UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA

MEMORANDO DE CÁLCULOS-DIMENSIONAMENTO DE ENSAIOS DE FILTRAÇÃO

SÃO MATEUS2016

GRUPO 4 :

CAMILA CAROLYNE OLIVEIRA SANTOS-2014102032

DÉBORA MELLO ROSSOW GOMES-

JULIO PANSIERE ZAVARISE-2014102032

MEMORANDO DE CÁLCULOS-DIMENSIONAMENTO DE ENSAIOS DE FILTRAÇÃO

SÃO MATEUS2016

Trabalho apresentado à disciplina deDET11740-Operações Unitárias I como requisito parcial avaliativo na Centro Universitário do Norte do Espírito Santo-Universidade Federal do Espírito Santo.Orientador: Profª Paulo Sérgio da Silva Porto.

1-Equações utilizadas no Dimensionamento :

Equação 1:

Em que :

B=coefiente linear da reta t/V x V ( s/m³)

µ=viscosidade do filtrado líquido (Pa.s)

Rm= resistência ao fluxo do meio filtrante (m-1)

A=área do filtro (m²)

∆P=diferença de pressão (Pa)

Equação 2:

Em que :

Kp= coeficiente angular da reta t/V x V

α= resistência específica da torta (m/kg)

cs= concentração da alimentação (kg/m³)

Equação 3:

Em que:

t= tempo de filtração(s)

V=volume de filtrado líquido (m³)

μα csA ²(∆P)

2

V ² + μRmA (∆ P)v = t

2-Desenvolvimento :

Dimensionamento 01: Em alguns ensaios de filtração realizados em

laboratório, à pressão constante de 34500 kgf/cm2 (338100 N/m2) com uma

suspensão aquosa, foram obtidos os resultados que se encontram tabelados

abaixo. A área do filtro é X m2, c = 235 g Sólido / L de Filtrado a 25 ºC.

Calcular α e Rm em questão. Estime o tempo necessário para filtrar 1m3 da

mesma suspensão em um filtro industrial com 1 m2 de área. Se o tempo limite

para essa filtração fosse de 1 h, qual deveria ser a área do filtro?

Inicialmente , utilizando-se os dados da Tabela 1, construiu-se a tabela

2 , onde estão dispostos os resultados obtidos parat t/V e V . Com os dados da

tabela 2 , plotou-se o gráfico t/V x V ,que está apresentado abaixo na figura 1 :

Tabela 1-Dados referentes ao dimensionamento 1

t (s) V (m3) x 10-4

5 5

11,5 10

19,8 15

30,1 20

56,8 30

91,2 40

133 50

156 55

182,5 60

DADOS :A=0.0361 m² , c=235 g sólido/L filtrado=235 kg/m³ , ∆P=338100

N/m², T=298 K=25° C e µ = 8,937 x 10^-4 Pa.s (água a 298,2 K-extraído da

tabela A.2-4 , pg.944-Geankopolis 3ªed.)

Tabela 2- Resultados obtidos para t/V e V .

t/V (s/m³) V (m³)10000 0,0005

11500 0,001

13200 0,0015

15050 0,002

18933,33333 0,003

22800 0,004

26600 0,005

28363,63636 0,0055

30416,66667 0,006

Figura 1- Gráfico t/V x V .

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.0070

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

f(x) = 3756173.67706921 x + 7756.96517412934R² = 0.999474519237915

t/V x V

V (m³)

t/V

( s/m

³)

Gráfico feito no programa Microsoft Office Excel 2010

A partir do gráfico plotado foi possível aplicar um ajuste linear aos pontos

a fim de se encontrar a reta de regressão linear que melhor se ajusta aos

pontos experimentais que foram obtidos neste dimensionamento . Logo , como

os dados apresentam uma forte correlação linear , visto pelo valor do

coeficiente de correlação de Pearson (R²) , sabendo-se que este é igual a R² =

0,9995, dado que quão mais próximo R² for de 1, mais linear será a relação

entre os dados. Dessa forma , é justificada a utilização do ajuste linear pela

reta de tendência empregada para tratar os dados experimentais . A equação

obtida pelo ajuste é : y = 4,00.106 x + 7757 , em que :o coeficiente angular A é

igual a : A= 4.106 s/m6 e B ,o coeficiente linear é dado como :B= 7757 s/m³.

A equação da reta pode ser comparada a equação (3) que descreve o

tempo de filtração (t) em função de variavéis como a viscosidade do filtrado

líquido(µ) , a área do filtro (A) , concentração da alimentação (cs) e a variação

de pressão entre o filtro(∆P) , bem como das constantes, α e Rm, que

representam a resistência específica da torta e a resistência ao fluxo do meio

filtrante, respectivamente e que se objetiva determina-las nesse estudo .

Reescrevendo a equação (3) em função das equações (1) e (2) , tem-se

que :

t= Kp2V ²+BV

Dividindo-se ambos os lados por V , obtém-se a equação linearizada ,

obtida pelo ajuste :

tV

=Kp2V +B

Sendo assim , os valores de Kp e B são iguais a :

Kp=2(4,00.106)=8.00.106 s/m6

B= 7757 s/m3

Realizando-se os cálculos para obter Rm e α:

1)Obter Rm: Substituindo na equação (1) os dados correspondentes e o valor de B

obtido pela reta de regressão :

B= (7757 s/m³)=((8,937x10-4Pa.s).Rm)/((0.0361 m²) .(338100 N/m²))

Rm=1,063x 1011 m-1

2)Obter α : Substituindo na equação (2) os dados correspondentes e o valor de Kp

obtido como o coeficiente angular da reta de regressão :

Kp= 8,00x106= ((8,937.10-4).(α).(2,35.10-4))/((0.0361 m²)² .(338100 N/m²))

Logo , obtem-se o valor de α:

α=1,678.1010 m/kg

Aplicando-se os resultados obtidos para calcular :

3) Calcular o tempo necessário para realizar a filtração de 1 m³ da mesma solução , com um filtro industrial de 1 m² de área:

V=1 m³

A=1 m²

Substituindo os valores na equação (3) , tem-se que :

t=

(8.937 .10−4 Pa . s) (1,67 x1010) (235 kgm3 )

2 (1m )2( 338100 Nm2 )

( 1m3 )2+ (8.937 .10−4 Pa . s) (1,063 x 1011m−1)

(1m2 )(338100 Nm2 )

(1m3)

t=5469,42 s = 1,52 h

4) Calcular a área necessária para realizar a filtração de 1 m³ da mesma solução ,em um tempo limite de 1 h:

t=1h=3600s

V=1 m³

Substituindo os dados correspondentes na equação (3) , tem-se que :

t=5186,82A ²

+ 280A

=3600

0=−3600 A2+5186,82+280 A

Resolvendo a equação quadrática , encontra-se os seguintes

resultados :

A1= 1,204 m²

A2= -1,196 m²

Desprezando a raiz negativa (A2) , obtém-se que que a área do filtro

necessária para atender as especificações requeridas é igual a :

A=A1= 1,204 m²

Dimensionamento 2: Filtrações a pressão constante foram realizadas para

uma suspensão de CaCO3 em H2O sendo obtidos os resultados apresentados

na tabela. A superfície total de filtração foi Y cm², a massa de sólidos por

volume de filtrado foi de 23,5 g/L e a temperatura foi de 25 ºC (µH2O=0,886x10-

3kg.m-1s-1). Calcule os valores de α e Rm em função da diferença de pressão e

elabore uma correlação empírica entre α e ∆P.

Área (Y, cm2) = 400

Tabela 3– Tempos de filtração e presões para diferentes vazões de filtrado líquido

Tempos (s) t1 t2 t3 t4 t5

V (m3) 0,456 atm 1,10 atm 1,92 atm 2,47 atm 3,34 atm0,0005 17,3 6,8 6,3 5,0 4,40,001 41,3 19,0 14,0 11,5 9,50,0015 72,0 34,6 24,2 19,8 16,30,002 108,3 53,4 37,0 30,1 24,60,0025 152,0 76,0 51,7 42,5 34,70,003 201,7 102,0 69,0 56,8 46,10,0035 131,2 88,8 73,0 59,00,004 163 110,0 91,2 73,60,0045 134,0 111,0 89,40,005 160,0 133,0 107,30,0055 156,8

Tabela 4– Dados da linearização dos tempos de filtração e para diferentes vazões de

filtrado líquido.

V (m3) t1/V t2/V t3/V t4/V t5/V

0,0005 34600 13600 12600 10000 8800

0,001 41300 19000 14000 11500 9500

0,0015 48000 23066,7 16133,33 13200 10866,6

0,002 54150 26700 18500 15050 12300

0,0025 60800 30400 20680 17000 13800

0,003 67233,33 34000 23000 18933,33 15366,67

0,0035 37485,71 25371,42 20857,14 16857,14

0,004 40750 27500 22800 18400

0,0045 29777,78 24666,67 19866,67

0,005 32000 26600 21460

0,0055 28509,09Dados: cs=23,5 g/L=23,5 kg/ m3 µH2O=0,886x10-3kg·m-1s-1 A=400 cm2 =0,04 m2 .

Fazendo a regressão linear para os dados de t1/V e V, sendo ∆p=0,456

atm=46204,2 N/ m2:

tV

=aV +B

Da regressão linear : y = 1·107x + 28232 R² = 0,9999

Em que: y=tV , a= 1·107, x=V e B=28232.

a=Kp2

Kp= cαμ(A ¿¿2)(∆ p)¿

Portanto: 1·107 sm6 =Kp

2∴ Kp=2·107 s

m6

2 ·107 s/m6=(23,5 kg/m3)α (0,886 ·10−3 kg ·m−1 s−1)¿¿

α=7,1 ·1010m /kg

B=Rm μ

(A ∆ p)

Logo,28232 s /m3=Rm(0,886 ·10−3kg ·m−1 s−1)

(0,04m2)(46204,2 kg /m ·s−2)

Rm=5,89 ·1010m−1

Repetindo o mesmo procedimento para os outros dados de t/V e V, com

cada pressão correspondente, obtém-se os resultados da tabela 5 abaixo:

Tabela 5- Dados referentes ao dimensionamento 2

∆P (N/m2) a (s/m6) B(s/m3) α (m/Kg) Rm (m-1)

46204,200 2,0·107 28232 0,71·1011 5,89·1010

111457,50 1,6·107 11037 1,37·1011 5,55·1010

19454400 0,8·107 9795,9 1,20·1011 8,60·1010

250272,75 0,8·107 7735,9 1,54·1011 8,74·1010

338425,50 0,6·107 6752 1,56·1011 1,03·1010

Agora deve-se encontrar a correlação empírica entre α e ∆P:

Pode-se concluir que trata-se de uma torta incompressível, uma vez que

α = f(Δp), o que mostra que um aumento na vazão provoca um aumento maior

que o proporcional da queda de pressão (Δp), sendo assim, a vazão da

filtração é dobrada, deverá ser utilizado uma (Δp) maior que o dobro.

É comum a utilização da seguinte equação empírica:

α=α0∆ ps

Sendo :

s= fator de compressibilidade, que na prática varia entre 0,2 e 0,8.

Como já foi calculado os valores de α para cada (Δp), pode-se descobrir

os valores de αo e s através de uma linearização logarítmica, resultando na

seguinte expressão:

log(α)=log(α ¿¿0)+s log (∆ p )¿

Comparando com a equação da reta:

y=A+Bx

Sendo:

log (α) = y

log (αo) = A (intersecção com o eixo y no gráfico)

s = B (coeficiente angular da reta)

log (∆p) = x

Tem-se então na tabela 6 os resultados obtidos para que seja possível

plotar o gráfico e obter a equação da reta:

Tabela 6-Logaritmos de ∆P e α em função da variação de pressão ∆P

∆P (N/m2) α (m/Kg) log (∆P) log (α)

46204,200 0,71·1011-0,341 10,851

111457,50 1,37·10110,041 11,137

19454400 1,20·10110,283 11,079

250272,75 1,54·10110,393 11,188

338425,50 1,56·10110,524 11,193

Plotou-se então o gráfico através do programa Excel, em que está

representado a reta obtida e a equação da mesma:

Figura 2- Gráfico log (∆P) x log (α)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.610.6

10.7

10.8

10.9

11

11.1

11.2

11.3

f(x) = 0.372324093266476 x + 11.022581663212R² = 0.809297990363553

log (∆P) x log (α)

log α

log

(∆P)

Gráfico feito no programa Microsoft Office Excel 2010

Pela equação da reta, tem-se que:

log α o=A=11,023

Então:

α o=1,05 ·1011

Tem-se ainda que :

s=B=0,37

Obtendo-se finalmente a correlação empírica entre α e ∆P:

α=1,05 x1011∆ p0,37