequada troca de colunas, a matriz A pode ser transformada numa matriz em escada da forma

A0 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 ∗ ∗ · · · · · · ∗0 a22 ∗ · · · · · · ∗... 0

. . .... · · ·

......

...... app · · · ∗

0 0 · · · 0 · · · 0...

......

......

...0 0 · · · 0 · · · 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

onde a11, a22, . . . , app, são os redutores e os asteriscos representam as restantes entradas eventual-mente não nulas. Procedendo agora com as colunas como procedemos com as linhas podemos,sem alterar a dependência ou independência das colunas ou das linhas de A0, utilizar os redutorespara anular os restantes elementos não nulos de cada uma das suas linhas. Obtemos então umamatriz como a seguinte: ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 0 0 · · · · · · 00 a22 0 · · · · · · 0... 0

. . .... · · ·

......

...... app · · · 0

0 0 · · · 0 · · · 0...

......

......

...0 0 · · · 0 · · · 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2)

(é costume designar por condensação o conjunto de procedimentos que permite transformaruma matriz qualquer numa matriz em escada com esta forma). Verifica-se que nesta matrizem escada o número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo


de colunas linearmente independentes, sendo ambos iguais a p. Como as operações elementaresefectuadas não alteraram a independência linear das linhas e colunas da matriz inicial A, conclui-se que a mesma igualdade é válida para esta matriz, ficando assim provado o que se pretendia.

Em consequência deste resultado, pode então afirmar-se:

A característica de uma matriz é igual ao número máximo de linhas li-nearmente independentes da matriz ou, equivalentemente, ao número má-ximo de colunas linearmente independentes da matriz.

6 Exercícios Resolvidos¤£ ¡¢1 Calcule a característica da matriz ⎡⎢⎢⎣1 0 12 1 4−1 2 23 1 5

⎤⎥⎥⎦ .Que pode dizer acerca da dependência ou independência linear das linhas e colunas damatriz?

Resolução:

Sucessivamente tem-se:⎡⎢⎢⎣1 0 12 1 4−1 2 23 1 5

⎤⎥⎥⎦OE3−→

−2L1 + L2L1 + L3−3L1 + L4

⎡⎢⎢⎣1 0 1

0 1 20 2 30 1 2

⎤⎥⎥⎦OE3−→

−2L2 + L3−L2 + L4

⎡⎢⎢⎣1 0 1

0 1 2

0 0 −10 0 0

⎤⎥⎥⎦ .Assim, a característica da matriz dada é igual a 3, pelo que este é o número máximo delinhas e colunas linearmente independentes da matriz. Logo, as colunas da matriz sãolinearmente independentes enquanto as linhas são linearmente dependentes.¤£ ¡¢2 Verifique que as linhas da seguinte matriz são linearmente dependentes:⎡⎢⎢⎣

0 1 1 01 0 0 11 1 0 00 0 1 1

⎤⎥⎥⎦ .

Resolução:


Efectuando o cálculo da característica da matriz dada, obtém-se sucessivamente:⎡⎢⎢⎣0 1 1 01 0 0 11 1 0 00 0 1 1

⎤⎥⎥⎦OE1−→

Troca deL1 com L3

⎡⎢⎢⎣1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 0 1 1

⎤⎥⎥⎦OE3−→

−L1 + L2

⎡⎢⎢⎣1 1 0 0

0 −1 0 1

0 1 1 00 0 1 1

⎤⎥⎥⎦OE3−→

L2 + L3

⎡⎢⎢⎣1 1 0 0

0 −1 0 1

0 0 1 10 0 1 1

⎤⎥⎥⎦

OE3−→−L3 + L4

⎡⎢⎢⎣1 1 0 0

0 −1 0 1

0 0 1 10 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ .Como a característica da matriz em escada resultante é 3, conclui-se que o número máximode linhas linearmente independentes da matriz é 3, pelo que as quatro linhas da matrizsão linearmente dependentes.¤£ ¡¢3 Discuta, em função do parâmetro real a, a característica da matriz⎡⎣ 1 0 −1

0 1 a−1 1 2a

⎤⎦ .Resolução:

Sucessivamente tem-se:⎡⎣ 1 0 −10 1 a−1 1 2a

⎤⎦ OE3−→L1 + L3

⎡⎣ 1 0 −10 1 a0 1 2a− 1

⎤⎦

OE3−→−L2 + L3

⎡⎣ 1 0 −10 1 a0 0 a− 1

⎤⎦ .Esta última matriz é uma matriz em escada se a 6= 1, tendo neste caso característica 3.De contrário, terá característica 2. Assim, podemos concluir que as linhas (colunas) damatriz são linearmente independentes se a 6= 1 e linearmente dependentes se a = 1.

7 Sistemas de Equações Lineares

No ensino secundário estudaram-se técnicas de resolução de sistemas de equações lineares comduas e três incógnitas. Nesta secção, com o auxílio das matrizes, vamos generalizar os métodosestudados para um sistema com quaisquer números de equações e incógnitas.


Um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1, x2, . . . , xn é um sistema deequações da forma ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1jxj + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2jxj + · · ·+ a2nxn = b2

...ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ aijxj + · · ·+ ainxn = bi

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amjxj + · · ·+ amnxn = bm

, (3)

onde aij e bi (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) são números reais conhecidos. O elemento aij é ocoeficiente da incógnita xj na equação de ordem i e bi é o termo independente da mesmaequação.

As matrizes seguintes, associadas ao sistema de equações anterior,

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

......

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,X =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1x2...xj...xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦e B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

b1b2...bi...bm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦dizem-se, respectivamente, a matriz dos coeficientes, a matriz das incógnitas e a matrizdos termos independentes.

Matricialmente, o sistema (3) pode representar-se por⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

......

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1x2...xj...xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

b1b2...bi...bm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ou, mais abreviadamente, por

AX = B. (4)

Também se pode utilizar a representação

x1A1 + x2A2 + · · ·+ xjAj + · · ·+ xnAn = B, (5)

ou

[A1 A2 · · ·Aj · · ·An]

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1x2...xj...xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦= B,


em que A1, A2, . . . , Aj , . . . , An designam as colunas da matriz A.Ampliando A com o vector dos termos independentes, obtém-se a matriz ampliada do

sistema, habitualmente representada por A|B:

A|B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1j · · · a1n | b1a21 a22 · · · a2j · · · a2n | b2...

......

......

... |...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain | bi...

......

......

... |...

am1 am2 · · · amj · · · amn | bm

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

Chama-se solução do sistema (3) a um conjunto de escalares x1, x2, . . . , xj , . . . , xn que,depois de substituirem as incógnitas x1, x2, . . . , xj , . . . , xn, transformam as m equações do sis-tema em igualdades verdadeiras. Assim, solução do sistema na forma matricial (4) é uma matrizcoluna

X =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1x2...xj...xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

tal que AX = B é uma igualdade matricial verdadeira.Resolver o sistema (3) ou a equação matricial (4) é determinar todas as suas soluções.O sistema (3) diz-se possível se admitir uma ou mais soluções. Nestas condições, as equações

do sistema dizem-se compatíveis. O sistema diz-se impossível se não admitir nenhuma so-lução. As equações neste caso dizem-se incompatíveis.

Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma única solução e indeterminadose admitir mais do que uma solução (neste caso admite uma infinidade de soluções).

O sistema (3) diz-se homogéneo se os termos independentes forem todos nulos. Casocontrário, dir-se-á não homogéneo.

Qualquer sistema homogéneo é possível pois admite, pelo menos, a solução nula, designadatambém por solução trivial. Dado que os sistemas homogéneos são possíveis, a sua resoluçãopermitirá saber se são determinados (isto é, se admitem apenas a solução trivial) ou indetermi-nados (isto é, se além da solução trivial admitem soluções não nulas).

Exemplo 7.1 Vejamos alguns exemplos de sistemas de 2 equações com 2 incógnitas.

1. O sistema ½x− y = 2x+ y = 4

ou∙1 −11 1

¸ ∙xy

¸=

∙24

¸é possível determinado porque admite apenas a solução (3, 1).

2. O sistema ½x− y = 2x− y = 4

ou∙1 −11 −1

¸ ∙xy

¸=

∙24

¸é impossível; as duas equações são incompatíveis.


3. O sistema ½x− y = 0x+ y = 0

ou∙1 −11 1

¸ ∙xy

¸=

∙00

¸é homogéneo; é determinado porque admite apenas a solução trivial (0, 0).

4. O sistema ½x− y = 0x− y = 0

ou∙1 −11 −1

¸ ∙xy

¸=

∙00

¸é homogéneo; é indeterminado pois, além da solução nula (0, 0), admite infinitas soluçõesnão nulas, tais como (1, 1), (2, 2) , etc.

7.1 Resolução de Sistemas de Equações Lineares

O método apresentado atrás para a determinação da característica duma matriz pode ser apli-cado à resolução de sistemas recebendo, neste contexto, a designação demétodo de eliminaçãode Gauss.

Com efeito, para resolver o sistema AX = B bastará transformar a matriz ampliada A|Bnuma matriz em escada executando repetidamente operações sobre linhas. Repare-se que estasoperações, quando aplicadas sobre A|B, correspondem à troca de duas equações do sistema, àmultiplicação de uma equação do sistema por um escalar não nulo e à adição a uma equação dou-tra equação multiplicada por uma constante. Portanto, qualquer daquelas operações sobre A|Bsubstitui o sistema inicial por outro equivalente, isto é, com as mesmas soluções. Assim, reali-zando aquelas operações de forma sistemática, é possível, a partir do sistema inicial, determinarum sistema equivalente cujas soluções são facilmente obtidas.

De notar que durante a resolução do sistema, poderemos, se tal for conveniente, trocar ascolunas da matriz ampliada que contêm os coeficientes das incógnitas. Contudo, essa troca deveser registada pois altera a posição das incógnitas. Sublinhe-se também que nenhum outro tipode operação com colunas pode ser efectuado.

Vamos seguidamente ilustrar com três exemplos o método de eliminação de Gauss.

Exemplo 7.2 Um sistema com uma única solução (sistema possível e determinado)Consideremos o sistema ⎧⎨⎩

2x− 5y + 4z = −2x− 2y + z = 5x− 4y + 6z = 6

.

Para transformar a matriz ampliada do sistema numa matriz em escada efectuam-se, suces-sivamente, as seguintes operações sobre linhas:⎡⎣ 2 −5 4 | −2

1 −2 1 | 51 −4 6 | 6

⎤⎦ OE1−→Troca deL1 com L2

⎡⎣ 1 −2 1 | 52 −5 4 | −21 −4 6 | 6

⎤⎦OE3−→

−2L1 + L2−L1 + L3

⎡⎣ 1 −2 1 | 5

0 −1 2 | −120 −2 5 | 1

⎤⎦


OE3−→−2L2 + L3

⎡⎢⎣ 1 −2 1 | 5

0 −1 2 | −120 0 1 | 25

⎤⎥⎦ .A matriz em escada obtida corresponde ao sistema⎧⎨⎩

x− 2y + z = 5−y + 2z = −12z = 25

.

Este sistema mais simples, equivalente ao inicial, pode ser facilmente resolvido por rectrosubs-tituição, isto é, em sucessão ascendente, começando pela resolução da 3a equação, obtendo-seentão ⎧⎨⎩

z = 25y = 12 + 2z = 12 + 50 = 62x = 5 + 2y − z = 5 + 124− 25 = 104 .

De salientar que, em vez de usarmos o processo de rectrosubstituição, podemos determinar asolução do sistema inicial, prosseguindo o processo de eliminação de Gauss de forma ascendentena matriz em escada. Esta técnica consiste na realização de operações elementares sobre linhas,por forma a obtermos uma nova matriz em escada com todos os redutores iguais a 1 e em queos elementos acima dos redutores são todos nulos.

Voltando à matriz em escada anterior,⎡⎣ 1 −2 1 | 50 −1 2 | −120 0 1 | 25

⎤⎦ ,iniciamos a eliminação ascendente anulando os elementos acima do redutor da 3a linha. Paratal, é suficiente multiplicar esta linha por 2 e por −1 e adicionar os resultados respectivos à 2ae à 1a linha. Obtém-se então

−L3 + L1−2L3 + L2−→OE3

⎡⎣ 1 −2 0 | −200 −1 0 | −620 0 1 | 25

⎤⎦ .Seguidamente, vamos utilizar o redutor da 2a linha para anular o elemento acima dele.

Multiplicando a 2a linha por −2 e adicionando o resultado à 1a linha, somos conduzidos a

−2L2 + L1−→OE3

⎡⎣ 1 0 0 | 1040 −1 0 | −620 0 1 | 25

⎤⎦ .Como pretendemos que os redutores sejam todos iguais a 1, multiplicando a 2a linha por −1,obtemos finalmente a matriz

OE2−→−L2

⎡⎣ 1 0 0 | 1040 1 0 | 620 0 1 | 25

⎤⎦ . (6)


Esta matriz corresponde ao sistema ⎧⎨⎩x = 104y = 62z = 25 ,

equivalente ao sistema inicial, que apresenta a solução procurada.

A matriz (6) obtida no final do exemplo anterior diz-se uma matriz reduzida no seguintesentido:

Definição 7.1 Uma matriz diz-se reduzida se é uma matriz em escada e verifica:

1. Os elementos redutores são todos iguais a 1;

2. Os elementos situados acima dos redutores são todos iguais a zero.

Com esta terminologia podemos então dizer:

Resolver o sistema AX = B pelo método de eliminação de Gauss consisteem transformar a matriz ampliada A|B numa matriz reduzida por meio deoperações elementares sobre linhas.

Exemplo 7.3 Um sistema com uma infinidade de soluções (sistema possível e indeterminado)Consideremos o seguinte sistema de 3 equações com 5 incógnitas:⎧⎨⎩

2x− 5y + 4z + u− v = −2x− 2y + z − u+ v = 5x− 4y + 6z + 2u− v = 6

.

A matriz ampliada correspondente é⎡⎣ 2 −5 4 1 −1 | −21 −2 1 −1 1 | 51 −4 6 2 −1 | 6

⎤⎦ .Os coeficientes de x, y e z bem como os termos independentes são os mesmos que no exemploanterior. Se realizarmos as mesmas operações sobre linhas efectuadas nesse exemplo, obteremosa seguinte matriz reduzida: ⎡⎣ 1 0 0 −16 19 | 104

0 1 0 −9 11 | 620 0 1 −3 4 | 25

⎤⎦ .Esta matriz reduzida corresponde ao sistema⎧⎨⎩

x = 104 + 16u− 19vy = 62 + 9u− 11vz = 25 + 3u− 4v ,


pelo que as soluções do sistema inicial são da forma⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = 104 + 16u− 19vy = 62 + 9u− 11vz = 25 + 3u− 4vu, v ∈ R.

Assim, o sistema inicial é possível e indeterminado, isto é, tem uma infinidade de soluções. Porexemplo, se u = 1 e v = 0, obtemos a solução do sistema x = 120, y = 71, z = 28, u = 1 e v = 0.

Consideremos a matriz reduzida de um sistema de equações indeterminado. É costumedesignar as incógnitas que correspondem às colunas dos redutores da matriz por variáveisdeterminadas. As restantes incógnitas dizem-se as variáveis livres do sistema. O número devariáveis livres diz-se o grau de indeterminação do sistema.

Assim, no exemplo anterior, u e v são as variáveis livres do sistema; as variáveis x, y e z quecorrespondem às colunas dos redutores da matriz dos coeficientes, são as variáveis determinadas.O grau de indeterminação do sistema é 2.

Exemplo 7.4 Um sistema sem soluções (sistema impossível)Consideremos o sistema ⎧⎨⎩

2x− 5y + 4z = −2x− 2y + z = 5x− 4y + 5z = 6

.

Este sistema é semelhante ao sistema do exemplo 7.2, exceptuando o coeficiente de z na 3a

equação que passou a ser 5. A correspondente matriz ampliada é⎡⎣ 2 −5 4 | −21 −2 1 | 51 −4 5 | 6

⎤⎦ .Realizando as operações elementares do exemplo 7.2, obtemos a matriz em escada⎡⎣ 1 −2 1 | 5

0 1 −2 | −120 0 0 | 25

⎤⎦ .A equação correspondente à última linha da matriz ampliada anterior é 0z = 25, ou seja,0 = 25. Trata-se de uma proposição falsa, pelo que o sistema inicial é impossível, isto é, nãoadmite nenhuma solução.

Nota 7.1 Em cada um dos exemplos anteriores, o número de equações não excedia o número deincógnitas. No entanto, se existirem mais equações do que incógnitas, o método de eliminaçãode Gauss continua a ser aplicável. Consideremos por exemplo, o sistema estudado no exemplo7.2, que admite como solução x = 104, y = 62 e z = 25. Se a este sistema juntarmos uma novaequação que seja ainda satisfeita por esta solução, por exemplo, a equação 2x− 3y + z = 47, aaplicação do método de Gauss conduz à matriz ampliada⎡⎢⎢⎣

1 0 0 | 1040 1 0 | 620 0 1 | 250 0 0 | 0

⎤⎥⎥⎦ ,36 ALGA—Ano Lectivo 2010/2011

em que a última linha só contém zeros. Mas se juntarmos ao sistema original uma nova equaçãoque não seja satisfeita pela solução x = 104, y = 62 e z = 25, por exemplo, a equação x+y+z = 1,então o método de Gauss conduz à matriz ampliada⎡⎢⎢⎣

1 0 0 | 1040 1 0 | 620 0 1 | 250 0 0 | −190

⎤⎥⎥⎦ .Repare-se que a última linha corresponde à proposição falsa 0 = −190, o que significa que onovo sistema é impossível.

Os sistemas dos exemplos 7.2 e 7.3 são, como vimos, possíveis. De referir que, em am-bos os sistemas, a característica da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada coincidem, oque não acontece com o sistema impossível do exemplo 7.4. Neste caso, a primeira daquelascaracterísticas é menor do que a segunda. Com efeito, é válido o seguinte resultado:

Teorema 7.2 Um sistema de equações AX = B é possível se e só se a característica da matrizdos coeficientes A for igual à característica da matriz ampliada A|B.

Demonstração. Como se sabe, sendo A uma matriz do tipo m× n, o sistema AX = B podeescrever-se na forma

x1A1 + x2A2 + · · ·+ xnAn = B, (7)

em que Aj , j = 1, . . . , n, designam as colunas da matriz A. Assim, AX = B é possível se e sóse existem escalares x1, x2, . . . , xn que tornam a igualdade (7) verdadeira.

Começamos por provar a condição necessária: AX = B é possível só sec(A) = c(A|B), ou seja,

AX = B é possível =⇒ c(A) = c(A|B).

Por absurdo, suponhamos que AX = B é possível mas c(A) < c(A|B) (note-se que não sepode ter c(A) > c(A|B)). Considerando c(A) = k < n, ter-se-á então c(A|B) = k + 1, isto é,existem k+ 1 colunas linearmente independentes em A|B, sendo necessariamente B uma delas.Designando as restantes k destas colunas por Aj1 , . . . , Ajk , conclui-se que as colunas da matriz[Aj1 . . . Ajk ] |B são linearmente independentes.

Por outro lado, como AX = B é possível, a igualdade (7) permite afirmar que B é combinaçãolinear de Aj1 , . . . , Ajk , atendendo a que pelo teorema 4.1, qualquer Ai, com i /∈ {j1, . . . , jk},também o é. Pelo mesmo teorema conclui-se que as colunas da matriz [Aj1 . . . Ajk ] |B sãolinearmente dependentes, o que contradiz o que foi anteriormente afirmado. Por conseguinte, acondição necessária fica provada.

Reciprocamente, vejamos a prova da condição suficiente: AX = B é possível se c(A) =c(A|B), isto é,

c(A) = c(A|B) =⇒ AX = B é possível.

Considerando c(A) = c(A|B) = k, deduz-se da primeira igualdade que as colunas da matriz[Aj1 . . . Ajk ] |B são linearmente dependentes (Aj1 , . . . , Ajk designam, como acima, k colunas deA linearmente independentes). Logo, pelo teorema 4.1, B é combinação linear de Aj1 , . . . , Ajk


e, por consequência, B também se pode escrever como combinação linear das colunas de A. Estefacto implica que AX = B é possível, o que demonstra a condição suficiente.

Duas consequências importantes deste teorema são as seguintes:

Corolário 7.2.1 Um sistema AX = B é impossível se e só se c(A) < c(A|B).

Demonstração. Resulta imediatamente do teorema anterior, atendendo a que nunca se podeter c(A) > c(A|B).

Corolário 7.2.2 Seja AX = B um sistema possível com n incógnitas. Então, se c(A) =n, o sistema é determinado. Caso c(A) < n, o sistema é indeterminado e o seu grau deindeterminação é n− c(A).

Demonstração. Sejam x1, x2, . . . , xn escalares que constituem uma solução do sistema AX =B, isto é, tais que

x1A1 + x2A2 + · · ·+ xnAn = B.

Considerando c(A) = n, seja y1, y2, . . . , yn uma outra qualquer solução de AX = B. Então,

y1A1 + y2A2 + · · ·+ ynAn = B,

donde subtraindo membro a membro as duas última igualdades vem

(x1 − y1)A1 + (x2 − y2)A2 + · · ·+ (xn − yn)An = O.

Visto que as colunas de A são linearmente independentes (pois c(A) = n), conclui-se que

xj − yj = 0⇔ xj = yj ,

qualquer que seja j = 1, 2, . . . , n. Logo, todas as soluções do sistema são iguais a x1, x2, . . . , xn,pelo que o sistema tem uma única solução, ou seja, é determinado.

Suponha-se agora que c(A) = k < n e admita-se, sem perda de generalidade, que as primeirask colunas de A, A1, A2, . . . , Ak, são linearmente independentes. Visto que o sistema AX = B épossível, B é combinação linear deA1, A2, . . . , Ak, atendendo a que, pela proposição 4.1, qualquerAj , com j > k, também o é. Por outro lado, considerando escalares arbitrários xk+1, . . . , xn, asmatrizes coluna xk+1Ak+1, . . . , xnAn são igualmente combinações lineares de A1, A2, . . . , Ak (jáque Ak+1, . . . , An também o são). Por conseguinte, a matriz coluna B−xk+1Ak+1− · · ·− xnAn

é uma combinação linear de A1, A2, . . . , Ak, isto é, existem escalares x1, . . . , xk tais que

B − xk+1Ak+1 − · · ·− xnAn = x1A1 + x2A2 + · · ·+ xkAk.

Como esta igualdade equivale a

x1A1 + · · ·+ xkAk + xk+1Ak+1 + · · ·+ xnAn = B,

conclui-se que, para cada concretização de xk+1, . . . , xn, existe um conjunto de escalares x1, . . . , xk,de tal forma que x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn é uma solução de AX = B. Consequentemente, o sis-tema AX = B tem uma infinidade de soluções sendo, pois, indeterminado.


Finalmente, as colunas A1, . . . , Ak de A correspondem às colunas dos redutores da matrizreduzida do sistema. Então, x1, . . . , xk são as variáveis determinadas do sistema e xk+1, . . . , xnsão as variáveis livres. O grau de indeterminação do sistema coincide com o número de variáveislivres, pelo que é igual a n− c(A).

De notar que, num sistema determinado, n− c(A) = 0; pode então dizer-se que o seu graude indeterminação é 0.

Os resultados anteriores podem sistematizar-se do seguinte modo:

SistemaAX = B

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Possível,se c(A) = c(A|B)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Determinado,se c(A) = no incógnitas

Indeterminado,se c(A) < no incógnitas(grau de indet. = n− c(A))

Impossível,se c(A) < c(A|B)

7.2 Sistemas Homogéneos

Terminamos esta secção com uma referência aos sistemas homogéneos.Como dissemos inicialmente, o sistema AX = B é homogéneo se B = O, isto é, é da forma

AX = O. Como também já foi referido, qualquer sistema homogéneo é possível pois admite,pelo menos, a solução nula (ou trivial). Esta conclusão pode deduzir-se igualmente do teorema7.2, já que a igualdade c(A) = c(A|O) é sempre verdadeira.

Exemplo 7.5 Resolver o sistema homogéneo⎧⎨⎩x+ y − 2z = 0−2x+ 5z = 0x+ 3y − z = 0

. (8)

Reduzindo a matriz ampliada do sistema obtemos sucessivamente,⎡⎣ 1 1 −2 | 0−2 0 5 | 01 3 −1 | 0

⎤⎦ OE3−→2L1 + L2−L1 + L2

⎡⎣ 1 1 −2 | 00 2 1 | 00 2 1 | 0

⎤⎦

OE3−→−L2 + L3

⎡⎣ 1 1 −2 | 00 2 1 | 00 0 0 | 0

⎤⎦ OE2−→12L2

⎡⎣ 1 1 −2 | 0

0 1 12 | 0

0 0 0 | 0

⎤⎦OE3−→

−L2 + L1

⎡⎣ 1 0 −52 | 0

0 1 12 | 0

0 0 0 | 0

⎤⎦ .


Daqui resulta que o sistema inicial é indeterminado (c(A) = c(A|O) = 2 < 3, onde A é a matrizdos coeficientes) e que as suas soluções são da forma⎧⎪⎨⎪⎩

x = 52z

y = −12zz ∈ R .

Conclui-se assim que o grau de indeterminação deste sistema é 1 visto que z é a única variávellivre.

De referir ainda que as soluções do sistema se podem escrever matricialmente na forma⎡⎣ xyz

⎤⎦ =⎡⎢⎣ 5

2z

−12zz

⎤⎥⎦ , com z ∈ R.

Demonstra-se ainda o seguinte resultado importante, que relaciona as soluções de um sistemanão homogéneo com as soluções do sistema homogéneo que lhe está associado:

Teorema 7.3 Seja AX = B um sistema não homogéneo possível. Então Z é solução de AX =B se e só se Z é da forma Z = X + Y , em que X é uma solução particular de AX = B e Y éuma solução do sistema homogéneo AX = O.

Demonstração. Seja Z uma solução de AX = B. Sendo X uma solução particular destesistema, tem-se

A(Z − X) = AZ −AX = B −B = O.

Então Z − X é uma solução do sistema homogéneo AX = O e, designando esta solução por Y,tem-se Z − X = Y , ou seja, Z = X + Y .

Inversamente, seja Z = X + Y uma matriz coluna nas condições do enunciado. Então

AZ = A(X + Y ) = AX +AY = B +O = B,

isto é, Z é solução de AX = B, como se queria.

Exemplo 7.6 Consideremos o sistema⎧⎨⎩x+ y − 2z = 1−2x+ 5z = 1x+ 3y − z = 4

.

Este sistema e o sistema homogéneo (8) têm a mesma matriz de coeficientes. Para reduzir amatriz ampliada deste sistema, podem efectuar-se as operações realizadas no exemplo anterior,obtendo-se então ⎡⎣ 1 0 −5/2 | −1/2

0 1 1/2 | 3/20 0 0 | 0

⎤⎦ .


Daqui resulta que o sistema inicial é indeterminado (c(A) = c(A|O) = 2 < 3, onde A é a matrizdos coeficientes), sendo as suas soluções da forma⎧⎪⎨⎪⎩

x = −12 +52z

y = 32 −

12z

z ∈ R.

Matricialmente, estas soluções representam-se por⎡⎣ xyz

⎤⎦ =⎡⎢⎣ −12 + 5

2z32 −

12z

z

⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣ −123

20

⎤⎥⎦+⎡⎢⎣ 5

2z

−12zz

⎤⎥⎦ , com z ∈ R.

Tal como o teorema anterior estipula, todas as soluções do sistema podem ser obtidas adicionando

a solução particular

⎡⎢⎣ −12320

⎤⎥⎦ às soluções do sistema homogéneo, que, como vimos, são da forma⎡⎢⎣ 5

2z

−12zz

⎤⎥⎦, com z ∈ R.

8 Inversão de Matrizes

O estudo feito anteriormente tem numerosas aplicações. Veremos agora que o problema dadeterminação da inversa duma matriz quadrada A = [aij ] de ordem n é equivalente à resoluçãode n sistemas de equações lineares com n incógnitas.

Suponhamos então que A é invertível e seja B = [bij ] a sua inversa, isto é, B = A−1. Assim,

AB = In,

ou seja,

A

⎡⎢⎢⎢⎣b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

...bn1 bn2 · · · bnn

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣1 0 · · · 00 1 · · · 0......

......

0 0 · · · 1

⎤⎥⎥⎥⎦ .Sabendo que a multiplicação de A pela j-ésima coluna de B permite obter a j-ésima coluna damatriz produto, a igualdade anterior é equivalente às n igualdades

A

⎡⎢⎢⎢⎣b11b21...bn1

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣10...0

⎤⎥⎥⎥⎦ , A⎡⎢⎢⎢⎣

b12b22...bn2

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣01...0

⎤⎥⎥⎥⎦ , . . . , A⎡⎢⎢⎢⎣

b1nb2n...

bnn

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣00...1

⎤⎥⎥⎥⎦ .Para determinar B bastará então resolver estes n sistemas de equações lineares, o que podeser feito simultaneamente reduzindo a seguinte matriz, que resulta de ampliar A com a matriz


identidade In :

A|In =

⎡⎢⎢⎢⎣a11 a12 · · · a1n | 1 0 · · · 0a21 a22 · · · a2n | 0 1 · · · 0...

......

... |......

......

an1 an2 · · · ann | 0 0 · · · 1

⎤⎥⎥⎥⎦Pelo facto dos sistemas anteriores serem todos possíveis e determinados, o método de eliminaçãode Gauss conduz-nos à matriz

In|B =

⎡⎢⎢⎢⎣1 0 · · · 0 | b11 b12 · · · b1n0 1 · · · 0 | b21 b22 · · · b2n......

...... |

......

......

0 0 · · · 1 | bn1 bn2 · · · bnn

⎤⎥⎥⎥⎦ ,que apresenta, no lado direito da linha vertical, a matriz inversa procurada.

Exemplo 8.1 Consideremos a matriz

A =

⎡⎣ 1 −2 40 1 3−2 4 −5

⎤⎦e calculemos a sua inversa. Ampliando a matriz A com a matriz identidade I3 e reduzindo amatriz resultante obtém-se sucessivamente:⎡⎣ 1 −2 4 | 1 0 0

0 1 3 | 0 1 0−2 4 −5 | 0 0 1

⎤⎦ OE3−→2L1 + L3

⎡⎣ 1 −2 4 | 1 0 00 1 3 | 0 1 00 0 3 | 2 0 1

⎤⎦

OE2−→13L3

⎡⎣ 1 −2 4 | 1 0 00 1 3 | 0 1 00 0 1 | 2

3 0 13

⎤⎦−4L3 + L1−3L3 + L2−→OE3

⎡⎣ 1 −2 0 | −53 0 −430 1 0 | −2 1 −10 0 1 | 2

3 0 13

⎤⎦2L2 + L1−→OE3

⎡⎣ 1 0 0 | −173 2 −1030 1 0 | −2 1 −10 0 1 | 2

3 0 13

⎤⎦Tem-se, pois,

A−1 =

⎡⎣ −173 2 −103−2 1 −123 0 1

3

⎤⎦ .


9 Exercícios Resolvidos¤£ ¡¢1 Para cada valor do parâmetro real α, discuta o sistema de equações lineares⎧⎨⎩αx+ y − z = 2− αx+ y − αz = 0x+ αy − z = −α

.

Resolução: Transformemos a matriz ampliada do sistema numa matriz em escada:⎡⎣ α 1 −1 | 2− α1 1 −α | 01 α −1 | −α

⎤⎦ OE1−→Troca deL1 e L2

⎡⎣ 1 1 −α | 0α 1 −1 | 2− α1 α −1 | −α

⎤⎦OE3−→

−αL1 + L2−L1 + L3

⎡⎣ 1 1 −α | 00 1− α −1 + α2 | 2− α0 α− 1 α− 1 | −α

⎤⎦OE3−→

L2 + L3

⎡⎣ 1 1 −α | 00 1− α −1 + α2 | 2− α0 0 α− 2 + α2 | −2α+ 2

⎤⎦ .Sejam A a matriz dos coeficientes do sistema e A|B a matriz ampliada:

• Se α − 2 + α2 6= 0 e 1 − α 6= 0, isto é, se α 6= 1 ∧ α 6= −2, o sistema é possível edeterminado pois c (A) = 3 = número de incógnitas.

• Se α = 1, tem-se c (A) = 1 < 2 = c (A|B), pelo que o sistema é impossível.• Se α = −2, tem-se c (A) = 2 < 3 = c (A|B) , o que mostra que também neste caso osistema é impossível.

Em resumo, para α /∈ {−2, 1}, o sistema é possível e determinado e, de contrário, éimpossível.

¤£ ¡¢2 Considere as matrizes A =

⎡⎢⎢⎣a 2 2a1 a a2 1 a−1 0 0

⎤⎥⎥⎦ e B =

⎡⎢⎢⎣6− 2a1−12

⎤⎥⎥⎦ .(a) Discuta em função do parâmetro real a, o sistema de equações lineares cuja equação

matricial é AX = B.

(b) Para a = 1 averigue se A é invertível e caso o seja, indique a sua inversa.

(c) Para que valores de a o sistema homogéneo associado tem como única solução asolução nula?

Resolução:


(a) Consideremos a matriz ampliada do sistema

A|B =

⎡⎢⎢⎣a 2 2a | 6− 2a1 a a | 12 1 a | −1−1 0 0 | 2

⎤⎥⎥⎦ .Apliquemos o método de eliminação de Gauss a esta matriz:⎡⎢⎢⎣

a 2 2a | 6− 2a1 a a | 12 1 a | −1−1 0 0 | 2

⎤⎥⎥⎦OE1−→

Troca deL1 e L4

⎡⎢⎢⎣−1 0 0 | 21 a a | 12 1 a | −1a 2 2a | 6− 2a

⎤⎥⎥⎦

−L1−→OE2

⎡⎢⎢⎣1 0 0 | −21 a a | 12 1 a | −1a 2 2a | 6− 2a

⎤⎥⎥⎦OE3−→

−L1 + L2−2L1 + L3−aL1 + L4

⎡⎢⎢⎣1 0 0 | −20 a a | 30 1 a | 30 2 2a | 6

⎤⎥⎥⎦

OE3−→−2L3 + L4

⎡⎢⎢⎣1 0 0 | −20 a a | 30 1 a | 30 0 0 | 0

⎤⎥⎥⎦OE1−→

Troca deL2 e L3

⎡⎢⎢⎣1 0 0 | −20 1 a | 30 a a | 30 0 0 | 0

⎤⎥⎥⎦OE3−→

−aL2 + L3

⎡⎢⎢⎣1 0 0 | −20 1 a | 30 0 a− a2 | 3− 3a0 0 0 | 0

⎤⎥⎥⎦ .Assim:

• Se a = 0, c (A) = 2 e c (A|B) = 3, o que mostra que o sistema é impossível.• Se a = 1, então c (A) = 2 = c (A|B) = 2 < número de incógnitas = 3, o que mostraque nesta situação o sistema é possível e indeterminado.

• Se a 6= 1 e a 6= 0, o sistema é possível e determinado pois c (A) = 3 = c (A|B) =número de incógnitas.

(b) Como a matriz A não é quadrada não tem inversa.

(c) O sistema homogéneo associado, isto é, AX = O, tem como única solução a soluçãonula se e só se é determinado (já que é sempre possível), ou seja, se c (A) = 3 = númerode incógnitas. Esta situação ocorre se e só se a 6= 0 e a 6= 1.¤£ ¡¢3 Resolva o sistema homogéneo ⎡⎣ 1 1 1

2 2 23 3 3

⎤⎦⎡⎣ xyz

⎤⎦ =⎡⎣ 000

⎤⎦


e indique, em caso de existência, uma solução não trivial.

Resolução: Reduzindo a matriz ampliada do sistema obtemos:⎡⎣ 1 1 1 | 02 2 2 | 03 3 3 | 0

⎤⎦ OE3−→−2L1 + L2−3L1 + L3

⎡⎣ 1 1 1 | 00 0 0 | 00 0 0 | 0

⎤⎦ .Daqui resulta que o sistema dado é indeterminado pois c(A) = c(A|O) = 1 < 3, onde A éa matriz dos coeficientes. Por outro lado, o sistema é equivalente à equação x = −y − z,pelo que as suas soluções são da forma⎡⎣ −y − z

yz

⎤⎦ , com y, z ∈ R.

Por conseguinte, o grau de indeterminação do sistema dado é 2 e uma solução não trivialé, por exemplo, y = 1, z = 2 e x = −3.

¤£ ¡¢4 Considere as matrizes A =

⎡⎣ 1 21 12 1

⎤⎦ e B =

⎡⎣ 111

⎤⎦ . Justifique que o sistema de equaçõesAX = B é impossível.

Resolução: Vamos transformar a matriz ampliada do sistema numa matriz em escada:⎡⎣ 1 2 | 11 1 | 12 1 | 1

⎤⎦ OE3−→−L1 + L2−2L1 + L3

⎡⎣ 1 2 | 10 −1 | 00 −3 | −1

⎤⎦OE3−→

−3L2 + L3

⎡⎢⎣ 1 2 | 1

0 −1 | 0

0 0 | −1

⎤⎥⎦ .Como c(A) = 2 < 3 = c(A|B) o sistema é impossível. O mesmo poderia ser concluídoreparando que a última equação da matriz em escada corresponde à proposição falsa 0 =−1.

¤£ ¡¢5 Considere a matriz A =

⎡⎣ 1 2 13 5 24 7 2

⎤⎦. Sem determinar A−1, resolva a equação matricial

A−1Y A = 2A+ I3.

Resolução: Multiplicando à esquerda por A e à direita por A−1 ambos os membros daigualdade A−1Y A = 2A+ I3, obtém-se

A−1Y A = 2A+ I3 ⇔ AA−1Y AA−1 = A(2A)A−1 +AI3A−1 ⇔ Y = 2A+ I3,

pelo que

Y = 2

⎡⎣ 1 2 13 5 24 7 2

⎤⎦+⎡⎣ 1 0 00 1 00 0 1

⎤⎦ =⎡⎣ 3 4 26 11 48 14 5


10 Exercícios Propostos

Definição de matriz. Matrizes especiais¤£ ¡¢1 Classifique cada uma das seguintes matrizes, e indique a ordem respectiva:

A =

⎡⎣ 3 0 20 2 −11 2 3

⎤⎦ , B =

⎡⎣ 1 −1 0 12 1 1 0−1 1 3 1

⎤⎦ , C = £ 1 π√2 −3

¤,

D =

∙0 00 0

¸, E =

⎡⎣ 2 0 π0 1 30 0 1

⎤⎦ , F =⎡⎣ 3 0 00 2 00 0 3

⎤⎦ ,

G =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 03 1 0 0−2 0 1 01 −3 0 1

⎤⎥⎥⎦ , H =

∙1 00 1

¸, I =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣12

−√3

003

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .¤£ ¡¢2 Calcule as matrizes opostas e transpostas das matrizes A, B, C e D do exercício 1.¤£ ¡¢3 Determine a matriz A = [aij ], de tipo 4× 4, cujas entradas satisfaçam

aij =

⎧⎨⎩1 , |i− j| > 1

−1 , |i− j| ≤ 1

¤£ ¡¢4 Determine a, b, c e d de forma que∙a− b b+ c3d+ c 2a− 4d

¸=

∙8 17 6

¸.

Operações com matrizes. Matriz inversa¤£ ¡¢5 Considere as seguintes matrizes:

A =

∙2 1 34 1 1

¸, B =

∙4 1 −25 −1 3

¸,

C =

⎡⎣ 2 −10 6−3 2

⎤⎦ e D =

⎡⎣ −4 23 5−1 −3

⎤⎦ .Diga se estão ou não definidas as matrizes a seguir indicadas e, caso estejam, determineo seu valor: 4A − 2B, 0B + 0D, B + C, AB, AC, CTAT , (AC)2 , (A− 2B) (3C +D) ,A (DB) e D (BA) .


¤£ ¡¢6 Considere as seguintes matrizes:

A =

⎡⎣ 3 0−1 21 1

⎤⎦ , B =

∙4 −10 2

¸, C =

∙1 4 23 1 5

¸,

D =

⎡⎣ 1 5 2−1 0 13 2 4

⎤⎦ e E =

⎡⎣ 6 1 3−1 1 24 1 3

⎤⎦ .Diga se estão ou não definidas as matrizes a seguir indicadas e, caso estejam, determine oseu valor: D +E, 2B − C, 2AT +C,

¡2ET − 3DT

¢T, (AB)C, CCT .

¤£ ¡¢7 Considere a matriz linha A =£−2 3 0

¤e a matriz coluna B =

⎡⎣ 4−15

⎤⎦. Calcule ABe BA. Determine AT e ATBT .¤£ ¡¢8 Determine uma matriz A, quadrada de ordem 3, de forma que:

A

⎡⎣ xyz

⎤⎦ =⎡⎣ x+ y

x− y0

⎤⎦ .¤£ ¡¢9 Seja A =

∙1 −11 −1

¸.

(a) Calcule A2. Que conclusões pode tirar sobre a lei do anulamento do produto?

(b) Dê exemplos de matrizes B e C tais que AB = AC e B 6= C. Que conclusões podetirar sobre a lei do corte?¤£ ¡¢10 Determine uma matriz diagonal A, que satisfaça

A5 =

⎡⎣ 1 0 00 −1 00 0 −1

⎤⎦ .¤£ ¡¢11 Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem.

(a) Dê um exemplo de matrizes A e B em que

(A+B)2 6= A2 + 2AB +B2.

(b) Determine uma matriz C, de forma que para qualquer escolha das matrizes A e B setenha

(A+B)2 = A2 +B2 + C.¤£ ¡¢12 Seja B uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que:


(a) B +BT é simétrica.

(b) B −BT é anti-simétrica.

(c) Qualquer matriz quadrada de elementos reais, pode exprimir-se como soma de umamatriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. (Sugestão: recorra às alíneas ante-riores.)¤£ ¡¢13 Seja A uma matriz simétrica. Mostre que:

(a) A2 é simétrica.

(b) 2A2 − 3A+ I é simétrica.¤£ ¡¢14 Indique que condições devem verificar duas matrizes simétricas A e B, para que o seuproduto AB seja uma matriz simétrica.¤£ ¡¢15 Se A e B são matrizes 2×2 anti-simétricas, sob que condições a matriz AB é anti-simétrica?¤£ ¡¢16 Sejam A =

∙1 −10 2

¸e B =

∙1 −12 −2

¸.

(a) Determine, caso existam, as inversas de A e B.

(b) Resolva as seguintes equações:

i. AX +

∙0 11 2

¸=

∙1 −10 1

¸;

ii. BX =

∙1 −10 1

¸;

iii. BX =

∙−2−4

¸.

¤£ ¡¢17 Seja A uma matriz invertível.

(a) Mostre que se AB = AC então B = C.

(b) Justifique porque é que as seguintes matrizes

A =

∙0 10 2

¸, B =

∙1 13 4

¸e C =

∙2 53 4

¸não contradizem a alínea (a).¤£ ¡¢18 Seja A uma matriz do tipo n× n tal que (In −A) (In +A) = O. Mostre que existe A−1 e

indique-a.¤£ ¡¢19 Sejam A e B duas matrizes simétricas, invertíveis e permutáveis. Prove que:

(a) A−1 e B são matrizes permutáveis.

(b) A−1B−1 é uma matriz simétrica.


¤£ ¡¢20 Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A2 − 3A+ I = O então A−1 = 3I −A.¤£ ¡¢21 Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se ortogonal se AAT = ATA = In. Prove que oproduto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal.

Dependência e independência linear de linhas e colunas de uma matriz¤£ ¡¢22 Considere a matriz

A =

⎡⎢⎢⎣1 2 00 1 11 0 12 6 1

⎤⎥⎥⎦ .(a) Mostre, por definição, que as três primeiras linhas de A são linearmente independen-

tes.(b) Mostre que a última linha de A é combinação linear das restantes.(c) Verifique se a matriz coluna [3 2 2 0]T é combinação linear das colunas de A.¤£ ¡¢23 Considere a matriz:

A =

⎡⎣ 1 0 1a 1 01 a a− 1

⎤⎦ ,em que a é um parâmetro real.

(a) Mostre que as colunas de A são linearmente independentes se e só se a 6= −2, 1.(b) Considerando a = 1, verifique se a matriz linha [2 1 1] é combinação linear das linhas

de A.¤£ ¡¢24 Sejam X1, X2, X3 e X4 colunas linearmente independentes de uma matriz. Mostre que:

(a) As colunas da matriz [X1 +X2 X1 +X3 X1 +X2 +X3 X4] são linearmente in-dependentes.

(b) As colunas da matriz [X1 +X2 X1 −X2 −X3 2X1 −X3 X4] são linearmente de-pendentes.¤£ ¡¢25 Mostre que, se as linhas de uma matriz são linearmente independentes, nenhuma delas

pode ser nula.

Característica e operações elementares sobre linhas e colunas de uma matriz¤£ ¡¢26 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule a respectiva característica:

∙1 1 0−1 2 1

¸,

⎡⎣ 2 3 42 1 1−1 1 2

⎤⎦ ,⎡⎢⎢⎣

1 −1 2 22 −3 2 13 −5 2 −3−4 12 8 10

⎤⎥⎥⎦ ,⎡⎢⎢⎣1 2 0 31 2 3 31 0 1 11 1 1 2

⎤⎥⎥⎦⎡⎣ 37 259 481 40719 133 247 20925 175 325 275

⎤⎦ e

⎡⎢⎢⎣2 5 −1 4 3−3 1 2 0 14 1 6 −1 −1−2 3 0 4 −9

⎤⎥⎥⎦ .


¤£ ¡¢27 Discuta, para todos os valores de k reais, a característica das matrizes seguintes:

⎡⎣ 1 1 kk 0 11 1 1

⎤⎦ ,⎡⎣ 1 0 −1 11 1 0 1k 1 −1 2

⎤⎦ ,⎡⎢⎢⎣

1 1 0 12 2 −1 1k 3 −2 0−1 0 −3 k

⎤⎥⎥⎦ e

⎡⎢⎢⎣1 1 1 1 41 k 1 1 41 1 k 3− k 62 2 2 k 6

⎤⎥⎥⎦ .¤£ ¡¢28 Discuta, para todos os valores de α e β reais, a característica das matrizes seguintes:

∙cosα − senαsenα cosα

¸,

⎡⎣ 0 0 α0 β 23 0 1

⎤⎦ e

⎡⎢⎢⎣α 0 −1 β1 0 β 01 1 1 11 1 0 1

⎤⎥⎥⎦ .¤£ ¡¢29 Considere a matriz de tipo 1 × n, E = [1 1 . . . 1]. Calcule EET e ETE e indique as

respectivas características.

Sistemas de equações lineares¤£ ¡¢30 Resolva os seguintes sistemas de equações:⎧⎨⎩x+ 2y + 3z = 0x+ y + z = 10y + 2z = 0

,

⎧⎨⎩x1 + 2x2 + x3 + x4 = 42x1 + 4x2 − x3 + 2x4 = 11x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 11

,

⎧⎨⎩x+ 2y − z = 1−x− y + 2z = 0x+ y + 2z = 1

,

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ 2y − z + w = 12x+ y + z − w = −2x+ z + w = 12x+ 5y − 3z + 5w = 5

e

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 + x2 − x3 + 2x4 = 9x1 + 2x2 + x3 − x4 = −6x1 + x2 − 2x3 + x4 = 7

.

¤£ ¡¢31 Discuta, em função dos parâmetros a e b, os seguintes sistemas de equações:

(a)

⎧⎨⎩x+ y + z = 3x− y + z = 1x− y − z = a

, (b)

⎧⎨⎩x+ y + z = 3x− y + z = 1

2x− 2y + az = 2(c)

⎧⎨⎩x+ y + z = 1x− y + 2z = a2x+ bz = 2

.

¤£ ¡¢32 Discuta, para todos os valores dos parâmetros, os sistemas de equações lineares:

(a) AX = B onde A =

⎡⎣ 1 1 −12 2 01 λ λ

⎤⎦, X =

⎡⎣ xyz

⎤⎦ e B =

⎡⎣ 1λ1

⎤⎦, com λ ∈ R;

(b) O sistema homogéneo associado ao anterior;

(c) AX = B onde A =

⎡⎣ 1 1 11 2 + a 11 1 1 + a

⎤⎦ , X =

⎡⎣ xyz

⎤⎦ e B =

⎡⎣ b2a0

⎤⎦ , com a e b ∈ R;

(d) O sistema homogéneo associado ao anterior.


¤£ ¡¢33 Considere o sistema AX = B em que

A =

⎡⎣ 1 0 −10 1 a−1 1 2a

⎤⎦ , B =

⎡⎣ b1b2b3

⎤⎦ e X =

⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦ .(a) Determine a de modo que o sistema seja possível qualquer que seja a matriz B.

(b) Dê exemplos de um valor de a e de uma matriz B para os quais:

i. o sistema tenha mais do que uma solução;ii. o sistema não tenha soluções.¤£ ¡¢34 Considere o seguinte sistema de equações:⎧⎨⎩

ax+ bz = 2ax+ ay + 4z = 4ay + 2z = b

.

Para que valores de a e b o sistema:

(a) tem uma única solução;

(b) não tem solução;

(c) tem soluções que dependem apenas de uma variável;

(d) tem soluções que dependem de duas variáveis.

Inversão de matrizes¤£ ¡¢35 Determine as inversas das seguintes matrizes:

A =

⎡⎣ 1 1 10 1 10 0 1

⎤⎦ , B =

⎡⎣ 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

⎤⎦ e C =

⎡⎣ 1 1 10 2 33 5 2

⎤⎦ .¤£ ¡¢36 Considere as matrizes A e C do exercício 35 e seja B =

⎡⎣ 1−13

⎤⎦ .(a) Utilize a matriz A−1 para resolver o sistema AX = B.

(b) Mostre que a matriz C − 2I3 tem inversa e utilize a inversa desta matriz para deter-minar a matriz X tal que CX = 2X +B.¤£ ¡¢37 Determine, se possível, a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

A =

⎡⎣ 2 6 62 7 62 7 7

⎤⎦ , B =

⎡⎢⎢⎣−8 17 2 1

34 0 2

5 −90 0 0 0−1 13 4 2

⎤⎥⎥⎦ ,

C =

⎡⎢⎢⎣0 0 2 01 0 0 10 −1 3 02 1 5 −3

⎤⎥⎥⎦ ,D =

⎡⎢⎢⎣k1 0 0 00 k2 0 00 0 k3 00 0 0 k4

⎤⎥⎥⎦ , ki ∈ R\ {0} .


¤£ ¡¢38 Determine para que valores de α a matriz A =

⎡⎣ 1 1 01 0 01 2 α

⎤⎦ é invertível e, para essesvalores, indique A−1.

¤£ ¡¢39 Dada a matriz A =

⎡⎣ 7 0 50 1 04 0 3

⎤⎦ resolva a equação matricial AXA−1 = A+ I3.

¤£ ¡¢40 Sejam A, B, C e X matrizes que satisfazem a relaçãoh(AX)T +BC

i−1= I2,

onde

A =

∙1 20 1

¸, B =

∙12

¸e C =

£2 3

¤.

(a) Qual o tipo da matriz X?

(b) Determine a matriz X.¤£ ¡¢41 Considerando as matrizes

A =

⎡⎣ 0 1 −11 1 −1−1 −1 2

⎤⎦ e B =

⎡⎣ 1 2 −10 1 21 0 1

⎤⎦ ,Determine a matrix X que verifica as seguintes igualdades matriciais:

(a) A−1XA = B.

(b) XAB +¡BTAXT

¢T= I3.

Aplicações¤£ ¡¢42 O Pedro, que é irmão da Rosa, tem duas vezes mais irmãs do que irmãos, enquanto quea Rosa tem o mesmo número de irmãos e irmãs. Assumindo que não há meios irmãos,quantas crianças ao todo há nesta família?¤£ ¡¢43 Determine a equação da parábola que passa pelos pontos A = (0,−1), B = (1, 4) eC = (2, 11).¤£ ¡¢44 Determine todos os polinómios p (x) de grau menor ou igual a 2 tais que p (1) = p0 (1) =p00 (1) = 1.¤£ ¡¢45 Determine as correntes Ii dos seguintes circuitos eléctricos:


(a)

V6

1I 2I3IΩ2

Ω4Ω2

+−

+−

V8

V6

1I 2I3IΩ2

Ω4Ω2

+−

+−

V8

(b)

1I 2I 3I

4I

6I

5I

Ω20

Ω20

Ω20

Ω20

V10V10

+

+−

−

1I 2I 3I

4I

6I

5I

Ω20

Ω20

Ω20

Ω20

V10V10

+

+−

−

11 Soluções dos Exercícios Propostos

1. A→ matriz quadrada de ordem 3; B → matriz rectangular de ordem 3× 4; C → matriz linha deordem 1× 4; D→ matriz nula de ordem 2; E → matriz quadrada, triangular superior de ordem 3; F →matriz quadrada, diagonal de ordem 3; G→ matriz quadrada, triangular inferior de ordem 4; H →matriz identidade de ordem 2; I →.matriz coluna de ordem 5× 1.

3. A =

⎡⎢⎢⎣−1 −1 1 1−1 −1 −1 11 −1 −1 −11 1 −1 −1

⎤⎥⎥⎦ .4. a = 5, b = −3, c = 4 e d = 1.5.∙0 2 166 6 −2

¸; Não está definida; Não está definida; Não está definida;

∙−5 105 4

¸;

∙−5 510 4

¸;∙

75 −10−5 66

¸;

∙−85 447 60

¸;∙−32 −8 16−6 −24 58

¸; Não está definida.

6. D +E =

⎡⎣ 7 6 5−2 1 37 3 7

⎤⎦ ; Não está definida; ∙ 7 2 43 5 7

¸;

⎡⎣ 9 −13 01 2 1−1 −4 −6

⎤⎦ ;⎡⎣ 3 45 911 −11 177 17 13

⎤⎦ ;∙21 1717 35

¸.


7. AB = [−11] ; BA =

⎡⎣ −8 12 02 −3 0

−10 15 0

⎤⎦ ; AT =

⎡⎣ −230

⎤⎦ ; ATBT =

⎡⎣ −8 2 −1012 −3 150 0 0

⎤⎦ .8. A =

⎡⎣ 1 1 01 −1 00 0 0

⎤⎦ .9. (a) A2 =

∙0 00 0

¸. A lei do anulamento do produto não é válida para o produto de matrizes; (b)

B =

∙1 −11 −1

¸e C =

∙0 00 0

¸. A lei do corte não é válida para o produto de matrizes.

10. A =

⎡⎣ 1 0 00 −1 00 0 −1

⎤⎦ .11. (a) A =

∙1 01 0

¸, B =

∙1 11 1

¸; (b) C = AB +BA.

14. A e B devem ser permutáveis.15. A = O ∨B = O.

16. (a) A−1 =∙1 1/20 1/2

¸e B singular; (b-i.) X =

∙1/2 −5/2−1/2 −1/2

¸; (b-ii.) Eq. impossível;

(b-iii.) X =

∙a

a+ 2

¸, com a real.

17b. A não é invertível.18. A−1 = A.22. (c) Não é comb. linear.23. (b) É comb. linear.26. 2; 3; 3; 3; 1; 4.27. c = 2 se k ∈ {0, 1} e c = 3 caso contrário; c = 2 se k = 2 e c = 3 caso contrário; c = 3 se k = ±

√10 e

c = 4 caso contrário; c = 4 se k 6= 1 e c = 2 caso contrário28 c = 2, ∀α ∈ R; c = 3 se α 6= 0 ∧ β 6= 0 e c = 2 caso contrário; c = 4 se β 6= 0 e c = 3 caso contrário29. c(EET ) = c(ETE) = 1.30. Sistema impossível; Sistema possível e indeterminado, x1 = 21− 5x4, x2 = −8 + 2x4, x3 = −1,x4 ∈ R; Sistema possível e determinado, x = −1/4, y = 3/4 z = 1/4; Sistema impossível; Sistemapossível e determinado, x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2, x4 = 3.31. (a) Para qualquer a ∈ R, o sistema é possível e determinado; (b) Se a 6= 2, o sistema é possível edeterminado e, caso contrário, é possível e indeterminado; (c) Se b 6= 3 ∧ a ∈ R, o sistema é possível edeterminado, se b = 3 ∧ a = 1, é possível e indeterminado e, se b = 3 ∧ a 6= 1, o sistema é impossível .32. (a) Para λ = 1 o sistema é impossível, para λ 6= 1 o sistema é possível e determinado;(b) Se λ = 1 o sistema é possível e indeterminado, se λ 6= 1 o sistema é possível e determinado;(c) Se (a = 0 ∧ b = 0)∨ (a = −1 ∧ b = −2) então o sistema é possível e indeterminado, se(a = 0 ∧ b 6= 0)∨ (a = −1∧ b 6= −2) então o sistema é impossível, se a ∈ R\ {−1, 0} então o sistema épossível e determinado; (d) Se a ∈ R\ {−1, 0} , então o sistema é possível e determinado, sea = 0 ∨ a = −1 o sistema é possível e indeterminado.

33. (a) a ∈ R\ {1}; (b-i.) Por ex., a = 1 e B =

⎡⎣ 000

⎤⎦; (b-ii.) Por ex., a = 1 e B =

⎡⎣ 001

⎤⎦ .34. (a) a 6= 0 ∧ b 6= 2; (b) a = 0 ∧ b 6= 2; (c) a 6= 0 ∧ b = 2; (d) a = 0 ∧ b = 2.

35. A−1 =

⎡⎣ 1 −1 00 1 −10 0 1

⎤⎦ ; B−1 =⎡⎣ 3/4 1/2 1/41/2 1 1/21/4 1/2 3/4

⎤⎦ ; C−1 =⎡⎣ 11/8 −3/8 −1/8−9/8 1/8 3/83/4 1/4 −1/4

⎤⎦ .36. (a) X =

⎡⎣ 2−43

⎤⎦ ; (b) X =

⎡⎣ −11/247/8−1/3


37.

⎡⎣ 72 0 −3−1 1 00 −1 1

⎤⎦ , @B−1,⎡⎢⎢⎣−45

35

15

15

32 0 −1 012 0 0 045

25 −15 − 15

⎤⎥⎥⎦ ,⎡⎢⎢⎣

1k1

0 0 0

0 1k2

0 0

0 0 1k3

0

0 0 0 1k4

⎤⎥⎥⎦ .38. α 6= 0, A−1 =

⎡⎣ 0 1 01 −1 0− 2

α1α

1α

⎤⎦ .39. X =

⎡⎣ 8 0 50 2 04 0 4

⎤⎦ .40. (a) 2× 2; (b)

∙5 6−3 −5

¸41. (a)

⎡⎣ 2 1 23 3 3−4 −1 −2

⎤⎦ ; (b)⎡⎣ −1/4 1/3 1/4

0 1/6 01/4 1/6 1/4

⎤⎦ .42. 743. x2 + 4x− 1.44. p (x) = 1

2x2 + 1

2 .45. (a) I1 = 13

5 , I2 = −25 , I3 =

115 . (b):I1 =

12 , I2 = 0, I3 = 0, I4 =

12 , I5 =

12 , I6 =

12 .


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