Mecanica e Dinamica

1

1

CapCapíítulo 1tulo 1Grandezas, unidades e dimensões. Vectores.

Mecânica Física I

2

ISELMecânica Física I – Capítulo 1

Grandezas

Física (Mecânica): Observação dos Fenómenos da Natureza, Ciência Experimental

Medição (numérica) → Grandeza física

ModeloDescrição simplificada do sistema físicoCorpos pequena dimensão: ponto material/partponto material/partíículacula

Descrição

EscalarVectorial

2

3


Sistemas de Unidades

Medição ↓

Unidades Invariáveis (padrão)

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Grandezas fundamentais (base)

Comprimento, massa, tempo

Grandezas derivadasForça: 1 N = 1 kg m s-2

Energia: 1 J = 1 kg m2 s-2

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Grandezas de Base do SI

Grandeza (símbolo) Dimensão Unidade

Comprimento (l) L m (metro)

massa (m) M kg (quilograma)

tempo (t) T s (segundo)

Corrente eléctrica (I) I A (ampere)

Temperatura (T) Θ K (kelvin)

Quantidade de matéria (n) N mol (mole)

Intensidade luminosa (Iv) J cd (candela)

Grandezas Suplementares do SI

ângulo plano (α,β,γ,θ) adimensional rad (radiano)

ângulo sólido (Ω,ϖ) adimensional esterradiano (sr)

4


Dimensões

Análise dimensional [X] = Ll Tt Mm IiΘθ Nn Jj

Natureza qualitativa grandeza físicaNão fornece factores numéricosHomogeneidade dimensional[v]=[x]/[t]=L T-1

[F] = [m] [a] = M L T-2

Notação Científica: 10x

5000 = 5x103

0,0002 = 2x10-4

Prefixos Múltiplos e Submúltiplos de Unidades SI

yota 1024 Y deci 10-1 d

zeta 1021 Z centi 10-2 c

exa 1018 E mili 10-3 m

peta 1015 P micro 10-6 µ tera 1012 T nano 10-9 n

giga 109 G pico 10-12 p

mega 106 M fento 10-15 f

kilo 103 k ato 10-18 a

hecto 102 h zepto 10-21 z

deca 101 da yocto 10-24 y

3

5


Sistemas de coordenadasReferenciais Cartesianos

Sistema de eixos ortonormado OXYZPonto fixo O, eixos perpendiculares OX, OY, OZ

Coordenadas cartesianas (rectangulares) → x, y, z

Movimento planoCoordenadas polares → r, θ

Movimento espaçoCoordenadas esféricas → r, θ, ϕ

6


Versores e componentes de um VectorVector

Módulo Orientação

DirecçãoSentido

VersorVector unitário,Sem dimensõesDefine uma orientação

Versores Eixos Cartesianos

OX; OY; OZ →Outros

vu

uvuv

≠

=

1=e

x y z

2 2 2x y z

u

ˆ ˆ ˆu u i u j u k

u u u u u u

u ˆu eu

= + +

= = = + +

= =( )kji ˆ;ˆ;ˆ

( ) ( )zyx uuueee ˆ;ˆ;ˆ;; 321 ≡

ki j

X

Y

Z

ux

uy u

uz

4

7


Soma/Subtração

Operações com VectoresVectores livres

Multiplicação por escalar (α)

a

b

ba +x y z

x y z

x y z

ˆ ˆ â a i a j a kˆ ˆ ˆb b i b j b kˆ ˆ ˆc c i c j c k

= + +

= + +

= + +

( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx ±+±+±=±

a

b

a b−

2 c c -1,5 c

x y zˆ ˆ ˆc c i c j c kα = α +α +α

8


Operações com VectoresProduto Interno/escalar

Projecção de um vector sobre o outro

Algumas propriedades

x x y y z z

a b a | b a b cos

a b a b a b a b

= = θ

= + +

i

i

a bi

a

b θ

2 2a a= a a

a b=b a

90º a b=0

=

θ = ⇒

i

i i

i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j=i k j k 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i=j j k k 1

= =

= =

i i i

i i i

a cosθ

5

9


( ) ( ) ( )

x y z

x y z

y z z y z x x z x y y x

ˆ ˆ î j ka b a b a a a

b b b

ˆ ˆ â b a b i a b a b j a b a b k

× = ∧ = =

= − + − + −

Produto externo/vectorialVECTOR perpendicular ao plano

Regra da mão direita

Operações com Vectores

a b a b sen× = θ

a

b

a b×

θ

b a a b× = − ×

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j=k j i=-kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î k j k i jˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj k i k j iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î i=j j k k 0

× ×

× = − × =

× = × = −

× × = × =

i

jk

10


Capítulo 1: Leituras RecomendadasCapítulo 1: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1-Mecânica Clássica”, Thomson, 2004

Capítulo 1, Secções 1.1 a 1.11 (p.5-37)

R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.

Capítulo 1, Secções 1-1 a 1-7 (p.1-14) – Grandezas e UnidadesCapítulo 2, Secções 2-1 e 2-2 (p.15-20) – Vectores

F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.

Capítulo 1, Secções 1.1 a 1.6 (p.2-13) – Grandezas e UnidadesCapítulo 2 , Secções 2.1 a 2.8 (p.17-30) – Vectores

1

1

CapCapíítulo 2tulo 2Cinemática do ponto material

Mecânica Física I

2


Cinemática do ponto material: ConceitosCinemática do ponto material: ConceitosCinemática

Estudo das propriedades geométricas do movimento das partículas/sistemas materiais, sem atender às causas

Ponto material/partículacorpo cujas dimensões são desprezadas no estudo do movimento

não se considera rotação, vibração, etc

Sistema material/corpo: conjunto de pontos materiais (rígido ou deformável)

Movimento cineticamentedeterminado/caracterizado

Equações do Movimento

Posição

Velocidade

Aceleração

Tipo de trajectória

Natureza do movimento

)t(r

)t(v

)t(a

2

3


Movimento Rectilíneo (unidimensional)Movimento Rectilíneo (unidimensional)Deslocamento/espaço

∆s = sP´-sP

intervalo ∆t = tP´-tP

Velocidade média

Velocidade (instantânea)

Aceleração média

Aceleração (instantânea)

'

'

−∆= =

∆ −P P

P P

s ssvt t t

0lim

t

s dsvt dt∆ →

∆= =

∆

'

'

P P

P P

v vvat t t

−∆= =

∆ −

0lim

t

v dvat dt∆ →

∆= =

∆

4


Movimento Rectilíneo: Casos particularesMovimento Rectilíneo: Casos particulares

Velocidade constanteIntervalo de tempo ∆t = t2 - t1; Deslocamento ∆x = x2 - x1

Aceleração constanteVariação de velocidade ∆v = v2 - v1

( )2 2

1 12 1 2 1

x t

x t

dxv cte dx v dt dx v dt x x v t tdt

= = ⇔ = ⇒ = ⇔ − = −∫ ∫1 1 0 00;t x x x x v t= = ⇒ = +

( )2 2

1 12 1 2 1

0

v t

v t

dva cte dv a dt dv a dt v v a t tv v a tdt

⎫= = ⇔ = ⇒ = ⇔ − = − ⎪ = +⎬⎪⎭

∫ ∫

( ) ( )0 0 00 0

x tdxv v a t dx v a t dt dx v a t dtdt

= = + ⇔ = + ⇒ = +∫ ∫

1 1 00;t v v= =

20 0

12

x x v t a t⇒ = + +

3

5


Equações do Movimento 2Equações do Movimento 2--D/3D/3--DDVector posição

Eq. Vectorial movimento

Equações finitas ou paramétricas

TrajectóriaLugar geométrico das sucessivas posições do p.m. no referencialEquação trajectória

Elimina-se tEx:

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr i+ j+ kt x t y t z t=

( ) ( ) ( )y zx x t y t z t= ==

( ) ( )y zy x z x= =

6


Grandezas lineares do MovimentoGrandezas lineares do MovimentoVector Velocidade

MédiaInstantânea

0

r r ˆ ˆ ˆv lim i+ j+ kt

d dx dy dzt dt dt dt dt∆ →

∆= = =

∆

Vector AceleraçãoMédiamed

rvt

∆=

∆

2 2 2

2 2 2

v ˆ ˆ ˆa i+ j+ k=

ˆ ˆ ˆ= i+ j+ k

yx zdvdv dvd

dt dt dt dtd x d y d zdt dt dt

= =

v dsvdt

= =

medvat

∆=

∆

a v∆

4

7


Casos particulares no movimento geralCasos particulares no movimento geral

Condições iniciais posição e velocidade em t = 0 s:

Velocidade constanteTrajectória Rectilínea

Aceleração constanteTrajectória Curvilínea

0r r v t= +

20 0

1r r v a2

t t= + +

0v v a t= +

0 0r , v

8


Componentes cartesianas e da trajectóriaComponentes cartesianas e da trajectória

Velocidade tangente à trajectória

TrajectóriaComponentes normal e tangencial

ˆ ˆ ˆv i+ j+ kˆ ˆ ˆa i+ j+ k

x y z

x y z

v v v

a a a

=

=

Componentes cartesianas

ˆv tv e=

5

9


0, 0rr 1

rt

s tdsds

d eds

∆ → ∆ →

∆ → ∆ ⇒ =

∴ =

DemonstraçãoDemonstraçãoˆv tve=

0

r r rv

r rlims

d ds d dvdt dt ds ds

dds s∆ →

= = =

∆=

∆

Quando

vector unitário (versor) tangente àtrajectória

vˆv

vˆ

t

t

e

e

=

Sentido do movimento

Sentido positivo da trajectória

10


Componentes intrínsecas da aceleraçãoComponentes intrínsecas da aceleraçãoAceleração: 2 componentes

Aceleração tangencialtangencialAltera o módulo da velocidade

Aceleração normalnormal, radial ou centrípeta

Altera a direcção da velocidade

ρ - Raio da trajectória

y

x

C

P

O

t ˆa tdv edt

=

t n

ˆvˆ ˆv a

ˆ ˆ

a a +a

tt t

tn

ded dvve e vdt dt dt

de v edt

= ⇒ = = +

=ρ

∴ =

2

n ˆa nv e=ρ

ta

a

na

2 2 2t na a a= +

ta

na

6

11


Classificação de MovimentosClassificação de MovimentosTrajectória

Tipo

RectilíneaDirecção constante

paralelos

CurvilíneaDirecção variável

não paralelos

BvAv

Ba

Aaa e v

v

v a=0×

v a×

v

v a 0× ≠a e v

12


Natureza do MovimentoNatureza do Movimento

Movimento Uniforme

Movimento uniformemente variado

Acelerado

Retardado

Mudança Sentido

Movimento variado

v

a

a

ta

ta

na

na

v

tv a 0tec= ⇒ =v a cos

t

ta

v a v a= θ =i

θ

θ

ta tec=

v a 0>i

v a 0<i

v a 0=i

( )ta f t=v a<0i

v a>0i

7

13


Movimentos constrangidos (roldanas)Movimentos constrangidos (roldanas)

Partículas com movimentos dependentes de outra(s) partícula(s)

LigaçõesFios inextensíveis (Cabos), carris, atrelados, etc

Análise de movimentos ⇒ relação entre coordenadasNº coordenadas independentes (arbitrárias) para definir posições → nºgraus de liberdade

Máquina de Atwood(Rev. George Atwood, 1746-1807)

Roldanas fixas, móveis e associações(Cat. Museu Física ISEL)

14


Movimentos constrangidos: 1 grau de liberdadeMovimentos constrangidos: 1 grau de liberdade

Fio inextensível de comprimento LRoldana de raio R2 blocos/partículas

s1s2

1 2

1 21 2 1 2

1 21 2 1 2

= const.

Se 0 0

Como 0 0

L s R sds dsdsv v v v v

dt dt dt

dv dvdva a a a adt dt dt

+ π + =

= ⇒ + = ⇔ + = ∴ = −

= ⇒ + = ⇔ + = ∴ = −

8

15


Movimentos constrangidos: 2 graus de liberdadeMovimentos constrangidos: 2 graus de liberdade

2 Cabos A e B

( )= 2 .= .

2 02

2 04 2

2 02

2 04 2

A A D

B B C C D

AA D D

A BB c D c

AA D D

A BB c D c

L y y constL y y y y const

vv v v

v vv v v v

aa a a

a aa a a a

+ +

+ + − +

+ = ⇔ = −

+ − = ⇔ = − −

+ = ⇔ = −

+ − = ⇔ = − −

⇓

⇓

16


Movimento CircularMovimento CircularCaso particular do movimento curvilíneo

Raio da trajectória ρconstante, r

Avaliação do movimento em função da variação angular φ(deslocamento angular ∆φ)Velocidade angular (rad/s):

Aceleração angular (rad/s2):

dt dt

∆φ φω = ⇒ ω =

∆

2

2

d dt dt dt

∆ω ω φα = ⇒ α = =

∆

9

17


Relação entre grandezas angulares e linearesRelação entre grandezas angulares e linearesr = const.

( )222

ˆ ˆr - v1

ˆv

n t

t

t t

n n

re ves d ds vr dt r dt r

v r re

dv da r a rdt dt

rva a rr r

= =θ

θ = ⇒ = ⇒ ω =

∴ = ω ⇔ = ω

ω= = ⇒ = α

ω= = ⇒ = ω

18


Grandezas angulares vectoriaisGrandezas angulares vectoriaisDirecção ω constante ≡Direcção eixo de rotação

no plano da trajectória

Vectorialmente:

r v∴ ⊥ ⊥ ωv

, vr

v ra r

a r v

d d ddt dt dt

ω= = × + ω× ⇔

⇔ = α× + ω×

ddtω

α =

v r= ω×

ˆa t tr e= α ˆan nv e= ω

10

19


Movimento circular uniformeVelocidades constantes

Movimento circular uniformemente variado, α = const.

22

0

v . 0

. 0t

n

const a

const

va a rr

d d dt tdt

= ⇒ =

ω = ⇒ α =

= = = ω

θω = ⇔ θ = ω ⇒ θ = θ + ω

0

20 0

12

d tdtd t tdt

ωα = ⇒ ω = ω + α

θω = ⇒ θ = θ + ω + α

v

a

20


Capítulo 2: Leituras RecomendadasCapítulo 2: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004

Capítulo 2, Secções 2.1 a 2.7 (p.40-76) – Movimento unidimensionalCapítulo 3, Secções 3.1 a 3.5 (p.77-93) – Movimento 2-D/3-D e circular

F. P. Beer, E. R. Johnston & W.E. Clausen. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Dinâmica”, 7ª Edição, McGraw-Hill, 2006.

Capítulo 11, Secções 11.1 a 11.5 (p.602-617) – Movimento unidimensionalCapítulo 11, Secções 11.9 a 11.11 (p.641-646), 11.13 (p.663-665) –Movimento 2-D/3-DCapítulo 11, Secção 11.6 (p.618-623) – Movimentos constrangidosCapítulo 15, Secções 15.3 a 15.4 (p.919-925) – Movimento circular

R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.Capítulo 2, Secções 2-3 a 2.6 (p.20-46) – Movimento unidimensionalCapítulo 4, Secções 4.1 a 4.3 (p.75-81) – Movimento 2-D/3-DCapítulo 8, Secções 8.1 a 8.6 (p.179-196) – Movimento Circular

1

1

CapCapíítulo 3tulo 3Leis de Newton

Mecânica Física I

2


Dinâmica do ponto material: ConceitosDinâmica do ponto material: ConceitosDinâmica

Relação entre o movimento das partículas/sistemas materiais e as forças a que são submetidos (causas do movimento)Descrição da interacção de um corpo com a “vizinhança”:

Força(s)

Objectivo DinâmicaCaracterizar o movimento quando sujeito à acção de forçasDeterminação das forças responsáveis por um dado movimento

Movimento dinamicamente

determinado

Força (s)Contacto

Campo

Inércia (massa)

F( , , , , )x y z v t

2

3


Inércia e momento linearInércia e momento linearInércia

Galileu Galilei (1564-1642)Propriedade universal dos pontos materiais (e dos sistemas materiais)Traduz a resistência à alteração do estado cinemático poracção de uma força (externa)Quantificada por parâmetro m: massa inercial

Isaac Newton (1643-1727)

Momento linear (quantidade de movimento)

Depende do referencial

p vm=

4


Leis de NewtonLeis de Newton1ª - Lei da Inércia

Um corpo em repouso permanecerá em repouso, e um corpo em movimento continuará em movimento com velocidade constante (movimento rectilíneo uniforme), a menos que sobre ele actue uma força externa resultante diferente de zero

p Fdd t

=

m1

m2

F12

F21

F12 = - F21m1

m2

F12F12

F21F21

F12 = - F21

2ª - Lei fundamental da DinâmicaA variação temporal do momento linear de uma partícula/sistema material é directamente proporcional à resultante de todas as forças que a/o actuam:

3ª - Lei da Acção-ReacçãoQuando há interacção entre 2 corpos, a força que o 2º corpo exerce sobre o 1º é igual e oposta à força que o 1º corpo exerce sobre o 2º:

F a

m cte

m

=

⇓

=

Equação fundamental da Dinâmica

3

5


Referenciais Referenciais inerciaisinerciais ((NewtonianosNewtonianos))

Referenciais onde são válidas as leis de NewtonUma partícula não sujeita a qualquer interacção possui aceleração nulaMovimento rectilíneo uniforme/RepousoOutro referencial com m.r.u. (ou em repouso) é igualmente referencial inercial

Referenciais não inerciais (ou acelerados)sujeitos a aceleração

pF 0 p .v .

vF a 0 a 0

d constdt const

dmdt

⎫= = ⇒ = ⎪⎪ =⎬⎪= = ⇒ = =⎪⎭

6


Composição de Forças (Força resultante)Composição de Forças (Força resultante)Sistema de n forças actuando um ponto material

n

1 2 3 n i Ri=1

F F F F F F+ + + + = =∑…1F

2F

nF

3F

RFm

Força Resultante (vector principal)

Lei da independência das forças:O sistema de forças e a força resultante são equivalentes

n n

i i R i ii=1 i=1

n

ii=1

F a F F a

F a

m m

m

= ⇒ = =

∴ =

∑ ∑

∑

X

Y

Z

O

4

7


Aplicações da 2ª lei de Aplicações da 2ª lei de NewtonNewton

Definição dinâmica de força

Massa inercial: coeficiente de proporcionalidade

Grandeza escalarIndependente condições anteriores do movimentoOrigina variações velocidade

Interacções dependerão:Posição das partículas (x,y,z)Velocidade vTempo t

Integrando

Alguns tipos de força:Campo

GravíticaElectrostáticaMagnética

ContactoAcção-reacção

NormalTracção/tensão

LigaçãoMovimento circular

ElásticaAtrito

Seco/CoulombViscoso

pF a F ad mdt

= = ⇒ ∝

F( , , , , )x y z v t⇒

( )2

2

rF r tdmdt

= →

8


Força gravitacionalLei da atracção universal

Par acção-reacçãoMassa m ≠ Peso P (=Fg)

Terra esférica e referencial inercial

Nível do solo r = R

Exemplo: Mafra

Ponto (38º56’02’’;09º18’34’’)Precisão ∆g = ±0,001 mgal = ±10-8 m s-2

g 2 ˆF Tr

mmG er

= −gF

g 2F Tmm G m gr

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 02 2 2T Tm m Rg G g G g g

r R r= ⇒ = ⇒ =

20 9,800802g m s−=

Acção-ReacçãoForça de tracção/tensão

Força normal

g Pm =

P

( )P T a

a 0

T P

m+ =

⇓ =

= −

P N 0

N P

+ =

⇓

= −

5

9


Força elásticaMola de comprimento L

k constante de proporcionalidade (constante de elasticidade)

Forças de ligaçãoTrajectória circularLigação (tensão/normal)

Movimento uniforme

P T am+ =

elF

0elF =

elF L∝ ∆

elF k L= ∆2

2na a va R

R= ⇒ = = ω

P N am+ =

10


Forças de atritoAtrito seco (Coulomb)

Interacção/contacto superfíciesOrientação oposta ao movimento relativo

Coeficiente atrito µAtrito estático

Atrito cinético

Relação entre coeficientes

Atrito ViscosoMovimento num fluido

Velocidades baixas (Stokes)

AmortecedorVelocidades altas (Rayleigh)

aF bv= (v < 30 m/s)

2aF bv= (v < 300 m/s)

aF N∝

a eF N≤ µ

a cF N= µ

c eµ < µ

6

11


Capítulo 3: Leituras RecomendadasCapítulo 3: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1-Mecânica Clássica”, Thomson, 2004

Capítulo 4, Secções 4.1 a 4.7 (p.108-129) – Leis de NewtonCapítulo 5, Secções 5.1 a 5.4 (p.141-161) – Aplicações Leis de Newton


Capítulo 12, Secções 12.1 a 12.6 (p.692-704) – Leis de Newton


Capítulo 3, Secções 3-1 a 3-8 (p.47-74) – Leis de Newton a 1-DCapítulo 4, Secção 4.2 (p.76-78) – Leis de Newton a 3-DCapítulo 5, Secções 5.1 a 5.4 (p.102-116) – Aplicações Leis de Newton

1

1

CapCapíítulo 4tulo 4Dinâmica do ponto material

Mecânica Física I

2


Considerações sobre EnergiaConsiderações sobre EnergiaInteracções entre partículas e/ou sistemas materiais

ForçasLeis de Newton → Análise do movimentoPosição, velocidade, aceleração

→ Problemas com algumas situações

Abordagem alternativa: ENERGIA EProcessos físicos envolvem:

Transferências de energia Transformações de energiaDiferentes formas de energia

mecânica (trabalho, cinética, potencial), química, eléctrica, atómica

2

3


Impulso (linear) de uma forçaImpulso (linear) de uma forçaForça actuante num intervalo ∆t = t2-t1

( )

( )

2 2

1 1

2

1

t p

2 1t p

t

F t

pF F p

F t p p p

I F t

d dt ddt

dt d

dt

= ⇔ =

⇒ = = −

=

∫ ∫

∫ Impulso da força F

FI

FI p= ∆Teorema da variação do momento linear

2pFI

2p1p 1p

Interpretação GráficaUnidade: N∗s

4


ImpulsoImpulso

Se constante,

Movimento rectilíneo e direcção de constante

( )

2

1

2 2

1 1

2

1

t

t

t t

F 2 1 2 1 t t

t

t

I p p v - v F

x x

y y

z z

m v F dt

m dt m v F dt

m v F dt

⎧ ∆ =⎪⎪⎪= − = = ⇔ ∆ =⎨⎪⎪ ∆ =⎪⎩

∫

∫ ∫

∫F

( ) ( )2 1 2 1m v v F t t⇒ − = −

2 2

1 1

t t

F t tI F F F F

F

dt dt t I F t

I Ft

= = = ∆ ⇔ = ∆

⇔ =∆

∫ ∫

F

3

5


Trabalho de uma forçaTrabalho de uma forçaForça actua numa p.m.

Origina deslocamento

Trabalho infinitesimal da força

Trabalho no deslocamento

sendoUnidade S.I.: J (Joule)

F r cos

t

dW d FdsdW F ds= = α

⇔ =i

rds2

A1

A2

A

s1s

αds

rdF

2 2

1 11 2 F r

A s

tA sW d F ds→ = =∫ ∫i

F r x y zd F dx F dy F dz= + +i

1 J é o trabalho realizado por uma força de 1 N, cujo ponto de aplicação sofre um deslocamento de 1 m

6


Trabalho: expressões alternativasTrabalho: expressões alternativas

Expressão do trabalho elementar de uma força

Em termos da velocidade

Se Ft = const.

Se

E o trabalho não depende da trajectória!

2

11 2

F rF v F vrv

t

t

dW ddt W dtd

dt→

⎫=⎪ ⇒ =⎬

= ⎪⎭∫

ii i

2

11 2

v

t t v

dvF ds ma ds m ds mv dv W mv dvdt →= = = ⇒ = ∫

( )1 2 2 1t tW F s s F s→⇒ = − = ∆

( )2

1

r

1 2 2 1rF=const. F r F r r F rW d→⇒ = = − = ∆∫i i i

4

7


Casos particulares: trabalho da força Casos particulares: trabalho da força gravíticagravítica

Força Gravítica ou Peso

Trajectória no plano OXY, entre pontos A1 e A2

y1

y2

y

dy

A1

A2

A

P ( )2 2

1 1

2

1

1 2 P rA y

yA y

y

y yy

W d P dy

P dy P y

→∴ = = − =

= − = − ∆

∫ ∫

∫

i

O X

Y

ˆ ˆP yP j mg j= − = −

ˆ ˆrd dx i dy j= +

dx

rd

( )1 2 2 1W mg y y→⇒ = − − Elevação (∆y > 0) ⇒ W1→2 < 0Descida (∆y < 0) ⇒ W1→2 > 0

8


Casos particulares: trabalho da força elásticaCasos particulares: trabalho da força elásticaForça Elástica

Trajectória rectilínea (OX), entre pontos A1 e A2

O

ˆ ˆF xF i kx i= − = −

ˆrd dx i=

B

B x1A1

A2

A

AO

B x2

x

F2 2

1 11 2

2 21 2 1 2

F r

1 12 2

A x

A xW d kx dx

W kx kx

→

→

∴ = = −

⇒ = −

∫ ∫i

Mola não deformada

W1→2 > 0 ⇒ mola regressa à posição não deformada

5

9


Energia CinéticaEnergia CinéticaDa expressão do trabalho de uma força:

Energia Cinética, Ec:Grandeza escalarUnidade S.I.: J (Joule)

Princípio do trabalho e energia (ou Teorema da variação da energia cinética)

( )2

2 2

1 11

2 22 12 2

vv v

v vv

v mmv dv m v dv m v v⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫2

212 2c

pE mvm

= =

2 21 2 2 1

1 12 2cW E mv mv→ = ∆ = −

10


PotênciaPotênciaPotência: taxa temporal de realização/consumo de trabalho (ou energia)

Potência instantânea (∆t → 0):

Unidade S.I.: 1 J/s = 1 W (watt)Cavalo-vapor (“horse-power”): 1 cv (hp) = 746 W

Rendimento η (eficiência ε):

cmedia

EWPt t

∆→ = =

∆ ∆cdEdWP

dt dt= =

F r F vdW d dt= = ⇒i i F vP = i

saída saída

entrada entrada

W PW P

η = =

6

11


Forças conservativasForças conservativasForças conservativas

W1→2 não depende da trajectória (A ou B)W1→2 depende apenas das posições/configurações inicial e final (pontos 1 e 2)W1→2 é nulo numa trajectória fechadaAssociadas a uma função potencial V ou energia potencial Ep

A energia mecânica é invariante (Emec constante)

Conversão entre formas de energia (Ec ↔ Ep)

1 2 1 2F r F r

F r F r F r 0

A B

A B

A B A B

W d d W

d d d

→ →

−

= = =

= − =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

i i

i i i

A

B

12


Função potencialFunção potencialTrabalho de uma força conservativa,

Função V (potencial) dependente apenas da posição (x,y,z)

Gradiente:

Rotacional:

( )F , ,x y z

( )1,2 1,2F r x y zW d F dx F dy F dz dV V= = + + = − = −∆∫ ∫ ∫i

( ), , V V VV x y z dV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂⇒ = + +

∂ ∂ ∂

F ; ;r x y zV V VF F Fx y

dz

W d dV ∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂= − ⇒

∂= i

ˆˆ ˆF grad V V VV V i j kx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − = −∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

;rot F F 0 ;y yx xz zF FF FF Fx y x z z y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= = =

∂ ∂= ∇× = ⇒

∂ ∂ ∂ ∂

7

13


Energia potencial Energia potencial EEpp

Conhecer Ep (=V) ⇒ conhecer força conservativa

Determinar Ep num ponto ⇒ escolher ponto referênciaPonto de referência arbitra-se Ep = 0

Energia potencialTrabalho desenvolvido por uma força conservativa ao longo de uma dada trajectória desde um ponto Q (x,y,z) até um ponto de referência R (onde a energia potencial se anula)

1,2 1,2 1 2W V V V= −∆ = −

( )0

, ,R

Q R R Q Q PQW dW V V V E x y z→

=

⎛ ⎞= = − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

14


Conservação da energia mecânicaConservação da energia mecânicaForça conservativa

Princípio do trabalho-energia

Lei da Conservação da Energia MecânicaNo movimento sob acção de força(s) conservativas é constante a soma das energia cinética e potencial

P1 m

P2

F

1v

2v( )F , ,x y z1 21,2 p pW E E= −

2 11,2 c cW E E= −

1 2 2 1

1 1 2 2

1,2

const.p

p p c c

p c p cc

W E E E E

E E EE E E

∴ = − = −

⇔ + + == + ⇒

; 0mec p c mecE E E E= + ∆ =

8

15


Forças Forças nãonão--conservativasconservativasO trabalho depende da trajectória

Exemplo: atrito

Energia mecânica não é invariante

Movimento actuado por forças conservativas e não conservativas

1 2 1 2A BW W→ →≠

1 2 0mec mec mecE E E≠ ⇔ ∆ ≠

2 1

1 2 2 1

1 2

1 2 1 2 1 21 2

1 2

cons Nconsc c Ncons

p p c cconsp p

W W W E EE E W E E

W E E→ → →

→→

⎫= + = − ⎪ − + = −⎬= − ⎪⎭

1 2Ncons

c p mecW E E E→∴ = ∆ + ∆ = ∆

16


Energia potencial Energia potencial gravíticagravítica

Referência: r → ∞ ⇒ Ep → 0

Próximo da superfícieReferência: Ao nível do solo

2T

gm mF G

r= −

, 2

2 2

0 02 2

1

;

T TP R T pr

r

Tp

m m m mW G dr Gm m E Gr r r

m R Rg G g g E mgr r r

∞∞ ⎡ ⎤= − = ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

= = ⇒ = −

∫

2

0pRE mgr

= −

2TmmG

r−

pE mgh=

0pE =

0,r R g g→ →

( )R

p prE mgdr m E m hg r gR= − = − ⇒ =∫

9

17


Energia potencial elásticaEnergia potencial elástica

Referência: xr = 0 (Fel = 0) ⇒ Ep = 0

elF kx= −

( )2

2 2, 2 2r

r

xx

P R rxx

x kW kxdx k x x⎡ ⎤

= − = − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

0pE =

212pE kx=⇒

Lei de Hooke:

212p iE kx=

212p fE kx=

( )2 212p f iE k x x∆ = −

Força elástica+gravíticael grav

mec p p cE E E E= + +

elF

gF

18


Conservação do momento linearConservação do momento linearConservação do momento linear (quantidade de movimento)

Ausência de forças exteriores

extpF 0 0 p . p pi f

d constdt

= ⇒ = ⇒ = ⇔ =

1v

Av

Sistema inicialmente em repousoDeslocamento do passageiro ⇒deslocamento contrário da plataforma

1 1 0 1 1 0p p 0i f A Am v m v m v m v= ⇔ = + ⇒ = −

10

19


Colisões (impacto)Colisões (impacto)Choque/colisão/impacto

Interacção decorre num ∆t→0Forças de interacção/contacto

Interiores, exercidas entre os corposVariam durante o choqueAtingem grande intensidade F→∞

Forças exteriores desprezáveisFext<<F

Alteração do movimentoLinha de impacto

Direcção da normal às superfícies de contacto

ChoqueCentral

Centros de massa dos corpos localizados sobre a linha de impacto

ExcêntricoCentros de massa exteriores à linha de impacto

Linha de impacto

20


ChoqueForças internas, impulsivas, repercutivas

F>>Fext (F→∞, Fext →0)IF finito (= Fmed ∆t)

Velocidade:Variação finita durante o choque

( )2

1

t

F 2 1t

F

I F t p p 0

I

dt

vm

= = − ≠

⇒ ∆ =

∫

( )F FI I 0 0rv r t tt m m

∆∆ = = ⇒ ∆ = ∆ → ∆ →

∆

Variação do momento linear Variação do momento linear durantedurante o choqueo choque

FIFmed

Posição:Aproximadamente invariável durante o choque

11

21


ext

A B A B

F 0 p .

p 0 p p 0 p p

const= ⇒ =

∆ = ⇔ ∆ + ∆ = ⇒ ∆ = −∆

Choques: Conservação do momento linearChoques: Conservação do momento linear

Choque Central DirectoChoque entre corpos/partículas A e B

Forças interiores FA e FB

Forças exteriores desprezáveis

v – velocidade antes do choqueu – velocidade antes do choque

Choque DirectoDirecção do movimento constante

0A BF F⇒ + =

Antes e depois do choque!

ip p f A A B B A A B Bm v m v m u m u= ⇔ + = +

n

Linha de impacto

A

tAv

B Bv

AFBF

A A B B A A B Bm v m v m u m u⇒ + = +

22


Natureza do ChoqueNatureza do ChoqueChoque elástico

Domínio da elasticidadeDeformação não permanente, recuperação da forma após a colisãoConservação da Emec ⇒ Ec = const.

Choque inelástico (plástico)Domínio da plasticidadeDeformação permanente: junçãoEmec não se conservaConservação momento linear

Choque: caso geralDeformação “intermédia”, entre elasticidade e plasticidade perfeitaColisão “dividida” em 2 períodos

DeformaçãoRestituição2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

i fc c

A A B B A A B B

E E

m v m v m u m u

= ⇔

⇔ + = +

( )A A B B A Bm v m v m m u+ = +

12

23


Choque: coeficiente de restituiçãoChoque: coeficiente de restituiçãoCoeficiente de restituição, e

Mede capacidade dos corpos “recuperarem” a forma após uma colisãoBalanço entre os impulsos das forças associadas à deformação (Fd) e à restituição (Fr) durante os respectivos períodos

r

d

F r r B A

F d d A B

I p m v u ue eI p m v v v

∆ ∆ −= = = ⇒ =

∆ ∆ −

Choque elástico ⇒ e = 1

Choque plástico ⇒ e = 0Corpos seguem juntos

Caso geral: 0 < e < 1

( )B A A Bu u e v v− = −

( )B A B Au u v v− = − −

24


Direcção inicial das velocidades não coincidente com a linha de impactoForças de contacto actuam na direcção da normal à superfície de impacto ⇒ variação do momento linear apenas na direcção n

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

' '

' 't t t t

t t t t

m v m v v v

m v m v v v

= ⇒ =

= ⇒ =

Choque Central Oblíquo

Conservação do momento linear do sistema na direcção da normal n

Momento linear de cada partícula constante na direcção tangencial t

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2' 'n n n n

m v m v m v m v+ = +

Coeficiente de restituição na direcção n:( ) ( )( ) ( )

2 1

1 2

' 'n n

n n

v ve

v v−

=−

13

25


Movimento relativo (translação)Movimento relativo (translação)Movimento da partícula P, massa m2 referenciais cartesianos

Referencial inercial S[Oxy]Referencial acelerado S’[O’x’y’]

Posição:

Posição relativa:

Lei da transformação de velocidades

Aceleração:

' 'r r rPS S S PS= +

' 'r r rPS S S PSd d ddt dt dt

= + ⇒ ' 'v v vPS S S PS= +

' 'r r r rPS PS S S rel= − =

' 'v v vPS S S PSd d ddt dt dt

= + ⇒ ' 'a a aPS S S PS= +

Referencial S’Movimento de transporteVelocidade de transporteAceleração de transporte

'rS S

'v vS S tr=

'a aS S tr=

26


Translação em referenciais Translação em referenciais inerciaisinerciais2 Referenciais inerciais

S[Oxyz] fixoS’[Ox’y’z’] em translação com velocidade constante

R '1

F F a an

i PS PSi

m m=

∴ = = =∑

' ''

' '

v v va a

v v .PS S S PS

PS PSS S O O const

= + ⎫=⎬= = ⎭

2 observadores medem exactamente a mesma força, em qualquer referencial inercial

14

27


Equilíbrio dinâmicoEquilíbrio dinâmicoMovimento aceleradoReferencial inercial (fixo) S[OXY]

Referencial ligado ao corpo s[oxy]Referencial não-inercial ou aceleradoCorpo em repouso no referencial

Força fictícia ou de inércia

Equilíbrio dinâmico “similar” ao equilíbrio estático

RR

FF F a amm

= = ⇒ =∑

RF a 0m− =

a

inF am= −R inF F 0+ =

Princípio de Princípio de D’AlembertD’AlembertEquilíbrio entre a(s) força(s) que actuam um ponto material e a(s) força(s) de inércia decorrente(s) do movimento

28


Princípio de Princípio de D’AlembertD’Alembert num referencial num referencial aceleradoacelerado

Ponto material em A(x,y,z)Referenciais

[OXYZ] inercial[Bxyz] acelerado

/r r r a a aA B rel A B A B= + ⇒ = +

aceleração de transporte

aceleração relativa

( )

in in

R

R

F F

F F a a a

F a a 0tr rel

tr rel

tr rel

m m

m

= = = +

⇔ − − =

∑

aceleração absoluta

Força de inércia de transporte

Força de inércia relativa

Equação generalizada do Equação generalizada do Equilíbrio dinâmicoEquilíbrio dinâmico

R in inF F F 0tr rel

∴ + + =

15

29


Capítulo 4: Leituras RecomendadasCapítulo 4: Leituras RecomendadasR. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004

Capítulo 6, Secções 6.1 a 6.8 (p.179-202) – Trabalho e PotênciaCapítulo 7, Secções 7.1 a 7.4 (p.212-226) – Forças conservativasCapítulo 8, Secções 8.1 a 7.4 (p.245-262) – Impulso e colisões Capítulo 3, Secção 3.6 (p.93-96) – Movimento relativo


Capítulo 13, Secções 13.1 a 13.5 (p.758-764) – Trabalho e PotênciaCapítulo 13, Secções 13.6 a 13.8 (p.781-785) – Forças conservativasCapítulo 13, Secções 13.10 a 13.15 (p.805-827) – Impulso e colisõesCapítulo 11, Secção 11.12 (p.646-647) – Movimento relativoCapítulo 12, Secção 12.6 (p.697-698) – Equilíbrio dinâmico

R. Resnik, D. Halliday & K. Krane, “Física 1”, 5ª Edição, LTC, 2003.Capítulo 11, Secções 11.1 a 11.6 (p.259-273) – Trabalho e PotênciaCapítulo 12, Secções 12.1 a 12.3 (p.289-296) – Forças conservativasCapítulo 6, Secções 6.1 a 6.5 (p.134-144) – Impulso e colisõesCapítulo 4, Secção 4.6 (p.86-88) – Movimento relativoCapítulo 5, Secção 5.6 (p.118-120) – Equilíbrio dinâmico

1

1

CapCapíítulo 5tulo 5Introdução à dinâmica de rotação

Mecânica Física I

2


Momento de uma força (Momento de uma força (torquetorque))Aplicação de uma força

Movimento de rotaçãoGrandezas angulares, ω e α, dependentes:

Orientação da forçaComponente tangencial Ft

Intensidade da forçaPonto de aplicação da força

↓Momento da força M0

ou Torque τ

2

3


Momento da força

Módulo

Braço da força r (ou d)Unidade: N mEquilíbrio estático:

0M r F= ×

0 sent

t

F

M r F r F= θ =

0F 0 M 0= =∑ ∑

4


Momento angularMomento angularMomento angular L0 (ou H0)

“Quantidade de movimento” de rotação

Módulo

Unidade: kg m2 s-1

0L r p= ×

0 sen senL r p r mv= θ = θ

3

5


Variação do momento angularVariação do momento angularVariação temporal de L0

Momento da força que actua uma partícula, em relação a 0, é igual à variação temporal do momento angularAcção de várias forças:

0

0

L r pp r v p r Fd d ddt dt dt

=

= × + × = × + ×

00

LM ddt

∴ =

00

LM r Fi i

i i

ddt

= × =∑ ∑

6


Impulso angular e variação de LImpulso angular e variação de L00

Impulso angular:

Teorema da variação do momento angularA variação do momento angular de uma partícula, num determinado intervalo de tempo ∆t, é igual ao impulso angular aplicado durante esse ∆t

2 2

1 1

t t00 0 0 0 0t t

LM L M L Md d dt d dtdt

= ⇔ = ⇒ =∫ ∫

2

1

t

0tM dt∫

( ) ( ) 2

1

t

0 0 2 0 1 0tL L t L t M dt∆ = − = ∫

0 0 0M . L Mconst t= ⇒ ∆ = ∆

4

7


Conservação do momento angularConservação do momento angular

Princípio da conservação do momento angularSe o momento resultante externo que actua num ponto material for nulo, o vector momento angular permanece constante

Exemplo:

000

L 0r 0,F 0, r

r

F

M F 0L .d

ds

tcon t

= × ==

⎫⎪ = ⇒⎬= = ⎪⎭

20

i f i f

v r L rmv mr

r r

= ω ⇒ = = ω

∴ > ⇒ ω < ω

8


v

ω0L

Momento de inérciaMomento de inércia

Movimento Circular

Momento de inércia: I = m r2

Unidade: kg m2

20

ˆ

ˆˆ ˆr , v , ,ˆˆ ˆL r v

n t

n t

k

re ve k v r

m mrve e mr k

= = ω = ω = ω

⇒ = × = × = ω

0 0L MI I∴ = ω⇒ = α

5

9


Energia cinética de rotação Energia cinética de rotação

Alternativamente

Potência

( )2 221 12 2

12c cE mv m r E I= = ω = ω⇒

20

1 1 1L2 2 2cE I I= ω = ω ω = ωi i

00F v t

MP F v r P Mr

= = = ω ⇒ = ωi

10


Capítulo 5: Leituras RecomendadasCapítulo 5: Leituras Recomendadas

R. A. Serway & J. W. Jewett, “Princípios de Física: Vol.1- Mecânica Clássica”, Thomson, 2004

Capítulo 10, Secções 10.5 (p.327-330) – Momento de forçasCapítulo 10, Secções 10.7 a 10.9 (p.334-345) – Momento angular


Capítulo 12, Secções 12.7 a 12.9 (p.718-721) – Momento angular


Capítulo 9, Secções 9.1 a 9.2 (p.197-208) – Momento de forçasCapítulo 10, Secções 10.1 a 10.4 (p.233-245) – Momento angularCapítulo 11, Secção 11.7 (p.273-275) – Energia cinética de rotação

Mecanica e Dinamica

Documents

Transcript of Mecanica e Dinamica