Medida e Forma-Em Geometria - Elon Lages Lima

5/10/2018 Medida e Forma-Em Geometria - Elon Lages Lima

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Medida e Formaem Geometr-ia.;Comprimento, Area,Volume e Semelhanca

Elon Lages Lima

SO


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Copyright . 1991 by Elon Lages Lima Conteudo1. Comprimento1. Medida de urn segmento2. ~ota hist6riea.3. Exercieios

2.Area1. 4rea do quadrado e do retangulo. 112. Area do paralelogramo e do triangulo 183. Definicao geral de area 214. Nota hist6rica 245. Urn comentario de Proclus 266. Exercicios 27

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3. Semelhanea e Areas1. Introdueao 312. A definieao de semelhanca 333. 0 Teorema Fundamental 374. Semelhanea de triangulos 435. Semelhanca no circulo 466. ~ela~ao entre semelhanca e area 487. Area do circulo e comprimento da circunferencia 508. Nota hist6rica 549. Exercicios 55

- !J . . 1 - :

-II) 4.Volume1. Nocao intuitiva de volume2. Volume de urn bloeo retangular.3. Definicao geral de volume4. Principio de Cavalieri5. Volume de urn cone6. Volume da esfera7. Area do cilindro, do cone e da esfera8. Nota hist6rica9. Sobre 0 ensino de areas e volumeslO.Exercicios

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D i ag ram ac ao e c o rn po si ca o:GRAFTEX Comunicacao VisualRio de Janeiro


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Prefacio

"A primeira regra doensino e saber 0que sedeve ensinar. A segunda, e saber um poueomais doque aquilo que se deve ensinar."George Polya

Este livrinho e uma re-edicao, modifieada e bastante ampliada, deoutro que eserevi ha 20 anos e que foi publicado, em sucessivasImpressoes, pela SBM.

A reformulaeao consiste no acrescimo de urn novo capitulo,varias notas hist6rieas, novos exereieios e uma revisao geral dotexto. Ela foi feita com vistas ao eurso de treinamento para profes-sores do segundo grau, euja primeira fase oeorreu em janeiro de1991, sob 0patroeinio de VITAE.

Agradeeo a paciente e perspieaz colaboracao de Carlos Isnard,Alcilea Augusto e Eduardo Wagner, vigilantes defensores daelareza e da correcao, A eles se deve uma consideravel melhora naqualidade da apresentaeao,

Elon Lages Lima


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Introducao

Etimo!ogicamente, geometria quer dizer medida da terra. Estadenominaeao grega e justificada pelo historiador Her6doto (seeuloquinto A.C.), que atribui aos egipcios a origem dessa ciencia.Segundo ele, 0 imposto que pagavam os proprietaries de terra noEgito era diretamente proporcional a area de cada lote. As cheiasdo rio Nilo muitas vezes faziam desaparecer parte das terras dosagricultores. Entao os cobradores de imposto do farao tinham querecalcular cada area a tim de que a cobranca fosse ajustada.Tambem era preciso, para efeitos de comercio, que se souhessecalcular 0volume de cada deposito de grao,

Assim, 0 calculo de areas e volumes e urn assunto milenar,cuja importancia se revelou muito cedo, mesmo em civilizacoes or-ganizadas de modo simples em relaeao aos padroes atuais.

Descohertas hist6ricas recentes revelaram que os conhecimen-'tos matematicos dos babilonios (denominacao generics para osdiversos povos que, durante 3000 anos, ocuparam sucessivamentea Mesopotamia, regiao aproximadamente correspondente ao Iraquede hoje) eram mais extensos e avancados que 0 dos egipcios. Isto eparticularmente verdadeiro em Algebra enos calculos numericos,mas tambem ocorre em Geometria, onde alern de conhecerem asareas e volumes de figuras geometricas simples, os babiloniossabiam resolver problemas envolvendo a relacao de Pitagoras, quelhes era familiar mil anos antes dos pitag6ricos.

Portanto, quer no Egito quer na Babilonia, areas e volumessao as primeiras nocoes geometricas a despertarem 0 interesse dohomem.


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Deve-se entretanto ressaltar enfaticamente que, para essespovos precursores da Geometria, esta nao era organizada nos mol-des e padroes logicos modernos. A ideia de que as afirmaeoesprecisam ser demonstradas ainda nao havia ocorrido. Nos mais an-tigos d~cumentos babilbnicos e egipcios (que datam de aproximada-mente 1700 A.C.) ha apenas enunciados de problemas, e regrasapresentadas sob forma de receitas para resolver esses problemas.

Segundo se acredita, a partir de referencias feitas por his-toriadores da epoca, as primeiras demonstraeoes matematicasdevem-se a Tales, que viveu no sexto seculo A.C. A partir dai,durante 800 anos os gregos cultivaram e aperfeicoaram, com brilhoinvulgar, a Geometria organizada dedutivamente, com axiomas,definieoes, teoremas, corolarios etc. Esse modelo foi adotado pelasgeraeoes subsequentes e e assim que ate hoje a Matematica eestruturada.

Urn compsndio sistematico de Geometria deve portantocomeear com urna lista de conceitos prirnitivos, nao definidos(ligados a noeoes geometricas, que tern a ver com espaco e forma) eoutra lista de proposicoes primitivas, ou axiomas, onde sao enun-ciados, sem demonstracao, fatos relativos a esses conceitos. Emseguida sao introduzidas as definieoes e sao demonstradosteoremas, os quais fazem afirmaeoes referentes aos objetosgeometricos, quer primitivos quer definidos.

Este livro, entretanto, nao e feito assim. Ele nao tern inicio nocorneeo (por uma questao de principio ...). Nosso objetivo e estudar anoeao de medida em Geometria sob seus aspectos uni, bi etridimensional, isto e, medida de segmentos de reta (comprimento),de figuras planas (area) e de figuras solidas (volume). Veremoscomo a medida dos objetos geornetricos esta fortemente relacionadacom a Ideia de numero real e como, na realidade, a descoberta dosmimeros irracionais se deu na Geometria e nao na Aritmetica ouna Algebra. Mostraremos como os teoremas e os conceitos basicosda Geometria sao necessaries para 0 estudo das areas e dosvolumes. Acompanharemos a evolucao e revelaremos as origens dasideias fundamentais da Geometria. Faremos uma revisao da noeao

de semelhanca desde 0 principio e a aplicaremos repetidamente noestudo das areas e dos volumes. E concluiremos com umaapresentaeao, na linguagem e no estilo do seculo vinte, de resul-tados obtidos por Arquimedes no segundo seculo A.C. edemonstrados por meio de metodos descobertos por Cavalieri noseculo dezessete.

Mais explicitamente, 0 livro consta de quatro capitulos, cujoconteudos passamos a descrever sucintamente.o Capitulo 1 trata da medida de urn segmento de reta. Nele semostra que 0 processo de comparar urn segmento arbitrario comoutro fixado como unidade conduz aos diversos tipos de mimerosreais positivos: inteiros, racionais e irracionais. A nocao de segmen-tos Incomensuraveis e explicada e, no final, uma breve notahistorica descreve como os matematicos gregos enfrentaram aquestao da incomensurabilidade.o Capitulo 2 aborda a noeao de area de uma figura plana. Saodeduzidas as formulas usuais para as areas dos pohgonos maissimples e e apresentada a definicao geral de area de uma figuraplana. Na deducao das formulas para as areas do quadrado e doretangulo e feita uma distincao cuidadosa entre os casos em que oslados sao cornensuraveis ou incomensuraveis com a unidade decomprimento adotada. 0capitulo termina com uma nota historica,na qual se conta como as areas sao estudadas nos Elementos deEuclides. Como subproduto desse relato, e apresentada adernonstraeao dada por Euclides para 0 Teorema de Pitagoras e eesclarecida a razao da sua escolha do argumento, a luz dadiscussao feita no Capitulo 1.o Capitulo 3 contem uma exposicao da teoria da semelhanca,que ocupa urn lugar central na Geometria Euclidiana. A definieaode semelhanca e dada "comme ilaut", e desenvolvida de modo a

, -.', , '\conter a abordagem tradicional e e aplicada para dar uma deducaosimples e conceitual da formula para a area do circulo. Mostra-seque 0 numero It, definido como a area de urn circulo de raio 1, etambem a razao entre os comprimentos da circunferencia e do seu


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diametro. No final do capitulo e feita uma eronica resumida sobre 0mimero 1t.o livro termina, no Capitulo 4, com 0 estudo dos volumes doss6lidos geometricos, E dada a definicao geral de volume e saodeduzidas as f6rmulas para os volumes dos s6lidos mais conhe-cidos. 0 principal instrumento de 'trabalho utilizado e 0 Principiode Cavalieri, com 0 qual se obtem, de modo simples e elegante, osvolumes dos s6lidos que tern faces inclinadas, como prismas epiramides, ou s6lidos "redondos", como cilindros, cones e esferas. 0uso sistematico do Principio de Cavalieri evita os argumentostradicionais, que requerem explicitas passagens ao limite, mesmopara s6lidos retilfneos, como piramides de bases poligonais. Asareas das superficies do cilindro, do cone e da esfera sao estudadasda forma classica. Como de praxe, 0 capitulo termina com urnesboeo hist6rico da evolucao das ideias nele apresentadas, com des-taque para as contribuieoes de Arquimedes e Cavalieri.

Os conhecimentos que admitimos do leitor sao, em verdade,bern modestos. Supomos essencialmente que ele conheea os 3 casosclassicos de igualdade (melhor dizendo "congruencia") detriangulos, algo sobre retas paralelas, como por exemplo a igual-dade de angulos com lados paralelos ou perpendiculares, pos-tulado de Euclides, segundo 0 qual por urn ponto dado fora de umareta passa uma uniea paralela a essa reta e 0 teorema de que asoma dos angulos internos de urn triangulo vale 2 retos. Todasessas coisas sao bem difundidas. Em todo caso, se 0 leitor precisarrefrescar sua memoria, minha recomendaeao e rever esses assun-tos no livro de Joao Lucas Barbosa, citado na lista de referencias,ao fim deste volume.

Depois de cada capitulo deste livro, ha uma lista de exerciciospropostos. Apenas dois ou tres deles trazem ilustracoes, Os dese-nhos das figuras geometricas sao parte importantissima para acompreensao, a fixacao e a imaginacao criativa. Por isso considerofundamental que 0 leitor, por si s6, desenhe a figura a partir doenunciado do problema. Essa tarefa e parte do exercicio. Mesmo

que nao consiga resolve-lo de todo, 0 desenho ja e urn resultadopositivo.Em alguns exercicios, ha apenas urn enunciado, sem nenhumpedido explicito, como "prove", "mostre" etc. Acrescente esse pedidomentalmente.Nao e demais repetir que uma atitude passiva na apren-dizagem leva a urn conhecimento incompleto, inseguro e efemero.Para entender as diversas facetas do assunto, ganhar confianca egravar de modo pennanente aquilo que se aprendeu e necessaria aexperiencia, repetida varias vezes, de transformer Interrogacoesem afirmaeoes (ate mesmo - se possivel - exclamaeoesl), E precisoduvidar, questionar, indagar, conjeturar. Procurar caminhos, ima-ginar construcoes, pesquisar interconexoes, forear 0 raciocinio, e-xercitar a mente. Esse processo e muito parecido com aquele que seusa para desenvolver a musculatura, em casa, na praia ou nasacademias de ginastica, 0 principio e 0 mesmo. E a conclusao eigual: fazer exercicios. Temos pois que repetir aquilo que todo autorde texto mate matico diz na sua introducao: os exercicios fazemparte integrante do livro.o lado hist6rico das coisas aqui tratadas e urn dos seus aspec-tos mais relevantes, nao apenas porque ilustra e ameniza a apren-dizagem, como tambem porque ajuda a entender a evolucao dasideias e 0 seu significado atual. As notas hist6ricas que apresen-tamos sao inevitavelmente breves. Esperamos que elas despertem 0interesse e agucem a curiosidade do leitor para leituras mais sub-stanciais. Os livros de Aaboe, Boyer e Struik, citados na lista dereferencias bibliograficas, sao 0 que ha de melhor em lingua por-tuguesa sobre 0 assunto.


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1. Comprimento

1. Medida de urn segmentoIndicaremos com 0 simbolo AB a medida do segmento de reta AB. Amedida, ou comprimen to, AB e urn mimero que deve exprimirquantas vezes 0 segmento AB contem urn segmento u, fixadopreviamente, que se convencionou tomar como unidade decomprimento, ou como segmento unitario,A explicaeao que demos acima e bastante ilustrativa para ser-vir de sugestao, mas nao serve como uma verdadeira definicaomatematica porque e demasiadaroente vaga. Nao esta claro 0 sig-nificado da expressao "0 nurnero de vezes que 0 segroento ABcontem 0 segmento u". Usando essa ideia vaga como guia, vamosver como se pode chegar a urna definicao precisa do oomprimentodeAB.

Comeeamos fixando urn segmento de reta u, que chamaremosde segmento unitario. (Ou unidade de comprimento.) Por definicao,o comprimento de u sera igual a 1.Todos os segmentos de reta congruentes a u terao (ainda pordefinicao) 0 comprimento 1.

Dado urn segmento de reta AB, se existir urn pontointermediario C (situado em AB) tal que os segrnentos AC e CBsejam congru.entes a u, entao 0 comprimento de AB sera 2.Escreveremos entao AB =AC + CB = 2.

Mais geralmente, dado urn mimero inteiro positivo n, se forpossivel ohter n-l pontos intermediariosAj.Az .... ,An-l no seg-


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2 C om prim en lo M e did a d e u m s eg m Q O lo 3

mento AB, de tal modo que os n segmentos AAl,A1A2, ...,An~lBsejam todos congruentes ao segmento unitario u, entao 0 com-primento deAB sera n. Escreveremos neste caso:

F ig . 1

comensurdveis. Como w esta n vezes contido em u, e natural dizerque a medida de weI/ n e, portanto, que 0 comprimento de AB e mvezes lin, ou seja, AB = min.Em resumo: fixado 0 segmento unitario u, 0 comprimento deurn segmento AB e urn mimero racional min quando existe urnsegmento w que esteja contido n vezes em u e m vezes em AB.Neste caso, w chama-se urn submultiplo comum de AB e u, e estesdois segmentos se dizem comensuraueis.Na pratica, como nossos olhos (ou mesmo os instrumentosmais delicados de afericao) tern urn limite de percepeao (ouprecisao), sendo incapazes de distinguir dois pontos que, emboradistintos, achem-se situados a uma distancia inferior a esse limite,tudo se passa como se dois segmentos quaisquer fossem semprecomensuraveis. Durante algum tempo se acreditava que, de fato,nao existissem segmentos incomensuraveis,

Inicialmente, Pitagoras e seus discipulos pensavam assim.Eles mesmos, porem, descobriram 0primeiro exemplo de urn par desegmentos incomensuraveis, isto e, segmentos que nao possuemurn submultiple comum. Esta descoberta causou enorme impactono desenvolvimento da Matematica grega.o exemplo de Pitagoras e bastante simples: se tomarmos 0lado de urn quadrado como segmento unitario, a diagonal dessequadrado nao pode ter comprimento racional.

Noutras palavras, 0 lado e a diagonal de urn quadrado saograndezas incomensuraveis,

AAl +AIA2 + .. .+An~lB = n.u

A An-l BPara descrever esta situacao, diremos que AB = n porque AB

se decompoe em n segmentos de reta justapostos, todos de com-primento 1.Estes sao os segmentos de reta cujos comprimentos sao

numeros inteiros. Quando AB = n (n inteiro), e natural dizer queAB contern nvezes 0 segmento unitario u.

E facil conseguir urn segmento AB que nao contem 0 segmentounitario u urn mimero inteiro de vezes. Por exemplo, 0 segmentoAB pode ser menor do que 0 segmento unitario u. Neste caso, amedida AB nao pode ser urn numero inteiro, Como definir entao 0comprimento de AB?

Facamos inicialmente uma hip6tese. Suponhamos que, emboraAB nao contenha u urn mimero inteiro de vezes, exista entretantourn segmento menor, w , tal que w esteja n vezes contido em u emvezes contido emAB, sendo men mimeros inteiros,o segmento w e 0 que se chama urn submultiple comum de ABe u. Neste caso, dizemos que os segmentos AB e u sao

A B I

R g . 3 - P it a g or a s e s e us d is c [p u lo sd e sc ob ri r a m q ue n e nh um s e gm e n to d e r e taq u e e s te ja c o nt i d o u rn n u m e ro in te i r o d ev e z e s n o la do d e u rn q ua d r a d o p od e e s ta rt a m b e rn c on tid o u rn r u m e ro in le ir o d e v e ze sn a d ia g on a l d e s se q u ad ra d o.w

F ig . 2 - 0 s e gm e nt o u n it a no u c o nt e m 3 v ez es 0 s e g m e n t ow e n q u a n t o A B c on te m 5 v e ze s w. l o g o A B = 5 / 3 . d Iu


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4 Comp r i me n l o Me d i d a de u m s e g m e nt o 5

Por exemplo, . . J 2 (por definieao: numero positivo cujo quadradoe 2) e urn mimero Irracional, como vimos aeima. Os varies proces-sos de calculo da raiz quadrada nos permitem obter valoresracionais aproximados de ..J2 com erro tao pequeno quanta sequeira. Assim, podemos escrever 1,414 < . . J 2 < 1,415. Isto significaque (1,414)2 < 2 < (1,415)2, 0 que e correto, como qualquer pessoapode verificar.As desigualdades 1,414 < ..J2 < 1,415 significam que 1,414 eurn valor aproximado por falta e 1,415 e urn valor aproximado porexcesso para 0 numero irracional ..J2.Como 1,415 - 1,414 = 0,001vemos que, ao substituirmos . . J 2 por qualquer urn desses valoresaproximados, cometemos urn erro inferior a 1 milesimo. Assim,1,414 e urn valor aproximado de..J2 com 3 algarismos decimais exa-tos. (Em outras palavras, se escrevermos uma aproximacao porfalta de . . J 2 com erro inferior a 0,001 os tres primeiros algarismosdecimais devem ser 414.)Se desenvolvermos urn mimero racional pi q em fraC;aodecimal, dois casos podem ocorrer: ou obtemos uma fraC;aodecimalexata (finita), como 3/8 = 0,375 ou entao uma fraeao decimalperiodica (infinita) como 4111 = 0,363636 ....

E reciprocamente, dada qualquer fracao decimal periodica, e-xiste sempre urn numero racional (sua "geratriz"), do qual adecimal dada e 0 desenvolvimento. (Ver, a respeito, "Meu Professorde Matematica" pags 196, 242 e 262.) Podemos entao caracterizaros numeros irracionais como aqueles que, escritos como fracoesdecimais, possuem expressoes que nem sao finitas nem peri6dicas.Dada esta explicacao sobre mimeros irracionais, voltemos amedida dos segmentos.Temos urn segmento AB. Sabemos que ele nao e comensuravelcom a unidade de comprimento u. Sua medida AB e , portanto, urnnumero irracional. Quais sao os valores aproximados (por falta epor excesso) desse mimero irracional AB?Seja dado urn numero inteiro positivo n. (Por exemplo, n =1.000 ou n = urn milhao.) Dividimos 0 segmento unitario u em npartes iguais. Cada uma dessas partes e urn segmento de com-

A demonstraeao tradicional desse fato e a seguinte: se 0 lado ea diagonal fossem comensuraveis, tomando 0 lado como unidade ,obteriamos para comprimento da diagonal urn numero racionalplq.

Em virtude do Teorema de Pitagoras (aplicado a urn dostriangulos retangulos da figura) temos:

ou seja2~ = 2, comp e q inteiros.q

Daf resulta p/ = 2q2.Ora, a ultima igualdade aeima e urn absurdo. Com efeito, os. t . 2 2 "Ineiros p e q contem cada urn dos seus fatores primos urnmimero par de vezes, pois estao elevados ao quadrado. Por con-

seguinte, 2q 2 contem urn mirnero fmpar de fatores iguais a 2 eassirn nao pode ser igual a p2.Como definir entao 0 comprimento de urn segmento AB que eincomensuravel com 0 segmento unitario u?A medida de AB sera, neste caso, urn ruimero irracional.E 0 que e urn mimero irracional? A resposta nao e muito

simples. Enquanto urn numero raeional tern uma expressao "exata"como quociente plq de dois mimeros inteiros, urn mimero ir-racional fica determinado quando se conhecem seus valoresaproximados (os quais Sao numeros racionais).o matematico grego Eudoxio, 0 primeiro a lidar de modopreciso com grandezas incomensuraveis, ja havia desenvolvido, hamais de 25 seculos, uma teoria que, em linguagem moderna, seresume assim: para conhecer urn numero irracional x basta eonhe-cer os mimeros racionais menores do que x (suas aproximaeoes porfalta) e os mimeros racionais maiores do que x (suas aproximacoespor excesso).


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6 Comp r imen to No la h i sl OOc a . 7primento lin.Seja w uma dessaspartes. Existe um inteiro positivom tal que AB contern m segmentos congruentes awe ainda sobraalguma coisa, mas m + 1segmentos congruentes a w, justapostos,formam urn segmento maior do que AB. Quando isto ocorrer, tem-se

2. ~ o t a h i s t 6 r i c a .

BI I

Na concepcao atual, urn mimero (real) e 0 resultado da comparacaode uma grandeza com a unidade, que e uma grandeza da mesmaespecie, fixada como padrao. Ha basicamente dois tipos degrandeza: as discretas (como urn rebanho) e as continuas (como 0tempo, 0 peso e a distancia), Comparar uma grandeza discreta coma unidade signifiea efetuar uma contagem; 0 resultado e sempreurn mimero inteiro. Se, entretanto, a grandeza e continua,compara-la com a unidade e medi-la: 0 resultado da comparaeao(medida) e urn mimero real. Se a grandeza (continua) que se quermedir e comensuravel com a unidade eseolhida, a medida e urnnumero racional; se e incomensuravel, sua medida e urn numeroirracional.

Mas nem sempre as coisas foram assim.A Matematica grega, primeiro modelo da Matematica comociencia dedutiva, sintetizada magistralmente nos "Elementos" de

Euclides (terceiro seculo A.C.), nao conhecia mimeros irracionais."Numero" significava numero natural e mesmo uma fra~ao p /q erauma razao entre dois numeros naturais. No Livro VII dos Elemen-tos, Euelides define: "unidade e aquilo pelo qual eada objeto e urn" e"numero e uma multitude de unidades".

Evidentemente, desde Pitagoras (quinto seculo A.C.) os gregostinham consciencia de que existiam grandezas mcomensuraveis,isto e , de que inteiros e razoes entre inteiros nao bastavam paramedir todas as grandezas; nem sequer para medir segmentos dereta. Arist6teles (quarto seculo A.C.), que nao era mate matico,eonta que os pitagoricos constataram que use a diagonal de urnquadrado fosse comensuravel com lado, 0 mesmo mimero poderiaser simultaneamente par e impar". [Na demonstracao dada acima(s~ao 1), 0 mimero a que se refere Arist6teles e 0 numero de vezesem que 0 fator 2 aparece na decomposicao de p2 em fatores primos.]Algumas edieoes antigas dos Elementos eontinham a prova da ir-raeionalidade de ~ com esse argumento resumido por Arist6telesmas sabe-se que se tratava de uma interpolaeao. Euclides nao

m AB m+l-<


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8 Comp r imen t o Exerclcios 9

precisava provar isto pois a Proposicao 9 do Livro X dos Elementosestabeleee que se urn numero (inteiro) nao e quadrado de outro in-teiro tambem nao e quadrado de uma fra~ao. Este fato permite con-'cluir imediatamente que..J2, - . . 1 3 , ~ etc. sao numeros irracionais.

A descoberta de grandezas incomensuraveis foi urn severogolpe para os pitag6ricos, que adotavarn 0 lema: "Os mimeros (in-teiros) governam 0 universe". Eles nao conseguiram resolver 0 im-passe, uma safda para 0 qual foi fornecida urn seculo depois porEudoxio. Em vez de solucionar 0problema estendendo 0 conceito denumero, criando os mirneros reais, como se tern hoje, ele encontrouuma solucao diferente, seguida pelos matematicos gregosposteriores. Eud6xio manteve 0 principio de que a palavra"numero" significa numero natural mas teve de desistir de mediras grandezas, isto e , de exprimir por meio de um numero 0 resul-tado da comparacao entre uma grandeza e a unidade adotada.

Para comparar duas grandezas da mesma especie (dois com-primentos, dois angulos, duas areas ou dois volumes), em vez denumero, Eud6xio adotou 0 conceito de "razac entre duas gran-dezas". Claro, hoje em dia a razao entre duas grandezas e simples-mente a medida de uma delas quando se toma a outra comounidade, ou seja, e urn numero real. Mas nao era assim naquelaepoca.

Eudoxio desenvolveu a teoria das razoes entre grandezas deforma logicamente impecavel e Euelides a apresentou no Livro Vdos Elementos. As definieoes basicas sao as de igualdade edesigualdade entre duas razoes.

Se A e B sao grandezas da mesma especie, a notacao A :B sig-nifica a razao entre A e B. Sejam X e Y tambem grandezas damesma especie (mas nao necessariarnente da mesma especie que AeB).

Diz-se que A :B =X: Y (e le-se "A esta para B assim como Xesta para Y') quando, dados numeros naturais arbitrarios m, n,tem-se n.A < m.B se, e somente se, n.X < m.Y.

Esta era a definieao de Eudoxio, Em linguagem de hoje, comon.A


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1 0 Comp r imen to

irraeionais positivos cuja soma e cUJO produto sao numerusnaturais.~. Se x, y, u e v sao numeros racionais, prove que x + ~ = u + v-./2se, e somente se, x = u ey = v.4. Prove que a soma, a diferenea, 0 produto e 0 quoeiente de doisnumeros da forma a + b..J2, com a e b racionais, ainda e urn mimerodesta forma.5. Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindosucessivamente 0menor do maior, 0 resto de cada subtracao nuneae urn submultiple do resto anterior (isto e, 0 processo nuneatermina), entao os segmentos sao incomensuraveis.6. Diz-se que 0 ponto C, sobre 0 segmento AB, divide AB em mediae extrema raziio quando AB IAC =AC I CB. Prove que a divisao emmedia e extrema razao e hereditaria, no seguinte sentido: se 0ponto C divide 0 segmento AB em media e extrema razao entao,tomando D tal the A D = CB, 0 ponto D divide 0 segmento AC emmedia e estrema razao,

"2. Area

Trataremos agora de medir a poreao do plano ocupada por umafigura plana F. Para isso, eompararemos F com a unidade de area.o resultado dessa comparacao sera urn numero, que deveraexprimir quantas vezes a figura F contem a unidade de area.Daremos aqui urn significado preciso a esta ideia e estabeleceremosas formulas para as areas das figuras geometricas mais conhecidas.

1. Area do quadrado e do retangulo.7. Aplicando 0 exercicio anterior, mostre que se C divide AB emmedia e extrema razao entao AC eAB sao incomensuraveis.8. Caleule explicitarnente 0 eomprimento de urn segmento quedivide 0 segmento unitario em media e extrema razao.9. Use 0 exercicio 5 para provar que 0 lado e a diagonal doquadrado sao grandezas incomensuraveis.

o quadrado e 0 quadrilatero que tern os 4 lados iguais e os 4angulos retos. Convencionaremos tomar como unidade de area urnquadrado cujo lado mede uma unidade de eomprimento. Ele serachamado 0quadrado unitario,

Qualquer quadrado cujo lado meea 1era, por definieao, areaigual a 1.

Urn quadrado Q cujo lado tern para medida 0 numero inteiro npode ser decomposto, por meio de paralelas aos seus lados, em n2quadrados justapostos, eada urn deles com lado unitario e portantocom area 1. Segue-se que 0 quadrado Q deve ter area n2

De modo analogo, se 0 lado de urn quadrado Q tern por medidalin, onde n e mteiro, entao 0 quadrado unitario se decompoe,mediante paralelas aos seus lados, em n2 quadrados justapostos,todos congruentes a Q. Estes n2 quadrados congruentes a Q com-pondo urn quadrado de area 1, segue-se que a area de Q deve satis-fazer a condicao n2 x(area de Q) = 1e, portanto, area de Q = lin 2


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12 Area

D F ig . 1 . Q u a dr a do d e la d o 6 , d e c om p os to e m6 2 " 3 6 q u a d ra d o s u n it ar io s .

Mais geralmente, se 0 Iado de urn quadrado Q tern por medidao numero racional min , entao podemos decompor cada lado de Qem m segmentos, cada urn dos quais tern cornprirnento lin.Traeando paralelas aos lados de Q a partir dos pontos de divisao,obtemos uma decomposicao de Q em m2 quadrados, cada urn dosquais tern lado lin. Portanto, a area de cada urn desses quadradosrnenores e lin 2. Segue-se que a area de Q deve ser

1 m2m2(-2)n - n2ou seja,

Podemos entao concluir que a area de urn quadrado Q cujolado tern para rnedida urn numero racional a = min e dada pelaexpressao:

Mas existem quadrados cujos lados sao incornensuraveis com 0segmento unitario, Seja Q urn desses: 0 lado de Q tern para m_edidao numero irracional a. Mostraremos agora que, ainda neste caso,deve-se ter area de Q = a2

A re a d o q ua dr ad o e d o re ta ng ulo . 1 3

F i g . 2. N e s ta f ig u ra n a d o is t ip o s deq u a d ra d o s: u n s c o m la d o s in c lin a c lo s , o u tr osc o m la d os h o riz o nta is e v e rt lc a is . S e ja q u al f o ra u n id a c le de c o m p rim e n t o e s c o lh id a , p e lom e n os o s q u ad ra d os de u m t ip o te m la d oi r r a c i o n a l .

Raciocinaremos de modo indireto. Dado qualquer numerob < a2, mostrarernos que deve ser b < area de Q. Em seguida,provaremos que a2 < c implica area de Q < c. Isto mostrara que aarea de Q nao pode ser urn mimero b menor nem urn mimero cmaior do que a2. Portanto, concluiremos que a area de Q = a2.Dernonstraremos somente a primeira parte deste argurnento. Asegunda e inteiramente analoga e por isso e deixada a cargo doleitor.

Seja, pois, b urn mirnero tal que b < a 2 Tomarnos urn mimeroracional r, inferior a a, porem, tao pr6ximo de a que se tenha

a

r

"

F ig . 3 . 0 q ua d r a d o de l a d o r e s ia c on tid o n oq u a d r a d o Q , d e la d o a . L O go ;Z < a re a d e Q .Como. .Jb < r, t e m o s b < ;Z < a r e a d e Q.


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14 Area

b < r2 < a2. (Basta tomar r, uma aproximacao por falta de a, comerro inferior a a - {fi.Entao..fli < r < a e portanto b < ,2 < a2.)

Area do q ua dr ad o e d o r e lim g ulo . 1 5

No interior de Q, tomamos urn quadrado Q ' de lado r, Como, eracional, a area deste quadrado e ~ . Como Q ' esta contido no inte-rior de Q, devemos ter area de Q ' < area de Q , ou seja,2 < area deQ. Mas sabemos que b < ,2. Conclusao: b < area de Q . Assim,todo numero real b, inferior a a2, e tambem menor do que a area deQ. Da mesma maneira se prova que todo numero real c, maior doque a2, e maior do que a area de Q . Logo, a area de Q nao pode sermenor nem maior do que a2. Por exclusao, deve-se entao ter areade Q = a2

Concluimos, desta maneira, que a area de urn quadrado Q,cujo lado mede a, deve ser expressa pela formula

F ig . 4 . R e ta n g ul o R, c ujo s l ad os m e de m 5 e 8 ,s ub d iv id ic lo e m 5 x 8 ;; : 4 0 q u ad r ad os u n il ar io s.t em - se a re a de R = 8 x 5 = 40 .

primento l/q. 0 Iado que mede a ficara decomposto em p segmen-tos justapostos, cada urn deles medindo l/q. 0 lado que mede bficara subdividido em r segmentos iguais, de comprimento llq.'Iraeando paralelas aos lados a partir dos pontos de subdivisao, retAngulo R ficara subdividido empr quadrados, cada urn deles delado IIq. A area de cada urn desses quadradinhos e(l/q )2 = llq 2. Logo a area deR devera ser igual a

(p . r) x _ !_ = P . ! . . = P . . . I: ,q2 q2 q qou seja, area de R = a . b.Vemos assim que, quan do os lados de urn re tiin gu lo R te rn

para medidas os tuimeros racionais a e b, a area de R e expressapela f6rmula:

Na f6rmula acima, a e urn mimero real qualquer: inteirofracionario ou irraeional.Observaeao: Este modo de provar uma formula mostrando que adesigualdade e impossivel e devido a Eudoxio e e eonhecido como 0me to da d a e xa us uio .

Consideremos agora a area do retAngulo. 0 reuingulo e 0quadrilatero que tern os quatro angulos retos.Se os lados de urn retangulo R tern para medidas os numerosinteiros men, entao, mediante paralelas aos lados, podemosdecompor R em mn quadrados unitarios, de modo que se deve terarea de R = m.n.

areadeR = a b.Diz-se, entao, que a area do retangulo eo produto da base pela

altura.Isto foi mostrado aeima apenas quando a e b sao numeros

racionais, mas e uma formula geral, valida mesmo que os numerosa e b sejam irracionais (ou urn deles seja raeional e 0 outro ir-racional).

Para tratar 0 easo em que a e b nao sao ambos racionais,poderiamos usar 0 metoda da exaustao, de forma analogs aoracioeinio empregado aeima para deduzir a formula para a area doquadrado. Em vez disso, entretanto, podemos usar urn artificiosimples e elegante, fazendo recair a area do retangulo na area do

Mais geralmente, se os lades do retangulo R tern comomedidas dois numeros racionais a e b, podemos escrever estesmimeros como duas fracoes a = plq e b = rlq, com 0 mesmodenorninador q. Dividimos cada Iado de R em segmentos de com-


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1 6 A r e a A re a d o q ua dr ad o e d o r e ta ng ulo . 1 7

quadrado. Procedendo assim, ficamos inclusive dispensados de con-siderar separadamente 0 caso em que a base e a altura doretangulo tern medidas racionais.

Indiquemos com A (x, y) a area de urn retangulo cuja basemede x e cuja altura mede y. 0 teorerna acima afirma que

A (x', y)A (x,Y)

x'xF ig . 5 . 0 q u ad ra d o O c o nte r n d o is r e ta n gu lo s ig u a is a Rm a t s u rn q u a d ra d o de t a d o a e o u t r o de l a d o b. ou seja, escrevendo x' = c . x, vale:

b

R ab1 . . . _ _R _ _ _ , I a

R

Segue-se entao que

A (c.x,y) = c.A (x,y).Evidentemente, . qualquer urn dos lados do ret.angulo pode serconsiderado comobase. Logo tem-se tambem:

A (r,d.y) = d -A (x, y).

QA(x,y) = A (x- l,y) = x-A (I,Y) = x-A (Ly-I) = xy-A (1,1).Dado 0 retangulo R, de base b e altura a, construirnos 0 quad-

rado Q , de lado a + b, 0qual contem 2 c6pias de R e mais dois quad-rados, urn de lado a e outro de lado b. Como sabemos, Ora, A (1,1) e a area do retangulo de base e altura iguais a I,isto e do quadrado unitario. Por definicao, A (1, 1) = 1. Portan to,

com base no teorema acima, concluimos que A (x, y) = x.y, isto e , aarea do retangulo e 0produto da base pela altura.A demonstracao do Teorerna acima tern duas partes, umageometrica e outra aritmetica. A parte geometrica diz que, paratodo numero natural n, A (n .x,y) = n. A (x,y), 0 que e obvio poiso retangulo de base n.x e altura yea reuniao de n retangulos jus-tapostos todos de base x e altura y. Diz tambem que se x < x', ,entao A (x, y) < A (x', y), 0 que e evidente porque, quando x < x, 0retangulo de base x e altura y esta contido no interior do retangulode base x' e altura y.A parte aritmetica da demonstra~ao e uma reforrnula~ao, emtermos numericos, do argumento que chamamos anteriormente de"metodo da exaustao", Trata-se do seguinte. Indiquemos com R+ 0conjunto dos numeros reais positivos. Seja {: R+~R+ uma funeaoerescente, tal que ((n.x) = nf(x) para todo mimero natural n e todomimero real x > O. Entao vale tambem ((c.x) = c.f(x) para

Por outro lado, eomo os quadrados rnenores tern areas iguais aa2 e b2 respectivamente, temos

area de Q = a2 + b2 + 2 x (area de R).Segue-se que area de R = ab oHa ainda uma outra maneira de se chegar a f6rmula da area

do retangulo. Ela nao requer que se calcule primeiro a area doquadrado e se baseia na teoria das proporcoes, mais precisamenteno seguinte

Teorema. As areas de dois retangulos que tem alturas iguaisestao entre si assim como suas bases.


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1 8 A r e a

quaisquer c > 0 ex> 0 reais. Para a demonstraeao destaafirmaeao, veja 0 livro ''Meu Professor de Matematica", pagina 164.

2. Area do paralelogramo e do trianguloDa area do retangulo, passa-se facilmente para a area doparalelogramo. Urn paralelogramo e urn quadrilatero no qual oslados opostos sao paralelos.

Quando se toma urn lado do paralelogramo como base, chama-se altura do paralelogramo a urn segmento de perpendicular queliga a base ao lado oposto (ou ao seu prolongamento).

/ R g . 6 . N o p a r a le lo g r a r n o ABDC, b a ix a rn o s u m aL p e rp e n dic u la r d o p o nt o C a b a s e AB . 0 s e g rn e n to C E ex f:} u m a a l t ur a d o p a ra le lo g ra m o . Se t o m a s se m o s o u lr a- . . . . p e r p e n d ic u la r c E' , l i g a n d o CD a AS , t e rla m o s o u lr a~ __ _,.;;;;;"",, D a 1 lu ra . E v id e n te r n e nt e , c o m o AB e CD s a o p a ra le l os ,C E = cE' , o u s e ja , t od a s a s a ltu ra s r e la liv a s a base ASt e r n 0 m e s m o c o m pr im e n lo . P o c le r ia m o s te rc o n s i d e r a d o 0 l a d o BDcomo b a se . E n tA o XY ,p e r pe n d ic u la r a AC e BD , s e r ia u r na a l t ur a , r e l a t v a ab a s e BD . E d a r o q ue XY n A o p re c is a t e r 0 m e s m oc o m p r i r ne n t o q u e a s a lt ur a s r e la t iv a s a b a s e AB .

- . . . . - . . . . - . . . .

BE E'

Seja ABDC urn paralelogramo, cuja area S queremos calcular,sabendo que sua base AB tern comprimento b e sua altura DE terncomprimento a.

~ . 7 . 0 r e ta n g u lo A E D F , c u j aa r e a v a le b a+ c a , e I o r m a d o p e l Op a ra le lo g r a m o , c u ja a re a S s ad e s e ja c a lc u la r , r n a is d o ist O O n g u lo s q u e , c o lo c a d os ju n to s ad ir e it a , f or m a m u rn r e tA n g u lo deb a s e c e a ltu ra a .

F

a

c

c

a

b cA B E

A re a d o p a ra le lo g ra m o e d o lriangulo 19

o paralelogramo ABDC esta contido num retangulo de baseb +c e altura a. Como vimos, a area desse retangulo e(b + c)a = ba + ca. Por outro lado, 0 retangulo e formado peloparalelogramo dado mais dois triangulos que, juntos, formam urnretAngulo de area ca. Portanto ba + ca = S + ca, donde S = ba.

Assim, a area de urn paralelogramo e igual ao produto do com-primento de qualquer uma de suas bases pelo comprimento da al-tura correspondente.Ein particular, vemos que 0 produto do comprimento dequalquer base de urn paralelogramo pelo comprimento da alturacorrespondente e constante (nao depende da base escolhida).

Vemos tambem que, dadas as retas paralelas 1; S e 0 segmentoAB sobre T, todos os paralelogramos ABDC, com C e D sobre a retas, tern a mesrna area. (Faea uma figura ilustrando esse fato.)

Da area do paralelogramo, passa-se imediatamente para aarea do triangulo, pois todo triangulo e a metade de umparalelogramo.Mais precisamente, dado urn triangulo ABC, cuja areadesejamos calcular, traeamos, pelos vertices C e B, respectiva-mente, paralelas aos lados AB e AC. Estas ret as se encontrarn noponto D e fornecem urn paralelogramo ABDC. Tomemos a alturaCE deste paralelogramo. Se AB = b e CE = a, sabemos que a areade ABDC = ba. Ora, os triangulos ABC e BCD sao congruentes(tem um lado comum compreendido entre dois angulos iguais), logo

c D---I////

F ig . 8 . O s l r ia n g u lo s A B C e B C D s a oc oo g r u e nt e s ( p o is ~ m u m la d o c o r n u r n ,c o m p r e e n d id o e n tr e d o is A n gu lo s ig u a is ),lo go te rn a m e sm a a re a .


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20 A rea

tern a mesma area. Portanto, area de ABDC = 2 x (area de ABC) epor conseguin te:

1area de ABC = 2 " b-a.Isto se exprime dizendo que a area de urn trtangulo e a metade

do produto de urna base pela altura correspondente.Num triangulo, temos 3 escolhas para a base b e, portanto, 3

escolhas para a altura a. Seja qual for a escolha, 0produto b.a serao mesmo, pois, em cada caso ele fomece 0 dobro da area dotriangulo,

Sejam res retas paralelas e b urn mlmero real positive.Segue-se da formula aeima que todos os triangulos ABC comvertice A sobre r, base BC sobre s e BC = b, tern a mesma area.(Faea urna figura ilustrando esta afirmaeao.)

Para urn poligono qualquer, 0 processo de calcular sua areaconsiste em subdividi-lo em triangulos, paralelogramos ouquaisquer outras figuras cujas areas sabemos calcular. A area dopoligono procurada sera a soma das areas das figuras em que 0decompusemos.

Por exemplo, seja ABDC um trapezio, Isto significa que AB eCD sao paralelos.

Escrevamos AB = bl, CD = bz e chamemos de a a distanciaentre as paralelas AB e CD, isto e , 0 comprimento de qualquer per-pendicular ligando urn ponto da retaAB a urn ponto da reta CD.

D F i g. 9 .

A B

- - Defin isao geral d e a r ea 21A diagonal AD decompOe 0 trapezio nos triangulos ABD e

ACD, com bases bl e bz respectivamente, e mesma altura a.A areado trapezio ABDC e a soma das areas desses dois triangulos, logo

.( d ABDC ab, ab: bl + b2area e =-+-= xa222 .Assim, a area do trapezio e igual a semi-soma das bases vezesa altura.

ObservaS!8.o.0 metodo . ac ima utilizado para calcular areas deparalelogramos,- triangulos e trapezios (cortar e deslocar) pode seranalisado de forma interessante e divertida. Veja "Pohgonosequidecomponiveis", na Revista do Professor de Matematica ,mimero 11 (1987), pagina 19.

3. Definicao geral de areaNos paragrafos anteriores, mostramos que se pode associar a cadapoligono P urn numero real nao-negativo, charnado a area de P,com as seguintes propriedades:

1)Poligonos congruentes tern areas iguais,2) Se P e urn quadrado com lado unitario, entao area de P = 1.3) Se P pode ser decomposto como reuniao de n poligonos

PI, "', P tais que dois quaisquer deles tern em cornum nomaximo alguns lados, entao a area de Pea soma das areasdOSPi.Segue-se de 3) que se 0 poligono P esta contido no poligono Qentao a area de P e menor do que a area de Q.Se observarmos bern, notaremos que as formulas para as areasdo quadrado, do retangulo, do paralelogramo, do triangulo e do

trapczio, que obtivemos acima, foram todas deduzidas a partir des-tas 3 propriedades.


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2 2 A r e a D e fin i9 & o g e ra l d e a r e a 23

urn Iado), A area de urn poligono retangular e a soma das areas dosretangulos que 0 compoem.Ainda para maior simplicidade, limitaremos nossa ateneao apoligonos retangulares contidos na figura F cuja area desejamoscalcular, Em outras palavras, consideraremos apenas valoresaproximados por falta para 0numero real a(F).

Assim, definiremos a area da figura F como 0 mimero realcujas aproximacoes por falta sao as areas dos poligonos retan-gulares contidos emF.lsto significa que, para todo poligono retangular P, contido emF, tem-se

Entretanto, nao demos ainda uma definicao geral para a areade uma figura plana. Em particular, nao sabemos como obter aarea do circulo, da elipse, etc.'Vejamos agora como se define a area de urna figura plana Farbitraria.A area da figura plana F deve ser urn mimero real nao-negative, que indicarernos com a(F). Ele ficara bern determinado seconhecermos seus valores aproxirnados, por falta ou por excesso.

Os valores de a(F) aproximados par falta sao, por deflnieao, asareas dos poligonos P contidos em F. Os valores de a(F)aproxirnados por excesso sao as areas dos poligonos P' que contemF. Por eonseguinte, quaisquer que sejam os poligonos P (contido emF) e P' (contendo F), 0m.imero a(F) satisfaz as desigualdades a(P)::;; a(F).AMm disso, dado qualquer m.imero b < a(F), existe urn poligono

retangular P, contido em F, tal quea(p)::;; a(F) ::;;a(P').b < a(p) s a(F).Por sirnplicidade, em vez de considerarmos poligonos

quaisquer, limitaremos nossa atencao aos pohgonos retangulares,para os quais e mais facil calcular a area.

Urn pol(gono retangular e a reuniao de varies retangulos jus-tapostos (isto e , dais desses retangulos tern em comum no maximo

F ig . 1 0 . Um a f ig u ra plana F(negra) ,c o nt id a n u rn p o lk J on o P e c o nt en d ou r n p o li g o no P . A a re a d e P e u r n aa p r o xi r n a ltA o p or fa lt a e a a re a de P'u rn a a p ro x irn a lt Ao p o r e x ce s so , p a r aa a r e a de F .

A g. 1 1. P o l ig o n o r e t a ng u l a r P c o n t i c l on u rn a f ig u ra p la n a F . A a re a de P e u rnv a lo r a p r o x ir n a d o p or la lla d a a re a de F .

Poderiamos, tambem, ter definido a area de F como 0 numeroreal cujas aproximaeoes por excesso sao as areas dos poligonosretangulares que contem F.

Mas adotaremos neste texto a definicao anterior, comaproximacao por falta.


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2 4 A r e a No t a h i s t6 r ic a 2 5

4. Nota historica de que as figuras em questao tern a mesma area. E a demonstraeaose faz por meio de decomposieao em figuras congruentes, comofizemos na seeao 2 acima,

Este fato e suficiente para permitir a Euclides demonstrar 0Teorema de Pitagoras ainda no primeiro dos treze livros dosElementos, sem fazer apelo a razoes e proporeoes, das quais so verna tratar no Livro V.

Como se sabe, 0 Teorema de Pitagoras afirma que em todotriangulo retangulo, a area do quadrado que tern como lado ahipotenusa e igual a soma das areas dos quadrados que tern comolados os catetos.E a seguinte a demonstraeao de Euclides:

No triangulo retangulo ABC, para provar que a area do qua-drado construfdo sobre a hipotenusa BC e igual a soma das areasdosquadrados construidos sobre os catetos AB eAC, Euclides tracaAF perpendicular a BC e a prolonga ate G. Traca tambemAE e CD.

Como vimos no Capitulo 1, nao se medem segmentos de retanos Elementos de Euclides, pois ha segmentos incomensuraveiscom qualquer unidade que se adote mas nao havia entso mimerosirracionais para representar seus comprimentos. A comparaeaoentre dois segmentos se fazia mediante 0 conceito de razao entreeles, mas razoes entre grandezas nao eram consideradas comonumeros. Analogamente, nao havia medida de areas naMatematica grega organizada como ciencia dedutiva.

Na realidade, Euclides nem sequer se deu ao trabalho dedefinir area.

Nos Elementos, duas figuras sao chamadas "iguais" quandotern a mesma magnitude, isto e, 0 mesmo comprimento se sao seg-mentos, a mesma area se sao figuras planas, 0 mesmo volume sesao solidos, ou a mesma abertura se sao angulos.

A nOCaode figuras congruentes (aquelas que coincidem porsuperposieao) s6 veio a ter interesse independente em Geometriamuito depois.

Para Euelides, a coincidencia de duas figuras planas porsuperposicao era urn passo intermediario para concluir a igualdadede suas areas. (Com efeito, 0 Axioma 4 dos Elementos diz:"Duasfiguras que coincidem por superposicao sao iguais".) Assim, era im-portante para ele dispor de criterios que assegurassem a super-ponibilidade, por exemplo, de dois triangulos, (Os 3 casosfamiliares de "igualdade de triangulos'") Cumpridas essascondicoes, 0 Axioma 4 garantiria a mesma area para os triangulosdados.

Evidentemente, para segmentos de reta, serem congruentes eo mesmo que terem a mesma medida. Mas dois triangulos ou doisparalelogramos podem ter bases e alturas iguais sem serem con-gruentes.

Portanto, quando Euc1ides enuncia que triangulos ouparalelogramos com bases iguais e situados entre as mesmasparalelas sao iguais, 0 significado desta ultima palavra "iguais" e

Os triangulos ABE e CBD tern a mesma area porque sao con-gruentes (urn angulo igual entre dois lados iguais), Os triangulos

H

A~DB c

R g . 1 2 . E u c l id e s p re f e r i u d e m o ns tr a r 0 T e o r e m ade P M g or a s c om b a s e n e sta f ig u r a p o r q u e a s s imn a o u s a r i a a t e o ria d a s p ro p or c o e s,E- G


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2 6 A r e a Exe r c i c i os 27

ABE e FEB tern areas iguais pois tern a mesma base e alturasiguais. Assim, a area de ABE e a metade da area do retanguloBEGF.IAnalogamente, CDB tern area igual a de A D B , que e a metade

do quadrado ABDH. Segue-se que a area deste quadrado e igual aarea do retangulo BEGF.

Do mesmo modo se mostra que a area do quadrado e doretangulo hachurados vertical mente na figura sao iguais. Dafresulta 0 Teorema de Pitagoras.

Depois disso, Euclides volta a falar de areas no Livro VI, paraprovar que (as areas de) triangulos ou paralelogramos com alturasiguais estao entre si assim como suas bases, que (as areas de) doispoligonos semelhantes estao entre si assim como os quadrados dedois lados homologos e, quase no fim dos Elementos, (Livro XII)para demonstrar que (as areas de) dois cfrculos estao entre si assimcomo os quadrados dos seus diametros.

tes e semelhanternente dispostas sobre os catetos". (Aqui, "igual as"significa "tern area igual a soma das areas das".) Vide Exercfcio 13do Capitulo 3.Os "trrefutaveis argumentos cientificos do Livro VI" constitu-em a teoria da semelhanea.

6. Exercicios1. Urn loeango e urn quadrilatero que tern os quatro lados iguais.Prove que todo losango e urn paralelogramo e que urn quadrilateroe urn losango se, e somente se, suas diagonais sao perpendicularese se cortam mutua mente ao meio.

5. Urn comentario de Proclus

2. Mostre que a area de urn losango e igual a metade do produtodas diagonais.3. Prolongando os lados nao paralelos, considere 0 trapezio de basesb , b ' e altura a como diferenca entre urn triangulo de base b ealtura a + a' e urn triangulo de base b ' e altura a'. Obtenha assimuma outra formula para a area do trapezio. Compare-a com a quefoi provada no texto.4. Sejam E e F os pontos medics dos lados nao paralelos do trapezioA BDC . Prove que

Proclus (410-485 D.C.) foi autor de urn livro de comentarios sobre 0Livro I dos Elementos de Euclides, onde explica,_comenta e analisaas proposicoes do Livro I. A respeito da demonstraeao acima,Proclus escreveu 0 seguinte:

"Se dermos ouvidos aos que relatam Hist6ria Antiga,acharemos alguns que atribuem este teorema a Pitagoras e dizemque ele sacrificou urn boi pela descoberta. De minha parte, emboraadmire aqueles que primeiro tomaram conhecimento da verdadedeste teorema, me mara vilho mais com 0 autor dos Elementos naosomente porque ele 0 estabeleceu mediante a demonstracao maisIucida, mas porque ele insistiu no teorema mais geral, pelosirrefutaveis argumentos cientificos do Livro VI".o "teorema mais geral" a que se refere Proclus e a proposicao31 do Livro VI, cujo enunciado e: "Em todo triangulo retangulo, afigura construida sobre a hipotenusa e igual as figuras semelhan-

area(ABF) + area(CDF) = area(AEF) + area(CEF).5. Chama-sa b ase m ed ia de urn trapezio ao segmento de reta queune os pontos medics dos lados nao paralelos. Prove que a area dotrapesio e igual 80 produto da base media pela altura.6. Por urn ponto arbitrario da diagonal de urn paralelogramo, traceduas paralelas aos lados, decompondo-o assim em 4 paralelograrnosmenores (desenhe a figura). Dois deles tern areas iguais.Identifique-os e prove a afirmaeao.7. Sejam dados os numeros reais positivos a, b e c. Caminhandosempre para a direita e para baixo, trace uma poligonal cujos 4


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28 A rea E x e r c f c i o s 29lados, alternadamente horizontais e verticais, medem a, b , c e x,onde x e tornado de forma que 0 primeiro, terceiro e 0 quinto(ultimo) vertice da poligonal estejam em linha reta. Complete afigura de modo a obter urn retangulo de base a + c e altura b +x.Use 0 exercfcio anterior para concluir que alb =clx. (Metodogeometrico para aehar a quarta proporcional entre 3 mimerosdados.)

x 2 i.2+ 2 s 1.a b

Conclua que a area da elipse de eixos 2 a e 2b e igual a ab vezes aarea do circulo de raio 1.12. A area do quadrado inscrito num circulo e igual a metade daarea do quadrado circunscrito no mesmo cireulo.13. Prove que as tres medianas de urn triAngulo 0 decompoem emseis triangulos menores com areas iguais.14. Prove que os pontos medics dos lados de urn quadrilateroqualquer sao os vertices de urn paralelogramo cuja area e a meta deda area do quadrilatero dado.15. Sejam W . X, Y e Z pontos situados sobre cada urn dos quatrolados de urn retangulo. Suponha que 0 segmento WX seja paraleloas bases desse retangulo. Mostre que 0 quadrilatero que tern W . X,Ye Z comovertices tern area igual a metade da area do retangulo,16. Sejam A, B, G e D vertices consecutivos de urn poligono com nlados. Pelo ponto B, trace uma paralela a diagonal AG. Seja E aintersecao dessa paralela com 0 prolongamento do lado DC.Substitua os lados AB, BC e CD por AE e ED. Mostre que assim seobtem urn poligono com n - 1ados, de mesma area que 0 anterior.Prossiga, ate eoncluir que se pode construir geometricamente urntriAngulo com mesma area que urn poligono convexo dado.17. Calcule a area do hexagono regular de lado 1 .18. Num triangulo isosceles de base b e dois lados iguais a 1, seja aa altura baixada a partir de urn dos vertices da base. Mostre que setern

8. No triangulo ABC, se 0 angulo LA e obtuso (respect. agudo)entao a area do quadrado construido sobre 0 lado Be e maior(respect. menor) do que a soma das areas dos quadradosconstruidos sobre os lados AB e AC. Conclua daf a reciproca doTeorema de Pitagoras.9. No plano IT considers 0 sistema de coordenadas cartesianas,definido por dois eixos ortogonais OXe OY. Dados os numeros reaispositivos a e b, defina a fun~ao f : IT ~ IT requerendo que r(p) = P' ,onde P = (x, y) e P= (ax, by) . Prove que uma figura F qualquer doplano IT e transformada por r numa figura F ' euja area e igual a abvezes a area de F.10. Como no exercicio anterior, considere urn sistema de eixosortogonai no plano IT.Prove:a) Que 0 ponto P = (x, y) pertence ao circulo C de centro 0 e raio

1 se, f' somente se, x2 +y2:s;1.b) Que a funeao do exercicio anterior transforma 0 circulo C nafigura E formada pelos pontos P = (x, y) tais que

11. A figura E do exercicio 10 chama-sa uma elipse cujos eixosmedem 2a e 2b. Suponha a:?:b. Os pontos A = (-c, 0) e A' = (c, 0),com c = .va2 - b2, chamam-se focos da elipse. Prove que 0 pontop= (x, y) pertence a elipse se, e somente se, PA + PA's : 2a.

ConcIua dai que se I n e 0 eomprimento do lado de urn poligonoregular de n lados inscrito num circulo de raio 1 entao


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30 A rea

19. ~m triAn~lo retAngulo tern catetos de comprimentos 1 e L.Apartir do vertice do angulo reto, ao longo do cateto L, toma-se urnsegme~to de comprimento x tal que a perpendicular baixada dae~tremidade desse segmento sobre a hipotenusa tambem terncomprimento x. Mostre que x = (-1 + " 1+L2)/ L. Conclua daf quese Ln e 0 comprimento do lado do polfgono regular de Id. . n a oscircunscrito ao circulo de raio 1 entao

;>3. Semelhanca e Areas

1. IntroducaoA no~ao de semelhanea corresponde it ideia natural de "mudaneade escala", isto e , ampliaeao ou reducao de uma figura alterandoseu tamanho sem modificar suas proporeoes.

No estudo tradicional da Geometria, 0 conceito de semelhanca,principalmente de triangulos, ocupa urn lugar bern destacado. Oslivros em geral definern triangulos semelhantes como aqueles quetern "Angulos iguais e lados homologos proporcionais". Estadefinieao se estende literalmente para poligonos.

En t retanto , em muitas situacoes, gostarfamos de dizer queduas figuras sao semelhantes embora elas nao sejam poligonos. Porexemplo, a foto ampliada de uma pessoa e semelhante a figura queesta no filme antes da reprodueao; as irnagens na tela de urncinema sao semelhantes as da pelicula que esta sendo projetada euma bola de gude e semelhante a uma bola de bilhar.

Nos exemplos acima, como em muitos outros, nao podemosaplicar a definieao de semelhanea comumente encontrada nos li-vros porque nao ha anguloe nem lados para comparar.

Mesmo num curso de Geometria, a maneira mais natural deobter a formula da area de urn circulo comeea com a observacao deque dois circulos quaisquer sao figuras semelhantes. Mas talobservaeao s6 pode ser feita se contarmos com uma definicao desemelhanca que nao se baseie em angulos e lados pois estas coisasDaOexistem num circulo.


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e z se m elt la nt ;a e A r ea s

A Geometria que se estuda hoje nas escolas provem de urnlivro extraordinario, intitulado "Elementos", escrito ha cerea de2.300 anos por urn professor da Universidade de Alexandriachamado Euclides. Desde entao, os Elementos de Euclides forampublicados em mais de urn milhar de edic;Oes,nas mais diversaslinguas, antigas e modernas. Ate recentemente ainda eram usadosnas escolas da Europa. Os textos atuais de Geometria que 0 substi-tuem sao todos modelados nessa obra imortal, onde pela primeiravez se organizou, de modo sistematico e com refinado born gosto, 0conhecimento maternatico da epoca.

Muitas vezes, ao percebermos deficiencies ou impropriedadesno tratamento de certos t6picos em compendios de hoje, recorremosas origens, consultando Euclides para ver como as ideias nasceram.

Que diz Euclides sobre semelhanc;a?Os Elementos sao organizados em treze livros. 0 Livro VI e

dedicado a nocao de semelhanea, Ele abre com a seguinte definicao:"Figuras retilineas semelhantes sao aquelas cujos angulos sao

iguais e os lados que compreendem angulos iguais sao proper-cionais".

No Livro X I, onde eomeea a ser estudada a Geometria noespaeo, ocorre nova definieao: " chamam-se figuras s6lidas seme-lhantes as figuras limitadas por urn numero igual de figuras planassemelhantes" .

Numa unica outra ocasiao Euclides fala em figuras semelhan-tes nao limitadas inteiramente por lados retos ou faces planas. Eno Livro III, dedicado ao estudo do cfrculo. Ali, dois segmentos decfreulo sao chamados semelhantes quando os angulos centraisneles inseritos sao iguais. Mas esta e uma definieao isolada eespecffica. Serve apenas para provar que dois segmentos semelhan-tes que subtendem cordas iguais sao congruentes. E 0 assuntomOITe af.

Mas na~ e preciso recuar tanto assim. Ha muito tempo que seconhece a definieao correta e geral de semelhanea, Ela e extrema-mente simples e permite que se desenvolva toda a teoria elemen-tarmente. Nossos livros didaticos poderiam adota-la com

Ik_.~~~ita$ll; UfSeI ~vantagens. Assim fazendo, evitariam urn tr~tam~nto incompleto,-- -

ual se da uma definieao valida apenas para pobgonos enquantono q d-a maior parte dos exemplos com que nos eparamos nao se en-quadra nessa categoria. _Faremos a seguir, de forma resumida, uma apresentacao dot6pico "semelhanc;a" sob 0 ponto de vista que julgamos mars ade-quado.

2. Adefinicaode semelhan~a

,Sejam Fe F' figuras, do plano ou do espaeo, e r urn numero realpositive.Diz-se que F e F' sao semelhantes, com rasao de semelhanca r,uando existe uma correspondmcia biunfvoca a:F~F, entre os:antos de F e os pontos de F', com a seguinte propriedade:

se X, Y silo pontos quaisquer de F eX' = a(X), Y' = a(y) sao seus correspondentes em F'enttio X'Y' = r. XY.

A correspondencia biunfvoca a: F -7F', co m esta propriedadede multiplicar as distancias pelo fator c?nstante ~, chama-se umasemelhanca de razao r entre F e F'. Se X = a(X), diz-se que os pon-tos X eX ' sao hom6logos. . . .Evidentemente, toda figura e semelhante a 51 pr~pna, pois afuneao identidade a :F ~ F e uma semelhanc;a de razao 1.

F ig . 1


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3 4 Se me Ila ~ e A r e a s A de f i n~ d e s e m e l ha o !( 8 35

Tambem, se F e sernelhante a F' entao F' e semelhante a Fpois, dada uma semelhanca 0:F ~ F' de razao r, a fun~ao inversa0-1:F'~ F e urna semelhanea de razao 1/r.

"Iem-se ainda transitividade: se F e sernelhante a F' e F esemelhante a F" entao F e sernelhante a F'. Com efeito, seo :F~ F' e a' :F'~ F" sao semelhaneas, de razoes r e r' respec-tiva mente , entao a funeao composta o',c : F ~ P" e umasemelhanca de razao r.r',

Uma semelhanca de razao 1 chama-se uma isometria. Portan-to, uma isometria 0:F ~ F" e urna correspondencia biunivoca talque, para quaisquer pontos X, Y em F, a distancia de X' = 0(X) aY' = a(Y) e igual a distancia de X a Y.

Quando existe urna isometria entre as figuras F e F, diz-seque estas sao congruentes.

Urn exernplo simples de figuras sernelhantes e dado por doissegrnentos de reta arbitrarios.AB e CD. Se CD = r. AB, podemosdefinir urna semelhanca 0': AB ~ CD, de razao r, fazendo cor-responder a cada ponto X do segmento AB 0 ponto X' de CD tal queCX'=r.AX.

Para rnostrar que 0 e realmente urna sernelhanea, tomernosarbitrariamente os pontos X, Y em AB. Suponhamos a notacao es-colhida de modo que X esteja entre A e Y. Entao, pela definicao de0, segue-se que X' esta entre C e Y'.Logo

Outro exemplo simples de semelhanea pode ser dado mostran-do-se que duas semi-retas quaisquer 8 e 8' sao figuras semelhan-tes. Com efeito, sejam 0 e O' as origens de 8e 8' respectivamente.Dado qualquer mimero positivo r, definiremos uma semelhanca0:8 ~ 8', de raaao r, fazendo corresponder a cada ponto X em 80ponto X' = O'(X) em 8' tal que O'X' = r. OX. A verificaeao de que 0 euma semelhanca se faz como acima. Analogamente, duas retasquaisquer sao semelhantes.Os exemplos aeima sao praticamente os unicos que podem serdados antes de provarmos 0 Teorema Fundamental, na secaoseguinte. Passaremos agora a examinar algumas propriedades dassemelhaneas.Lema. Toda semelhanca transforma pontos colineares em ponioscolineares.Demonstra9io: Seja 0:F~ F' urna semelhanca de raaao r.Dados tres pontos A, B, C em F tais que C pertence ao segmento dereta AB, mostraremos que C' = 0 ( C ) pertence ao ~ento A'B',onde A' =0(A) e B' = 0 (B ). Com efeito, temos AC + CB =A.B, logo

A'C' + C'B' = r.AC + r. CB = r, (AC + eB) = r.AR = A'B',e dai concluimos que C' pertence a A'B'.

0'

F ig . 2 U m a s e m e lh a nc a e nt r e o ss e g m e n t o s A B e C D . S e 0 p o n t o X e s t ad ua s v e z e s r n a ls p ro x im o d e B d o q u e d e A ,s e u h om 6 1o go ) ( d is la d ua s v az e s m a is deC do q u e d e D .

F ig . 3 M e s m o q u e 0s e g m e n l o de r e ta q u ec o nte m o s p o nlo s A ,B , C n a o e s le jac o n lid o n a f ig u ra F ,s e u s h o m o lo g o s A ',8', C s a o c o li ne a r e s .

X'Y' = CY - CX' = r.AY - r. AX = r. (AY -AX) = r. XY. FB

-c


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3 6 S em ella nq a e P le as o T e o re m a F u n d am e n l a l 3 7Teorema 1. Uma s eme lh ar n ;a 0 :F - - -7 F ', de razdo r, transforma:1) Todo segmento de re ta c on tid o e m F n u m se gm en to de retac o n tid o e m P.

2 ) U rn c tr cu lo de raw a c on tido em F n u m c trc ulo de r ai o r .acont ido emF.

3) Pontos interiores a Fem pontos interiores a F'.4) Pontos d o c o n to rn o d e F e m p on to s do contorno de P.5) Ve r ti c e s de F e m v er tic e s de F (s e F e F forem poligonos).

Demonstraeao: 1) Dado 0 segmento de reta AB contido em F,sejam A' = a (A ) e B' = a (B). Para todo ponto C em AB, seuhomologo C' = a (C) pertence a A'B' em virtude do Lema.Reciprocamente, dado qualquer ponto C' em A'B', ternosC' = a (C), onde C = a-1 (C'). Como a-1 e uma semelhanca,segue-se do Lema que C pertence a AB. Assirn a semelhanca aestabelece uma correspondencia biunivoca entre os pontos dossegmentos de reta AB eA'B',

2) 0 ctrculo de centro 0 e raio a, suposto contido em F, e areuniao dos segrnentos de reta OX tais que OX = a. Sua imagempor a e a reuniao dos segmentos O'X, com 0' = a (0), tais que O'X'= r.a, portanto e 0 circulo de centro 0' e raio r.a.

3) Urn ponto X diz-se interior a figura F quando e centro dealgum circulo inteiramente contido em F. Seu hom6logo X' =a (X)e, pelo que vimos aeima, 0 centro de urn circulo de raio r.a, contidoemF. Portanto, X' e ponto interior aP.4) Diz-se que urn ponto X pertence ao contorno da figura F

quando X pertence a F mas nao e interior a F, ou seja, nenhumcirculo de centro X pode estar inteiramente contido em F. Nestecaso, X = a (X) deve pertencer ao contorno de F pois se X' es-tivesse no interior de F entao, em virtude de 3), X = a-I (X' )tambem estaria no interior de F.

5) Suponhamos agora que F e F' sejam poligonos e que X sejaurn vertice de F. Em particular, X esta no contorno de F logo, por4), seu homologo X' = a (X) esta no contorno de F. Se nao fossevertice, 0ponto X pertenceria ao lado A'B' de F, sendo diferente deA' = a CA)e de B' = a (B ), Entao X pertenceria ao lado AB de F,com X i: - A eX : J : . B, logoX nao seria vertice de F.

Se a :F - - -7 F' e uma semelhanca que transforma 0 segmento dereta AB, contido em F, no segmento A'B', contido em F', estes seg-mentosse dizem hom6logos.

3. 0 TeoremaFundamentalFig . 4 0 pon lo X e i n te r io r a o p o li g on o Pe 0 p on to Y p e rt en c e a o s eu c on lo rn o.

Sejam 0 urn ponto do plano n (ou do espaco E) e r urn nurnero realpositivo. A homotetia de centro 0 e razao rea funeao o.Il - - -7 n (oua:E - - -7 E) definida do seguinte modo: a (0) = 0 e, para todo ponto X;t0, cr(X) =X' eo ponto da serni-reta OX tal que OX' = r, OX.

Uma hornotetia de razao 1 e simplesmente a aplicaeao iden-tidade. Uma homotetia de centro 0 transforma toda reta que passapor 0 em si mesrna.

Toda homotetia e urna correspondencia biunfvoca, cuja inversae a homotetia de mesmo centro e razao 1/r.Duas figurasF eF chamam-se homoteticas quando existe uma

hornotetia a tal que cr(F) = F.


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3 8 Sem& l h a~ e A r e a s o T e o r em a F u nd a m e n ta l 39R g. 5 U ma h om ote tia d ecen tro 0 e razao 2t ra n s lo rma a l ig u r a F naf lQura P.

X'

Z'

uma semelhanca de rasao r. Para isso, consideremos dois pontosquaisquer X?Y. Se X? YeO estiverem sobre a mesrna reta, e facilver que X'Y' = r, XY. Suporemos entao que X,YeO nao saocolineares. Indiquemos com [MNP] a area de urn trianguloqualquer MNP. Como as areas de dois triangulos com alturas!B:!!,aissao proporcionais as suas bases, de OX' = r. OX e OY' = r.OY concluimos que [OXY'] = r.[OXY] e [OYX] = r.[OXY]. Logo[OXY'] = (OYX']. Subtraindo de ambos os membros desta igualdadea area da parte comum OXY, resulta (XYX1 = [XYY']. Como estesdois triangulos tern a mesma base XY, da igualdade de suas areassegue-se que suas alturas sao iguais. Isto significa que XY epara lela a X' '.

--:::::..---0--- y--x -Z --

Urn exemplo de homotetia (de razao r 1) se obtem con-siderando 0 centro 0 como 0 foco de urn projetor de slides; F e aimagern ampliada do slide F, que se ve sobre a tela.Numa homotetia, os pontos 0, X e X' sao sempre colineares,nesta ordem se r 1 ou na ordem 0, X', X se 0 < r < 1. Ja numa

semelhanea, as figuras F e F' podem ocupar posieoes quaisquer,como numa foto e sua ampliaeao, que podem ser colocadas emvaries lugares mas continuam semelhantes.

Mostremos agora que X''!XY = r. Na Figura 7, as letras a, b eC significam as areas dos triangulos por elas indicados. Usandonovamente 0 fato de que as areas de triangulos com a mesrna al-tura sao proporcionais as suas bases, temos:

a + b = ra, poisa + b + c = r.(a + b ), OX'=r.OX epois OY' = r.OY.

Teorema 2. Toda homotetia e uma semelhanca que transformaqualquer reta em si propria au numa reta parolela.o

Subtraindo membro a membro as duas igualdades a esquerda,

- . . . . . . . . /'/-


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areas e igual a razao entre suas bases, isto e , X'Y'IXY = T, comoqueriamos demonstrar.Corolario, Toda paralela a urn lado de urn tritingulo determinaurn triangulo parcial sernelhante ao tridngulo total.

Com efeito, no triangulo ABC, seja XY paraIeIa a BC.A homotetia o de centro A e razao r =ABIAX transforma X emF i g . 8 A

BeY nurn ponto Y' situado na serni-reta AC. A irnagern de XY poressa hornotetia e 0 segmento BY', paralelo a XY e comecando em B.Assirn Y ' pertence as retas BC e AC, isto e, Y' = = C. Portanto a(A)= A, a(X) = B, cr(Y) = C, isto e, o e uma semelhanca entre ostriangulos AXY eABC.

Reciproca do corolario, Dado 0 tridngulo ABC, tomemos ospontos X no lado AB e Y no lado AC. Se AB IAX = AC IAY entao XYe paralelo aBC.

Com efeito, considerando a homotetia o de centro A e razao r =ABIAX = ACIAY, vernos que B = cr(X)e C = o(Y). Resulta entao doTeorerna 2 que XY e BC sao paralelos.

Sejam R e R' retas paralelas e P urn ponto no plano de R e R',porem fora dessas retas. A proje9ao central, a partir de P, de Rsobre R' e a funeao o:R ~ R', que associa a cada ponto X da reta Ro ponto X' = a (X), interseeao da reta R' com a semi-reta PX.

R

R' X'

o T eo r ema F u n d a m e n t a l 41p F ig . 9

A projec;ao central c :R ~ R' e urna semelhanca. Com efeito,seja A 0pe da perpendicular baixada de Psobre R. Pondor = PA' IPA = distancia de PaR' l

distancia de PaRvemos que o coincide, em R, com a hornotetia de centro P e razao rpois, sendo os segmentos A X e A/X ' paralelos 0 Corolario do'Thorema 2 nos d a PX'IPX = 'PA'/PA=r.

Analogamente, se TI eTI' Sao planos paralelos e Pe urn ponto do espaeo quenao pertence a TI nem a TI'la projec;ao central, a partirde P, do plano TI sobre 0plano TI' e urna semelhaneaentre Il e Il', cuja razao e 0quociente r da distancia de ""------1---......"P a TI'pela distancia de P aTI.

Com efeito, seja A 0 ped a perpendicular baixadade P sobre 0plano n.

P F ig . 1 0

A

L7 42 S em e ll an lJ a e A re a s Semelhant ;a de l r iangu los


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Afirmamos que a proiecao central (J: IT ~ II', defmida por(J (X) = X' = mtersecao da semi-reta PX com 0 plano n', e arestricao a IT da homotetia de centro P e razao r = PA'/PA.De fato,sendo IT e IT ' paralelos, 0 segmento AX e paralelo a A'X'. PeloCoroiario do Teorema 2, temos PX/PX = PA'/PA= r.o Teorema 2 pode ser enunciado, um tanto vagamente, dizen-do-se que "figuras homoteticas sao figuras semelhantes, semelhan-temente dispostas".

incorrem nessa repetieao, utilizando duas vezes 0 teoremaaritmetico segundo 0 qual toda funeao crescente (:[O,+oo) ~ [0,+00),tal que f(1i.x) = nf(x) para qualquer n e N e qualquer x;:;: 0, e daforma ((x) = c.x. Vide, por exemplo, "Meu Professor de Matematica",pags, 164 e 167.

4. Semelhanea de triangulosNota 1. Entre os textos de Geometria mais notaveis depois dosElementos estao os "Elements de Geometrie" de Legendre (1794), eas "Leeons de Geometrie Elementaire" de Hadamard (1898).Legendre da a mesma definicao de semelhanea de Euclides,enquanto que Hadamard defme figuras semelhantes como aquelasque sao congruentes a figuras homoteticas. Em termos maisprecisos, Hadamard chama as figuras F e F' semelhantes quandoexiste uma figura F", congruente a P, tal que F e F " saohomoteticas. Do nosso ponto de vista isto e um teorema, segundo 0qual toda semelhanca e composta de uma homotetia com umaisometria.

Mostraremos agora que nossa deflnieao de semelhanca, quandoaplicada a triAngulos, reduz-se a definicao traditional.Teorema 3. Dois tridngulos sernelhantes tern dngulos iguais elados hom6logos proporcionais. Reeiprocamente, se dois trianguloscumprem uma das tree condicoes abaixo entdo eles sdo semelhantes:

a)7!m lados proporcionais;b) 7!m dngulos iguais;c) 'nm um angulo iguaL compreendido entre Ladosproporcionais.

A demonstracao e imediata: dada a semelhanea (J: F~ F', deraziio r, fixemos um ponto 0 e consideremos a homotetia r, decentro 0 t; rasao r. Seja F" a imagem de F por essa homotetia. Afuncao inversa 't-1e uma homotetia (portanto uma semelhanea) derasao 1/r. Logo, a funcao composta A = (J 0 't-1:F " ~ F' e umaisometria. Assim o= (J 0 't-10 't= Ac't e composta da homotetia 't coma isometria A .Portanto, a definicao de semelhanea de Hadamard coincidecom a nossa.

F ig . 1 1 A A 'r-.' C'B C

Nota 2. A demonstraeao do Teorema 2 dada acima e umaadaptaeao de urn argurnento devido a Euclides, que ja consta noLivro VI dos Elementos. 0 uso de area na demonstracao evitarepetir a consideraeao de casos ("comensuravel" vs"ineomensuravel") ja feita quando se deduziu a formula da area doquadrado. Os autores rnodernos (a partir de Legendre e Hadamard)

Demonstraeao: Seja (J :ABC ~ A'B'C' uma semelhanea de razaor entre os triangulos ABC e A'B'C', com A' = o (A), B' = (J (B) eC' = (J ( C ). Entao, pela definieao de semelhanea,

A'B' A'C' B'C'--=--=--=rAB AC BC

44 Same~ eAreas semel~ d e l r i a n g u l o s 45


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logo os triAngulos tern os lados homologos proporcionais. Paraprovar que os angulos sao iguais, suponhamos, a fim de fixarideias, que seja 0 < r < 1.A homotetia t, de centro A e razao r,transforma 0 triAngulo ABC no triangulo parcial A B"C", com B"C"paralela aBC. Entao L B" = L BeL C" = L C.

os triangulos AB"C" e ABC sao semelhantes. ComoAB"C" e A'B'C'sao congruentes, resulta que ABC e A'B'C' sao semelhantes.c) Finalmente, suponhamos que os triangulos ABC e A'B'C'cumpram

Mas os triangulos A B" C" e A'B'C' sao congruentes poisAB" = A'B' ( = r.AB),AC" =A'C' ( = r.AC)

L A = LA', A'B' = r.AB e A'C' = r.AC.Novamente tomamos sobre as retas AB e AC, respectivamente; ospontos B" e C" com

AB" =A'B' e AC" =A'C'.e Os triAngulos AB"e" e A'B'C' sao congruentes, como no caso b). Ahomotetia de centro A e razao r transforma AB em AB" e AC emAC" porqueLogo

LA = LA', L B = L B' e L C = L C'.a) Sejam agora ABC e A'B'C' triangulos tais que

A'B' = r.AB, A'C' = r.AC e B'C' = r. Bepara urn certo r O . (Isto significa que eles tern os ladosproporcionais.) A homotetia de centro A e razao r transforma ABCno triang .110 A B " C " cujos lados medem

AB" -- r.AB AC" AC=r..Logo essa homotetia e uma semelhanca entre 0 triAngulo ABC e 0triAngulo AB"C". Como AB"C" e A'B'C' sao eongruentes, segue-seque ABC eA'B'C' sao semelhantes.

LA = LA', L B = L B' e L C = L C'.Nas retas AB e AC tomemos os pontos B" e C" respectiva-mente, de modo que AB" = A'B' e AC" = A'C'. Os triAngulos AB"C"

e A'B'C' sao congruentes porque tern urn Angulo igual (L A = LA')compreendido entre lados iguais. Logo L B" = L B', dondeL B = L B". Conclui-se que as retas B"C" e Be sao paralelas e daf

Lembremos que angulo e a figura formada por duas semi-retasque tern a mesma origem. Essas semi-retas chamam-se os lados esua origem comum chama-se 0 uert ice do Angulo.

Assim, quando se diz que 0 ponto P pertence ao Angulo L A,isto signifiea que Pesta sobre urn dos lados desse Angulo. (Podendoestar sobre ambos os lados, se eo vertice.)

Se os lados do Angulo sao semi-retas opostas (isto e , estaosobre a mesma reta) entao 0 Angulo chama-se raso.Se 0 Angulo LA nao e raso, 0 vertice A e 0 unico dos seus pon-tos que nao pode ser interior a urn segmento de reta eontido num

dos lados de LA.

AB" = r .AB, AC" = r.AC e BC = r. BC.AB"C" e A 'B'C' sao congruentes porque tern os lados iguais. ComoAB"C" e semelhante a ABC, segue-se que ABe e A'B'C' saosemelhantes.b) SejamABC eA'B'C' triangulos tais que

Corolario 1. Dois angulos semelhantes sao iguais.Evidentemente, basta considerar 0 easo em que os angulos naosao rasos, Seja (J: L A ~ L A' uma semelhanca entre 0

46 Semelhaooa e A r ea s


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Noutras palavras, 0 cfrculo de centro 0 e raio a e a reuniao detodos os segmentos de reta de comprimento a, traeados no plano apartir do ponto O. A palavra raio as vezes se usa tambem paradesignar cada urn desses segmentos. Esta ambigiiidade nao cos-tuma causar confusao pois 0 significado sempre fica claro a partirdo contexto.

o conjunto dos pontos do plano situados a distancia a docentro 0, isto e , a linha que limita 0 cfrculo, chama-sacircunferencia. As vezes tambem se usa a pala vra "cfrculo" paradesignar essa linha. (0 proprio Euclides cometia esse abuso de lin-guagem. Ver tambem "Meu Professor de Matematica", pag. 196.)

Evidentemente, dois cfrculos de raios iguais sao figuras con-gruentes.

angulo L A e 0 Angulo LA'. Em primeiro lugar, notemos que deveser 0' (A) = A' pois se 0' (A) = X fosse outro ponto do angulo L A'diferente do vertice A', entao X pertenceria ao interior de urn seg-Mento de reta YZ' contido num dos lados do angulo LA'. Con-siderando a semelhanea inversa 0'-1: LA' ---t LA, concluirfamosque 0 vertice A = 0'-1 (X ) pertenceria ao interior do segmento de.reta YZ, contido num dos lados de L A, com (J (y) = Y, 0' (Z)= Z'.Mas isto e absurdo, logo X =A'. Em seguida, consideremos doispontos quaisquer B e C em lades distintos do Angulo LA. Sejam B'e C', respectivamente, os homologos deBe C.fig. 12

Seme l~ noc i r c u l o 47

Teorema 4. Dois ctrculos quaisquer sdo figuras semelhantes e arazdo de semelhanca e a razdo entre seus raios.Demonstraeao: Sem perda de generalidade, podemos supor que 0circulo C, de raio a, eo cfrculo C', de raio a', t!m0 mesmo centro O.A homotetia de centro 0 e razao r = a' / a transforma cada segmentode reta de origem 0 e cornprirnento anum segmento de origem 0 ecomprimento a', situ ado sobre a mesrna reta. Logo, essa homotetiadefine urna semelhanea entre C e C'.

A c C'Pela definieao de semelhanca, ternos----A'B' A'C' B'C'~=-==-=-=-=rAB AC BC

Pelo item a) do Teorema 3, segue-se que 05 triAngulosABC e A'B'C'sao semelhantes. A primeira parte do mesmo Teorema asseguraque os angulos homologos desse triAngulos sao iguais. Emparticular, LA = LA'.Segue-se do Corolario 1 que toda figura sernelhante a urnretAngulo e ainda urn retAngulo.

F ig . 1 3

5. Semelhanea no circuloSejam 0 urn ponto do plano e a urn numero real positivo. 0 ctrculode centro 0 e raio a e 0 conjunto dos pontos do plano que estao aurna distancia ::;:a do ponto O.

----- - ------------------ ----------- R e l at ;a o e n tr e s em e lh a n 98 e a r ea 49


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- ~ " 8 S em e lh a ny a e A re a s - - -- -- -

Teorema 5. Dois areas de circunferencia SliD semelhantes se, esomente se, subtendem 0 mesmo dngulo central.o teorema abaixo usa este caso particular para mostrar que setrata de uma situa~ao bern mais geral,

Demonstraeao; Sejam AB e A'B' arcos de circunferencia noscircuJos de centro 0 e 0' respectivamente. Eles subtendem osangulos centrais a = L AOB e a' = L A'O'B'. Sejam M 0 pontomedio de AB eM' 0ponto medic deA'B'.

Teorema 6. As dreas de duas figuras semelhantes estdo entre sicomo 0 quadrado da razao de semelhanqa.

III----,0Demonstra~iio: Seja o : F ~ ]I" uma semelhanea de razao r entreas figuras Fe F'. Afirmamos que a area de F' e igual a r2 ve~es_aarea de F. Como vimos acima, isto e verdade quando F e F saoi g. 1 4

A'

F ig . 1 5

Toda semelhanca entre os arcos AB e A'B' determina umasemelhanca entre os triangulos A MB eA'M'B', logo os angulos LMeLM' sao iguais. Dai resulta que os angulos centrais (X e (x'tambem sao iguais, pois (X = 360" - 2LMea' = 360 - 2LM'.Assim, arcos semelhantes subtendem 0 mesmo Angulo central.Reciprocamente, suponhamos que os arcos AB e A'B; subtendemangulos centra is iguais. Sem perda de generalidade, podemos suporque os circulos onde estao situados esses arcos sao concentricos.Neste caso, a homotetia (com esse centro) que leva urn circulo nooutro e uma semelhanea entre os arcos dados.

6. Relacao entre semelhanea e area

retangulos e portanto tambem quando F e F Sa? polfgonosretangulares. Assim, todo poligono retangular P, eontido em F, etransformado pela semelhan~a anum poligono retangular P',contido em F', tal que a area de P' e igual a,.z vezes a area de P. Evice-versa, todo poligono retangular Q', contido em F, etransformado por a-I num poligono retangular Q cuja area e (1/r)2vezes a area de Q ', logo a area de Q' e r2 vezes a area de Q . Assim,a area de F' e 0 numero real cujas aproximacoes por falta sao r2vezes as aproximacoes pOTfalta da area de F. Desta maneira,temos:

Resulta imediatamente da formula da area do retangulo que semultiplicarmos a base e a altura de urn retangulo pelo mesmomimero positivo r, a area desse retangulo fica multiplicada por~.

area de F' = ,2x (area de F).

A r e a d o d rc u lo e c om p rim e n to d a c ir c un fe re n cia 5 1


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50 S 9 1f 1 8 ll a n~ e A r ea s

Observaeao: Para comentarios sobre 0 Teorema 6 e seu analogotri-dimensional (Exercfcio 2 do Cap. 4), veja "Meu Professor deMatematica", pag. 182.Teorema 7. A drea do etrculo e 0 numero real cujas aproximcu;i5espor {alta slio as areas dos pol!gonos regulares nele inscritos e cujasaproximaci5es por excesso sao as areas dos pol(gonos regulares a elecircu nscritos.

7. Area do circulo e comprimento daeircunferencia Demonstracao: Indiquemos com P e Qn os poligonos regulares den lados, respectivamente inscrito no, e circunscrito ao, circulo C decentro 0 e raio r.Evidentemente, area de P


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52 S em e ll an l1 3 - e A re a s

r < an+ln/2 < an+r-s, donde an > s.

o comprimento da circunferencia e, por definieao, 0 mimeroreal ac cujas aproximaeoes por falta sao os perimetros ap dI' n ospo igonos regulares Pn inscritos no cfrculo C e cujas aproximaeoespor excesso sao os perimetros aQn dos poligonos regulares Qn cir-cunscritos a C.

Em virtude desta definieao, tem-se apn < ac < aQn, paratodo n.

Dado 0 numero a tal que (l nr2. A tim de achar n tal que areade Qn < ~, escrevemos t = ~~/n. Entao 0 circulo Ce, de centro 0 eraio t, tern area ~ e contem C pois t > r. Ora, Ln/2 e r sao catetosde urn triangulo retangulo cuja hipotenusa h e a distancia docentro 0 a urn vertiee de Qn. Temos entao h < r + Ln/2. Tomandon suficientemente grande, sabemos que e possivel tornarLn/2 < t - r. Dai resulta r + Ln/2 < t, logo h < t. lsto significaque area de Qn < area de Ct = ~,como queriamos demonstrar.

Encerraremos esta secao estabelecendo a f6rmula do corn-prirnento da eircunferencta.Usaremos a notaeao apn para indicar 0 perimetro (soma doslados) do poligono regular de n lados, inscrito no circulo C.

Teorema 8. 0 comprimento de uma circunferencia de raio r eigual a 21tr.Demonstraeaor Provaremos inicialmente que 0 comprimento iJCda cireunferencia na~ pode ser menor do que 21tr. Com efeito,supondo, ~or absurdo, que fosse ac < 21tr , dai resultaria(aCI2)r 2w. Logo, 0comprimento da circunferencia e ac = 21tr.Assim 0 mimero 1t,que foi definido inicialmente como a area deurn circu~ode raio 1, satisfaz tambem a igualdade 1t = ac/r, ou seja,e a razao entre 0 comprimento de uma circunferencia e seudiametro.Obscrvacaoe No Teorema 8, a f6rmula ac = 21tr do comprimentoda circ~nferencia resulta da expressao ~ da area do cfrculo, Esseprocedimento pode ser invertido. A Figura 17 mostra como ehegarexperimental mente a expressao a c x rl2 (= 1t,.2) para a area do

E x e r c i c i o s 55


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5 4 $ e m e lla n c;a , e A re a s3,~25) enquanto os egfpcios admitiam n = 4 X (8/9)2 = 3,16. Arquimedes, em tomo do ana 250 A.C., estimou que 0 valor de rt se. 10 10situa entre 3 71 e 3 70 0 que d a n = 3,14 com algarismos decimaisexatos ate centesimos. 0 metodo de Arquimedes consistia em in-s~ver urn poligono regular no circulo de raio 1e ir dobrando 0numero de l~dos. Ele sabia calcular 0 lado de urn poligono de 2nlad~s ,a partir do de n lados. Assim, comecando com 0 trianguloequilatero, de duplicacao em duplicacao, conseguiu calcular 0 lado Ide urn poligono de 96 lados. 0 perimetro 96 1 era uma boaaproximacao inferior para 0 comprimento 2n da cireunferencia emquestao, logo 481 era uma boa aproximaeao por falta para 0 valorde n.. De modo semelhante, trabalhando com poligonos eir-cunscntos, obteve a aproximacao por excesso 2217 L' H'~ IU UI, na~hma, no .ano 264 de nossa era, obteve 0 valor It= 3,14159, comcmco algarismos decimais exatos.

Para mais comentarios sobre n, veja "Meu Professor deMatematica", pagina 256,A mania de obter aproximaeoes para 0 valor de It com urn

numero cada vez maior de algarismos decimais tern sobrevivido 0passar dos seculos e, inclusive, ganhou novo impeto com 0 adventodOB super-computadores e a descoberta de algoritmos te6ricosmuito mais eficientes do que 0 metodo de Arquimedes A 'It',. d . u imanot~cla e que temos conhecimento a esse respeito foi publicada narevista "Science News", de setembro de 1989, segundo a qual Davide ~regory Chudnovski, da Universidade Columbia, nos EstadosUmdos, calcularam urn valor aproximado de n com 1bilhao de al-garismos decimais exatos!

circulo a partir do conhecimento do comprimento aC(=2nr) dacircunferemcia.

aC/2

Decompee-se 0 circulo num mimero par (bastante grande) desetores; rearranjam-se esses setores na forma mostrada it direita enota-se que a figura obtida e aproximadamente urn paralelogramode base aC/2 e altura r, cuja area mede (aC/2) x r.

No que diz respeito a area do circulo, Euclides nao vai mais aMmdo que provar (no Livro XII) que as areas de dois cfrculos estaoentre si como os quadrados dos seus diametros ou, 0 que e 0mesmo, dOBseus raios. Indicando comA(r) a area de urn circulo deraio r, isto signifiea que A(r) e diretamente proporcional a r2. ouseja, que A(r) = c.r2, onde e independe do raio r, Euclides sabiatambem que a raziio entre 0 comprimento da eircunferencia e 0 seudiametro e uma constante d, independente da circunferenciatomada, mas nao tratou nos Elementos de estimar os valores de c ed. Coube a Arquimedes provar que tais numeros sao a mesmaconstante. Esta constante, que a partir de 1737 Euler chamou de n,e que manteve este nome ate hoje, ja fora eonsiderada muito antesde Euclides.Com efeito, dois mil anos antes de Cristo os babiloniosatribuiam a it(isto e a area de urn cfrculo de raio urn) 0valor 3 ~ (=

8. Nota hist6rica

9. Exercicios1. B e 0: F ~F' e o": F~ F" sao semelhancas de razoes r e r'respectivamente, entao a funeao composta e' e o :F ~ F" e uma


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56 S e m e lh a n qa e A re a s Exercfc ios 57

semelhanca de razao rr' e a funcao inversa ()-l: F' ~ F e urnasemelhanca de razao l/r.2. Numa semelhanea entre dois segmentos de reta, os extremes deurn deles sao homologos aos extremos do outro.3. Existem exatamente duas semelhaneas entre 2 segmentos dereta dados.4. Se dois triangulos sao eongruentes, toda semelhanea entre eles euma isometria.5. Urna scmelhanca entre duas figuras planas fica inteiramentedeterminada quando se conhecem os homologos de tres pontos naocolineares,6. Numa sernelhanca entre figuras solidas, os homologos de quatropontos nao-eoplanares sao pontos nao-coplanares.7. Seja AB urn segmento orientado, no plano n ou no espaco E.(Orientado signifiea que a ordern em que os extremos sao citados erelevante: primeiro A, e depois B.) A transla~do determinada porAB e a transformacao (eorrespondeneia biunivoca) r : n ---? Il, ou't : E ---? E, defmida por 't(X) =X, de modo que (AB, XX') e (AX, BX')sejam os pares de lados opostos de urn paralelogramo. Prove quetoda translacao e uma isometria.8. Seja R urna reta do plano n.A reflexiio em torno do eixo Reatransformacao p :n ---? n, que associa a cada ponto X do plano 0ponto X tal que tal que Rea mediatriz do segmento XX. Proveque toda reflexao e uma isometria.9. A simetria em torno do ponto 0 e a transformacao


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perpendiculares a uma reta S, arbitrariamente fixada no plano quecontem R,19. Sejam 0 e 0' planos nao paralelos. Dado 0 ponto X em 0, sejamX' 0 p e da perpendicular baixada de X sobre 0 plano 0' e Y 0 pe daperpendicular baixada de X' sobre 0 plano O. Mostre que 0 mimeroc = X'YIX'X nao depende do ponto X em O. Dada uma figura F em0, seja F a sua projeeao ortogonal sobre 0'. (F' e 0 conjunto dospontos X', cada urn dos quais e 0 pe da perpendicular baixada deurn ponto X em F sobre 0 plano 0'.) Prove que a area de Fe igual ac vezes a area de F.

que modo este processo conduz a urn valor aproximado de 1[?Qual eesse valor?

21. No exercicio anterior tem-se A(x, y) = k.x .y . Determine ksupondo que 0 Angulo XOY = 90", 60 e 45.22. Desenhe um triangulo is6sceles ABC (cuja base BC seja maiordo que a altura AD), 0 retangulo de base BC e altura AD e 0 arco decirculo ABC. A partir dessa figura, conclua que se r e urn circulo eP e 0poligono regular de n lados nele inscrito entao

25. tLunulas de Hip6crates.) Sobre cada cateto de urn triAnguloretAngulo constr6i-se urn semi-circulo justaposto ao triangulo e,sobre a hipotenusa, urn semi-circulo contendo 0 triangulo, Proveque a soma das areas das hinulas assim formadas e igual a area dotriangulo.26. Seja ABC urn triangulo retAngulo is6sceles inscrito nosemi-circulo ABC. Dentro do triangulo trace 0 arco ADC de (outro)circulo, semelhante aos arcos AB e BC. Prove que a hinula cujoslados sao os arcosABC eADC tem area igual a clotrianguloABC.27. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem0, de modo que OZ esteja no interior do Angulo LXOY. Por cadaponto P em OZ, sejam Q 0 pe da perpendicular baixada de P sobreOX e S a interseeao com OY da paralela a OX passando por P.Prove que a razao PQ I PS nao depende do ponto P tornado em OZ.

20. Sejam Ox, OY semi-retas de origem 0 e A(x, y J a

Medida e Forma-Em Geometria - Elon Lages Lima

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