Mini Curso Ivan Oliveira

8/14/2019 Mini Curso Ivan Oliveira

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WECIQ 2006 - Mini-curso 6 (Parte I)

Ressonncia Magntica Nuclear:

Uma Tecnologia para a Computao Quntica

Ivan S. Oliveira1

1

Centro Brasileiro de Pesquisas FsicasRua Dr. Xavier Sigaud 150, Rio de Janeiro, 22290-180.

[email protected]

1. Introduo

Neste curso sero apresentados os princpios bsicos da Ressonncia Magntica Nuclear(RMN) e sua aplicao ao processamento da informao quntica. Um sistema-modelode dois spins acoplados em uma molcula introduzido como modelo de dois q-bits naRMN. discutida a gerao de um conjunto universal de chaves lgicas qunticas, atravsdo uso de pulsos de radiofreqncia. apresentada uma proposta para a construo de

um chip quntico baseado na RMN escalonvel. O texto de nvel introdutrio, dirigidoa estudantes sem conhecimento prvio da rea.

2. Ressonncia Magntica Nuclear

A Ressonncia Magntica Nuclear (RMN) uma tcnica de fsica experimental conhecidah cerca de 50 anos. Ela tem vrias aplicaes, no s na fsica, mas tambm na qumica,na biologia e na medicina. Na fsica, a RMN utilizada principalmente para a determi-nao das distribuies espaciais de momentos magnticos e de cargas eltricas existentesdentro de diversos materiais, bem como os processos de interaes entre estes momentose suas vizinhanas. Na qumica e na biologia, a RMN tem sido um poderoso auxiliar

para o estudo das estruturas de molculas complexas, como polmeros, protenas, etc.Finalmente, na medicina a RMN a tcnica utilizada nos tomgrafos que produzem ima-gens do interior do corpo humano em pleno funcionamento, de forma no-invasiva. Taisimagens auxiliam na identificao de tumores no organismo. Mais recentemente, especi-ficamente a partir do ano de 1997, a RMN se apresentou como uma promissora candidatapara a imnplementao de chaves lgicas e algoritmos qunticos.

Fenmenos de ressonncia ocorrem em vrios sistemas fsicos. Sempre que umsistema apresentar freqncias naturais de vibrao, ele pode ser excitado pela ao de umagente externo que esteja em ressonncia com aquelas vibraes naturais. Um exemplocorriqueiro de tal sistema o de uma massa m presa a uma mola com constante elstica k.Neste caso, a freqncia natural de vibrao dada por 0 = k/m. Aplicando-se umafora externa oscilante do tipo F(t) = F0 cos(t) sobre o sistema, ocorrer o fenmenode ressonncia, que se caracterizar por uma grande amplitude de oscilao da massapresa mola, mesmo para uma fora aplicada de pequeno mdulo. Outros exemplosde freqncias naturais so aquele de um pndulo simples, de comprimento L, em umcampo gravitacional g, para o qual 0 =

g/L (vlido para pequenas oscilaes), e o de

uma carga eltrica q, com massa m na presena de um campo magntico B, para o qual0 = qB/m (a chamada freqncia de cclotron). Naturalmente que a unidade de 0 ord/s. Se quisermos a freqncia em Hz, devemos dividir por 2: f0 = /2.

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Um tipo muito importante de freqncia natural aquela de um momento mag-ntico de um ncleo atmico na presena de um campo magntico esttico, B0. Nestecaso,

0 = nB0 (1)

ou

f0 =n2

B0 (2)

A quantidade n/2 chamada de fator giromagntico do ncleo, e uma propriedadeintrnseca sua, uma espcie de identidade magntica. A sua unidade Hz/T. Tipicamentese tem n/2 106 Hz/T, ou 1 MHz/T. Isto que dizer que um ncleo com tal valor den/2, se colocado na presena de um campo magntico de 1 tesla, ter seu momentomagntico precessando um milho de vezes por segundo em torno da direo do campo.Mediante a ao de um agente externo oscilando na mesma freqncia, ocorrer o fen-meno da ressonncia magntica nuclear, como formalizado na prxima seo.

3. A RMN: fundamentos tericos para a computao quntica

Sabemos do eletromagnetismo que a interao entre um momento magntico m e umcampo magntico B descrita pelo hamiltoniano:

H = m B (3)No entanto, sabemos da mecnica quntica que o momento magntico de um ncleo serelaciona ao seu momento angular total, ou spin I, atravs de:

m=

nI (4)

Substituindo (4) em (3), e supondo que B = B0k (campo magntico esttico apontandoao longo da direo z), teremos:

H = nB0Iz = 0Iz (5)onde Iz a componente z do spin. Repare que 0 tem dimenso de energia.

A mecnica quntica nos ensina que Iz s pode adquirir valores discretos quevariam de Iat +I, de 1 em 1. Assim, por exemplo, se I = 1/2, os valores possveis deIz, ou seus autovalores, denotados por mz so: mz = 1/2, +1/2. Se I = 3/2, teremos

mz = 3/2,1/2, +1/2, +3/2, e assim por diante. A cada valor de

mzcorresponde um

autovalor de energia. Se I = 1/2, por exemplo, teremos as autoenergias E0 = 0/2e E1 = +0/2. A diferena entre esses dois valores de energia E1 E0 = 0. Omesmo ocorre para o caso I = 3/2 e, de fato, para qualquer valor de I. Basta ver de (5)que

Emz+1 Emz = 0(mz + 1 mz) = 0 (6)Obtm-se da um importante resultado:

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0 =Emz+1 Emz

= 0 = f0 = Emz+1 Emz

h(7)

Esta equao nos diz que a freqncia natural de um momento magntico nuclear na pre-sena de um campo magntico (chamada de freqncia de Larmor) dada pelo espaa-mento em energia de nveis qunticos consecutivos, dividido pela constante de Planck.Tais nveis de energia correspondem a diferentes orientaes do spin nuclear na presena

do campo. A freqncia de Larmor est na faixa de radiofreqncia, podendo variar dealguns MHz, at alguns GHz.

Transies entre nveis consecutivos de energia, Emz+1 e Emz , podem ser induzi-das pela ao ressonante de uma onda eletromagntica na freqncia de Larmor. Defato, o campo magntico da onda que interage com o momento magntico do ncleo,levando transio. Tal campo representado por B1(t), e ele deve ser aplicado ao longode uma direo perpendicular do campo esttico B0 (por exemplo, ao longo da direox). Neste caso, a probabilidade de transio de um ncleo entre nveis consecutivos serproporcional a:

22nB

21(t)|mz+1|Ix|mz|2 (8)

Para fins de computao quntica por RMN, o sistema mais simples possvel aquele de dois spins acoplados, na presena de um campo magntico esttico. Tal sistemapoderia representar, por exemplo, os spins dos istopos 1H e 13C em uma molcula declorofrmio, e se constitui em um computador quntico com dois q-bits. O Hamiltonianode tal sistema uma extenso de (5):

H = 01I1z 02I2z + 2J I1zI2z (9)

onde 01 e 02 so as respectivas freqncias de Larmor dos dois spins no campo es-ttico. O ltimo termo representa o acoplamento entre os dois spins, e chamado deacoplamentoJ. Normalmente, considera-se 2J/ 0. Para dois spins 1/2, estehamiltoniano apresenta 4 nveis de energia:

E0 = 1201 1

202 +

2J; autoestado |

E1 = 1201 +

1

202

2J; autoestado |

E3 = +1

201 1

202

2J; autoestado | (10)

E4 = +1

201 +

1

202 +

2J; autoestado |

onde considerou-se 01 > 02. Cada spin possui 2 freqncias de ressonncia:

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f11 =E3 E0

he f21 =

E4 E1h

para o spin 1

f21 =E1 E0

he f22 =

E4 E3h

para o spin 2 (11)

que so medidas diretamente no espectro de RMN.Transies entre estes pares de nveis podem ser realizadas aplicando-se um campo

de radiofreqncia sintonizado em f11, f12, f21 ou f22. O campo de radiofreqncia normalmente modelado como um campo magntico circularmente polarizado:

B1(t) = B1[cos(t)i + sin(t)j] (12)

Ao inserirmos a interao dos spins com B1, aparecem termos do tipo Ix cos(t) e Iy sin(t)no hamiltoniano1. A dependncia temporal destes termos pode ser eliminada medianteuma transformao de sistema de coordenadas, como descrito em qualquer livro-textobsico de RMN2. O hamiltoniano transformado, chamado de hamiltoniano efetivo, Hef,contm todas as interaes importantes ao problema, e no depende de t:

Hef = ( 01)I1z + ( 02)I2z + 11I1x + 12I2x + 2J I1zI2z (13)onde os dois primeiros termos representam a interao dos spins com o campo estticoB0 (no novo sistema de coordendadas), o terceiro e quarto termos a interao dos spinscom o campo B1 (1 nB1), e o ltimo termo o acoplamento entre os spins. O fato deeste novo hamiltoniano no depender do tempo muito importante, pois significa que oestado do sistema evolui de acordo com:

|(t) = expiHef

t

|(0) (14)

Este resultado a base para a implementao de chaves lgicas e algoritmos qunticospor RMN.

4. Implementao de chaves lgicas qunticas por RMN

Os quatro estados de spin de (3) podem ser mapeados em estados lgicos, da seguinteforma:

| = |00

| = |01

| = |10 (15)1Considera-se B1 B0.2Veja, por exemplo, C.P. Slichter, Principles of Magnetic Resonance (Springer-Verlag 1990).

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| = |11Considere agora o hamiltoniano efetivo de (13), com = 02. Ou seja, estamos sin-tonizando o campo de radiofreqncia na freqncia de Larmor do segundo spin. Supondoque 01 02, somente o segundo spin sentir a ao do campo de RF, e podemos aprox-imar (14) por:

|(t) = exp[i12tI2x] |(0) (16)Lembre que 12 = 2B1 a intensidade da interao (em unidade de freqncia) dosegundo spin com o campo de RF. O produto 12t = 2 o ngulo de rotao do spin 2provocado pelo torque exercido por B1 sobre ele. Supondo que |(0) = |00, teremosde (16):

|(t) = exp[i12tI2x] |00 =

Icos

122

i2x sin

122

|00 (17)

onde usou-se3 Ix = 1/2x. Consequentemente,

|(t) = cos

122

|00 i sin

122

|01 (18)

Para 12 = , teremos o estado final

| = |01 (19)o que representa uma operao NOT sobre o q-bit 2. Por outro lado, se 12 = /2,obtemos4

| = |0 |0 i|12

(20)

o que representa, a menos do fator de fase i, uma operao de Hadamard sobre o se-gundo q-bit5. Dessa forma, podemos controlar o estado dos dois q-bits individualmente.De uma forma geral, representamos por

()jk

um pulso de , sobre o k-simo q-bit, aplicado ao longo da direo j. Todas as operaes

de 1 q-bit podem ser implementadas aplicando-se pulsos de RF com duraes e direesespecficas.

Uma operao importante a evoluo natural do par de q-bits sob o acoplamentoJ, sem pulsos aplicados, por um tempo , tal que 2J/ = /2. Tal operao gera oseguinte operador 12:

3x a componente x das matrizes de Pauli.4Diz-se no primeiro caso que se aplicou um pulso de , e no segundo caso um pulso de /2.5Esta fase pode ser facilmente corrigida com a aplicao de outro pulso. De fato, a seqncia de pulsos ()x(/2)y , gera um

operador de Hadamard sobre 1 q-bit.

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12 = ei/2I1zI2z =

12

1 i 0 0 00 1 + i 0 00 0 1 + i 00 0 0 1 i

(21)

Com o operador 12 podemos gerar a seqncia

(/2)y212(/2)x2 =

12

1 i 0 0 00 1 + i 0 00 0 0 1 + i0 0 1 + i 0

(22)

que nada mais do que uma chave CNOT com controle no primeiro q-bit.

Em resumo, pulsos de RF geram portas de 1 q-bit, e a combinao de pulsos coma evoluo livre dos spins sob o acoplamentoJ gera a chave CNOT. Dessa forma a RMNgera um conjunto completo universal de chaves lgicas qunticas!

5. Computao quntica com a RMN de lquidos: o problema daescalabilidade

Em um experimento de RMN usual no lidamos com 2 spins acoplados apenas, mas comum nmero muito grande de molculas em um lquido, cada uma delas contendo umpar de spins (ou mais). Tal sistema constitui um ensemble estatstico e, em princpio,no seria adequado para a computao quntica. Contudo, em 1997 Neil Gershenfeld eIsaac Chuang descobriram como transformar um ensamble estatstico de tais molculas,inicialmente em uma mistura estatstica de equilbrio, em um estado que efetivamente secomporta como um estado quntico puro. Tal estado passou a ser chamado de estadopseudo-puro, e genericamente representado pela matriz densidade:

=1

2NI + || (23)

onde N o nmero de q-bits do sistema, | um estado quntico puro, e 1/2N umfator numrico, tipicamente da ordem de 105 para amostras lquidas com 2 q-bits. I a matriz identidade de ordem 2N. Qualquer transformao unitria U sobre a matrizdensidade opera somente sobre o segundo termo:

UU =1

2NI + U||U (24)

Isto , um estado pseudo-puro evolui efetivamente como um estado quntico puro . Almdisso, como a amplitude do sinal de RMN proporcional ao trao do operador Ix + iIy:

Tr[(Ix + iIy)]

e Ix e Iy so operadores de trao nulo, teremos

Tr[(Ix + iIy)] = Tr[(Ix + iIy)||] = |Ix + iIy| (25)

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Ou seja, o valor termodinmico do operador Ix+iIy em um estado pseudo-puro, idnticoao valor esperado quntico para o estado |, multiplicado pelo fator . A descobertadesta propriedade levou demonstrao de todos os algoritmos qunticos j propostospor RMN, alm de vrios outros experimentos importantes (vide Bibliografia).

No entanto, em 1999 foi demonstrado por Braunstein e colaboradores (ver Bibli-ografia) que para abaixo de um determinado valor, uma matriz densidade com a forma

(23) sempre pode ser escrita como um produto de matrizes de 1 q-bit, o que implica emum estado separvel. Estabeleceu-se um intenso debate em torno deste tema e, passou-sea se referir a estados como (23), nos quais | um estado emaranhado, como estados

pseudo-emaranhados. Muitos artigos tm demonstrado experimentalmente a existnciade correlaes no-clssicas em estados pseudo-emaranhados.

Embora amostras lquidas tm sido utilizadas com grande sucesso pela RMN paraa demosntrao dos princpios fundamentais da computao quntica, a existncia de umfator multiplicativo que decai exponencialmente com o aumento do nmero de q-bitstorna invivel o uso de amostras deste tipo como processadores qunticos de larga escala(ou seja, contendo um nmero grande de q-bits). Isto levou ao aparecimento de propostasalternativas muito promissoras, como ser abordado na prxima seo.

6. O chip quntico da RMN: uma proposta para um sistema escalonvel

Qualquer tcnica experimental que vise a implementao de um computador qunticocontendo um grande nmero de q-bits, deve satisfazer aos seguintes requisitos bsicos:

1. Possuir uma boa representao do q-bit;2. Ser capaz de gerar um conjunto universal de chaves lgicas qunticas, incluindo a

porta de 2 q-bits, CNOT;3. Ser aplicvel a um sistema fsico escalonvel.

A RMN de lquidos satisfaz aos dois primeiros tens: o spin nuclear uma boa repre-

sentao do q-bit, e os pulsos de radiofreqncia geram um conjunto universal de chaveslgicas qunticas. O acoplamentoJ, associado aos pulsos de RF, permitem a criao daoperao CNOT. No entanto, amostras lqidas no so escalonveis. O problema entose reduz a se encontrar uma alternativa ao uso dos lquidos.

A primeira proposta concreta foi feita em 1998 por Bruce Kane (ver Bibliografia).O esquema do chip quntico de Kane est mostrado Figura 2. Um array de ncleos de 61P montado em uma matriz de silcio, com uma distncia da ordem de 100 entre eles.Pequenos interruptores eltricos sobre cada ncleo controla a densidade eletrnica local,e portanto o valor da sua freqncia de RMN, tornando-os seletivos ao campo de RF,permitindo a implementao de chaves lgicas de 1 q-bit. Interruptores do mesmo tipo

colocados nas regies entre os ncleos controlam a interao entre eles, possibilitando aexecuo da chave CNOT.

O funcionamento do esquema de Kane depende do controle da interao de trocaentre tomos de fsforo vizinhos em um nvel de preciso atmica, como mostrado porKoiller e colaboradores (ver Bibliografia). Isto aparentemente inviabiliza o esquema. Noentanto, no volume 442 da Nature de julho de 2006, Dale Kitchen e colaboradores re-portaram a substituio tomo-a-tomo de Ga por Mn em um semicondutor de AsGa,demonstrando que talvez propostas como a de Kane no sejam totalmente inviveis. De

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Figura 1. Esquema de Kane para um chip quntico base de RMN. Um array de 31P inserido em umarede de silcio. Chaves eltricas posicionadas sobre os tomos e nas regies entre eles controlam afrequncia de RMN e a interao entre os ncleos.

qualquer forma, alm do posicionamento de tomos em um array, seria preciso ainda os

meios para se realizar as operaes lgicas em ncleos individuais, e uma forma de sedetectar o sinal magntico de 1 nico spin6 para a leitura final de seu estado!

Tais dificuldades parecem ser problemas tecnolgicos instransponveis. No en-tanto, alguns avanos tericos e experimentais recentes demonstram o contrrio. Em2000, Berman e colaboradores monstraram que a utilizao da tcnica conhecida como

Magnetic Resonance Force Microscopy (MRFM), ou microscopia de fora por ressonn-cia magntica (ver Bibliografia), permite a implementao de todas as etapas necessriaspara operar um chip quntico formado por um array de ncleos de tomos paramagnti-cos: preparao do estado inicial, implementao de transformaes unitrias e leiturado estado final. E em 2004, Rugar e colaboradores demonstraram a extraordinria sensi-bilidade da MRFM detectando o sinal magntico de 1 nico spin paramagntico em ummaterial. O esquema de funcionamento a tcnica mostrado na Figura 3, junto com osinal detectado de 1 nico spin (Figura 4).

Concluindo, a RMN apresenta os requisitos necessrios e suficientes para a im-plementao da computao quntica. Avanos na nano-fabricao de estruturas atmicasartificiais, e o desenvolvimento de tcnicas experimentais como a MRFM superam as di-ficuldades existentes na RMN de lquidos, e apontam para um futuro muito promissorneste campo.

6Para fins de comparao, o nmero mnimo de spins detectvel na RMN convencional algo em torno de 1014.

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Figura 2. Esquema de um experimento de MRFM. Uma partcula magntica na ponta de uma hastegera uma fora magntica sobre um spin da amostra. A oscilao do spin pelo efeito de ressonnciafaz a haste vibrar. A vibrao da haste detectada por interferometria laser.

Figura 3. Deteco do sinal de 1 nico spin por MRFM. Os dois espectros correspondem a valoresdiferentes do campo magntico utilizado.

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Referncias

Implementaes de algoritmos qunticos por RMN

J.A. Jones and M. Mosca, Implementation of a quantum algorithm on a nuclear magneticresonance quantum computer, J. Chem. Phys., 109, (1998) 1648.

O. Mangold, A. Heidebrecht and M. Mehring, NMR tomography of the three-qubit Deutsch-Josza algorithm, Phys. Rev. A 70 (2004) 042307.

R. Das and A. Kumar, Use of quadrupole nuclei for quantum-information processing bynuclear magnetic resonance: implementation of a quantum algorithm, Phys. Rev. A 68,(2003) 032304.

K. Dorai, Arvind and A. Kumar, Implementation of a Deutsch-like quantum algorithmutilizing entanglement at the two-qubit level on an NMR quantum-information processor,Phys. Rev. A 63 (2001) 034101.

I.L. Chuang, N. Gershenfeld and M. Kubinec, Experimental implementation of fast quan-tum searching, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 3408.

J.A. Jones, M. Mosca and R.H. Hansen, Implementation of a quantum search algorithmon a quantum computer, Nature 393 (1998) 344.

L. Xiao and J.A. Jones, Error tolerance in an NMR implementation of Grovers fixed-point quantum search algorithm, Phys. Rev. A 72, (2005) 032326.

M.S. Anwar, D. Blazina, H.A. Carteret, S.B. Duckett and J.A. Jones, ImplementingGrovers quantum search on a para-hydrogen based pure state NMR quantum computer,Chem. Phys. Lett., 400, (2004) 94.

L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C.S. Yannoni, R. Cleve and I.L. Chuang,Experimental realization of an order-finding algorithm with an NMR quantum computer,

Phys. Rev. Lett. 85, (2000) 5452.Y.S. Weinstein, M.A. Pravia, E.M. Fortunato, S. Lloyd and D.G. Cory, Implementation ofthe Quantum Fourier Transform, Phys. Rev. Lett. 86, (2001) 1889.

J-Seung Lee, J. Kim, Y. Cheong and S. Lee, Implementation of phase estimation andquantum counting algorithms on an NMR quantum-inforamtion processor, Phys. Rev. A66, (2002) 042316.

Y.S. Weinstein, T.F. Havel, J. Emerson, N. Boulant, M. Saraceno, S. Lloyd and D.G. Cory,Quantum process tomography of the Quantum Fourier Transform, J. Chem. Phys. 121,(2004) 6117.

L.M.K. Vandersypen, M. Steffan, G. Breyta, C.S. Yannoni, M.H. Sherwood and I.L.Chuang, Experimental realization of Shors quantum factorin algorithm using nuclearmagnetic resonance, Nature, 414, (2001) 883.

V.L. Ermanov and B.M. Fung, Experimental realization of a continuous version of theGrover algorithm, Phys. Rev. A 66 (2002) 042310-1.

K.V.R.M. Murali, N. Sinha, T.S. Mahesh, M.H. Levitt, K.V. Ramanatham and A. Ku-mar, Quantum-information processing by nuclear magnetic resonance: experimental im-

124


11/14

plementation of half-adder and subtractor operations using an oriented spin7/2 system,Phys. Rev. A 66, (2002) 022313.

Simulaes de sistemas qunticos por RMN

S. Somaroo, C.H. Tseng, T.F. Havel, R. Laflamme and D.G. Cory, Quantum simulations

on a quantum computer, Phys. Rev. Lett. 82, (1999) 5381.C.H. Tseng, S. Somaroo, Y. Sharf, E. Knill, R. Laflamme, T.F. Havel and D.G. Cory,Quantum simulation of a three-body-interaction Hamiltonian on an NMR quantum com-puter, Phys. Rev. A 61, (1999) 012302.

C.H. Tseng, S. Somaroo, Y. Sharf, E. Knill, R. Laflamme, T.F. Havel and D.G. Cory,Quantum simulation with natural decoherence, Phys. Rev. A 62, (2000) 032309.

A.K. Khitrin and B.M. Fung, NMR simulation of an eight-state quantum system, Phys.Rev. A 64 (2001) 032306.

C. Negrevergne, R. Somma, G. Ortiz, E. Knill and R. Laflamme, Liquid-state NMR sim-

ulations of quantum many-body problems, Phys. Rev. A 71, (2005) 032344.X. Yang, A.M. Wang, F. Xu and J. Du, Experimental simulation of a pairing Hamiltonianon an NMR quantum computer, Chem. Phys. Lett. 422 (2006) 20.

C. Miquel, J.P. Paz, M. Saraceno, E. Knill, R. Laflamme and C. Negrevergne, Interpreta-tion of tomography and spectroscopy as dual forms of quantum computation, Nature 418,(2002) 59.

Emaranhamento e RMN

A. Peres, Separability criterion for density matrices, Phys. Rev. Lett. 77, (1996) 1413.

S.L. Braunstein, C.M. Caves, R. Jozsa, N. Linden, S. Popescu, and R. Schack, Separabil-ity of Very Noisy Mixed States and Implications for NMR Quantum Computing, Phys.

Rev. Lett. 83 (1999) 1054.

C. Negrevergne, T.S. Mahesh, C.A. Ryan, M. Ditty, F. Cyr-Racine, W. Power, N. Boulant,T. Havel, D.G. Cory and R. Laflamme, Benchmarking quantum control methods on a 12-qubit system, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 170501.

W.S. Warren, The usefulness of NMR quantum computing, Science 277 (1997) 1688.

S. Lloyd, Quantum search without entanglement, arXiv:quant-ph/9903057 v1.

R. Laflamme, D.G. Cory, C. Negrevergne and L. Viola, NMR quantum information pro-cessing and entanglement, arXiv:quant-ph/0110029 v1.

N. Linden and S. Popescu, Good dynamics versus bad kinematics: is entanglement neededfor quantum computation?, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 047901-1.

R. Laflamme, E. Knill, W.H. Zurek, P. Catasti and S.V.S. Mariappan, NMR GreenbergerHorneZeillinger states, Phil. Trans. R . Soc. Lond. A 356 (1998) 1941.

125


12/14

M.A. Nielsen, E. Knill, and R. Laflamme, Complete quantum teleportation using nuclearmagnetic resonance, Nature,, 396 (1998) 52. G. Brassard, S.L. Braunstein and R. Cleve,Teleportation as a quantum computation, Physica D 120 (1998) 43.

R.J. Nelson, Y. Weinstein, D. Cory and S. Lloyd, Experimental demonstration of fullycoherent quantum feedback, Phys. Rev. Lett., 85 (2000) 3045.

X. Fang, X. Zhu, M. Feng, X. Mao and F. Du, Experimental implementation of dense

coding using nuclear magnetic resonance, Phys. Rev. A, 61 (2000) 022307-1.R.J. Nelson, D.G. Cory and S. Lloyd, Experimental demonstration of GreenbergerHorneZeillinger correlations using nuclear magnetic resonance, Phys. Rev. A, 61 (2000) 022106.

N. Boulant, E.M. Fortunato, M.A. Pravia, G. Teklemariam, D.G. Cory and T.F. Havel,Entanglement transfer experiment in NMR quantum information processing, Phys. Rev.

A, 65 (2002) 024302-1.

M. Mehring J. Mende and W. Scherer, Entanglement between an electron and a nuclearspin 1/2, Phys. Rev. Lett, 90 (2003) 153001-1.

M.S. Anwar, L. Xiao, A.J. Short, J.A. Jones, D. Blazina, S.B. Duckett and H.A. Carteret,

Practical implementations of twirl operations, Phys. Rev. A. 71 (2005) 032327-1.

Propostas de escalonamento de chip quntico por RMN

B.E. Kane, A silicon-based nuclear spin quantum computer, Nature, 393 (1998) 133.

B. Koiller, X. Hu and S. Das Sarma, Exchange in silicon-based quantum computer archi-tecture, Phys. Rev. Lett., 88 (2002) 027903-1.

D. Kitchen, A. Richardella, J.-Ming Tang, M.E. Flatt and A. Yazdani, Atom-byatomsubstitution of Mn in GaAs and visualization of their hole-mediated interactions, Lettersto Nature, 442, (2006) 436.

J.L. OBrien, S.R. Schoefield, M.Y. Simmons, R.G. Clark, A.S. Dzurak, N.J. Curson,B.E. Kane, N.S. McAlpine, M.E. Hawley and G.W. Brown, Towards the fabrication ofphosphorous qubits for a silicon quantum computer, Phys. Rev. B, 64 (2001) 161401-1.

S.R. Schoefield, N.J. Curson, M.Y. Simmons, F.J. Rue, T. Hallam, L. Oberbeck and R.G.Clark, Atomically precise placement of single dopants in Si, Phys. Rev. Lett., 91 (2003)136104-1.

A.J. Skinner, M.E. Davenport and B.E. Kane, Hydrogenic spin quantum computing insilicon: a digital approach, Phys. Rev. Lett., 90 (2003) 087901-1.

T.D. Ladd, J.R. Goldman, F. Yamaguchi, Y. Yamamoto, E. Abe and K.M. Ytoh, All-

silicon quantum computer, Phys. Rev. Lett., 89 (2002) 017901-1. J.A. Sidles, Noninduc-tive detection of single proton magnetic resonance, App. Phys. Lett., 58 (1991) 2854.

J.A. Sidles, J.L. Garbini and G.P. Drobny, The theory of oscillator-coupled with potencialapplications to molecular imaging, Rev. Sci. Instrum., 63 (1992) 3881.

J.A. Sidles, J.L. Garbini, K.J. Bruland, D. Rugar, O. Zger, S. Hoen and C.S. Yannoni,Magentic resonance force microscopy, Rev. Mod. Phys., 67 (1995) 249.

126


13/14

G.P. Berman, G.D. Doolen, P.C. Hammel, and V.Y. Tsifrinovich Solid-state nuclear spinquantum computer based on magentic resonance force microscopy, Phys. Rev. B, 61(2000) 14694.

Y. Manassen, R.J. Hamers, J.E. Demuth and A.J. Castellano Jr., Direct observation of theprecession of individual paramagnetic spins on oxidized silicon surfaces, Phys. Rev. Lett.,62 (1989) 2531.

C. Durkan and M.E. Welland, Electronic spin detection in molecules using scanning-tunneling-microscopy-assisted electron-spin resonance, App. Phys. Lett., 80 (2002) 458.

J.M. Elzerman, R. Hanson, L.H. Willems van Beveren, B. Witkamp, L.M.K. Vandersypenand L.P. Kouwenhoven, Single-shot read-out of an individual electron spin in a quantumdot, Letters to Nature, 430 (2004) 431.

M. Xiao, I. Martin, E. Yablonovitch and H.W. Jiang, Electrical detection of the spin reso-nance of a single electron in a silicon field-effect transistor, Letters to Nature, 430 (2004)435.

J. Kohler, J.A.J.M. Disselhorst, M.C.J.M. Donckers, E.J.J. Groenen, J. Schmidt and W.E.

Moerner, Magnetic resonance of a single molecular spin, Latters to Nature, 363 (1993)242.

J. Wrachtrup, C. von Borczyskowski, J. Bernard, M. Orrit and R. Brown, Optical detec-tion of magnetic resonance in single molecule, Letters to Nature, 363 (1993) 244.

F. Jelezko, I. Popa, A. Gruber, C. Tietz, J. Wrachtrup, A. Nizovtsev and S. Kilin, Singlespin states in a defect center resolved by optical spectroscopy, App. Phys. Lett., 81 (2002)2160.

D. Rugar, R. Budaklan, H.J. Mamin and B.W. Chui, Single spin detection by magneticresonance force microscopy, Letters to Nature, 430 (2004) 329.

G. Yusa, K. Muraki, K. Takashina, K. Hashimoto and Y. Hirayama, Controlled multiplequantum coherences of nuclear spins in a nanometer-scale device, Letters to Nature, 434(2005) 1001.

127


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