Mecânica – Aula 7 Maria Augusta Constante Puget (Magu)

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Um dos conceitos mais importantes desenvolvidos na física é o de energia. ◦ É preciso energia para executar qualquer

movimento: arremessar uma bola, transportar um equipamento para o último andar de um edifício, atravessar o Oceano Atlântico de avião, etc.

◦ Gasta-se verdadeiras fortunas para se obter e utilizar energia.

◦ Guerras foram travadas por causa de fontes de energia.

◦ Guerras foram decididas pelo uso de armas que liberam grande quantidades de energia de forma explosiva.

Energia (1)

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A energia se manifesta na natureza sob duas formas básicas:

1. Energia cinética: Energia associada ao estado de movimento de um objeto.

2. Energia potencial: ◦ Quando um sistema de corpos está numa

situação que lhe permite entrar em movimento a qualquer instante, dizemos que ele armazena energia potencial.

◦ A energia potencial pode se manifestar de várias formas: gravitacional, elétrica, elástica.

Energia (2)

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Os vários tipos de energia podem se transformar uns nos outros. Estas transformações são muito importantes para o homem. Pode-se dizer que a própria vida se fundamenta numa cadeia de transformações de energia.

Investigando uma grande variedade de fenômenos, os cientistas constataram que a energia nunca desaparece e nem é criada do nada.

Isto levou à formulação do Princípio da Conservação de Energia:

Conservação de Energia (1)

Em um sistema energeticamente isolado, a energia total permanece constante.

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Significado cotidiano da palavra trabalho: Qualquer atividade que necessita de um esforço físico ou intelectual.

Na física, este conceito possui uma definição mais precisa. Vamos considerar inicialmente a seguinte situação:◦ Um corpo se desloca (por enquanto, vamos considerar

que seja em um movimento retilíneo) por uma distância s. ◦ O corpo se move sob a ação de uma força de módulo

constante F, que atua sobre ele na mesma direção e sentido de seu deslocamento.

◦ Nestas condições, o trabalho W realizado pela força constante F que atua sobre o corpo é definido como:

W = Fs

Trabalho (1)

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W = Fs O trabalho realizado é tanto maior

quanto maior for a força F e/ou quanto maior for o deslocamento s.

A unidade de trabalho é o Joule (J), em homenagem a James Prescott Joule (1818 – 1889), físico britânico que deu importantes contribuições ao estudo da natureza do calor e suas relações com o trabalho mecânico.

1J = 1N∙m

Trabalho – Unidade (1)

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O carro de José morre no meio de um cruzamento. Enquanto sua companheira gira o volante, José empurra o carro 19 m para desimpedir o cruzamento.

Sabendo que ele empurra o carro com uma força de 210 N na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento, qual é o trabalho realizado por esta força sobre o carro?

W = Fs = (210 N)(19 m) = 4,0 X 103 J

Trabalho – Exemplo (1)

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Se José empurrasse o carro mantendo um ângulo com a direção do deslocamento, apenas a componente da força na direção do movimento do carro seria a força efetiva para deslocar o carro.

Assim, quando a força e o deslocamento possuem direções diferentes, tomamos o componente de na direção do deslocamento e definimos o trabalho como o produto deste componente pelo módulo do deslocamento:

W = Fs cos

Trabalho – Força e Deslocamento com Direções Diferentes (1)

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W = Fs cos Esta equação possui a forma de um produto

escalar entre dois vetores:

Assim, podemos escrever a definição de trabalho de uma forma mais genérica:

Deve-se observar que o resultado do produto escalar entre dois vetores é uma grandeza escalar.


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Para calcular o trabalho que uma força realiza sobre um objeto quando este sofre um deslocamento, usamos apenas a componente da força na direção do deslocamento do objeto.

A componente da força perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho.


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O trabalho de uma força pode ser positivo, negativo ou nulo.

Verificando a expressão:W = Fs cos

temos as seguintes possibilidades:1. Se a força possui uma componente na

mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento:

◦ O ângulo é agudo (00 900) e cos é positivo.◦ O trabalho é positivo. Dizemos que o trabalho da

força é motor.

Trabalho – Força e Deslocamento (1)

�⃗�

�⃗�

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2. Se a força possui uma componente na mesma direção e no sentido oposto ao do deslocamento:

◦ O ângulo é obtuso (900 1800) e cos é negativo.

◦ O trabalho é negativo. Dizemos que o trabalho da força é resistente.


�⃗�

�⃗�

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3. Se a força é perpendicular ao deslocamento:

◦ = 900 e cos é nulo.◦O trabalho é nulo.


�⃗�

�⃗�.

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Consideremos uma partícula de massa m movendo-se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força resultante constante de módulo F, orientada no sentido positivo do eixo Ox, conforme figura abaixo:

A aceleração da partícula, neste caso, é constante e é dada pela segunda lei de Newton, F = ma.

Suponha que a velocidade varie de v1 a v2 enquanto a partícula vai do ponto x1 a x2, realizando um deslocamento s = x2 – x1.

Trabalho e Energia Cinética (1)

m �⃗�

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A partir da equação de Torricelli:v2

2 = v12 + 2∙a∙s

conseguimos expressar a aceleração em termos das velocidades inicial e final e do deslocamento:

Assim:

e o trabalho W é dado por: W = Fs =


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Assim: W =-

A grandeza denomina-se energia cinética da partícula.

A energia cinética é uma grandeza escalar que depende apenas da massa e do módulo da velocidade da partícula.

A energia cinética nunca pode ser negativa, sendo igual a zero apenas quando a partícula está em repouso.


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Na equação: W =-

O primeiro termo do membro direito é K2= , a energia cinética final da partícula, após o deslocamento.

O segundo termo do membro direito é a energia cinética inicial K1= .

A diferença entre os dois termos é a variação da energia cinética.


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Desta forma, a equação: W =-

mostra que:O trabalho realizado pela força

resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula.

Este resultado é conhecido como Teorema do trabalho-energia:

WTOT = K2 – K1 = K


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1. Quando WTOT > 0 : K2 > K1 , isto é, a energia cinética aumenta e a velocidade final da partícula é maior do que a sua velocidade inicial.

2. Quando WTOT < 0 : K2 < K1 , isto é, a energia cinética diminui e a velocidade final da partícula é menor do que a sua velocidade inicial.

3. Quando WTOT = 0 : K2 = K1 e a velocidade não se altera.


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Unidades:Pela equação WTOT = K2 – K1 = K,

vemos que trabalho e energia cinética têm as mesmas unidades.

A unidade no SI, tanto para a energia cinética como para o trabalho é o Joule.


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Consideremos uma bola de massa m sendo arremessada para cima com velocidade inicial v0, como mostra a figura ao lado.

Sua energia cinética inicial será dada por . Na subida a bola é desacelerada pela força

gravitacional g. O trabalho realizado pela força gravitacional cujo

módulo é dado por Fg = mg é dado por:Wg = mgd cos

Durante a subida, a força gravitacional tem sentido contrário ao do deslocamento: logo = 1800 e temos:

Wg = -mgd O sinal negativo indica que, durante a subida, a força

gravitacional remove uma energia mgd da energia cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de que o objeto perde velocidade na subida.

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (1)

g

0

�⃗�

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Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a descer, o ângulo entre a força g e o deslocamento é zero. Assim:

Wg=mgd cos 00

Ou seja:Wg= +mgd

O sinal positivo indica que, na descida, a força gravitacional transfere uma energia mgd para a energia cinética do objeto. Isto está de acordo com o fato de que o objeto ganha velocidade na descida.

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional (2)

g

�⃗�

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Vamos supor que levantamos um objeto, aplicando sobre ele uma força vertical . Esta força, sendo na mesma direção do deslocamento, realiza um trabalho positivo Wa sobre o objeto.

Ao mesmo tempo, a força gravitacional, que atua no sentido contrário ao deslocamento realiza um trabalho negativo Wg sobre o objeto.

A variação K na energia cinética do objeto, devido a estas duas transferências de energia (a força aplicada transfere energia para o objeto e a força gravitacional remove energia do objeto) é:

K = Kf – Ki = Wa + Wg

onde:Kf Energia cinética no fim do deslocamento.Ki Energia cinética no início do deslocamento.

Trabalho Realizado para Levantar e Baixar um Objeto (1)

g

�⃗��⃗�

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Note-se que a mesma equação:K = Kf – Ki = Wa + Wg

também se aplica à descida do objeto, mas neste caso: A força gravitacional realiza um trabalho positivo,

pois atua no mesmo sentido do deslocamento. A força aplicada realiza um trabalho negativo,

pois atua no sentido contrário ao do deslocamento.

Em muitos casos, o objeto está em repouso antes e depois do levantamento. Exemplo: Quando você levanta um livro do chão e o coloca sobre uma mesa. Neste caso, Kf e Ki são nulas e temos:

Wa + Wg = 0Wa = -Wg

Wa = -mgd cos


g

�⃗��⃗�

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De:Wa = -mgd cos

Se o deslocamento é verticalmente para cima: = 1800 e o trabalho realizado pela força aplicada é:

Wa = mgd.

Se o deslocamento é verticalmente para baixo: = 00 e o trabalho realizado pela força aplicada é:

Wa = -mgd.

Estas equações se aplicam a qualquer situação em que o objeto é levantado ou baixado, com o objeto em repouso antes e depois do deslocamento. Exemplo: Se você levanta um copo que estava no chão acima da sua cabeça, a força que você exerce sobre o copo varia consideravelmente durante o levantamento. Mesmo assim, como o copo está em repouso antes e depois do levantamento, o trabalho que a força aplicada por você ao copo realiza é dado por Wa = mgd.


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A figura ao lado mostra uma mola no seu estado relaxado, ou seja, nem comprimida nem alongada.

Uma das extremidades está fixa e, na outra extremidade, tem-se um bloco preso a ela.

Se alongarmos a mola, puxando o bloco para a direita, a mola puxa o bloco para a esquerda.

Se comprimirmos a mola empurrando o bloco para a esquerda, a mola empurra o bloco para a direita.

Força Elástica (1)

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Como uma boa aproximação para muitas molas, a força de uma mola é proporcional ao deslocamento da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estado relaxado.

Assim, a força é dada por:

conhecida como Lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke, cientista inglês do final do século XVII.

O sinal negativo indica que o sentido da força elástica é sempre oposto ao sentido do deslocamento da extremidade livre da mola.

A constante k é chamada de constante elástica e é uma medida da rigidez da mola. Sua unidade no SI é o newton por metro.


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Adotando o eixo x como aquele ao longo do qual ocorre o deslocamento, podemos escrever:

Fx = -kx Nesta equação:

◦ Se x é positivo (ou seja, a mola está alongada para a direita), Fx é negativa (é um puxão para a esquerda).

◦ Se x é negativo (ou seja, a mola está comprimida para a esquerda), Fx é positiva (é um empurrão para a direita).

Deve-se notar que a força elástica é uma força variável, uma vez que depende de x, a posição da extremidade livre.


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Para determinar o trabalho realizado pela mola quando o bloco preso a ela se move, vamos fazer as seguintes hipóteses:

1. A mola não tem massa: sua massa é desprezível em relação à massa do bloco.

2. A mola é ideal, isto é, obedece exatamente à lei de Hooke.

Também vamos supor que não exista atrito entre o bloco e o piso.

Trabalho Realizado por uma Força Elástica (1)

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Vamos agora dar ao bloco um impulso para a direita, apenas para colocá-lo em movimento.

Quando o bloco se move para a direita a força elástica Fx realiza trabalho sobre ele, diminuindo a energia cinética e desacelerando o bloco.

Entretanto, não podemos calcular o trabalho usando a expressão W = Fd cos porque essa equação supõe que a força F é constante. E sabemos que a força elástica é variável.

Para efetuar este cálculo, precisamos do cálculo integral.


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Seja xi a posição inicial do bloco e xf a posição do bloco em um instante posterior.

Obtemos o trabalho da força elástica calculando:

2 - 2


xi

xf

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O trabalho realizado pela mola pode ser negativo ou positivo, dependendo do fato de a transferência total de energia ser do bloco para a mola ou da mola para o bloco quando este se move de xi para xf.

Trabalho Realizado por uma Força Aplicada

Vamos supor que deslocamos o bloco ao longo do eixo x, mantendo uma força aplicada ao bloco.

Durante o deslocamento a força aplicada realiza sobre o bloco um trabalho Wa, enquanto a força elástica realiza um trabalho Wel.

A variação K da energia cinética do bloco devido a estas duas transferências de energia é:

K = Kf – Ki = Wa+Wel


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Avaliando esta expressão:

K = Kf – Ki = Wa+Wel

se o bloco está em repouso no início e no fim do deslocamento, Ki e Kf são iguais a zero e temos:

Wa = - Wel

Assim, se um bloco que está preso a uma mola se encontra em repouso antes e depois de um deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada responsável pelo deslocamento é o negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica.


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Considerando uma força variável F(x) unidimensional qualquer, o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula quando ela se desloca de uma posição inicial xi para uma posição final xf é dado por:

Geometricamente, o trabalho é igual à área entre a curva de F(x) e o eixo x, entre os limites xi e xf:

Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica (1)

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Se a força for tridimensional, podemos expressá-la como:

Supondo que a partícula sofra um deslocamento incremental:

de teremos que:

dW = O trabalho realizado pela força enquanto a

partícula se move de uma posição inicial ri = (xi, yi, zi) para uma posição final rf = (xf, yf, zf) é, portanto:

Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica (2)

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A taxa de variação com o tempo do trabalho realizado por uma força recebe o nome de potência.

Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo t, a potência média desenvolvida durante esse intervalo de tempo é:

A potência instantânea P é a taxa de variação instantânea com a qual o trabalho é realizado, podendo ser expressa como:

Potência (1)

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Também podemos expressar a taxa com a qual uma força realiza trabalho sobre uma partícula em termos da força e da velocidade da partícula.

Para uma partícula que se move em linha reta (ao longo do eixo x, digamos) sob a ação de uma força que faz um ângulo com a direção do movimento da partícula, temos:

ou ainda:

Potência (2)

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No SI, a unidade de potência é o watt (W) que equivale ao volt-ampère:

1 V∙A = (1 J/C) ∙ (1 C/s) = (1 J/s) = 1 W

James Watt (Greenock, Escócia, 19 de Janeiro de 1736 — Heathfield Hall, Inglaterra, 25 de Agosto de 1819) foi um matemático e engenheiro escocês.

Construtor de instrumentos científicos, destacou-se pelos melhoramentos que introduziu no motor a vapor, que se constituíram num passo fundamental para a Revolução Industrial.

Potência – Unidade (1)

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