A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4X NA LEI =

4X: QUE

ESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS

E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE.

Elysio R. F. Ruggeri Furnas Centrais Elétricas SA

Centro Tecnológico de Engenharia Civil

1 – Introdução.

Sejam (1,1), (2, 2), ..., (6, 6), seis avaliações (ou medidas) de dois diádicos simétricos em relação a

uma base diádica ortonormada fixa, arbitrária (eventualmente, convenientemente escolhida),

}ˆ,...ˆ,ˆ{}ˆ{621

. Por hipótese, esses diádicos se correlacionam através do tetrádico 4G - uma

incógnita - pela lei 4 : , onde , e 4X são valores verdadeiros, pretendendo-se que o

4X seja

simétrico (embora, em geral, não o seja necessariamente). Vamos admitir que os seis diádicos sejam

linearmente independentes, constituindo, assim, uma base para o espaço dos diádicos simétricos,

representada por },...,,{}{621

.

Nestas condições, um valor preliminar do tetrádico 4X é dado por i

ipre4 (i=1,2,...,6), em

que os i são os diádicos da base recíproca de }{

, isto é, }{ , diádicos esses que podem ser

calculados a partir dos diádicos dados. O tetrádico 4Xpre é de fato uma avaliação preliminar do tetrádico

final uma vez que não existe nenhuma garantia de que esse tetrádico seja simétrico. Com efeito, para que

isso ocorresse, deveria ser ijji

:: para ij, igualdades essas (em número 15) que, em geral, não

se verificam.

Como, por hipótese, os ´s definem uma base, podemos expressar os diádicos em relação à base

diádica }{

, escrevendo: j

jii

) ( : (i,j=1,2,...,6).

*

Como as avaliações são acompanhadas de erros podemos escrever:

i4

ii :X , (i=1,2,...,6) (01),

em que i é um diádico que expressa o erro cometido na i-ésima avaliação, erro esse suposto calculado

com o 4X verdadeiro.

O produto posterior direto de cada uma das relações (01) pelo correspondente i transforma (01)

na expressão

X 4pre

44 , (02),

sendo

ii

4 , (03).

Podemos estimar um 4X que mais se aproxime do verdadeiro impondo a condição de que a norma

do tetrádico 4 seja mínima. Tem-se:

| || | 2| || | | || | 2444gro

4gro

44

., (04).

2

A norma de 4 é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita)

4X. Para um dado valor

(arbitrário) de 4, logo também de sua norma, vemos por (04), lembrando (02), que, no espaço dos

tetrádicos, existem infinitas setas de tetrádicos 4X, de origem na extremidade de

4Xpre e extremidade na

esfera1 de raio igual ao módulo de

4, que satisfazem a equação (04).

*

2 – Aplicação do método dos gradientes.

Seja dado um 4 qualquer, ao módulo do qual corresponde certa esfera concêntrica com a anterior. Esta

esfera, evidentemente, envolverá ou será envolvida por aquela conforme a norma de 4 seja maior ou

menor que a norma daquele (4 anterior).

O sentido do crescimento da norma será dado pelo sentido da seta do tetrádico gradiente da norma

de 4. Esse tetrádico é a derivada de ||

4|| em relação a

4X, sendo:

44

pre4

4

4

2 2 2

| || |

, (05).

*

Imaginemos agora que tenhamos arbitrado um valor 4X0 para

4X, ao qual corresponde, segundo

(04), certa norma ||40||. Ao

4X0 corresponde certo ponto na esfera de raio igual a |

40|. Demos a

4X0 um

acréscimo igual a (2 40)/2=

40, no sentido contrário ao do gradiente, com um número /2 <<1 (ou

<<2), e calculemos o valor do tetrádico correspondente, 4X1. Encontramos:

04

04

14 , (06).

A esse tetrádico corresponde uma norma, calculada por (04), certamente menor que a norma

anterior. Com efeito, de (02) escrevemos: 0

4gro

40

4 X e 1

4gro

41

4 X ; logo, considerando

(06), deduzimos: 0

41

4 (1 . Vem, então: | || | λ)1(| || |0

421

4 , o que comprova ser

| || | | || |0

41

4 porque (1-)2 é um número menor que um. A extremidade da seta de

4X1 pertencerá

necessariamente a uma esfera interior à correspondente a 4X0.

*

Demos agora um acréscimo arbitrário ao tetrádico 4X1, no sentido contrário ao gradiente -2

41,

digamos, da mesma forma que o anterior, 41. O novo tetrádico será, então,

14

14

24 ,

cuja norma é certamente menor que a do tetrádico anterior e cuja seta tem extremidade numa terceira

esfera interior a toda as anteriores. Temos:

| || |λ4) ( λ4| || || || |0

420

44 0

40

42

4 .

.

Assim devemos prosseguir até que na N-ésima iteração a norma ||4N|| satisfaça certa condição de

tolerância. Como a norma ||4N|| é menor que a anterior, ||

4N-1||, podemos expressar essa condição pela

expressão:

tol| || |

| | | || || |

N4

1-N4

N4

, (07),

onde tol é um número negativo cujo módulo, arbitrado conforme as nossas conveniências, representa a

queda relativa no valor da norma (em cada iteração).

No caso em apreço, sendo ||4N||=||

4N-1|| qualquer que seja N, a queda assume o valor

1 Trata-se, na verdade, de um hiper esfera uma vez que o espaço dos tetrádico simétricos tem 21 dimensões.

3

11)Q( .

No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4X (todos com origem na extremidade da seta

de 4Xpre) pertencem cada uma a uma esfera e a cada uma corresponde certa queda. Se os acréscimos dados

aos tetrádicos forem suficientemente pequenos (pequenos ) a poligonal poderá ser visualizada como uma

curva.

*

3 – Conclusão.

A aplicação do método do gradiente (seção 2) poderia ser dispensada uma vez que, sendo o tetrádico

gradiente, 4, ortogonal à esfera, apontará sempre para a extremidade de

4Xpre (centro das esferas). Como

os raios das esferas, |4|, devem tender para um valor mínimo, tenderão para zero necessariamente.

Conseqüentemente, conforme (02), as estimativas do tetrádico incógnita estarão necessariamente

convergindo para 4Xpre.

Esses resultados mostram que a estimativa do tetrádico pelo teorema fundamental das

transformações lineares é plenamente satisfatória; mas em nenhum instante foi imposta a condição de que

o tetrádico devesse ser simétrico.