Mecˆanica Cl´assica I - Prova 2 Prof. Marco Polo 21 de ... · Considere um bloco de massa m preso...
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Mecˆ anica Cl´ assica I - 2015.1 - Prova 2 1 Mecˆ anica Cl´ assica I - Prova 2 Prof. Marco Polo 21 de maio de 2015 In´ ıcio: 14:00 - dura¸c˜ ao: 3:00 horas S´o ser˜ao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas. Quest˜ ao 01: Sistema massa-mola k a x Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma haste cil´ ındrica ligada a uma mola com constante el´astica k e compri- mento natural l, conforme a figura. O outro extremo da mola est´a fixo, situado a uma distˆ ancia a da haste, com a>l. Supo- nha pequenas oscila¸c˜ oes, ou seja, x ≪ a. (a) (2,0 pontos) Determine a frequˆ encia natural ω 0 de os- cila¸ c˜ ao do sistema. (b) (1,0 pontos) Em t = 0, x = x 0 e v = 0. Mostre que o caminho de fase descrito pelo sistema ´ e dado pela elipse x x 0 2 + ˙ x x 0 ω 0 2 = 1. Quest˜ ao 02: Oscilador harmˆonico amortecido Considere um bloco de massa m preso a uma mola de constante el´astica k em uma superf´ ıcie horizontal sem atrito. A for¸ ca de resistˆ encia do ar pode ser assumida como sendo F ar = −2mβv, onde β ´ e um parˆ ametro positivo e v ´ e a velocidade do bloco. A posi¸ c˜ ao do bloco vale x =0 quando a mola est´a sem deforma¸c˜ ao. Considere o caso do movimento subamortecido, isto ´ e, β< k/m. (a) (1,0 pontos) Escreve a equa¸ c˜ ao diferencial que governa a posi¸ c˜ ao x do bloco em fun¸c˜ ao do tempo. (b) (1,0 pontos) Calcule a solu¸c˜ ao geral da equa¸ c˜ ao acima. (c) (1,0 pontos) Em t = 0, a posi¸c˜ ao do bloco vale x = 0 e sua velocidade vale v = v 0 . Encontre x(t), isto ´ e, a posi¸c˜ ao do bloco em fun¸c˜ ao do tempo. (d) (1,0 pontos) Suponha que, ap´os quatro ciclos, a amplitude do oscilador cai para 1/e de seu valor inicial. Mostre que a rela¸c˜ ao entre a frequˆ encia do oscilador (ω 1 ) e a frequˆ encia do oscilador sem amortecimento (ω 0 )´ e dada por ω 1 ω 0 = 8π √ 1 + 64π 2 Quest˜ ao 03: (3,0 pontos) M´ etodo de Green Considere um oscilador linear amortecido, de massa m, constante el´astica k e parˆ ametro de amortecimento β , originalmente em repouso em sua posi¸c˜ ao de equil´ ıbrio para t< 0, e sujeito a uma for¸ ca do tipo degrau, conforme a equa¸ c˜ ao abaixo: F (t)= F 0 , se t> 0, 0, se t< 0 Usando o metodo de Green, calcule a posi¸c˜ ao x do oscilador em fun¸c˜ ao do tempo. Para as condi¸ c˜ oes iniciais deste problema, a fun¸c˜ ao de Green do oscilador ´ e dada por G(t, t ′ )= 1 mω 1 e −β(t−t ′ ) sin ω 1 (t − t ′ ), se t>t ′ , 0, se t<t ′ onde ω 1 = ω 2 0 − β 2 e ω 0 = k/m. Campus Ji-Paran´ a Departamento de F´ ısica – UNIR
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Mecanica Classica I - 2015.1 - Prova 2 1
Mecanica Classica I - Prova 2Prof. Marco Polo
21 de maio de 2015
Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas
So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.
Questao 01: Sistema massa-mola
ka
x
Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma hastecilındrica ligada a uma mola com constante elastica k e compri-mento natural l, conforme a figura. O outro extremo da molaesta fixo, situado a uma distancia a da haste, com a > l. Supo-nha pequenas oscilacoes, ou seja, x ≪ a.
(a) (2,0 pontos) Determine a frequencia natural ω0 de os-cilacao do sistema.
(b) (1,0 pontos) Em t = 0, x = x0 e v = 0. Mostre que o
caminho de fase descrito pelo sistema e dado pela elipse
(
x
x0
)2
+
(
x
x0ω0
)2
= 1.
Questao 02: Oscilador harmonico amortecido
Considere um bloco de massa m preso a uma mola de constante elastica k em uma superfıciehorizontal sem atrito. A forca de resistencia do ar pode ser assumida como sendo Far = −2mβv,onde β e um parametro positivo e v e a velocidade do bloco. A posicao do bloco vale x = 0quando a mola esta sem deformacao. Considere o caso do movimento subamortecido, isto e,β <
√
k/m.
(a) (1,0 pontos) Escreve a equacao diferencial que governa a posicao x do bloco em funcaodo tempo.
(b) (1,0 pontos) Calcule a solucao geral da equacao acima.
(c) (1,0 pontos) Em t = 0, a posicao do bloco vale x = 0 e sua velocidade vale v = v0.Encontre x(t), isto e, a posicao do bloco em funcao do tempo.
(d) (1,0 pontos) Suponha que, apos quatro ciclos, a amplitude do oscilador cai para 1/e deseu valor inicial. Mostre que a relacao entre a frequencia do oscilador (ω1) e a frequenciado oscilador sem amortecimento (ω0) e dada por
ω1
ω0
=8π
√1 + 64π2
Questao 03: (3,0 pontos) Metodo de Green
Considere um oscilador linear amortecido, de massa m, constante elastica k e parametro deamortecimento β, originalmente em repouso em sua posicao de equilıbrio para t < 0, e sujeitoa uma forca do tipo degrau, conforme a equacao abaixo:
F (t) =
{
F0, se t > 0,
0, se t < 0
Usando o metodo de Green, calcule a posicao x do oscilador em funcao do tempo. Para ascondicoes iniciais deste problema, a funcao de Green do oscilador e dada por
G(t, t′) =
1
mω1
e−β(t−t′) sinω1(t− t′), se t > t′,
0, se t < t′
onde ω1 =√
ω20 − β2 e ω0 =
√
k/m.
Campus Ji-Parana Departamento de Fısica – UNIR
