Medidas Estatísticas

de Posição

1 - Medidas de Tendência Central

n

xx

i

•Definição – medida de tendência central é um único valor

que representa ou tipifica um conjunto de valores. Nunca

pode ser menor que o menor valor do conjunto

considerado nem maior do que o maior valor do mesmo

conjunto.

•Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e

gráficos, constituem a informação básica do problema em

estudo. Mas é conveniente apresentar, além dos dados,

medidas que mostrem a informação de uma maneira

resumida. As medidas de tendência central, dão o valor do

ponto em torno do qual os dados se distribuem. São

medidas de tendência central: a média aritmética (ou

simplesmente média), a mediana e a moda.

1.1 – Médias

Para Dados Grupados

1.1.1 - Média Aritmética Simples

(Amostra)

(População)

x

N

xx

n

Tabela 5.1: Peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com

30 dias de idade.

50 62 70

86 60 64

66 77 58

55 82 74

Média Aritmética Simples

• Propriedades

1 – A média de um conjunto de números pode sempre ser

calculada;

2 – Para um dado conjunto de números, a média é única;

3 – A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores

do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média

também.

4 – Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a cada

valor do conjunto, a média ficará aumentada (ou

diminuída do valor;

5 – A soma dos desvios dos números de um conjunto a

contar da média é zero. Ou seja,

Ex: 2, 4, 6 e 8 ( ) 0ix x

1.1.2 - Média Aritmética Ponderada

i

ii

pp

pxx

.

Ex.: Um aluno tem as seguintes notas, em Estatística, para o 1º

semestre: Prova escrita 7,3; gráfico 8,5 e trabalho de pesquisa

6,4. Sabendo que os pesos atribuídos a essas notas são,

respectivamente 5, 2 e 3, qual é a média deste aluno, em

Estatística no 1º bimestre?

1.2.3 - Média Harmônica

- A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica

ou do que a média aritmética.

A média harmônica provê a correta

noção de média .

- Uma característica de média harmônica é o fato de o resultado

estar mais "próximo" do menor número do que do maior.

i

h

x

nx

1

1.1.4 - Média Harmônica Ponderada

Ex: Calcule a média harmônica dos valores do conjunto 5, 3, 4,

9 e 6; sabendo que lhes são atribuídos os pesos: 1, 2, 4, 7 e 2,

respectivamente.

1.1.5 - Média Geométrica

- É definida como o produto de todos os membros do conjunto

elevado ao inverso do número de membros.

- A média geométrica apresenta menor variância, o que reduz o

impacto de valores individuais elevados

i

i

i

hp

x

p

px

nixx

2 - Mediana

1º - Se o número de elementos for ímpar, o elemento

mediano será dado pelo valor central do rol

1 – 5 – 7 – 9 – 14 – 15 – 17 – 23 – 23 – 52 – 60

2º - Se o número de elementos for par, a mediana será

igual a média aritmética dos dois valores centrais do rol.

2 – 5 – 6 – 6 – 11 – 27 – 43 – 54 – 72 – 86

A mediana de um conjunto de números é maior que uma

metade dos valores e menor que a outra metade.

3 - Moda

É o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto, ou

seja, é o valor que se repete mais vezes.

A moda é chamada de medida especial porque tem

características bem diferentes das de outras medidas de

tendência central, ou seja, um conjunto pode apresentar

uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), várias

modas (plurimodal), ou ainda não apresentar moda

(amodal).

a) 2 – 3 – 3 – 5 – 8 – 9

b) 2 – 5 – 5 – 7 – 9 – 11 – 12 – 12 – 15 – 17

c) 3 – 4 – 5 – 6 – 8 – 10

Dados Agrupados

1.1. Média Aritmética

Quando os dados são expostos numa distribuição de freqüências,

todos os valores incluídos em uma classe são considerados

coincidentes com seu ponto médio, por isso, sempre que trabalhamos

com dados agrupados numa distribuição de freqüências, em primeiro

lugar calculamos os pontos médios de todas as classes. As

freqüências absolutas nada mais são do que os pesos, já que

representam a quantidade de valores existentes em cada classe.

Notação:

fi

xifix

.

Classes fi fi.xi

150 - 156 16 153 2448

156 - 162 18 159 2862

162 - 168 30 165 4950

168 - 174 25 171 4275

174 - 180 20 177 3540

180 - 186 12 183 2196

186 - 192 8 189 1512

Total 129 21783

ix

1.2. Mediana

Em dados grupados, devemos calcular primeiro o ponto de localização

da mediana através da fórmula , já que a quantidade de valores

nos é dado pela soma das freqüências. Depois de calculado ,

vamos localizar nas freqüências acumuladas para verificar em que classe

se encontra a mediana do conjunto. Feito isso, devemos aplicar a

seguinte fórmula:

onde:

li – limite inferior da classe localizada pelo .

h – intervalo de classe.

fi – freqüência simples da classe que contém a mediana.

faant – freqüência acumulada da classe anterior à localizada.

2

fi

2

fi

2

fi

fi

fafi

h

liMdant

2

5,642

129

2

fi

li – 168

h – 6

fi – 25

faant – 64

12,168

25

5,06168

25

645,646168

21

Md

Md

Md

fi

fafihliMd

ant

1.3. Moda

• Tome a classe que apresenta a maior freqüência →classe

modal

• A moda será ponto médio da classe modal: (liminf+ limsup)/2

• Método de King

• Onde

li: limite inferior da classe modal

fiant: freqüência da classe anterior à classe modal

fipos: freqüência da classe posterior à classe modal

h: amplitude da classe modal

0 .pos

ant pos

fiM li h

fi fi

Moda – Métodos

Método de CZUBER que leva em consideração as freqüências anterior

e posterior à classe modal.

Notação:

Onde:

li: limite inferior da classe modal

fiMo: freqüência da classe modal

fiant: freqüência da classe anterior a modal

fipos: freqüência da classe posterior a modal

h: amplitude da classe modal

( ).[2 ( )]

mo ant

mo mo ant

fi fiMo li h

f fi fi

Moda - Métodos

• Método de Pearson:

Onde

Md: Mediana e x: Média

• Relação entre Média, a Moda e a Mediana.

(Relação de Pearson)

• Mostrar as variações.

0 3 2M Md x

3( )x Mo x Md

1.4. Medidas Separatrizes

1.4.1. Quartis

Os Quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais:

Q1 = 25% dos valores menores do que

ele e 75% maiores.

Q2 = 50% dos valores menores do que

ele e 50 maiores. ETC...

Notação:

fi

fafiihliQ

ant

41

1

.

fi

fafiihliQ

ant

43

3

.

fi

fafiihliMdQ

ant

42

2

.

1.4.2. Decis

Os Decis são os valores que dividem a amostra em 10 partes iguais.

Notação:

1.4.3. Percentis

Os Percentis são as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais.

Notação:

fi

FaihliD

ant

fi

i

10.

fi

FaihliP

ant

fi

i

100.

Exercícios

• Um representante comercial, fornecedor de supermercados, fez

levantamento do consumo de seu principal produto em vários

supermercados obtendo em determinado mês a tabela:

1. Ache o consumo médio do produto por supermercado.

2. Calcule a mediana de consumo. O que ela representa?

3. Sabendo que o consumo máximo por supermercado é de 6000

unidades, calcule a Moda de Czuber e interprete o valor.

Nº Unidades

Consumidas fi xi xi.fi Fi

0|--- 1000 10 500 5000 10

1000|--- 2000 50 1500 75000 60

2000|--- 3000 200 2500 500.000 260

3000|--- 4000 320 3500 1.120.000 580

4000|--- 5000 150 4500 675.000 730

5000|--- 6000 30 5500 165.000 760

∑ 760 2.540.000

Exercícios

Exercícios

• Uma amostra de tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte

distribuição:

- Se o produtor deseja estabelecer uma garantia mínima para o nº de horas

de vida útil de uma peça trocando a peça que não apresentar este nº de

horas, qual é a garantia, se ele está disposta a trocar até 8% das peças?

Nº Horas de Vida

Útil fi Fi

0|--- 100 6 6

100|--- 200 42 48

200|--- 300 86 134

300|--- 400 127 261

400|--- 500 64 325

500|--- 600 8 333

∑ 333