Medida de risco por Teoria de Valores Extremos

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Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos

Análise de Risco (8)R.Vicente

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Resumo

EVT: Idéia geralMedidas de riscoTeoria de Valores Extremos (EVT)Distribuição de MáximosDistribuição de ExceedancesEstimação de ParâmetrosIntervalos de ConfiançaBibliografia

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EVT: Idéia Geral

1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o comportamento de desvios extremos;

2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e extremos a partir de poucas observações;

3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há comportamentos estatísticos gerais nos extremos;

4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por distribuições que se enquadrem em uma família suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento pelo menos).

4

Novamente: Medidas de Risco1. VaR

2. Expected Shortfall

1. Nível de Retorno

, onde H é a distribuição de máximos observados em janelas sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de comprimento n.

( )1 1pVaR F p−= −

( ) ( )p p p p pES E X X VaR E X VaR X VaR VaR= > = − > +

1 11knR H

k− ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

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Extremos: Definição1. Máximo em Blocos

2. Violações de um limiar

Limiar u

6

Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos1. Máximo em Blocos

(Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja uma seqüência de variáveis aleatórias iid. Sejam os máximos de blocos com tamanho n. Se existem constantes e uma distribuição não-degenerada H tal que

nM( )tX

0,n nc d> ∈

dn n

n

M d Hc− ⎯⎯→ então ( )

( ) 1/1 0

0x

x

e

e seH x

e se

ξξ

ξ

ξ

ξ

−

−

− +

−

⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩Generalized Extreme Value (GEV) distribution

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Teoremas Limite 1: Máximo em BlocosGeneralized Extreme Value (GEV) distribution

1ξα

=1ξα

= − 0ξ =

( )

( ) 1/1 0

0x

x

e

e seH x

e se

ξξ

ξ

ξ

ξ

−

−

− +

−

⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩

Fréchet Weibull Gumbel

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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar

9

Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar1. Violações de um Limiar

(Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de distribuições F a distribuição do excedente condicional para u suficientemente grande é bem aproximada por :

( )uF y

( ),

1/

/

1 1 0

1 0y

y seG y

e seσ

ξ

ξσ

ξ ξσ

ξ

−

−

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩Para

Limiar u

[0,( )] 0Fy x u se ξ∈ − ≥ 0, 0y seσ ξξ

⎡ ⎤⎢ ⎥∈ − <⎢ ⎥⎣ ⎦

Distribuição generalizada de Pareto (GPD)

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( ),

1/

( )/

1 1 ( ) 0

1 0x u

x u seG y

e seσ

ξ

ξσ

ξ ξσ

ξ

−

− −

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + − ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩

Distribuição generalizada de Pareto (GPD)

limite exponencial Caudas pesadas

: : :forma u posiçao escalaξ σ

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Obtendo a distribuição de extremos:

n é o número total de observações e é o número de observações acima do limiar u

uN

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Calculando risco dos extremos:

Considerando o seguinte resultado de EVT para :1ξ <

Assumindo

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Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros

Três parâmetros para estimar:

: : :forma u posiçao escalaξ σ

1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT:

Pode-se estimar:

Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.

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1. POSIÇÃO:

Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

u

S ample mean exces s function

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

u

S ample mean exces s function

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2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO):

Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente.

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0 5 10 150.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

1.01

GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com confianças superiores a 99%.

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Determinação de Barras de Erro para o Risco estimado.

Como as estimações de EVT envolvem sempre poucos dados é estritamente necessário calcular barras de erro para os parâmetros, e conseqüentemente para o risco estimado. Há, pelo menos, duas formas clássicas de estimar estas barras de erro:

1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança;

2. Realizando simulações (bootstraping).

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Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.

Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição assintótica do log da razão de verossimilhanças é conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) .

Assim calculam-se as diferenças entre log-verossimilhanças

A região de confiança dos parâmetros é escolhida de forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%.

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Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ξ

σ

Região de 95 % de Confiança

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Determinação de Barras de Erro: Bootstraping

Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas é mais apropriada para situações em que o número disponível de observações é limitado.

No bootstrapping amostram-se com reposição subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada para estimar barras de erro através da construção de histogramas

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Determinação de Barras de Erro: Bootstraping

0 0.2 0.4 0.6 0.80

2

4

6

0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

2.2 2.4 2.60

2

4

6

3 3.5 4 4.5 5 5.50

1

2

FORMA ESCALA

VaR(0.001) ES(0.001)

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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES

É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando:

para reparametrizar as distribuições.

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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES

Com as mudanças apropriadas de variável obtemos:

para 0ξ ≠

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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o ES obtemos:

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

ES 0.01

3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

ES 0.01

ξ

Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança

Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o

resultado bootstrap

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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o VaR obtemos:

Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança

Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o

resultado bootstrap

2 2.5 3 3.5-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

VaR0.01

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Bibliografia

• Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Fevereiro 2003.

•Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, Nova York (1993)

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