ME623APlanejamento e Pesquisa

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4. Experimentos em Blocos

1. Blocos Completos Aleatorizadosa) Definiçãob) Análise Estatísticac) Decomposição da Soma de Quadradosd) Tabela Anovae) Estimação dos Parâmetros

2. Quadrados Latinos3. Quadrados Greco-Latinos4. Blocos Balanceados Incompletos5. Delineamento Cruzados

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Planejamento em Quadrado Latino

Tipo de experimento muito eficiente que utiliza apenas N=a2 observações e permite blocagem em duas direções

Mas e quando existir três fatores de perturbação?

ColunaLinha

1 2 3 4

1 A B C D2 B C D A3 C D A B4 D A B C

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Planejamento em Quadrado Greco-LatinoImagine um Quadrado Latino a x a

sobreposto a um segundo Quadrado Latino a x a cujos níveis sejam referenciados por letras gregas

Considere ainda que cada combinação de letra latina e grega acontece uma única vez nesta sobreposição

Neste caso, os dois quadrados latinos são ortogonais entre si, e o planejamento obtido é conhecido como Quadrado Greco-Latino

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Planejamento em Quadrado Greco-Latino

Coluna

Linha

1 2 3 4

1 A B C D2 B A D C3 C D A B4 D C B A

Coluna

Linha

1 2 3 4

1 α β γ δ2 δ γ β α3 β α δ γ4 γ δ α β

Coluna

Linha

1 2 3 4

1 Aα Bβ Cγ Dδ

2 Bδ Aγ Dβ Cα

3 Cβ Dα Aδ Bγ

4 Dγ Cδ Bα Aβ

QuadradoGreco-Latino

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Quadrados Greco-Latinos

Esse tipo de experimento permite blocagem em três direções, ou seja, é utilizado para controlar, simultaneamente, três fatores de perturbação/ruído

Planejamento altamente eficiente: permite investigação de a níveis (sem interações) com apenas a2 observações

O fator representado pelas letras gregas é ortogonal às linhas, colunas e letras latinas

Existem para todo a ≥ 3, exceto para a = 6

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Ilustração Quadrado Greco-Latino

Pegue todos os Q, J, K, e A de um baralho normal

Arrume as cartas em um grid 4x4 tal que cada linha e cada coluna contenha todos os naipes e todos os “números”Coluna

Linha

1 2 3 4

1 Q♣ A♥ K♠ J♦2 J♥ K♣ A♦ Q♠3 K♦ J♠ Q♥ A♣4 A♠ Q♦ J♣ K♥

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Modelo Estatístico – Efeitos FixosAs observações são descritas através do

modelo:

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Tabela ANOVAQuadrados Greco-Latinos

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Exemplo - Propulsores de FoguetesLetras A, B, C, D e E representam 5

tratamentos

Esses são os dados originais recodificados (dados originais − 25)

Lote

Operador

1 2 3 4 5 yi..

1 A = −1 B = −5 C = −6 D = −1 E = −1 −14

2 B = −8 C = −1 D = 5 E = 2 A = 11 9

3 C = −7 D = 13 E = 1 A = 2 B = −4 5

4 D = −1 E = 6 A = 1 B = −2 C = −3 3

5 E = −3 A = 5 B = −5 C = 4 D = 6 7

y..k − 18 18 − 4 5 9 10 = y...

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Tabela ANOVA – Quadrados LatinosExemplo dos Propulsores de Foguetes

Letra

Latina

TotalTratame

nto

A y.1. = 18

B y.2. = −24

C y.3. = −13

D y.4. = 24

E y.5. = 5

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Exemplo – Propulsores de FoguetesSuponha agora que, além de operadores

e lotes de matéria-prima, temos ainda um terceiro fator perturbador: montagens de teste

Então, a montagem de teste será representada pelas letras gregas α, β, γ, δ, e ε

Vamos então analisar esse experimento usando um Quadrado Greco-Latino 5 x 5

A Análise de Variância é bem parecida com a análise para Quadrados Latinos

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Exemplo - Propulsores de Foguetes

As SS das linhas (lote), colunas (operadores) e letras latinas (formulações) são as mesmas que antesSSL = 330.00 SSLinhas = 68.00 SSColunas = 150.00

Calcule então SSG e monte a tabela ANOVA

Lote

Operador

1 2 3 4 5 yi...

1 Aα = −1 Bγ = −5 Cε = −6 Dβ = −1 Eδ = −1 −14

2 Bβ = −8 Cδ = −1 Dα = 5 Eγ = 2 Aε = 11 9

3 Cγ = −7 Dε = 13 Eβ = 1 Aδ = 2 Bα = −4 5

4 Dδ = −1 Eα = 6 Aγ = 1 Bε = −2 Cβ = −3 3

5 Eε = −3 Aβ = 5 Bδ = −5 Cα = 4 Dγ = 6 7

y...l − 18 18 − 4 5 9 10 =y....

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Exemplo dos Propulsores de FoguetesLetr

a Greg

a

Total

α y..1. = 10

β y..2. = −6

γ y..3. = −3

δ y..4. = −4

ε y..5. = 13

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Tabela ANOVA – Quadrados Greco-LatinosExemplo dos Propulsores de Foguetes

Conclusão: Existe uma diferença significativa na médias da velocidade de queima causadas pelas diferentes formulações

Remoção da variabilidade devido às montagens de teste reduziu a SSE, e também os gl do erro

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No R> dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE)> fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) +

factor(Operator) + factor(Assembly), data=dados)> anova(fit)Analysis of Variance Table

Response: Rate Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Formulation) 4 330 82.50 10.0000 0.003344 **factor(Batch) 4 68 17.00 2.0606 0.178311 factor(Operator) 4 150 37.50 4.5455 0.032930 * factor(Assembly) 4 62 15.50 1.8788 0.207641 Residuals 8 66 8.25 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1

‘ ’ 1

Análise EstatísticaExemplo dos Propulsores de Foguetes