MÁXIMOS E MÍNIMOS

Ao se estudar situações práticas relacionadas a conjunturas economias, administrativas e contábeis, é comum realizar perguntas como: • Qual quantidade devo comercializar para que o

lucro seja Máximo? • Qual quantidade devo estocar para que o custa

de estoque seja mínimo?

2 5 9 15 18 23

3045

7595

110

130

●

●

●

●●

●

y

x

MÁXIMO LOCALUm ponto c é

considerado ponto de máximo relativo (local) se o valor de f(c) for o maior valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

MÍNIMO LOCALUm ponto c é

ponto de mínimo relativo (local) se

o valor de f(c) for o menor valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

Máximos e Mínimos Absolutos (Globais)

Máximo absoluto: se o valor c for o maior valor qual a função assume para todo x do domínio da função.

Mínimo absoluto: se o valor c for menor valor qual a função assume para todo x do domínio da função

Crescimento e Decrescimento

y = x2 x y

1 12 43 9. .. .. .

x aumenta => y aumenta

Função crescente

f ’(x) > 0 => função crescente

Exemplo.Verifique se a função f(x) = 3x2 – 6x é crescente ou decrescente em x = 4?

Solução: f’ (x) = 6x - 6 f' (x) = 6.4 – 6 = 18 => função crescente

x y. .. .. .- 3 9- 2 4- 1 1

x aumenta=> y diminui

Função decrescente

f ’(x) < 0 => função decrescente

Exemplo.Verifique se a função f(x) = 3x2 – 6 é crescente ou decrescente em x = 4?

Solução: f’ (x) = 6x - 6 f' (x) = 6.4 – 4 = 20 => função crescente

Função Derivada

Crescente f’(x) > 0

Decrescente f'(x) < 0

Resumo

Pontos críticos são pontos especiais da função onde é possível ocorrer as seguintes situações: máximo, mínimo ou não existir derivada.

Teste da derivada primeira

Permite classificar se um ponto crítico é ou não ponto de máximo/mínimo relativo

Calculando o valor da derivada primeira para pontos à esquerda e à direita dos pontos críticos, verificamos se a função é crescente ou decrescente, concluindo se o ponto crítico é ou não máximo/mínimo relativo

Exemplo:O preço de um produto foi analisado no

decorrer dos meses e constatou-se que pode ser aproximado pela função p(t) = t3 – 6t2 + 9t + 10, onde t representa o número do mês a partir do mês t = 0, que marca o início das análises. Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros meses a partir do início das análises, indicando, se existirem, pontos de máximo ou mínimos (relativos e absolutos) para o preço do produto.

Passo 1: Determinar a derivada de p(t)

Passo 2: Resolver a equação p’(t) = 0 para determinar os pontos críticos da função.

t = 1 e t = 3 (candidatos a máximo ou mínimo)

Passo 3: Verificar se t = 1 é ponto de máximo ou mínimo:Escolher pontos à esquerda e a direita de 1.Por exemplo: t = 0 e t = 2 e calcular p’(0) e p’(2)

p’ (0) = 3.02 - 12.0 + 9 = 9p’ (2) = 3.22 - 12.2 + 9 = - 3

1 é máximo relativo.

Verificar se t = 3 é ponto de máximo ou mínimo:Escolher pontos à esquerda e a direita de 3Por exemplo: t = 2 e t = 5 e calcular p’(2) e p’(5)

p’ (2) = 3.22 - 12.2 + 9 = - 3p’ (5) = 3.52 - 12.5 + 9 = 24

3 é mínimo relativo.

Passo 4: Encontrar o mínimo localSubstituir t = 3 na função:

p(3) = 33 – 6.32 + 9.3 + 10 = 10

Encontrar o máximo local Substituir t = 1 na função:

p(1) = 13 – 6.12 + 9.1 + 10 = 14

Passo 5: Encontrar os extremos esquerdo e direito do intervalo da função. Para isto, substituir estes extremos (t = 0 e t = 5) e encontrar os respectivos preços

p(0) = 03 – 6.02 + 9.0 + 10 = 10

p(5) = 53 – 6.52 + 9.5 + 10 = 30

00 1 3 5 t

1014

30p

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Passo 6: Reunir as informações em um gráfico