Mecânica Quântica Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física...
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Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
2º período letivo, 2013
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 6
Leituras recomendadas
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008.
• R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica,
Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness,
Oxford UP, 2006.• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne , Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach,
Addison-Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
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Simulações
• Interferômetro de Mach-Zehnder (Univ. Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena
• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
8C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Sumário
1. Fenômenos quânticos
2. Princípios da mecânica quântica
3. Sistemas quânticos simples: aplicações
4. Emaranhamento
5. Realismo, contextualidade e não-localidade
6. Partículas idênticas
7. Produto escalar, operadores, autovalores e autovetores
8. Simetrias
9. Posição e momentum
10. Partícula em uma dimensão
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Charles Addams, New Yorker, 1940
Fenômenos Quânticos
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Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
espelho
detetores de luz D1
D2
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Resultado do experimento
• Os detetores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D2
D1
D2
ou
50% 50%probabilidade
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Se a luz fosse uma onda
... os detetores deveriam disparar ao mesmo tempo.
D1
D2
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Se a luz é composta por partículas
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
ou
D1
D2
D1
D2
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Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detetor que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
caminho 2
caminho 1
D2
D1
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.
ν1
ν2
átomo de cálcio τ = 4,7 ns
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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Resultado do experimento de Grangier et al.
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Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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Outro experimento com a luz
interferômetro de Mach-Zehnder
D2
D1
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
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Preliminares: um feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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O outro feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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Resultado fácil de entender com partículas
= caminho do fóton
1
2
50%
25%
25%
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De volta ao interferômetro
D1
D2
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Resultado do experimento:
0%
100%
D1
D2
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Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
caminho 1 caminho 2
1
25%
25%2
25%
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.
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)2(D
)1(DD nnn
PPP
probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho 2 aberto
Proposição*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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Teste da Proposição
Experimentalmente:
)2(D
)1(DD nnn
PPP
%100P1D
%25P )1(D1
%25P )2(D1
%25P )1(D2
%0P2D
%25P )2(D2
a Proposição é falsa!
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Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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Por onde vai o fóton?
1 e 2
ou 1 ou 2
nem 1 nem 2
1 2
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Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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Outra possibilidade...
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir as possibilidades 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (1927)
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Fácil de entender num modelo ondulatório
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
33
Comprimentos variáveis
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L1
L2
PD2
PD1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
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Resultado experimental:
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
L1 – L2
0
1PD1
L1 – L2
1
0
PD2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 36
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)
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Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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Interferência de átomos
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 39
Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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E se o caminho for observado?
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
interferênciadesaparece !
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 42
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se o caminho for observado?
N Massa
• Massa = 0• caminho
identificado• não há padrão de
interferência
• Massa ∞• caminho não
identificado• padrão de
interferência
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 43
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
interferência
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 44
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
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Princípios da Mecânica Quântica
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Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• A equação de Schroedinger
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Vetores de Estado e o
Princípio da Superposição
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Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
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Sistemas de dois estados
cara coroa
fóton refletido
fóton transmitido
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Sistemas de dois estados
A = ? a2a1
2
1
a
aAgrandeza física observável:
a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
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Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
Aa1 a2
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Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais em um espaço de duas dimensões
1a
2a
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A notação de Dirac
vetor ↔
identificação
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
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O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
1a
2a
Aa1 a2
O que muda é o seguinte:
?
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O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1 ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.
2211 acac
1a
2a
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Significado de | ñ
• A = a1 e A = a2 ?
• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a
2a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 57
Alguns detalhes ‘técnicos’
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos.
• O espaço de estados é um espaço vetorial complexo.
• Os vetores |a1 ñ e |a2ñ são uma base do espaço (bidimensional) de estados.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 58
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
1a
2a
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Princípio da Superposição: formulação geral
Se | ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do
sistema.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 60
A Regra de Born
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A Regra de Born
2211 acac
1a
2a
c2
c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
2
2
2
1
2
nn
cc
c)a(P
(n = 1, 2)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 62
A Regra de Born
2211 acac
| a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
2
2
1
2
11
cc
c)a(P
2
2
2
1
2
22
cc
c)a(P
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Probabilidade total
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
1cc
c
cc
c)a(P)a(P 2
2
2
1
2
22
2
2
1
2
121
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 64
Normalização do vetor de estado
1aa 21
2
2
2
1 cc
Norma de |ñ:
1a
2a
c2
c1
(tamanho do vetor |ñ)
Com essa definição:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 65
Normalização do vetor de estado
2211 acac 2211 acac
| ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
c
cc
c)a(P n2
2
2
1
2
n2
2
2
1
2
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 66
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo
estado físico.
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1
1cc,acac2
2
2
12211 ou seja,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 67
2
nn c)a(P
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac
a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
11 c)a(P
2
22 c)a(P
(normalizado)
|
68
Amplitude de probabilidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
cn amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
nn c)a( “função de onda”:
2
nn )a()a(P
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 69
Valor médio
N medidas de A (N )
N1 a1 , N2 a2
valor médio de A no estado |
NaNaN
A 2211
a2a1
a2a1
a2a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 70
Valor médio
2211 acac
21112211 a)a(Pa)a(P
NaNaN
A
2
2
21
2
1 acacA
probabilidades:NN
)a(P 11
NN
)a(P 22
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 71
Incerteza
2211 acac
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
2a
c2
c1
c1, c2 0
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ouSe
1c,0ca 212
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 72
Incerteza
2211 acac
A = incerteza de A no estado |
2222 AAAA)A(
1aou
2aA = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 73
Complementaridade e o
Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 74
Complementaridade
a2a1
B
A
b2b1
1a
2a
2b
1b
duas grandezasfísicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 75
Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
2b
1b
2a
1a
A e B compatíveis
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 76
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incertos ( A 0, B 0)
A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)
B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 77
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 78
Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”)
2p1p
2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 79
Resumo dos princípios já discutidos
estado físicovetor no espaço
de estados
grandeza físicasistema de “eixos” no
espaço de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 80
Resumo dos princípios já discutidos
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
2a
1a
projeção do vetor de estado no eixo |an
probabilidade damedida resultar
em A = an
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 81
Até agora: cinemática quântica.
E a dinâmica quântica?Como o vetor de estado muda
com o tempo?
Colapso do Vetor de Estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 83
Colapso do vetor de estado
a2a1
a2a1 2a
antes damedida
depois damedida
84C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Colapso do vetor de estado
1a
2a
resultado
A = a2
resultado
A = a1
medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 85
Colapso do vetor de estado
• Se fazemos uma medida, encontrando A = an, e imediatamente a repetimos, temos que encontrar A = an novamente, com 100% de probabilidade.
• Sem a reprodutibilidade de medidas sucessivas, o próprio conceito de medida fica comprometido.
• Portanto, após a medida o vetor de estado do sistema tem que ser | an , o único estado em que uma nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• | |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 86
Medidas simultâneas de duas grandezas
a2a1
b2b1
(A, B)
( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
A Equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 88
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|(0) |(t)
• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 89
A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
2211 EcEc)0t(
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 90
• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:
• A evolução |(0) |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).
/tEinn
nec)t(c
A (solução da) equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 91
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
)0()0()0( ba
)t()t()t( ba
t = 0 t 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 92
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conserva a norma do vetor de estado:
)0()t( )t(
)0(
• Conserva o “ângulo” entre vetores:
tamanho não muda
)0(
)t(
)0()t(
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 93
• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação de ângulos
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 94
Estados estacionários
• |(t) e |(t) representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
nE)0( n/tEi Ee)t( n
mesma “direção” que |En
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 95
Conservação da energia
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
2
n
2/tEinn cec)t,E(P n
)0()t(EE
)0t,E(P)t,E(P nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 96
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:– descontínuo– probabilístico– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 97
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Duas dinâmicas?
• Equação de Schroedinger: – interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 98
O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| | |
22 aa
11 aa 22112211 acacacac
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !
aparelho de medida:
99
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 101
Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 102
Sistemas de N Estados
Você está emtodo lugar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 103
Sistemas de N estados
2a
1a
3a
2a
1a
3aNa...
3 estados N estadosimpossível desenhar N eixos perpendiculares
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 104
Sistemas de N estados
• N pode ser infinito:
N
1nnn ac
1n
nn ac
• N pode ser infinito e os an contínuos:
a)a(cda
a)a(cdaacn
nn
ou ainda,
105
Aplicações a sistemas simples
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
Instituto de Física
Quântica
Vocêestá
aqui e aqui
106
Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 107
O interferômetro de Mach-Zehnder
0%
100%
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 108
O interferômetro de Mach-Zehnder
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
1
2
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 109
Descrição quântica do interferômetro
1
2
(caminho 1)
(caminho 2)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 110
Espaço de estados
2c1c 21
2
22
2
11
cP
cPprobabilidades:
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 111
Semiespelho
22
11
21
1
22
11
21
2
1 1
2
1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
evoluçãounitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 112
Semiespelho
22
11
21
22
11
21
2
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 113
Interferômetro
D1
D2
1
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 114
Interferômetro
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 115
Interferômetro
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
2
21
12
12
12
21
12
12
12
21
12
1
1221
21
121
21
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%
P2 = 0%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 116
O que interfere?
221
21
121
21
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
1
1
2
1 1
22
soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 117
Caminho bloqueado
1
2
D2
D1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 118
Caminho bloqueado
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1
Estado inicial: 1
Bloqueio: 2
11
21
22
11
21
fóton bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 119
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
21
22
11
21
21
21
12
1
2
12
21
121 P1 = 25%
P2 = 25%
P = 50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 120
Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-1-2)
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência
1
1
1
2
12
21
121
(1-2-)
1 1
2
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 121
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 122
Caminhos alternativos distinguíveis
Primeiro semiespelho: M22
1R1
21
R1
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 123
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21
M12
12
1R2
21
R12
12
1M2
21
R12
1
M221
R221
M121
R121
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 124
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 125
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21
R12
12
1M2
21
R12
12
1M2
21
R12
1
R1
a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 126
O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 127
O palito de fósforo quântico
fóton
fóton
• fósforo “bom”
• fósforo “ruim”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 128
O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 129
Teste clássico
palito ruim
palito bomqueimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 130
Teste quântico
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 131
Palito ruim
D1 100%
D2 0%
transparente
palito ruim D2 nunca dispara
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 132
Palito bom
D2 25%
D1 25%50%
palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 133
Teste quântico
• D2 fósforo bom intacto
• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
134
Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013
L1 – L2 (λ/50)
As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.
distânciapercorrida
densidade do material atravessado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 135
Defasagem
características do caminho percorrido “fase”
1
1e 1i1
2
2e 2i2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 136
Defasagem
D1
D2
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 137
Defasagem
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1
Estado inicial: 1
Defasadores:
2e2
11e
21
22
11
21
21 ii
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 138
Defasagem
Segundo semiespelho:
ou seja,
22
11
21
2e
22
11
21
2e
22
e1
2e 2121 iiii
22
ee1
2ee
22
e1
2e 212121 iiiiii
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 139
Defasagem
2c1c 21 • Após o segundo semiespelho:
2ee
c21 ii
1
2
eec
21 ii
2
• Probabilidades:
21
2
11 cos121
cP )cos(121
cP 21
2
22
1 – 2
0
1P1
1 – 2
1
0
P2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 140
Defasagem
L1 – L2 (λ/50)
nnn LkL2
após uma distância “extra” x: nen xki
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 141
O problema de Deutsch
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
1ª lado 2ª lado
moeda honesta
1ª lado 2ª lado
moeda viciada
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 142
O problema de Deutsch
Resposta “clássica”: olhando os dois lados
1ª lado 2ª lado
4 possibilidades
honesta
viciada
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 143
O problema de Deutsch
Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?
Aparentemente, não!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 144
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
2
1
cara: = 0 coroa: =
D1
D2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 145
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara: = 0 coroa: = D1
D2
2
11
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 146
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
D1
D2
2
11
2
moeda honesta:
1 2
1 2
fóton em D2
moeda viciada:
1 2
1 2 0
fóton em D1
21
2
11 cos121
cP
)cos(121
cP 21
2
22
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2013 147
O início da computação quântica
• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).
• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).
• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).
x = 0 x = 1
f1 0 0
f2 1 1
f3 0 1
f4 1 0
f constante
f “balanceada”
}1,0{}1,0{:f
É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?