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Lista de Exerccios MMC e MDC

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Nota: Os exerccios desta aula so referentes ao seguinte vdeo

Matemtica Zero 2.0 - Aula 11 MMC e MDC (parte 1 de 1)

Endereo: https://www.outu!e.co"/watch#v$l%&''(P)*+,

(a!arito e -esoluo nas lti"as pginas.

E1: Decomponha os nmeros a seguir e os represente como um produto defatores primos (ou um nico fator primo, caso o nmero em questo seja

primo).

E2: Calcule o MMCdos seguintes nmeros:

E3: Calcule o MDCem cada um dos itens do exerccio E2.

E4:ndique os primos entre si no exerccio E2. ! que so primos entre si"

E5: ! ##C entre dois nmeros $ 72e o MDCentre os mesmos %ale 12.&a'endo que um dos nmeros %ale 36, quanto %ale o outro"

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E6: Com relao ao nmero *:a) +uantos di%isores mpares ele possui"

') +uais so esses di%isores mpares"

E7: Com relao ao nmero - (considere apenas di%isores ou mltiplosnaturais):

a) +uantos di%isores ele possui"') +uantos de seus di%isores so primos"c) +uantos de seus di%isores so quadrados perfeitos"d) +uantos de seus di%isores so cu'os perfeitos"e) +uantos de seus di%isores so pares"

f)

+uantos de seus di%isores so mpares"g) +uantos de seus di%isores so nulos"h) +uantos de seus di%isores so mltiplos de "i) +uantos de seus di%isores so mltiplos de -"

j) +uantos de seus di%isores so mltiplos de "/) +uantos de seus di%isores so tam'$m di%isores de "l) +uantos de seus di%isores so tam'$m di%isores de 0"m)+uantos so di%isores de 12"

n)

+uantos de seus di%isores so mltiplos de 0" 3ustifique.

E8: 4es de ham'rguer so %endidos em em'alagens de * unidades. 35 osham'rgueres, em em'alagens de 1 unidades. &e eu no quero que falte

pes e nem ham'rgueres, qual a quantidade mnima de em'alagens eucomprarei"

E9: 6m marceneiro deseja cortar uma placa retangular de madeira de

medidas 7- cm por 8- cm em quadrados iguais de maior lado poss%el, deforma que no haja desperdcio (so'ras) de madeira.a) +ual de%e ser o lado de cada quadrado o'tido"

') +uantos quadrados foram o'tidos"

E10: 3os$ e #aria possuem 7 'olinhas 'rancas, 17 a9uis e 8 %ermelhas eprecisam criar /its idnticos usando o maior nmero de 'olas poss%el semque so're nenhuma 'ola.

a) quantos /its iguais podem fa9er"') +uantas 'olas de cada cor ha%er5 em cada /it"

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E11: Certo fen;meno raro ocorre de 1 em 1 anos. !utro fen;meno, maisraro ainda, ocorre de em anos. &e em 1- os dois e%entos ocorreram

juntos, em qual ano eles iro ocorrer juntos no%amente"

E12:&e o nmero 8 6tem 8 di%isores naturais, qual o %alor de n?E13(UERJ): ! ano 'issexto possui -- dias e sempre $ mltiplo de *. !ano de 1 foi o ltimo 'issexto. 4or$m, h5 casos especiais de anos que,apesar de mltiplos de *, no so 'issextos: so aqueles que tam'$m somltiplos de 1 e no so mltiplos de *. ! ano de 18 foi o ltimocaso especial.

< soma dos algarismos do pr=ximo ano que ser5 um caso especial $:a) ') * c) 7 d) -

E14:>em?se um certo nmero de moedas. Contando?se de 1 em 1 ou de12 em 12, sempre so'ram 0 moedas. ! nmero de moedas pode estar entre:a) 1 e 11 ') 11 e 1 c) 1 e 1 d) 1 e 1*e) 1* e 17

E15 (FGV):6m 5l'um de figurinhas possui 7 p5ginas, cada uma com 7figurinhas, distri'udas em 7 linhas e 7 colunas.

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E16 (Desafi): ! MMC de dois nmeros ae !%ale 60e o MDCde am'os%ale ". Determine todos os pares de nmeros que satisfa9em a condio:

ax bx 7

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Ba'arito e esoluo

@ota: enha em mente que na pro%a uma explicao to detalhada no $necess5ria e que algumas das questes (que foram pensadas originalmente

para serem reali9adas por tentati%a) foram feitas pelo modo alg$'rico, maiscomplexo.

E1:

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E2:

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E3:

Easta FpintarmosG os %alores na decomposio que foram capa9es dedi%idir >!D!& os nmeros de uma determinada linha.

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E5: &ejam os nmeros a e '. Easta lem'rarmos que:

, ,

emos ento di%isores mpares.

') 3 1e 3 3. Jogo, 1e 3so os di%isores mpares de 24.

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E7: a) $%an&s 'iises e*e +ss%i?

Kamos comear fatorando o -:

@ote que a fatorao resultou em (>rs 'ases distintas,2, 3e5). >odos os di%isores podem ser escritos como um produto de todas as

'ases, com os expoentes %ariando de 0at$ n(em que n$ o maior expoenteposs%el para cada 'ase). 4or exemplo, como o m5ximo expoente do 2%ale

4, ento todos os di%isores podem ser escritos com uma 'ase 2 cujosexpoentes %o de de 0at$ 4(0, 1, 2, 3, 4). Como o m5ximo expoente do 3$o 2, ento os %alores poss%eis para o expoente do 3so 0, 1e 2e para o 5,cujo m5ximo expoente $ 2, os expoentes poss%eis so 0, 1, 2.Lsquematicamente:

@ote que n=s temos 5 e"+en&es para o , 3 e"+en&es para o e 3e"+en&espara o 7. !u seja, teremos um total de 7 possi'ilidades para a

'ase , para a 'ase e para a 'ase 7, num total de:

5 3 3 5 !"#"$%&'$ (

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!) $%an&s 'e se%s 'iises s- +i.s?

Como %imos no i&e. a, a fatorao de 3600 fornece comoresultado. 4ara entendermos o caso dos primos, %amos pegar um pro'lema

simples: &er5 que um nmero como $ um di%isor primo" !'%iamente,no, pois ou seja, possui mais de um fator primo. L ser5 que $ um di%isor primo" !'%iamente no, pois ele apresenta, no%amente,mais de um fator primo. L " esulta em 1, que sa'emos que no $

primo.

Do o'ser%ado, temos ento trs condies:

C1) @o podemos ter produtos de primosM

C) @o podemos ter expoentes maiores que 1 para as 'asesM

C) @o podemos ter expoentes iguais a 9ero.

&e no podemos ter produtos, as 'ases de%em ser consideradasseparadamente (2, 3e 5). L se no podem ter expoentes maiores que 1 enem iguais a 9ero, so'ram apenas os expoentes iguais a 1. Jogo, 2, 3e 5so os di%isores primos (total 3).

Dica: os di%isores primos de um nmero sempre sero as 'ases o'tidas dadecomposio, cada uma delas com o expoente 1 (que no precisa serrepresentado).

/) $%an&s 'e se%s 'iises s- %a'a's +efei&s?

4ara ser um quadrado perfeito, todas as 'ases de%em ter expoentesmltiplos de (no se esquea: 9ero tam'$m $ mltiplo de N)

Como a fatorao de - resultou em os poss%eis expoentesso:

!u seja,

3 ) ) 1) !"#"$%&'$ *+' $% *+a!&a!%$ -'&.'"/%$

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') $%an&s 'e se%s 'iises s- /%!s +efei&s?

aciocnio similar ao do i&e. !: para ser um cu'o perfeito, de%emos tertodos os expoentes mltiplos de 3(no se esquea do 9ero).

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) $%an&s 'e se%s 'iises s- n%*s?

Di%isor nulo (de %alor 9ero) no $ definido para os naturais. ! que existe $mltiplo nulo (o 9ero). ! 9ero $ o mltiplo de todos os naturais.

#) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 3?

aciocnio similar ao do i&e. e: neste caso, para que um nmero sejamltiplo de , ele de%e ter ao menos um fator 3. 35 os demais %alores soindiferentes.

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;)$%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 20?

aciocnio parecido com o do item i. Kamos fatorar o :

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*) $%an&s 'e se%s 'iises s- &a.!=. 'iises 'e 70?

aciocnio parecido com o i&e.

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n) $%an&s 'e se%s 'iises s- .*&i+*s 'e 7? J%s&ifi%e>

@ote que 7$ um nmero primo (desnecess5rio ento fa9er a decomposioem fatores primos). 4ara termos mltiplos de 7 em 3600 temos que,

o'rigatoriamente, ter (pelo menos) um fator na decomposio de 3600,mas no $ o que ocorre, pois (temos apenas as 'ases, e 7, no h5 uma 'ase 0).

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E9: &e queremos que o lado seja o #

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E11: Ien;menos que ocorrem hoje, possuem perodos di%ersos e ocorrerono%amente juntos (ou pr=ximos) em uma data futura so casos cl5ssicos de

pro'lemas de ##C.

Jogo, o fen;meno ocorrer5 no%amente em 8- anos e, se ocorreram em1-, ocorrero no%amente no ano de 1- Q 8- H 11

E12: Jem'rando que 8 )>, e que 6 ) 3, temos:8

6

)>? ) 3)>? ) 3H)>?@ 3 &e %oc entendeu 'em os exemplos at$ agora feitos, sa'e que, para cada

fator do tipo aAteremos ('Q1) di%isores. 4or exemplo: )>fornece (3 1 ) di%isores (), ),)e )>).Consequentemente, se temos, na decomposio em primos, os fatores

B 9C, ento a quantidade de di%isores $ de

1 D 1. Desse

raciocnio, temos que a quantidade de di%isores (8) pode ser encontrada daseguinte forma:3E ) 1) 1 4 F3E 3 3 4 F3E 3 43 F 3E 3 34 F3E 34 G 3 F 3E )7 F3E 34 G 3 F 3E )7

E

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E13: @AERABV #uito f5cil, pelo detalhe do nmero em questo ser mltiplo de 1 (ou

seja, termina em ). Depois de 18 temos (que d5 pra di%idir por

*) logo depois 1 (que j5 $ a resposta, pois 1 no d5 pra di%idir por*). Jogo, Q 1 Q Q que seria a alternati%a

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E15: @AERABV E&a: e"e//i = !e. si.+*es e e*a&ia.en&e +i' 'e se es*e+ &en&a&ia (= a +i.eia s*%-) en&an&, a+esen&ae.s %.a

se%n'a s*%-, .ais a*=!i/a e /.+*e"a>4odemos resol%er o pro'lema por tentati%a, mas com um detalhe:Cada nmero de cada p5gina inicial $ um mltiplo de 7 acrescido de 1 ( a

primeira $ 4 )5 1 1, a segunda $ 1 )5 1 )6 ) e, de modogeral, todas as primeiras p5ginas podem ser o'tidas pela expressoH .

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Lncontramos o primeiro mltiplo de 0 que ocupa a primeira p5gina (1-).&a'emos que o maior %alor num$rico $ 207. Jogo, teremos no m5ximo(207R107 H 7) 7 sequncias de nmeros mltiplos considerando at$ o ltimo

nmero da ltima p5gina (o que $ mais do que o limite necess5rio, que %aiat$ o primeiro nmero da ltima p5gina). Jogo, como estamos tra'alhandocom nmeros naturais, de%emos considerar at$ a * sequncia.

Disso, temos: 1)6 175 8)6Jem'rando?se que este nmero (assim como todos os primeiros nmerosde cada p5gina) pode ser o'tido pela expresso

H G , ento

temos:R G 1 )5 1 8)6 FR G 1 )5 8)6 G 1 FR G 1 )5 8)5 FR G 18)5)5 FR G 1 33 FE 33 1 F

E 3 (

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&u'stituindo a Lquao na Lquao , temos:64

64

7Di%idir $ multiplicar pelo in%erso.

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