MODELAÇÃO DO MICROPITTING - Repositório Aberto · 4.2.3- Tensões normais e tangenciais...

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL

MODELAÇÃO DO MICROPITTING

NOS DENTES DE ENGRENAGENS

SANDRA MARIA MATIAS GONÇALVES

2006

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL

MODELAÇÃO DO MICROPITTING

NOS DENTES DE ENGRENAGENS

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

SANDRA MARIA MATIAS GONÇALVES

2006

Orientador:

Jorge H. O. Seabra

Professor Associado com Agregação

RESUMO

O principal objectivo deste trabalho é a modelação do micropitting nos dentes de

engrenagens.

Foi desenvolvido um modelo de lubrificação em regime de filme misto a partir das soluções

correspondentes a dois casos limite: a lubrificação em regime de filme limite e a lubrificação

em regime de filme completo. Este modelo calcula as pressões e as tensões de corte no

contacto entre os dentes duma engrenagem, considerando a rugosidade real das duas

superfícies e uma função de repartição de carga, a qual define as cargas parciais suportadas

pelos filmes limite e completo tendo em consideração a espessura específica do filme

lubrificante.

As distribuições de pressão e de tensão de corte no contacto são usadas para determinar o

campo de tensões instaladas na sub-superfície dos flancos dos dentes, às quais são

adicionadas as tensões residuais instaladas, resultantes dos tratamentos térmicos e mecânicos

de endurecimento superficial.

Conhecido o campo de tensões instalado e a sua variação ao longo de vários ciclos de

carregamento é possível avaliar o risco de iniciação de fendas de fadiga recorrendo ao critério

de dano acumulado de Dang Van.

O modelo desenvolvido foi usado para avaliar o risco de iniciação de fendas de fadiga em três

engrenagens rectificadas usando processos de maquinagem diferentes e em duas dessas

engrenagens após rodagem cuidadosa e vários milhões de ciclos de funcionamento. A

correlação entre as previsões do modelo e os resultados experimentais é excelente.

ABSTRACT

The main objective of this work is the modelling of micropitting in gear teeth.

A mixed film lubrication model was developed, based on the solutions of two limiting cases:

boundary film and full film lubrication. This model calculates the pressures and the shear

stresses in the contact between gears teeth, considering the real roughness of the teeth flanks

and a load share function, which establishes the partial loads supported by the boundary and

full films, taking in account the specific lubricant film thickness in the contact.

The pressure and shear stress distributions inside the contact are used to evaluate the stress

field applied in each point of the teeth flanks subsurface, to which the installed residual

stresses, generated by the thermal and mechanical surface hardening treatments, are added.

Knowing the stress field installed and its variation throughout the load cycles, it is possible to

evaluate the risk of fatigue crack initiation applying the Dang Van accumulated damage

criterion.

The model developed was used to evaluate the risk of fatigue crack initiation in gears

manufactured using three different surface finishing procedures and in two of these gears after

careful running-in and several millions of operating cycles. The correlation between the

model predictions and the experimental results is excellent.

SOMMAIRE

L'objectif principal de ce travail est la modélisation du micropitting sur les dents d’engrenage.

Un modèle de lubrification en filme mixte a été développé à partir des solutions

correspondantes à deux cas limités: la lubrification filme limite et en filme complet. Ce

modèle calcule les pressions normales et de cisaillement dans le contact entre les dents

d’engrenage, prenant en compte la rugosité réel des deux surfaces et d’une fonction de

répartition de la charge au contact, laquelle établi les charges partielles soutenues par les films

limite et complet à partir de l'épaisseur spécifique du film lubrifiant.

Les distributions de pressions normal et de cisaillement dans le contact sont employées pour

déterminer le champ des contraintes installé dans la sous-surface des flancs des dents,

lesquelles sont ajoutés aux contraintes résiduels installés, dues aux traitements thermiques et

mécaniques du durcissement superficiel.

Connaissant le champ de contraintes installées et sa variation au long des cycles de

chargement, il est possible d'évaluer le risque de amorçage de fissures appliquant le critère

des endommagements accumulés de Dang Van.

Le modèle développé a été employé pour évaluer le risque de amorçage de fissures

d’engrenages rectifiées par trois procédures différentes et en deux de ces engrenages après

rodage et quelques millions de cycles de fonctionnement. La corrélation entre les prévisions

du modèle et les résultats expérimentaux est excellente.

v

AGRADECIMENTOS

Este trabalho aborda a modelização dos mecanismos de fadiga dos flancos activos dos dentes

das engrenagens, e foi efectuado no âmbito do Curso de Doutoramento em Engenharia

Mecânica, ministrado pela FEUP, para a obtenção do grau de Doutor em Engenharia

Mecânica.

A realização deste trabalho só foi possível graças ao apoio e incentivo de pessoas e

identidades, às quais deixo aqui os meus mais sinceros agradecimentos.

- Ao Prof. Jorge Seabra, pelo apoio, acompanhamento, paciência e orientação em todas as

fases do trabalho.

- Ao Prof. Matos Almas, do Departamento de Engenharia Mecânica do Instituto Superior

Técnico, pela colaboração e apoio prestado.

- Ao Engº Jorge Castro, por ter disponibilizado o seu tempo, auxiliado e acompanhado ao

longo da realização desta dissertação.

- Aos Engºs Beatriz Graça, Armando Campos, Alexandre Sottomayor, Luís Magalhães,

Romain Barral, Ramiro Martins, João Neves, e tantos outros por toda a colaboração,

companheirismo e apoio prestado.

- À Aida, do secretariado do Departamento de Engenharia Mecânica por todo o auxílio que

me prestou.

- À minha família e todos meus amigos, por todo o apoio e incentivos.

- Aos meus queridos pais, por todo o amor e apoio e a quem devo tudo o que sou.

- Ao meu companheiro de jornada por todo o apoio prestado e a quem dedico também este

trabalho.

- Ao INEGI (Instituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial), por me ter dado a

oportunidade de realizar este trabalho, acolhendo-me nas suas instalações.

- À Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto por me ter concedido a honra de

realizar este Doutoramento.

- À JNICT (Junta Nacional de Investigação Científica) e ao programa PRAXIS XXI pelo

financiamento de uma bolsa de Doutoramento ao abrigo do projecto BD/15644/98

À minha linda sobrinha-afilhada (a “luz” dos meus olhos)

Aos meus pais, irmão e cunhada

Ao António.

PALAVRAS-CHAVE

Lubrificação Elastohidrodinâmica.

Lubrificação Mista.

Rugosidade.

Pressão Limite

Pressão EHDR.

Pressão Mista.

Tensão de corte Limite.

Tensão de corte EHDR

Tensão de corte Mista.

Riscos de fadiga.

KEYWORDS

Elastohydrodynamic lubrication.

Mixed lubrication.

Rugosity.

Limit pressure.

EHDR pressure.

Mixed pressure.

Limit Tangenctial stress.

EHDR Tangenctial stress.

Mixed Tangenctial stress.

Fatigue risks

MOTS-CLÉS

Lubrification elastohydrodynamic.

Lubrification mélangéé

rugosité

Pression Limit.

Pression EHDR

Pression mélangée

Contraites de cissaillement Limit.

Contraites de cissaillement EHDR.

Contraites de cissaillement melangée.

Risques d’amorçage

ÍNDICE

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................1

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................9

AVARIA DE MICROPITTING EM ENGRENAGENS........................................................9

1.1- Introdução .........................................................................................................................9

1.2- Caracterização das avarias de micropitting em engrenagens .........................................10

1.2.1- Fadiga de Contacto ......................................................................................................11

1.2.1.1- O mecanismo de fadiga de contacto em engrenagens...............................................14

Pitting .......................................................................................................................................16

Spalling ....................................................................................................................................18

Micropitting .............................................................................................................................19

1.3- Parâmetros que influenciam o micropitting de uma engrenagem ..................................25

1.3.1- Influência das características dos materiais .................................................................25

1.3.1.1- Materiais para engrenagens.......................................................................................26

1.3.1.2- Defeitos oriundos dos processos de fabrico ..............................................................30

Superfícies geradas por arranque de apara............................................................................30

Superfícies rectificadas............................................................................................................30

1.3.1.3- Influência das tensões residuais ................................................................................32

1.3.1.4- Tratamentos mecânicos - Shot-peening ....................................................................32

1.3.2- Influência da lubrificação ............................................................................................33

1.3.2.1- Influência da viscosidade do óleo base .....................................................................37

1.3.2.2- Influência dos aditivos ..............................................................................................38

1.3.2.3- Influência do ambiente ..............................................................................................39

1.3.2.4- Influência da temperatura..........................................................................................39

1.3.2.5- Espessura específica do filme lubrificante ................................................................40

1.3.3- Influência das condições de funcionamento ................................................................45

1.3.3.1- Coeficiente de atrito ..................................................................................................46

1.3.4- Influência da macro e micro geometrias das superfícies .............................................47

1.3.4.1- Macro-geometria .......................................................................................................48

1.3.4.2- Micro-geometria........................................................................................................48

[ii] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Rugosidade .............................................................................................................................. 50

Influência da rugosidade na distribuição de pressão de contacto ..................................... 53

Influência da rugosidade na distribuição das tensões internas ......................................... 54

Influência da rugosidade sobre a lubrificação elastohidrodinâmica ................................ 55

Campo de tensões/ deformações ............................................................................................. 58

Superfície lisa.......................................................................................................................... 59

Superfície rugosa.................................................................................................................... 60

1.4- Sumário e conclusão ...................................................................................................... 61

CAPÍTULO 2 ......................................................................................................................... 65

PRESSÕES NORMAIS DE CONTACTO EM REGIME MISTO DE LUBRIFICAÇÃO

.................................................................................................................................................. 65

2.1- Introdução ...................................................................................................................... 65

2.2- Campo de pressões normais em contacto seco rugoso................................................... 67

2.2.1- Deformação elástica dos corpos em contacto.............................................................. 67

2.2.2- Contacto seco............................................................................................................... 69

2.2.2.1- Contacto seco liso ..................................................................................................... 71

2.2.2.2- Contacto seco rugoso (regime limite)....................................................................... 72

2.3- Campo de pressões e espessura do filme lubrificante em contacto EHD rugoso- Modelo

de Ai e Cheng........................................................................................................................... 75

2.3.1- Lubrificação em regime de filme completo................................................................. 75

2.3.1.1- Contacto linear elastohidrodinâmico ........................................................................ 77

Equação de Reynolds .............................................................................................................. 77

Geometria do filme lubrificante.............................................................................................. 79

Comportamento do lubrificante.............................................................................................. 80

Equilíbrio de forças no contacto ............................................................................................ 81

2.3.1.2- Contacto linear elastohidrodinâmico liso ................................................................. 82

Distribuição de pressão em contactos EHD lisos................................................................... 82

Espessura do filme lubrificante em contactos EHD lisos ..................................................... 83

2.3.1.3- Contacto linear elastohidrodinâmico rugoso ............................................................ 86

2.4- Campo de pressões em regime de lubrificação misto .................................................... 90

2.5- Repartição de carga- Função fΛ ...................................................................................... 95

2.5.1- Função fΛ generalizada................................................................................................ 97

2.5.2- Cálculo da função f(Λ,Vt) dependente da velocidade no primitivo da engrenagem ... 99

Índice [iii]

2.6- Campo de pressão normal em regime misto de lubrificação. Aplicação a uma superfície

real ......................................................................................................................................103

2.6.1- Perfil de rugosidade composto...................................................................................105

2.6.2- Campos de pressão EHD e seco rugosos ...................................................................108

2.6.3- Campos de pressões para lubrificação em regime misto ...........................................110

2.7- Sumário e conclusão .....................................................................................................112

CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................115

TENSÕES TANGENCIAIS DE CONTACTO EM REGIME MISTO DE

LUBRIFICAÇÃO.................................................................................................................115

3.1- Introdução .....................................................................................................................115

3.2- Tensões de corte no filme lubrificante em regime de filme completo rugoso..............116

3.2.1- Comportamento reológico de um lubrificante ...........................................................116

3.2.2- Comportamento térmico ............................................................................................119

3.2.3- Curva de tracção do lubrificante ................................................................................121

3.2.4- Comportamentos não-newtonianos do lubrificante ...................................................123

3.2.5- Tensões de corte em regime de filme completo.........................................................126

3.2.5.1- Coeficiente de atrito ................................................................................................128

3.3- Tensões de corte em regime limite de lubrificação ......................................................132

3.4- Tensões de corte em regime misto de lubrificação.......................................................133

3.5- Campo de tensão tangencial (ou de corte) em regime misto de lubrificação. Aplicação a

uma superfície real. ................................................................................................................139


CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................147

TENSÕES NO INTERIOR DOS SÓLIDOS EM CONTACTO......................................147

4.1- Introdução .....................................................................................................................147

4.2- Tensões em semi-espaços elásticos ..............................................................................148

4.2.1- Força normal concentrada..........................................................................................150

4.2.2- Força tangencial concentrada.....................................................................................151

4.2.3- Tensões normais e tangenciais distribuídas na superfície..........................................152

4.2.4- Tensões tangencial máxima (τmax) e octaédrica (τoct) ............................................154

4.2.5- Tensões no interior de sólidos em contacto linear - caso particular dos contactos

Hertzianos...............................................................................................................................155

[iv] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

4.3- Modelo numérico ......................................................................................................... 158

4.3.1- Discretização da superfície do semi-espaço elástico................................................. 158

4.3.2- Algoritmo de cálculo ................................................................................................. 160

4.3.3- Distribuição de tensões no maciço – aplicação a uma superfície real...................... 161

4.4- Sumário e conclusão .................................................................................................... 166

CAPÍTULO 5 ....................................................................................................................... 167

TENSÕES RESIDUAIS ...................................................................................................... 167

5.1- Introdução .................................................................................................................... 167

5.2- Definição e origem das tensões residuais..................................................................... 168

5.2.1- Origem das tensões residuais .................................................................................... 168

5.2.2- Classificação das tensões residuais ........................................................................... 169

5.3- Tensões residuais de superfície .................................................................................... 173

5.4- Métodos de medição de tensões residuais.................................................................... 174

5.5- Relaxação das tensões residuais................................................................................... 176

5.5.1- Influência da natureza do material ............................................................................ 177

5.5.2- Influência da solicitação aplicada.............................................................................. 179

5.5.3- Influência do gradiente das tensões residuais............................................................ 180

5.5.4- Influência da temperatura .......................................................................................... 180

5.6- Influência das tensões residuais sobre os critérios de iniciação de fissuras de fadiga. 181

5.7- Perfis de tensões residuais em dentes de engrenagens................................................. 184

5.8- Sumário e conclusão .................................................................................................... 186

CAPÍTULO 6 ....................................................................................................................... 189

CRITÉRIO DE DANG-VAN .............................................................................................. 189

6.1- Introdução .................................................................................................................... 189

6.2- Conceito de vida infinita à fadiga ................................................................................ 193

6.3- Critérios de fadiga multiaxial....................................................................................... 194

6.3.1- Formulação de um critério multiaxial de fadiga........................................................ 195

6.3.2- Critérios de fadiga multiaxial .................................................................................... 200

6.3.2.1- Critério de Sines ..................................................................................................... 200

6.3.2.2- Critério de Crossland .............................................................................................. 202

6.3.2.3- Critério de Dang-Van ............................................................................................. 203

6.4- Aplicação do critério de Dang-Van.............................................................................. 211

Índice [v]

6.4.1- Determinação do ciclo de tensões superficiais ..........................................................216

6.4.2- Aplicação do critério de Dang-Van a uma superfície real .........................................219


CAPÍTULO 7 ........................................................................................................................225

RESULTADOS DA MODELAÇÃO ..................................................................................225

7.1- Introdução .....................................................................................................................225

7.2- Parâmetros fundamentais na modelação do micropitting em engrenagens ..................226

7.2.1- Micro-geometria.........................................................................................................226

7.2.2- Lubrificação em regime misto ...................................................................................227

7.2.2.1- Espessura média corrigida do filme lubrificante.....................................................227

7.2.2.2- Pressão normal de contacto em regime misto .........................................................228

7.2.2.3- Pressão tangencial de contacto em regime misto ....................................................229

7.2.3- Tensões instaladas......................................................................................................230

7.2.4- Modelação local do critério de fadiga acumulada de Dang-Van e iniciação de fendas

de fadiga .................................................................................................................................232

7.3- Propriedades dos materiais e condições de funcionamento..........................................233

7.3.1- Propriedades dos materiais.........................................................................................233

7.3.2- Condições de funcionamento .....................................................................................234

7.4- Rugosidade e tensões residuais nos flancos dos dentes de engrenagens ......................235

7.4.1- Rugosidade dos flancos dos dentes de engrenagens ..................................................235

7.4.2- Tensões residuais nos flancos dos dentes de engrenagens.........................................237

7.5- Procedimento de cálculo...............................................................................................239

7.6- Resultados da modelação..............................................................................................240

7.6.1- Geometria do filme lubrificante.................................................................................240

7.6.2- Pressões de contacto...................................................................................................241

7.6.3- Tensões de corte.........................................................................................................245

7.6.4- Tensões no interior dos sólidos em contacto (para µLIM = 0.15) .............................253

7.6.5- Aplicação do Critério de Fadiga Multiaxial de Dang-Van ........................................260

7.6.6- Análise de alguns pontos de iniciação de fissuras de fadiga......................................272


CONCLUSÃO.......................................................................................................................285

[vi] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................. 293

ANEXO A ............................................................................................................................. 319

A.1- Contacto Normal entre sólidos elásticos (Teoria de Hertz) ........................................ 319

A.1.1- Apresentação do problema de contacto normal seco................................................ 319

A.1.2- Hipóteses da teoria de Hertz ..................................................................................... 320

A.1.3- Semi-espaços elásticos ............................................................................................. 321

A.1.4- Modelo de contacto: geometria não deformada ....................................................... 322

A.1.5- - Modelo de contacto: geometria deformada ............................................................ 324

A.1.6- - Deslocamentos de pontos da superfície em contacto normal................................. 326

A.1.7- - A força normal transmitida .................................................................................... 326

ANEXO B ............................................................................................................................. 327

B.1- Parâmetros reológicos do lubrificante ...................................................................... 327

B.1.1- Viscosidade ........................................................................................................ 327

B.1.2- Outros parâmetros reológicos ............................................................................ 328

B.1.2.1- Módulo de corte transversal............................................................................328

B.1.2.2- Tensão de Ree-Eyring .....................................................................................329

B.1.2.3- Tensão limite...................................................................................................329

B.1.3- Outras propriedades físicas do lubrificante........................................................ 329

B.1.3.1- Condutibilidade térmica..................................................................................329

B.1.3.2- Densidade........................................................................................................330

B.1.3.3- Calor específico...............................................................................................331

B.1.4- Formulação do modelo viscoelásto-plástico com tensão limite......................... 331

B.1.4.1- Elasticidade.....................................................................................................331

B.1.4.2- Plasticidade – modelo de Bair e Winer...........................................................331

B.1.4.3- Viscoelasticidade plasticidade........................................................................332

B.1.4.4- Análise do comportamento do modelo viscoelástico plástico........................332

B.1.4.5- Velocidade de deformação..............................................................................334

B.1.4.6- Tensões tangenciais.........................................................................................335

B.1.5- Solução numérica do modelo viscoelasto plástico............................................. 337

ANEXO C ............................................................................................................................. 339

C.1- Comportamento Térmico de um contacto EHD em regime de filme completo .... 339

Índice [vii]

C.1.1- Equação da energia - caso geral .........................................................................340

C.1.1.1- Equação da energia para as superfícies ......................................................343

C.1.1.2- Equação da energia para o filme lubrificante .............................................346

C.1.2- Solução das equações de energia. Métodos numéricos ......................................351

C.1.2.1- Solução para a temperatura das superfícies................................................352

C.1.2.2- Solução para a temperatura no filme lubrificante.......................................354

C.2- Hipótese simplificativa proposta por Tevaarwerk..................................................357

C.2.1- Solução para a temperatura no plano de corte....................................................358

C.2.2- Determinação do fluxo de calor dissipado, dissipação interna e potência dissipada

por corte ............................................................................................................................359

C.2.2.1- - Fluxo de calor...........................................................................................359

C.2.2.2- Potência dissipada ......................................................................................360

C.2.2.3- Dissipação interna ......................................................................................360

C.2.3- Determinação do fluxo de calor dissipado, dissipação interna e potência dissipada

por corte ............................................................................................................................360

C.2.3.1- Fluxo de calor .............................................................................................360

C.2.3.2- Potência dissipada ......................................................................................361

C.2.3.3- Dissipação interna ......................................................................................361

C.2.4- Aquecimento no convergente .............................................................................362

ANEXO D..............................................................................................................................363

D.1- Utilização do modelo de cálculo das tensões de corte em regime de filme completo

para determinação dos parâmetros reológicos do lubrificante ...............................................363

[viii] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 - Detalhe da superfície de um dente de uma engrenagem do tipo FZG-C em ADI austemperado a 260ºC que foi afectada por pitting na zona do primitivo de funcionamento (Pmax Hertz no primitivo = 1.4 GPa ) [125]. 12 Figura 1.2 - Vista da superfície de trabalho de uma engrenagem FZG-A de ADI austemperada a 280ºC, onde foi gerada uma cratera através de um processo de spalling associado a um defeito sub-superficial [125]. 13 Figura 1.3 - Sentido da velocidade de rolamento VR e da velocidade de escorregamento VS sobre o flanco de dois dentes de engrenagem: (a) no início do engrenamento, (b) sobre o primitivo onde VS=0 e (c) no fim do engrenamento. Na situação intermédia representam-se também as orientações preferenciais das fissuras de fadiga de contacto [316]. 15 Figura 1.4 - Orientação das fissuras superfíciais nos dentes de uma engrenagem [125]. 16 Figura 1.5 - Desenvolvimento de um micropit no caso de uma iniciação na superfície [339]. 16 Figura 1.6 - Mecanismo de propagação das fissuras superfíciais por acção do óleo lubrificante [125]. 17 Figura 1.7 - Propagação das fissuras no caso de uma iniciação profunda [125]. 18 Figura 1.8 - Evolução possível a partir de um micropit na superfície (x 400) [111]. 22 Figura 1.9 - Valores de resistência à fadiga de contacto e da dureza de diferentes materiais [217]. 28 Figura 1.10 - Comparação da resistência à fadiga de contacto de engrenagens fabricadas em diferentes materiais [217]. 29 Figura 1.11 - Curvas-limite de fadiga de contacto, em termos de tensão, obtidas para engrenagens fabricadas em aço e em ADI [217]. 29 Figura 1.12 - Esquema do mecanismo de propagação de fissuras por efeito da pressão hidráulica [304]. 36 Figura 1.13 - Contacto entre picos de rugosidade e esmagamento de partículas de grandes dimensões no interior do contacto como causa de fadiga de contacto [304]. 37

Índice [ix]

Figura 1.14- Variação Distribuição de pressão e da velocidade do fluido lubrificante no interior de um contacto elastohidrodinâmico [284]. 43 Figura 1.15 - Espessura específica crítica do filme lubrificante para engrenagens rectas ou helicoidais (Λc) vs velocidade tangencial da engrenagem (Vt) - (probabilidade de avaria = 5%) [169]. 44 Figura 1.16- Efeito da rugosidade na distribuição da pressão local, no interior do contacto [284]. 50 Figura 1.17- a) Rugosidade longitudinal; b) Rugosidade isotrópica; c) Rugosidade transversal [42]. 52 Figura 1.18- Zonas de influência da micro e da macrogeometria no caso de: (a) rugosidade longitudinal e (b) rugosidade transversal [26]. 53 Figura 1.19- Distribuição da pressão de contacto e das tensões internas no contacto rugoso lubrificado, em função das diferentes escalas consideradas: (a) D1, (b) D1+D2, (e) D1+D2+D3. Não se representa a influência da lubrificação elastohidrodinâmica [128]. 56 Figura 1.20 - Distribuição de tensões τmáx/P0 para um contacto hertziano linear liso [126]. 59 Figura 1.21 - Distribuição das tensões de corte τmáx/P0 e τxz/P0 no plano Z=0 do sólido [126]. 60 Figura 1.22 - Alterações induzidas ao campo de tensões τmáx pela presença de rugosidades na sub-superfícies Hertzianas [126]. 61 Figura 2.1 – Distribuição de pressão p(x) a actuar num semi-espaço elástico. 68 Figura 2.2- Contacto seco rugoso: campo de pressões e geometria deformada. 73 Figura 2.3 – Geometria não deformada e deformada de duas superfícies em contacto, liso ou rugoso (superfície S1). 74 Figura 2.4- Distribuição de pressão px para um contacto seco, liso ou rugoso (superfície S1). 74 Figura 2.5 –Equivalência do contacto entre dentes de uma engrenagem recta, o contacto entre dois cilindros e o contacto entre um cilindro e um plano. 78

[x] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Figura 2.6 –Geometria do filme lubrificante elastohidrodinâmico em regime de filme completo. 80 Figura 2.7 – Campo de pressão de Hertz, campo de pressão EHD e geometria do filme lubrificante (contacto EHD liso). 83 Figura 2.8 - Distribuição de pressão elastohidrodinâmica rugosa em regime de filme completo. 90 Figura 2.9- Determinação do campo de pressões de contacto em regime de lubrificação misto (0≤Λ≤2). 94 Figura 2.10- Funções de repartição da carga normal em regime de lubrificação misto. 95 Figura 2.11 - Curvas de Wellauer e Holloway [23, 328] correspondente a 5% e 80% de probabilidade de avaria. 96

Figura 2.12 - Curvas BarralfΛ e 1

1cf

bΛ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

para os pontos particulares (0.46; 0.20) e (1;

0.95). 98 Figura 2.13 – Campo de pressões adimensional da superfície de série (S1) para cada uma das funções fΛ. 98 Figura 2.14 - Conjunto de pontos (Λ,fΛ) para várias velocidades tangenciais da engrenagem. 100 Figura 2.15 - Curvas f(Λ,Vt) e valores de fΛ obtidos com base na curva de avarias de Wellaueur e Holloway. 101 Figura 2.16 - Curvas f(Λ,Vt) para as várias velocidades e valores de f(Λ,Vt) obtidos com base na curva de avarias de Wellaueur e Holloway. 103 Figura 2.17 – Rugosímetro Hommelwerke T4000, com apalpador mecânico (absoluto). 103 Figura 2.18 – Obtenção da rugosidade composta 105 Figura 2.19 – Definição do perfil de rugosidade composta a partir dos perfis de rugosidade da roda e do pinhão da superfície de série (S1). 107 Figura 2.20 – Superfície composta não deformada. 107

Índice [xi]

Figura 2.21 – Contacto EHD rugoso. Superfície composta deformada. 108 Figura 2.22 – Campos de pressão de Hertz e EHDR para a superfície de série (S1), condições de referência. 109 Figura 2.23 – Campos de pressão de Hertz e seco rugoso (limite) para a superfície de série (S1), condições de referência. 109 Figura 2.24 – Campo de pressões em regime misto e da correspondente deformada do contacto para a superfície de série (S1), condições de referência. 111 Figura 2.25 – Campos de pressões nos regimes misto, EHDR e seco rugoso para a superfície de série (S1), condições de referência. 111 Figura 3.1 –Relação velocidade de deformação/tensões de corte segundo Newton [301]. 116 Figura 3.2 – Curva velocidade de deformação/tensões de corte para um fluido não Newtoniano [152]. 119 Figura 3.3 – Comportamento da viscosidade com a velocidade de deformação [177]. 119 Figura 3.4 – Curva de tracção de acordo com a teoria térmica de Crook [147]. 120 Figura 3.5 – Curva típica de variação do coeficiente de atrito com a taxa de escorregamento [301]. 122 Figura 3.6 – Curva de Stribeck [332]. 134 Figura 3.7 – Modelo utilizado para a obtenção dos campos de tensões de corte em regime misto de lubrificação. 139 Figura 3.8 – Campo de pressões normais PEHDR e geometria deformada da superfície de contacto HRDEF para a superfície de série (S1), condições de referência. 140 Figura 3.9 – Campo de tensão de corte τEHDR para a superfície de série (S1), condições de referência. 141 Figura 3.10 – Coeficiente de atrito local µEHDR para a superfície de série (S1), condições de referência. 141 Figura 3.11 – Campo de tensões de corte limite τLIM para a superfície de série (S1), condições de referência. 142

[xii] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Figura 3.12 – Campo de tensões de corte em regime misto τMIX para a superfície de série (S1), condições de referência. 143 Figura 3.13 – Campo de tensões de corte misto, EHDR e limite (seco) para a superfície de série (S1), condições de referência. 144 Figura 4.1- Semi-espaço elástico submetido a solicitações p(x) e q(x) distribuídas na superfície [61, 283]. 149 Figura 4.2- Semi-espaço elástico submetido a uma força concentrada P, distribuida ao longo dos eixos dos yy [61]. 150 Figura 4.3- Semi-espaço elástico submetido a uma força concentrada Q, distribuída ao longo dos eixos dos yy [61]. 152 Figura 4.4- Semi-espaço elástico submetido a solicitações p(s) e q(s) distribuídas na superfície [61]. 153 Figura 4.5- Distribuição da tensão tangencial máxima adimensional (τmax/p0) – contacto Hertziano linear - µ=0 e υ1=υ2=0.3 [61]. 156 Figura 4.6- Influência da força tangencial sobre: (a) as tensões principais; (b) as tensões de corte; (c) a tensão de corte octaédrica, no interior do sólido [284]. 157 Figura 4.7- Discretização da superfície do semi-espaço elástico [61]. 158 Figura 4.8- Distribuição da tensão de corte ortogonal (τxz/p0) adimensional para a superfície S1 e µLIM=0.1 e µ.LIM=0.15, respectivamente. 161 Figura 4.9- Distribuição das tensões principais adimensionais, (σ1/p0, σ2/p0, σ3/p0) para a superfície S1 e µLIM=0.1e µ.LIM=0.15, respectivamente. 162 Figura 4.10- Distribuição da tensão tangencial máxima adimensional, (τmax/p0), para a superfície de série (S1) e µ.LIM=0.1 e µLIM=0.15, respectivamente. 163 Figura 4.11- Distribuição da tensão octaédrica adimensional, (τoct/p0), para a superfície de série (S1) e µ.LIM=0.1 e µLIM=0.15, respectivamente. 164 Figura 5.1- Definição esquemática das tensões residuais de primeira, segunda e terceira ordem para um material monofásico [212]. 171

Índice [xiii]

Figura 5.2- Representação esquemática das diferentes ordens de tensões residuais, para um material bifásico [212] . 173 Figura 5.3- Esquema da origem e das consequências da relaxação das tensões residuais [214]. 178 Figura 5.4- Efeito do endurecimento e das tensões residuais de compressão, introduzidas pelos tratamentos superfíciais, sobre os critérios multiaxiais [26, 79, 214]. 182 Figura 5.5- Perfil das tensões residuais correspondentes a 3 acabamentos (e correspondentes rugosidades) superficiais diferentes dos dentes de engrenagens após fabrico. (a) longitudinal (σlong). (b) transversal (σtransv). 184 Figura 5.6- Riscos de iniciação de fendas de fadiga (micropitting) para a superfície S1, não considerando as tensões residuais (µLIM=0.15, α=0.827, β=500MPa). 185 Figura 5.7- Riscos de iniciação de fendas de fadiga (micropitting) para a superfície S1, considerando as tensões residuais (µLIM=0.15, α=0.827, β=500MPa). 185 Figura 6.1 - Formulação geral de um critério multiaxial de fadiga [26]. 197 Figura 6.2 -Representação de um critério multiaxial da forma .a hydpτ α β+ ≤ , onde τa é uma

amplitude de tensão de corte, phyd uma pressão hidrostática, e A e B são as constantes características do material (α e β) [26]. 199 Figura 6.3 - Representação gráfica do critério de Dang-Van. 203 Figura 6.4 -Critério de Dang-Van: domínio de segurança e trajecto de carregamento [26]. 206 Figura 6.5– Processo de determinação da tensão de corte local [26, 79]. 207 Figura 6.6 - Efeito combinado da presença de tensões residuais e de endurecimento superficial de um componente na representação de um ciclo de carregamento num diagrama de Dang-Van. 211 Figura 6.7 –Perfil das tensões residuais transversais para uma dada superfície. 213 Figura 6.8 –Gráfico de Dang-Van para dois ciclos diferentes. 214 Figura 6.9– Definição do risco de iniciação de fissuras de fadiga. 215 Figura 6.10– Orientação do referencial. 216

[xiv] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Figura 6.11 – Referencial de referência e sentido das velocidades. 217 Figura 6.12 –Efeito das tensões residuais de compressão sobre o ciclo Dang-Van. 218 Figura 6.13 – Perfil das tensões residuais, longitudinal e transversal. 219 Figura 6.14– Espectros das 3 superfícies para duas ordens de grandeza de comprimentos de onda. 220 Figura 6.15– Riscos de iniciação de fissuras para as 3 superfícies estudadas para µLIM=0.15 , considerando as tensões residuais e α=0.827 e β=827 MPa. 221 Figura 7.1 - Perfis de rugosidade das superfícies novas e usadas . 236 Figura 7.2 - Perfil das tensões residuais antes (a) e depois (b) dos ensaios de engrenagens, para os vários acabamentos de superfície. 238 Figura 7.3 - Geometria das superfícies lisa e rugosa, não deformadas. 242 Figura 7.4 - Geometria das superfícies lisa e rugosa, após deformação. 242 Figura 7.5 - Campo de pressões seco e de Ai e Cheng para as superfícies novas e usadas. 243 Figura 7.6- Campo de pressões em regime misto para as superfícies novas e usadas. 244 Figura 7.7- Tensões de corte em regime limite para as superfícies novas e usadas (µLIM=0.10). 247 Figura 7.8- Tensões de corte em regime de filme completo para as superfícies novas e usadas. 248 Figura 7.9- Tensões de corte em regime misto (µLIM = 0.05) para as superfícies novas e usadas. 249 Figura 7.10- Tensões de corte em regime misto (µLIM = 0.10) para as superfícies novas e usadas. 250 Figura 7.11- Tensões de corte em regime misto (µLIM = 0.15) para as superfícies novas e usadas. 251 Figura 7.12- Tensões de corte em regime misto (µLIM = 0.20) para as superfícies novas e usadas. 252

Índice [xv]

Figura 7.13- Tensão principal máxima adimensional (σ1/p0) no interior dos sólidos em contacto (µLIM=0.15). 255 Figura 7.14- Tensão principal mínima adimensional (σ3/p0) no interior dos sólidos em contacto (µLIM=0.15). 256 Figura 7.15- Tensão de corte ortogonal adimensional (τxz/p0) no interior dos sólidos em contacto (µLIM=0.15). 257 Figura 7.16- Tensão de corte máxima adimensional (τmax/p0) no interior dos sólidos em contacto (µLIM=0.15). 258 Figura 7.17- Tensão de corte octaédrica adimensional (τoct/p0) no interior dos sólidos em contacto (µLIM=0.15). 259 Figura 7.18- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, na ausência de tensões residuais e para β igual a 500, 600 e 700 MPa. 262 Figura 7.19- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, na presença de tensões residuais e para β igual a 500 e 600 MPa. 263 Figura 7.20- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, para β igual a 500 MPa: Influência das tensões residuais. 263 Figura 7.21- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, para µLIM igual a 0.20: Influência de β e das tensões residuais. 264 Figura 7.22- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, considerando as tensões residuais instaladas (µLIM = 0.15, β = 500 MPa). 266 Figura 7.23- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, não considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15, β=500MPa). 267 Figura 7.24- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15). 268 Figura 7.25- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, não considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15). 269 Figura 7.26- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, considerando as tensões residuais instaladas (β = 600 MPa). 270

[xvi] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Figura 7.27- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, não considerando as tensões residuais instaladas (β = 600 MPa). 271 Figura 7.28- Diagramas de Dang-Van para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1): a vermelho- ciclo de Dang-Van não considerando as tensões residuais, a azul- ciclo de Dang-Van considerando as tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 273 Figura 7.29- Diagrama de Dang-Van para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) : a vermelho- ciclo de Dang-Van não considerando as tensões residuais, a azul- ciclo de Dang-Van considerando as tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 273 Figura 7.30- Histórico das tensões σx, σy, σz e τxz para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1), considerando ou não a inclusão das tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 274 Figura 7.31- Histórico das tensões σx, σy, σz e τxz para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2), considerando ou não a inclusão das tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 274 Figura 7.32- Rugosidade e campo de pressões e de tensões tangenciais misto para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 275 Figura 7.33- Rugosidade e campo de pressões e tensões tangenciais misto para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 276 Figura 7.34- Matriz que contém os valores de τ + αPhyd para cada uma das orientações do plano, para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 278 Figura 7.35- Matriz que contém os valores de τ + αPhyd para cada uma das orientações do plano, para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 278 Figura 7.36- Planos críticos no espaço, no plano XY e no plano XZ, para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa). 279 Figura 7.37- Planos críticos no espaço, no plano XY e no plano XZ, para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa) . 279 Figura A.1 – Representação esquemática de dois sólidos em contacto seco [301]. 319 Figura A.2 – Superfície do corpo 1 deformada e as pressões normais aplicadas [301]. 321

Índice [xvii]

Figura A.3 – Raios principais de curvatura e geometria não deformada do corpo 1 [301]. 322 Figura A.4 – A deformação dos corpos elásticos num contacto puramente normal [301]. 324 Figura B.1 – Variação da tensão de corte no filme lubrificante com o aumento da tensão limite [301]. 334 Figura C.1 – Equivalente térmico do contacto Hertziano idealizado com fluxo de calor e distribuição de temperaturas diferentes no filme lubrificante e nos sólidos. [301] 344 Figura C.2 – Contacto idealizado com espessura de filme lubrificante constante a separar os dois sólidos [301]. 348 Figura C.3 – Localização do plano de corte. [301] 351 Figura C.4 – Faixa central do contacto e fonte de calor genérica qj [301] 352

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1.1- Micro-deteriorações da superfície [124, 125]. 24 Tabela 1.2- Comparação Aço/ADI [115, 217, 248] 27 Tabela 1.3- Rugosidade dos flancos dos dentes de engrenagens em função do processo de fabrico [284]. 51 Tabela 2.1 – Valores dos pontos (Λ;fΛ) para as várias velocidades. 99 Tabela 2.2 –Valores dos parâmetros b e c em função da velocidade. 100

Tabela 2.3 – Valores de f(Λ) obtidos através da função 1

1cf

bΛ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

e valores de f(Λ)

obtidos 101

Tabela 4.1- Influência do coeficiente de atrito (µLIM) sobre o valor das tensões no interior da superfície S1. 165

[xviii] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

Tabela 5.1 – Técnicas para a determinação experimental de tensões residuais [210-214]. 176 Tabela 6.1 – Relação entre os parâmetros do critério e tensões limite de fadiga [26]. 209 Tabela 6.2 – Parâmetros de rugosidade para as três superfícies. 219 Tabela 7.1 – Propriedades dos materiais 234 Tabela 7.2 – Propriedades físicas e reológicas do lubrificante. 234 Tabela 7.3 – Condições de funcionamento 235 Tabela 7.4 – Parâmetros de rugosidade e valores de Λ e fΛ para as superfícies analisadas. 236 Tabela 7.5 – Tensões residuais antes e após os ensaios de fadiga de engrenagens. 238

NOMENCLATURA

a - semi-largura do contacto

ampi - amplitude da componente i do perfil de rugosidade

Ai - parâmetro adimensional (Ai=ampi/h0)

Aijkl(P,M) - tensor localização elástica

b1, b2 - larguras do contacto respectivamente à esquerda e à direita do ponto de referência

b, c - constantes da função de repartição de carga fΛ

C1, C2, C3 - constantes da função de repartição de carga f(Λ, Vt)

CS - factor auxiliar do parâmetro do lubrificante Lp (relativo à taxa de escorregamento)

E - módulo de Young

E’ - módulo de Young equivalente

Eij(M,t) - tensor das deformações macroscópico

fΛ - função de repartição de carga normal

fΛBarral - função de repartição de carga normal obtida por R. Barral

fΛCastro - função de repartição de carga normal obtida por Castro

fΛZhu - função de repartição de carga normal para contactos pontuais obtida por Zhu

Fn - força normal

FnEHD - componente da carga normal em contacto EHD (ou em filme completo)

FnLIM - componente da carga normal em contacto seco (ou limite)

Ft - força tangencial

Ft - força transmitida (= Fn)

FtEHD - componente da carga tangencial em contacto EHD (ou em filme completo)

FtLIM - componente da carga tangencial em contacto seco (ou limite)

[xx] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

gΛ - função de repartição da carga tangencial derivada de fΛ

G - módulo de corte transversal do lubrificante

G0 - valor de referência do módulo de corte transversal do lubrificante

G - parâmetro material

h - geometria deformada (eq. Reynolds)

h0 - espessura do filme lubrificante no centro do contacto

h0C - espessura corrigida do filme lubrificante no centro do contacto

hmin - espessura do filme lubrificante minima

hmr - espessura média do filme lubrificante contacto rugoso

h0r - espessura do filme lubrificante corrigida de um factor térmico e de rugosidade

H0 - geometria não deformada do contacto

HRDEF - geometria deformada rugosa do contacto

HRMIXDEF - geometria deformada rugosa do contacto (em regime misto de lubrificação)

K0 - condutibilidade térmica do lubrificante à temperatura do banho de óleo

- comprimento do contacto (contactos lineares)

i - comprimento de onda da componente i do perfil de rugosidade

L - parâmetro do lubrificante

Li - parâmetro adimensional (Li= i/b)

Lp - parâmetro do lubrificante

mx - número de pontos da discretização do contacto

M - binário aplicado

Ox, Oy, Oz - sistema de coordenadas cartezianas

Or, Oθ, Oz - sistema de coordenadas cilíndricas

p - campo de pressão genérico

pLIM - campo de pressão do contacto seco ou limite

p0 - pressão máxima de Hertz

p(s) - campo de pressão genérico no contacto

px - campo de pressão no contacto seco liso

pH - campo de pressão de Hertz no contacto

pEHDR - campo de pressão do contacto em filme completo (regime elastohidrodinâmico)

pMIX - campo de pressão do contacto misto

phyd - pressão hidrostática

phydmax- pressão hidrostática máxima

Nomenclatura [xxi]

phydmed - pressão hidrostática média

Q - ponto sobre o plano de contacto

q(s) - campo de tensão tangencial genérico no contacto

Ra - rugosidade média aritmética

Raeq - rugosidade média equivalente: eq

a a1 a 21R (R R )2

= +

Rq - rugosidade média quadrática (RMS)

RqC - rugosidade média Rms da superfície composta (ou equivalente) não deformada

Req - raio de curvatura equivalente: 1

x1 x2eq

x1 x2 x1 x2

R .R1 1RR R R R

−⎛ ⎞

= + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

Rx - raio de curvatura na direcção de rolamento (ou direcção Ox)

Ry - raio de curvatura na direcção Oy

R[σ, β, α] - risco de iniciação de fissuras de fadiga segundo o Critério de Dang-Van

RT - desvio pico-vale máximo

RZ - média das 5 partes iguais dodesvio pico-vale máximo

s - variável sobre a área de contacto

s - expoente da temperatura na equação de Roelands

S1- superfície de série

S2 - superfície rectificada

S3 - superfície super-rectificada

T0 - temperatura do banho de óleo

t- tempo

T - periodo

TR - tensão residual

Cu - diferença dos deslocamentos no centro do contacto (para x=0)

z1u , z2u - deslocamento normal (direcção Oz) da superfície 1 e 2 respectivamente

zu - soma dos deslocamentos das superfícies em contacto

U - parâmetro velocidade

U1, U2 - velocidades lineraes na direcção do rolamento das superfícies 1 e 2 respectivamente

UM - velocidade média: 1 2M

U UU2+

=

Ve - taxa de escorregamento

VR - velocidade de rolamento

VS - velocidade de escorregamento

V(M) - volume

[xxii] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

v - velocidade tangencial de referência

Vt - velocidade tangencial

W - carga específica: nFW =

W - factor carga

x - abcissa sobre o perfil de rugosidade, abcissa sobre o campo de pressão no contacto e

eixo coincidente com a direcção de rolamento

y - eixo perpendicular à direcção de rolamento no plano de contacto

z - eixo perpendicular ao plano de contacto

z - expoente da pressão na equação de Roelands

α - coeficiente genérico de variação com a pressão

α, αη - coeficiente de piezoviscosidade

α0 - coeficiente de piezoviscosidade à temperatura do banho de óleo

αG - valor de referência para o expoente da influência da pressão no módulo de corte do

lubrificante

αn - ângulo de pressão

ατ - valor de referência para o expoente da influência da pressão na tensão limite do

lubrificante

αwt - ângulo de pressão de funcionamento

αη*P - expoente da variação da viscosidade com a pressão e temperatura (expressão de

Roelands)

αΘ - expoente do parâmetro reológico genérico de variação com a pressão

α, β - parâmetros da recta de Dang-Van

β - coeficiente genérico de variação com a temperatura

βG - valor de referência para o expoente da influência da temperatura no módulo de corte

do lubrificante

β0 - coeficiente de termoviscosidade à temperatura do banho de óleo

βτ - valor de referência para o expoente da influência da temperatura na tensão limite do

lubrificante

βη - coeficiente de termoviscosidade

βp - coeficiente de expansão térmica

δ - aproximação global dos sólidos em contacto

δPx - variação do campo de pressão em contacto EHD rugoso relativamente ao campo de

pressão de Hertz

∆x - discretização da superfície em Ox, passo da medida de rugosidade, discretização dos

Nomenclatura [xxiii]

campos de pressão e de tensão de corte em Ox

∆a - declive médio do perfil

∆q - rms dos declives do perfil

ε - deformação

φi - fase da componente i do perfil de rugosidade

φT - factor de correcção térmica da espessura média do filme

φr - factor de correcção da espessura do filme devido à rugosidade

γ - expoente para os critérios baseados em PV

γe - deformação elástica

γ - velocidade de deformação do lubrificante

eγ - velocidade de deformação elástica

η - viscosidade dinâmica

ηaparente - viscosidade aparente

η0 - viscosidade dinâmica à temperatura do banho de óleo (ou de referência)

ηM - viscosidade dinâmica à temperatura de massa (TM)

λ - espessura específica do filme lubrificante (não corrigida): 0

C

hλ =

σ

λ - comprimento de onda

Λ - espessura específica do filme lubrificante: 0 T

C

h φΛ =

σ

ΛC - espessura específica crítica (probabilidade de avaria genérica de 5%)

Coeficiente de atrito:

µ - coeficiente de atrito local

µi - coeficiente de atrito médio no contcto

µ - coeficiente de atrito médio ao longo da linha de engrenamento

EHDR – em regime elastohidrodinâmico rugoso

* - resultante de carga parcial

MIX – em regime misto

LIM – em regime limite. LIMµ = LIMµ = LIMiµ

σ − tensão

σr − tensão de ruptura à tracção

σR , σRES − tensão residual

σRm

- microtensões residuais

σy - tensão de cedência

[xxiv] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

σij(P,M,t) - tensor tensões locais

[σpel] - campo de tensões elástico

[σpres] - campo de tensões residuais

Σij(M,t) - tensor tensões macroscópico

ν - coeficiente de poisson

ν0 - viscosidade cinemática do lubrificante à temperatura do banho de óleo

ρ0 - massa específica do lubrificante à temperatura do banho de óleo

τ - tensão de corte no lubrificante

τ - velocidade de aplicação da tensão de corte

τL - tensão limite do lubrificante

τL0 - valor de referência para a tensão limite do lubrificante

τRE - tensão de referência de Ree-Eyring MIXmaxτ - valor máximo da tensão de corte no interior do contacto em regime misto

MIXiτ - valor médio da tensão de corte no interior do contacto em regime misto

τEHDR - campo de tensão de corte do contacto elastohidrodinâmico rugoso (EHDR)

τLIM - campo de tensão de corte do contacto seco ou limite

τMIX - campo de tensão de corte do contacto em regime de lubrificação misto

τxz - tensão de corte ortogonal

τmax - tensão de corte máxima

τoct - tensão de corte octaédrica

ω - rotações da roda (= rotações do motor)

ϖx - função auxiliar de compatibilidade entre zona de alta pressão e zona de pressão nula

índices:

i:

superfícies 1 , 2 e 3

engrenagens: 1 para o pinhão e 2 para a roda

ponto da linha de engrenamento (n pontos)

componente da transformada de fourier

j - ponto do interior do contacto (mx pontos)

0 - valores de referência normalmente relativos à pressão atmosférica e à temperatura do

banho de óleo

Nomenclatura [xxv]

Abreviaturas:

HRC - dureza do material

EHD - elastohidrodinâmico

EHDR -elastohidrodinâmico rugoso

EHL - Lubrificação elastohidrodinâmica

FFT - transformada de Fourier

ADI - austempered ductile iron

MAX – máximo

MIN - mínimo

[xxvi] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

INTRODUÇÃO

As engrenagens são orgãos de máquinas largamente difundidos, aplicados nos mais variados

tipos de componentes, nomeadamente em transmissões mecânicas usadas em automóveis,

helicópteros e outras máquinas. O seu estudo envolve particularidades associadas quer à

própria geometria das engrenagens quer aos materiais, às suas características de resistência

mecânica e de desgaste superficial, bem como às condições de trabalho que lhe são impostas,

necessariamente contemplando as solicitações em serviço e a lubrificação praticada, aspectos

estes que, de uma forma geral, condicionam as condições de contacto entre os dentes das

engrenagens. O estudo destes fenómenos tem conduzido a desenvolvimentos em vários

domínios científicos e tecnológicos, tais como a lubrificação, os revestimentos de superfícies,

os tratamentos térmicos e mecânicos dos materiais e a sua própria concepção metalúrgica.

São vários os factores limitativos da vida útil de uma engrenagem, assumindo particular

destaque três tipos característicos de avarias de superfície: o desgaste excessivo, a gripagem e

a fadiga de contacto [124, 125, 217, 248, 330].

A fadiga dos flancos activos dos dentes de uma engrenagem traduz-se numa degradação

progressiva da geometria dos flancos, acompanhada de um aumento progressivo dos níveis de

vibração e ruído, que pode conduzir à ruína da engrenagem.

[2/366] Modelação do Micropitting nos Dentes de Engrenagens

São vários os parâmetros que influenciam o comportamento à fadiga de contacto: a geometria

e a micro-geometria das superfícies, o material, o lubrificante, as condições de

funcionamento, ... , e embora se trate de um tipo de degradação superficial muito corrente, os

métodos de previsão actuais ainda não conseguem traduzir a influência de todos estes

parâmetros.

É frequente distinguirem-se dois grandes tipos de avarias de fadiga de contacto. Uma,

normalmente associada à formação de escamas ou spalls, é considerada uma avaria de fadiga

profunda, essencialmente dependente das propriedades dos materiais, da pressão de contacto e

das tensões intaladas em profundidade, cuja iniciação se supõe ligada à existência de

inclusões no material (spalling). A segunda forma de avaria de fadiga de contacto está

associada à formação de micro-escamas ou micropits, é considerada uma avaria de fadiga

superficial, onde, para além das propriedades dos materiais e das pressões de contacto,

assumem uma particular influência vários outros parâmetros, tais como, a rugosidade

superficial, a espessura do filme lubrificante, as propriedades mecânicas das camadas

superficiais dos materiais tratados e até a cinemática local em termos de rolamento e

escorregamento. Este segundo tipo de avaria de fadiga de contacto, normalmente designada

por micropitting nas engrenagens, atinge apenas as camadas superficiais dos flancos activos

dos dentes, sendo fortemente dependente da interacção entre a rugosidade e a espessura do

filme lubrificante. A evolução do micropitting tende a conduzir as superfícies a um estado de

deterioração mais grave, usualmente designado por pitting.

O trabalho desenvolvido é dedicado à modelação da avaria de micropitting em engrenagens.

As leis e as boas práticas de concepção actualmente usadas pelos projectistas para prever a

vida à fadiga dos flancos activos de uma engrenagem são baseadas na teoria de “Lundberg e

Palmgren” [207, 258] desenvolvida nos anos quarenta, a qual prevê uma vida finita que

depende da máxima tensão de corte que ocorre no contacto, da profundidade a que actua essa

tensão, e do volume de material que a suporta. Esta teoria tem sofrido sucessivas melhorias ao

longo dos anos através da introdução de factores que pretendem representar a influência dos

vários parâmetros de funcionamento, como sucede com os modelos de Tallian, Ioannides-

Harris e Dang-Van [93-96].

Introdução [3/366]

Apesar disso, ainda são numerosas as discrepâncias entre a teoria e as aplicações correntes,

existindo uma ambiguidade notável entre os vários critérios de decisão, nomeadamente no

que respeita à aplicabilidade de muitos dos factores que condicionam os resultados. Este

aspecto tem importância em qualquer dos modelos de previsão de ocorrência de avarias em

engrenagens actualmente disponíveis, sobretudo aqueles que permitem antever as avarias que

são devidas aos mecanismos de fadiga de contacto.

Além deste aspecto, tem-se assistido ao aparecimento e desenvolvimento de várias

tecnologias, quer ao nível dos tratamentos superficiais dos dentes das engrenagens (térmicos,

de endurecimento, de revestimento, de implantação iónica, etc.) quer ao nível dos materiais e

dos lubrificantes, que introduzem variáveis que não são tidas em conta pelos modelos

tradicionais que prevêem a vida útil à fadiga de contacto destes componentes.

O diferencial entre a evolução dos processos tecnológicos e o aperfeiçoamento dos modelos

teóricos que avaliam a “performance” das engrenagens actuais impõe, cada vez mais, uma

actualização efectiva das teorias que caracterizam as condições tribológicas do contacto entre

dentes de engrenagens.

Neste trabalho desenvolveu-se uma modelação numérica do mecanismo de micropitting dos

flancos activos dos dentes de engrenagens, tendo como principal objectivo uma melhor

previsão da iniciação de fendas de fadiga na superfície e sub-superfície Hertzianas. Para tal

são analisados varios aspectos considerados muito relevantes na avaria de micropitting:

I. Contacto entre os dentes de uma engrenagem

Determinação das pressões normais e tangenciais em cada ponto da superfície de contacto

entre os flancos activos dos dentes da engrenagem, em função das condições de

funcionamento (binário aplicado, frequência de rotação, temperatura, ...), do comportamento

reológico do lubrificante e da rugosidade dos flancos. Tal implica a consideração de um

modelo de lubrificação em Regime de Filme Misto, em que as solicitações (normal e

tangencial) são suportadas, em simultâneo, pelo filme elastohidrodinâmico rugoso (Regime de

Filme Completo) e pela interacção directa entre os picos de rugosidade dos flancos (Regime

de Filme Limite).


II. Tensões instaladas na sub-camada Hertziana

Determinação do tensor das tensões, instalado em cada ponto da sub-camada hertziana, e ao

longo da linha de engrenamento, em função das pressões normais e tangenciais e das

propriedades elásticas do material da engrenagem. Inclusão do perfil de tensões residuais,

instaladas na superfície e sub-superfície Hertzianas, resultantes dos tratamentos térmicos

(carbonitruração, ...) e/ou mecânicos (shot-peening, ...) a que são submetidas as engrenagens.

Pode, ainda, ser relevante ter em consideração o eventual relaxamento das tensões residuais

provocado pelo trabalho mecânico e temperaturas a que estão submetidos os flancos durante

os vários milhares de ciclos de funcionamento da engrenagem.

III. Modelização dos critérios de fadiga acumulada e de inicialização de fissuras de fadiga

Determinação do dano acumulado na superfície e sub-superfície Hertzianas recorrendo a um

modelo de fadiga multiaxial, dada a complexidade do estado de tensão triaxial a que está

submetido o material na zona de contacto. Tal implica a modelação do critério de fadiga

acumulada de Dang-Van, considerando o tensor das tensões induzidas e o tensor das tensões

residuais e o seu eventual relaxamento durante o funcionamento da engrenagem, quer nos

flancos quer na sub-camada Hertziana, e também ao longo da linha de engrenamento, já que a

avaria de micropitting ocorre preferencialmente numa zona que se estende por alguns

milímetros abaixo do circulo primitivo do pinhão. Pode, também, ser importante conhecer

com precisão as propriedades mecânicas das camadas tratadas (térmica e/ou mecanicamente)

da superfície e sub-superfície Hertzianas, as quais têm uma influência significativa no dano

de fadiga acumulado e na vida útil dos flancos.

IV. Correlação com resultados experimentais

A correlação dos resultados da modelação com resultados experimentais de micropitting em

engrenagens ou discos, ainda que apenas qualitativa; é imprescindível para definir com rigor

os vários factores intervenientes no modelo, nomeadamente, o coeficiente de atrito limite, a

função de repartição de carga, os vários tipos de acabamento superficial dos flancos e as

propriedades mecânicas características das zonas tratadas dos flancos dos dentes da

engrenagem. Para tal, a probabilidade de iniciação de fendas de fadiga conducentes à avaria

de micropitting é correlacionada com a rugosidade dos flancos de 3 engrenagens rectificadas


por processos diferentes, com valores típicos do coeficiente de atrito limite e com valores

característicos das propriedades mecânicas das camadas superficiais carbonitruradas.

O modelo de micropitting arquitetado e desenvolvido procura responder a este conjunto de

requisitos com o objectivo de atingir uma previsão da iniciação de fendas de fadiga na

superfície e sub-superfície Hertzianas o mais correcta possível. O trabalho realizado para

atingir o objectivo enunciado é apresentado ao longo de sete capítulos, onde as várias etapas

do modelo de micropitting em engrenagens são detalhadas.

Dado que o objecto de estudo deste trabalho é a fadiga superficial (micropitting) dos flancos

activos dos dentes de engrenagens, e sendo esta uma das avarias de superfície mais frequentes

em engrenagens, a qual condiciona de forma decisiva a vida útil da mesma, o Capítulo 1 é

dedicado à caracterização dos vários tipos de avarias de fadiga de contacto e à sua iniciação e

propagação. Foi realizada uma sintese bibliográfica sobre os parâmetros que influenciam a

vida à fadiga de contacto/micropitting de uma engrenagem, nomeadamente, as condições de

funcionamento, os materiais usados e os processos de fabrico actuais, a lubrificação e a

geometria e micro-geometria das superfícies.

O Capítulo 2 apresenta a modelação da pressão de contacto normal em regime misto. A

rugosidade composta das superfícies dos flancos dos dentes em contacto é calculada a partir

da análise de Fourier da rugosidade de cada um dos flancos, guardando as amplitudes e os

comprimentos de onda mais significativas de cada superfície. O modelo de Ai e Cheng [2-4] é

usado para determinar do campo de pressões de um contacto elastohidrodinâmico rugoso em

regime de filme completo (Λ ≥ 2, limite inferior das pressões) e a teoria de Hertz é usada para

determinar o campo de pressões em contacto seco rugoso, o qual é considerado semelhante ao

campo de pressões em regime de filme limite (Λ → 0, limite superior das pressões). As

pressões de contacto em regime de filme misto são determinadas a partir dos casos limite

inferior e superior, recorrendo a uma função de repartição da carga. São apresentadas várias

funções de repartição da carga, sendo desenvolvida uma função dependente da espessura

específica do filme lubrificante, da velocidade tangencial da engrenagem e da probabilidade

de avaria determinada experimentalmente em ensaios de engrenagens.

No Capítulo 3 é desenvolvido um modelo de cálculo das pressões de contacto tangencias, ou

tensões de corte à superfície, em regime de filme misto. Inicialmente, as tensões de corte são


determinadas em regime de filme completo, recorrendo a um modelo de lubrificação

elastohidrodinâmico térmico e não-Newtoniano desenvolvido por Sottomayor [301], e em

regime limite, multiplicando directamente as pressões normais limite por um coeficiente de

atrito limite (Lei de Coulomb). À semelhança do que acontece no caso das pressões normais,

as tensões de corte em regime misto resultam da combinação das tensões de corte em regime

de filme completo e em regime limite, através de uma função de repartição da carga

tangencial, a qual depende da própria função de repartição da carga normal.

Uma vez calculado o campo de pressões, normais e tangenciais, é possivel determinar as

tensões provocadas por estas solicitações no maciço. O Capítulo 4 é, portanto, dedicado às

tensões no interior dos sólidos em contacto, sendo efectuada de uma forma sintética, a

descrição das várias etapas do algoritmo de cálculo das tensões no interior de um semi-espaço

elástico.

Todos os processos de fabrico de engrenagens introduzem tensões residuais que podem

conduzir tanto a uma redução como a um aumento significativo da resistência à fadiga de

contacto dos flancos dos dentes. A introdução voluntária dessas mesmas tensões residuais é

mesmo um dos meios mais eficazes para melhorar a resistência à fadiga de componentes e

estruturas. Assim, no Capítulo 5 é apresentada uma breve descrição destas tensões residuais, a

sua origem, classificação e relaxação e, ainda, a sua influência sobre os critérios de iniciação

de fissuras de fadiga.

No caso de uma solicitação de fadiga multiaxial, o critério de Dang-Van permite antever os

locais onde preferencialmente pode ocorrer a iniciação de fissuras de fadiga de contacto, as

quais estão na origem do micropitting. O Capítulo 6 é dedicado à modelação do critério de

Dang-Van para acções de contacto, para além de uma breve descrição de vários outros

critérios alternativos de fadiga multiaxial.

O Capítulo 7 e último, é dedicado à análise dos resultados da aplicação do modelo de

micropitting às superficies dos flancos dos dentes estudadas. É apresentada uma breve

descrição das condições de funcionamento e das superfícies estudadas. São calculadas as

pressões de contacto, normais e tangenciais, em regime misto, as quais são utilizadas na

determinação do campo de tensões no interior dos sólidos em contacto, tomando em

consideração as tensões residuais instaladas nos flancos dos dentes devidas aos tratamentos


térmicos e mecânicos sofridos pelas engrenagens. Conhecido o campo de tensões é aplicado

um critério de fadiga acumulada, neste caso o critério de Dang-Van, que permite avaliar a

probabilidade de iniciação de fissuras de fadiga. Essa probabilidade é relacionada com a

rugosidade de várias engrenagens rectificadas por 3 processos diferentes e com vários valores

do coeficiente de atrito limite e da tensão equivalente admitida pelo material.

Finalmente, são apresentadas as conclusões gerais do trabalho realizado e as principais linhas

de desenvolvimento futuro.

CAPÍTULO 1

AVARIA DE MICROPITTING EM ENGRENAGENS

1.1- Introdução

As avarias de fadiga de contacto ocorrem devido à propagação lenta de fissuras provocada

por tensões aplicadas ciclicamente à engrenagem.

A fadiga de contacto pode ocorrer na superfície ou em profundidade, e aparentemente trata-se

de uma avaria causada pela aplicação repetida de ciclos de tensão/deformação a um pequeno

volume de material, provocando a sua falha. Este dano por fadiga pode iniciar-se devido a um

defeito superfícial, uma inclusão, um carboneto, rugosidades ou indentação, ataque químico

pontual ou contaminação do lubrificante.

A vida útil de corpos rolantes submetidos a contactos hertzianos em regime de lubrificação

elastohidrodinâmica, é assim muitas vezes limitada pelo aparecimento à superfície de

pequenos defeitos provocados por fenómenos de fadiga de contacto. A fadiga dos flancos

activos dos dentes de engrenagens traduz-se numa degradação progressiva da geometria dos

flancos, acompanhada de um aumento progressivo dos níveis de vibração e ruído, que pode

conduzir à ruína da engrenagem.

São inúmeros os parâmetros que influenciam o comportamento à fadiga nos contactos

elastohidrodinâmicos: geometria e micro-geometria das superfícies, características dos

materiais, lubrificantes, condições de funcionamento, entre outros, e embora se trate de um


tipo de degradação superficial muito corrente, os métodos de previsão actuais ainda não

conseguem traduzir a influência de todos estes parâmetros.

O presente capítulo constitui uma resenha bibliográfica sobre a caracterização das avarias de

micropitting em engrenagens e respectivos parâmetros que influenciam a vida à fadiga de

contacto de uma engrenagem.

1.2- Caracterização das avarias de micropitting em

engrenagens

As avarias de micropitting em engrenagens são devidas a mecanismos de fadiga de contacto e

à consequente propagação lenta de micro-fissuras nos flancos activos dos dentes em resultado

das tensões aplicadas ciclicamente à engrenagem. Para que ocorra a propagação de fissuras é

necessário que o valor das tensões aplicadas seja superior a um determinado valor

intrinsecamente ligado às propriedades mecânicas do material, nomeadamente à sua tensão de

rotura. No entanto, a existência de defeitos ou inclusões no seio do material são factores

concentradores de tensão capazes de favorecer a propagação das fissuras mesmo quando a

carga aplicada ao dentado da engrenagem tenderia a induzir tensões internas relativamente

baixas.

A fadiga de contacto conduz ao aparecimento de micropits, pits ou spalls (micro-escamas ou

escamas) nas superfícies dos sólidos em contacto elastohidrodinâmico, em especial nas zonas

submetidas a escorregamentos e cargas moderadas. Este tipo de avarias caracterizam-se por

períodos de incubação bastante longos, da ordem dos milhões ou mesmo das dezenas de

milhões de ciclos e correlacionam-se directamente com os valores da rugosidade, sobretudo

no caso do micropitting. Se a carga e/ou o escorregamento forem elevados podem surgir

outros tipos de avarias, nomeadamente gripagem ou desgaste excessivo, antes que estejam

reunidas as condições para que ocorra a fadiga de contacto.

Capítulo 1- Avaria de Micropitting em Engrenagens [11/366]

1.2.1- Fadiga de Contacto

A fadiga de contacto ocorre entre duas superfícies que contactam entre si e estão animadas de

movimento relativo com transferência de carga. O movimento relativo das superfícies pode

ser de simples rolamento ou de rolamento e escorregamento combinados (situação mais

desfavorável). Este mecanismo de avaria também se designa por fadiga de rolamento (rolling

contact fatigue) ou por fadiga superficial (surface fatigue).

A fadiga de contacto em rolamento e escorregamento combinados pode afectar o desempenho

de numerosos mecanismos, tais como engrenagens, rolamentos de rolos e de esferas, rodas e

carris das vias férreas, cames etc. Desde o trabalho pioneiro de Way [326], vários

investigadores têm estudado o assunto sob diferentes pontos de vista. Nenhuma teoria

conclusiva foi no entanto estabelecida, dada a complexidade do fenómeno que é afectado por

factores como as tensões de contacto [207, 228], a espessura específica do filme lubrificante

[97, 202], a topografia das superfícies e as interacções entre picos de rugosidade [174, 327,

343], as tensões residuais [84, 164, 241, 254], as tensões superficiais de tracção [297] e as

impurezas e não homogeneidade dos materiais [297].

A análise da literatura sobre o fenómeno da fadiga de contacto, permite verificar que não

existe uma terminologia ou nomenclatura bem definida ou uniforme sobre o assunto, podendo

os termos usados variar de acordo com as preferências de cada autor e com o domínio de

aplicação industrial considerado. Os termos micropicagem (frosting, micropitting), picagem

(pitting) e escamação (spalling) são usados por alguns autores [7, 91, 264, 323, 330] para

designar diferentes graus da degradação por fadiga de contacto. Neste texto o termo

micropitting será utilizado para designar o processo de degradação por fadiga de contacto à

escala dos picos de rugosidade, isto é, à escala microscópica e com origem superficial,

distinguindo-se do termo spalling que consiste na fadiga de contacto Hertziana à escala

macroscópica e de origem sub-superficial.

O micropitting é um processo de degradação superficial, consistindo na formação de

pequenos micropits ou micro-escamas pouco profundos ( 10 µm a 20 µm) na superfície de

contacto, com diâmetros individuais que em geral não ultrapassam os 100 µm, como se

mostra na Figura 1.1. O spalling é uma forma de degradação por fadiga de contacto mais


extensa, que se distingue do micropitting pela suas maiores dimensões à superfície e em

profundidade, envolvendo a criação de spalls ou crateras com diâmetros que podem atingir

vários milímetros e com profundidades que podem variar entre os 100 µm e alguns

milímetros, como se mostra na Figura 1.2. O pitting pode resultar do desenvolvimento ou

agravamento da avaria de micropitting, originando escamas de maiores dimensões, devido à

continuação em funcionamento do contacto.

A fadiga de contacto origina diversas formas de deterioração da superfície, e as fissuras de

fadiga podem ter origem na própria superfície ou no interior do material, usualmente à

profundidade onde ocorrem as tensões de corte máximas. A fadiga de contacto é, assim, a

responsável pelo aparecimento do microppiting, pitting, do spalling e de outras formas de

destruição das superfícies (ver Figuras 1.1 e 1.2).

Figura 1.1 - Detalhe da superfície de um dente de uma engrenagem do tipo FZG-C em ADI austemperado

a 260ºC que foi afectada por pitting na zona do primitivo de funcionamento (Pmax Hertz no primitivo = 1.4 GPa ) [125].


Figura 1.2 - Vista da superfície de trabalho de uma engrenagem FZG-A de ADI austemperada a 280ºC,

onde foi gerada uma cratera através de um processo de spalling associado a um defeito

sub-superficial [125].

A fadiga de contacto resulta da aplicação de tensões cíclicas sobre a superfície e a sub-

superfície dos flancos activos dos dentes das engrenagens. As modificações progressivas do

estado de tensão/deformação do material ocorrem de cada vez que é excedido o valor limite

de endurance das tensões que o material pode suportar [125]. Como em todos os fenómenos

de fadiga, este tipo de deterioração caracteriza-se por periodos de incubação bastante longos,

da ordem das dezenas de milhões de ciclos, não ocorrendo nunca de forma instantânea.

Ao contrário dos fenómenos de desgaste, este tipo de avaria ocorre em engrenagens bem

lubrificadas (com óleo ou massa). O aspecto dos dentes e a evolução do processo dependem

sobretudo do estado superficial dos flancos activos dos dentes, dos tratamentos térmicos

impostos à engrenagem (e, consequentemente, da espessura da camada superficial

endurecida) e da geometria dos perfis em contacto (que impôem diferentes valores das taxas

de escorregamento e das pressões máximas no contacto).

Segundo R. A. Harding [91, 125, 356], existem actualmente dois mecanismos para explicar

concretamente como se inícia a avaria de fadiga de contacto, o primeiro em que a iniciação de

fissuras ocorre à superfície e deve-se ou a tensões tangenciais provocadas por efeito do atrito

ou à grande concentração de tensões que se verifica localizadamente em zonas das superfícies

contendo rugosidades, e o segundo em que as fissuras têm origem imediatamente abaixo da


superfície, na zona onde ocorre a máxima tensão de corte e na presença de defeitos do

material (inclusões, etc..), mecanismo explicado pela teoria do contacto de Hertz e que se

quantifica, por exemplo, na análise do carregamento elástico de dois cilindros em contacto.

Em ambos os mecanismos os defeitos localizados (inclusões, rugosidades, etc.) actuam como

elementos concentradores de tensões, que na presença do campo de tensões resultantes do

contacto em regime misto de lubrificação geram as condições necessárias para que a iniciação

de fissuras se processe de forma mais rápida.

Alguns autores [7, 91, 264, 323, 330] consideram que o óleo lubrificante se introduz nestas

fissuras e, durante a passagem dessa zona pelo contacto, esse óleo é fortemente comprimido

no seu interior, provocando a sua propagação.

A fadiga de contacto envolve a consideração de múltiplos parâmetros mecânicos associados

aos sólidos em contacto e ao lubrificante (rugosidade, propriedades elásticas dos materiais,

carga, velocidade, escorregamento, viscosidade , espessura de filme, ...), químicos (natureza

dos óleos, aditivos,...) e metalúrgicos (tratamentos térmicos, inclusões, distribuição e

densidade de defeitos,...). Todo este processo contribui para que a vida à fadiga de um

componente seja aleatória. E por esta e outras razões é difícil não abordar a fadiga de forma

estatística.

1.2.1.1- O mecanismo de fadiga de contacto em engrenagens

O pitting e o spalling originados por fadiga de contacto, são geralmente atribuídos à passagem

repetida de um campo de tensões Hertzianas através do mesmo volume de material,

principalmente em condições de rolamento com escorregamento moderado, para as quais

outros tipos de deterioração concorrentes (gripagem, desgaste excessivo) têm menor

probabilidade de ocorrer.

Analise-se o movimento relativo de dois dentes de engrenagem em contacto [160, 316]. Na

roda mandante o engrenamento inicia-se no pé e termina na cabeça do dente, enquanto que na

roda mandada ele processa-se em sentido contrário. O sentido de rolamento é dado pelo


sentido da progressão do contacto, sendo o mesmo para todas as posições sobre um mesmo

dente. Pelo contrário, o deslizamento apresenta sentidos opostos consoante o ponto de

contacto se encontra acima ou abaixo do diâmetro primitivo de funcionamento. Sobre a roda

mandada o sentido da velocidade de deslizamento aponta sempre para o primitivo, enquanto

sobre a roda mandante ela apresenta o sentido inverso. A sua intensidade é nula sobre o

primitivo, aumentando com a distância ao primitivo.

Na Figura 1.3 representam-se esquematicamente dois flancos dos dentes em contacto, no

início, sobre o primitivo e no fim do engrenamento. Verifica-se que a situação de

deslizamento negativo ocorre sempre na zona entre o pé do dente e o diâmetro primitivo,

tanto para a roda mandante, como para a roda mandada [67, 158, 160, 316]. Os resultados

experimentais mostram que esta é a situação mais favorável ao aparecimento e

desenvolvimento da deterioração superficial, sendo predominantes nessas zonas as avarias de

fadiga de contacto. Os sentidos das velocidades de rolamento e de escorregamento são

diferentes na roda mandante e na roda mandada, o que influencia a orientação predominante

das fissuras superficiais nos flancos dos dentes dos dois componentes. Na zona abaixo do

primitivo as fissuras orientam-se preferencialmente na direcção da cabeça do dente sobre a

roda mandante e na direcção do pé do dente sobre a roda mandada, como se representa

esquematicamente na Figura 1.4. Para materiais de resistência comparável a deterioração

atinge com maior frequência o pinhão mandante, devido ao seu menor número de dentes e,

consequentemente, maior número de contactos relativamente à roda.

Figura 1.3 - Sentido da velocidade de rolamento VR e da velocidade de escorregamento VS sobre o flanco

de dois dentes de engrenagem: (a) no início do engrenamento, (b) sobre o primitivo onde

VS=0 e (c) no fim do engrenamento. Na situação intermédia representam-se também as

orientações preferenciais das fissuras de fadiga de contacto [316].


Figura 1.4 - Orientação das fissuras superfíciais nos dentes de uma engrenagem [125].

Pitting

Quando as tensões de contacto se desenvolvem junto à superfície, o primeiro estágio de

deterioração consiste frequentemente no aparecimento de pitting de pequenas dimensões (10

a 20 µm de profundidade) como se mostra na Figura 1.5. Estes pits estão relacionadas com a

propagação de micro-fissuras da superfície para o interior do dente, com uma orientação que

depende do sentido da velocidade de escorregamento entre os dentes da engrenagem.

Figura 1.5 - Desenvolvimento de um micropit no caso de uma iniciação na superfície [339].


Figura 1.6 - Mecanismo de propagação das fissuras superfíciais por acção do óleo lubrificante [125].

Estes pits não se formam na ausência de um filme lubrificante. De facto, a retenção de óleo no

interior de uma dada microfissura tende a causar a sua propagação quando submetida a alta

pressão durante os instantes em que o contacto ocorre sobre a zona fissurada. Essa pressão é

imposta ao fundo da cavidade da fissura original e cessa com a ejecção do óleo no final do

período de contacto. A repetição sucessiva deste processo faz com que o metal entre a fissura

e a superfície seja progressivamente eliminado, dando origem ao pitting. Na Figura 1.6 está

esquematizado o mecanismo de propagação das fissuras superfíciais, devido à compressão do

lubrificante no interior da fissura.

O pitting desenvolve-se à superfície e ocorre para carregamentos muito elevados próximos de

2 GPa, podendo, no entanto surgir também em contactos pouco carregados [31, 32]. O

aparecimento de pitting pode ser devido à interacção entre rugosidades, para o qual

contribuem a

• espessura de filme lubrificante insuficiente,

• excessiva rugosidade das superfícies,

• existência de partículas de grandes dimensões no lubrificante.

Este fenómeno também é possível que suceda por efeito da evolução em profundidade do

micropitting e as suas crateras, formadas de forma semelhante às crateras do micropitting,

distinguem-se destas últimas por apresentarem tamanhos e profundidades nitidamente

superiores (diâmetros entre 0.3 e 2 mm e profundidades geralmente superiores a 0.1 mm).


Spalling

Um outro tipo de fissuras tende a desenvolver-se na camada sub-superficial onde ocorrem os

valores máximos da tensão de corte. Estas propagam-se paralelamente à superfície e, quando

atingem dimensões consideráveis, podem fazer com que o material acima da fissura se liberte

da superfície provocando uma cratera de bordos vivos, diferente das criadas por efeito da

retenção do óleo [125]. Um tal desenvolvimento está representado na Figura 1.7.

Figura 1.7 - Propagação das fissuras no caso de uma iniciação profunda [125].

Estas fissuras têm frequentemente origem em inclusões não metálicas e ocorrem nas zonas de

rolamento com pequeno escorregamento,isto é, zonas onde a carga é normalmente suportada

por um só dente (o que provoca pressões de contacto maiores e consequentemente maiores

tensões de corte no interior do contacto) e zonas em que a máxima tensão de corte ocorre em

profundidade e atinge valores consideráveis, e onde não há condições para a iniciação

superfícial.

Os aços que sofreram tratamentos de endurecimento superficial podem ver arrancadas

grandes porções de material da superfície, sobretudo quando a espessura da zona endurecida é

inferior à profundidade a que ocorrem as máximas tensões de corte geradas pelo contacto

Hertziano. Esta é uma forma de degradação grave das superfícies.

Assim, podem distinguir-se os seguintes dois tipos de avarias de fadiga de contacto [91, 125,

356]:


• pitting que se inícia a partir da superfície, originando deteriorações da superfície

de pequena profundidade ou pits; que se desenvolvem na sua superfície -

deteriorações profundas;

• spalling que se inícia em profundidade a partir de defeitos do material originando

deteriorações de grande profundidade designadas por spalls.

Micropitting

Os micropits (crateras superficiais microscópicas) ocorrem nos flancos dos dentes da

engrenagem, desenvolvem-se a partir da superfície, podendo apresentar tamanhos diversos. O

aparecimento deste tipo de falha resulta da conjugação de vários factores, nomeadamente, as

rugosidades superficiais, as pressões de contacto locais e o tipo de material e os tratamentos

térmicos que sofreu (que condicionam a dureza superficial).

O micropitting é uma forma particular de pitting, caracterizada pelo tamanho microscópico

das crateras superficiais ( 10 a 25 µm de extensão e 10 a 20 µm de profundidade). Esta forma

de pitting é característica das engrenagens endurecidas superficialmente e rectificadas. Ocorre

nas zonas mais carregadas dos flancos dos dentes e tende a propagar-se por mecanismos de

fadiga, conduzindo à formação e libertação de pequenas escamas superfíciais de material. As

zonas afectadas adquirem um aspecto baço acinzentado e revelam o desaparecimento de

vestígios das marcas de rectificação [7, 125, 330, 356].

Este fenómeno também se manifesta pelo aparecimento de manchas cinzentas localizadas em

apenas algumas zonas dos flancos activos dos dentes, nos casos em que as pressões de

contacto são relativamente baixas. Tal deve-se ao facto de apenas ocorrerem sobrecargas nas

zonas mais salientes dos flancos de trabalho.

As micro-crateras distribuem-se de forma generalizada quando se impõem pressões de

contacto elevadas nos flancos dos dentes. Quando as pressões de contacto são excessivas, a

influência do lubrificante não é capaz, por si só, de impedir o desenvolvimento deste

fenómeno. Embora este mecanismo de desgaste não seja, em geral, destrutivo, pode ocasionar


problemas dinâmicos sensíveis no funcionamento de engrenagens de alta velocidade,

assistindo-se a um desgaste progressivo do perfil dos dentes na zona imediatamente abaixo

do primitivo. A evolução do micropitting tende a conduzir as superfícies a um estado de

deterioração mais grave, usualmente designado por pitting.

Distinguem-se, assim, duas variantes características de micropitting [124, 125]:

- As micro-crateras apresentam uma distribuição regular em banda entre o primitivo e

o pé do dente, e surgem apenas após um certo tempo de funcionamento da

engrenagem. São devidas à imposição de valores excessivos da pressão superficial,

podendo ser evitadas diminuindo a carga imposta, ou minimizadas através do

aumento da espessura do filme lubrificante ou da diminuição da rugosidade dos

flancos.

- As manchas cinzentas localizadas de forma aleatória, sobretudo nas zonas dos

flancos onde a carga é mais elevada, devem-se a uma lubrificação deficiente,

resultante de uma espessura de filme demasiado pequena ou de uma rugosidade

superficial elevada.

A selecção de um lubrificante contendo aditivos de extrema-pressão (EP) e um aumento da

espessura do filme lubrificante permitem atenuar gradualmente este fenómeno fazendo-o

desaparecer lentamente durante o funcionamento.

Para designar este tipo de deterioração encontram-se por vezes na literatura anglo-saxónica os

seguintes termos: micropitting, frosting, gray stainning, micro-spalling.

No caso do frosting ou gray staining a deterioração apresenta-se sob o aspecto de manchas

cinzentas ou difusas (taches grises), contrastando com a superfície polida do metal e

repartindo-se de modo bastante irregular sobre a superfície de contacto. Essas manchas

aparecem sobre as zonas mais solicitadas, sendo o seu desenvolvimento bastante influenciado

pelos erros de geometria dos perfis e pelas características do lubrificante onde a acção

amortecedora será limitada em presença dos pequenos excessos de matéria, devido às ligeiras

imperfeições de fabrico. A evolução deste tipo de degradação pode ser interrompida através

do aumento da espessura do filme lubrificante, que vai permitir uma melhor repartição da


pressão de contacto e a consequente diminuição dos seus valores máximos. No caso particular

das engrenagens este tipo de degradação pode não se generalizar a todos os dentes.

No caso do micropitting a deterioração apresenta-se também sob a forma de manchas

cinzentas ou difusas (taches grises), mas que são agora muito mais densas. Este fenómeno

apresenta em geral uma evolução progressiva, conduzindo à formação permanente de

pequenas escamas. No caso das engrenagens este tipo de degradação dispõe-se regularmente

sobre todos os dentes, afectando parte do flanco activo abaixo do diâmetro primitivo e

terminando bruscamente no ponto mais baixo de engrenamento [111].

Logo, uma das diferenças entre frosting e o micropitting (ou micro-escamas) reside na

densidade das picadas, que é essencialmente função da pressão superficial suportada. No caso

do frosting essa pressão é relativamente mais baixa, o que explica que este tipo de

deterioração se desenvolva apenas nas zonas em que haja excesso de matéria e que possa ser

eliminado aumentando a viscosidade do lubrificante. No caso do micropitting a pressão

superficial é bastante mais elevada, o que explica a distribuição mais regular da deterioração,

menos sensível aos erros geométricos e à influência do lubrificante. Segundo Faure [124,

125], o lubrificante influencia a rapidez de desenvolvimento do micropitting e a sua evolução,

assim como o aspecto das "taches grises", mas não evita o desenvolvimento da

microescamação. Este tipo de deterioração desenvolve-se em camadas cuja espessura não

ultrapassa em geral os 20 µm, não evoluindo necessariamente para uma escamação mais

profunda.

A Figura 1.8 representa a evolução possível de uma micro-escama (micropit) que após ter

sido iniciada a uma profundidade de 20 µm se propaga para o interior do material até atingir

uma profundidade de 150 µm.


Figura 1.8 - Evolução possível a partir de um micropit na superfície (x 400) [111].

Segundo Tallian [125, 307, 310], o processo de formação dos micropits pode dividir-se em

três etapas sucessivas, envolvendo a formação de (i) áreas lustrosas (glazed) na superfície de

contacto, (ii) micro-fissuras à escala dos picos da rugosidade, e (iii) micro-escamas à escala

das asperezas da rugosidade. Quando duas superfícies são predominantemente solicitadas em

contacto de rolamento com lubrificação, os correspondentes picos da rugosidade aproximam-

se uns dos outros numa direcção próxima da normal à superfície. Para os contactos entre

picos das rugosidades nos quais a variação da tensão de corte excede um determinado limite,

dependente das características do material, dá-se início ao seguinte processo:

i) Dois tipos de deformação plástica (monótona e alternada) têm lugar ao nível dos

picos de rugosidade. A deformação plástica monótona ocorre no início da

solicitação cíclica, levando ao alisamento dos picos de rugosidade e dando à

superfície um aspecto progressivamente mais lustroso. O material da superfície e da

sub-superfície encontra-se agora bastante encruado, Por sua vez, a deformação

plástica alternada origina modificações estruturais à escala dos picos de rugosidade,

qualitativamente semelhantes às originadas pelas tensões Hertzianas à escala

macroscópica.

ii) Com a continuação da solicitação, a microplastificação cíclica vai originar uma

deterioração progressiva do material da superfície e da sub-superfície, levando à

formação de micro-fissuras. Estas tendem a progredir paralelamente à superfície, a

profundidades comparáveis às das tensões de corte máximas devidas aos contactos

entre rugosidades, podendo ou não atingir a superfície.


iii) À medida que as micro-fissuras crescem em tamanho e em número, a superfície vai

sendo minada à escala dos picos de rugosidade, dando origem à formação de

numerosos micropits.

As duas variáveis dominantes com influência sobre este fenómeno são a espessura específica

do filme lubrificante e a microgeometria da superfície (amplitude e curvatura dos picos de

rugosidade). Para espessuras específicas do filme lubrificante suficientemente elevadas não se

observa o aparecimento de micropitting, uma vez que o filme lubrificante evita o

desenvolvimento de microtensões de contacto elevadas na interacção entre os picos de

rugosidade. Para valores de espessura específica superiores a 2, não ocorrerá micropitting

generalizado da superfície de contacto, uma vez que estatisticamente as sobretensões locais

devidas à rugosidade são desprezáveis. Pode, no entanto, ocorrer micropitting localizado nas

zonas onde a rugosidade seja elevada, relativamente à média da superfície, ou nas zonas em

que haja uma diminuição localizada da espessura do filme lubrificante, originada, por

exemplo, por um defeito superficial [91, 124, 125, 356].

Após formados, os micropits podem desaparecer, estacionar ou evoluir para outras formas de

deterioração, podendo promover a iniciação de pitting na ausência de defeitos superficiais

pré-existentes. A rapidez com que o micropitting pode evoluir para o pitting varia bastante,

sendo o factor mais influente a existência de tensões tangenciais de tracção nas superfícies em

contacto. Se essas tensões forem elevadas, o que pode resultar de velocidades de

escorregamento importantes, de uma espessura de filme lubrificante pequena relativamente à

rugosidade, ou de uma lubrificação em regime limite pouco eficiente, o pitting pode

desenvolver-se a partir do micropitting e levar rapidamente à ruína dos flancos dos dentes.

Observa-se, no entanto, que a abundante micro-fissuração que caracteriza o estado avançado

de micropitting, não dá necessariamente origem a um pitting tão importante como seria de

esperar, se todas as micro-fissuras se propagassem de modo a formar fissuras macroscópicas e

os correspondentes pits. Vários autores [34, 307, 308] explicam este facto pela dificuldade de

propagação da micro-fissuração em profundidade, devido à existência entre a zona de micro-

fissuração e a zona de tensões de corte máximas, de uma região com tensões de corte

insuficientes para induzir a propagação das micro-fissuras (quiescent zone). Este será o caso

quando as tensões tangenciais na superfície de contacto forem pequenas.


No caso de não se dar o aparecimento posterior dos pits, o micropitting pode dar origem ao

desgaste da superfície, gerando muitas pequenas partículas (delamination wear). Este tipo de

dano tende a aparecer com uma certa periodicidade: depois da superfície inicial ter sido

removida, a superfície torna-se lisa e polida durante algum tempo, e o processo repete-se,

levando à perda das tolerâncias dimensionais e à consequente ruína do flanco do dente.

A avaria de micropitting parece estar intimamemte relacionada com a espessura específica do

filme lubrificante Λ.

A Tabela 1.1 resume os diferentes tipos de dano que é possivel encontrar nos flancos activos

dos dentes de engrenagens, assim como alguns conselhos de ordem prática.

Tabela 1.1- Micro-deteriorações da superfície [124, 125].

Micro-deteriorações da superfície (Engrenagens tratadas superficialmente)

- Frosting

- Gray staining Micropitting

Dimensões e aspecto

Abundância de micropits de 10 a 25 µm de extensão e de 10 a 20 µm de profundidade.

Localização e extensão

- Localização e extensão irregular. - Zonas onde a carga é mais elevada. - Zonas onde existe excesso de matéria. - Podem aparecer muito cedo na vida de

uma engrenagem.

- Distribuição regular ao longo da largura do dente na zona compreendida entre os círculos de deddendum e o primitivo.

- Só aparece ao fim de um certo tempo de funcionamento.

Causas possíveis - Filme lubrificante reduzido. - Rugosidade muito importante.

- Pressão de contacto muito elevada.

Remédios possíveis em serviço

- Aumento da espessura do filme lubrificante e a melhoria das propriedades do óleo deverá conduzir à estabilização destas degradações que se atenuam lentamente à medida que se desenvolve o desgaste sobre o flanco dos dentes.

- Aumento da espessura do filme lubrificante e das propriedades do óleo conduzirá a uma atenuação do fenómeno que continuará a progredir.

- Diminuição da carga parará a evolução do micropitting.

Consequências

possíveis sobre o componente em

serviço

- Ligeiro aumento do ruído que se atenuará ao longo do tempo no caso de estabilização do fenómeno.

- Risco reduzido de evolução para pits profundos.

- Aumento do ruído e das vibrações à medida que ocorre o desenvolvimento em profundidade do micropitting.

- Risco de formação de pits mais importantes na zona afectada se os micropits se desenvolverem em número e em profundidade.


1.3- Parâmetros que influenciam o micropitting de uma

engrenagem

A experiência mostra que a fadiga de contacto em engrenagens lubrificadas em regime EHD

depende de múltiplos factores que influenciam a ocorrência deste tipo de dano: a rugosidade

superficial, o lubrificante através das suas características físico-químicas, a temperatura, a

poluição do lubrificante, o tipo de material e o seu grau de refinamento, a profundidade de

endurecimento superficial e o tipo de tratamento térmico utilizado, as tensões residuais

instaladas, a geometria do perfil dos dentes, as velocidades de rolamento e a taxa de

escorregamento, o binário transmitido, o campo de tensões resultante no interior dos sólidos

devido ao contacto EHD entre os flancos dos dentes, ...

Por outras palavras, a fadiga envolve a consideração de múltiplos parâmetros mecânicos

associados aos sólidos em contacto e ao lubrificante (rugosidade, propriedades elásticas dos

materiais, carga, velocidade, escorregamento, viscosidade, espessura de filme, ...), químicos

(natureza dos óleos, aditivos,...) e metalúrgicos (tratamentos térmicos, inclusões, distribuição

e densidade de defeitos,...). Em termos genéricos, as causas de fadiga de contacto estão

associadas às características dos materiais, lubrificação, condições de funcionamento e à

micro-geometria das superfícies, estando todas elas interligadas.

1.3.1- Influência das características dos materiais

Em termos genéricos, os materiais usados na fabricação das engrenagens devem ser de

elevada qualidade e pureza, isto é, as inclusões metalúrgicas devem estar reduzidas ao

mínimo possível já que eliminá-las completamente é difícil e dispendioso.

Como se sabe, todos os materiais têm defeitos, sendo particularmente importantes as

deslocações. As deslocações são defeitos lineares dos cristais que, quando ocorre deformação

plástica, crescem em quantidade de forma significativa. Sob acção de tensões de corte,

quando as deslocações ao escorregarem encontram um obstáculo, como por exemplo uma


inclusão, são forçadas a juntarem-se umas às outras, dando origem a uma fissura por baixo

dos respectivos hemiplanos atómicos. São as chamadas fissuras provocadas pelo

empilhamento de deslocações.

Na proximidade das inclusões, o campo de tensões instalado sofrerá o efeito de concentração

de tensões, criando-se assim zonas que favorecem a iniciação rápida de fissuras.

1.3.1.1- Materiais para engrenagens

A maior parte das engrenagens da actualidade são fabricadas em aço. Os semi-produtos

laminados e forjados de aço foram a matéria prima utilizada generalizadamente, até à década

de 70, no fabrico de engrenagens. Nesta data apareceram incursões do ferro nodular

austemperado (ADI - Austempered Ductile Iron) neste monopólio, sendo hoje em dia

reconhecido, por importantes empresas do ramo automóvel, que a substituição do aço por

ADI permite ganhos significativos nos custos finais de produção de engrenagens com

melhoria simultânea do desempenho em serviço real.

O ferro nodular austemperado é um material com algum interesse para o fabrico de

engrenagens. A sua excelente capacidade de resistência ao desgaste superficial, aliada ao

menor peso específico, à sua capacidade de amortecimento de vibrações e aos baixos custos

de produção são factores importantes na promoção do desenvolvimento deste tipo de material.

À semelhança dos aços, a resistência mecânica de um ADI depende largamente da qualidade

do próprio material base, neste caso o ferro fundido nodular. Apesar das diferenças existentes

entre os processos de fabrico destes materiais, nomeadamente os diferentes tratamentos

térmicos praticados, encontram-se muitos pontos comuns no que diz respeito às condições

que interferem no bom desempenho das engrenagens neles fabricadas.

Na Tabela 1.2 apresentam-se as principais vantagens relativas do aço e do ADI.


Tabela 1.2- Comparação Aço/ADI [115, 217, 248]

Pontos fortes do ADI em relação ao Aço Pontos fracos do ADI em relação ao Aço

• Permite o fabrico de componentes em dimensões muito

próximas das finais, tendo em conta que o subsequente

tratamento de austêmpera não impõe deformações

geométricas sensíveis à peça vazada. Este aspecto

representa uma economia muito importante no cômputo das

despesas associadas ao fabrico de engrenagens;

• Os diferentes passos de produção do ADI envolvem custos

inferiores aos da produção de aço de resistência mecânica

equivalente: o material de base é mais barato, os

tratamentos térmicos necessários envolvem custos menores

e equipamentos mais simples que aqueles usualmente

praticados em aços ligados de alta resistência e o número

de operações de fabrico é substancialmente reduzido;

• A grande capacidade de amortecimento de vibrações do

ADI e o seu baixo peso específico permitem o fabrico de

rodas dentadas mais leves e silenciosas que as rodas

convencionais em aço;

• A excelente resistência do ADI ao desgaste superficial e à

gripagem permitem assegurar maior fiabilidade dos

componentes em caso de falha momentânea de

lubrificação, favorecendo a utilização deste material em

aplicações críticas ou sujeitas a trabalho em condições

deficientes;

• As engrenagens ADI funcionam bem com óleos não

aditivados, o que permite dispensar a utilização de

elementos químicos potencialmente perigosos para o

ambiente (como são a maioria dos constituintes dos

aditivos EP); para além disso, a possibilidade de utilizar

óleos simples representa também uma economia de custos

sensível e permite a utilização destas engrenagens com uma

maior variedade de produtos disponíveis no mercado.

• Após o tratamento de austêmpera o ADI é um

material de maquinabilidade mais díficil do que o

aço tradicional usado em engrenagens. Deste modo,

só é viável de proceder a operações de maquinagem

utilizando ferramentas revestidas por CVD, PVD, ou

outros revestimentos duros especiais ou ainda

utilizando ferrramentas cerâmicas;

• O material, quando solicitado mecanicamente, isto é

quando sujeito a grandes cargas ou flexão,

desenvolve muitas micro-fissuras internas nas zonas

imediatamente abaixo das superfícies de trabalho,

que actuam como local preferencial de concentração

de tensões (estas micro-fissuras tendem-se a

propagar entre nódulos de grafite e entre os nódulos

e a superfície do material). Estas fissuras podem

constituir um problema sério para a vida útil à fadiga

do ADI.

A resistência à fadiga típica de um ADI aproxima-se das dos aços de liga cementados. A

generalidade dos testes realizados com ADIs mostram que, comparativamente ao aço de

média resistência, este material mostra melhor resistência à fadiga, ao desgaste e à erosão.

A Figura 1.9 mostra os resultados compilados por V.K.Sharma onde se apresentam alguns

materiais-tipo e a relação entre a sua capacidade de resistência à fadiga de contacto e a sua

dureza [217].

CO

MPA

RA

ÇÃ

O A

ÇO

/AD

I


Figura 1.9 - Valores de resistência à fadiga de contacto e da dureza de diferentes materiais [217].

Como se verifica, apenas alguns aços ligados e tratados termicamente conseguem melhores

prestações, a este nível, que o ADI apresentado - neste caso uma variante pioneira, a

Kymenite, desenvolvida na Europa (Finlândia) e actualmente considerada como um material

de relativamente baixa resistência à fadiga de contacto.

No que diz respeito ao fenómeno de fadiga de contacto o ADI, por conter muitos nódulos de

grafite, tem uma tendência acrescida à formação de micro-fissuras junto a estes nódulos que

actuam como local preferencial de concentração de tensões [248]. A propagação dessas

micro-fissuras entre nódulos promove o arrancamento lamelar citado, característica que deve

ser tida em conta ao usar este material em contactos que desenvolvam grande pressão e,

sobretudo, grande escorregamento. Em contrapartida, o aumento de volume verificado

durante a transformação da austenite em martensite, nas zonas de concentração de tensões no

interior do ADI, actua de modo favorável ao retardar a propagação dessas micro-fissuras,

contrariando o seu desenvolvimento. Sabe-se também, que o carbono que vai sendo libertado

dos nódulos de grafite por efeito de desgaste superficial tem propriedades lubrificantes, e que

o espaço deixado livre por este serve posteriormente de local de acomodação e permanência

do lubrificante [217].

A Figura 1.10 apresenta resultados, em termos de resistência à fadiga de contacto, obtidos

com engrenagens fabricadas em aço e em ferro fundido.


Figura 1.10 - Comparação da resistência à fadiga de contacto de engrenagens fabricadas em diferentes

materiais [217].

Os escassos resultados divulgados de ensaios de fadiga realizados com engrenagens indicam

uma boa capacidade de resistência à fadiga de contacto, superada apenas por aços de grande

dureza superficial, nomeadamente os cementados. A Figura 1.11 mostra a resposta de um

determinado ADI em termos de fadiga de contacto apresentando uma curva equivalente

determinada para um aço cementado [217].

Figura 1.11 - Curvas-limite de fadiga de contacto, em termos de tensão, obtidas para engrenagens

fabricadas em aço e em ADI [217].


1.3.1.2- Defeitos oriundos dos processos de fabrico

Superfícies geradas por arranque de apara

Os sulcos e protuberâncias resultantes da acção das ferramentas de corte sobre as superfícies

não constituem apenas um defeito físico: são potenciais locais de iniciação de fissuras,

independentemente da sua orientação relativamente à direcção de aplicação das solicitações

[7, 124, 125, 356]. Quando a maquinação é feita com velocidades exageradas ou não é feito

um arrefecimento conveniente pode ocorrer a fusão do material no interior dos sulcos de

maquinagem.

Outros riscos mais ou menos aleatórios resultantes do contacto das superfícies com

ferramentas cortantes e com as próprias rebarbas criadas pelas operações de maquinagem

podem estar na origem da libertação em serviço de pequenas partículas metálicas que, mais

tarde, se incorporam no fluido lubrificante, podendo conduzir, como se verá mais adiante, à

iniciação das fissuras de fadiga.

Superfícies rectificadas

As fissuras criadas durante operações de rectificação das superfícies (através de mós

abrasivas), têm comprimentos bastante curtos e dispõem-se sobre as superfícies de forma

paralela entre si e perpendicularmente ao sentido de deslocamento da mó. Muitas vezes estas

fissuras são latentes e só são visíveis nas superfícies algumas horas após a rectificação ou

mesmo após o uso da engrenagem. Detectam-se por magnetoscopia ou por ressonância

magnética [7, 124, 125].

As mós de rectificar actuam sobre as superfícies como um conjunto de pequenas ferramentas

cortantes, cada uma produzindo os seus pequenos sulcos. Os sulcos mais próximos

interceptam-se gerando uma imagem típica de superfície. Paralelamente vão surgindo

pequenas fissuras transversais relativamente à orientação da maquinagem por efeito de

deformações plásticas locais. Estas fissuras tendem a propagar-se ao longo das fases mais


frágeis presentes no interior do material. Em adição às deformações plásticas impostas, o

aquecimento da superfície durante este tipo de operação também pode causar influências

nefastas, como seja a oxidação da superfície do material. Ao arrefecerem, as rugosidades

formadas pelos óxidos superficiais tendem a rasgar, separando-se em muitas zonas da

superfície. Como esta película de óxidos não é condutora e se encontra isolada do material de

base em muitos pontos pelas fissuras abertas durante o arrefecimento, as imagens obtidas

pelos microscópios electrónicos de varrimento mostram estas zonas com um brilho intenso.

As causas na origem deste tipo de fissuração são [7, 124, 125]:

• parâmetros de rectificação demasiado severos, modificando o estado de

residual de tensões à superfície, conseguindo transformar o estado de tensão

compressivo anterior num estado de tracção por vezes capaz de originar

fissuras;

• aquecimento localizado da superfície suficientemente elevado para provocar a

transformação da martensite, processo que é acompanhado da instalação de

tensões residuais. Esta rectificação pode ser considerada inadequada quer por

uma escolha errada do material da mó quer pela utilização de parâmetros

erróneos para a rectificação (velocidade da mó demasiado lenta, avanço

demasiado lento, penetração exagerada, lubrificação deficiente, etc.).

• defeitos na realização do tratamento térmico, sobretudo na realização do

revenido pós-têmpera, podem originar uma estrutura demasiadamente frágil à

superfície, muito susceptível aos fenómenos de fissuração. Nesta caso, é inútil

tentar evitar o fenómeno ajustando os parâmetros de rectificação.

Uma forma de eliminar este tipo de fissuras é proceder a uma nova rectificação dos flancos de

trabalho dos dentes das engrenagens. Obviamente, será necessário adoptar parâmetros

diferentes dos que anteriormente causaram essas fissuras e, de qualquer maneira, é necessário

garantir que a engrenagem trabalhará bem com os novos valores obtidos para a folga entre

dentes após a segunda rectificação. Não é aconselhável utilizar uma engrenagem contendo

este tipo de fissuras, uma vez que elas podem evoluir para fissuras profundas causando, mais

tarde, a ruptura de um ou mais dentes da engrenagem.


1.3.1.3- Influência das tensões residuais

Na fadiga de contacto, assim como na fadiga clássica dos materiais, as tensões residuais de

compressão aumentam a duração de vida dos componentes uma vez que retardam a formação

e a propagação das fissuras de fadiga [84, 146, 157, 160, 164]. Pelo contrário, as tensões

residuais de tracção, assim como as de compressão de um valor absoluto relativamente

grande, são nefastas em termos de comportamento à fadiga. De facto, as tensões residuais

comportam-se como uma tensão média que se vai sobrepôr às tensões cíclicas de serviço. As

tensões residuais de compressão vão na realidade descarregar a peça, ao sobrepor-se às

tensões de serviço em tracção, aumentando consequentemente o limite de fadiga. Não basta

controlar o valor das tensões residuais na superfície do componente, sendo necessário ter em

atenção o seu valor nas camadas internas e a forma do gradiente de tensões residuais em

profundidade [199, 200]. De facto, em fadiga de contacto as tensões máximas ocorrem a uma

determinada profundidade, o que pode conduzir à iniciação de fissuras em profundidade. Por

outro lado é necessário não só tomar em atenção os processos de introdução das tensões

residuais, como também a sua estabilidade ao longo do tempo de serviço do componente, uma

vez que elas podem evoluir ao longo da solicitação, como se irá ver mais adiante.

1.3.1.4- Tratamentos mecânicos - Shot-peening

Como a existência de tensões residuais compressivas na zona superficial dos dentes das

engrenagens se mostra benéfica ao impedir a propagação das micro-fissuras é usual que as

engrenagens, em particular de ADI, sejam tratadas com shot-peening [7, 116, 217].

O shot-peening é um tratamento mecânico bastante eficaz ao aumentar sensivelmente a

capacidade de resistência à fadiga, induzindo tensões compressivas na superfície do material,

as quais melhoram substancialmente o desempenho à fadiga, nomeadamente à fadiga por

flexão.

O shot-peening promove uma maior tenacidade das superfícies dos dentes das engrenagens

pela indução de tensões compressivas nos seus flancos activos. No entanto, este tipo de


tratamento gera irregularidades geométricas que prejudicam o funcionamento hidrodinâmico

dos flancos dos dentes em contacto. Este efeito traduz-se numa diminuição da espessura de

filme lubrificante entre as superfícies em contacto, no aumento do coeficiente de atrito e da

temperatura local e, em casos extremos, pode proporcionar condições para que surjam

fenómenos de adesão causados por contactos metal-metal entre os dentes das engrenagens.

Contudo, apesar de se ter constatado que o aumento da rugosidade superficial das

engrenagens assim tratadas pode influenciar de forma negativa o desempenho

elastohidrodinâmico do contacto, não se encontram documentados casos em que este efeito se

sobreponha de forma clara ao aumento da resistência à fadiga superficial conseguido por este

tratamento mecânico.

1.3.2- Influência da lubrificação

A lubrificação consiste na interposição entre dois corpos em contacto com movimento

relativo, de um filme de baixa resistência ao corte que diminua o atrito, o desgaste e a

temperatura de funcionamento, melhorando assim o comportamento tribológico dos corpos.

O tipo de lubrificação que se verifica em contactos não conformes é influenciado por dois

fenómenos físicos significativos:

• A deformação elástica dos sólidos em contacto, devido à acção da carga

aplicada.

• O aumento de viscosidade do fluido lubrificante sob efeito da pressão

(piezoviscosidade).

Para uma caracterização adequada de um lubrificante, deve ser conhecida a sua viscosidade e

a variação desta com a pressão e a temperatura, bem como as tensões de corte à qual se

encontra submetido. Seria, ainda, muito útil caracterizar o efeito específico de um aditivo,

como por exemplo os compostos à base de enxofre ou de fósforo, sobre o comportamento do

lubrificante, e não como acontece, caracterizar apenas, de forma global, o efeito do óleo base


mais pacote de aditivos sobre o comportamento global do contacto. A alternativa seguida é,

actualmente, caracterizar a relação material/aditivo.

Sucessivos desenvolvimentos dos óleos base e dos aditivos traduziram-se em enormes

progressos dos lubrificantes: óleos mais resistentes à oxidação, maior viscosidade a elevadas

temperaturas, maior capacidade de carga. O resultado de tal evolução traduz-se, hoje em dia,

na obtenção de tempos de vida mais longos nos contactos, menores taxas de desgaste, maior

capacidade de carga à gripagem, menores interacções metálicas e consequentemente menores

probabilidades de ocorrência de fadiga, se esta resultar da iniciação devida às interacções

entre os picos de rugosidade. Porém, apesar da grande evolução dos lubrificantes, a fadiga

superficial continua a ser uma forma de dano muito corrente, mesmo na lubrificação em

regime de filme completo [125].

Os fluidos lubrificantes usados na lubrificação dos contactos permitem, em simultâneo,

diminuir e manter dentro de limites aceitáveis a temperatura de funcionamento. O efeito do

lubrificante sobre a vida à fadiga de contacto depende das suas propriedades físico-químicas,

sendo a viscosidade e sobretudo a espessura do filme lubrificante extremamente importantes,

devendo o lubrificante estar livre de impurezas e de partículas abrasivas [8, 26, 304].

As avarias de engrenagens que dependem da lubrificação raramente se devem ao lubrificante

em si, sendo quase sempre resultantes de uma selecção inadequada do lubrificante, de defeitos

no sistema de lubrificação, ou do doseamento erróneo ou contaminação do próprio

lubrificante. Este último fenómeno é o mais complexo de evitar: gases e líquidos podem

subtilmente dissolver-se ou ser absorvidos pelo lubrificante e destruir a físico-química de

funcionamento dos seus aditivos ou mesmo causar problemas de corrosão às superfícies dos

componentes. Os contaminantes sólidos, apesar de poderem ser os mais destrutivos (mineira,

poeira, partículas metálicas, etc.), são os mais fáceis de detectar e eliminar [125, 304, 356].

O lubrificante pode também ser veículo de partículas macroscópicas (3ºs corpos), por vezes

oriundas de componentes interiores à própria máquina que, ao introduzirem-se nas zonas de

contacto, podem danificar as superfícies. Neste aspecto, é a concepção do sistema de

lubrificação a única forma possível de minimizar o problema. Esse sistema deve promover o

acesso às zonas de contacto apenas do lubrificante recém filtrado e conseguir uma rápida


evacuação do lubrificante após passagem nessas zonas. A evacuação de calor é também

melhorada por uma boa concepção do sistema de lubrificação [125, 304, 356].

O lubrificante tem um papel determinante na fadiga de contacto. Independentemente da sua

capacidade para formar uma película lubrificante com espessura suficiente para separar

completamente as superfícies, os elementos químicos da sua composição podem exercer

alguma influência sobre o desgaste e fadiga dos contactos EHD [125, 304, 356].

Os filmes lubrificantes nos contactos EHD provocam modificações na pressão de Hertz e na

distribuição das tensões de corte. Influenciam também o número e a severidade das

interacções entre os picos das rugosidades, assim como a concentração de tensões na

vizinhança dos defeitos das superfícies em contacto [125, 304, 356].

Contudo, os filmes EHD não são totalmente benéficos na prevenção da fadiga de contacto,

apresentando algumas limitações, entre as quais se destaca um aspecto que se prende com o

chamado mecanismo de propagação de fissuras por efeito da pressão hidráulica: uma fissura

superfícial pode crescer rapidamente por efeito da pressão do óleo contido no seu interior e da

concentração de tensões que se verifica no sua extremidade. O processo desenvolve-se em

três fases: a fase inicial corresponde à abertura da fissura por efeito das tensões de corte que

se desenvolvem à frente do contacto; a segunda diz respeito ao enchimento da fissura com

óleo; e finalmente, a pressurização do óleo, quando as tensões de corte (forças de tracção) e as

tensões de contacto actuam próximo da fissura. Este mecanismo de propagação das fissuras é

considerado muito importante na fadiga de contacto. A Figura 1.12 ilustra de forma clara

como se desenvolve este processo.

Para superar este efeito deve usar-se um lubrificante com maior viscosidade e

compressibilidade.


Figura 1.12 - Esquema do mecanismo de propagação de fissuras por efeito da pressão hidráulica [304].

Não é o facto de um óleo estar contaminado que provoca fadiga de contacto nem o facto das

partículas passarem continuamente no interior do contacto. Grave é o dano provocado quando

estas partículas passam no interior do contacto na fase inicial do seu funcionamento,

provocando pontualmente deformações plásticas e danos na superfície. Estes danos são a

fonte para a iniciação das fissuras que, agora, já só terão que passar pela sua fase de

propagação.

Por outras palavras, partículas de desgaste e contaminantes presentes no lubrificante podem

contribuir para a fadiga de contacto. As partículas contaminantes podem provocar pequenas

indentações nas superfícies quando passam no interior do contacto (ver Figura 1.13) dando

origem a zonas favoráveis para a iniciação de fissuras.


Figura 1.13 - Contacto entre picos de rugosidade e esmagamento de partículas de grandes dimensões no

interior do contacto como causa de fadiga de contacto [304].

1.3.2.1- Influência da viscosidade do óleo base

A viscosidade é uma das propriedades mais importantes de um lubrificante.

Barwell e Scott [8, 26] afirmaram que, à temperatura ambiente, a viscosidade não é um factor

dominante na fadiga de contacto, já que alguns lubrificantes de menor viscosidade

apresentaram uma resistência à fadiga da mesma ordem de grandeza que outros fluidos de

maior viscosidade. Contudo, com certos óleos minerais provenientes do mesmo crude, Scott

descobriu que existe uma tendência contínua no sentido do aumento da vida à fadiga com o

aumento da viscosidade. Apesar dos óleos procederem do mesmo crude, o índice de

viscosidade decrescia com o aumento da viscosidade. Ainda assim, o lubrificante com menor

índice de viscosidade apresentava maior vida à fadiga, porque provavelmente possuia uma

maior viscosidade à temperatura de trabalho, o que está de acordo com trabalhos de

investigação mais recentes. Então para estes óleos índices de viscosidade mais baixos

correspondem elevados coeficientes de piezoviscosidade [8, 26]. Dado que óleos mais

viscosos possuem maior coeficiente de termoviscosidade, a viscosidade em condições de

pressão elevada pode ser mais importante no fenómeno de fadiga de contacto do que a

viscosidade medida à temperatura ambiente. Os poliglicois também evidenciam um aumento


da vida à fadiga com o aumento da viscosidade, enquanto que no caso de fluídos à base de

silicones a vida à fadiga parece ser independente da viscosidade.

Scott postulou que, quanto mais viscosos fossem os óleos de baixo índice de viscosidade,

menor têndencia teriam a se introduzir na fissura de fadiga no sentido de aumentar a sua

propagação. Baughman por sua vez, considerou que a vida à fadiga de contacto parece estar

relacionada com a viscosidade real verificada na região de altas pressões do contacto.

Experiências desenvolvidas por Carter e Anderson com diversos óleos base levaram a afirmar

que a vida à fadiga de contacto cresce com valores crescentes do coeficiente de

piezoviscosidade. Determinaram também, que a vida à fadiga de contacto com óleos minerais

parafínicos cresce proporcionalmente à viscosidade elevada a uma potência de 0,2. Das

experiências levadas a cabo com óleos minerais, Rounds concluiu que óleos nafténicos de

baixo índice de viscosidade mostram de maneira consistente uma melhor vida à fadiga de

contacto que óleos parafínicos de alto índice de viscosidade. Cuervo concluiu que o aumento

de viscosidade conduz a um aumento da vida à fadiga de contacto entre óleos da mesma

família. Acrescenta ainda, que encontrou correlação positiva entre a vida à fadiga de contacto

e o coeficiente de piezoviscosidade e, consequentemente, com a espessura da película de óleo

[1, 7, 27, 116, 125, 244, 330, 356]

1.3.2.2- Influência dos aditivos

Os aditivos são compostos químicos que se adicionam aos lubrificantes com a finalidade de

propocionar ou reforçar uma propriedade desejada. Nomeadamente os aditivos de Extrema

Pressão (EP) são utilizados para impedir o contacto destrutivo entre superfícies metálicas com

movimento relativo e submetidas a cargas elevadas.

Rounds concluiu que a adição de compostos reactivos de cloro aos óleos minerais reduzem a

vida à fadiga, mas a adição de éteres polifenílicos clorados e silicone metilfenílico aumentam-

na. Cuervo concluiu que o aditivo anti-desgaste (AW) dialquil-ditiofosfato de zinco aumenta

notavelmente a vida à fadiga de contacto, principalmente quando a carga é elevada [1, 7, 116,

330].


1.3.2.3- Influência do ambiente

O ambiente desempenha um papel importante no fenómeno da fadiga de contacto. Com

efeito, a fadiga de contacto é um fenómeno de superfície e como a relação superfície/volume

é elevada nos contactos de rolamento (dado que as zonas sob tensão circunscrevem-se

practicamente às camadas superfíciais ou muito próximas da superfície), é de esperar que o

factor ambiente seja mais relevante no processo de micropitting que nos processos de fadiga

de origem não tribológica.

Um ambiente corrosivo pode afectar o comportamento à fadiga de contacto. A presença de

água nos lubrificantes pode acelerar o colapso por fadiga em contactos de rolamento, uma vez

que segundo vários autores a presença da água induz a difusão de hidrogénio nas superfícies

sob tensões elevadas, provocando fragilização pelo hidrogénio e acelerando a propagação das

fissuras de fadiga. Circena e Szielet sugeriram que a oxidação ácida durante o rolamento de

contacto pode libertar hidrogénio devido à reacção electroquímica com o aço, assumindo a

água o papel de meio condutor [1, 7, 26, 116, 125, 330].

Em muitas aplicações industriais não é possivel impedir a contaminação por água mas os

efeitos danosos da sua presença na fadiga de contacto podem ser combatidos com aditivos

apropriados (álcoois, derivados de imidazolina).

A degradação do óleo lubrificante causada pelas altas temperaturas que ocorrem nas zonas do

contacto sujeitas a tensões elevadas leva ao aparecimento de substâncias ácidas que por sua

vez provocam uma redução na vida à fadiga de contacto.

1.3.2.4- Influência da temperatura

A influência da temperatura na fadiga de contacto é do maior interesse. O aumento de

temperatura provoca a redução da viscosidade do lubrificante e, em muitos casos, da vida à

fadiga.


Na fadiga de contacto, com ou sem escorregamento, o aumento da temperatura implica

normalmente o aumento do atrito entre duas superfícies, tendo um efeito negativo sobre a

vida e criando condições favoráveis para o desenvolvimento de deformações plásticas. Os

efeitos isolados ou combinados destes factores com a solicitação mecânica podem promover a

evolução da microestrutura e em particular a transformação de austenite residual, com os

consequentes efeitos sobre a resistência à fadiga. Assim, pode-se dizer que o aumento da

temperatura durante a fadiga de contacto é um fenómeno nocivo que deve ser eliminado ou

mantido dentro de limites convenientes.

MacPherson verificou que a temperatura superficial no contacto exerce uma poderosa

influência na fadiga de contacto, tendo sugerido a realização de ensaios a diferentes

temperaturas com o objectivo de avaliar as características resultantes da associação

óleo/materiais dos corpos em contacto. Segundo Otterbein, a vida à fadiga nos contactos de

rolamento decresce uniformemente com o aumento de temperatura no intervalo 50-150ºC,

utilizando um lubrificante do tipo diéster [1, 7, 8, 116, 330].

1.3.2.5- Espessura específica do filme lubrificante

Nos contactos secos as forças são directamente transmitidas entre as superfícies dos sólidos e

o atrito é muito elevado. Quando a pressão de contacto e as velocidades são elevadas as

superfícies tendem a aquecer rapidamente, pois o calor gerado no contacto varia

proporcionalmente ao atrito entre as superfícies. Isto provoca o abaixamento rápido da

resistência ao desgaste das superfícies metálicas e limita a utilização deste tipo de contactos a

casos em que as solicitações são suaves ou moderadas [8, 26].

Nos contactos lubrificados admite-se existir pelo menos algum lubrificante entre as

superfícies, mesmo que este não consiga formar uma película contínua.

A lubrificação elastohidrodinâmica (EHD) é muito comum em rolamentos, engrenagens,

cames e outros contactos mecânicos onde se transmitem esforços elevados. Nos contactos

EHD a aspiração do lubrificante para o interior do contacto ocorre no convergente por efeito

do arrasto das superfícies em movimento. A pressão de contacto assume o aspecto de uma


parábola, com um máximo no centro do contacto e um pico de pressão imediatamente antes

da saída (divergente). É nesse ponto que a pressão atinge o seu máximo e é aí que a espessura

do filme lubrificante é mínima [8, 26].

A espessura específica do filme lubrificante é um indicador do tipo de regime de lubrificação

que se traduz numa severidade de funcionamento do contacto, do ponto de vista da gripagem

e de outros tipos de avarias que ocorrem nos dentes das engrenagens.

Existem gamas de valores típicos da espessura específica do filme lubrificante que se podem

relacionar com a intensidade do desgaste das engrenagens e de um modo geral com todos os

tipos de avarias de superfície.

A expressão de Dowson no caso dos contactos lineares para o cálculo da espessura do filme

lubrificante no centro de contacto, h0, estabelece que [63, 102, 140]:

0.727 0.727 0.091

0 1.950 eqh R U G W −= ⋅ × × × (1.1)

onde:

h0→ espessura do filme lubrificante;

U→ parâmetro velocidade = 0,

2R

eq

V

R E

η ⋅

⋅ ⋅;

Req→ raio de curvatura equivalente = 1 2

1 2

R RR R

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

G→ parâmetro do material = ,

Eα ⋅ ;

W→ parâmetro carga = ,n

eq

F

R E⋅ ⋅.


A espessura corrigida do filme lubrificante (h0C) tem em consideração a elevação da

temperatura devido ao aquecimento do lubrificante no convergente do contacto entre os

dentes da engrenagem, que resulta da deformação de corte piezoviscosa no lubrificante.

Assim:

0 0C Th h φ= ⋅ (1.2)

onde:

h0C → espessura corrigida do filme lubrificante;

φT → factor de correcção térmica, definido por [284]:

( ) 10.83 0.641 0.1 1 14.8 eTV Lφ

−= + × + × ×⎡ ⎤

⎣ ⎦ (1.3)

Ve→ taxa de escorregamento = 1 2

1 2

U UU U

−+

;

L → parâmetro térmico do lubrificante = 2

0 R

f

VK

β η⋅ ⋅ .

A espessura específica do filme lubrificante é então definida por:

0 C

q

hR

Λ = (1.4)

em que Rq a rugosidade composta das duas superfícies em contacto, é definida por:

2 21 2q q qR R R= + (1.5)

com

Rq1 → Rms da superfície 1;


Rq2 → Rms da superfície 2;

Figura 1.14- Variação Distribuição de pressão e da velocidade do fluido lubrificante no interior de um

contacto elastohidrodinâmico [284].

A influência da espessura específica do filme lubrificante (Λ) é muito importante na fadiga de

contacto dos flancos dos dentes de engrenagens[7, 116, 125, 330, 356]:

Se Λ < 0.7 (lubrificação em regime limite), a fadiga ocorrerá principalmente à

superfície, facilitando, numa primeira fase, o aparecimento de pits, que por sua vez,

contribuirão para acelerar o aparecimento de spalls. Se a espessura específica for

muito reduzida (< 0.4), a probabilidade de ocorrer o micropitting é elevada, pois

serão frequentes as interacções metálicas entre os picos de rugosidade das

superfícies, que ocorrendo de forma pronunciada, vão deformar plásticamente a

zona superficial dos sólidos, criando-se assim condições para a propagação de

micropitting.

Se 0.7 < Λ < 2.0 (lubrificação em regime misto), podem acontecer em simultâneo

pits e spalls, de forma pontual ao longo da pista de contacto, assumindo aqui

grande importância parâmetros como a contaminação do lubrificante, água

dissolvida no óleo, forma das rugosidades e propriedades dos materiais.


Se Λ > 2.0 (lubrificação em regime de filme completo), a fadiga ocorrerá

principalmente no interior dos sólidos em contacto, sendo mais provável o

aparecimento de spalls do que pits. O facto do campo de tensões no interior dos

sólidos ser predominantemente devido ao contacto global de Hertz, conduz a que as

tensões máximas passem a acontecer no interior dos sólidos, à profundidade onde

ocorre a máxima tensão de corte. Por este motivo, é de crer que as fissuras se

iniciem e propaguem a partir do interior dos sólidos, originando principalmente

spalls.

A vida à fadiga, terá tendência a reduzir-se com a diminuição da qualidade superfícial. De

forma semelhante, terá tendência a reduzir-se de forma mais drástica com a diminuição da

espessura específica Λ.

Quando a fissuração se dá à superfície, a duração de vida à fadiga de contacto é muito mais

reduzida do que quando essa mesma iniciação se dá no interior dos sólidos. Todos os pontos

dos sólidos devem ser considerados susceptíveis de falha por fadiga de contacto, e não apenas

os pontos nos quais as tensões são máximas.

Observando a Figura 1.15 constata-se que a espessura específica crítica aumenta com a

velocidade tangencial da engrenagem e, a partir de um determinado valor (nomeadamente

acima dos 100-150 m/s) a espessura específica crítica mantêm-se constante (Λc=2) [121, 169].

Figura 1.15 - Espessura específica crítica do filme lubrificante para engrenagens rectas ou helicoidais (Λc)

vs velocidade tangencial da engrenagem (Vt) - (probabilidade de avaria = 5%) [169].


1.3.3- Influência das condições de funcionamento

As condições de funcionamento conducentes à ocorrência de pressões normais e tensões de

corte elevadas e à presença de escorregamento, podem contribuir fortemente para a ocorrência

de fadiga de contacto.

Ao longo da linha de engrenamento de uma engrenagem coexistem o rolamento e os

escorregamentos positivo e negativo, parâmetros que influenciam fortemente o dano por

fadiga de contacto. Na linha primitiva não existe escorregamento. Na secção de deddendum,

ao contrário da secção de addendum, as velocidades de rolamento e de escorregamento têm

sentidos opostos, o que aparentemente favorece a ocorrência do dano por fadiga de contacto

no deddendum do pinhão em primeiro lugar, uma vez que a superfície a ele associada (a

superfície da roda) realiza menos ciclos.

O modo de solicitação de um componente ou de uma estrutura tem uma influência

determinante sobre a sua resistência à fadiga. No caso da fadiga de contacto os esforços

transmitem-se entre as superfícies em contacto sob a forma de uma pressão, acompanhada ou

não de atrito que vai criar um estado de tensão fortemente multiaxial na sub-superfície do

material. De entre os parâmetros mecânicos com maior influência sobre a fadiga de contacto

podem-se referir a força normal, as tensões de corte, os esforços tangenciais devidos ao atrito

de escorregamento e a frequência da solicitação.

O valor máximo da pressão aplicada no contacto condiciona directamente o valor máximo das

tensões aplicadas ao componente e consequentemente a duração de vida. Um parâmetro

fundamental com influência reconhecida no processo de fissuração é a amplitude da tensão de

corte que num contacto hertziano atinge o seu valor máximo em profundidade. De um modo

geral a deterioração em fadiga de contacto está directamente ligada à zona onde as tensões de

corte passam pelo seu valor máximo, verificando-se que a duração de vida diminui com o

aumento da amplitude da tensão de corte. A resistência à fadiga depende também do valor da

tensão média que, ao sobrepor-se à tensão cíclica, vai aumentar ou diminuir os seus valores

máximos. Este efeito traduz-se por uma diminuição da resistência à fadiga à medida que a

tensão média aumenta. Uma tensão média positiva diminui a duração de vida, enquanto uma

negativa produz o efeito contrário.


Ao sobrepor-se à pressão de contacto, os esforços tangenciais devidos ao atrito de rolamento

com escorregamento dão origem a uma distribuição de tensões mais complexa, em que o

ponto de tensão de corte máximo pode ocorrer na superfície. Estão assim criadas as condições

para que as fissuras de fadiga se iniciem na superfície, para o que contribui também para o

aparecimento de defeitos superficiais devidos ao atrito. Em geral, a existência de

escorregamento origina sempre uma redução da duração de vida em fadiga de contacto, tanto

mais elevada quanto maior o valor do coeficiente de atrito.

A frequência do ciclo de solicitação é um factor que pode influenciar a duração de vida à

fadiga de contacto, quer pelo aumento da temperatura no contacto, quer pelo aumento da

deformação plástica nas camadas superficiais. Em ambos os casos o aumento da frequência

diminui a duração de vida à fadiga de contacto, podendo os dois mecanismos actuar em

simultâneo.

1.3.3.1- Coeficiente de atrito

A determinação do coeficiente de atrito é importante pois ele vai condicionar o desempenho

desse contacto. No caso de uma engrenagem, quanto mais elevado for o coeficiente de atrito,

menor será a eficiência da engrenagem, porque maior será a energia consumida para vencer o

atrito, assim como menor será o tempo de vida desse contacto. Assim sendo, é de todo o

interesse reconhecer quais os mecanismos que provocam o atrito, o seu valor e suas

consequências.

A determinação do coeficiente de atrito num contacto EHD pode ser feita experimentalmente

ou numericamente.

O atrito num contacto EHD é devido essencialmente ao escorregamento e em menor escala ao

rolamento. Experimentalmente verifica-se que o aumento da temperatura no contacto,

provocando uma diminuição da viscosidade, provoca também uma diminuição do coeficiente

de atrito.


Quando ocorre rolamento com escorregamento, as velocidades das superfícies em contacto

são diferentes, pelo que continuamente o fluído estará sujeito a deformações de corte [281].

Admitindo um regime de lubrificação de filme completo, as velocidades de deformação

provocam tensões de corte que estão na origem do atrito.

Conhecendo-se em toda a área de contacto quer o campo de pressões normais quer o campo

de tensões de corte, podem definir-se coeficientes de atrito locais, em cada ponto do interior

do contacto, e global, sendo este último possível de ser medido experimentalmente.

Os métodos numéricos actualmente disponiveis permitem determinar o coeficiente de atrito

no interior de um contacto, tendo em conta as variações de temperaturas locais [281]. Os

resultados assim obtidos aproximam-se já muito satisfatoriamente dos obtidos

experimentalmente. Numericamente, recorrendo a um modelo viscoelástico-plástico e

considerando o contacto térmico, nunca se atingem valores tão elevados para o coeficiente de

atrito como num contacto isotérmico teórico seguindo-se a mesma lei reológica [281].

1.3.4- Influência da macro e micro geometrias das superfícies

Tal como no caso da fadiga clássica dos materiais, os diferentes parâmetros geométricos têm

uma influência considerável sobre a resistência à fadiga de contacto. Neste caso interessa-nos,

particularmente, a geometria do contacto, cujo efeito pode ser analisado à escala global ou da

macrogeometria do contacto e à escala da microgeometria ou das rugosidades.

A macrogeometria do contacto condiciona de um modo global a forma como se transmitem os

esforços entre os dois sólidos em contacto, sendo um factor tão importante, em termos de

resistência à fadiga de contacto, como o próprio nível de carregamento.

A microgeometria das superfícies em contacto tem uma influência muito significativa sobre o

campo de pressões de contacto e a distribuição das tensões nas camadas superfíciais. De

facto, a microgeometria das susperfícies tem uma influência tripla sobre a resistência à fadiga

de contacto [281]:


• Criando eventuais locais de iniciação de fissuras de fadiga,

• Perturbando localmente a distribuição das pressões de contacto, devido ao

contacto entre as rugosidades, originando importantes aumentos locais da pressão

de contacto e da distribuição das tensões nas camadas mais próximas da superfície,

• Influenciando a qualidade da lubrificação, o que pode afectar directamente a

espessura do filme lubrificante e, consequentemente, a distribuição de esforços

tangenciais e a distribuição da pressão na superfície de contacto.

De um modo geral, o aumento da rugosidade traduz-se por uma diminuição da resistência à

fadiga de contacto e por uma diminuição da carga limite admissível.

1.3.4.1- Macro-geometria

De forma geral, o contacto entre sólidos ocorre entre superfícies de revolução. Quando existe

uma força que comprime os sólidos, eles deformam-se gerando diferentes áreas de contacto

(rectangulares, circulares, ou elípticas) que tendem a aumentar de tamanho conforme a força

aplicada e, obviamente, conforme a elasticidade dos próprios corpos em contacto.

Designam-se por “contactos lineares” (ou contactos rectangulares) aqueles em que pelo

menos uma dimensão da área de contacto é rectilínea; os outros dizem-se, de forma genérica,

“contactos pontuais” (ou contactos elípticos).

1.3.4.2- Micro-geometria

As superfícies reais são sempre rugosas sendo essa rugosidade consequência dos processos de

maquinagem usados. A rugosidade das superfícies pode influenciar consideravelmente a

distribuição de pressões de contacto, bem como o campo de tensões no interior dos sólidos,

afectando simultaneamente a qualidade da lubrificação elasto-hidrodinâmica.


A rugosidade é um dos aspectos que mais condiciona a vida de um contacto, pois algumas

rugosidades podem deformar-se plasticamente, tendo importantes implicações na vida à

fadiga. A rugosidade é, portanto, um parâmetro fundamental, influenciando, directamente ou

através da espessura específica do filme lubrificante (Λ), o comportamento à fadiga dos

contactos elastohidrodinâmicos.

A área de contacto rectangular ou elíptica é um modelo teórico. Na realidade, a rugosidade

das superfícies faz com que, para uma dada força normal aplicada, apenas alguns dos picos de

rugosidade mais salientes de cada uma contactem com a outra. Desta forma, a área real de

contacto pode ser muito menor que a área correspondente à geometria teórica, e a pressão de

contacto pode ser muito elevada quando toda a carga é suportada por um número reduzido de

picos de rugosidade.

Quando um componente metálico é colocada em serviço, a sua rugosidade superficial é a

resultante das ferramentas e dos processos de fabrico usados na sua realização. São

superfícies inevitavelmente irregulares, ao nível microscópico, e possuem zonas mais

salientes que outras. O contacto continuado vai originar deformações plásticas dos picos mais

salientes destas superfícies fazendo com que a sua rugosidade média diminua

progressivamente. Este efeito é muito acentuado no início da vida útil das superfícies e

designa-se vulgarmente por “rodagem”. A consequência imediata deste fenómeno é o

aumento gradual da área real de contacto e, consequentemente, o abaixamento da pressão

média instalada para uma dada força aplicada às superfícies [124, 284, 297]. No caso de

componentes metálicos que funcionam em regimes permanentes, o desgaste correspondente

essencialmente à remoção dos picos de rugosidade mais salientes até se atingir o equilíbrio

entre a pressão média no contacto e a resistência mecânica do material, através do aumento

gradual da área efectiva de contacto.


Figura 1.16- Efeito da rugosidade na distribuição da pressão local, no interior do contacto [284].

A Figura 1.16 mostra uma simulação numérica em que duas superfícies contactam gerando

uma área global com uma forma elíptica. Nesta imagem pode ver-se o efeito da ondulação

superficial sobre a distribuição de pressão local, no interior do contacto.

Rugosidade

A caracterização da rugosidade é um dos aspectos mais relevantes quando se pretende

modelar um contacto EHD. Uma rugosidade real apresenta, frequentemente, uma direcção

preferencial dos seus picos e vales, assim como uma forma estatística que não é possível de

definir analiticamente. Assim sendo, não basta, para a sua perfeita caracterização a medição

de um parâmetro, habitualmente Ra ou Rq. Estes dois parâmetros pretendem caracterizar a

distribuição de alturas numa dada direcção de medida.

Para melhor definir a rugosidade de forma bidireccional, é utilizado o coeficiente de

autocorrelação que procura evidenciar qual a influencia da direccionalidade da rugosidade

existente numa dada superfície [8, 26, 139].

A rugosidade das superfícies dos dentes de engrenagens está intimamente ligada às

ferramentas e aos processos de fabrico utilizados, como mostra na Tabela 1.3.


Tabela 1.3- Rugosidade dos flancos dos dentes de engrenagens em função do processo de fabrico [284].

PROCESSO DE FABRICO

Rugosidade rms (µm)

Fresagem 2.3 - 4.6

Fresagem fina 1.2 - 2.3

Rectificação (shaving) 0.7 - 1.4

Rectificação fina (lapping) 0.6 - 1.1

Polimento 0.3 - 0.6

A caracterização matemática de uma rugosidade real não é possivel, pelo cariz estatístico e

aleatório que a caracteriza. Assim sendo, Berthe [6, 31, 57, 104, 288] estudou a possibilidade

de simular a rugosidade real através de uma rugosidade teórica sinusoidal, baseada em dois

parâmetros geométricos: comprimento de onda, λ, e amplitude, amp. Berthe validou este

modelo da rugosidade, demonstrando que a carga suportada por um contacto real, calculada

numericamente e assumindo a rugosidade como um modelo estatístico, se aproximava da

carga calculada numericamente quando se considerasse a rugosidade como sinusoidal.

Se uma superfície for ondulada e se a velocidade de rolamento aumentar, a deformação das

ondulações diminui, isto porque a espessura do filme aumenta e, consequentemente, a carga

suportada hidrodinamicamente aumenta, diminuindo o efeito da rugosidade e vindo os picos

de pressão devidos a esta substancialmente reduzidos. Assim, se as superfícies se encontram

sujeitas a menores pressões, logo sofrerão menores deformações elásticas.

Quando a altura das rugosidades aumenta, aumenta também a carga suportada directamente

pelos contactos metálicos entre as rugosidades, diminuindo a carga suportada pelo efeito

hidrodinâmico. A diminuição da carga suportada pelo filme de óleo pode ser também devida à

ruptura do filme lubrificante, sendo neste caso bastante mais acentuada essa diminuição, e

sendo o efeito do escorregamento proponderante para a ocorrência da ruptura.

Para a orientação da rugosidade são normalmente considerados três modelos, como se pode

ver na Figura 1.17.


Figura 1.17- a) Rugosidade longitudinal; b) Rugosidade isotrópica; c) Rugosidade transversal [42].

A rugosidade isotrópica é característica das esferas de rolamentos e cabeças de cames. Tem

efeitos benéficos porque conduz ao aumento da espessura do filme lubrificante [127].

A rugosidade longitudinal pode encontrar-se nos anéis interior e exterior de rolamentos,

cames, e rolos de rolamentos. Faz diminuir a espessura de filme lubrificante sobretudo

quando não há débito lateral.

A rugosidade transversal existe normalmente nos dentes das engrenagens, e faz aumentar a

espessura do filme sobretudo quando não há débito lateral.

Gohar [139] definiu duas expressões que traduzem o efeito da rugosidade transversal e

longitudinal na espessura do filme lubrificante, em condições de rolamento puro.

2

0

0 0

2

0

0 0

71 Rugosidade longitudinal12

71 Rugosidade transversal6

qr

C C

qr

C C

Rhh h

Rhh h

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − →⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + →⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.6)

em que 0 0r c rh h φ= ⋅ e φr é o parâmetro de correcção devido à rugosidade.

Como se pode verificar, a rugosidade transversal provoca um aumento significativo da

espessura média do filme lubrificante, ao contrário da rugosidade longitudinal que provoca a

sua redução.

Assim, a severidade das interacções entre a rugosidade das superfícies pode ser afectada pela

orientação das estrias de maquinagem, relativamente à direcção de

rolamento/escorregamento. Dois casos particulares, típicos das aplicações correntes, são o da


rugosidade longitudinal e o da rugosidade transversal, em que as estrias de maquinagem são

paralelas, ou perpendiculares, à direcção de rolamento/escorregamento, respectivamente (ver

Figura 1.18). As zonas de maior influência da micro e da macrogeometria têm lugar a

profundidades diferentes, razão pela qual um contacto linear deste tipo pode ser aproximado

por um modelo a duas dimensões, em que os vales da ondulação sejam definidos

perpendicularmente à direcção de rolamento, de modo a sobrepor as duas zonas de influência

no mesmo plano.

Figura 1.18- Zonas de influência da micro e da macrogeometria no caso de: (a) rugosidade longitudinal e

(b) rugosidade transversal [26].

Influência da rugosidade na distribuição de pressão de contacto

A análise de Fourier permite caraçterizar a rugosidade de urna superficie, decompondo-a no

espectro de frequências que a constituem. Cada frequência vai ter uma contribuição para a

distribuição das pressões de contacto, que não será igual para todas elas. As frequências mais

elevadas, por exemplo, têm pouco peso numa análise estatística devido principalmente à sua

pequena amplitude. Assim, podem eliminar-se as frequências mais elevadas, retendo apenas

os comprimentos de onda mais significativos para uma dada situação de contacto. Embora

seja possível determinar as frequências mais baixas a considerar, correspondentes à

macrogeometria, já a questão de saber quais as frequências mais elevadas a considerar num

determinado problema de contacto, não tem uma resposta simples [57].


A rugosidade pode alterar significativamente a distribuição de pressão de contacto

relativamente ao caso hertziano [11, 129, 288]. De um modo geral as alterações mais

significativas são:

• A área de contacto é geralmente dividida numa série de pequenas áreas de contacto;

• A área real de contacto pode ser igual ou inferior (caso mais frequente) à área do

contacto Hertziano equivalente;

• Existência de vários máximos de pressão de contacto, em vez de um único;

• As pressões máximas do contacto são mais elevadas do que a pressão máxima no

contacto Hertziano equivalente.

Bailey e Sayles [11] estudaram as alterações da rugosidade das superffcies, fazendo a

aquisição dos perfis de rugosidade na mesma posição, antes e depois de solicitadas em fadiga

de contacto. A partir da análise elástica do contacto com o perfil de rugosidade inicial,

aqueles autores verificaram que muitos dos picos de pressão ultrapassavam o valor da pressão

de indentação correspondente à dureza do material, o que sugere que as correspondentes

pontas da rugosidade deverão ser deformadas plasticamente quando solicitadas. A análise

efectuada com o perfil de rugosidade da superfície ensaiada indica que, de facto, os picos

foram deformados plasticamente, de modo a obter valores máximos de pressão de contacto

ligeiramente inferiores à pressão de indentação correspondente à dureza do material. Este

último resultado sugere que, num contacto lubrificado, em rolamento com escorregamento

lubrificado, as pressões locais são limitadas pela deformação plástica independente das

rugosidades superficiais.

Influência da rugosidade na distribuição das tensões internas

Se a pressão de contacto não é estritamente Hertziana mas apresenta perturbações, mesmo que

bastante localizadas, o campo de tensões internas vai ser fortemente modificado. Este assunto

foi objecto de numerosos estudos teóricos [129, 231, 251, 327], segundo os quais, as


perturbações da pressão de contacto devidas à rugosidade podem criar máximos de tensões de

corte com amplitudes importantes, na proximidade da superfície, sem alterar as tensões em

profundidade devidas à componente Hertziana. A posição e intensidade desses máximos estão

ligadas à largura e à intensidade das perturbações da pressão de contacto. Segundo Castro e

Seabra [61, 145], tudo se passa como se o problema rugoso pudesse ser visto como um

conjunto de pequenos problemas lisos, cada um correspondendo a um pico de pressão.

Influência da rugosidade sobre a lubrificação elastohidrodinâmica

Para a análise da distribuição de pressão no contacto rugoso lubrificado é conveniente definir

as grandezas características D1, D2 e D3, ligadas a três escalas diferentes do problema. A

dimensão D1 é a largura 2a do contacto hertziano, característica das condições do contacto

global e dependente da carga total aplicada. A dimensão D2 é o comprimento de onda médio

dos picos da rugosidade, característica das condições do contacto entre picos e

correspondente, portanto, às cargas locais. Finalmente, o terceiro parâmetro característico D3

corresponde à espessura específica do filme lubrificante Λ:

A Figura 1.19 esquematiza a evolução da distribuição de pressão de contacto e do campo de

tensões internas, considerando inicialmente apenas D1 e introduzindo depois, sucessivamente,

D2 e D3 [138, 231]. De modo a simplificar a Figura, não se considera a modificação da

distribuição da pressão devida à teoria elastohidrodinâmica (existência do convergente e do

divergente). A Figura 1.19a representa o campo de tensões para superfícies lisas,

considerando apenas D1. Na Figura 1.19b acrescentam-se as modificações devidas a D2. A

carga total, correspondente a D1, não é alterada, mas a distribuição de pressão de contacto é

profundamente modificada. Este parâmetro introduz grandes concentrações de tensões, muito

localizadas e muito próximas da superfície, sem afectar o campo de tensões hertzianas no

interior. A configuração controlada por D3 (Figura 1.19c) pode situar-se em qualquer caso

intermédio entre os dois primeiros. À medida que este parâmetro aumenta, as interacões entre

os picos de rugosidade tendem a diminuir e a carga suportada pelo filme lubrificante a

aumentar. Em termos de distribuição de pressão de contacto, tal corresponde,

respectivamente, a uma diminuição da intensidade dos picos de pressão e a vales de pressão

menos pronunciados, aproximando-nos da primeira situação. Para valores de Λ≥ 2 considera-


se que as sobretensões locais devidas à rugosidade são estatisticamente desprezáveis, ou seja,

que a influência da rugosidade na distribuição de pressão é desprezável. Pelo contrário, a

diminuição de Λ tende a aumentar a carga suportada pelos contactos discretos entre picos,

aproximando-nos da segunda situação.

Figura 1.19- Distribuição da pressão de contacto e das tensões internas no contacto rugoso lubrificado, em

função das diferentes escalas consideradas: (a) D1, (b) D1+D2, (e) D1+D2+D3. Não se

representa a influência da lubrificação elastohidrodinâmica [128].

A rugosidade influencia, portanto, o regime de lubrificação e a espessura do filme

lubrificante, pelo que a formula teórica de Dowson para o cálculo do espessura de filme,

poderia também ser afectada por um parâmetro de correcção devido à rugosidade φr.

Gohar [139] termina a sua abordagem ao problema da influência da rugosidade sobre a

espessura de filme com as seguintes conclusões:

• A rugosidade superficial não afecta significativamente a pressão no convergente

para pequenas ondulações e amplitudes.

• A rigidez do óleo é superior à rigidez das rugosidades. Por isso, a separação média

entre as duas superfícies, h0r, é practicamente a mesma se for o filme a suportar

toda a carga.

• A pressão média sobre as rugosidades, Pmed, depende da combinação de Rq e da

separação média entre as superfícies, h0C. O número de contactos metálicos entre


os dois corpos depende do valor do parâmetro Λ, o que explica a sua importância

na análise de contactos EHD em regime misto de lubrificação.

• Caso a espessura do filme EHD seja suficiente o efeito da rugosidade sobre o

campo de pressões é muito reduzido. O número de picos de pressão devidos à

rugosidade aumenta quando a carga também aumenta sendo proporcional à área de

contacto.

• Algumas rugosidades podem deformar-se plasticamente.

Finalmente Flamand [6, 32, 128-130, 153, 245, 246] acrescenta:

• Para um dado λ (comprimento de onda) e U (velocidade adimensional), a

espessura média no centro do contacto aumenta, mas a espessura real h0r diminui

fortemente com o aumento de amp/hm.

• Para uma amplitude e uma dada velocidade adimensional (U), h0C e h0r aumentam

ligeiramente com o aumento do comprimento de onda, λ.

• A ondulação provoca alterações notáveis sobre a geometria e a pressão no

divergente.

• h0r e hmr são muito sensíveis à ondulação, e os seus valores aproximam-se quando

amp →h0C.

• A carga normal num contacto liso tem uma influência reduzida sobre ho, mas

importante sobre a pressão, enquanto que a viscosidade e piezoviscosidade têm um

efeito considerável sobre h0 mas practicamente nenhum sobre a dimensão do

contacto e pico de pressão à saida.

• A rugosidade provoca uma redução considerável das espessuras mínimas e

diferentes distribuições da área real de contacto, assim como alterações na

geometria do filme lubrificante.


• As engrenagens apresentam no flanco dos dentes uma rugosidade que, se

correctamente rectificadas, se pode considerar isotrópica ou, no limite, transversal.

Campo de tensões/ deformações

Na análise do comportamento à fadiga de um contacto é importante o conhecimento das

tensões instaladas nas camadas de material imediatamente abaixo da superfície (sub-

superfície Hertziana).

A determinação das tensões no interior de um corpo é realizada assumindo que os corpos são

espaços elásticos semi-infinitos o que, recorrendo à teoria de Boussinesq-Cerruti [284],

permite calcular os deslocamentos e as tensões em todos os pontos no interior do sólido

através de uma solução numérica, baseada na discretização da superfície onde está aplicado o

campo de pressões e do volume onde se pretendem calcular as tensões e deslocamentos.

A modelação de um contacto EHD com rugosidade transversal é complexa, já que se trata de

um problema transitório no tempo. Para uma correcta simulação numérica da passagem de

uma rugosidade no interior do contacto, é necessário definir um intervalo de tempo para se

seguir a evolução do efeito da passagem dessa rugosidade, e assim melhor se compreender os

fenómenos envolvidos. Uma das conclusões que se tiram é que não é indiferente o sentido do

escorregamento, ou seja, não é indiferente se a rugosidade se encontra na superfície lenta ou

na superfície rápida, principalmente no que se relaciona com a formação do filme no interior

do contacto.

Se a superfície rápida for a superfície rugosa, as rugosidades, em especial as transversais, vão

funcionar como “palhetas” que arrastam o óleo para o interior do contacto, fazendo com que a

espessura do filme lubrificante seja superior. Assim sendo, o efeito destas rugosidades sobre o

campo de pressões no sólido vai ser mais reduzido, pelo facto de que, aumentando a espessura

média de filme, aumenta a percentagem de carga que é suportada pelo efeito hidrodinâmico.

Reduz-se, também, a amplitude dos picos de pressão devidos às rugosidades, aproximando-se

da hipótese das superfícies lisas [8].


Na situação em que a superfície lenta é a mais rugosa, ocorre um efeito contrário, ou seja, o

lubrificante encontra maior dificuldade em penetrar no interior do contacto, a espessura do

filme lubrificante reduz-se e a carga suportada pelos picos de pressão devidos às rugosidades

aumenta. Em termos das tensões no interior dos sólidos, ocorrem vários picos de tensão na

sub-superfície Hertziana, consequência dos micro-contactos EHD existentes.

O tempo de crescimento de uma fissura representa, aparentemente, uma grande proporção do

tempo de vida do mecanismo. No entanto, quando o atrito é elevado e ocorre lubrificação

limite, o campo de macro-tensões aproxima-se da superfície e da saída do contacto,

facilitando o crescimento e a propagação de todas as fissuras iniciadas.

Superfície lisa

Quando as superfícies em contacto são consideradas teoricamente lisas, o campo de tensões é

maioritariamente constituido por tensões de compressão, em resultado do contacto entre os

dois sólidos.

Num contacto hertziano liso, em que não são considerados os efeitos hidrodinâmicos, a

distribuição das tensões de corte máxima e das pressões de Hertz é simétrica em relação ao

plano XZ [126] (ver Figura 1.20).

Figura 1.20 - Distribuição de tensões τmáx/P0 para um contacto hertziano linear liso [126].


Quando, devido aos efeitos hidrodinâmicos, se passa de um contacto hertziano para um

contacto elastohidrodinâmico, verifica-se uma alteração no campo de tensões. Na Figura 1.21,

podem constatar-se não só a assimetria na distribuição das tensões de corte máxima/pressões,

como também a presença de um pico de tensão mais próximo da superfície, provocado pelo

coeficiente de atrito, que arrasta o ponto de máxima tensão de corte em direcção à saída do

contacto e à superfície desde uma profundidade Zo, medida sobre o eixo ZZ. Um efeito

semelhante a este acontece na presença de um pico de pressão à saida do contacto EHD.

Figura 1.21 - Distribuição das tensões de corte τmáx/P0 e τxz/P0 no plano Z=0 do sólido [126].

O facto da superfície real de contacto nunca ser perfeitamente lisa, pois existem defeitos,

rugosidades e outros elementos estruturais desfavoráveis que poderão funcionar como locais

de concentração de tensões, permite concluir que esta situação pode criar condições

vantajosas para o aparecimento da fadiga de contacto superficial.

Em termos de fadiga, são muito importantes as variações de tensão, ou seja, a variação de

amplitude. Neste aspecto assume especial relevo a tensão τxz que passa de -0.25P0 a 0.25P0

durante um ciclo de carregamento.

Superfície rugosa

Relativamente às superfícies rugosas, a presença de rugosidades nas superfícies leva a que

ocorram contactos metálicos entre as rugosidades. A consequência destas interacções é a

ocorrência de micro-contactos EHD que provocam no sólido o aparecimento de micro campos


de tensão em tudo, inclusivé nos valores máximos, semelhantes ao contacto global EHD,

excepto na dimensão do volume de material afectado por esses micro-contactos EHD e no

nível das tensões máximas que podem ser bastante superiores. A sub-superfície Hertziana,

alguns micrómetros abaixo da superfície, fica submetido a campos de tensões muito severos,

dependentes do tipo de acabamento superfícial.

De notar que o campo de tensões atrás referido, vai contribuir fortemente para a iniciação de

fissuras à superfície - até porque, e com elevada probabilidade, se atingem valores da tensão

que ultrapassam o limite elástico - e o aparecimento de pits, que por sua vez crescerão e

induzirão os spalls (ver Figura 1.22).

Figura 1.22 - Alterações induzidas ao campo de tensões τmáx pela presença de rugosidades na sub-

superfícies Hertzianas [126].

Concluindo, as interacções entre as rugosidades geram tensões secundárias junto à superfície,

eventualmente do domínio plástico, contribuindo para a iniciação de fissuras e

consequentemente dano por fadiga de contacto.

1.4- Sumário e conclusão

O micropitting é um tipo de dano por fadiga de contacto directamente relacionado com a

rugosidade das superfícies. É uma forma particular de pitting caracterizada pelo tamanho

microscópico das crateras superficiais que se desenvolvem nos flancos activos dos dentes da


engrenagem, apresentando tamanhos diversos e desenvolvendo-se sempre a partir da

superfície. O micropitting ocorre sempre antes do pitting, sendo acompanhado por uma

deformação plástica da camada superficial, mais notória do que no caso do pitting e do

spalling.

Para além da rugosidade das superfícies em contacto, o micropitting depende ainda das

propriedades dos materiais, dos tratamentos térmicos e mecânicos de endurecimento

superficial, das propriedades dos lubrificantes e finalmente das condições de funcionamento.

As características dos materiais têm a ver com a quantidade e natureza dos defeitos. A

influência da lubrificação pode ser descrita através da espessura específica do filme

lubrificante, Λ, que determina o regime de lubrificação: filme completo, misto ou limite, e é

determinante na vida à fadiga de contacto de um mecanismo. Entre as condições de

funcionamento, é de destacar que o micropitting ocorre normalmente em zonas de rolamento

puro ou escorregamento moderado e submetidas a cargas médias ou relativamente baixas,

dando-se a incubação das fissuras após períodos bastante longos de solicitação. Para cargas

mais elevadas, os modos de avaria predominantes podem ser o desgaste excessivo ou

gripagem, dependendo do valor do escorregamento.

O aumento da viscosidade do lubrificante retarda o aparecimento de “pits” que podem mesmo

ser evitados se a viscosidade for aumentada acima de um determinado valor. No entanto,

como o aumento da viscosidade tende a aumentar a temperatura das superfícies, o potencial

benefício do uso de um lubrificante mais viscoso pode não ser totalmente atingido.

A rugosidade das superfícies em contacto influencia, directamente ou através do parâmetro Λ,

a ocorrência de micropitting nas engrenagens. Um dos factores da rugosidade que contribuem

para a existência de uma espessura de filme maior ou menor, e por esse facto concorre para a

existência de um valor de Λ mais ou menos favorável, é a orientação da rugosidade.

O parâmetro Λ, que representa a relação entre a espessura do filme lubrificante e a rugosidade

Rq equivalente das superfícies de contacto, é determinante para o aparecimento do

micropitting.


A redução da rugosidade das superfícies e o aumento da espessura do filme lubrificante têm

como consequência um aumento significativo da duração de vida à fadiga de contacto,

definida até ao aparecimento do pitting, diminuindo drasticamente a probabilidade de

iniciação de fissuras superficiais.

Em conclusão, a ocorrência de micropitting nos flancos activos dos dentes de engrenagens

pode ser devida à interacção entre as rugosidades, para o qual contribuem a:

espessura do filme lubrificante insuficiente;

excessiva rugosidade das superfícies;

existência de partículas de grandes dimensões no lubrificante.

O parâmetro com maior influência sobre o aparecimento do micropitting é a espessura

específica do filme lubrificante, Λ. O lubrificante pode também influenciar o aparecimento do

micropitting de três formas diferentes:

a viscosidade afecta directamente o valor de Λ,

a formulação do lubrificante (óleo base e aditivos),

a existência de água dissolvida no óleo que provoca reduções significativas

da duração de vida à fadiga dos contactos EHD.

CAPÍTULO 2

PRESSÕES NORMAIS DE CONTACTO EM REGIME MISTO

DE LUBRIFICAÇÃO

2.1- Introdução

A aplicação dos diferentes critérios de fadiga de contacto (iniciação ou propagação) ao

contacto entre dois dentes de uma engrenagem, implica um conhecimento muito detalhado

das solicitações aplicadas na superfície de contacto. Estas solicitações têm duas componentes:

o campo de pressões normal e o campo de tensões tangenciais ou de corte.

Ao longo da linha de engrenamento inúmeros parâmetros contribuem para a definição do

campo de pressões. Deste modo, as condições de funcionamento (velocidade de rolamento,

escorregamento, carga, dimensão do contacto e temperatura), os estados da superfície e as

características físicas dos materiais em presença (lubrificante e sólidos), desempenham um

papel importante no estabelecimento de tais solicitações.

A configuração do contacto elastohidrodinâmico entre dois dentes de uma engrenagem é

muito complexa. Envolve duas superfícies rugosas, animadas de velocidades diferentes e

separadas por um filme lubrificante, que sob efeito da pressão e do escorregamento, imposto

pela diferença de velocidade entre as duas superfícies, aquece fortemente, conduzindo a fortes

modificações das suas propriedades físicas e nomeadamente da sua viscosidade.


Este tipo de contacto é denominado por contacto rugoso transitório. Além disso, nas

condições de funcionamento típicas das engrenagens, o filme lubrificante que separa as duas

superfícies é muito ténue, em geral da mesma ordem de grandeza da rugosidade das

superfícies, conduzindo, localmente, à ruptura do filme lubrificante. É portanto evidente, que

tais rupturas localizadas do filme lubrificante têm consequências importantes sobre a duração

de vida da superfície.

O regime de lubrificação mais corrente em engrenagens é a lubrificação mista, já que as

condições de funcionamento e as rugosidades dos flancos dos dentes das engrenagens

conduzem a valores da espessura específica do filme lubrificante (Λ) frequentemente situados

entre 0.7 e 2 que é precisamente a gama de valores correspondentes ao regime misto [159].

Este regime é caracterizado pela existência de zonas no contacto onde o filme lubrificante, se

existir, não desempenha qualquer função hidrodinâmica, sendo o contacto integralmente

suportado pelas rugosidades das superfícies (zona de lubrificação limite) e outras zonas onde

o filme lubrificante desenvolve uma função hidrodinâmica e onde a deformação elástica dos

sólidos em contacto não pode ser desprezada (zona dita de lubrificação elastohidrodinâmica

ou em filme completo).

A modelação clássica de um contacto EHD pressupõe a existência de um filme completo, ou

seja, não é compatível com este tipo de problema denominado por contacto rugoso em regime

misto de lubrificação. Uma solução possível para ultrapassar esta dificuldade passa pela

obtenção do campo de pressões normais de contacto em regime misto, através da conjugação

das soluções em filme completo e em contacto seco.

A modelação numérica do contacto EHD rugoso em regime misto de lubrificação é portatnto

muito complexa: o cálculo do campo de pressões é baseado em dois modelos anteriormente

desenvolvidos, que permitem ambos incluir as rugosidades da superfície por intermédio de

um perfil de rugosidade.

Capítulo 2- Pressões Normais de Contacto em Regime Misto de Lubrificação [67/366]

2.2- Campo de pressões normais em contacto seco rugoso

A partir da teoria de Hertz foram desenvolvidos inúmeros estudos [13, 54, 291] com o

objectivo de modelar da melhor forma possível a realidade dos contactos não-conformes. Os

diversos algoritmos disponiveis permitem calcular o campo de pressões na superfície de

contacto e deduzir o campo de tensões na sub-superfície, o qual é a base dos estudos de

duração de vida.

O modelo aqui descrito foi desenvolvido por Campos [53, 54] e trata-se de um modelo que

aplica os princípios da deformação de um semi-espaço elástico a uma superfície rugosa,

obtida sobrepondo o perfil de rugosidade à forma média do contacto.

Este modelo não entra em consideração com o movimento das superfícies nem com a

existência de lubrificante. Trata-se apenas de colocar em contacto uma superfície rugosa e

uma superfície lisa. Deste modo, considera-se que a espessura do filme lubrificante é nula e

que o valor de Λ é nulo. O campo de pressões assim obtido pode conduzir a valores das

pressões de contacto muito elevadas, tratando-se, portanto, de um campo de pressões

caracterizador de um “caso limite superior” das pressões de contacto, a que corresponde uma

espessura do filme lubrificante nula (Λ=0). Considera-se que se trata do campo de pressões

típico de um funcionamento em regime limite, pLIM.

2.2.1- Deformação elástica dos corpos em contacto

A influência da distribuição de pressão aplicada às superfícies é muito grande na zona de

contacto decrescendo rapidamente com a distância ao centro do contacto. Nestas condições,

admitindo que as dimensões dos corpos em contacto são muito grandes quando comparadas


com as dimensões da zona de contacto, as tensões e as deformações podem ser calculadas,

com muito boa aproximação, considerando cada corpo como um sólido elástico semi-infinito,

isto é, um semi-espaço elástico. Esta aproximação permite a utilização da Teoria da

Elasticidade desenvolvida para o semi-espaço elástico [181].

O contacto é designado de linear ou infinitamente longo quando os raios de curvatura das

duas superfícies em contacto são infinitos numa dada direcção comum do plano de contacto.

Neste caso, a distribuição de pressão é constante nessa direcção, como representado na Figura

2.1.

Figura 2.1 – Distribuição de pressão p(x) a actuar num semi-espaço elástico.

A determinação dos deslocamentos das superfícies obedece aos seguintes

pressupostos:

• Os corpos em contacto são considerados semi-espaços elásticos;

• A solicitação é infinitamente longa na direcção Oy e está aplicada na largura

( )21 bb + sobre o eixo Ox;

• Os semi-espaços elásticos estão submetidos a um estado plano de deformação.

b1

x

z

b2

ds

s

x

p(s)

q(x,0)


Assim, o deslocamento normal de um ponto q da superfície do semi-espaço elástico, devido à

distribuição de pressão p(s), é definido por [181]:

( ) 2

1

2 bi

zii b

2 1u (x) p(s) ln x sds C

E −

− υ= − +

π ∫ (2.1)

No caso de um contacto linear entre dois corpos elásticos, cujas superfícies estão submetidas à

mesma distribuição de pressão, a diferença de deslocamentos de pontos homólogos de cada

uma das superfícies é

( ) ( ) 2

1

2 2 b1 2

z z1 z21 2 b

2 1 2 1u (x) u (x) u (x) p(s) ln x sds C

E E −

⎛ ⎞− υ − υ⎜ ⎟= − = + − +⎜ ⎟π π⎝ ⎠

∫ (2.2)

a qual pode ser simplificada tendo em conta o módulo de elasticidade equivalente E’,

12 21 2

1 2

1 1E ' 2E E

−⎛ ⎞− υ − υ

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, (2.3)

pelo que,

2

1

b

z 'b

2u (x) P(s) ln x sds CE −

= − +π ∫ (2.4)

2.2.2- Contacto seco

A teoria de Hertz (ver anexo A), para o problema de contacto normal entre dois sólidos de

revolução elásticos em contacto linear, foi desenvolvida a partir de várias hipóteses de base,

sendo de destacar as seguintes:


a) O material dos sólidos em contacto tem um comportamento homogéneo, isotrópico

e linear-elástico, de acordo com a lei de Hooke;

b) Os sólidos, para efeitos da determinação dos deslocamentos locais, podem ser

considerados como semi-espaços elásticos;

c) Os sólidos são de revolução, as suas superfícies são contínuas e contraformais,

sendo conhecidos os seus dois raios principais de curvatura Rx1 e Rx2, na vizinhança

da linha inicial de contacto;

d) A carga é aplicada segundo a direcção Oz, perpendicular ao plano tangente comum.

e) Após a aplicação da carga normal forma-se em torno da linha inicial de contacto

uma superfície de contacto;

f) A área de contacto é plana e paralela ao plano tangente comum;

g) A área de contacto é rectangular;

h) As dimensões da área de contacto entre os dois sólidos são muito pequenas quando

comparadas com os raios de curvatura das superfícies dos sólidos;

O modelo de Hertz para o problema de contacto normal entre dois sólidos elásticos,

transmitindo entre si uma força normal (Fn), estabelece as seguintes condições de contacto:

0zu (x) H (x)− δ ≥ − (2.5)

xp 0≥ (2.6)

x ns

p ds F=∫ (2.7)

A inequação (2.5) é uma condição de não penetração entre os sólidos em contacto, onde zu

representa a diferença dos deslocamentos normais das superfícies em contacto, δ a

aproximação global entre os sólidos, ou penetração, e H0 a geometria não deformada do

contacto. A segunda inequação (2.6) estabelece que no interior da área de contacto as pressões

são positivas ou nulas, sendo nulas no exterior. Finalmente a equação (2.7) estabelece o


equilíbrio entre a solicitação normal aplicada e a distribuição de pressões no interior da área

de contacto.

A solução, analítica ou numérica, do sistema de inequações e equações ((2.5),(2.6),(2.7))

permite determinar a distribuição de pressões no interior da área de contacto e a deformada

das superfícies. Tais soluções analíticas e numéricas são apresentadas com grande detalhe nas

referências [53, 285].

2.2.2.1- Contacto seco liso

A solução do problema de Hertz para o caso de duas superfícies lisas [181] conduz a um

campo de pressões parabólico definido por:

2

x 0xp p 1a

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.8)

em que p0 é a pressão máxima de contacto (pressão máxima de Hertz) e a representa a semi-

largura do contacto.

A pressão máxima de contacto (p0) pode ser obtida através do equilíbrio entre a carga normal

aplicada Fn e o campo de pressões px definido pela expressão (2.8),

2a a

n nx 0 0a a

F 2Fxp dx p 1 dx pa a− −

⎛ ⎞= − = ⇔ =⎜ ⎟ π⎝ ⎠∫ ∫ ou '

n0 '

F2 EpR

=π

(2.9)

sendo o comprimento de contacto e Req o raio de curvatura equivalente,


x1 x2eq

x1 x2

R RRR R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

(2.10)

A semi-largura de Hertz é definida por,

'0

'

p RaE

= (2.11)

isto é, em função da carga normal,

'n

'

F2 RaE

=π

(2.12)

2.2.2.2- Contacto seco rugoso (regime limite)

O modelo usado foi desenvolvido por Campos [22, 23, 53], e trata-se de um algoritmo que


obtida sobrepondo o perfil de rugosidade à forma média do contacto.

Este modelo não considera a cinemática do contacto nem a presença de lubrificante. Trata-se

apenas de colocar em contacto uma superfície rugosa equivalente e uma superfície lisa, sendo

a superfície rugosa obtida por combinação das superfícies reais em contacto.

A solução do problema de contacto rugoso conduz a um campo de pressões (pLIM)

caracterizado pelos elevados picos de pressão e a uma deformada da superfície de contacto

onde os picos das rugosidades são fortemente deformados, como se mostra na figura 2.4.

Este campo de pressões normais determinado em regime de contacto seco rugoso pode ser

considerado como um limite superior da distribuição de pressão em que toda a carga é

suportada pelas rugosidades em contacto não existindo qualquer filme lubrificante (Λ=0).


Figura 2.2- Contacto seco rugoso: campo de pressões e geometria deformada.

A Figura 2.3 representa a geometria equivalente de dois sólidos, para os contactos liso e

rugoso, antes e depois da deformação. A Figura 2.4 representa o campo de pressões em

contacto seco para uma superfície rugosa (superfície S1), para um contacto de referência

(p0=1.5 GPa, VR=6 ms-1, Ve=-0.3).

As rugosidades das duas superfícies são tidas em consideração, sendo definida uma macro e

uma micro-geometria equivalentes [83, 110, 130, 224, 245, 246, 285, 305]. Os algoritmos

desenvolvidos para análise do contacto seco rugoso mostram que estas rugosidades

modificam consideravelmente o campo de pressões, aumentando notavelmente as pressões

máximas, como mostra na Figura 2.4.

• Contacto seco rugoso (Λ=0)

– Consideração directa das superfícies reais – Cálculo do campo de pressões limite- PLIM – Cálculo da deformada do contacto


0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

(mm)

(m)

Rugoso não deformado

Rugoso deformado

Liso não deformado

Liso deformado

Figura 2.3 – Geometria não deformada e deformada de duas superfícies em contacto, liso ou rugoso

(superfície S1).

-1,00E+09

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

8,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PLISO

PLIM

PLISO

PLIM

Figura 2.4- Distribuição de pressão px para um contacto seco, liso ou rugoso (superfície S1).


2.3- Campo de pressões e espessura do filme lubrificante

em contacto EHD rugoso- Modelo de Ai e Cheng

O modelo desenvolvido por Ai e Cheng [2-4] permite determinar o campo de pressões de um

contacto rugoso em condições de lubrificação em regime de filme completo, isto é, tal que Λ é

superior a 2.

Este modelo simplificado permite calcular as variações do campo de pressões de um contacto

rugoso a partir da transformada de Fourier do perfil (FFT), permitindo obter as suas

componentes frequenciais.

O campo de pressões, assim obtido, pode ser considerado como um limite inferior da

distribuição de pressão em que toda a carga é suportada pelo filme lubrificante apesar das

superfícies em contacto

2.3.1- Lubrificação em regime de filme completo

Considera-se que a lubrificação ocorre em regime de filme completo, quando não existe

contacto entre os picos das rugosidades das superfícies. Observa-se experimentalmente [159]

que para valores de espessura específica do filme lubrificante superiores a 2 (Λ>2)

praticamente não há contacto entre as superfícies dos flancos dos dentes das engrenagens.

A equação de Reynolds [53] permite determinar o campo de pressões de contacto, conhecidas

a geometria deformada e a cinemática do contacto, assim como as propriedades do

lubrificante (em particular a suas viscosidade e piezoviscosidade).


De momento só estão disponíveis soluções numéricas da equação de Reynolds, para o caso da

lubrificação em filme completo, isto é, para contactos em que as superfícies estejam

completamente separadas por um filme lubrificante que suporta toda a carga transmitida ao

contacto. Na prática, tal significa que só são conhecidas soluções da equação de Reynolds

para valores de Λ≥2.

Para valores de Λ inferiores a 2 não é possível fazer convergir as soluções da equação de

Reynolds, o que é justificado pela incompatibilidade física entre a equação de continuidade do

filme lubrificante e a geometria deformada, isto é, pelo facto da carga poder ser suportada em

parte pelo filme lubrificante e em parte pelo contacto directo entre as rugosidades das

superfícies (regime misto).

Para valores de Λ superiores a 2 pode recorrer-se à solução de Ai-Cheng [2-4, 20-24, 134-

144] para a determinação do campo de pressões em regime EHD rugoso, o qual necessita do

conhecimento do valor médio de espessura do filme lubrificante e das componentes

frequenciais dos perfis de rugosidade das superfícies em contacto.

Conhecido o campo de pressões normais, pode obter-se a deformada elástica dos sólidos em

contacto que em conjunto com a espessura média do filme lubrificante define, de modo

simplificado, uma solução completa isotérmica do problema de contacto EHD rugoso (em

filme completo, para·> 2).


2.3.1.1- Contacto linear elastohidrodinâmico

Equação de Reynolds

Partindo da forma mais geral das equações completas de Navier-Stokes [139] aplicadas a

fluidos newtonianos e considerando que nos problemas de lubrificação em filme fluído os

efeitos da pressão, da temperatura e da viscosidade são predominantes, ou seja, não

considerando os efeitos de inércia (desprezáveis quando comparados com os efeitos viscosos)

e não considerando as forças de volume (desprezando a massa do lubrificante), Reynolds

formulou a equação para o escoamento de um fluído entre duas superfícies em contacto

baseada ainda nas seguintes considerações [53]:

1) o meio é contínuo;

2) a espessura do filme lubrificante é muito pequena quando comparada com as

restantes dimensões do contacto, podendo por isso considerar-se a pressão

constante na direcção normal ao plano de contacto;

3) não há deslizamento entre o lubrificante e as superfícies em contacto,

admitindo por isso a mesma velocidade para a superfície e para o lubrificante

na interface;

4) os gradientes de tensão de corte e de velocidade só são considerados

significativos na direcção normal ao plano de contacto (pelo mesmo motivo

referido em 3);

5) é admitido um escoamento laminar, isto é, com um número de Reynolds baixo;

6) o comportamento do lubrificante é considerado Newtoniano;

7) é considerado que a viscosidade e a densidade não variam na direcção normal

ao plano de contacto;


Nestas condições, considerando que x é a direcção do escoamento (rolamento) que z é a

direcção perpendicular ao plano de contacto e que y representa a terceira direcção cartesiana,

a equação de Reynolds estabelece que :

( ) ( )3 3 1 2U Up ph h h hx 12 x y 12 y 2 x t

⎡ ⎤⎡ ⎤ +∂ ρ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂+ = ρ + ρ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ η ∂ ∂ η ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.13)

Para uma dada geometria (h) a equação de Reynolds permite obter a correspondente

distribuição de pressão, conhecidas as velocidades das superfícies U1 e U2, a viscosidade

dinâmica (η) e a massa volúmica do lubrificante (ρ), devendo respeitar a condição de não

cavitação,

( ) 0,,,,, ≥∀∀ tyxpyxt (2.14)

O contacto entre os dentes de engrenagens cilíndricas (de dentado recto) é equivalente ao

contacto entre dois cilindros (contacto considerado infinitamente longo na direcção

perpendicular ao rolamento no plano de contacto, ou seja, na direcção y) e sendo assim o

problema elastohidrodinâmico analisado pode ser simplificado para o equivalente contacto

cilindro/cilindro que por sua vez é também equivalente (com a introdução do raio de

curvatura equivalente) a um contacto cilindro/plano como se mostra na Figura 2.5.

Figura 2.5 –Equivalência do contacto entre dentes de uma engrenagem recta, o contacto entre dois

cilindros e o contacto entre um cilindro e um plano.

y

z

R1

R2

x

R1

R2

Req

Fn


No caso de um contacto infinitamente longo (ou linear), a equação de Reynolds (2.13) pode

ser simplificada, obtendo-se,

( ) ( )3 1 2U Up h h hx 12 x 2 x t

⎡ ⎤ +∂ ρ ∂ ∂ ∂= ρ + ρ⎢ ⎥∂ η ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

(2.15)

Admitindo, ainda, que o regime de funcionamento é permanente, a equação de Reynolds toma

a forma:

( )3M

p h U hx 12 x x

⎡ ⎤∂ ρ ∂ ∂= ρ⎢ ⎥∂ η ∂ ∂⎣ ⎦

(2.16)

sendo UM=(U1+U2)/2 a velocidade média das duas superfícies. Integrando a equação (2.15) a

partir de uma determinada geometria obtém-se a solução para o problema do contacto linear

EHD para fluidos newtonianos em regime estacionário e isotérmico.

Geometria do filme lubrificante

O fluido lubrificante é submetido ao esmagamento e ao corte provocados pela carga e pelas

velocidades impostas aos corpos em contacto. A geometria inicial das superfícies é alterada

devido à deformação elástica provocada pelo efeito da pressão de contacto.

Atendendo à Figura 2.6, a geometria do filme lubrificante (h) pode ser definida por:

h=H0- zu +h0+ Cu (2.17)

onde,

H0 – geometria não deformada da superfície equivalente.


h0 – espessura do filme lubrificante no centro do contacto.

zu – diferença dos deslocamentos, definido pela equação (2.4).

Cu – diferença dos deslocamentos no centro do contacto (para x=0).

Figura 2.6 –Geometria do filme lubrificante elastohidrodinâmico em regime de filme completo.

Comportamento do lubrificante

A relação entre a geometria do filme lubrificante, a cinemática das superfícies e o campo de

pressões de contacto é obtida através da equação de Reynolds (2.16) conhecendo o

comportamento do lubrificante, nomeadamente, a variação da viscosidade dinâmica e da

massa específica com a pressão e temperatura.

A expressão de Barus [105, 106, 338]

( ) ( )0 0 0 0P,T exp P T Tη = η α −β −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.18)

H0

Cu

h0

zu

h


relaciona a viscosidade dinâmica de um lubrificante com a pressão e temperatura, onde, η0 é a

viscosidade dinâmica à pressão atmosférica e à temperatura do banho de óleo (T0), α0 é o

coeficiente de piezoviscosidade e β0 o coeficiente de termoviscosidade.

A equação de Dowson e Higginson [101], que descreve a variação da massa específica com a

pressão, foi modificada de forma a contemplar o efeito de expansão térmica [170, 274, 305]:

( ) ( )1p0 p 0

2p

PP,T 1 1 T T

1 P⎛ ⎞α

⎡ ⎤ρ = ρ + −β −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟+ α⎝ ⎠ (2.19)

onde α1p e α2p são os coeficientes de piezodensidade e βp é o coeficiente de expansão térmica.

Equilíbrio de forças no contacto

A distribuição de pressão normal px na área de contacto deve equilibrar a carga normal

aplicada ao contacto Fn, ou seja,

n xS

F p dx dy= ∫ (2.20)

Num contacto linear elastohidrodinâmico, com comprimento de contacto e largura de

contacto 2a, a condição de equilíbrio pode ser simplificada, obtendo-se

anxa

F p dx−

= ∫ (2.21)


2.3.1.2- Contacto linear elastohidrodinâmico liso

A determinação do campo de pressões e da geometria do filme lubrificante em contactos EHD

lisos, considerando que o comportamento do contacto é isotérmico, resulta da solução

simultânea das equações apresentadas no ponto anterior, nomeadamente a equação de

Reynolds, a equação da geometria do filme lubrificante, as leis de variação da viscosidade

dinâmica e de massa específica do lubrificante com a pressão e temperatura e a equação de

equilíbrio de forças no contacto.

Devido à impossibilidade de obtenção de uma solução analítica para o problema do contacto

EHD liso recorrem-se a soluções numéricas como mostram alguns exemplos descritos na

literatura [53].

Distribuição de pressão em contactos EHD lisos

A Figura 2.7 mostra um exemplo típico do campo de pressão e da geometria do filme

lubrificante num contacto EHD liso. Pode observar-se na Figura 2.7 que o campo de pressões

EHD prolonga-se para a zona do convergente e do divergente do contacto, tendo uma largura

superior à do correspondente campo de pressões seco (Hertz). principalmente na zona do

convergente do contacto. Também se verifica um ligeiro decréscimo do valor da pressão

máxima EHD em relação à pressão máxima de Hertz. A espessura do filme mantém-se

praticamente constante e igual à espessura no centro (h0) na região correspondente às pressões

elevadas. Imediatamente antes da saída do contacto ocorre um pequeno pico de pressão

associado a um decréscimo local da espessura do filme lubrificante.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

x/b

P/P

0

0

1

2

3

4

5

6

h/h 0

Hertz

EHD

h/ho

Figura 2.7 – Campo de pressão de Hertz, campo de pressão EHD e geometria do filme lubrificante

(contacto EHD liso).

Espessura do filme lubrificante em contactos EHD lisos

São inúmeras as propostas de expressões para cálculo da espessura do filme lubrificante em

contactos lineares. Dowson & Higgison [103, 160] desenvolveram a expressão apresentada no

capítulo 1 para a espessura do filme lubrificante em contactos lineares, contudo não

apresentam nos seus trabalhos os limites para a aplicação dessa expressão nem referem quais

os resultados considerados no ajuste dos expoentes da mesma equação.

A solução de Grubin [149] para o cálculo da espessura do filme lubrificante em contactos

elastohidrodinâmicos assume um comportamento isotérmico do contacto em toda a sua

extensão. Esta hipótese foi considerada por diversos autores, entre eles Dowson & Higgison

[103, 360] para o contacto linear e Hamrock & Dowson [154] para o contacto pontual.

Constatou-se experimentalmente que a espessura do filme lubrificante, quer em casos de

rolamento puro quer de rolamento e escorregamento, é quase unicamente determinada pelas


condições de funcionamento no convergente [100]. Com base neste facto e tendo em conta as

pequenas velocidades de deformação do filme lubrificante que ocorrem no convergente,

diversos autores, Crook [86], Dowson & Whitaker [101] e Cheng [74], sugeriram que o

aumento da temperatura no convergente era muito pequeno e como tal a sua influência na

viscosidade igualmente pequena. Neste pressuposto a influência do aumento da temperatura

no convergente na espessura de filme não era significativa.

No entanto, verifica-se que o comportamento isotérmico apenas acontece em situações em

que a velocidade de rolamento é muito pequena e para lubrificantes de baixa viscosidade.

Dyson, Naylor e Wilson (1965), segundo refere Greenwood [148], depois de encontrarem

valores experimentais para a espessura de filme inferiores aos previstos teoricamente

sugeriram que a causa podia estar na diminuição da viscosidade do lubrificante no

convergente.

Em 1972, Cheng (segundo Greenwood [148]) apresenta um modelo para o contacto

elastohidrodinâmico, assinala que a espessura do filme lubrificante pode ser

significativamente reduzida devido ao aumento da temperatura no convergente, faz uma

estimativa teórica desse aumento de temperatura no caso de rolamento puro e, a partir desses

resultados, obtém uma equação para prever a redução da espessura do filme lubrificante.

Este aquecimento no convergente resulta da deformação viscosa a que é submetido o

lubrificante devido à diferença de velocidades entre as superfícies, ao gradiente de pressão no

convergente e à velocidade de rolamento.

Este tema voltou a ser revisto por diversos autores, entre eles Greenwood & Kauzlarich [148]

em 1973, Murch & Wilson [240] em 1975 e mais recentemente por Pandey & Ghosh [260].

Os vários modelos propostos reconheciam a necessidade da inclusão do efeito térmico no

convergente na variação da espessura de filme, embora prevendo valores de redução da

espessura algo diferentes a elevadas velocidades de rolamento.


Neste trabalho foi adoptada a expressão sugerida por Cheng [2-4] à qual foi acrescentado um

factor, desenvolvido por Sottomayor e Seabra [302], que tem em consideração o efeito do

escorregamento.

0.740 0.740 0.1100 1.989 eqh R U G W −= ⋅ × × × (2.22)

O factor de redução da espessura do filme lubrificante devido ao aquecimento no

convergente, apresentado por Sottomayor e Seabra [302], é definido pela expressão,

actualizada para as unidades S.I,

( )0.420

'

T 0.84 0.64e

p1-7.374 LE=

1+0.089 1+3.964 V Lφ

⋅

⋅ (2.23)

onde a taxa de escorregamento Ve é definida por,

1 2e

1 2

U UV

U U−

=+

(2.24)

sendo o parâmetro térmico do lubrificante (L) definido por,

( )21 2

f

U UL

Kβ⋅ + ⋅η

= (2.25)

Assim, a espessura corrigida do filme lubrificante no centro do contacto será definida pela

expressão

h0C = φT.h0 (2.26)

À medida que se eleva a velocidade de rolamento o parâmetro L aumenta consideravelmente

e consequentemente há uma redução significativa de φT. Deste facto resulta que a taxa de

crescimento da espessura corrigida (ao contrário do que se passa com a espessura de filme não

corrigida) vai diminuindo até se tornar negativa. Em qualquer caso, a espessura de filme


corrigida nunca atinge o valor nulo, ou seja, o valor de φT é sempre maior do que zero o que

implica que teoricamente não está prevista a ruptura do filme lubrificante.

2.3.1.3- Contacto linear elastohidrodinâmico rugoso

Partindo da equação de Reynolds simplificada (2.15), o modelo desenvolvido por Ai e Cheng

[2-4, 134-144] permite determinar o campo de pressões de um contacto rugoso em condições

de lubrificação em filme completo, isto é, para valores da espessura específica do filme

lubrificante, Λ, superiores a 2.

Este modelo simplificado determina as perturbações locais do campo de pressões de um

contacto rugoso, a partir da transformada de Fourier (FFT) do perfil de rugosidade composto

das superfícies, permitindo obter as suas componentes frequenciais. Assim, a distribuição de

pressões em filme completo para o contacto EHD rugoso EHDRp é dada pela equação:

EHDR Hx x xp p p= + ϖ δ (2.27)

onde,

Hxp - pressão de Hertz do contacto onde x é abcissa sobre o perfil de rugosidade.

ϖx – função auxiliar de compatibilidade entre a zona de alta pressão no contacto e a

zona exterior ao contacto (pressão nula), definida por:

( ){ }x

1 x / a 0.9

0.5 1 cos 10 x / a 0.9 0.9 x / a 1

0 x / a 1

⎧ ≤⎪⎪ ⎡ ⎤ϖ = + π − < ≤⎨ ⎣ ⎦⎪

>⎪⎩

(2.28)


onde a é a semi-largura do contacto.

δpx - variação da pressão relativamente a HxP , com

fn0.768 0.806

x i i ii 1 i

2 xp Lp A L senL

−

=

⎛ ⎞πδ = + φ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (2.29)

Ai=ampi/h0

em que ampi é a amplitude da componente i do perfil de rugosidade,

Li=λi/a

em que λi é o comprimento de onda da componente i do perfil de rugosidade, φi é a fase da

componente i do perfil de rugosidade e nf representa o número de componentes utilizados na

definição do perfil de rugosidade.

O parâmetro Lp caracteriza as condições de funcionamento do contacto em termos de carga,

velocidade, escorregamento, geometria e propriedades do lubrificante, sendo definido por:

0.35152 0.55084 '0.61052 0.09768 0.16132 0.16132eq R 0 SLp 0.01576 W R E V C− − −

η= α η (2.30)

onde

0.899S eC 0.9454 V 0.074= β + (2.31)

com

β=1 se Ve < 0 e β=0.83 se Ve ≥ 0.


Este modelo considera o lubrificante como sendo um fluído newtoniano e o contacto como

isotérmico.

As modelizações que conduziram à definição do parâmetro Lp foram realizadas em condições

de funcionamento tais que os valores de Λ foram sempre superiores a 2 (lubrificação em

regime de filme completo), isto é, para superfícies com excelente acabamento onde os valores

da rugosidade RMS eram da ordem dos 0.120 µm. É importante referir que estes valores de Λ

dizem respeito à espessura não corrigida do filme lubrificante no centro do contacto, h0 e não

ao valor corrigido termicamente h0C.

As amplitudes ai de cada componente do perfil de rugosidade composta das superfícies em

contacto têm uma influência muito significativa sobre a amplitude das variações de pressão.

Sendo assim, a aplicação directa deste modelo ao contacto entre os dentes de uma

engrenagem não é praticável, já que os valores típicos das rugosidades das superfícies dos

dentes das engrenagens são largamente superiores aos atrás referidos, e os valores de Λ

significativamente inferiores, originando campos de pressões com valores localmente

negativos.

O modelo de Ai-Cheng só é válido para valores de Λ≥2. De modo a satisfazer esta condição, a

velocidade de rolamento é artificialmente aumentada de modo a que a espessura de filme não

corrigida termicamente atinja o valor mínimo requerido, isto é, h0=3RqC (RqC é a rugosidade

RMS da superfície composta não deformada, 0xH - ver ponto 2.6.1). Este procedimento de

variação da velocidade de rolamento não conduz a modificações significativas nos campos de

pressão [155], já que se destina unicamente à definição do campo de pressão correspondente

ao regime EHD rugoso, em regime de filme completo.

A implementação do modelo de Ai-Cheng, para a determinação do campo de pressões

correspondente à lubrificação em regime de filme completo rugoso em engrenagens, implicou

a adopção de algumas simplificações.


Entre essas simplificações encontra-se a anulação do efeito da taxa de escorregamento sobre

os campos de pressão. Dadas as condições de funcionamento das engrenagens e a rugosidade

das superfícies em presença, torna-se necessário tal procedimento, caso contrário os campos

de pressão resultantes, para além de provocarem um efeito exagerado nos desvios à pressão de

Hertz, conduzem sistematicamente a pressões de contacto negativas, fisicamente

inadmissíveis e que quando consideradas nulas acarretam erros de carga significativos. Nestas

circunstâncias, optou-se por não considerar o efeito do escorregamento entre as superfícies

(Ve=0), sendo neste caso o valor do parâmetro CS constante e igual a 0.074, como se deduz da

expressão (2.31).

A Figura 2.8 mostra o princípio de funcionamento do modelo de Ai e Cheng.

O campo de pressões, assim obtido, pode ser considerado como um limite inferior da


superfícies em contacto (ver limite superior, pág. 73).

As variações (δp) do campo de pressão de Hertz são corrigidas com a função de

amortecimento na entrada e na saída do contacto, já que o modelo determina variações de

pressão absolutas. Por vezes a função de amortecimento não é suficientemente forte para o

nível de rugosidade das superfícies das engrenagens, o que também provoca erros de carga,

embora muito menos significativos do que os referidos no caso anterior devidos à taxa de

escorregamento.


Figura 2.8 - Distribuição de pressão elastohidrodinâmica rugosa em regime de filme completo.

2.4- Campo de pressões em regime de lubrificação misto

O modelo desenvolvido por Ai e Cheng não pode ser aplicado directamente ao estudo dos

dentes das engrenagens, não só porque os perfis de rugosidade das engrenagens são muito

mais irregulares que os perfis para os quais o modelo foi desenvolvido, mas principalmente

porque o regime de lubrificação mais corrente em engrenagens é o regime misto, já que as

Contacto lubrificado rugoso (Λ>2)

- Integração da superfície através da sua FFT

- Cálculo da perturbação do campo de pressões de Hertz provocada pelas rugosidades para um contacto lubrificado

Cálculo do campo de pressões: ( )EHDR Hx xp p p xδ= +

PhaseAmplitude

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

ii

806.0i

768.0i l

X2sinlaLp)X(dP Φπ( ) 0.768 0.806 2sinp i i ii

xp x L amp LLπδ − ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ + Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


condições de funcionamento das engrenagens conduzem a valores da espessura específica do

filme lubrificante (Λ) normalmente situados entre 0.7 e 2 que é precisamente a gama de

valores correspondentes ao regime misto [159].

O regime misto é caracterizado pela existência de zonas no contacto onde o filme lubrificante,

se existir, não desempenha qualquer função hidrodinâmica, sendo o contacto integralmente




ou em filme completo).

A modelação clássica de um contacto EHD pressupõe a existência de um filme completo, ou

seja, não é compatível com este tipo de problema denominado por contacto rugoso em regime

misto de lubrificação. Uma solução possível para ultrapassar esta dificuldade passa pela

obtenção do campo de pressões normais de contacto em regime misto, através da conjugação

das soluções em regime de filme completo e em regime limite (⇔contacto seco).

Para valores de Λ muito baixos (Λ<0.1) a componente hidrodinâmica não tem significado

sendo a carga suportada integralmente pelas superfícies (limite superior). Neste caso, o

regime de lubrificação é dito limite, podendo a correspondente distribuição de pressão ser

considerada idêntica à do contacto seco rugoso (pLIM).

Para valores de Λ elevados (Λ>2) o filme hidrodinâmico lubrificante suporta totalmente a

carga aplicada não havendo contacto entre as rugosidades das superfícies (limite inferior).

Neste caso a correspondente distribuição de pressão pode ser considerada idêntica à do

contacto EHD rugoso (pEHDR).

Para valores de Λ inferiores a 2, o regime de lubrificação é misto, ou seja, uma parte da carga

normal imposta ao contacto é suportada pelo filme lubrificante e a outra parte é suportada

directamente pelos picos de rugosidade das superfícies.


Neste caso, a distribuição de pressão do contacto misto pode ser obtida a partir da solução do

contacto seco rugoso e do contacto EHD rugoso em filme completo, considerando uma

função de repartição de carga adequada.

Em regime misto, a função de repartição de carga normal determina que parte da carga é

suportada pelo contacto seco (limite superior, LIMnF ) e que parte da carga é suportada pelo

filme completo hidrodinâmico (limite inferior, EHDRnF ). A carga total é

EHDR LIMn n nF F F= + , (2.32)

e definindo por fΛ a percentagem de carga suportada pelo filme lubrificante, tem-se que:

EHDRn nF F fΛ= (2.33)

logo,

( )LIMn nF F 1 fΛ= − . (2.34)

Nestas circunstâncias, a distribuição de pressão correspondente à lubrificação em regime

misto pode ser considerada como uma situação intermédia entre os dois limites referidos.

Considerando que fΛ é uma função global ao nível do contacto e que depende apenas do valor

da espessura específica do filme lubrificante (Λ), a distribuição de pressão em regime misto

(pMIX) pode ser determinada pela expressão:

( )MIX EHDR LIMp p f p 1 fΛ Λ= + − (2.35)

A pressão EHD EHDRp e a pressão limite LIMp , são o resultado da aplicação da carga total a

cada uma das situações limite, ou seja, considera-se que o contacto em regime misto é

equivalente à soma de uma fracção de um contacto EHD rugoso (lubrificação em regime de


filme completo rugoso) com outra fracção de um contacto seco rugoso (lubrificação em

regime limite).

Em síntese, a determinação do campo de pressões de contacto em regime de lubrificação

mista, pode ser representada esquematicamente pela Figura 2.9.

Conhecidos que são os campos de pressões correspondentes aos dois casos extremos, o

contacto seco rugoso ou em regime de lubrificação limite e o caso do contacto EHD rugoso

ou em regime de lubrificação por filme completo, pode, agora, ser obtido o campo de pressões

em regime de lubrificação mista, combinando esses dois casos extremos usando uma função

de repartição de carga normal fΛ.

Este modelo permite assim obter o campo de pressões para os contactos entre os dentes de

engrenagens, mesmo quando o valor de Λ é reduzido, como frequentemente acontece nas

engrenagens.


Figura 2.9- Determinação do campo de pressões de contacto em regime de lubrificação misto (0≤Λ≤2).

0T

q C

hR

φ ⋅Λ =

Teoria de Hertz aplicada às

condições de contacto

Calculo do campo de pressão em

contacto seco para a superfície

estudada pLIM(x)

Cálculo da espessura do

filme lubrificante h (fórmula de

Cheng)

Medição dos perfis de rugosidade do pinhão e

roda

Filtragem para determinar curvatura do perfil dos dentes. Composição dos

perfis de rugosidade das duas superfícies em contacto.

Transformada de fourier do perfil de rugosidade

composto, rugosidade equivalente, cálculo dos

parâmetros de rugosidade(Rms)-

(rugosidade do pinhão e da roda)

Campo de pressão em regime de filme

completo EHD rugoso (modelo de Ai e Cheng)

pEHDR(x)

CÁLCULO DO CAMPO DE PRESSÃO EM REGIME DE LUBRICAÇÃO MISTO

(PMIX) E DA CORRESPONDENTE DEFORMADA DO CONTACTO (MIX

DEFRH )

pMIX(x)=(1-fΛ).pLIM(x)+fΛ.pEHDR(x)

Função de repartição de carga

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Λ

f( Λ)

1c

afb

Λ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠


2.5- Repartição de carga- Função fΛ

A função fΛ permite determinar a importância relativa de cada um dos dois campos de pressão

extremos sobre o campo de pressão final. A função fΛ é uma função global ao nível do

contacto e que depende apenas da espessura do filme lubrificante, podendo ser considerada

constante no interior do contacto.

A função fΛ utilizada está representada na Figura 2.10, sendo também apresentadas as funções

propostas por Zhu [350-352], e Castro [64]. A principal característica da função proposta por

Zhu, 26.1

64.0

37.0121.1

Λ+Λ

=ΛZhuf , é que para valores de Λ superiores a 2 o contacto deixa de ser misto e

passa a ser em filme completo. Outros autores propõem soluções semelhantes para contactos

pontuais [75, 77, 117] e pode admitir-se que a função pode ser dependente de outros factores

para além da espessura específica do filme lubrificante, como por exemplo a orientação da

rugosidade [75] e o tipo de contacto (linear ou pontual). A forma da função fΛ pode

obviamente ser diferente. A curva fΛ proposta para as engrenagens em estudo foi determinada

tendo como base a curva de avarias de Wellauer e Holloway [328] apresentada na Figura 2.11

e uma função fΛ determinada por Barral [23].

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Λ

f Λ

flamdaZhuCastroPontos de referência

Figura 2.10- Funções de repartição da carga normal em regime de lubrificação misto.

5.210.61

fΛ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

26.1

64.0

37.0121.1

Λ+Λ

=ΛZhuf

28.082.0 Λ=ΛCastrof


0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000

Velocidade linear no primitivo (m.s-1)

Λ

80%

5%

0.46

7.5

Figura 2.11 - Curvas de Wellauer e Holloway [23, 328] correspondente a 5% e 80% de probabilidade de

avaria.

Estas curvas, resultantes de trabalhos experimentais, mostram os valores de Λ para os quais as

probabilidades de avaria do contacto são superiores a 5% ou a 80%, em função da velocidade

linear do primitivo. Como neste caso a velocidade de referência para a qual fΛ vai ser

calculada é de 7.5 m/s, obtém-se os valores de 0.46 para uma probabilidade de avaria de 80%

e Λ=1 para uma probabilidade de avaria de 5%.

Como simplificação, admitiu-se que 5% de probabilidade de avaria corresponde a fΛ=0.95

(isto é 1-5%) e 80% de probabilidade de avaria corresponde a fΛ=0.20 (isto é 1-80%). Deste

modo relacionou-se de um modo simples, a repartição de carga à probabilidade de avaria,

tendo em conta a velocidade tangencial da engrenagem e a espessura específica do filme

lubrificante.

É importante referir que outras duas funções fΛ, mais severas, foram estudadas por R. Barral

[22, 23] e os resultados em termos de distribuição de pressão foram muito próximos, variando

apenas os valores máximos dos picos de pressão.


2.5.1- Função fΛ generalizada

Tendo por base a função fΛ determinada por Barral [23], e que é apresentada na Figura 2.12, e

os quatro pontos particulares resultantes da curva de Wellauer e Holloway para uma

probabilidade de avaria de 80% (80% de contacto seco rugoso) e 5% (5% de contacto seco

rugoso) e para uma velocidade tangencial de 7.5 m/s , procurou-se encontrar uma expressão

geral para a função fΛ.

Inserindo o conjunto de pontos no software “TableCurve” [141-144] e após análise das várias

expressões [141-143] que aproximavam os respectivos pontos, chegou-se a uma expressão do

tipo:

1c

afb

Λ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

(2.36)

onde a=1.0, b=0.6 e c=5.2, com r2=99.9865% e um resíduo = 0.000105.

A Figura 2.12 representa a curva da função fΛ para a variação dos pontos de abcissa 0.46 e 1,

e sua comparação com a função fΛ original determinada por R. Barral [23]. A Figura 2.13

representa o campo de pressão adimensional calculado com cada uma das funções.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Λ

f Λ

fBarral

flambda

Figura 2.12 - Curvas BarralfΛ e

1

1cf

bΛ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

para os pontos particulares (0.46; 0.20) e (1; 0.95).

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

mm

P/P 0

Pressão f(L)original

Pressão f(L)

Figura 2.13 – Campo de pressões adimensional da superfície de série (S1) para cada uma das funções fΛ.

( )MIXxp fΛ

( )MIX Barralxp fΛ


2.5.2- Cálculo da função f(Λ,Vt) dependente da velocidade no

primitivo da engrenagem

Tendo em conta a função fΛ generalizada para a velocidade linear no primitivo de 7.5 m/s,

pretende-se encontrar uma expressão geral válida qualquer que seja a velocidade linear no

primitivo.

Deste modo para cada uma das seguintes velocidades: 4.31, 8.62, 12.94 e 17.25 m/s, e

seguindo o procedimento atrás referido, determinou-se através da curva de Wellauer e

Holloway, os respectivos valores de Λ, para as probabilidades de avaria de 5% e 80%

respectivamente. Com estes valores de Λ, e seguindo o raciocínio efectuado anteriormente,

aquando do calculo da função fΛ generalizada, calculou-se os respectivos valores de f(Λ,Vt).

O conjunto de pontos particulares (Λ;fΛ) para cada uma das velocidades, incluindo a

velocidade de 7.5 m/s é apresentado na tabela 2.1 e na Figura 2.14.

Tabela 2.1 – Valores dos pontos (Λ;fΛ) para as várias velocidades.

Vt - Velocidade (m/s) Λ FΛ

0.0 0.0 0.36 0.157 0.8 0.94

4.31

2.0 1.0

0.0 0.0 0.46 0.20 1.0 0.95

7.5

2.0 1.0

0.0 0.0 0.5 0.217 1.1 0.995

8.62

2.0 1.0

0.0 0.0 0.78 0.339 1.8 0.99

12.94

2.0 1.0

0.0 0.0

0.87 0.378

1.9 0.995 17.25

2.0 1.0


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Λ

f( Λ)

exp v4.31exp v7.5exp v8.62exp v12.94exp v17.25

Figura 2.14 - Conjunto de pontos (Λ,fΛ) para várias velocidades tangenciais da engrenagem.

De seguida, tendo em conta a forma da função fΛ generalizada cbf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ+

=Λ

1

1 , procurou-se,

recorrendo ao “software TableCurve” [141-144], os valores dos parâmetros b e c que melhor

correlacionassem os pontos particulares para cada uma das velocidades, tendo-se obtido os

valores dos parâmetros, que se encontram apresentados na tabela 2.2.

Tabela 2.2 –Valores dos parâmetros b e c em função da velocidade.

Vt - Velocidade no primitivo da engrenagem (m/s)

Parâmetros 4.31 7.5 8.62 12.94 17.25

b 0.48 0.6 0.605 0.84 0.94

c 6.0 5.2 6.7 8.91 6.55

Correlação (%) 99.9804 99.9865 99.9505 99.9941 99.9997

Resíduos 1.62E-4 1.05E-4 3.96E-4 4.38E-5 2.39E-6

Deste modo, analisando os valores dos parâmetros b e c, constata-se que estes dependem da

velocidade, pelo que a função fΛ depende dessa mesma velocidade.


Em seguida, apresentam-se na tabela 2.3 e na Figura 2.15 uma comparação entre os valores de

fΛ obtidos com base na curva de avarias de Wellauer e os valores de fΛ calculados

analiticamente através da expressão (2.37), usando os valores de b e c referidos na tabela 2.2.

Tabela 2.3 – Valores de f(Λ) obtidos através da função 1

1cf

bΛ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

e valores de f(Λ) obtidos

com base na curva de Wellaueur e Holloway para as velocidades de 4.31, 7.5, 8.62, 12.94 e 17.25 m/s.

F(lambda)

lambda vt4.31 vt7.5 vt8.62 vt12.94 vt17.25 exp 4.31 exp 7.5 exp 8.62 exp 12.94 exp 17.250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.36 0.151088 0.065602 0.029941 0.000526 0.001858 0.1570.46 0.436505 0.200743 0.137547 0.004654 0.009185 0.20.5 0.560929 0.279273 0.218035 0.009733 0.015753 0.2170.78 0.948488 0.796457 0.845827 0.340672 0.22756 0.940.8 0.955424 0.816969 0.866674 0.393 0.258016 0.3390.87 0.972568 0.873485 0.919374 0.577535 0.375925 0.3780.9 0.977504 0.891719 0.934687 0.649018 0.4292711 0.987917 0.934398 0.966655 0.825417 0.599957 0.95

1.1 0.993143 0.958984 0.982111 0.917033 0.736832 0.9551.8 0.999641 0.996707 0.999328 0.998877 0.986009 0.991.9 0.99974 0.997512 0.999532 0.999306 0.990141 0.9952 0.999809 0.998094 0.999668 0.99956 0.992934 1 1 1 1 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Λ

f( Λ)

vt4.31vt7.5vt8.62vt12.94vt17.25exp 4.31exp 7.5exp 8.62exp 12.94exp 17.25

Figura 2.15 - Curvas f(Λ,Vt) e valores de fΛ obtidos com base na curva de avarias de Wellaueur e

Holloway.


Tendo em conta os resultados obtidos, representados na Figura 2.14, o passo seguinte foi

encontrar uma expressão de f(Λ,Vt), que dependendo da velocidade, representa o melhor

possível o conjunto de pontos particulares obtidos para uma dada velocidade.

Obteve-se a uma expressão geral de f(Λ,Vt), que é dependente da velocidade linear no

primitivo e que aproxima relativamente bem o conjunto de pontos particulares obtidos para

cada uma das velocidades. Esta expressão é da forma:

3

21

1

1C

t

fV CC

Λ =+⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

sendo Vt a velocidade linear no primitivo. Os valores das constantes C1, C2 e C3 foram obtidos

através de um software de correlação não linear que utiliza o método Markquardt [141-144],

elaborado em Fortran, e são os seguintes: C1 = 6.68E-9, C2 = 8.62 e C3 = 5.71,com r2 = 99%.

Deste modo, a expressão geral de f(Λ,Vt) é dada por:

5.719

18.621 6.68 t

fV

Λ−

=+⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

De notar que esta função de f(Λ,Vt), assim como a anterior, é apenas válida para valores de Λ

diferentes de zero. Quando Λ = 0 então f(Λ,Vt)=0, por imposição.

As curvas de f(Λ,Vt) calculadas com a expressão geral atrás enunciada, para cada uma das

velocidades, e sua comparação com os valores obtidos com base na curva de avarias de

Wellaueur e Holloway, são apresentadas na figura 2.16 (de notar que foram introduzidos, para

cada velocidade, mais alguns pontos, correspondentes a outras probabilidades de avaria, com

o objectivo de tornar a correlação o mais fiável possível).


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Λ

f Λ

Zhu

Castro

vt4.31

vt7.5

vt8.62

vt12.94

vt17.25

exp 4.31

exp 7.5

exp 8.62

exp 12.94

exp 17.25

Figura 2.16 - Curvas f(Λ,Vt) para as várias velocidades e valores de f(Λ,Vt) obtidos com base na curva de

avarias de Wellaueur e Holloway.

2.6- Campo de pressão normal em regime misto de

lubrificação. Aplicação a uma superfície real

O primeiro passo para a obtenção do campo de pressões, quer seja em filme completo rugoso

ou em contacto seco rugoso, passa pela obtenção da rugosidade das superfícies em contacto,

por exemplo, usando um rugosímetro, como se mostra na Figura 2.17.

Figura 2.17 – Rugosímetro Hommelwerke T4000, com apalpador mecânico (absoluto).


Um factor importante é o passo de apalpação dos perfis de rugosidade que, normalmente, se

pode fazer coincidir com o passo de discretização (∆x) dos campos de pressão. No

desenvolvimento do modelo de Ai e Cheng foram utilizados passos de apalpação e de

discretização de 2.5µm. Na medição das superfícies das engrenagens foi utilizado um passo

de apalpação de 2.0µm, ou seja, um valor muito próximo do utilizado na modelização de Ai-

Cheng. O passo de apalpação é um factor determinante na amplitude e comprimento de onda

dos picos de pressão. A utilização de passos mais pequenos (ex. 1.2µm) origina campos de

pressões com amplitudes dos picos substancialmente maiores.

A obtenção do campo de pressões em regime de filme completo rugoso (modelo EHD rugoso

de Ai-Cheng) pressupõe que uma superfície rugosa com um determinado raio de curvatura

esteja em contacto com uma superfície lisa e plana. Logo, é necessário definir uma superfície

com rugosidade equivalente à do contacto pinhão-roda e com uma curvatura equivalente à das

duas superfícies em contacto.

De uma forma geral, e em forma de resumo os passos para a obtenção do campo de pressões

em regime misto de lubrificação são:

1º Medição dos perfis de rugosidade das superfícies em contacto (roda e pinhão) e, se

necessário, filtragem para eliminar a curvatura do perfil dos dentes (eliminando os

comprimentos de onda macroscópicos – eliminação de eventuais “ruídos” das medições

obtidas no rugosímetro).

2º Composição dos perfis de rugosidade das duas superfícies em contacto e determinação das

componentes frequenciais através da análise de Fourier do perfil de rugosidade composta.

3º Contacto seco rugoso - determinação do campo de pressões pLIM.

4º Contacto EHD rugoso (modelo de Ai-Cheng), considerando a espessura do filme

lubrificante não corrigida para a determinação do campo de pressões pEHDR.

5º Cálculo dos valores de espessura específica do filme lubrificante Λ,


0C T 02 2

qC q1 q2

h hR R R

φΛ = =

+.

6º Cálculo do valor da função de repartição de carga fΛ,

7º Determinação do campo de pressões para a lubrificação em regime misto pMIX a partir de

pLIM, pEHDR e fΛ: pMIX = pEHDR fΛ + pLIM (1-fΛ), e da deformada do contacto correspondente

a pMIX.

2.6.1- Perfil de rugosidade composto

A rugosidade composta do contacto entre os dentes do pinhão e da roda é obtido invertendo o

ficheiro de rugosidade medido no rugosímetro, por exemplo do pinhão, primeiro em x e

depois em z, de forma a poder ser conjugado com o ficheiro de rugosidade da roda (Figura

2.18).

Figura 2.18 – Obtenção da rugosidade composta

X Z Pinhão

X

Z Roda


De seguida, procedeu-se ao cálculo da distância entre as alturas dos picos de rugosidade

(Z=Z1 - Z2), e com o valor mínimo dessa diferença (Min(Z)), é calculado o novo referencial,

que é dado pela diferença entre a distância das alturas das rugosidades e o seu mínimo (Zf =Z-

Min(Z)). Deste modo, a nova rugosidade Ra ou Rms será dada pelo valor dessa rugosidade

adicionada do valor desse referencial, isto é Ra= Ra + Zf ou Rms = Rms + Zf.

O perfil de rugosidade equivalente, correspondente ao contacto entre os dentes do pinhão e da

roda, foi obtido, portanto, combinando os perfis de rugosidade das duas superfícies.

Verifica-se que a rugosidade (Rms) da superfície composta equivalente, RqC, é igual à

rugosidade composta (Rms) obtida a partir das rugosidades (Rms) de cada uma das superfícies

(Rq1 e Rq2), ou seja, verifica-se que,

2 2qC q1 q2R R R= + (2.37)

o que mostra a validade da solução utilizada.

Na Figura 2.19 mostram-se os perfis de rugosidade do pinhão e da roda, assim como o perfil

de rugosidade resultante da sua composição, para a superfície de série S1 (S1)


Rugosidade sem filtragem (S1*)

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

x (mm)

(µm)

compostopinhaoroda

Figura 2.19 – Definição do perfil de rugosidade composta a partir dos perfis de rugosidade da roda e do

pinhão da superfície de série (S1).

A Figura 2.20 representa a geometria do contacto não deformado da superfície rugosa,

composta (S1). A Figura 2.21 mostra a geometria do contacto EHD rugoso, correspondente à

superfície rugosa anterior, deformada elasticamente.

0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

1,20E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

x (mm)

(m)

Não deformada

Superf. lisa

Figura 2.20 – Superfície composta não deformada.


0,00E+00

5,00E-07

1,00E-06

1,50E-06

2,00E-06

2,50E-06

3,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

x (mm)

(m)

Deformada

Deformada lisa

Figura 2.21 – Contacto EHD rugoso. Superfície composta deformada.

2.6.2- Campos de pressão EHD e seco rugosos

A Figura 2.22 mostra um exemplo de um campo de pressões EHD rugoso em filme completo

(EHDR) obtido a partir de medições reais das rugosidades das superfícies (pinhão e roda) da

superfície de série considerando o contacto de referência: p0= 1.5 GPa, VR= 6 ms-1, Ve= -0.3.

O campo de pressão em contacto seco rugoso (ou limite), representado na Figura 2.23, resulta

da aplicação da teoria da deformação de um semi-espaço elástico a uma superfície rugosa

referido em 2.2.2.2.


0,00E+00

5,00E+08

1,00E+09

1,50E+09

2,00E+09

2,50E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PLISO

PEHDR

PLISO

PEHDR

Figura 2.22 – Campos de pressão de Hertz e EHDR para a superfície de série (S1), condições de

referência.

-1,00E+09

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

8,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PLISO

PLIM

PLISO

PLIM

Figura 2.23 – Campos de pressão de Hertz e seco rugoso (limite) para a superfície de série (S1), condições

de referência.


2.6.3- Campos de pressões para lubrificação em regime misto

Para as condições de funcionamento referidas, o valor da espessura específica do filme

lubrificante para a superfície de série (S1) é de 0.544877 e a função de repartição de carga fΛ

calculada segundo a formúla 5.210.61

fΛ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

para a velocidade linear no primitivo de 7.5

ms-1 toma o valor de 0.386. Tal implica que o campo de pressão misto é equivalente a 38.6%

do campo de pressão EHDR (Figura 2.22) mais 61.4% do campo de pressão seco rugoso

(Figura 2.23).

A Figura 2.24 mostra o campo de pressões correspondente à lubrificação em regime misto

resultante dos campos de pressão EHDR (filme completo) e seco rugoso (filme limite) e da

correspondente deformada do contacto.

A Figura 2.25 compara os três campos de pressões obtidos. É notório que há uma diferença

muito significativa entre o campo de pressões seco rugoso, caracterizado por “picos” de

pressão muito elevados e uma forte descontinuidade e o campo de pressões EHDR,

caracterizado pela sua continuidade e pela existência de pequenos desvios de pressão em

relação à pressão de Hertz teórica. O campo de pressões misto resultante é caracterizado por

uma partilha das características dos dois casos limites superior e inferior, ou seja, o campo é

essencialmente contínuo como o campo de pressões EHDR, mas apresenta “picos de pressão”

correspondentes ao contacto seco rugoso embora mais atenuados, dando uma ideia clara da

repartição de carga entre o filme lubrificante e os picos de rugosidade mais salientes.


0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

PMIX(Pa)

0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

6,00E-06

H (m)

PMIX

HDEFR

PMIX

HRDEFMIX

Figura 2.24 – Campo de pressões em regime misto e da correspondente deformada do contacto para a

superfície de série (S1), condições de referência.

-1,00E+09

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

8,00E+09

9,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PEHDR

PLIM

PMIX

PEHDR

PLIM

PMIX

Figura 2.25 – Campos de pressões nos regimes misto, EHDR e seco rugoso para a superfície de série (S1),

condições de referência.



A partir da teoria de Hertz inúmeros estudos foram desenvolvidos de forma a modelizar da

melhor forma possível a realidade dos contactos não-conformes, permitindo a determinação

do campo de pressões na superfície de contacto.

O modelo de cálculo do contacto seco rugoso (regime limite) desenvolvido por Campos [53]


obtida sobrepondo o perfil de rugosidade à forma média do contacto. Este modelo não entra

em consideração com o movimento das superfícies nem com a existência de lubrificante.

Trata-se apenas de colocar em contacto uma superfície rugosa e uma superfície lisa. Deste

modo, considera-se que a espessura do filme lubrificante é nula e que o valor de Λ é nulo. O

campo de pressões assim obtido pode conduzir a valores de pressão muito elevados, tratando-

se, portanto, de um campo de pressões caracterizador de um “caso limite superior” a que

corresponde uma espessura do filme lubrificante nula (Λ=0). Considera-se que se trata do

campo de pressões em regime limite, pLIM.

Na lubrificação elastohidrodinâmica, o efeito combinado da deformação elástica das

superfícies e da variação de viscosidade do lubrificante na distribuição da pressão de contacto

e na geometria do filme lubrificante é considerável, permitindo ao contacto suportar uma

carga muito maior, para uma mesma espessura do filme lubrificante, relativamente aos outros

regimes. O contacto é modelizado como o contacto de um cilindro infinito de raio R (raio

equivalente) com um plano. A superfície não deformada é obtida adicionando a este cilindro o

perfil de rugosidade composto corrigido e filtrado a partir do qual o campo de pressão foi

calculado.

O modelo desenvolvido por Ai e Cheng [2-4] permite determinar o campo de pressões de um

contacto rugoso em condições de lubrificação em filme completo, isto é, para valores da

espessura específica do filme lubrificante, Λ, superiores a 2. Este modelo simplificado


determina as perturbações locais do campo de pressões de um contacto rugoso, a partir da

transformada de Fourier (FFT) do perfil de rugosidade composto das superfícies, permitindo

obter as suas componentes frequenciais. O modelo considera o lubrificante como sendo um

fluído newtoniano e o contacto como isotérmico.

A implementação do modelo de Ai-Cheng, para a determinação do campo de pressões

correspondente à lubrificação em regime de filme completo rugoso em engrenagens, implicou

a adopção de algumas simplificações. Entre essas simplificações encontra-se a anulação do

efeito da taxa de escorregamento sobre os campos de pressão.

O campo de pressões, assim obtido, pode ser considerado como um “limite inferior” da


superfícies em contacto

Contudo o modelo desenvolvido por Ai e Cheng não pode ser aplicado directamente ao

estudo dos dentes das engrenagens já que as condições de funcionamento das engrenagens

conduzem a valores da espessura específica do filme lubrificante (Λ) normalmente situados

entre 0.7 e 2 que é precisamente a gama de valores correspondentes ao contacto misto.

O regime misto é caracterizado pela existência de zonas no contacto onde o filme lubrificante,

se existir, não desempenha qualquer função hidrodinâmica, sendo o contacto integralmente




ou em filme completo). Neste caso, a distribuição de pressão e a geometria deformada do

contacto misto podem ser obtidas a partir das soluções do contacto seco rugoso e do contacto

EHD rugoso em filme completo, considerando uma função de repartição de carga adequada.

A modelização numérica do mecanismo de fadiga dos flancos activos dos dentes de uma

engrenagem é portanto dependente de uma função f(Λ,Vt), cujos pontos são determinados


através da curva de Wellauer e Holloway para uma probabilidade de avaria de 5 e 80%, e para

várias velocidades lineares no primitivo e que assume a forma: 3

211

1CCvC

f

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ+

⋅+

=Λ com

os valores das constantes C1, C2 e C3 a valerem respectivamente, 6.68E-9, 8.62 e 5.71. Para o

caso particular em estudo a velocidade no primitivo é de 7.5 m/s e a função de repartição de

carga assume a forma: 1

cafb

Λ =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟Λ⎝ ⎠

, com b= 0.6 e c= 5.2. A função fΛ é uma função global

ao nível do contacto e que depende apenas da espessura do filme lubrificante, podendo ser

considerada constante no interior do contacto.

A obtenção dos campos de pressões para a lubrificação em regime misto recorre à solução

elástica para a determinação do campo de pressões seco rugoso (considerada equivalente à

lubrificação em regime limite – limite superior) e a um modelo simplificado para obtenção do

campo de pressões em lubrificação EHD rugosa (considerada equivalente à lubrificação em

regime de filme completo – limite inferior). A percentagem de cada uma das componentes do

contacto misto é definida pela função de repartição de carga. A distribuição de pressão em

regime misto (pMIX) pode ser determinada pela expressão:

( )MIX EHDR LIMp p f p 1 fΛ Λ= + −

CAPÍTULO 3

TENSÕES TANGENCIAIS DE CONTACTO EM REGIME

MISTO DE LUBRIFICAÇÃO

3.1- Introdução

A partir do campo de pressões EHD rugoso, em regime de filme completo, são calculadas as

correspondentes tensões de corte EHD rugoso e a partir do campo de pressões em regime

limite (contacto seco rugoso) são calculadas as correspondentes tensões de corte limite. Os

dois campos de tensões de corte, EHD rugoso e limite, são combinados de modo a produzir o

campo de tensões de corte em regime misto.

O campo de pressões em regime misto não intervém directamente no cálculo das tensões de

corte em regime misto, mas a função de repartição de carga normal fΛ tem um papel

determinante.

A componente das tensões de corte em filme completo é determinada admitindo que o

lubrificante tem um comportamento reológico não-newtoniano e considerando as variações de

temperatura no interior do contacto. A outra componente das tensões de corte, em regime de

lubrificação limite, é obtida a partir das pressões de contacto seco rugoso, admitindo um

coeficiente de atrito em condições de lubrificação limite.


3.2- Tensões de corte no filme lubrificante em regime de

filme completo rugoso

No cálculo das tensões de corte em regime EHD rugoso o comportamento reológico dos

lubrificantes é determinante. Considera-se que o lubrificante tem um comportamento não-

newtoniano, onde podem coexistir o comportamento elástico, plástico e viscoso não-linear, os

quais são integrados no modelo do cálculo das tensões de corte.

A equação de energia permite determinar as variações de temperatura no fluído lubrificante

assim como nas superfícies em contacto e o resultado final é obtido pelo equilíbrio dos

diversos fenómenos físicos envolvidos.

3.2.1- Comportamento reológico de um lubrificante

A lei reológica clássica, lei de Newton, é definida por τ = ηγ e pressupõe que a tensão de

corte τ é proporcional à velocidade de deformação γ , sendo a constante de proporcionalidade

a viscosidade dinâmica do lubrificante η, como se mostra na figura 3.1 [301].

γ

τη

.

Figura 3.1 –Relação velocidade de deformação/tensões de corte segundo Newton [301].

Capítulo 3- Tensões Tangenciais de Contacto em Regime Misto de Lubrificação [117/366]

Ao termo η que representa a inclinação da recta, velocidade de deformação v.s. tensão de

corte, denomina-se viscosidade dinâmica do fluido. Assim, quando se considera que o fluido é

Newtoniano e se assume a lei proposta por Newton, a relação entre τ e γ fica apenas

dependente dos factores que modificam a viscosidade, sendo os mais importantes a pressão e

a temperatura.

Em contactos lubrificados submetidos a pequenas velocidades de deformação e baixas

pressões de Hertz, o que pressupõe baixos escorregamentos, elevadas espessuras de filme e

cargas reduzidas, o modelo Newtoniano descreve bem o comportamento do lubrificante [177]

prevendo tensões de corte no filme lubrificante aceitáveis.

Por exemplo, aplicando a lei de Newton a um contacto com uma velocidade de

escorregamento de 1m/s, uma espessura de filme de 1x10-6 m e um lubrificante com uma

viscosidade dinâmica de 0.1 Paּs, obtém-se uma tensão de corte de 0.1 N/m2(0.1 MPa) [147].

No entanto, cedo se verificou que nas condições de um contacto elastohidrodinâmico, onde as

velocidades de deformação e pressão aumentam significativamente, os lubrificantes não

poderiam manter um comportamento Newtoniano, pois isso conduziria a tensões de corte

muito elevadas e consequentemente a coeficientes de atrito igualmente muito elevados.

De facto, aplicando a mesma lei de Newton nas condições típicas de um contacto EHD, com

uma espessura da ordem de 0.5 x10-6 m e uma viscosidade de 106 Paּs, obtém-se uma tensão

de corte de 2x1012 N/m2, a qual excederia a tensão de cedência do aço, sendo, portanto,

irrealista [147].

Esta previsão contraria radicalmente as medições experimentais onde o coeficiente de atrito

em contactos EHD, raramente excede o valor de 0.1.


Uma outra evidência do comportamento não Newtoniano do lubrificante, embora levada ao

limite, é a rotura do filme lubrificante que ocorre em muitos tipos de contactos por motivos

que não a falta de lubrificante. Se o comportamento Newtoniano se verificasse, mesmo que o

filme lubrificante entre picos de rugosidade fosse muito fino, ele seria, em princípio, capaz de

gerar uma pressão local suficientemente alta para deformar as rugosidades e assim impedir o

contacto entre as superfícies e consequentemente a gripagem [177].

Verifica-se, experimentalmente, que quando um fluido está submetido ao corte entre duas

superfícies com velocidades diferentes, as tensões no seu interior aumentam linearmente até

se atingir um ponto em que o fluido já não é capaz de dar resposta, passando a corresponder a

um aumento da diferença de velocidades com um aumento das tensões de corte cada vez

menor, atingindo mesmo um ponto a partir do qual as tensões de corte não aumentam mais. O

ponto onde as tensões deixam de evoluir linearmente com a diferença de velocidades das

superfícies é considerado o limite do comportamento Newtoniano [177].

Assim, para determinados valores de temperatura e pressão, a curva velocidade de

deformação/tensões de corte seria composta por dois tramos distintos como se mostra na

figura 3.2. O primeiro tramo até se atingir a velocidade de deformação crítica, γ crítica,

corresponde ao comportamento linear Newtoniano. A partir de γ crítica o comportamento passa

a não-linear e a relação entre γ e τ é mais complexa, envolvendo mais factores para além da

temperatura e pressão usualmente considerados, nomeadamente factores que dependem do

tempo, como a velocidade de deformação, e que podem ser integrados numa “viscosidade

aparente”, η aparente, de forma a ser possível aplicar a mesma equação newtoniana

aparenteτ η γ= ⋅ a um comportamento não-newtoniano [139, 177].


ηaparente

η

γ critica

γ

τ

..

Figura 3.2 – Curva velocidade de deformação/tensões de corte para um fluido não Newtoniano [152].

Alternativamente, poder-se-ia considerar como fluido Newtoniano aquele cuja viscosidade

não é dependente da velocidade de deformação, e de não-Newtoniano aquele cuja viscosidade

depende da velocidade de deformação, como apresentado na figura 3.3 [177].

.

Fluido Newtoniano

Fluido não-Newtoniano

γ

η

Figura 3.3 – Comportamento da viscosidade com a velocidade de deformação [177].

3.2.2- Comportamento térmico

A primeira justificação para o andamento da curva de tracção de um lubrificante foi proposta

por Crook [86, 119, 147] em 1961. Crook mantinha como lei reológica a lei de Newton e

justificava a diminuição das tensões no interior do contacto para valores aceitáveis com a

diminuição da viscosidade devida ao aumento da temperatura provocado pela dissipação

energética causada pelas próprias tensões de corte. Deste modo, as elevadíssimas tensões a


que o lubrificante, segundo a lei de Newton, estaria sujeito seriam as responsáveis por uma

grande dissipação de energia com consequente diminuição da viscosidade e portanto das

tensões até que um equilíbrio para valores de tensão razoáveis seria atingido.

Crook concluiu ainda, que num contacto EHD o fluxo de calor dominante era de condução

através do filme lubrificante para as superfícies, e que a dissipação de calor devido aos

gradientes de pressão na zona de Hertz podiam ser desprezados face à dissipação devida ao

corte.

Assim, aplicando a teoria térmica de Crook, mesmo mantendo a lei de Newton é possível

obter curvas como a apresentada na Figura 3.4, como demonstrado por J A Greenwood [147].

h - Espessura do filme

mτ - Tensão média

η - Viscosidade

sU - 21 UU −

Figura 3.4 – Curva de tracção de acordo com a teoria térmica de Crook [147].

No entanto, uma análise mais pormenorizada da curva mostra que, utilizando valores típicos

para um lubrificante, o valor de coeficiente de atrito para uma pressão de 1 GPa é cerca de 6.5

[147] no ponto de tracção máxima. Tal significa que a teoria térmica, embora represente um

avanço assinalável, não é por si só capaz de explicar o comportamento da curva de tracção de

um lubrificante, devendo existir pelo menos um outro mecanismo envolvido que permita a

diminuição das tensões e conduza a valores do coeficiente de atrito compatíveis com os

obtidos experimentalmente.


3.2.3- Curva de tracção do lubrificante

Aos efeitos não Newtonianos do comportamento do lubrificante, é necessário sobrepor o

efeito do aquecimento do lubrificante no interior do contacto EHD, normalmente designado

por “efeito térmico”, o qual modifica as propriedades físicas do lubrificante, alterando,

consequentemente, não só os vários tipos de comportamento reológico atrás referidos como

também as gamas de condições de funcionamento em que se manifestam [301].

Num contacto EHD, as forças de atrito têm duas componentes sempre presentes, que actuam

em zonas diferentes. A primeira ocorre no convergente, estando relacionada com os

gradientes de pressão que aí ocorrem e com a velocidade de rolamento. Aqui as taxas de

deformação são pequenas já que a espessura de filme é elevada. A segunda ocorre na zona de

alta pressão onde as pressões elastohidrodinâmicas e a velocidade de deformação são

elevadas, já que a espessura de filme é muito pequena e a velocidade de escorregamento

elevada.

A componente de atrito resultante do escorregamento na zona de alta pressão é sempre

dominante [73], excepto no caso do rolamento puro ou do quase rolamento (taxas de

deformação do lubrificante nulas ou muito pequenas).

A curva de tracção de um lubrificante, isto é, a curva típica de variação do coeficiente de

atrito (µ) com taxa de escorregamento

1 2

1 2e

U UV

U U−

=+

está representada na figura 3.5. De um modo geral podem ser consideradas três zonas

distintas, das quais uma ou mais podem não estar presentes em função do tipo de lubrificante

e da pressão e temperatura de funcionamento.


Figura 3.5 – Curva típica de variação do coeficiente de atrito com a taxa de escorregamento [301].

Zona I - Nesta zona o coeficiente de atrito varia linearmente com a taxa de

escorregamento e as velocidades de deformação são pequenas.

O lubrificante tem um comportamento viscoso-linear a baixas pressões.

Quando a pressão aumenta o seu comportamento torna-se semelhante ao de

um sólido elástico linear.

Esta modificação de comportamento para altas pressões deve-se ao aumento

do tempo de relaxação do lubrificante enquanto o tempo de solicitação se

mantém, não permitindo que o lubrificante atinja o equilíbrio. A dependência

em relação ao escorregamento é em qualquer dos casos linear [73, 301].

Zona II - Nesta zona as velocidades de deformação já são importantes.

A variação não linear da viscosidade, η , com a taxa de escorregamento, Ve, é

explicada por um comportamento viscoso não-linear do lubrificante a baixas

pressões, que poderá, em caso de altas pressões, passar a viscoelástico ou a

elásto-plástico.

As zonas I e II são consideradas típicas de um contacto isotérmico, pois a potência dissipada

no filme lubrificante não é suficientemente elevada para provocar um aumento significativo

da sua temperatura [73, 301].


Zona III - Nesta zona, o aquecimento do lubrificante e os designados efeitos térmicos são

preponderantes.

Existe uma grande dissipação térmica, acompanhada de grandes aumentos de

temperatura, devido às elevadas velocidades de deformação a que o filme

lubrificante está submetido.

A tendência decrescente da curva de tracção nesta zona é explicada pelo

aumento da temperatura provoca uma diminuição da viscosidade do

lubrificante e consequente diminuição das tensões de corte.

O interesse no conhecimento do comportamento reológico do lubrificante nesta

fase, é de primordial importância. Embora a elevação de temperatura seja o

principal factor influente no coeficiente de atrito, ela depende do

comportamento reológico do lubrificante, o qual determina as tensões de corte

em presença que são as principais responsáveis pela elevação da temperatura.

Estes comportamentos não-lineares mostram a influência de outros parâmetros, para além da

pressão e da temperatura, nomeadamente, da velocidade de deformação [139, 177], sobre a

viscosidade dinâmica de um fluído.

Vários estudos realizados [25, 85, 100, 118, 162, 172, 178, 296, 301] mostraram a existência

de três tipos distintos de comportamentos não-newtonianos: elástico, viscoso não linear e

plástico.

3.2.4- Comportamentos não-newtonianos do lubrificante

No caso das condições de funcionamento típicas de um contacto EHD, o lubrificante pode ser

solicitado numa fracção de tempo tão pequena (solicitação de choque) que não tem tempo de

se deformar completamente, comportando-se como um sólido elástico – comportamento

elástico do lubrificante. Este tipo de comportamento elástico é essencialmente dependente da

velocidade com que são aplicadas as tensões de corte ( τ ).


As elevadas pressões de contacto existentes no interior de um contacto EHD, também podem

provocar a solidificação do lubrificante (transição líquido - sólido amorfo [139, 177]), mesmo

atendendo às elevadas temperaturas de contacto em presença [139], justificando este

comportamento elástico.

A representação matemática de um comportamento do tipo elástico pode ser obtida a partir da

definição de tensão de corte elástica,

eGτ = γ (3.1)

em que G é o módulo de corte transversal e γe a deformação elástica.

Derivando em ordem ao tempo a definição de tensão de corte elástica obtém-se, a equação

que relaciona a velocidade de deformação elástica com a velocidade de aplicação das tensões

de corte,

eGτ = γ (3.2)

Segundo Ree-Eyring [166] quando um fluido lubrificante está submetido a uma tensão de

corte, as barreiras energéticas que as moléculas devem ultrapassar para se moverem no

sentido da tensão aplicada, vêm diminuídas de uma quantidade igual ao trabalho mecânico

efectuado pelas moléculas em movimento, quantidade essa que é acrescida no sentido oposto

ao da aplicação da tensão.

Quando a velocidade de deformação é pequena, existe uma relação quase linear entre a

velocidade de deformação e as tensões de corte. No entanto, a partir de um certo nível de

velocidade de deformação, as barreiras energéticas no sentido da aplicação das tensões

decrescem acentuadamente e a relação passa a ser não linear [166] originando o designado

comportamento viscoso não linear, como se mostra na zona II da figura 3.5.


Da formulação da teoria de Ree-Eyring, tal como apresentada por Greenwood [6], obtém-se a

equação que relaciona a velocidade de deformação com as tensões de corte, para um fluido

viscoso não-newtoniano de Ree-Eyring,

RE

RE

sh⎛ ⎞τ τ

γ = ⎜ ⎟η τ⎝ ⎠ (3.3)

A tensão de referência de Ree-Eyring, τRE, define o ponto a partir do qual a não linearidade do

comportamento é significativa [139].

Os comportamentos elástico e viscoso não-linear não justificam o facto de haver um limite

para o coeficiente de atrito de aproximadamente 0.1 [118] ou mesmo a possibilidade de

existência de ruptura do filme lubrificante. De facto a teoria de Ree-Eyring deixa de ser

aplicável quando o trabalho realizado pela tensão de corte na direcção da deformação, que

diminui a energia necessária a essa mesma deformação, se aproxima da energia de activação

total, ou seja, quando a energia fornecida pelas tensões for igual à energia necessária para a

deformação, esta acontece sem que seja necessário qualquer incremento das tensões e

portanto as tensões não aumentam mais. Smith avançou com a hipótese [100, 147, 172, 296,

345, 346] de que quando a tensão de corte atinge um determinado valor limite o lubrificante

simplesmente cede como um sólido plástico, apresentando uma tensão de cedência que não

pode ser ultrapassada e originando o designado comportamento plástico do lubrificante. Esta

tensão de corte, que provoca uma deformação plástica do lubrificante, mantém-se constante

independentemente do aumento da velocidade de deformação, sendo usualmente designada

por tensão limite, Lτ .

Bair & Winer [16], em 1979, baseados em dados experimentais propuseram que a

componente plástica com característica viscosa linear fosse representada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

−ητ

−=γL

L 1ln (3.4)


Esta característica viscosa linear é observada para valores de tensão de corte muito inferiores

à tensão limite (τ << τL), situação para a qual a equação (3.4) resulta na equação de Newton

( τ = ηγ ).

3.2.5- Tensões de corte em regime de filme completo

O modelo de cálculo das tensões de corte no filme lubrificante foi elaborado por Sottomayor

et al. [299] tendo em conta as variações locais de temperatura no interior do contacto. Trata-se

de um modelo complexo que permite determinar as tensões de corte no filme lubrificante a

nível local, a partir do campo de pressões, da geometria do filme lubrificante e das condições

de funcionamento do contacto EHD, independentemente das superfícies em contacto serem

lisas ou rugosas. Para isso integra o comportamento reológico do lubrificante a partir de uma

lei viscoelástica e também as variações das propriedades do lubrificante (viscosidade, módulo

elástico de corte, tensão limite) em função da temperatura e da pressão (ver Anexo B). O

resultado final é obtido por convergência de todos estes parâmetros, calculando

nomeadamente os efeitos térmicos que são primordiais quando o contacto funciona em

rolamento com escorregamento como no caso do contacto entre os dentes de uma engrenagem

em pontos que não o primitivo (ver Anexo C).

O modelo admite que o lubrificante tem um comportamento reológico viscoelasto-plástico, de

acordo com a lei proposta por Bair e Winer (1979) que associa a componente elástica da

equação (3.2) com a componente plástica e viscosa linear da equação (3.4), isto é,

L

L

ln 1G

⎛ ⎞ττ τγ = − ⋅ −⎜ ⎟η τ⎝ ⎠

(3.5)

onde τ=τEHDR, representa as tensões de corte em regime de filme completo rugoso, isto é, em

regime EHD rugoso e P=pEHDR.


A viscosidade dinâmica varia segundo a lei de Barus [105, 106, 338],

( )( )0 0T T

00P

.e−α −β

η = η (3.6)

O módulo de corte transversal G e a tensão de corte limite τL, também intervenientes na lei

reológica, variam com a pressão e a temperatura segundo leis exponenciais [301],

0

G G0

1 1.P T TG G .e

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

α +β −

= (3.7)

e

00

1 1.P T T.e

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦τ τα +β −

τ = τ (3.8)

As variações de temperatura no filme lubrificante e nas superfícies dos sólidos são obtidas

através da solução da equação da energia aplicada ao filme lubrificante e às superfícies em

contacto, usando o método proposto por Tevaarwerk (1979) [301, 314] (ver anexo C).

O resultado final é obtido pelo equilíbrio dos diversos fenómenos físicos envolvidos,

nomeadamente, os efeitos térmicos, que são primordiais quando o contacto funciona em

regime de rolamento com escorregamento (caso das engrenagens em pontos da linha de

engrenamento que não o primitivo) (ver anexo C).

Para mais detalhes sobre o modelo usado para determinar as tensões de corte em regime de

filme completo rugoso sugere-se a leitura dos anexos B e C e a consulta da referência [301].

A utilização de um modelo viscoelasto-plástico em detrimento de qualquer um dos outros

modelos reológicos que podem caracterizar o lubrificante é justificada. Um modelo reológico

aplicado a condições de funcionamento que conduzem à fadiga de contacto de engrenagens

tem necessariamente que permitir rupturas do filme lubrificante. Os únicos modelos que


permitem abordar a ruptura do filme lubrificante por um processo mecânico são os que

incluem uma componente plástica.

Por outro lado, de modo a contemplar uma gama alargada de condições de funcionamento é

necessário considerar também a componente viscosa não linear (que em algumas situações

funciona como viscosa linear) e considerar a componente elástica importante para elevadas

velocidades de rolamento e/ou pequenas taxas de escorregamento.

Um aspecto essencial para determinar correctamente os valores das tensões de corte no filme

lubrificante é a obtenção dos parâmetros reológicos do lubrificante utilizado, nomeadamente o

módulo de elasticidade transversal, G, e a tensão de corte limite, τL, e as suas variações com a

pressão e temperatura.

Os coeficientes de piezoviscosidade αη e de termoviscosidade βη foram obtidos

experimentalmente, estando disponiveis na referência [301]. As curvas de tracção

experimentais do lubrificante [41, 110] foram reproduzidas numéricamente permitindo a

determinação dos parâmetros reológicos do lubrificante, a tensão de corte limite (τL, ατ e βτ) e

o módulo de elasticidade transversal (G, αG e βG).

3.2.5.1- Coeficiente de atrito

Em situações envolvendo escorregamento ou rolamento, um termo associado ao desgaste é o

atrito. O atrito pode ser definido como a força que se opõe ao movimento relativo entre duas

superfícies. Genericamente, a magnitude da força de atrito é descrita em termos de um

coeficiente de atrito, que é a razão entre a força de atrito e a força normal que pressiona os

corpos entre si.


Conforme mencionado por Budinski (1991) [49, 219], o coeficiente de atrito com essa

descrição foi proposto originalmente por Leonardo da Vinci, por volta de 1500 [219]. Apesar

de outras formulações existentes, o coeficiente de atrito descrito pela relação entre as forças

de atrito e normal é vastamente utilizado como caracterizador do atrito do sistema.

No início da era da tecnologia, o coeficiente de atrito era considerado como uma constante de

um determinado par de materiais. Ludema (1988) [206] ressalta que, na tecnologia moderna,

o coeficiente de atrito é considerado como sendo variável e dependente de parâmetros

operacionais (por exemplo, humidade, temperatura, velocidade e pressão de contato), de

lubrificantes, de propriedades do substrato e dos filmes superficiais. Desses, a dependência é,

em geral, maior com as propriedades das superfícies e com o acabamento superficial do que

com as propriedades do substrato [206].

Em termos de valores do coeficiente de atrito, Ludema (1996) [205] lembra que a

característica do atrito, de não ser uma propriedade intrínseca de um material nem de uma

combinação de materiais, traz complexidade no uso de valores tabelados como fonte de dados

para projecto. Os valores na maioria das vezes são obtidos com algumas combinações de

materiais e em condições estabelecidas com sistemas laboratoriais que empregam geometrias

simples. Obviamente, as informações tabeladas fornecem orientações; entretanto, Ludema

[205] menciona que uma análise mais criteriosa deve ser efectuada nos casos mais críticos.

Mesmo com críticas a valores tabelados, Ludema (1996) apresentou uma faixa possível para o

coeficiente de atrito em sistemas deslizantes lubrificados com óleo, com valores desde um

pouco maiores que 0 a quase 0,5. Essa faixa ampla de valores é praticamente sem sentido, e

reflete uma deficiência que ocorre em geral, de uma descrição da relação dos valores

tabelados aos tipos de sistemas e condições em que foram obtidos.

Em termos de considerações históricas do estudo do atrito, Ludema [205] descreve as teorias

envolvidas, desde Leonardo da Vinci, por volta de 1500, passando a Guillaume Amontons,

que cerca de dois séculos depois (por volta de 1700), confirmou as observações de da Vinci

através de experiências com vários pares de materiais (cobre, ferro, chumbo e madeira).

Amontons considerou, também como da Vinci, que o atrito era causado pela colisão entre as


irregularidades superficiais [219]. Conforme observa Ludema, tais irregularidades deveriam

ser de escala macroscópica pois naquela época pouco se sabia das irregularidades

microscópicas. Ludema [205] também menciona que nas experiências de Amontons, todas as

superfícies eram cobertas com banha de porco, porém, de maneira errónea, ainda hoje muitos

autores descrevem as teorias de Amontons como leis do atrito a seco.

Posteriormente, Charles A. Coulomb (1736-1806) [219]descreveu o atrito novamente como

sendo devido à interacção dos picos de rugosidade, similar a Amontons e outros. A teoria da

interacção dos picos de rugosidade é limitada, por não explicar, entre outros fenómenos, o

efeito da rugosidade no atrito e da inserção de filmes fluídos na interface. Ludema [205] cita

também Hardy, que na década de 1920, com as suas experiências de deposição de lubrificante

em camadas moleculares em superfícies, concluiu que o atrito é devido à actuação de forças

moleculares na interface. Em meados de 1930, a hipótese do atrito devido a um processo de

adesão na interface é a melhor aceite, cuja autoria da teoria tem sido atribuída a Bowden e

Tabor, e foi formulada para evidenciar a inadequabilidade da teoria da interacção. Conforme

Ludema, os modelos de atrito devido à adesão consideravam que a deformação plástica das

asperezas produz um aumento da área real de contato que é limitado pela resistência ao

cisalhamento dos filmes superficiais. Porém, tais modelos são limitados por algumas

características, como por exemplo, o envolvimento de mecanismos não completamente

conhecidos, como a fractura das junções e a não explicação do efeito da rugosidade [205,

219].

Ludema [206] menciona que mais recentemente, o atrito é visto como sendo devido à adesão

limitada por efeitos de adsorção e, em alguns casos, com determinadas superfícies rugosas,

uma segunda componente de atrito poderia aparecer devido à colisão dos picos de rugosidade.

No caso de superfícies lubrificadas, a adesão não é comummente discutida como uma causa

do atrito, entretanto, a molhabilidade, tensão superficial e até mesmo a viscosidade são

manifestações de forças de ligação, que são em parte relacionadas ao fenómeno da adesão

[219]. Uma descrição apresentada por Bayer [27] para uma expressão geral do atrito é o

somatório de todas as forças que se opõe ao movimento relativo de duas superfícies, a saber,

forças associadas com a adesão, abrasão, fadiga (ou dissipação de energia via efeitos de

histerese) e forças viscosas.


Do exposto, é possível ver que o atrito é sensível aos mesmos parâmetros e aos mesmos tipos

gerais de fenómenos envolvidos no desgaste, ou seja, aqueles relacionados com as

modificações das tribo-superfícies [219]. E como resultado dessa dependência comum,

alterações nas tribo-superfícies que resultam em mudanças no desgaste frequentemente

produzem modificações também no atrito e vice-versa. Com isso, Bayer [27] menciona que a

monitorização do atrito durante ensaios de desgaste podem auxiliar na identificação dos

fenómenos de transição do desgaste, embora se ressalte que as tendências observadas do

desgaste não são necessariamente as mesmas do atrito. Segundo Bayer, uma maneira de

entender a distinção entre as tendências do atrito e do desgaste é a consideração da energia

dissipada pelo sistema. O atrito pode ser relacionado com a energia total dissipada pelo

sistema, sendo essa energia constituída de duas partes: energia na forma de calor e energia na

forma de desgaste. A razão entre essas duas energias pode variar para diferentes

tribossistemas e diferentes mecanismos de desgaste. A energia associada ao movimento ou ao

dano do material da superfície, que é o desgaste, é normalmente pequena em comparação com

a energia devida ao calor gerado [219].

Por outro lado, Dowson [102] menciona que pesquisas recentes têm elevado o conhecimento

do fenómeno atrito através da aplicação de conceitos de ciência das superfícies e de técnicas

em escala molecular ou atómica, estas últimas permitindo investigações relacionadas com

contactos simples entre picos de rugosidade, numa escala nanométrica. Em tais investigações,

medições de força de atrito, realizadas através do microscópio de força atómica, mostram que

essa força não é proporcional à carga normal, devido às influências das forças de adesão.

Ainda segundo Dowson, estudos do atrito em escala atómica também vêm sendo realizados

através da aplicação da dinâmica molecular. Nessa abordagem, as equações newtonianas de

movimento são resolvidas para um sistema de partículas atómicas governadas por interações

interatómicas específicas [219]. Simulações de dinâmica molecular do contato de superfícies

lubrificadas demonstraram que o comportamento de filmes de lubrificação de espessuras

moleculares, ou seja, tipicamente menores que 40 Å (4 nm), não podem ser relacionados às

propriedades volumétricas (bulk) do lubrificante. Explicita ainda que tais estudos em escala

atómica representam uma área potencial para avanços quanto a um melhor entendimento do

fenómeno do atrito.


A força tangencial no contacto é, neste caso em que o regime de lubrificação é em filme

completo, igual à força resultante das tensões de corte aplicadas τEHDR, ou seja,

EHDR EHDRt t

S

F F .ds= = τ∫ (3.9)

No regime de filme completo a carga normal Fn aplicada ao contacto é integralmente

suportada pelo filme lubrificante, ou seja, EHDRn nF F= (função de repartição da carga normal

fΛ=1).

Nestas condições e atendendo à formulação do contacto, o coeficiente de atrito médio no

contacto, em regime de filme completo, é

EHDREHDR t ti

n n

F FF F

µ = = (3.10)

3.3- Tensões de corte em regime limite de lubrificação

A força tangencial no contacto, no caso do regime limite de lubrificação, é igual à resultante

das tensões de corte em regime de limite τLIM, ou seja,

LIM LIMt t

S

F F .ds= = τ∫ (3.11)

A carga normal Fn aplicada ao contacto é, no regime limite, suportada integralmente pelos

picos de rugosidade das superfícies (função de repartição da carga normal fΛ=0).

Nestas condições, o coeficiente de atrito médio no contacto LIMiµ é definido por


LIMLIM ti

n

FF

µ = (3.12)

Considera-se, para efeitos do cálculo das tensões de corte limite, que o coeficiente de atrito

em regime limite de lubrificação não varia no interior do contacto, ou seja, o coeficiente de

atrito limite local LIMµ é igual ao coeficiente de atrito limite médio no contacto LIMiµ . Para

além disso, também se considera que o coeficiente de atrito médio, neste regime de

lubrificação, é independente das condições de funcionamento e da geometria da engrenagem,

embora dependa do lubrificante usado e da rugosidade das superfícies.

As tensões de corte em regime limite de lubrificação τLIM são determinadas a partir das

pressões de contacto obtidas no mesmo regime de lubrificação (que se considerou equivalente

ao contacto seco rugoso) pLIM, através da consideração do coeficiente de atrito em regime

limite LIMµ . Como o coeficiente de atrito não varia no interior do contacto as tensões de corte

em regime limite são definidas por

LIM LIM LIM.pτ = µ (3.13)

3.4- Tensões de corte em regime misto de lubrificação

O coeficiente de atrito em regime misto de lubrificação é caracterizado, em termos globais,

por uma diminuição do seu valor com o aumento da espessura do filme lubrificante [154,

332]. Este facto deve-se sobretudo a uma diminuição acentuada da contribuição da

componente limite enquanto que a componente hidrodinâmica viscosa aumenta de uma forma

mais moderada, resultando um decréscimo do coeficiente de atrito global em regime misto.


A Figura 3.6 mostra uma curva genérica da variação do coeficiente de atrito com o parâmetro

(ηω/p) designada genericamente curva de Stribeck, e que determina o regime de lubrificação

predominante [332].

Castro [64] desenvolveu uma solução aproximada para o coeficiente de atrito em regime

misto, para o caso das engrenagens, que tal como no caso da carga normal (Fn) suportada pelo

contacto, a força tangencial aplicada (Ft) é suportada quer pelo filme lubrificante, EHDRtF , quer

pelo contacto directo entre as rugosidades, LIMtF , pelo que

EHDR LIMt t tF F F= + (3.14)

com,

0.001

0.01

0.1

1

3 6 9 12 15 18 21

ηω/P

µ

Limite Mista Hidrodinâmica / EHD

Figura 3.6 – Curva de Stribeck [332].

EHDRt tF F gΛ= (3.15)

LIMt tF F (1 g )Λ= − (3.16)

em que gΛ é a função de repartição da força tangencial do contacto.


Por outro lado, pode relacionar-se cada uma das componentes da força tangencial com a

respectiva componente normal através do coeficiente de atrito médio, isto é,

EHDR EHDR EHDR EHDRt i* n i* nF F F fΛ= µ = µ (3.17)

LIM LIM LIM LIMt i* n i* nF F F (1 f )Λ= µ = µ − (3.18)

onde EHDRi*µ e LIM

i*µ são os coeficientes de atrito médios relativos à componente EHD rugosa e

limite, respectivamente.

O coeficiente de atrito médio em regime misto pode ser definido por

MIX ti

n

FF

µ = . (3.19)

Atendendo às expressões anteriores (3.17), (3.18) e (3.19) pode escrever-se que

EHDR EHD LIM LIM EHDR LIMMIX i* n i* n i* n i* ni

n n

F F F f F (1 f )F F

Λ Λµ + µ µ + µ −µ = = . (3.20)

O coeficiente de atrito médio em regime misto é então definido por

MIX EHDR LIMi i* i*f (1 f )Λ Λµ = µ + µ − . (3.21)

Não se conhecendo, à priori, o valor do coeficiente de atrito médio em regime EHD rugoso

devido a uma carga parcial EHDRnF , designado por EHDR

i*µ , admite-se que a relação entre esse

coeficiente de atrito e o seu equivalente para a carga total Fn, designado por EHDRiµ , possa ser

obtida através da equação para o coeficiente de atrito global de Michaelis [335] , em que a

influência da carga sobre o coeficiente de atrito é afectada do expoente 0.2.


O coeficiente de atrito resultante da carga normal suportada pelo filme lubrificante EHDRnF é

então,

( ) ( )0.2 0.2EHDR EHDR

i* n nF F fΛµ ∝ ∝ (3.22)

e o resultante de uma carga normal total Fn é,

( )0.2EHDRi nFµ ∝ (3.23)

sendo a razão entre os dois definida por,

( )( )

( ) ( )0.2EHDR

0.2 0.2n EHDR EHDRi*i* i0.2EHDR

i n

F ff f

FΛ

Λ Λ

µ= = ⇔ µ = µ

µ (3.24)

O expoente 0.2 poderá ter outro valor se for considerada uma expressão para o coeficiente de

atrito diferente da proposta por Michaelis.

De acordo com o admitido anteriormente, o coeficiente de atrito em regime limite é

independente da carga aplicada logo,

LIM LIMi* iµ = µ (3.25)

Esta hipótese de que o coeficiente de atrito limite é considerado independente da carga e das

outras condições de funcionamento, é suportada por alguns autores que propõem valores

constantes para o coeficiente de atrito. Robbe-Valoire [273] propõe o valor de 0.08, Williams

[332] e Barnsby et al [20] apresentam valores próximos de 0.1 enquanto Gelinck [137] propõe

0.13. Outros autores consideram que o valor de coeficiente de atrito em condições de

lubrificação limite pode variar: Hamrock [155] sugere valores entre 0.07 e 0.13 e Horng [165]

entre 0.08 e 0.15 enquanto que Zhu [352] refere que o atrito limite varia com o tipo e

amplitude da rugosidade entre 0.09 para superfícies rectificadas e 0.1 para superfícies polidas.


Conhecendo os coeficiente de atrito em filme completo rugoso e limite, pode determinar-se o

coeficiente de atrito médio em regime misto de lubrificação. Substituindo as expressões (3.24)

e (3.25) em (3.21), obtém-se que

( )0.2MIX EHDR LIMi i if f (1 f )Λ Λ Λµ = µ + µ − , (3.26)

ou seja,

( )1.2MIX EHDR LIMi i if (1 f )Λ Λµ = µ + µ − , (3.27)

Considerando que a função de repartição de carga normal fΛ não varia no interior do contacto,

tal como no cálculo das pressões normais, pode admitir-se que as tensões de corte no interior

do contacto em regime misto são definidas por [64]

( )1.2MIX EHDR LIMf (1 f )Λ Λτ = τ + τ − (3.28)

Admite-se na expressão (3.28) que o campo de tensões de corte em regime misto de

lubrificação, tal como o campo de pressões normais, também pode ser dividido em duas

componentes correspondentes às tensões de corte suportadas pelo contacto entre os picos das

rugosidades, relativas ao regime limite, e às tensões de corte suportadas pelo filme

lubrificante relativas ao regime de filme completo rugoso.

A expressão (3.27) pode também ser apresentada em termos de carga tangencial e as

respectivas componentes EHDR e limite, resultando em,

( )1.2EHDR LIMt i n i nF f F (1 f )FΛ Λ= µ + µ − (3.29)

Podem também relacionar-se a função de repartição de carga normal fΛ com a função de

repartição de carga tangencial gΛ relacionando as expressões (3.15) e (3.16) com a expressão

(3.29),


( )1.2EHDRt i nF g f FΛ Λ= µ (3.30)

e

LIMt i nF (1 g ) (1 f )FΛ Λ− = µ − (3.31)

resultando a função de repartição de carga tangencial gΛ em,

( ) ( )1.2 1.2EHDR EHDRi i

MIXt n i

f fg

F / FΛ Λ

Λ

µ µ= =

µ (3.32)

ou

LIMi

MIXi

(1 f )g 1 ΛΛ

µ −= −

µ (3.33)

A Figura 3.7 mostra o procedimento utilizado para a obtenção dos campos de tensões de corte

em regime misto de lubrificação.

O cálculo do campo de tensões de corte em regime misto passa pela determinação de cada

uma das componentes que compõem o contacto misto, ou seja, o cálculo das tensões de corte

tangenciais no filme lubrificante, considerando a lubrificação em regime de filme completo

rugoso (τEHDR), o cálculo das tensões de corte devidas à interacção entre os picos de

rugosidade considerando o campo de pressões seco rugoso (limite) e o coeficiente de atrito

limite (τLIM=µLIM.pLIM). A partir destas duas componentes e através da função de repartição de

carga, fΛ, determinam-se as tensões de corte em regime de lubrificação misto (eq. (3.28)).


Figura 3.7 – Modelo utilizado para a obtenção dos campos de tensões de corte em regime misto de

lubrificação.

3.5- Campo de tensão tangencial (ou de corte) em regime

misto de lubrificação. Aplicação a uma superfície real.

O modelo para determinação dos campos de tensões de corte em regime misto vai ser

aplicado para a superfície de série (S1) em que foram determinados os campos de pressões

Rugosidade das superfícies (incluí filtragem e composição)

Campo de Pressões EHDR Modelo de Ai-Cheng

pEHDR

Deformada HR

DEF

Campo de tensões de corte em regime EHDR

τEHDR

Condições de funcionamento

Parâmetros globais de

contacto

Espessura de filme corrigida h0C

Campo de tensões em regime limite

τLIM

Campo de pressões em regime limite

pLIM

Coeficiente de atrito limite µLIM

Campo de tensões de corte em regime misto

τMIX (Obtido a partir da função de repartição de carga fΛ)

( )1.2MIX EHDR LIMf (1 f )Λ Λτ = τ + τ −


seco (pLIM) e em filme completo rugoso (pEHDR), obtidos a partir de uma medição da

rugosidade real das superfícies e para as condições de funcionamento p0 = 1.5 GPa, VR= 6 ms-

1, Ve= -0.3.

A Figura 3.8 mostra o campo de pressões normais pEHDR e a correspondente geometria

deformada da superfície de contacto HRDEF.

0,00E+00

5,00E+08

1,00E+09

1,50E+09

2,00E+09

2,50E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

PEHDR(Pa)

0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

6,00E-06

H (m)

PEHDR

HDEFR

PEHDR

HRDEF

Figura 3.8 – Campo de pressões normais PEHDR e geometria deformada da superfície de contacto HRDEF

para a superfície de série (S1), condições de referência.

A Figura 3.9 mostra o campo de tensões de corte τEHDR obtido a partir do campo de pressões

pEHDR e da geometria deformada da superfície de contacto HRDEF. Estas variáveis (geometria

deformada e campo de pressões) e os parâmetros globais do contacto definem as condições

para o cálculo das tensões de corte neste regime de filme completo rugoso (τEHDR).


0,00E+00

5,00E+06

1,00E+07

1,50E+07

2,00E+07

2,50E+07

3,00E+07

3,50E+07

4,00E+07

4,50E+07

5,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tEHDRτEHDR

Figura 3.9 – Campo de tensão de corte τEHDR para a superfície de série (S1), condições de referência.

A Figura 3.10 mostra a variação do coeficiente de atrito local em filme completo rugoso

µEHDR, resultantes do campo de pressões pEHDR (Figura 3.8) e do campo de tensões de corte

τEHDR (Figura 3.9), admitindo que EHDR

EHDREHDRp

τµ = .

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

0,050

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

caehdrµEHDR

µiEHDR=0.0235

Figura 3.10 – Coeficiente de atrito local µEHDR para a superfície de série (S1), condições de referência.


A partir do campo de pressão seco pLIM e do coeficiente de atrito local limite µLIM obtém-se o

correspondente campo de tensões de corte limite τLIM ( LIM LIM LIM.pτ = µ ). A Figura 3.11

mostra o campo de tensões de corte limite obtido com o campo de pressões pLIM (Figura 2.25)

considerando neste caso o valor de 0.15 para o coeficiente de atrito limite LIMiµ .

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tLIMτLIM

Figura 3.11 – Campo de tensões de corte limite τLIM para a superfície de série (S1), condições de

referência.

O valor da função de repartição da carga tangencial gΛ é obtido através do valor médio dos

coeficientes de atrito EHD rugoso ( EHDRiµ ) e misto ( MIX

iµ ), e também do valor da função de

repartição de carga fΛ de acordo com a expressão (3.32), ou, em alternativa pode ser obtido

considerando o coeficiente de atrito médio em regime limite LIMiµ através da expressão (3.33).

LIMi

MIXi

(1 f )g 1 ΛΛ

µ −= −

µ⇔

( )1.2EHDRi

MIXi

fg 0.0753Λ

Λ

µ= =

µ

A Figura 3.12 mostra o campo de tensões de corte em regime misto de lubrificação τMIX

obtido a partir do campo de tensões de corte limite τLIM (Figura 3.11), do campo de tensões de


corte em filme completo rugoso τEHDR (Figura 3.9) e do valor da função fΛ, de acordo com a

expressão ( )1.2MIX EHDR LIMf (1 f )Λ Λτ = τ + τ − .

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tMIXτMIX

Figura 3.12 – Campo de tensões de corte em regime misto τMIX para a superfície de série (S1), condições de

referência.

A Figura 3.13 compara os três campos de tensões de corte obtidos. É notório que o campo de

tensões de corte resultantes da consideração do filme completo rugoso (τEHDR), caracterizado

por ser contínuo, é pouco relevante quando comparado com o campo de tensões de corte

resultante da consideração de filme limite (τLIM), caracterizado por “picos” de tensão muito

elevados e forte descontinuidade. O contacto misto resultante é caracterizado por um campo

de tensões de corte que é essencialmente resultante do campo limite atenuado através da

função de repartição de carga fΛ.


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tEHDR

tLIM

tMIX

τEHDR

τLIM

τMIX

Figura 3.13 – Campo de tensões de corte misto, EHDR e limite (seco) para a superfície de série (S1),

condições de referência.


O modelo viscoelasto-plástico para o comportamento reológico do lubrificante em regime de

filme completo foi escolhido por ser o mais apropriado para trabalhar numa gama alargada de

condições de funcionamento, permitindo a limitação das tensões de corte viscosas quando é

atingido o limite plástico e integrando uma componente elástica.

Um aspecto essencial para determinar correctamente os valores das tensões de corte no filme

lubrificante é a obtenção dos parâmetros reológicos do lubrificante utilizado, nomeadamente o

módulo de elasticidade transversal, G, e a tensão de corte limite, τL, e as suas variações com a

pressão e temperatura.


Deste modo, a partir das condições de funcionamento das propriedades dos materiais, dos

campos de pressões e da geometria do filme lubrificante, é possível determinar as tensões

tangenciais, o coeficiente de atrito local (dado pela razão em cada ponto da tensão tangencial

pela pressão normal) e as elevações de temperatura no lubrificante nas superfícies, em regime

de filme completo.

Foi considerado um coeficiente de atrito limite, independente das condições de

funcionamento e da geometria do contacto, mas dependente das propriedades do lubrificante.

Esta limitação será contornada posteriormente, procedendo a um varrimento so valor de µLIM

dentro de uma gama de valores razoáveis (0.05≤µLIM≤0.20) para o contacto entre os dentes de

uma engrenagem.

O modelo desenvolvido para a obtenção de campos de tensões de corte em regime misto de

lubrificação recorre às soluções dos campos de tensões de corte em regime limite

(τLIM=µLIM.pLIM) e a um modelo para obtenção dos campos de tensões de corte em

lubrificação EHDR (filme completo rugoso (τEHDR)). A contribuição de cada uma das

componentes para o contacto misto é definida por uma função de repartição da carga

tangencial no contacto. A partir destas duas componentes e através da função de repartição de

carganormal, fΛ, determinam-se as tensões de corte em regime de lubrificação misto através

da expressão:

( )1.2MIX EHDR LIMf (1 f )Λ Λτ = τ + τ −

CAPÍTULO 4

TENSÕES NO INTERIOR DOS SÓLIDOS EM CONTACTO

4.1- Introdução

O contacto entre corpos elásticos não conformes, submetidos a deformações suficientemente

pequenas para que a teoria da elasticidade linear seja aplicável, produzem, inevitavelmente,

uma área de contacto de pequenas dimensões quando comparadas com os raios de curvatura

das superfícies não deformadas em contacto.

Nestas condições as tensões estão intensamente concentradas na região de contacto,

decrescendo rapidamente com a distância ao ponto de contacto, podendo ser calculadas, com

boa aproximação, considerando cada corpo como um maciço semi-infinito com superfície

plana, isto é, um semi-espaço elástico.

As tensões em semi-espaços elásticos provocadas por acções de contacto linear podem ser

calculadas analiticamente a partir das equações de Boussinesq e Cerruti para casos teóricos

como o de um contacto hertziano.

O caso real, do contacto entre sólidos com superfícies rugosas, a distribuição de pressões de

contacto ou os esforços tangenciais (atrito) não têm uma distribuição eliptica e logo nao

podem ser integradas nas equações de Boussinesq e Cerruti, tornando-se necessário recorrer

a métodos numéricos.


4.2- Tensões em semi-espaços elásticos

A teoria da elasticidade linear estipula que, as componentes de tensão devem satisfazer as

equações de equilíbrio no sólido [23, 46, 61],

0 e 0 =∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

xzzxxzzxzx τστσ

e as correpondentes deformações εx, εz, γxz devem satisfazer a condição de compatibilidade,

2

2

2

2

2

zxxzxzzx

∂∂∂

=∂∂

+∂∂ γεε

Se as funções de tensão forem definidas por:

; ; ;2

2

2

2

2

zxxz xzzx ∂∂∂

=∂∂

=∂∂

=φτφσφσ

as equações de equilibrio, compatibilidade, juntamente com a lei de Hooke, satisfazem a

equação biharmónica:

02

2

2

2

2

2

2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

zxzxφφ

A Figura 4.1 mostra um semi-espaço elástico, submetido a uma solicitação distribuída na

fronteira z=0. A solicitação tem uma componente normal p(x) e uma componente tangencial

q(x).

As condições fronteira do problema em análise são:

i. Para z=0 e x < -b ou x > a, σz=τxz=0 trata-se de uma superfície “livre”;

ii. Para z=0 e –b ≤ x≤ a, σz= -p(x) e τxz= -q(x) - zona de aplicação da solicitação

na superfície do semi-espaço elástico;

Capítulo 4- Tensões no Interior dos Sólidos em Contacto [149/366]

iii. Para pontos muito afastados da zona de carga (x e z → ∞), as tensões tornam-se

infinitamente pequenas.

Usando coordenadas cilindricas (r, θ, y), as correspondentes equações para as componentes de

tensão σr, σθ, e τrθ são definidas por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−=∂∂

=∂∂

+∂∂

=θφτφσ

θφφσ θθ

2

2

2

2

2

2

1 ; ;11rrrrrr rr (4.1)

e a equação biharmónica toma a seguinte forma:

011112

2

22

2

2

2

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

θφφφ

θ rrrrrrrr

sendo as deformadas εr, εθ e γrθ obtidas através dos deslocamentos:

ru

ruu

ru

rru

ru rrr

rθθ

θθ

θ θγ

θεε −

∂∂

+∂∂

=∂∂

+=∂∂

=1 ;1 ; r

Figura 4.1- Semi-espaço elástico submetido a solicitações p(x) e q(x) distribuídas na superfície [61, 283].

O x

z

b a

q(x) p(x)

x z

Ux

θ

Ur

Uθ

σθ

τrθ

r

Uz

σz

τxz σx


4.2.1- Força normal concentrada

Pretende-se analisar a tensão produzida por uma força concentrada de intensidade P por

unidade de comprimento, uniformemente distribuída ao longo do eixo dos yy e actuando

normalmente à superfície do semi-espaço elástico, como se mostra na Figura 4.2.

Figura 4.2- Semi-espaço elástico submetido a uma força concentrada P, distribuida ao longo dos eixos dos

yy [61].

A solução é dada pela função de tensão φ(r,θ)=A r θ sinθ, em que A é uma constante

arbitrária e θ representa o ângulo entre o eixo Oz e a direcção radial Or.

Usando as equações 4.1 as componentes de tensão são:

0 e cos2 === θθ τσθσ rr rA

Como se verifica, esta distribuição de tensões satisfaz as condições de fronteira. Assim, na

superfície do semi-espaço elástico (θ= +/- π/2), a tensão normal (σθ) é nula, excepto na

origem, e a tensão de corte também é nula. Para pontos afastados do ponto de aplicação da

força (r → ∞) a tensão tende para zero.

P

O

r

x

z

Uθ

Ur θ

σr

d


A constante A é obtida equacionando as componentes verticais de tensão que actuam num

semi-círculo de raio r centrado no ponto O, quando é aplicada a força P.

/ 2 / 22

/ 2 0

cos 2 (cos )rP rd A d Aπ π

π

σ θ θ θ θ θ π−

− = = =∫ ∫ ,

ou seja,

cos 2rP

rθσ

π= − (4.2)

Em coordenadas cartesianas a distribuição de tensão é dada pelas seguintes expressões:

( )

( )

( )222

2

222

32

222

22

2sincos

2cos

2sin

zxxzP

zxzP

zxzxP

rxz

rz

rx

+−==

+−==

+−==

πθθστ

πθσσ

πθσσ

(4.3)

4.2.2- Força tangencial concentrada

Uma força concentrada Q por unidade de comprimento, uniformemente distribuida ao longo

do eixo dos yy, e actuando tangencialmente à superfície do semi-espaço elástico, como se

mostra na Figura 4.3, origina um campo de tensões radiais similar ao da força normal mas

rodado de π/2.

Se o ângulo θ for medido desde a linha de acção da força, neste caso a direcção xx, as

expressões são formalmente iguais às do caso normal, ou seja,


0 e cos2 === θθ τσθσ rr rA

As expressões das tensões em coordenadas rectangulares são neste caso:

( )

( )

( )222

2

222

2

222

3

2

2

2

zxzxQ

zxxzQ

zxxQ

xz

z

x

+−=

+−=

+−=

πτ

πσ

πσ

(4.4)

Figura 4.3- Semi-espaço elástico submetido a uma força concentrada Q, distribuída ao longo dos eixos dos

yy [61].

4.2.3- Tensões normais e tangenciais distribuídas na superfície

Geralmente, as superfícies em contacto estão submetidas a tensões tangenciais, devidas ao

atrito entre as superfícies, para além das tensões normais (pressões). O semi-espaço elástico

representado na Figura 4.4, está submetido a uma carga distribuída segundo xx, com

componente normal p(s) e tangencial q(s).

Ox

z

d d

Q

(σr)1

Ur Uθ

(σr)2

r2 r1 θ1

θ2


As forças que actuam na área elementar ds, em torno de B, situado a uma distancia s da

origem (ver Figura 4.4), podem ser vistas como forças concentradas de magnitude p.ds

actuando normalmente à superfície e q.ds tangencialmente à superfície.

As tensões no ponto A, de coordenadas (x,z), podem ser obtidas considerando as equações

das forças concentradas normais (4.3) e tangenciais (4.4), nas quais x é substituído por (x-s).

Figura 4.4- Semi-espaço elástico submetido a solicitações p(s) e q(s) distribuídas na superfície [61].

Estendendo-as a toda a superfície do semi-espaço elástico, obtem-se:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 3

2 22 22 2

3 2

2 22 22 2

22

2 22 22 2

2 2

2 2

2 2

a a

xb b

a a

zb b

a a

xzb b

p s x s q s x sz ds dsx s z x s z

p s q s x sz zds dsx s z x s z

p s x s q s x sz zds dsx s z x s z

σπ π

σπ π

τπ π

− −

− −

− −

− −= − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−= − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −= − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(4.5)

O x

z

ab

q(s)

p(s)

A(x,z)

s

ds


4.2.4- Tensões tangencial máxima (τmax) e octaédrica (τoct)

No caso de um estado tridimensional de tensão e plano de deformação (εy=0 ⇒ σy=υ(σx+σz)),

em que υ é o coeficiente de Poisson, as tensões principais são raízes da equação:

3 2I1 I2 I3 0σ σ σ− + − =

com,

2

2

I1

I2

I3

x y z

x y y z x z xz

x y z y xz

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ τ

σ σ σ σ τ

= + +

= + + −

= −

σy é uma tensão principal, já que τxy=τyz=0.

As outras tensões são dadas pela equação:

( ) ( ) 0I2I1I1 22 =+−+−+ yyy σσσσσ

Se σ1, σ2 e σ3 forem as tensões principais, sendo σ1 a maior e σ3 a menor, a tensão tangencial

máxima e a tensão tangencial octaédrica vêm definidas por:

( )31max 21 σστ −⋅= (4.6)

e

( ) ( ) ( )232

231

2213

1 σσσσσστ −+−+−⋅=oct , (4.7)

respectivamente.


As distribuições da tensão tangencial máxima e da tensão tangencial octaédrica, no interior de

um semi-espaço elástico, são muito importantes, pois condicionam directamente a resistência

à fadiga do sólido em análise.

4.2.5- Tensões no interior de sólidos em contacto linear - caso particular dos

contactos Hertzianos

A distribuição de pressão num contacto Hertziano linear é do tipo [288]:

( )2

0 1 sp s pa

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.8)

onde p0 é a pressão máxima de Hertz e a é a semi-largura do contacto.

Considerando que a distribuição de pressão tangencial é do tipo q(s)=µ p(s), onde µ é o

coeficiente de atrito, substituindo estas equações em (4.5) e integrando, obtém-se:

( )( )

( )( )

( )

2 2 222 2 2

01 2 2 2 2

1

2 2 222 2 2

01 2 2 2 2

1

201 2 2

2 2 32 2 2 3 2 2

2 2 2

x

y

z

x a zp a z xz x x xa a a x z

a a

x a zp a z xz x x xa a a x z

a a

p z a x z

πσ µ ππ

πσ µ ππ

σ µπ

τ

⎧ ⎫⎡ ⎤− − Φ⎛ ⎞+ +⎪ ⎪⎢ ⎥= − Φ − − Φ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ + + − − Φ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤− − Φ⎛ ⎞+ +⎪ ⎪⎢ ⎥= − Φ − − Φ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ + + − − Φ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤= − Φ − Φ + Φ⎣ ⎦

( )2 2 2 202 1 22 2 2 3xz

p z zz a x z xza a

µ ππ⎧ ⎫⎡ ⎤= − Φ + + + Φ − − Φ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

(4.9)


( )

( )

( ) ( )

1 2

1 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

e são definidos por:

2 2 2 2

2 2 2 2com,

e

M N

MN MN x z a

M N

MN MN x z a

M a x z N a x z

π

π

Φ Φ

+Φ =

+ + −

−Φ =

+ + −

= + + = − +

σy é uma tensão principal já que o estado de tensão a que estão submetidos os sólidos em

contacto pode ser considerado, frequentemente, como um estado plano de deformação ou um

estado plano de tensão. Assim τxy e τyz=0 e σy =σ3. As tensões σx e σz não são tensões

principais devido à presença da tensão de corte ortogonal τxz. A tensoes principais σ1 e σ2

podem ser determinadas a partir do conhecimento de σx , σz e τxz em cada ponto da sub-

superfície de um sólido em contacto.

Na Figura 4.5 pode observar-se a distribuição da tensão tangencial máxima (τmax), num caso

de uma solicitação puramente normal (µ=0) e para sólidos elásticos com um coeficiente de

poisson igual a 0.3 (υ1=υ2=0.3).

Figura 4.5- Distribuição da tensão tangencial máxima adimensional (τmax/p0) – contacto Hertziano linear -

µ=0 e υ1=υ2=0.3 [61].


A Figura 4.6 mostra a distribuição das tensões principais (σ1, σ2 e σ3), das tensões de corte

(τ1, τ2 e τ3) e da tensão de corte octaédrica τoct, segundo a direcção de x, para pontos da

superfície do sólido e pontos situados à profundidade z = a/4, calculadas considerando um

coeficiente de atrito igual a 1/3.

(a) (b)

(c)

Figura 4.6- Influência da força tangencial sobre: (a) as tensões principais; (b) as tensões de corte; (c) a

tensão de corte octaédrica, no interior do sólido [284].


4.3- Modelo numérico

A resolução analítica dos integrais (4.5) pode ser muito complexa, ou até impossivel,

dependendo das expressões que definem p(s) ou q(s), tornando-se absolutamente necessário

recorrer a soluções numéricas.

4.3.1- Discretização da superfície do semi-espaço elástico

A superfície do semi-espaço elástico é dividida num conjunto de n células rectangulares de

comprimento ∆x e infinitamente longas.

Ao ponto si corresponde uma pressão p(si) e uma tensão tangencial q(si) que se consideram

constantes no intervalo [si-∆x/2, si+∆x/2].

O cálculo das tensões, para um ponto A de coordenadas (x,z) é um somatório de n parcelas,

correspondendo, cada uma, a uma celúla de carga si.

Figura 4.7- Discretização da superfície do semi-espaço elástico [61].

As expressões (4.5) são agora definidas por:

O x

zA(x,z)

∆x

p(x) p(si)

si


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2 3/ 2 / 2

2 22 22 21 / 2 / 2

/ 2 / 23 2

2 22 22 21 / 2 / 2

2 2

2 1 2

2

i i

i i

i i

i i

s x s xn

x i ii s x s x

s x s xn

z i ii s x s x

xz

x s x sz p s ds q s dsx s z x s z

x sz zp s ds q s dsx s z x s z

z

σπ π

σπ π

τ

+∆ +∆

= −∆ −∆

+∆ +∆

= −∆ −∆

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − −⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

= −

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2/ 2 / 22

2 22 22 21 / 2 / 2

2i i

i i

s x s xn

i ii s x s x

x s x szp s ds q s dsx s z x s zπ π

+∆ +∆

= −∆ −∆

⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

∑ ∫ ∫

Resolvendo os integrais obtém-se:

(4.10)

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

/ 2

2 2

/ 2

/ 21

22 2

2 2

/ 2

3

322 2

2 122

2 1 ln22

2 122

i

i

i

i

s x

i

n s xx s x

i

i

s x

i

z

x sz x sp s arctgz zx s z

zq s x s zx s z

x sz x sp s arctgz zz x s z

π

σ

π

π

σ

+∆

−∆

+∆=

−∆

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪−⎢ ⎥− − −⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎡ ⎤− − +⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎢ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

∑

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

/ 2

/ 2

/ 21

2

2 2

/ 2

/ 22

2 2

/ 2

/ 2

2 2

/ 2

2 1

2

2 1

2

2 122

i

i

i

i

i

i

i

i

s x

n s x

s xi

i

s x

s x

i

s xxz s x

i

s x

z q sx s z

z p sx s z

x sz x sq s arctgz zx s z

π

π

τ

π

+∆

−∆

+∆=

−∆

+∆

−∆

+∆

−∆

⎧ ⎫⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

= ⎨⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∑

1

n

i=

⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑


4.3.2- Algoritmo de cálculo

Em seguida são apresentadas, de um modo sintético, as várias etapas do algoritmo de cálculo

das tensões no interior de um semi-espaço elástico [61, 283].

1-INPUT

Características do contacto: semi-largura do contacto Hertziano –a; pressão máxima de Hertz

– p0; coeficiente de atrito - µ ; coeficiente de Poisson - υ.

Definição da malha: espaçamento entre pontos segundo xx-∆x e segundo zz-∆z; número de

pontos em xx e em zz; ponto inicial da malha em xx e em zz.

2-DISCRETIZAÇÃO DA SUPERFÍCIE CARREGADA

Leitura (em ficheiro) dos esforços normais p(s) e tangenciais q(x) e os respectivos pontos de

aplicação (abcissas). Considera-se que o eixo dos zz divide a meio o campo de pressões e

esforços tangenciais que actuam à superfície.

3-CÁLCULO DAS TENSÕES σx, σz e τxz

Cálculo das tensões σx, σz e τxz, através de somatórios de n parcelas (expressões (4.10)),

correspondendo cada uma a um ponto de aplicação da carga discretizada.

4-CÁLCULO DAS TENSÕES

Cálculo da tensão σy, das tensões principais σ1, σ2 e σ3, das tensões de corte τ1 (= τmax ), τ2 e

τ3 e ainda de τoct, utilizando as expessões apresentadas em 4.2.4.


4.3.3- Distribuição de tensões no maciço – aplicação a uma superfície real

Uma vez calculado o campo de pressões normais e tangenciais para a superfície de série (S1)

(ponto 2.6 e 3.5), determina-se as tensões provocadas por estas solicitações no maciço. A

Figura 4.8 e a Figura 4.9 apresentam, respectivamente, a distribuição da tensão de corte

ortogonal (τxz) e a distribuição das tensões principais (σ1, σ2 e σ3) para a superfície S1,

considerando um coeficiente de atrito limite (µLIM) de 0.1 e 0.15 (caso analisado no capítulo

anterior), e para um contacto de referência (p0= 1,5 GPa, VR= 6 ms-1, Ve= -0.3, a= 455 µm,

largura do contacto 2.4 a= ⋅ ⇒ 545 pontos de discretização, centro do contacto ⇒ ponto

273). As pressões e as tensões de corte na superfície de contacto, em regime misto, estão

apresentadas na Figura 2.24 e na Figura 3.12, respectivamente.

Figura 4.8- Distribuição da tensão de corte ortogonal (τxz/p0) adimensional para a superfície S1 e µLIM=0.1

e µ.LIM=0.15, respectivamente.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

04

-0.3-0.2

-0.1

-0.1

0

0

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.30.3

0.3

0.4

0.4

0.5

160 165 170 175 180

2

4

6

8

10

12

14

-0.5

0

0.5

-0.1 -0.10

0

0

0

0.1 0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4 0.5

0.5

0.6

260 265 270 275 280

2

4

6

8

10

12

14

τxz[µLIM.=0.1]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

0

001

0.1

0.1

0.10.1

0.2 0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.30.3

0.3

0.3

0.3

0.3

0.3 0.3

0.3 0.4

0.40.

4

0.5

0.5

0.6

160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180

2

4

6

8

10

12

14

-0.5

0

0.5

τxz[µ.LIM=0.15]

(µm*0.5)

(µm)

(µm)

(µm*0.5)


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-1.6-1.5-1.4-1.3

-1.2-1.1

-1.-1 -1-1

-0.9

-0.9

-0.8

-0.8

-0.8

-0.7

-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.4

215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

0

00.02

0.02

0.04

0.04

0.06

0.06

0.080.1

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-1.6-1.5-1.4-1.3-1.2

-1.1

-1.1

-1-1

-0.9

-09

-0.9

-0.8-0.8

-0.8

-0.7

-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

0.4

215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

0

0

0.02

0.02

0.04

0.04

0.06

0.06

0.08

0.08

0.10.1

0.120.14

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

σ1[µLIM=0.1] σ1[µLIM=0.15]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-1.5

-1.2

-1.2

-0.9

-0.6215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

0

0

0.01

0.02

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-2.2-2-1.8-1.6

-1.4 -1

-1.2

-1.2

-1.2-1

-1

-1

-0.8

-0.8

-0.8

-0.6

215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

0

0

0.01

0.01

0.02

0.02

0.03

0.03

0.04

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

σ2[µLIM=0.1] σ2[µLIM=0.15]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-2.7

-2.5 -2.3

-2.1

-1.9

-1.7

-1. 5

- 1.3

11

215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

02e

-006

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-2.7

-2. 5 -2. 3

-2.1

-2.1

-1.9

1. 9

- 1.7

-1.7

-1.5

215 220 225

2

4

6

8

10

12

14

0

0

1e-0

05

490 500 510 520 530 540

2

4

6

8

10

12

14

-4

-3

-2

-1

0.1

σ3[µLIM=0.1] σ3[µLIM=0.15]

Figura 4.9- Distribuição das tensões principais adimensionais, (σ1/p0, σ2/p0, σ3/p0) para a superfície S1 e

µLIM=0.1e µ.LIM=0.15, respectivamente.

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm) (µm)

(µm) (µm)

(µm) (µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)


As Figuras 4.10 e 4.11 apresentam os resultados da distribuição da tensão tangencial máxima

e da tensão octaédrica para a mesma superficie, nas condições de referência e para µLIM=0.1 e

µLIM=0.15, respectivamente.

Figura 4.10- Distribuição da tensão tangencial máxima adimensional, (τmax/p0), para a superfície de série

(S1) e µ.LIM=0.1 e µLIM=0.15, respectivamente.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.4

0.4

0.40.5

0.50. 6

0 .60.70.8

210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τmax[µLIM.=0.1]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.3

0.4 0 .4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.5

0.60.7

0.8

210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τmax[µ.LIM=0.15]

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm)


Figura 4.11- Distribuição da tensão octaédrica adimensional, (τoct/p0), para a superfície de série (S1) e

µ.LIM=0.1 e µLIM=0.15, respectivamente.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.3

0.3 0.

3

0.3

0.4

0.4

0.4

0. 5

0.5

0.5

0.60.6

0.7

270 272 274 276 278 280 282 284 286 288 290

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τoct[µ.LIM=0.1]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.3

0.3

0.3

0.3

0.3 0.

30. 4

0.4

0.4

0.40.5

0.5

0. 50.6

0.6 0.

7

270 272 274 276 278 280 282 284 286 288 290

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τoct[µ.LIM=0.15]

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm)


O valor do coeficiente de atrito determina o valor da força tangencial, para uma determinada

força normal aplicada ao contacto entre dois sólidos. Consequentemente, os valores da tensão

principal máxima e da tensão de corte máxima também vão depender do coeficiente de atrito.

A influência do coeficiente de atrito (µLIM) sobre as tensões mais importantes no interior da

superfície S1 está representada na Tabela 4.1.

Tabela 4.1- Influência do coeficiente de atrito (µLIM) sobre o valor das tensões no interior da superfície S1.

Superfície Lisa Superfície de Série (S1) Coeficiente de atrito - µLIM

0.0 0.10 0.15

Localização Localização Localização Tipo de tensão z/a x/a

0

Valor das tensõesp

z/a x/a

0

Valor das tensõesp

z/a x/a 0

Valor das tensõesp

Tensão de tracção

principal máxima

/

/

0.00

Não há tensões de

tracção

0

1.003

0.12

0

1.003

0.17

Tensão de

compressão

principal máxima

0

0

-1.00

-3.92

-4.08

Tensão de corte

máxima (τmax)

0.786

0

0.30

0

-0.232

0.88

0

-0.232

0.96

Tensão de corte

octaédrica

máxima (τoct)

0.786

0

0.27

0

0.044

0.78

0

0.044

0.79

Tensão de corte ortogonal máxima

( maxxzτ )

0.42

1

0.25

0.007

0.009

0.64

0.004

-0.451

0.69

Tensão de corte ortogonal miníma

( minxzτ )

0.42

-1

-0.25

0.009

-0.425

-0.62

0.011

-0.425

-0.57

Como se pode constatar, através dos gráficos e tabela, os valores máximos encontram-se

próximos da superfície e por isso o estudo centralizou-se sempre na faixa superfícial (zona

preferencial de ocorrência de micropitting).



Uma vez calculado o campo de pressões normais e tangenciais em regime misto de

lubrificação, é possivel determinar as tensões provocadas por estas solicitações no maciço.

Para tal é utilizado um modelo desenvolvido por Castro [61, 283], o qual considera que o

maciço se deforma em estado plano de deformação.

A presença da solicitação tangencial, ou de atrito, introduz alterações significativas no estado

de tensão no interior dos sólidos em contacto, que se traduzem numa modificação da

intensidade das tensões, da natureza (compressão/tracção) das tensões em presença e da

localização dos pontos da tensão máxima.

A força de atrito altera a natureza das tensões que deixam de ser exclusivamente de

compressão passando a tensões de compressão e tracção. Essas tensões de tracção embora

pequenas, como no caso de um contacto bem lubrificado, podem tornar-se suficientemente

grandes devido à concentração de tensões resultante das irregularidades superficiais ou das

pequenas fissuras microscópicas normalmente presentes numa superficie real. Estas tensões

de tracção, quando analisadas em conjunto com muitos outros factores envolvidos (tais como

o desgaste, a não homogeneidade do material, o tipo de lubrificação, entre outros.) ajudam a

explicar porque motivo uma fenda ou fissura se pode desenvolver até atingir a superfície de

contacto, como se observa na superfícies dos dentes de engrenagens.

A presença da força de atrito provoca um aumento significativo dos valores máximos das

tensões instaladas, aumento este que está directamente relacionado com a razão entre a força

de atrito normal, isto é o coeficiente de atrito. É responsável também por alterar a localização

dos pontos onde actuam os valores máximos das tensão instaladas na sub-camada Hertziana.

Os valores dos máximos positivo e negativo da tensão de corte ortogonal são ligeiramente

alterados por influência do coeficiente de atrito, assim como a máxima variação dessa tensão

de corte ortogonal (∆τxz).

CAPÍTULO 5

TENSÕES RESIDUAIS

5.1- Introdução

A resistência à fadiga de componentes mecânicos é consideravelmente influenciada pelos

processos de fabrico, que modificam as características mecânicas, geométricas e metalúrgicas

das camadas superficiais. Em particular, todos os processos de fabrico introduzem tensões

residuais que podem influenciar significativamente o comportamento dos componentes à

fadiga.

Tensões residuais são aquelas que permanecem em um componente na ausência de forças

externas e/ou gradientes de temperatura. Estas tensões são originadas sempre que o

componente sofre deformação plástica localizada ou deformação elástica não-homogênea.

Elas podem ser classificadas como macro ou microtensões residuais, em função da escala na

qual se distribuem e seus efeitos podem ser benéficos ou prejudiciais ao componente,

dependendo do sinal, magnitude e distribuição destas tensões. As tensões residuais podem

melhorar o desempenho dos materiais frente às agressividades do meio externo e reduzir as

falha por fadiga.

A introdução voluntária de tensões residuais é um dos meios mais eficazes para melhorar a

resistência à fadiga dos componentes mecânicos e estruturas, tendo contudo apenas interesse

caso se mantenham estáveis durante o serviço. Verifica-se, no entanto, que elas podem relaxar

quando os componentes são submetidos a solicitações mecânicas ou térmicas, o que pode

implicar a perda parcial ou mesmo total do efeito benéfico pretendido. Essa relaxação das

tensões residuais é função da amplitude e do número de ciclos da solicitação aplicada e da


temperatura, mas depende sobretudo da natureza e das características mecânicas do material

utilizado, bem como do tipo de tratamento que introduziu as tensões residuais.

5.2- Definição e origem das tensões residuais

5.2.1- Origem das tensões residuais

De um modo geral as tensões residuais podem ser definidas como tensões que existem num

dado componente ou corpo na ausência de qualquer solicitação exterior, sendo o resultado de

deformações de origem térmica ou mecânica acompanhadas de cedência plástica do metal. As

tensões residuais existem praticamente em todas as peças rígidas, sejam metálicas ou não, e

traduzem a história mecânica e metalúrgica do componente, no decorrer da sua elaboração,

dos tratamentos superfíciais a que foi submetido, e dos períodos de rodagem e de

funcionamento posterior [26, 79, 131, 199, 212, 214]. As tensões residuais podem ter causas

diversas, tais como:

• Operações de laminagem e forjagem

• Operações de conformação e corte

• Operações de soldadura,

• Tratamentos térmicos, etc.

As tensões residuais podem ocorrer a uma escala macroscópica ou a uma escala microscópica,

consoante a área do componente afectada. A nível microscópico ou atómico podem incluir-se

as tensões formadas quando se dá a transformação austenite/martensite nos aços. Pelo

contrário, as tensões geradas durante uma operação de soldadura podem afectar áreas da

estrutura de dimensões consideráveis [131, 199, 212, 214].

Capítulo 5- Tensões Residuais [169/366]

As origens das tensões residuais são bastante diversificadas, podendo dizer-se que elas

resultam da heterogeneidade das deformações introduzidas a qualquer escala do componente

mecânico. Essas deformações podem ser criadas por efeitos térmicos, químicos, metalúrgicos

ou mecânicos, em geral interdependentes, mas que actuam frequentemente de forma

combinada, o que torna a previsão das tensões residuais extremamente complexa.

5.2.2- Classificação das tensões residuais

Dado o carácter policristalino e heterogéneo dos materiais metálicos, as fontes das tensões

residuais podem resultar de deformações à escala macroscópica, microscópica ou

submicroscópica. De facto, um material cristalino é constítuido de fases, sendo as mesmas

constítuidas por grãos. Cada grão, num modelo simples, pode ser considerado como dividido

em pequenos domínios separados por uma rede de deslocações, cada um desses domínios

constituído por um empilhamento regular de átomos. Qualquer que seja a escala à qual se

considere o material pode colocar-se em evidência a existência de tensões residuais. Uma

classificação das tensões residuais em três ordens, em corrrespondência com aquelas três

escalas de deformação, foi proposta por Macherauch e outros [26, 79, 210]:

• Tensões residuais de 1ª ordem, σIR, que são aproximadamente homogéneas ao

longo de áreas relativamente extensas (vários grãos) e que estão em equilíbrio

quando estendidas à globalidade do material; qualquer interferência no equilíbrio

de forças e momentos de um elemento de volume contendo tensões de 1ª ordem

trará como consequência uma alteração das suas dimensões. As tensões residuais

de primeira ordem podem ser determinadas por extensómetros que detectem as

deformações por elas produzidas. Em difracção de raios X os seus efeitos

manifestam-se pela modificação da posição dos picos de difracção.

• Tensões residuais de 2ª ordem, σIIR, que são aproximadamente homogéneas ao

longo de um grão ou de parte de um grão e que estão em equilíbrio para uma zona

do material abrangendo vários grãos. Só são detectáveis variações macroscópicas

de dimensões de um elemento de volume contendo tensões residuais de 2ªordem se


ocorrerem várias destas perturbações elementares em diferentes regiões do

material. Estas tensões podem ser determinadas por difração de raios X.

• Tensões residuais de 3ª ordem, σIIIR, que são heterogéneas quando analisadas

numa área submicroscópica, ou seja, à escala de algumas distâncias interatómicas,

estando em equilíbrio só ao longo de regiões muito reduzidas de um grão. Se

houver uma ruptura do equilíbrio deste tipo de tensões não será detectável

nenhuma variação macroscópica de dimensões.

O estado de tensões residuais resulta da sobreposição das três ordens de tensões, como se

esquematiza na Figura 5.1, para um material monofásico. A tensão residual num ponto do

material é dada por [26, 79, 210, 211]:

IIIR

IIR

IRR σσσσ ++=

As tensões de primeira ordem correspondem a um valor médio num volume contendo vários

grãos:

grãos vários⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

∫∫

dVdVRI

Rσ

σ

onde dV representa um elemento de volume. Por sua vez, as tensões de segunda ordem

correspondem à diferença entre a tensão média sobre cada grão e as tensões de primeira

ordem:

IR

RIIR dV

dVσ

σσ −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

∫∫

grão um

As tensões de terceira ordem oscilam em torno do valor médio ao nível de cada grão,

correspondendo à diferença entre as tensões locais e a soma das tensões de primeira e segunda

ordem:

( ) ponto umIIR

IRR

IIIR σσσσ −−=


Figura 5.1- Definição esquemática das tensões residuais de primeira, segunda e terceira ordem para um

material monofásico [212].

No caso dos materiais metálicos com grãos muito pequenos (da ordem de 10 µm) é difícil

distinguir para uma dada fase os efeitos das tensões de segunda e terceira ordem, sendo

habitual dividir as tensões residuais em [212-214]:

• macrotensões, que correspondem às tensões de primeira ordem. São estas as

tensões que usualmente são objecto de atenção numa análise do ponto de vista de

engenharia,

• microtensões, que estão ligadas às deformações introduzidas pelos defeitos

existentes na microestrutura, ao nível de cada grão ou de cada fase, e que

correspondem à soma das tensões de segunda e terceira ordem definidas

anteriormente.

Para um material monofásico com grão muito fino, as macrotensões residuais σMR serão

iguais às tensões residuais de primeira ordem:

IR

MR σσ =


As microtensões residuais σmR são iguais à soma das tensões residuais de segunda e de

terceira ordem, uma vez que não se consegue colocar em evidência o seu efeito separado:

IIIR

IIR

mR σσσ +=

Para um material contendo várias fases as definições anteriores continuam válidas, se se

tomar a escala de fase como referência. De facto, pode separar-se os efeitos de ordem I e de

ordem II ao nível de cada uma das fases, o que conduz a uma separação das tensões residuais

de ordem II em tensões macroscópicas de segunda ordem ou pseudomacrotensões σIIMR , à

escala de uma fase, e em tensões microscópicas de segunda ordem ou microtensões σIImR , à

escala de cada grão de uma fase, como se esquematiza na Figura 5.2 para um material bifásico

[26,79, 88, 211, 212]. As macrotensões residuais médias em cada uma das fases serão dadas

por:

IIMR

IR

IR

MR

IIMR

IR

IR

MR βββααα σσσσσσσσ +==+== ,

e as microtensões residuais correspondentes a cada uma das fases por:

IIIR

IR

mR

IIIR

IR

mR ββαα σσσσσσ +=+= ImIm ,

sendo as tensões locais no material dadas pela sobreposição das diferentes ordens:

IIIR

IR

IIMR

RRR

IIIR

IR

IIMR

RRR ββββαααα σσσσσσσσσσ +++=+++= ImIm ,

Num material com várias fases, as tensões residuais macroscópicas correspondem à média das

tensões em cada uma das fases, ponderada pela fracção volúmica de cada fase. Para um

material bifásico, tem-se:

0=+

=+

IIMR

IIMR

IR

IR

IR

VV

VV

ββαα

ββαα

σσ

σσσ


onde Vα e Vβ são as fracções volúmicas das fases. De notar que a difracção de raios X

permite a determinação das macrotensões residuais ao nível de cada uma das fases.

Figura 5.2- Representação esquemática das diferentes ordens de tensões residuais, para um material

bifásico [212].

5.3- Tensões residuais de superfície

A introdução voluntária de pré-tensões é um dos meios mais eficazes para melhorar a

resistência à fadiga dos componentes mecânicos e estruturas, quer no domínio da construção

mecânica quer no domínio da construção metálica. O objectivo dos tratamentos superfíciais

de pré-tensão é a introdução de tensões de compressão nas camadas superfíciais de um

material e podem ser classificados em [26]:

Tratamentos mecânicos ou de encruamento superfícial, como a grenalhagem de

pré-tensão (shot peening), que utilizam a deformação plástica local (não homogénea)

obtida por uma acção mecânica como fonte das tensões residuais de compressão. As


pré-tensões são acompanhadas de variações do estado superficial e da taxa de

encruamento que conduzem a um endurecimento superficial para os materiais mais

macios e a um amaciamento para os materiais muito duros.

Tratamentos térmicos ou de têmpera superfícial que permitem a introdução de pré-

tensões de compressão por intermédio de diferenças de dilatação entre a superfície e

o interior do componente e pelas deformações plásticas locais associadas. A maioria

destes tratamentos originam importantes aumentos de dureza.

Tratamentos termoquímicos ou de difusão, como a carbonitruração, que associam

ao tratamento térmico a difusão de elementos de liga (carbono, azoto, etc…) na

camada superfícial do metal, podendo ou não ser seguidos de outros tratamentos

térmicos. Estes tratamentos melhoram a temperabilidade e aumentam a dureza e a

resistência à rotura, dando origem a tensões residuais de compressão bastante

estáveis.

Além da introdução de pré-tensões de compressão nas camadas superfíciais, muitos destes

tratamentos permitem obter uma camada superficial com uma dureza bastante superior à do

núcleo, que resulta em componentes com uma elevada resistência ao desgaste, associada a

uma tenacidade importante devido ao material mais macio no interior. O problema que se

coloca é a escolha do processo melhor adaptado a cada situação, assegurando-se da sua

eficácia a longo termo [26].

5.4- Métodos de medição de tensões residuais

Existem vários métodos diferentes de determinação de tensões residuais. De um modo geral a

tensão residual não é medida directamente, e sim calculada através de medidas de

deformações causadas pelo alívio das tensões residuais.

Actualmente existem muitos métodos para a medida e determinação das tensões residuais.

Alguns são baseados na medida da deformação aliviada, devido à remoção localizada de


material (métodos destrutivos). Outros são baseados na interacção entre o campo de tensões

residuais e as propriedades fisicas do material (métodos não-destrutivos). As técnicas não-

destrutivas são aquelas que utilizam a difracção ou as que utilizam propriedades sensíveis à

tensão. As técnicas destrutivas são aquelas que necessitam de um certo grau de destruição,

utilizando técnicas mecânicas que podem até introduzir tensões residuais adicionais,

dependendo da operação a ser efectuada [210-214].

As técnicas de relaxação de tensões são baseadas na medida da deformação elástica que

ocorre quando uma parte do corpo de prova contendo tensões residuais é removida. A

mudança de forma resultante da deformação pode ser medida por diferentes sensores. Assim,

dependendo do tipo de sensor usado, da sua forma de colocação e da remoção do material,

diferentes técnicas são empregadas.

As técnicas de difracção de raios X baseiam-se na determinação dos parâmetros cristalinos

de pequenas regiões da peça e na associação de eventuais variações deste parâmetro com as

deformações elásticas presentes no material submetido a tensões residuais. Esta técnica

permite medir deformações superficiais em pequenas áreas (= 3 .µm de diâmetro) e não é

destrutiva. Contudo, tende a ser mais demorada e menos precisa do que as destrutivas.

Técnicas baseadas em propriedades sensíveis à tensão, de forma similar à anterior, medem

alterações de alguma propriedade do material e as associam com as deformações elásticas

presentes na região medida. São também técnicas não destrutivas. Técnicas com ultra-sons

baseiam-se na determinação da velocidade de propagação do som para estimar o estado de

tensão no material. Técnicas de dureza são baseadas em pequenas variações na dureza do

material com a presença de tensões elásticas. Finalmente, técnicas magnéticas baseiam-se em

variações de propriedade magnéticas de materiais ferromagnéticos (basicamente aços) com as

tensões elásticas. Destas técnicas, apenas a última tem aplicação actual fora de laboratórios,

existindo dispositivos portáteis para a determinação não destrutiva de tensões residuais [210-

214].

Finalmente, técnicas de fissuração são baseadas na avaliação qualitativa do padrão de

fissuração desenvolvido em corpos de prova colocados em ambientes capazes de formar

fissuras induzidas pelo estado de tensões dos corpos de prova.


A Tabela 5.1 resume as principais técnicas para a determinação experimental das tensões

residuais.

Tabela 5.1 – Técnicas para a determinação experimental de tensões residuais [210-214].

GRUPO TÉCNICA

Técnica de relaxação de tensão • Técnicas com strain Gages eléctricos

• Técnicas com strain Gages mecânicos

• Técnicas com revestimentos frágeis

• Técnicas com revestimento fotoelástico

Técnica de difracção de Raios-X • Difracção em filme

• Difracção com difractómetro

Técnicas baseadas em propriedades

sensíveis à tensão

• Técnicas com ultra-sons

• Técnicas com medidas de dureza

• Técnicas magnéticas

Técnicas de fissuração • Fissuração pelo hidrogénio

• Fissuração por corrosão sob tensão

5.5- Relaxação das tensões residuais

Na previsão da resistência à fadiga deverá ter-se em consideração o fenómeno da relaxação

das tensões residuais. Na fase de projecto essa relaxação é frequentemente mal conhecida,

podendo apenas ser avaliada através da realização de ensaios de fadiga e pela determinação

experimental dessas tensões ou, alternativamente, tomando como referência os resultados

encontrados na bibliografia para materiais e tratamentos similares [26].

Qualquer metal ou liga metálica que tenha sido mecanicamente solicitado a um certo nível de

tensão, correspondente a uma dada deformação, experimentará um decréscimo gradual com o

tempo se a deformação for mantida constante. Este fenómeno denominado Relaxação de

Tensão, de interesse tanto prático quanto fundamental, oferece um meio para estudar a


deformação dinâmica dos metais. Numa situação real a relaxação das tensões residuais

depende da interacção complexa de numerosos factores, entre os quais podem citar-se [131]:

a natureza do material e as suas características mecânicas,

a solicitação cíclica aplicada,

o número de ciclos de solicitação,

a intensidade e o gradiente das tensões residuais,

a temperatura.

5.5.1- Influência da natureza do material

No caso dos tratamentos superficiais que façam intervir a deformação plástica directa, como é

o caso da grenalhagem de pré-tensão, a estabilidade das tensões residuais será directamente

função da natureza e das propriedades do material encruado, assim como dos mecanismos que

conduzem à deformação plástica. A relaxação das tensões residuais é neste caso

essencialmente condicionada pela possibilidade de movimentação das deslocações,

convertendo as deformações plásticas associadas às tensões residuais em microdeformações

plásticas [322], como se esquematiza na Figura 5.3. São os materiais mais duros e que

encruam melhor que conduzem às tensões residuais mais estáveis. Os materiais que

apresentam reduzida capacidade de encruamento, logo de bloqueio das deslocações,

apresentam geralmente uma relaxação importante das tensões residuais. Segundo Wohlfahrt

[26, 337], a relaxação será tanto mais importante quanto mais baixo for o limite de

elasticidade do material.


Figura 5.3- Esquema da origem e das consequências da relaxação das tensões residuais [214].

No caso das tensões residuais produzidas por tratamentos térmicos ou termoquímicos, a

relaxação é função da possibilidade de movimentação das deslocações e da estabilidade da

estrutura metalúrgica (transformação da austenite residual, decomposição da martensite, etc.).

Toda a modificação da microestrutura conduz a uma modificação da distribuição das tensões

residuais.

O mecanismo de relaxação das tensões residuais pode ser dividido em duas etapas distintas

[26, 199]:

• Durante os primeiros ciclos de solicitação observa-se uma evolução das tensões

residuais que corresponde à adaptação do material, resultante da ultrapassagem do

limite de elasticidade do material, ao nível macroscópico, ou do limite de

elasticidade dos grãos ou cristalitos, ao nível microscópico.

• Segue-se uma fase de relaxação mais suave, função do nível de solicitação e da

natureza do material. Para os materiais de características mecânicas mais

“baixas”, as tensões residuais macroscópicas podem relaxar-se até se anularem.

Solicitações mecânicas

Solicitações térmicas

Movimentação de deslocações

Microplasticidade

Relaxação das tensões residuais

Efeitos favoráveis Efeitos

• Diminuição das tensões de tracção

• Estabilidade dimensional durante maquinagens posteriores

• Diminuição das tensões de compressão

• Deformação das peças ao longo da relaxação


Para os materiais de resistência média, a relaxação pode produzir-se ou não em

função da solicitação cíclica aplicada. Nos materiais muito duros observa-se uma

pequena relaxação.

A estabilidade das tensões residuais depende essencialmente da microestrutura do material e

será favorecida por toda a estrutura metalúrgica capaz de bloquear os movimentos de defeitos

e deslocações. De um modo geral, a estabilidade das tensões residuais introduzidas por

tratamentos termoquímicos é bastante superior à estabilidade das tensões residuais

introduzidas por tratamentos mecânicos [26, 59, 214].

5.5.2- Influência da solicitação aplicada

As tensões residuais podem ser relaxadas por solicitações monótonas ou cíclicas, em tracção

ou compressão. Vohringer [322] estudou a influência da deformação plástica uniaxial sobre a

relaxação das tensões residuais de grenalhagem de pré-tensão, verificando que a relaxação se

iniciava mais cedo para a solicitação em compressão, mas que se processava mais

rapidamente, podendo ser mais completa, para a solicitação em tracção. A relaxação induzida

pela deformação plástica monótona unidireccional inicia-se para cargas ou deformações

plásticas relativamente pequenas, podendo ser completa ou parcial. Tanto o grau como a

velocidade da relaxação dependem do estado inicial do material e da natureza da carga

aplicada.

A relaxação das tensões residuais é governada pela ultrapassagem global ou local do limite

de elasticidade. No caso de um carregamento monótono para haver relaxação o limite de

elasticidade deve ser atingido. Para um carregamento cíclico a tensão limite de fadiga

constitui também um limite para a estabilidade das tensões residuais [26, 33]:

• para solicitações inferiores à tensão limite de fadiga, as tensões e as

microdeformações residuais evoluem pouco,


• para solicitações superiores à tensão limite de fadiga, mas inferiores ao limite de

elasticidade, as tensões e as microdeformações residuais evoluem de modo

contínuo, tanto maior quanto maior for a amplitude da solicitação cíclica aplicada.

A relaxação das tensões residuais também é influenciada pela direcção de aplicação da

solicitação, verificando-se, de um modo geral, que ela é favorecida para as tensões residuais

com a mesma direcção da solicitação aplicada [199]. A relaxação aumenta também com o

número de ciclos se solicitação. Após a rápida relaxação durante os primeiros ciclos, a

maioria dos autores propõe leis da evolução em que as tensões são proporcionais ao logaritmo

do número de ciclos [26].

5.5.3- Influência do gradiente das tensões residuais

O gradiente em profundidade das tensões residuais pode ter uma influência significativa sobre

a sua estabilidade. De um modo geral, quanto mais elevado é o gradiente mais importante é a

relaxação observada [26].

5.5.4- Influência da temperatura

A temperatura pode conduzir a uma relaxação importante das tensões residuais. A origem da

relaxação está situada ao nível da microestrutura, estando ligada a um processo activado

termicamente ao qual se pode associar uma determinada energia de activação [310]. Ao elevar

a temperatura, a microestrutura metalúrgica recebe uma energia que pode favorecer os

rearranjos microestruturais (movimentação de deslocações, etc…), provocando uma evolução

do material para uma estrutura mais estável. A temperatura necessária para activar a relaxação

aumenta com a diminuição da intensidade das tensões residuais, com o aumento da resistência

à deformação plástica e com a diminuição do tempo de manutenção a essa temperatura. De

um modo geral, em materiais comparáveis, a relaxação das microtensões necessita de tempos

de manutenção mais longos e de temperaturas mais elevadas do que a relaxação das

macrotensões.


Além da temperatura e do tempo de manutenção, a relaxação activada termicamente depende

fundamentalmente do estado inicial do material e do estado de tensões residuais. De salientar

que no caso dos tratamentos mecânicos de pré-tensão certas temperaturas não deverão ser

ultrapassadas em serviço ou na sequência de tratamentos posteriores, uma vez que poderão

promover a relaxação das pré-tensões de compressão. A ordem de grandeza destas

temperaturas depende essencialmente do tipo de material [26, 131]:

ligas de alumínio - 100º a 120ºC,

aços ao carbono - 250ºC,

aços de ferramentas - 450ºC,

ligas de titânio - 450º a 500ºC,

aços inoxidáveis austeníticos - 500ºC,

materiais à base de níquel 700ºC.

5.6- Influência das tensões residuais sobre os critérios de iniciação

de fissuras de fadiga

Na fadiga de contacto as tensões residuais de compressão aumentam a duração de vida dos

componentes uma vez que retardam a formação e a propagação das fissuras de fadiga [84,

146, 157, 164, 190]. Pelo contrário, as tensões residuais de tracção, assim como as de

compressão de um valor absoluto relativamente grande, são nefastas em termos de

comportamento à fadiga. De facto, as tensões residuais comportam-se como uma tensão

média que se vai sobrepor às tensões cíclicas de serviço. As tensões residuais de compressão

vão na realidade descarregar a peça, ao sobrepor-se às tensões de serviço em tracção,

aumentando consequentemente o limite de fadiga.


Não basta controlar o valor das tensões residuais na superfície do componente, sendo

necessário ter em atenção o seu valor nas camadas internas e a forma do gradiente de tensões

residuais em profundidade [199, 200]. De facto, na fadiga de contacto as solicitações

máximas fazem-se sentir frequentemente a uma determinada profundidade (sub-superfície), o

que pode conduzir à iniciação de fissuras em profundidade. Por outro lado, é necessário não

tomar apenas em consideração os processos de introdução das tensões residuais, mas também

a sua estabilidade ao longo do tempo de serviço do componente, uma vez que elas podem

evoluir ao longo da solicitação [26].

Os tratamentos de endurecimento superficial induzem tensões residuais de compressão que

influenciam a resistência à fadiga dos materiais.

Em termos da sua influência sobre os critérios de fadiga multiaxial, os efeitos acumulados do

endurecimento do material e da introdução de tensões residuais de compressão de compressão

traduzem-se por um deslocamento vertical da recta limite desses mesmos critérios, e por um

deslocamento horizontal do ciclo de carregamento para menores pressões hidrostáticas,

devido à sobreposição das tensões residuais de compressão que funcionam como uma tensão

média. Este duplo efeito traduz-se por um aumento do domínio de segurança como se

esquematiza na Figura 5.4, directamente ligado à intensidade do endurecimento e das tensões

residuais de compressão introduzidas pelos tratamentos superfíciais [84, 146, 157, 164, 190,

214].

Figura 5.4- Efeito do endurecimento e das tensões residuais de compressão, introduzidas pelos

tratamentos superfíciais, sobre os critérios multiaxiais [26, 79, 214].


De facto, as tensões residuais apenas podem modificar o valor das tensões médias, uma vez

que são independentes do ciclo de carregamento. Para um material com um estado biaxial de

tensões residuais, em que as duas únicas componentes não nulas do tensor das tensões

residuais são as tensões normais no plano da superfície tratada σR11=σR22=σR, o valor da

pressão hidroestática será afectado de uma quantidade 2σR/3. Se as tensões residuais forem de

compressão, como normalmente é o que acontece quando se aplicam tratamentos superfíciais,

o trajecto de carregamento no plano τa-Phyd será deslocado horizontalmente no sentido das

pressões hidroestáticas mais baixas de uma quantidade |2σR/3| como se mostra na Figura 5.4.

Já para um tratamento que introduza uma compressão numa direcção e uma tracção idêntica

segundo a outra direcção (caso de algumas maquinagens) o seu efeito será nulo, uma vez que

a pressão hidroestática não é modificada [26].

O aumento da dureza está directamente associado a um aumento da resistência à tracção que

por sua vez está ligada à tensão limite de fadiga. O endurecimento do material aumentará

então a resistência à fadiga de contacto, enquanto o seu amaciamento produzirá o efeito

inverso. Localmente as características α e β (respectivamente declive e ordenada na origem

da recta de Dang-Van) dos critérios serão modificadas pelos tratamentos superfíciais, sendo

agora função da profundidade. Para os critérios de fadiga multiaxial isso traduz-se numa

modificação da posição da recta limite do critério, sem que a sua inclinação α seja

sensivelmente modificada [59, 99]. No Capítulo 6 o critério de Dang-Van será analisado em

detalhe.

Estes são os principais efeitos dos tratamentos superfíciais sobre a resistência à fadiga de

contacto, mas é preciso não esquecer que outros poderão existir com uma influência não

desprezável, tais como alterações na rugosidade superfícial ou corrosão originada pelo

tratamento superfícial, etc. A influência destes factores poderá ter de ser introduzida no

critério, embora esta não seja uma tarefa fácil.


5.7- Perfis de tensões residuais em dentes de engrenagens

No presente estudo, como se verá mais adiante foram estudados três acabamentos de

superfície dos dentes de uma engrenagem. Os valores das medições das tensões residuais a

diferentes profundidades para os três tipos de acabamento superficial dos dentes de

engrenagens, após fabrico e após ensaio das engrenagens em testes de endurance, estão

disponíveis na referência [145].

As diferentes operações de acabamento da superfície dos flancos dos dentes conduziram a

diferenças significativas de tensões residuais, nomeadamente na proximidade da superfície. A

Figura 5.5 mostra os perfis das tensões residuais considerados. Estes valores das tensões

residuais foram medidos segundo duas direcções: longitudinal e transversal [145]. De notar,

as importantes tensões de compressão na proximidade da superfície para a superfície S3.

(a) (b)

Figura 5.5- Perfil das tensões residuais correspondentes a 3 acabamentos (e correspondentes rugosidades)

superficiais diferentes dos dentes de engrenagens após fabrico. (a) longitudinal (σlong). (b)

transversal (σtransv).

Estes valores valores de tensões residuais foram introduzidos no critério de fadiga multiaxial

de Dang-Van, tendo-se constatado que, como era previsível, conduzem a uma diminuição

importante do risco de iniciação da fadiga de contacto superficial (micropitting). Na Figura

5.6 e na Figura 5.7 mostram-se os mapas de probabilidade de iniciação do micropitting,

correspondentes à superfície S1, respectivamente, sem e com tensões residuais, numa escala

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ lon

g(MPa

)

S1 S2 S3

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ tra

ns(M

Pa)

S1 S2 S3


de 0.2 a 1. De notar que o valor 1 significa um ponto de iniciação de uma fissura de fadiga,

segundo este critério.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5.6- Riscos de iniciação de fendas de fadiga (micropitting) para a superfície S1, não considerando

as tensões residuais (µLIM=0.15, α=0.827, β=500MPa).

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5.7- Riscos de iniciação de fendas de fadiga (micropitting) para a superfície S1, considerando as

tensões residuais (µLIM=0.15, α=0.827, β=500MPa).

A localização dos pontos de iniciação de fissuras de fadiga na superfície e sub-superfície

(Z≤15 µm) está indicada pela côr vermelha. A introdução das tensões residuais de

compressão conduziram a um deslocamento vertical da recta limite de Dang-Van e a um

deslocamento horizontal do ciclo de carregamento para menores pressões hidrostáticas o que

se traduziu numa redução nítida da extensão (profundidade) das zonas de risco de iniciação de

micropitting e numa redução drástica do número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga

(NIF) que passou de 87 para 5. Esta análise será retomada mais adiante com a devida

profundidade, pretendendo-se aqui mostrar apenas a influência das tensões residuais.

µm

µm

µm*0.5

µm*0.5



A introdução voluntária de tensões residuais é um dos meios mais eficazes para melhorar a

resistência à fadiga de componentes mecânicos. As tensões residuais introduzidas pelos

tratamentos de pré-tensão apenas têm interesse caso se mantenham estáveis durante o serviço.

Verifica-se, no entanto, que elas podem ser relaxadas quando os componentes são submetidos

a solicitações mecânicas ou térmicas, o que pode implicar a perda parcial ou mesmo total do

efeito benéfico pretendido. Essa relaxação é função da amplitude e do número de ciclos da

solicitação aplicada e da temperatura, mas ela depende sobretudo da natureza e das

características mecânicas do material utilizado, bem como do tipo de tratamento que induziu

as tensões residuais.

Na fadiga de contacto as tensões residuais de compressão aumentam a duração de vida dos

componentes uma vez que retardam a formação e a propagação das fissuras de fadiga

superficiais. Pelo contrário, as tensões residuais de tracção, assim como as de compressão de

um valor absoluto relativamente grande, são nefastas em termos de comportamento à fadiga.

De facto, as tensões residuais comportam-se como uma tensão média que se vai sobrepor às

tensões cíclicas de serviço. As tensões residuais de compressão vão na realidade

“descarregar” a peça, ao sobrepor-se às tensões de serviço em tracção, aumentando

consequentemente o limite de fadiga.

Em termos da sua influência sobre os critérios de fadiga multiaxial, os efeitos acumulados do

endurecimento do material e da introdução de pré-tensões de compressão traduzem-se por um

deslocamento vertical da recta limite desses mesmos critérios, e por um deslocamento

horizontal do ciclo de carrregamento para menores pressões hidrostáticas, devido à

sobreposição das tensões residuais de compressão que funcionam como uma tensão média.

Este duplo efeito traduz-se por um aumento do domínio de segurança e consequentemente um

aumento à resistência à fadiga de contacto.

As tensões residuais das engrenagens utilizadas foram obtidas nas direcções longitudinal e

transversal, a diferentes profundidades e para os três tipos de superfície considerados, antes e

após os ensaios de fadiga de contacto realizados no banco de engrenagens. As variações das

tensões residuais entre as várias profundidades de medição foi considerada como sendo linear.


A observação do perfil das tensões residuais permitiu notar as diferenças significativas no

perfil das tensões nomeadamente na proximidade da superfície para as três superfícies

consideradas e as fortes tensões de compressão para a superfície S3 que como se irá ver no

Capítulo 7 irão influenciar o risco de iniciação de fissuras de fadiga segundo o critério de

Dang-Van.

CAPÍTULO 6

CRITÉRIO DE DANG-VAN

6.1- Introdução

A maioria dos critérios de fadiga propostos pelos diferentes investigadores baseia-se na teoria

dos danos acumulados. Esta abordagem é algo intuitiva, uma vez que muitas avarias de

superfície dependem de processos de fadiga de contacto que ocorrem ao longo de muitos

ciclos de solicitação e em que existe um efeito cumulativo da aplicação sucessiva desses

ciclos, modificando o estado das superfícies e condicionando a iniciação e ocorrência de

avarias.

Os primeiros trabalhos nesta área, apresentados por Palmgren [258] no início do século XX e,

mais tarde, já em meados do século, por Miner [233], que propôs a ”regra linear de dano

acumulado”, têm vindo a ser sucessivamente adaptados e melhorados. Actualmente estão

publicados muitos outros critérios de fadiga não lineares, como os que são baseados na

mecânica da fractura ou em aspectos energéticos.

Três análises distintas estão na base da maioria dos critérios actuais: em 1983, French [133]

focou o seu estudo no efeito da aplicação de sobretensões no limite de endurance dos

materiais; em 1938, Kommers [191] sugeriu a utilização da variação da tensão limite de

fadiga como critério; em 1937, Langer [195] propôs a separação do processo de fadiga em

dois estágios: um primeiro que trata a iniciação de fissuras de fadiga e um segundo que

analisa a sua propagação.


Os modelos de previsão da vida à fadiga são baseados na propagação de fissuras, quer em

profundidade, quer superficialmente. Para que os resultados destes modelos sejam aceitáveis,

é necessário incluir os efeitos de outros factores tais como a rugosidade, inclusões não

metálicas, coeficiente de atrito, sensibilidade à fadiga do material, etc.

A previsão da vida à fadiga de um contacto EHD é muito complexa, quer pela quantidade de

variáveis influentes no processo de fadiga, quer pela sua variação ao longo do tempo e da

zona de contacto.

As tensões são multiaxiais, variando com o tempo e em profundidade. O próprio material não

é homogéneo, sendo a anisotropia, numa primeira fase, função do processo de obtenção e

produção do aço, e posteriormente do processo de maquinagem do componente mecânico.

Sendo assim, os corpos não apresentam um comportamento perfeitamente elástico, pois

existem tensões residuais devidas aos defeitos que provocarão deformações plásticas

localizadas.

A rugosidade e os defeitos superfíciais estão distribuídos aleatoriamente, podendo qualquer

um deles dar ínicio à fissura que provoca a avaria.

Estes aspectos contribuem para a crescente complexidade dos modelos de previsão da vida à

fadiga que apenas pode ser avaliada de forma estatística.

Lundberg-Palmgren [207, 258] publicaram o primeiro modelo teórico para a previsão da vida

à fadiga. Estes autores procuraram com o seu modelo modelizar principalmente problemas de

fadiga com iniciação na zona de máxima tensão de um contacto Hertziano. Este modelo tem

servido como ponto de partida para os novos modelos que têm surgido. Lundberg e Palmgren

definiram vida à fadiga como o número de ciclos a que um componente resiste antes de surgir

a primeira escama, e basearam o seu modelo na consideração de que a solicitação que provoca

a fadiga é a tensão ortogonal τXY, com um valor máximo τ0 a uma profundidade z0. Contudo

este modelo apresenta várias limitações tais como:

• Não prevê a presença de partículas no fluído, isto é, a contaminação do

lubrificante, e a sua influência na vida à fadiga.

Capítulo 6- Critério de Dang-Van [191/366]

• Não entra em conta com a conjunção dos factores elasticidade e hidrodinâmica do

contacto sobre o número de ciclos de vida à fadiga, ou seja, o modelo de

Lundberg-Palmgren não prevê a influência dos parâmetros associados ao

lubrificante e à teoria EHD.

• Previligia principalmente o estudo da ocorrência de spalling (escamas), mas a

realidade é que, se ocorrer o pitting (picadas), a probabilidade de ocorrer o

spalling aumenta.

• Não permite obter durações de vida infinitas apesar delas existirem e se

verificarem experimentalmente.

Com base nas limitações deste primeiro modelo teórico, Tallian [292, 307-309] desenvolveu

um modelo onde procurou incluir numerosos factores, relacionados com a

elastohidrodinâmica e a rugosidade, não considerados por Lundberg e Palmgren. Um outro

aspecto muito importante e inovador introduzido por Tallian é o desenvolvimento que ele

esboça do modelo de fadiga em dois sentidos, o modelo sub-superfícial, associado aos

coeficientes φ0, φ1, φ2, φ3 e φ4, e o modelo superfícial, associado aos coeficientes, φ`0, φ`1, φ`2,

φ`3 e φ`4. Esta visão do modelo, associado à superfície faz sentido apenas com a consideração

da rugosidade, que introduz nos corpos múltiplos pontos de concentração de tensões que,

quando sujeitos a esforços, traduzir-se-ão por pontos de iniciação de fendas cuja propagação

terminará com o aparecimento de pits e, posteriormente, de spalls. Esta abordagem não fazia

sentido com o modelo de Lundberg e Palmgren porque estes consideravam as superfícies

lisas, e a tensão máxima a que ocorria no interior do sólido devido ao contacto global de

Hertz. Surge assim um modelo - de Tallian - que procura abordar de forma distinta as fissuras

iniciadas à superfície e subsuperficialmente.

Um ainda mais recente modelo de fadiga foi proposto por Harris e Ioannides [56, 175]. Estes

autores recorrem fortemente ao cálculo numérico para determinação do campo de tensões no

interior do sólido. Além disso, toda a zona de contacto submetida a tensões é entendida como

crítica e sujeita a falha e dano, e não apenas, como consideraram Lundberg, Palmgren e

Tallian, limitadas às zonas de máxima tensão. Também neste modelo, tal como considerado

por Tallian, o risco de dano não é constante em todo o volume de risco. Este modelo inclui a

fadiga com origem superfícial, e o efeito do parâmetro Λ na previsão média da vida efectiva à

fadiga.


A metodologia a seguir, segundo Flamand [129, 130], consiste em identificar o tipo de

solicitação e condições que originam a avaria, exprimi-las em termos probabilísticos e

localizar a zona de risco como limite para essa dada avaria.

Vários autores formularam várias hipóteses para justificar o aparecimento de fissuras por

fadiga sem que, no entanto, tenham desenvolvido um modelo de previsão da vida à fadiga

propriamente dito [2, 3, 34, 50, 52, 68-76, 79, 100-102, 104, 154, 182, 296, 319, 338]:

Hipótese de Way [326, 68-71]: devido ao processo de fabrico, as superfícies

apresentam fissuras, nas quais o óleo vai penetrar. Devido às pressões Hertzianas, e

ao facto do óleo ter uma rigidez superior à do aço, o óleo no interior das fissuras vai

provocar um progressivo crescimento destas.

Hipótese de Cameron [50-52, 68-71, 182]: Cameron sugere que o pico de pressão

EHD provoca tensões de corte elevadas que deterioram a superfície. Mas

experimentalmente verifica-se que este efeito é reduzido, senão nulo.

Hipótese de Dowson [100-104, 68.71, 154]: não só a avaria mas também o número

de contactos metálicos aumentam com a diminuição do parâmetro Λ. Então, as

pressões transmitidas pelo contacto directo das rugosidades será responsável pelas

avarias.

Hipótese de Smith e Liu [296, 202, 68-71]: as tensões de corte na superfície podem

ser, ao nível de uma rugosidade, da superfície ou do contacto global, a origem das

fissuras.

Hipótese de Scott [296, 319]: a sua hipótese justificativa para o aparecimento de

fissuras é a presença de partículas no fluído lubrificante. Além disso, e segundo

Scott, a ocorrência de cavitação no interior do filme pode originar o pitting.

Hipótese de Cheng [2-4, 68-77, 338]: Cheng propõe, para rolamento puro, três

modos distintos de iniciação das fissuras:

1.1- caso em que as rugosidades entram em contacto directo;

1.2- explicado pela teoria EHD em filme de óleo completo, a iniciação das

fissuras é devida ao pico de pressão que, na superfície, provoca concentração

local de tensões de corte;


1.3- modo misto de iniciação das fendas.

Quanto à fase de propagação das fendas, Cheng formula as três hipóteses a seguir expostas:

2.1- as fendas podem-se propagar devido ao corte cíclico no contacto;

2.2- o óleo introduz-se nas fendas devido à carga. A pressão do óleo no interior

das fendas provoca a sua abertura e consequente crescimento;

2.3- a fenda pode-se propagar de forma mista.

É referido também que o desgaste pode interromper a propagação de fissuras próximas da

superfície.

6.2- Conceito de vida infinita à fadiga

O principal objectivo dos estudos de fadiga é, idealmente, a obtenção de um modelo de

previsão da vida à fadiga de um componente ou, ainda melhor, a determinação dos esforços

para os quais a vida à fadiga seja, na realidade, infinita.

A ocorrência de vida infinita à fadiga é possível em duas situações:

I) não existir deformação plástica em torno da inclusão/matriz ou defeito superfícial,

e sendo a deformação puramente elástica, não ocorrer emissão de deslocações,

logo não exista acumulação de dano - garantindo-se assim vida infinita à fadiga;

II) ou existe deformação plástica em torno da inclusão mas, após determinado

número de ciclos, mais nenhuma deslocação é emitida, estando-se, mais uma vez,

perante vida infinita à fadiga.

Uma fissura é nucleada quando a intensidade de deslocações em determinado volume do

corpo ultrapassar o valor crítico. A iniciação de uma fissura não significa impreterivelmente

que o dano seja irreversível. Pode acontecer que, após um determinado número de ciclos, não


sejam emitidas mais deslocações e a dimensão da fissura estabilize. No entanto, um ligeiro

aumento da solicitação imediatamente e irreversivelmente provocará a reactivação do

crescimento da fissura, surgindo o pitting e, mais tarde, o spalling.

A investigação nesta área pretende conseguir obter os valores limite para as cargas de

contacto a partir das quais o contacto, à fadiga, apresenta vida infinita. As formas de o

conseguir, ou pelo menos de prolongar a duração do contacto poderá passar pela diminuição

do tamanho das inclusões, produção de melhores materiais, mais homogéneos através do

refinamento da composição química, tratamentos térmicos mais adequados, indução de

tensões residuais negativas na camada superfícial, etc.

A determinação da tensão de corte máxima (τmáx), da tensão de corte octaédrica máxima (τoct)

e da tensão de corte (τxz), são frequentemente usadas para avaliar o risco de avaria por fadiga

de contacto em todos os materiais.

Associadas às superfícies rugosas, as zonas de maior tensão de corte encontram-se perto da

superfície, ou seja, num contacto real (rugoso e com escorregamento) as zonas de maior risco

de avaria por fadiga de contacto encontram-se à superfície.

6.3- Critérios de fadiga multiaxial

Os modelos uniaxiais de fadiga não são adaptados ao estudo da fadiga de contacto uma vez

que neste caso o estado de tensão é fortemente multiaxial. Por outro lado, as tensões residuais

são sempre multiaxiais, pelo que, para ter em consideração a sua influência, será também

necessário utilizar um critério de fadiga multiaxial.

Quando a previsão da vida útil é feita em termos de fadiga de contacto, muitas das teorias

derivadas da análise de provetes falham, uma vez que derivam de solicitações uniaxiais

simples impostas em condições que não correspondem àquelas que estão na base dos

mecanismos de avaria das superfícies. É comum que muitos factores de intensidade de tensão

presentes na literatura sejam obtidos em testes de flexão rotativa ou similares, assim como


muitas das teorias baseadas na mecânica da fractura dependem da evolução de entalhes feitos

em provetes ou da propagação de fissuras em modos específicos. Quando se trata de fadiga de

contacto os mecanismos envolvidos são nitidamente diferentes e os processos são quase

sempre resultantes de estados de tensão multiaxiais [26, 79].

No caso particular das engrenagens que sofrem desgaste superficial por fadiga de contacto, a

existência de tensões residuais, o carácter multiaxial das solicitações, a geometria típica do

engrenamento e outros fenómenos, como a penetração de lubrificante no interior de fissuras

que afloram à superfície, introduzem variáveis que tornam muito complexa a definição de um

critério de fadiga suficientemente abrangente. A. Baptista [26] aborda a questão das tensões

residuais classificando-as em três ordens: macroscópicas, que se estendem sobre vários

milímetros de material e que podem ser medidas por extensometria, microscópicas, tensões

que se instalam ao nível dos grãos do material e que eventualmente podem ser estudadas por

difracção de raios X, e tensões de terceira ordem, cujo domínio se estende à escala das

distâncias interatómicas e que dependem sobretudo de características locais da rede cristalina

do metal. Segundo o autor, o estado total de tensão resulta da sobreposição directa das três

ordens de tensões residuais citadas.

Nestes casos a utilização de critérios simples como o de Tresca ou de Von Mises tende a

produzir resultados pouco rigorosos. Enquanto os critérios de fadiga multiaxial de Sines ou de

Crossland [26, 87, 295] abordam o problema de forma macroscópica, ou seja, não consideram

o facto de a iniciação de uma fissura ser um fenómeno tipicamente microscópico. Dang-Van

[93-96] propôs um critério de fadiga multiaxial que permite contemplar formas complexas de

solicitação e que tem vindo a ser utilizado no estudo da fadiga de contacto de engrenagens já

que permite contabilizar a influência da pressão hidrostática.

6.3.1- Formulação de um critério multiaxial de fadiga

Estabelecer um critério de fadiga de contacto é definir um domínio no espaço das tensões, no

interior do qual um componente tem uma duração de vida infinita. A fronteira desse domínio

será definida, por uma equação que liga as tensões locais instaladas às propriedades

mecânicas do material relevantes em termos de fadiga. Existem muitos critérios e diferentes


formas de abordagem na perspectiva de os classificar,os quais podem ser encontrados na

bibliografia, contudo não se pretende apresentar aqui um estudo aprofundado dos critérios

multiaxiais de fadiga mecânica. Para um estudo bibliográfico mais completo dos critérios

multiaxiais, diversas obras [107, 134] podem ser consultadas.

As variáveis com influência sobre o processo de fissuração podem ser agrupadas em quatro

famílias [134]:

1. Variáveis que traduzem o efeito das solicitações exteriores (Vso1ic) nos pontos

analisados, tais como invariantes do tensor das tensões ou das deformações,

tensões normais ou de corte ligadas a um plano particular, etc.

2. Características intrínsecas do material (Vmat), definidas a partir de ensaios

monótonos ou de ensaios de fadiga, geralmente para solicitações simples. Estas

últimas incluem em geral, a variável tempo ou o número de ciclos associado a

uma certa probabilidade de iniciação das fissuras de fadiga.

3. Coeficientes de influência (Vinfl), que agrupam todas as variáveis ligadas ao

desenho e à elaboração do componente analisado, tais como a isotropia ou

anisotropia do material, o estado e natureza da superfície do componente, as

dimensões, as tensões residuais, os acidentes geométricos não tomados em

consideração no cálculo do tensor das tensões, etc.

4. Coeficientes de serviço (Vserv), que traduzem as características de funcionamento

do componente, tais como a temperatura, as sobrecargas, a agressividade do meio,

a frequência das solicitações, etc.

Na formulação de um critério multiaxial de fadiga são geralmente tomadas em consideração

as duas primeiras famílias, enquanto as duas últimas agrupam as variáveis ligadas à sua

aplicação aos casos industriais. Os critérios propostos na bibliografia exprimem-se geralmente

em função de duas variáveis (XI, X2) da família Vso1ic, com influência reconhecida no

processo de fissuração, e de variáveis da família Vmat , sendo estas últimas naturalmente

fixadas logo que se faça a escolha do material. Obtém-se, assim, a seguinte formulação geral

de um critério multiaxial de fadiga [26]:

F(Xl,X2 ;Vmat) = 0 (6.1)


As variáveis das duas últimas famílias, Vinfl e Vserv, são inicialmente fixas em valores iniciais,

sendo tomadas em consideração, não durante a formulação, mas durante a fase de exploração

e da aplicação do critério (ver parágrafo 6.3.2).

A equação 6.1 define um domínio no espaço do critério, que corresponde à zona de segurança

do componente (Figura 6.1). Define-se trajecto de carregamento à curva paramétrica (que se

pode reduzir a um ponto ou a um segmento de recta) descrita pelas variáveis X1 e X2

calculadas num ponto do componente durante o serviço. O componente está em segurança

desde que os trajectos de carregamento para os vários pontos da estrutura não entrem na zona

de dano. As posições da curva limite e do trajecto de carregamento podem ser alteradas pelas

variáveis das famílias Vinfl e Vserv , o que deverá ser tomado em consideração durante a

aplicação do critério.

Figura 6.1 - Formulação geral de um critério multiaxial de fadiga [26].

Um estado de tensão num ponto de uma estrutura pode ser caracterizado por um tensor de

tensões (σij) o pelas tensões principais σ1, σ2 e σ3. No caso da fadiga uniaxial, o ciclo de

tensão pode decompor-se numa tensão média, σmed; e numa amplitude de tensão, σa. Para

solicitações multiaxiais em que todas as componentes do tensor das tensões variam em fase,

podemos, tal como no caso de uma solicitação uniaxial, decompor o tensor das tensões num

tensor de tensões médias (σij,med) e num tensor de tensões alternadas (σij,a). Para um

carregamento sinusoidal, por exemplo, obtém-se:

( ) ( ) consttsent ijijaijmedijij ==+= ωωωσσσ , ,, (6.2)


A experiência mostra que os critérios de Tresca e de Von Mises não podem ser utilizados na

presença de fortes tensões médias ou residuais, uma vez que eles não tomam em consideração

a influência da pressão hidrostática [214], conduzindo a resultados idênticos para solicitações

com uma pressão hidrostática positiva ou negativa, o que sabemos não ser correcto.

Fisicamente a iniciação das fissuras de fadiga de contacto é facilitada quando a matéria se

encontra globalmente dilatada, o que acontece quando a pressão hidrostática é globalmente

positiva. Um outro parâmetro fundamental com influência reconhecida no processo de

fissuração é a amplitude de tensão em torno do valor médio, que origina distorções cíclicas

repetidas. No critério de Von Mises intervém a tensão de corte octaédrica, o que por definição

só é possível para o caso de carregamentos radiais, ou não radiais, mas com direcções

principais que coincidam no maior ou menor valor da solicitação mecânica [79]. Deste modo

é preferível utilizar critérios que façam intervir uma amplitude de tensão e uma pressão

hidrostática. Alguns dos critérios multiaxiais de fadiga mais utilizados prevêem a ausência de

iniciação de fendas de fadiga, se a seguinte condição for verificada:

.a hydpτ α β+ ≤ (6.3)

onde τa é uma amplitude de tensão de corte, phyd é uma pressão hidrostática, e α e β são

constantes características do material, que podem ser determinadas através de ensaios

específicos de fadiga.

O coeficiente α representa a influência da pressão hidrostática, que pode ser determinado a

partir da razão entre o limite de fadiga em torção alternada e o limite de fadiga em flexão

rotativa ou em tracção alternada ou repetida, por exemplo, sendo o limite de fadiga σD

(corresponde ao ponto B da Figura 6.2). O coeficiente β pode ser determinado a partir do

limite de fadiga do material em torção alternada, τD (corresponde ao ponto A da Figura 6.2).

Com estes dois pontos traça-se a recta limite de segurança, sendo o seu declive α.

A zona de segurança é constituída pela parte do plano τa-phyd situada entre duas rectas limite

simétricas, como se representa na Figura 6.2. Os critérios multiaxiais de fadiga de Sines, de

Crossland e de Dang-Van são os mais utilizados.


Figura 6.2 -Representação de um critério multiaxial da forma .a hydpτ α β+ ≤ , onde τa é uma amplitude

de tensão de corte, phyd uma pressão hidrostática, e A e B são as constantes características do

material (α e β) [26].

Os critérios de Sines e de Crossland, derivados do critério de Von Mises, são expressos

inicialmente em função das tensões no plano octaédrico e posteriormente em função dos

invariantes do tensor desviador das tensões, o que conduz a uma interpretação do tipo

energético. No caso de solicitações não proporcionais, estes critérios têm o mesmo defeito do

critério de Von Mises, pois o corte octaédrico deixa de ser intrínseco e depende dos eixos de

coordenadas escolhidos.

O critério de Dang-Van, baseado numa abordagem microscópica desenvolvida por Dang-Van,

permite tomar em consideração a forma de um trajecto de carregamento complexo, em vez de

considerar apenas a sua amplitude. Neste critério intervém as grandezas intrínsecas, τ(t) e

phyd(t), independentes do referencial escolhido e que permitem um controlo local e

instantâneo da situação, fazendo intervir a forma precisa do trajecto de carregamento.


6.3.2- Critérios de fadiga multiaxial

6.3.2.1- Critério de Sines

Partindo da observação que uma tensão média em torção tem uma fraca influência sobre a

resistência à fadiga, Sines [26, 294, 295] formulou inicialmente o seu critério fazendo intervir

a amplitude da tensão de corte octaédrica, τoct,a, e a pressão hidrostática média, hydmedp , numa

relação linear da forma:

,med

oct a hydpτ α β+ ⋅ ≤ (6.4)

onde α e β são constantes características do material que podem ser determinadas por ensaios

de torção alternada e de flexão repetida, por exemplo. A pressão hidrostática, phyd, que é na

realidade a tensão normal octaédrica: σoct, e a tensão de corte octaédrica, τoct , representam as

tensões que se exercem no plano octaédrico, sendo dadas por :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 22 33

2 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 13

13

2 1 63 3

hyd oct

oct VM

p σ σ σ σ

τ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ

= = + +

= = − + − + − + + +

(6.5)

onde σVM representa a tensão equivalente de Von Mises. No caso de carregamentos não

radiais este critério perde todo o seu significado físico, não podendo ser utilizado para um

carregamento multiaxial complexo.

O critério de Sines [284, 285] foi posteriormente reformulado, reescrevendo as suas variáveis

em função do segundo invariante, J2, do tensor desviador das tensões, S, e do primeiro

invariante, I1, do tensor das tensões de Cauchy, σ :


( ) ( )

( ) ( )

22 1 2

1 11 22 33

2 2 2 22 11 22 33

1 1 1 1: 32 2 2 3

3

1 12 2

ij ij ij ijij

ii hyd

J S S S S S S I I

I tr p

I tr

σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = = + + =

= = + +

∑

(6.6)

onde o operador ":" representa o produto duplamente contraído. Para um carregamento

cíclico, o ponto representativo do tensor desviador das tensões S(t) descreve uma curva

fechada no espaço dos desviadores. O seu diâmetro, definido como o comprimento da maior

corda que é possível definir no trajecto do desviador das tensões, é dado pela seguinte

expressão [26]:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

∈∈ 2121 :21

tStStStSMaxMaxDTtTt

(6.7)

A amplitude de ( )tJ 2 , designada por ( )( )atJ 2 é definida como sendo igual ao raio do

trajecto de S(t), multiplicado pelo factor 12

, ou seja:

( )( )22

12

DtJ a = (6.8)

De notar que no caso de carregamentos não radiais, a amplitude de ( )tJ 2 não poderá ser

calculada pela semi-diferença entre os valores extremos de J2(t). A partir do primeiro

invariante do tensor das tensões I1(t) ligado à pressão hidrostática I1 (t) = 3.phyd(t), pode

igualmente definir-se um valor médio I1,med, uma amplitude I1,a e um valor máximo I1,max [26]:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

amed

TtTta

TtTtmed

III

tItIMaxI

tItIMaxI

,1,1max,1

11,1

11,1

min21

min21

+=

−=

+=

∈∈

∈∈

(6.9)


Segundo Sines [284, 285] a tensão equivalente é uma combinação linear da amplitude

de ( )tJ 2 e do valor médio do primeiro invariante do tensor das tensões, resultando para o

seu critério:

( )( ) βα ≤⋅+ meda ItJ ,12 (6.10)

onde α e β são características do material. Esta formulação conduz a uma interpretação do

tipo energético, uma vez que I1 está ligado à energia de volume e J2 à energia de distorção do

material. Esta formulação do critério de Sines é aplicável a qualquer carregamento periódico.

No caso de um carregamento radial ( )( ) aoctatJ ,2 23 τ⋅= , obtém-se a formulação original.

6.3.2.2- Critério de Crossland

O critério de Crossland [87] foi formulado no seguimento de um vasto programa experimental

sobre o comportamento à fadiga do aço En25T (normas inglesas), tendo como objectivo

principal determinar a influência de uma pressão hidrostática elevada sobre a resistência à

fadiga do metal. De modo a traduzir o melhor possível o conjunto dos seus resultados

experimentais, Crossland propôs um critério que faz intervir o valor máximo da pressão

hidrostática ao longo do ciclo de carga, maxhydp , em vez do seu valor médio:

max,oct a hydpτ α β+ ⋅ ≤

onde α e β são constantes características do material, que podem ser identificadas, por

exemplo, por ensaios de torção e de flexão alternada.

Como no critério de Sines, também esta formulação é válida apenas para carregamentos

radiais, aos quais corresponde um plano octaédrico bem definido, procedendo-se também à

sua reformulação reescrevendo as variáveis em função dos invariantes. Segundo Crossland, a

tensão equivalente é uma combinação linear da amplitude de ( )tJ 2 e do valor máximo do


primeiro invariante do tensor das tensões, ao longo do ciclo de carregamento, tomando o seu

critério a forma [26]:

( )( ) βα ≤⋅+ max,12 ItJ a (6.11)

onde α e β são características do material. Esta formulação do critério de Crossland é

aplicável a qualquer carregamento periódico. A utilização da pressão hidrostática máxima em

vez da pressão hidrostática média permite diferenciar os trajecto de carregamento reais

sofridos pelo material e de distinguir, nomeadamente, os ensaios de fadiga em torção dos

ensaios de fadiga em tracção e flexão. O critério de Crossland descreve uma gama

relativamente larga de materiais e reproduz bem a tendência geral dos resultados

experimentais.

6.3.2.3- Critério de Dang-Van

O critério de Dang-Van permite prever os locais onde preferencialmente pode ocorrer a

nucleação de fendas de fadiga de contacto, para o caso de uma solicitação de fadiga

multiaxial.

Graficamente, este critério baseia-se no estabelecimento de um domínio espacial de

segurança, zona de não ocorrência de danos por fadiga, na qual os efeitos das solicitações

devem ser representados, conforme mostra a Figura 6.3.

Figura 6.3 - Representação gráfica do critério de Dang-Van.

τa ponto crítico

Zona de segurança

phyd

Trajecto cíclico

do carregamento


Considera-se ocorrer dano quando algum ponto do trajecto cíclico do carregamento intersecta

as rectas-limite da zona de segurança. No diagrama da Figura 6.3 o eixo vertical contabiliza a

amplitude da tensão de corte e no eixo horizontal são representados os valores da pressão

hidrostática.

O princípio físico deste critério baseia-se no facto de que a formação de uma fissura de fadiga

é um fenómeno microscópico, que se dá à escala de um ou vários grãos, sendo de facto

inadequado considerar que o material é homogéneo e isotrópico. A escala macroscópica é

caracterizada por um elemento de volume V(M) que envolve um dado ponto M da estrutura e

sendo constituído por um elevado número de grãos. As grandezas macroscópicas, tensão

Σij(M, t) e deformação Eij(M, t), são assumidas como homogéneas em V(M). A escala

microscópica, da ordem do tamanho de um grão ou de alguns grãos, corresponde a uma

subdivisão de V(M), onde cada elemento é identificado pelo parâmetro P. As grandezas

locais, tensão σij(P,M, t), deformação εij(P,M, t) e deformação plástica εpij(P,M, t), são

consideradas homogéneas dentro de cada domínio, mas variam de domínio para domínio e

são diferentes de Σij e de Eij. Se Σ é o valor médio de σ [93-96]:

( ) ( ) ( )( )1 ,

V MM P M dV

V Mσ= ⋅∑ ∫ (6.12)

e

σij(P, M, t)=Aijhk(P, M).Σhk(M, t)+ ρij(P, M, t) (6.13)

Aijhk(P, M) é o tensor de localização elástica no elemento de volume e ρij(P, M, t) é o campo

de tensões residuais locais.

Dang-Van desenvolve o seu modelo supondo que um dado grão ou elemento de volume

microscópico que esteja inserido numa matriz elástica sofre deformações plásticas por efeito

das solicitações impostas pela matriz [93]. Este autor refere que o campo de tensões residuais

que se vai formar em torno desse elemento tende a estabilizar de forma isotrópica ao longo do

carregamento cíclico e que, se isso não acontecer, existem condições para a iniciação de uma

fissura. Pretende, desta forma, simular o facto de alguns grãos de uma dada matriz metálica

apresentarem uma orientação desfavorável que condiciona a sua possibilidade de recuperarem


de eventuais deformações elasto-plásticas que tenham sofrido ao longo do carregamento,

facto que se supõe estar na origem da iniciação microscópica de fissuras de fadiga [92-96].

Dang-Van propõe, portanto, a determinação do ciclo de carregamento microscópico [σ], com

o auxílio de uma aproximação elastoplástica e a partir do ciclo de tensões macroscópicas [Σ].

Um cálculo iterativo permite determinar para cada ponto da discretização o estado adaptado

do material, isto é o estado que faz com que o ciclo de tensões do material não saia do

domínio elástico. Este estado adaptado caracteriza-se por dois parâmetros [24, 25, 302]:

- um domínio elástico mais importante;

- tensões residuais [ρ] que caracterizam o “deslocamento” do domínio elástico no

espaço das tensões.

Deste modo, determina-se em cada ponto da discretização o tensor das tensões residuais do

estado adaptado, e depois o tensor das tensões locais, aplicando a lei seguinte:

[σ]=[Σ]-[ρ] (6.14)

Segundo Dang-Van [93-96], haverá iniciação de uma fissura ao nível de um grão orientado

desfavoravelmente se este sair do seu estado de adaptação, ou seja, se o seu critério de

plasticidade não for verificado. Como a iniciação se produz em geral nas bandas de

deslizamento intergranulares, a tensão de corte local que se exerce sobre esses planos é um

factor importante a tomar em consideração. Por outro lado, se bem que a evolução

elastoplástica do grão seja a priori independente da pressão hidrostática, o critério de fadiga

deve fazê-la intervir, uma vez que a pressão hidroestática, quando positiva, tende a abrir

fissuras e a favorecer o crescimento e a coalescência das microfissuras, e quando negativa

produz o efeito contrário. Dang-Van propõe então para o seu critério a seguinte relação linear

entre aqueles parâmetros:

, ( ) ( )hydt T t p tτ α β∀ ∈ + ≤ (6.15)

onde ( )tτ representa a tensão de corte microscópica, phyd(t) a pressão hidrostática

microscópica (igual à pressão hidroestática macroscópica), t o tempo e T o período do ciclo


de carregamento. As constantes α e β são características do material, podendo ser obtidas,por

exemplo, a partir das tensões limite de fadiga em flexão rotativa e em torção alternada. A

adopção de ( )tτ permite limitar a zona de segurança à zona compreendida entre o eixo da

pressão hidrostática e a recta superior do critério, substituindo o trajecto de carregamento Γ

pelo projecto de carregamento Γ’ (ver Figura 6.4), o que não altera nada do ponto de vista da

previsão da resistência à fadiga.

Figura 6.4 -Critério de Dang-Van: domínio de segurança e trajecto de carregamento [26].

A pressão hidrostática, phyd(t), é calculada a partir do valor médio dessa tensão ao longo de

um ciclo, Σ(t), através da expressão (6.16).

( )1( )3hydp t tr t⎡ ⎤= Σ⎣ ⎦

(6.16)

Se a resposta elástica do sólido for proporcional a um tensor independente do tempo, a

pressão hidrostática pode ser descrita pela expressão da tensão normal octaédrica, ou seja, de

acordo com a expressão (6.17).

( )11 22 331( )3hydp t σ σ σ= + +

(6.17)

O cálculo de ( )tτ é mais complexo. O cálculo da tensão de corte microscópica, τ(t), é feito

recorrendo à amplitude, em cada ciclo, do valor da tensão de corte macroscópica segundo um


plano normal n e do estado estabilizado de tensão residual local, ρ*(n). Considere-se no ponto

M da zona crítica um plano de normal n , e seja ( )tnT , a tensão de corte macroscópica nesse

plano. Ao longo de um ciclo de carregamento a extremidade do vector ( )tnT , , com origem no

ponto M, descreve uma curva fechada no plano considerado, cujo raio máximo corresponde à

amplitude da tensão de corte (ver Figura 6.5). O estado estabilizado de tensão residual local,

( )n*ρ , que permite simetrizar o ciclo, é determinado do seguinte modo [26, 79, 93-96]:

Figura 6.5– Processo de determinação da tensão de corte local [26, 79].

• Determina-se o círculo de diâmetro mínimo circunscrito ao trajecto de ( )tnT , ,

isto é o círculo de Dang-Van.

• Seja C o centro do círculo de Dang-Van. O vector CM representa a tensão

residual que permite simetrizar o ciclo, ( )n*ρ . Os trajectos das tensões de corte

micro e macroscópica correspondem-se por uma simples translação (A=1, na

equação (6.13)) e o círculo circunscrito ao trajecto da tensão de corte

microscópica está centrado no ponto M. A tensão de corte local, ( )tn,τ , pode

então deduzir-se de ( )tnT , por aquela translação:

( ) ( ) ( )ntnTtn *,, ρτ += (6.18)

Sendo τ *y o limite de elasticidade no estado estabilizado, a condição de não violação do

critério de plasticidade permite escrever:


*),(, ytnTt ττ ≤∈∀ (6.19)

A tensão de corte local ( )tn,τ , deve estar completamente contida no círculo de raio τ *y , que

deve ser o menor possível.

Depois de calculados os valores da pressão hidrostática e das tensões de corte locais, é

necessário encontrar o plano em que a combinação destes dois parâmetros é a mais

desfavorável, de forma a seleccionar os valores que maximizam o dano por fadiga. A

formulação do critério faz-se neste caso por uma dupla maximização:

( ) ( ){ }, hydn t T

n t p tMax Max τ α β∈

⎡ ⎤+ ⋅ ≤⎣ ⎦ (6.20)

Na prática a aplicação do critério é muitas vezes simplificada, ou porque o plano procurado é

o plano sujeito à amplitude de tensão de corte macroscópica máxima, ou porque o problema

se reduz a um problema plano.

A expressão final para o critério vem:

maxmax,a hydpτ α β+ ⋅ = (6.21)

Nesta expressão, τmax,a é dado pela diferença entre o valor da tensão de corte no instante t e o

seu valor médio por ciclo, resultando na equação (6.22).

[ ] 2/)()(max 31amax, tt aa σστ −= (6.22)

Os valores σ1a(t) e σ3a(t) são, respectivamente, a maior e a menor tensão principal do tensor

σa (t) =σij(t) - σij med. Será escolhido o tempo t dentro do período T, correspondente a cada

ciclo, que maximiza σa, o que obriga a calcular este tensor em cada ponto do material e para

cada combinação de solicitações ao longo de um ciclo de carregamento.

Ekberg [26, 66, 114, 201] propõe uma simplificação neste aspecto sugerindo a utilização da

amplitude da maior tensão de corte no elemento de volume. Assim, substitui directamente o


valor de τmax,a pelo maior valor encontrado da tensão equivalente resultante do critério de

Tresca:

[ ]{ }2/)()()(max 31max, ttttrescaa σσττ −== (6.23)

A definição da recta de segurança de Dang-Van pode ser feita de forma experimental. A

Tabela 6.1 apresenta alguns valores característicos para o cálculo dos parâmetros que definem

essa recta, onde as tensões σD e τD representam valores limite de fadiga obtidos em ensaios

experimentais.

Tabela 6.1 – Relação entre os parâmetros do critério e tensões limite de fadiga [26].

Sendo σr o valor da tensão de ruptura à tracção, em Mpa, Z a estricção em %, e A o

alongamento, também em %, pode ser feita a estimativa de algumas das tensões limite de

fadiga. O valor da tensão limite de fadiga em flexão rotativa, , . .D Flex rotσ pode ser determinado,

para o caso dos aços com predominância ferrítica, pela relação proposta por Lieurade [26, 79,

199]:

AZ rrrotFlexD 241.039.0.., +=+= σσσ (6.24)

ou através da relação proposta pelo CETIM [66]:

( )( )

4

, . . 4

0.56 1.4 10 para 800MPa ou 1300MPa

0.57 1.2 10 para 800MPa< <1300MPa

r r r r

D Flex rot

r r r

σ σ σ σσ

σ σ σ

−

−

⎧ − × < >⎪= ⎨− ×⎪⎩

(6.25)

A tensão limite de fadiga em flexão plana alternada, , . ,D Flex plan altσ , ou tracção alternada,

, ,D Tracção altσ , pode ser obtida a partir do valor determinado para flexão rotativa, usando as

seguintes relações propostas pelo CETIM [66]:

amax,τ maxhydp α β

Torsão alternada altD,τ 0

Flexão rotativa

Flexão plana alternada

Tracção alternada

altD,21 σ

altD,31 σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

213

,

,

altD

altD

στ

altD,τ


rotFlexDaltplanFlexD ,,,., 05.1 σσ = (6.26)

rotFlexDaltTracçãoD ,,,, 9.0 σσ = (6.27)

O valor da tensão limite de fadiga em torção alternada, , ,D Torção altτ , é estimado a partir da

seguinte relação [66]:

rotFlexDaltTorçãoD ,,,, 6.0 στ = (6.28)

É comum que, em trabalhos de índole experimental, o critério de Dang-Van seja representado

graficamente pela grandeza f(σ) ao longo de uma determinada direcção (em diagramas

f(σ)/profundidade, por exemplo, na forma da expressão (6.29).

( ) . hydf pσ τ α β= + − (6.29)

A função em (6.29) corresponde, na Figura 6.3, à distância entre o trajecto do carregamento e

a linha de segurança no ponto crítico assinalado (o ponto mais próximo da linha de segurança)

[18].

Em termos de danos por fadiga o ponto crítico aproxima-se daquele em que o valor de f(σ)

atinge o seu máximo. Para que não haja ocorrência de danos por fadiga, o valor desta função

deve permanecer menor ou igual a zero durante todo o ciclo de carregamento.

O endurecimento da superfície modifica os parâmetros α e β, neste caso deslocando para

cima a recta que define o limite de segurança, conforme mostra a Figura 6.6.

A aplicação de tensões residuais compressivas diminui o valor da pressão hidrostática (o

inverso ocorre se estas tensões forem de tracção), deslocando a curva representativa do

carregamento cíclico num diagrama de Dang-Van ao longo do eixo XX

Se as duas únicas componentes não nulas do tensor das tensões residuais forem as tensões

normais no plano da superfície, σ11=σ22=σR, então o valor da tensão hidrostática é afectado de

uma quantidade de 2σR / 3.


Figura 6.6 - Efeito combinado da presença de tensões residuais e de endurecimento superficial de um

componente na representação de um ciclo de carregamento num diagrama de Dang-Van.

6.4- Aplicação do critério de Dang-Van

Royer e Bonte [41] aplicaram um critério de fadiga multiaxial, neste caso o critério de Dang-

Van, ao contacto entre dois dentes de engrenagens considerando o perfil de pressões dado

pela teoria de Hertz. Estes autores puseram em evidência a pertinência deste critério para

estimar as condições de iniciação de fadiga de superfície (ou pitting), isto é a determinação

dos pontos de potencial nucleação de fissuras de fadiga de contacto.

São portanto, os limites da teoria de Hertz, que considera uma superfície lisa ou sinusoidal e

que não tem em consideração os efeitos da presença do lubrificante, que não permitem

simular correctamente o contacto entre dois dentes de uma engrenagem.

τa

phyd

Efeito do tratamento

térmico de

endurecimento

superficial

Efeito da

aplicação de

pré-tensões


Afim de melhor estimar as tensões que se exercem sobre a zona de contacto entre dois dentes

de uma engrenagem, foi desenvolvido e aperfeiçoado [22, 141-144] um modelo que permite

calcular o campo de pressões em regime de lubrificação mista. Este modelo, como foi visto

anteriormente, permite integrar as rugosidades reais das superfícies, e calcula a geometria do

filme lubrificante a partir da deformação da superfície real, aquando da sua passagem no

contacto. Um outro modelo desenvolvido permite, a partir destes resultados e do modelo

desenvolvido por Sottomayor [299] (que determina as tensões tangenciais em regime de filme

completo devidas ao cisalhamento do lubrificante no contacto, integrando os efeitos térmicos

e as variações das propriedades do lubrificante, aquando da sua passagem no contacto),

determinar o campo de tensões de corte em regime misto de lubrificação.

As pressões de contacto, normais e tangenciais, em regime misto, são usadas para determinar

o estado de tensão em cada ponto do maciço, usando um modelo desenvolvido por Castro

[61].

Deslocando a solicitação aplicada ao longo da linha de engrenamento e dos correspondentes

perfis de rugosidade, podem ser determinados os campos de tensões em cada ponto do

maciço, e aplicar-se o critério de Dang-Van.

Embora os resultados da aplicação do critério de Dang-Van já serem bastante satisfatórios,

verifica-se a necessidade de melhorar a modelização das pressões superficiais, integrando

nomeadamente a ruptura do filme lubrificante, aperfeiçoando a caracterização das

propriedades mecânicas das camadas superficiais dos dentes das engrenagens, e finalmente,

tendo em consideração as tensões residuais e principalmente a sua evolução ao longo da vida

do contacto.

É pois, importante integrar no critério de Dang-Van as tensões residuais devidas aos

diferentes tratamentos da superfície (tratamentos térmicos, acabamentos da superfície, etc.).

As tensões residuais adicionam-se às tensões devidas às solicitações superficiais.

No entanto, estas tensões são apenas medidas para determinadas profundidades e a hipótese

de uma variação linear das tensões entre os pontos de medida foi retida para determinar as

tensões residuais a outras profundidades, como mostra o perfil das tensões residuais da Figura

6.7, onde os valores medidos são representados pelos triângulos.


-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

Tens

ão re

sidu

al tr

ansv

ersa

l(MPa

)

Figura 6.7 –Perfil das tensões residuais transversais para uma dada superfície.

O critério de Dang-Van estipula que a iniciação das fendas de fadiga de contacto acontece no

ponto onde a relação seguinte é verificada:

( )max 0hydpτ β α− − ⋅ ≥

Os parâmetros α e β, próprios de cada material, caracterizam a lei das avarias do critério de

Dang-Van e são determinados com a ajuda de ensaios de tracção e de flexão alternados.

O critério pode ser representado graficamente usando um referencial cuja abcissa é a pressão

hidrostática,

1 2 3

3hydp σ σ σ+ +=

e a ordenada a tensão de corte máxima de Tresca. A lei da avaria do critério é representada

por uma recta, cujo declive é α e a ordenada na origem é β. A Figura 6.8 representa um

exemplo de um gráfico de Dang-Van.


0,00E+00

2,50E+08

5,00E+08

7,50E+08

1,00E+09

1,25E+09

1,50E+09

-1,50E+09 -1,00E+09 -5,00E+08 0,00E+00 5,00E+08 1,00E+09Pressão hidrostática (Pa)

τmax (P

a)

.

Figura 6.8 –Gráfico de Dang-Van para dois ciclos diferentes.

A recta de avarias do critério de Dang-Van está representada a preto na Figura 6.8. O ciclo de

carregamento representado a azul não atinge esta recta pelo que não existe nucleação de uma

fissura de fadiga. Pelo contrário o ciclo de carregamento representado a vermelho apresenta

um ponto onde ocorreu a nucleação de uma fenda de fadiga.

É importante notar que, as características da recta de Dang-Van são geralmente consideradas

como exactas em tracção (isto é para pressões hidrostáticas positivas), uma vez que os ensaios

de fadiga que permitem calcular os parâmetros α e β são ensaios de tracção, sendo mais

delicado fazer tal afirmação para a compressão, nomeadamente para fortes compressões.

Com efeito, extrapolando a recta de Dang-Van na zona de compressão, podemos admitir que

quanto mais importante for a compressão, mais difícil é a inicialização de uma fenda de

fadiga, uma vez que é difícil de imaginar que um material possa estar indefinidamente

comprimido. Parece, portanto, correcto imaginar que os parâmetros de Dang-Van se alteram

em compressão. É por isso, que com base na variedade de informações a este respeito, a recta

de Dang-Van pode, eventualmente, não ser exacta nas zonas de forte compressão.

Dado que os ciclos de tensão para os carregamentos estudados encontram-se na maior parte

do tempo no semi-espaço das compressões, o coeficiente de segurança FS, geralmente

calculado a partir da origem do referencial não pode ser aplicado. Deste modo definiu-se um

risco de iniciação de fissuras de fadiga RF, calculado como a razão mais elevada no ciclo

hydpτ β α= − ⋅


entre a tensão de corte em um ponto do ciclo de carregamento e a tensão de corte da recta de

Dang-Van, à mesma pressão hidrostática. A Figura 6.9 ilustra essas diferenças.

4.1.1.1-

Figura 6.9– Definição do risco de iniciação de fissuras de fadiga.

Deste modo, de forma a poder comparar a probabilidade de iniciação de fendas de fadiga em

diferentes pontos, foi definido um “risco de iniciação”. Para cada ponto da discretização, a

relação

max

hydpτ

β α− ⋅

mais desfavorável ao longo do ciclo representa esse risco de iniciação. Se esta relação for

igual ou superior a 1 ocorre a iniciação de uma fenda, segundo o critério de Dang-Van. Pode-

se, assim, construir uma carta de riscos de iniciação, representando este risco para cada ponto

da discretização.

O critério de Dang-Van estipula igualmente que assim que ocorre a iniciação de uma fenda,

esta tem lugar na faceta mais desfavoravelmente orientada em relação às tensões. Deste

modo, é possível determinar a orientação da fenda, determinando esta faceta. Para tal, calcula-

se para cada faceta do espaço as tensões tangenciais τ e normais ρ, induzidas pelo campo de

pressões calculados no referencial (O,X,Y,Z) e aquele que apresentar o valor ρατ ×+

mais elevado é a orientação mais desfavorável.

0.E+00

1.E+08

2.E+08

3.E+08

4.E+08

5.E+08

6.E+08

7.E+08

8.E+08

9.E+08

1.E+09

-2.E+09 -1.E+09 -5.E+08 0.E+00 5.E+08 1.E+09Pression Hydrostatique

Con

train

te d

e ci

saille

men

t

M O

T

FS= OM/OT

0.E+00

1.E+09

2.E+09

3.E+09

4.E+09

5.E+09

6.E+09

7.E+09

8.E+09

9.E+09

-8.E+09 -6.E+09 -4.E+09 -2.E+09 0.E+00Pression Hydrostatique

Con

train

te d

e ci

saille

men

t

R

M O’

RF= O’M/O’R

Tens

ão d

e co

rte

Tens

ão d

e co

rte

Pressão hidrostática Pressão hidrostática


6.4.2- Determinação do ciclo de tensões superficiais

O modelo de cálculo do campo de pressões tem em conta o perfil da superfície e considera-se

que o contacto se desloca sobre o perfil de rugosidade, ao longo da linha de engrenamento

[24].

Para obter um ciclo de solicitações superficiais, é aplicado o seguinte procedimento: o

contacto desloca-se ao longo do perfil e em cada posição o campo de pressões, a geometria do

filme lubrificante e as tensões tangenciais são calculadas graças aos modelos referidos

anteriormente.

Os diferentes modelos de cálculo são lineares, e daí o tensor das tensões no referencial

O,X,Y,Z (representado na Figura 6.10) ter a forma seguinte:

0

0 0

0

xx xz

yy

zx zz

σ τ

σ

τ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O referencial é orientado da seguinte forma: o eixo OX é o eixo das abcissas sobre o perfil das

rugosidades, e o eixo dos OZ é o eixo das profundidades no maciço.

Figura 6.10– Orientação do referencial.

X perfil das rugosidades

Y


Em todos os cálculos efectuados, a escala de referência em abcissa é a posição do ponto

estudado sobre o perfil em milímetros. A origem deste referencial é o primeiro ponto do

perfil. É este ponto que entra primeiro em contacto, e é também origem do referencial

temporal. O deslocamento do contacto sobre o perfil de rugosidade efectua-se no sentido

crescente das abcissas. É importante notar que este sentido do deslocamento implica uma

velocidade de rolamento do contacto negativa sobre a escala de referência (ver Figura 6.11).

Deslocamento da carga

Abscissa sobre o perfil

Escala temporal

x0

t0

ω2

ω1

Velocidade da carga

Velocidade de rolamento

Figura 6.11 – Referencial de referência e sentido das velocidades.

Por outro lado, parece indispensável ter em conta as tensões residuais devidas aos tratamentos

de superfície como a carbo-nitruração ou a rectificação. Com efeito, o seu papel é muito

importante na formação das escamas de fadiga. As tensões residuais de compressão permitem,

nomeadamente, abrandar a propagação de fissuras.

Dentro dos limites de um estudo elasto-plástico de iniciação de fendas de fadiga, estas tensões

conjugam-se com as tensões resultantes do encruamento para deformar o material. Na óptica

de uma aproximação determinista da iniciação, a evolução destas tensões residuais ao longo

da vida do contacto (relaxação) deverá, sempre que possível, ser tida em consideração.

No que diz respeito ao critério de Dang-Van as tensões residuais somam-se às tensões

macroscópicas. As tensões residuais são geralmente medidas segundo duas direcções, uma

longitudinal e outra transversal, e são representadas por um tensor de tensões com a forma

seguinte:


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

00

00

transv

long

σ

σ

O seu efeito sobre os resultados do critério de Dang-Van é simples: somam-se à pressão

hidrostática devida ao carregamento, provocando a deslocação do ciclo de carregamento no

sentido da compressão para as tensões residuais de compressão e no sentido da tracção para as

tensões residuais de tracção [26, 201]. As tensões de compressão permitem assim diminuir a

probabilidade de iniciação de fissuras (ver Figura 6.12).

O ciclo a vermelho é equivalente ao ciclo a azul, correspondendo este último à consideração

das tensões residuais de compressão de 750 MPa nas duas direcções longitudinal e

transversal. Deste modo o ciclo de carregamento translada no sentido das compressões de 500

MPa, e a probabilidade de iniciação de fissuras diminuiu (ver Figura 6.8).

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

-2,00E+09 -1,50E+09 -1,00E+09 -5,00E+08 0,00E+00 5,00E+08 1,00E+09Pressão hidrostática (Pa)

τmax (P

a)

Figura 6.12 –Efeito das tensões residuais de compressão sobre o ciclo Dang-Van.

O critério proposto por Dang-Van não depende do material estudado. É independente da

geometria e do tipo de solicitação. Entenda-se por material, qualquer matéria, tipo de fabrico,

tratamento térmico, etc. A determinação dos parâmetros α e β da recta de avarias do critério

de Dang-Van são obtidos experimentalmente. Segundo Bonte e Royer [10] os valores de α e

β para o aço 27MC5 são respectivamente α=0.987 e β=827 MPa. No entanto o autor refere a

pouca fiabilidade destes resultados. Segundo Luís Coelho [79] os valores de α e β para o aço

32CDV13 nitrurado são respectivamente α=0.419 e β=544 MPa.

Translação de -500 MPa do ciclo de Dang-Van


6.4.3- Aplicação do critério de Dang-Van a uma superfície real

Como se irá ver no capítulo 7, foram estudados três tipos diferentes de acabamentos

superficiais dos flancos activos dos dentes da engrenagem: a superfície de série (denominada

S1), a superfície rectificada (S2) e a superfície super-rectificada (denominada por S3).

A tabela 6.2 apresenta os parâmetros de rugosidade para as três superfícies estudadas.

Tabela 6.2 – Parâmetros de rugosidade para as três superfícies.

Parâmetros Superfície de série (S1)

Superfície rectificada(S2)

Superfície super-rectificada (S3)

Rq 0.57016 0.55631 0.25443 Rz 3.2939 2.5047 1.6128 ∆a 38.272 29.730 52.289 ∆q 50.651 43.685 69.095

Um contacto de referência foi definido (p0=1.5GPa, VR=6 ms-1, Ve=-0.3 e a=455 µm), e os

diferentes parâmetros de rugosidade estudados. Da referência [138] foram retiradas as

medidas das tensões residuais a diferentes profundidades para os três tipos de superfície, antes

e após os ensaios de fadiga realizados no banco de engrenagens. Estes valores, foram

introduzidos no critério de Dang-Van, juntamente com os resultados obtidos para o cálculo do

campo das pressões normais e tangenciais e das tensões tangenciais no maciço. A Figura 6.13

apresenta os perfis das tensões residuais introduzidas no critério de Dang-Van.

Figura 6.13 – Perfil das tensões residuais, longitudinal e transversal.

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ lon

g(MPa

)

S1 S2 S3

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ tra

ns(M

Pa)

S1 S2 S3


As 3 superfícies apresentam características de rugosidade diferentes, destacados

nomeadamente pelos parâmetros geométricos de rugosidade ∆a e ∆q (tabela 6.2), mas

também pelas transformadas de Fourier (FFT) dos perfis. A figura apresenta nomeadamente

os FFT para as três superfícies. Para mais legibilidade, a Figura 6.14 comporta duas

representações gráficas: uma para os pequenos comprimentos de onda, e outro para os

grandes. Observa-se que a superfície S2 apresenta para os grandes comprimentos de onda

fortes amplitudes, o que traduz motivos de rugosidade longos e elevados, enquanto que a

superfície S3 distingue-se por amplitudes mais importantes para fracos comprimentos de

onda, traduzindo assim motivos de rugosidade curtos. A superfície S1 combina estes dois

fenómenos.

Figura 6.14– Espectros das 3 superfícies para duas ordens de grandeza de comprimentos de onda.

A Figura 6.15 apresenta os mapas de iniciação de fissuras de micropitting para as três

superfícies, nas condições de referência, com as tensões residuais apresentadas na Figura 6.13

e µLIM=0.15, numa escala de 0.2 a 1. Cada mapa representa 1.01 mm do perfil. Em abcissa e

ordenada encontram-se a posição de cada ponto na discretização. A superfície do material

corresponde aos pontos de ordenada 1, os pontos de ordenada 15 encontram-se a uma

profundidade de 14 µm.

00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.1 0.4 0.7 1

S1

S2

S3

0

0.003

0.006

0.009

0.012

0.015

0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

Am

plitu

de (µm

)

Comprimentos de onda (mm)


Figura 6.15– Riscos de iniciação de fissuras para as 3 superfícies estudadas para µLIM=0.15 , considerando

as tensões residuais e α=0.827 e β=827 MPa.

As diferenças entre as superfícies são muito nítidas, nomeadamente no que diz respeito ao

risco de iniciação de fissuras e à profundidade das zonas de risco. Assim, a superfície S1 e a

superfície S2 apresentam zonas de iniciação de fissuras que se estendem sobre os 14 µm da

zona estudada. Em contrapartida, para a superfície S3 estas zonas de iniciação de fissuras são

praticamente inexistentes. Dois factores permitem explicar estas diferenças: por um lado as

Superfície S1

Superfície S2

Superfície S3

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


diferenças geométricas entre as superfícies, por outro as diferenças de perfis das tensões

residuais. Estas diferenças de profundidade de zonas com riscos podem ser muito importantes

para a propagação das microfissuras. Com efeito, para o critério de Murakami [183-185, 235-

239], quanto mais uma fissura é longa, mais fácil é propagar-se. Consequentemente, se as

fissuras que se formam para a superfície S1 ou para a superfície S2 são mais longas que para a

superfície S3, a diferença de duração de vida pode sem dúvida explicar-se também pela

diferença de velocidade de propagação das fissuras.



profundidade, quer superficialmente. A previsão da vida à fadiga de um contacto EHD é

muito complexa, quer pela quantidade de variáveis influentes no processo de fadiga, quer pela

sua variação ao longo do tempo e da zona de contacto.

Os modelos uniaxiais de fadiga [122, 175, 207, 216, 233, 258, 292, 309] não são adaptados ao

estudo realizado, visto que em fadiga de contacto o estado de tensão é fortemente multiaxial.

Por outro lado, as tensões residuais são sempre multiaxiais, pelo que, para levar em conta a

sua influência, será também necessário utilizar um critério de fadiga multiaxial.

De entre o conjunto de critérios multiaxiais de fadiga existentes, alguns dos mais utilizados

são os de Sines, Crossland, Dang-Van:

Os critérios de Sines e de Crossland [87, 294, 295], estenderam o critério de Von Mises à

fadiga em solicitações multiaxiais alternadas à volta de um valor médio, fazendo intervir a

pressão hidrostática média no caso do critério de Sines, ou a pressão hidrostática máxima no

caso do critério de Crossland. A diferença entre a pressão hidrostática média e a pressão

hidrostática máxima, é que na primeira entram apenas as componentes médias das tensões

principais (e eventualmente as tensões residuais) e na segunda entram todas as componentes

das tensões principais (e eventualmente as tensões residuais). Estes critérios utilizam o

conceito de faceta octaédrica e no caso de solicitações não proporcionais, têm o mesmo


defeito do critério de Von Mises, pois o corte octaédrico deixa de ser intrínseco e depende dos

eixos de coordenadas escolhidos.

O critério de Dang-Van [93, 96], baseado numa abordagem microscópica desenvolvida por

Dang-Van, permite tomar em consideração a forma de um trajecto de carregamento

complexo, em vez de considerar apenas a sua amplitude. Neste critério intervém as grandezas

intrínsecas, τ(t) e phyd(t), independentes do referencial escolhido e que permitem um controlo

local e instantâneo da situação, fazendo intervir a forma precisa do trajecto de carregamento.

De notar que, de entre os critérios de fadiga multiaxial, o mais utilizado é o critério de Dang-

Van. Dang-Van baseou-se no facto de a nucleação de uma fissura de fadiga ser um fenómeno

microscópico, que se dá à escala de um ou de alguns grãos. O critério de Dang-Van propõe

um controlo local e instantâneo da situação relativamente à fadiga, fazendo intervir a forma

precisa do trajecto de carregamento, e permite prever os locais onde preferencialmente pode

ocorrer a nucleação de fendas de fadiga de contacto, para o caso de uma solicitação de fadiga

multiaxial.

Este critério tem por base a hipótese de que a formação de uma fenda é um fenómeno

microscópico, à escala de um ou vários grãos, sendo de facto inadequado considerar que o

material é homogéneo e isotrópico. Dang-Van propõe, portanto, a determinação do ciclo de

carregamento microscópico [σ], com o auxílio de uma aproximação elastoplástica e a partir

do ciclo de tensões macroscópicas [Σ]. Um cálculo iterativo permite determinar para cada

ponto da discretização o estado adaptado do material, isto é o estado que faz com que o ciclo

de tensões do material não saia do domínio elástico. Este critério foi testado em vários casos

industriais (Renault, etc.) e ensaios laboratoriais [79, 99], tendo os resultados obtidos sido

satisfatórios.

Afim de melhor estimar as tensões que se exercem sobre a zona de contacto entre dois dentes

de uma engrenagem, foi desenvolvido e aperfeiçoado [22, 141-144] um modelo que permite

calcular o campo de pressões em regime de lubrificação mista. Este modelo, como foi visto

anteriormente, permite integrar as rugosidades reais das superfícies, e calcula a geometria do

filme lubrificante a partir da deformação da superfície real, aquando da sua passagem no

contacto. Um outro modelo desenvolvido permite, a partir destes resultados e do modelo

desenvolvido por Sottomayor [299] (que determina as tensões tangenciais em regime de filme


completo devidas ao cisalhamento do lubrificante no contacto, integrando os efeitos térmicos

e as variações das propriedades do lubrificante, aquando da sua passagem no contacto),

determinar o campo de tensões de corte em regime misto de lubrificação.

As pressões de contacto, normais e tangenciais, são usadas para determinar o estado de tensão

em cada ponto do maciço, usando um modelo desenvolvido por Castro [61].

Deslocando o contacto ao longo da linha de engrenamento e dos correspondentes perfis de

rugosidade composto, pode ser determinado o ciclo de tensões em cada ponto da superfície e

da sub-superfície do sólido.

Conhecido esse ciclo de tensões é possível aplicar um critério de fadiga acumulada, neste

caso o critério de Dang-Van, permitindo avaliar o “risco de iniciação” de fendas de fadiga,

definido por:

[ ]máx

hydR =

τβ - α pσ α β ⋅, ,

Para cada ponto considerado, a relação máx

hyd

τβ - α p⋅

mais desfavorável ao longo do ciclo de

tensões aplicado, representa esse risco de iniciação. Se esta relação for igual ou superior a 1

ocorre a iniciação de uma fenda, segundo o critério de Dang-Van. Pode, assim, construir-se

uma carta de riscos de iniciação, representando este risco para cada ponto da superfície e sub

superfície. O modelo de Dang-Van permite, assim, identificar os pontos da superfície e sub-

superfície cujo risco de iniciação de uma fissura de fadiga é maior.

CAPÍTULO 7

RESULTADOS DA MODELAÇÃO

7.1- Introdução

São inúmeros os parâmetros que influenciam o comportamento à fadiga de contacto: material,

geometria e micro-geometria, lubrificante, condições de funcionamento, etc., e embora se

trate de um tipo de degradação superficial muito corrente, os métodos de previsão actuais

ainda não conseguem traduzir a influência de todos estes parâmetros. Antes de se

apresentarem os resultados de todas as simulações realizadas e atendendo à complexidade dos

vários modelos numéricos utilizados, é pertinente apresentar um resumo dos parâmetros

fundamentais na modelação do micropitting em engrenagens e do modo como são obtidos.


7.2- Parâmetros fundamentais na modelação do micropitting

em engrenagens

7.2.1- Micro-geometria

A micro-geometria das superfícies tem grande influência ao nível do micro-contacto, sendo

determinante em termos dos valores das tensões instaladas localmente nas superfícies e sub-

superfícies. Os picos de rugosidade mais salientes podem induzir valores das pressões no

contacto muito superiores à pressão máxima de Hertz e valores das tensões de corte muito

superiores aos correspondentes a um contacto liso em regime de filme completo.

É conhecida a enorme influência dos picos de rugosidade sobre as avarias de superfície em

engrenagens, nomeadamente, o desgaste excessivo e a fadiga de contacto, assim como a sua

influência sobre o coeficiente de atrito no contacto.

O modelo desenvolvido para o cálculo das pressões de contacto, normais e tangenciais, e da

geometria do filme lubrificante integra as rugosidades dos flancos activos dos dentes do

pinhão e da roda, sendo definida uma rugosidade composta do contacto entre os dentes da

engrenagem a partir da transformada de Fourier do perfil de rugosidade de cada superfície.

São analisados três tipos diferentes de acabamentos superficiais dos flancos activos dos dentes

da engrenagem: a superfície de série (denominada S1), a superfície rectificada (S2) e a

superfície super-rectificada (denominada por S3). São também analisadas as superfícies S1 e

S3 após terem funcionado durante vários milhões de ciclos.

Capítulo 7- Resultados da Modelação [227/366]

7.2.2- Lubrificação em regime misto

No regime misto de lubrificação, considera-se que a força normal e a força tangencial

aplicadas ao contacto são suportadas, em simultâneo, pelo filme lubrificante e pelo contacto

directo entre os picos de rugosidade.

O contacto directo entre os picos de rugosidade ocorre em determinados pontos no interior do

contacto onde não há condições para gerar um filme hidrodinâmico. Tal ocorrência aumenta à

medida que a espessura específica do filme lubrificante (Λ = h0C / RqC) diminui, isto é, à

medida que a espessura do filme lubrificante (h0C) diminui (velocidade menor, viscosidade do

lubrificante menor, temperatura maior, força de contacto maior, ...) e/ou a rugosidade

composta das superfícies aumenta ( 2 2qC q1 q2R = R + R ).

7.2.2.1- Espessura média corrigida do filme lubrificante

A espessura média do filme lubrificante é determinada através da fórmula de Cheng [2-4]

para os contactos lineares (isotérmicos, lisos e com lubrificação abundante), isto é,

R0.110

-0.1100.370 0.740 0.740 0.740 n

0F= 1.191 α E'h ηη ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠⋅ 0eq VR , (7.1)

corrigida de um factor térmico (φT) que tem em linha de conta o aquecimento do filme

lubrificante no convergente do contacto devido à deformação viscosa a que é submetido e ao

qual foi acrescentado um factor, desenvolvido por Sottomayor e Seabra [302], que tem em

consideração o efeito do escorregamento.


( )0.420

'

T 0.84 0.64e

p1-7.374 LE=

1+0.089 1+3.964 V Lφ

⋅

⋅ (7.2)

Logo, a espessura média corrigida do filme lubrificante é dada por,

T0C 0=h hφ ⋅ . (7.3)

7.2.2.2- Pressão normal de contacto em regime misto

O modelo elaborado determina a distribuição de pressões normais de contacto (pMIX),

considerando a micro-geometria (rugosidade real) das superfícies em regime misto de

lubrificação. Esta distribuição de pressão normal é obtida recorrendo à conjugação dos

campos de pressões normais calculados em dois casos extremos: em regime de filme

completo (regime elastohidrodinâmico rugoso, pEHDR), usando o modelo de Ai e Cheng [2-4],

e em regime limite (pLIM) usando um modelo de contacto seco rugoso [53]. A função de

repartição de carga fΛ estabelece a distribuição de pressão normal a partir dos dois casos

extremos referidos, isto é,

( )MIX EHDR LIM1 - fp = f p + pΛ Λ⋅ ⋅ (7.4)

Este modelo permite assim obter o campo de pressões normais de contacto mesmo quando o

valor de Λ é reduzido, como frequentemente acontece entre os dentes das engrenagens. Para

além disso, integra, de modo simples, a rugosidade composta das superfícies em contacto

através da transformada de Fourier do perfil de rugosidade. A função de repartição de carga fΛ

depende essencialmente da espessura específica do filme lubrificante Λ.


7.2.2.3- Pressão tangencial de contacto em regime misto

A partir das condições de funcionamento, das propriedades dos materiais, dos campos de

pressões normais e da geometria do filme lubrificante, é possível determinar a distribuição de

pressões tangenciais (tensões de corte superficiais) em ambos os regimes de lubrificação

(filme completo rugoso τEHDR e filme limite τLIM).

As tensões de corte em filme completo (τEHDR) dependem do modelo reológico do

lubrificante, tendo sido considerado um modelo do tipo visco-elasto-plástico [289], isto é,

EHDREHDR

Elástica Viscosaτ τγ= γ + γ = + ×ln

G η ττ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ii i i

, (7.5)

que depende da propriedades reológicas do lubrificante (módulo de corte transversal G, tensão

de corte limite τℓ e viscosidade dinâmica η) as quais são função da pressão e temperatura em

cada ponto do filme lubrificante no interior do contacto.

As tensões de corte em filme completo τEHDR são determinadas tendo em conta o

comportamento energético do filme lubrificante, nomeadamente a dissipação viscosa no

interior do contacto e a evacuação de calor por convecção e por condução através das

superfícies metálicas.

As tensões de corte em filme completo (τEHDR) dependem também da espessura do filme

lubrificante. Para tal efeito foi usado um valor da espessura do filme lubrificante que garanta a

condição de filme completo, isto é, ΛFilme Completo = 2. Assim, as tensões de corte em filme

completo (τEHDR) foram determinadas usando um valor de espessura de filme lubrificante

dado por


T0C 0h hφ= ⋅ , (7.6)

de tal modo que

EHDR

qCΛ = R

0 2Ch , (7.7)

As tensões de corte em regime limite (τLIM) são determinadas directamente a partir das

correspondentes pressões normais, usando a lei de Coulomb e definindo um coeficiente de

atrito limite [299], isto é, τLIM = µLIM x pLIM.

A distribuição de tensões de corte no contacto (pressões tangenciais), em regime de filme

misto, é determinada a partir das tensões de corte nos regimes de filme completo e limite

(τEHDR e τLIM, respectivamente) e da repartição de carga fΛ, isto é,

( )1.2MIX EHDR LIM1 - f= f +τ τ τΛ Λ⋅ ⋅ . (7.8)

7.2.3- Tensões instaladas

As pressões contacto, normais e tangenciais, são utilizadas na determinação do campo de

tensões elásticas ⎡ ⎤⎣ ⎦elPσ em qualquer ponto no interior dos sólidos em contacto [23, 61], tendo

em consideração as tensões residuais devidas aos tratamento térmicos e/ou mecânicos sofridos

pelas engrenagens ⎡ ⎤⎣ ⎦resPσ . Logo, em qualquer ponto do interior dos sólidos,


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦el res

P P Pσ σ + σ= . (7.9)

As tensões elásticas devidas às pressões de contacto, normais e tangenciais, são determinadas

usando um modelo desenvolvido por Castro [60], onde se considera que o maciço se deforma

em estado plano de deformação, hipótese que é inteiramente compatível com o caso do

contacto linear entre sólidos, e permite obter os tensores das tensões ⎡ ⎤⎣ ⎦elPσ em qualquer ponto

do interior dos sólidos em contacto. Podem, ainda, ser determinadas em cada ponto, a Tensão

de Corte Máxima (Critério de Tresca - τmáx), a Tensão de Corte Octaédrica (Critério de von-

Mises - τoct) e qualquer outro tipo de tensão equivalente.

De um modo geral podem definir-se as tensões residuais ⎡ ⎤⎣ ⎦resPσ como as tensões que existem

presentes num determinado componente, quando este se encontra em equilíbrio mecânico e

não está sujeito a nenhum esforço exterior. A introdução voluntária de pré-tensões é um dos

meios mais eficazes para melhorar a resistência à fadiga de componentes e estruturas, tanto no

domínio da construção mecânica como da construção metálica. As tensões residuais são

introduzidas pelos tratamentos superficiais de pré-tensão.

Para cada um dos três tipos de acabamentos superficiais dos flancos dos dentes, anteriormente

referidos (superfície de série - S1, superfície rectificada - S2 e superfície super-rectificada -

S3), foram obtidas medições das tensões residuais a diferentes profundidades, nas direcções

longitudinal e transversal, e antes e após a realização de ensaios de fadiga realizados em

banco de engrenagens [145].


7.2.4- Modelação local do critério de fadiga acumulada de Dang-Van

e iniciação de fendas de fadiga

A modelação do critério de fadiga acumulada de Dang-Van, implica a determinação do ciclo

de tensões a que está submetido cada ponto da superfície e da sub-superfície dos sólidos em

contacto. O ciclo de tensões é obtido deslocando o contacto ao longo da linha de

engrenamento, isto é, ao longo do perfil de rugosidade composto dos flancos activos dos

dentes. Deste modo obtém-se para cada ponto da superfície e da sub-superfície do sólido um

ciclo de tensões.

Conhecido esse ciclo de tensões é possível aplicar um critério de fadiga acumulada, neste caso

o critério de Dang-Van, permitindo avaliar o “risco de iniciação” de fissuras de fadiga,

definido por:

[ ]máx

hydR =

τβ - α pσ α β ⋅, ,

(7.10)


hyd

τβ - α p⋅

mais desfavorável ao longo do ciclo de

tensões aplicado, representa esse risco de iniciação. Se esta relação for igual ou superior a 1

ocorre a iniciação de uma fissura, segundo o critério de Dang-Van. Pode, assim, construir-se

uma carta de riscos de iniciação, representando este risco para cada ponto da superfície e sub-

superfície.

Para melhor análise dos resultados deste critério de fadiga acumulada, foi elaborada uma

função no programa MatLab®, que permite visualizar a orientação das fissuras de fadiga nos

casos em que ocorrer iniciação.


O risco de iniciação de fissuras de fadiga é relacionado com a rugosidade de várias

engrenagens rectificadas por 3 processos diferentes, antes do funcionamento e após

funcionamento durante alguns milhares de ciclos.

7.3- Propriedades dos materiais e condições de funcionamento

7.3.1- Propriedades dos materiais

As engrenagens consideradas são engrenagens do pinhão de 4ª velocidade pertencentes a uma

caixa de velocidades manual. São engrenagens cilíndricas de dentado helicoidal fabricadas no

aço 27MC5 e sofreram um tratamento de carbo-nitruração. Após tratamento a dureza

superficial é de 58-60 HRC.

Os valores dos parâmetros da recta de Dang-Van [41] são α = 0.987 e β = 827 MPa. Contudo,

é importante salientar que estes resultados foram obtidos a partir de um reduzido número de

ensaios realizados com provetes que não reflectem adequadamente o comportamento das

camadas superficiais carbo-nitruradas e maquinadas dos flancos dos dentes de engrenagens.

As propriedades dos materiais são apresentadas na Tabela 7.1.

O lubrificante considerado é o óleo ELF XT 3556, tipicamente usado em caixas de

velocidades manuais para automóveis. As suas propriedades físicas são apresentadas na

Tabela 7.2. As propriedades reológicas deste lubrificante, necessárias ao cálculo das tensões

de corte no filme lubrificante em regime de filme complecto foram determinadas a partir das

curvas de tracção do lubrificante obtidas em ensaios em máquina de discos.


Tabela 7.1 – Propriedades dos materiais

Parâmetro Designação Unidade Valor Módulo de elasticidade E1 =E2 GPa 210 Coeficiente de Poison υ1 =υ2 / 0.3 Dureza dos flancos dos dentes HRC1=HRC2 Kgf/mm2 58 – 62

α α1 =α2 / 0.987

β β1 =β2 MPa 827

Tabela 7.2 – Propriedades físicas e reológicas do lubrificante.

Propriedades Designação Unidade Valor Viscosidade Diâmica @ 40ºC ηo Pa.s 0.03825 Coeficiente de piezoviscosidade αη Pa-1 0.114E-7 Coeficiente de termoviscosidade βη ºK-1 0.0268 Módulo de Corte Transversal Go Pa 9E6 Expoente para a pressão em G0 αG Pa-1 0.1E-8 Expoente para a temperatura em G0 βG ºK 2000 Tensão de Corte Limite τL Pa 2.4E7

Expoente para a pressão em τL ατ Pa-1 0.93E-9

Expoente para a temperatura em τL β τ ºK 510 Massa volúmica ρ Kgm-3 850 Condutividade Térmica Kf Wm-1K-1 0.164 Calor mássico Cp JKg-1K-1 460

7.3.2- Condições de funcionamento

As condições de funcionamento, apresentadas na Tabela 7.3, são idênticas para todas as

superfícies, e correspondem às encontradas na zona imediatamente abaixo da linha primitiva

do flanco do dente de uma engrenagem, zona onde prioritariamente, ocorre a avaria de

micropitting geradora de micro-escamas ou pits.


Tabela 7.3 – Condições de funcionamento

Parâmetro Designação Unidade Valor Binário aplicado M N.m 170

Velocidade de rotação ω r.p.m 3000 Raio de Curvatura das Superfícies R1 = R2 mm 35 Velocidade de Rolamento VR m/s 6 Taxa de Escorregamento Ve / 0.3

Pressão máxima de Hertz p0 GPa 1,5

Temperatura de Referência T0 ºC 80

7.4- Rugosidade e tensões residuais nos flancos dos dentes de

engrenagens

7.4.1- Rugosidade dos flancos dos dentes de engrenagens

Foram analisadas as rugosidades superficiais dos flancos dos dentes de uma engrenagem,

correspondentes a três processos de fabrico alternativos: a superfície de série (denominada

S1), a superfície rectificada (S2) e a superfície super-rectificada (denominada por S3). Foram

ainda analisadas as superfícies S1 e S3 após rodagem, designadas respectivamente por S1US

e S3US.

Na Figura 7.1 mostram-se os perfis de rugosidade das superfícies analisadas e na Tabela 7.4

apresentam-se os valores de diferentes parâmetros de rugosidade para os cinco perfis de

rugosidade estudados.


-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)

(µm)

S1 S1US

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)

(µm)

S2

-2,50

-1,50

-0,50

0,50

1,50

2,50

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)

(µm)

S3 S3US

Figura 7.1 - Perfis de rugosidade das superfícies novas e usadas.

Tabela 7.4 – Parâmetros de rugosidade e valores de Λ e fΛ para as superfícies analisadas.

Parâmetro (Unidades)

Superfície Série Nova (S1)

Superfície Série

Usada (S1US)

Superfície Rectificada

Nova (S2)

Superfície Super Rectificada

Nova (S3)

Superfície Super Rectificada

Usada (S3US)

RqC (µm) 0.570 0.462 0.556 0.254 0.108 Rz (µm) 3.294 2.602 2.505 1.613 0.688 ∆a (µm) 38.272 30.099 29.730 52.289 8.466 ∆q (µm) 50.651 47.189 43.695 69.095 17.854

Λ 0.549 0.678 0.562 1.230 2.893 fΛ 0.386 0.653 0.417 0.977 1.000

A função de repartição de carga fΛ tem a forma


( )Λ 5.21f =

0.61+ Λ (7.11)

para uma velocidade tangencial no ponto primitivo de 7.5 m/s.

Aplicando esta expressão a cada um dos perfis de rugosidade das superfícies estudadas

obtém-se os valores de fΛ indicados na Tabela 7.4.

7.4.2- Tensões residuais nos flancos dos dentes de engrenagens

Gounet-Lespinasse e Liraut [145] realizaram medições das tensões residuais instaladas nos

dentes das engrenagens. Estas medições foram obtidas nas direcções longitudinal e

transversal, a diferentes profundidades e para os três tipos de superfícies considerados, antes e

após os ensaios de fadiga de contacto realizados no banco de engrenagens.

Na Figura 7.2 representam-se os correspondentes perfis das tensões residuais. As variação das

tensões residuais entre as várias profundidades de medição foi considerada como sendo linear.

São de notar as fortes tensões de compressão medidas no caso da superfície super-rectificada

(S3) que influenciam o risco de iniciação de fissuras de fadiga segundo o critério de Dang-

Van.

Na Tabela 7.5 são apresentados os valores das tensões residuais medidas a cada profundidade,

nas direcções longitudinal e transversal, que são usados na aplicação do critério de fadiga

multiaxial de Dang-Van.


-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ lon

g(MPa

)

S1 S2 S3

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ lon

g(MPa

)

S1US S3US

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ tra

ns(M

Pa)

S1 S2 S3

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

0 10 20 30 40 50 60

Profundidade (µm)

σ tra

ns(M

Pa)

S1US S3US

(a) (b)

Figura 7.2 - Perfil das tensões residuais antes (a) e depois (b) dos ensaios de engrenagens, para os vários

acabamentos de superfície.

Tabela 7.5 – Tensões residuais antes e após os ensaios de fadiga de engrenagens.

Tensão Tensão longitudinal (Mpa) Tensão transversal (Mpa) Profundidade 0 µm 10 µm 30 µm 50 µm 0 µm 10 µm 30 µm 50 µm

S1 -287 -366 -463 -164 -287 -366 -463 -164 S1US -625 -173 -164 -234 -625 -173 -164 -234 S2 -276 -343 -271 -371 -550 -254 -271 -200 S3 -771 -424 -306 -214 -1193 -383 -238 -206 Su

perf

ície

S3US -576 -220 -170 -224 -666 -243 -145 -127


7.5- Procedimento de cálculo

Cada perfil de rugosidade corresponde a um comprimento de apalpação de 6000 µm e um

passo de apalpação de 2 µm, discretizado em 3001 pontos de apalpação. Cada caso de

contacto elementar analisado correspondente a 2.4 vezes a semi-largura do contacto Hertziano

(a = 455 µm), isto é 1092 µm, a que correspondem 545 pontos de discretização.

O contacto foi deslocado sobre o perfil de rugosidade com um passo de 50 µm (25 pontos de

discretização), sendo possível definir 99 contactos elementares (99 posições) ao longo de cada

perfil de rugosidade, isto é, ao longo da linha de engrenamento.

Um ciclo completo de carregamento, corresponde à solução de 99 casos de contacto, isto é,

corresponde a 99 soluções de:

• Pressões de contacto em regime limite (Campos [53]) - pLIM;

• Pressões de contacto em regime de filme completo (Ai e Cheng [2-4]) – pEHDR;

• Pressões de contacto em regime misto – ( )Λ ΛMIX EHDR LIM1 - fp = f × p + × p ;

• Tensões de corte em regime limite - τLIM = µLIM x pLIM;

• Tensões de corte em regime de filme completo (Sottomayor [299]) - τEHDR;

• Tensões de corte em regime misto – ( )τ τ τΛ Λ1.2MIX EHDR LIM1 - f= f × + × ;

• Tensor das tensões em cada ponto (Castro [61]) - ⎡ ⎤⎣ ⎦Pσ .


As 99 soluções são obtidas sequencialmente e de modo automático, o que implicou a

alteração de vários dos modelos utilizados. No caso das tensões instaladas a discretização na

direcção do interior dos sólidos em contacto (direcção OZ) é feita em 36 pontos separados de

1 µm, o que corresponde a uma profundidade máxima de 35 µm [140-146] e à gama de

profundidades onde tipicamente ocorrem as avarias de micropitting.

O critério de Dang-Van é, então, aplicado ao ciclo de carregamento correspondente a cada

superfície, recorrendo aos 99 casos de contacto e correspondentes tensões instaladas, sendo

determinado ponto a ponto o risco de iniciação de fissuras de fadiga.

Para os pontos da superfície ou sub-superfície que apresentam um risco de fadiga superior a 1,

admite-se a iniciação de uma fissura de fadiga, sendo usada uma função desenvolvida em

MatLab® que permite visualizar a orientação das correspondentes fissuras de fadiga.

7.6- Resultados da modelação

7.6.1- Geometria do filme lubrificante

A Figura 7.3 mostra a geometria não deformada do contacto correspondente a cada um dos

perfis de rugosidade considerados, sendo notórias as diferenças de perfis de rugosidade entre

as superfícies de série (S1), rectificada (S2) e super-rectificadas (S3) e entre perfis novos e

perfis usados, tal como se tinha já observado na Figura 7.1.


A Figura 7.4 mostra a geometria deformada do contacto correspondente a cada um dos perfis

de rugosidade considerados. As diferenças observadas no caso dos perfis não deformados,

reflectem-se, obviamente, nos perfis deformados.

As diferenças entre as superfícies superectificadas (S3 e S3US) e as restantes superfícies são

muito importantes como mostra os correspondentes valores de Ra, Λ e fΛ. Em relação à função

de repartição de carga fΛ as superfícies S3 e S3US comportam-se praticamente como

superfícies lisas em regime de filme completo.

7.6.2- Pressões de contacto

A Figura 7.5 apresenta os campos de pressão obtidos para cada superfície nos regimes de

filme limite pLIM e filme completo pEHDR. As diferenças são muito importantes, observando-se

picos de pressão muito elevados e uma redução da área de contacto no caso do regime de

lubrificação limite, e uma distribuição de pressão suave, embora perturbada pela presença da

rugosidade, e uma área de contacto idêntica à definida pela teoria de Hertz no caso do regime

de lubrificação em filme completo.

Os campo de pressões em regime limite e em regime de filme complecto podem ser

entendidos como os “limite superior” e “limite inferior” do campo de pressões real a que

estarão submetidas as superfícies dos dentes da engrenagem em contacto.


Superfície de série (S1) Superfície de série usada (S1US)

0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

1,20E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)

(m) Não deformada Superf. lisa

0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

1,20E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Superfície rectificada (S2)

0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

1,20E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Superfície RqC (µm) S1 0.570 S1US 0.462 S2 0.556 S3 0.254 S3US 0.108

Superfície super-rectificada (S3) Superfície super-rectificada usada (S3US)

0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

1,20E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


0,00E+00

2,00E-06

4,00E-06

6,00E-06

8,00E-06

1,00E-05

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Figura 7.3 - Geometria das superfícies lisa e rugosa, não deformadas.


0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)

(m) Deformada Deformada lisa

0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Superfície rectificada (S2) Espessura específica do filme lubrificante

0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Superfície Λ fΛ S1 0.549 0.386 S1US 0.678 0.653 S2 0.562 0.417 S3 1.230 0.977 S3US 2.893 1.000


0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


0,00E+00

1,00E-06

2,00E-06

3,00E-06

4,00E-06

5,00E-06

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20(mm)


Figura 7.4 - Geometria das superfícies lisa e rugosa, após deformação.


Verifica-se que a superfície super rectificada (S3) apresenta picos de pressão mais elevados

do que as superfícies de série (S1) e rectificada (S2) em temos de pressão limite (pLIM), ao

contrário do que eventualmente seria de esperar (ver Tabela da Figura 7.5). Tal resulta do

facto do acabamento de super rectificação gerar um perfil de rugosidade que contém

componentes sinusoidais de muito pequeno comprimento de onda.

Superfície de série (S1)

Superfície de série usada (S1US)

0,00E+00

2,00E+09

4,00E+09

6,00E+09

8,00E+09

1,00E+10

1,20E+10

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PEHDRPLIMPEHDR

PLIM

0,00E+00

2,00E+09

4,00E+09

6,00E+09

8,00E+09

1,00E+10

1,20E+10

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PehdrPlim (pa)PEHDR

PLIM


Pressões máximas

0,00E+00

2,00E+09

4,00E+09

6,00E+09

8,00E+09

1,00E+10

1,20E+10

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PehdrPlim (pa)PEHDR

PLIM

Superfície LIMmáx

0

pp

EHDRmáx

0

pp

S1 5.06 1.28 S1US 4.40 1.34 S2 6.01 1.46 S3 6.79 1.36 S3US 2.39 1.11


Superfície super-rectificada usada (S3US)

0,00E+00

2,00E+09

4,00E+09

6,00E+09

8,00E+09

1,00E+10

1,20E+10

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PehdrPlim (pa)PEHDR

PLIM

0,00E+00

2,00E+09

4,00E+09

6,00E+09

8,00E+09

1,00E+10

1,20E+10

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PehdrPlim (pa)PEHDR

PLIM

.

Figura 7.5 - Campo de pressões seco e de Ai e Cheng para as superfícies novas e usadas.

Embora de pequena amplitude, essas componentes de muito pequeno comprimento de onda

são responsáveis pelos elevados picos de pressão que perturbam os campos de pressões em


regime limite e em filme completo (pLIM e pEHDR). Não se deve no entanto esquecer que estes

campos de pressão correspondem a casos limite superior e inferior e não ao caso real

(correspondente ao regime misto).



0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PMIXPMIX

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PmistaPMIX


Pressões máximas

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PmistaPMIX

Superfície MIXmáx

0

pp

S1 3.58 S1US 2.32 S2 4.12 S3 1.45 S3US 1.11



0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PmistaPMIX

0,00E+00

1,00E+09

2,00E+09

3,00E+09

4,00E+09

5,00E+09

6,00E+09

7,00E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

PmistaPMIX

.

Figura 7.6- Campo de pressões em regime misto para as superfícies novas e usadas.

Na Figura 7.6 apresentam-se os campos de pressão obtidos para cada superfície em regime

misto (pMIX), sendo claro que a superfície super rectificada (S3) apresenta um campo de


pressões muito menos perturbado do que as outras superfícies novas (S1 e S2). Tal diferença

está relacionada com o valor da espessura específica do filme lubrificante em cada caso

(ΛS1 = 0.55, ΛS2 = 0.56, ΛS3 = 1.23) e com os correspondentes valores da função de repartição

de carga (fΛ,S1 = 0.386, fΛ,S2 = 0.417, fΛ,S3 = 0.977), verificando-se que no caso da superfície

S3 a força normal é quase totalmente suportada pelo filme lubrificante elastohidrodinâmico

enquanto no caso das superfícies S1 e S2 cerca de 60% da força normal é suportada pelo

contacto directo entre os picos de rugosidade.

Também as superfícies usadas (S1US e S3US) mostram reduções muito significativas dos

picos de pressão em regime misto (pMIX), quando comparadas com as respectivas superfícies

novas (S1 e S3). A justificação é idêntica, isto é, durante o funcionamento da engrenagem o

progressivo desgaste da superfície conduz a um diminuição da rugosidade dos flancos dos

dentes (RqC), a um aumento da espessura específica do filme lubrificante (Λ) e da função de

repartição de carga (fΛ), como se pode constatar analisando a tabela da Figura 7.4. Logo, a

carga suportada pelo filme lubrificante aumenta em detrimento da carga suportada pelo

contacto directo entre os picos de rugosidade, o que se traduz numa diminuição da intensidade

dos picos de pressão.

7.6.3- Tensões de corte

A Figura 7.7 mostra as tensões de corte que actuam no contacto em regime de filme limite

(τLIM), as quais são directamente proporcionais às correspondentes pressões em regime limite

(pLIM) de acordo com a lei de Coulomb, isto é, τLIM = µLIM x pLIM. No caso apresentado

µLIM=0.10.

Segundo vários autores [20, 137, 155, 165, 205, 273, 332, 352], o coeficiente de atrito limite

(µLIM) apresenta valores que se situam entre 0.05 e 0.20, dependendo de vários factores,

nomeadamente, a rugosidade das superfícies, as velocidades de rolamento e escorregamento e


as características do lubrificante. Não sendo possível definir com exactidão o valor de µLIM

correspondente a cada superfície considerada e para o lubrificante usado, optou-se por realizar

os cálculos para quatro valores diferentes de µLIM , respectivamente, 0.05, 0.10, 0.15 e 0.20.

Como se verificará posteriormente esta incerteza não afecta de modo significativo as

conclusões desta análise.

Na Figura 7.8 apresentam-se as tensões de corte em regime de filme completo, τEHDR . As

tensões de corte em regime de filme completo (τEHDR), para além de serem afectadas pelas

pressões de contacto (pEHDR), dependem fortemente do modelo visco-elasto-plástico de

comportamento reológico do filme lubrificante e do comportamento térmico do contacto que

é bastante complexo e não linear. O campo de pressão na superfície rugosa é mais severo e

origina aquecimentos no interior do contacto mais fortes, o que resulta em tensões de corte

mais baixas relativamente à superfície rodada. Tais comportamentos justificam porque razão

as superfícies usadas (S1US e S3US) apresentam valores máximos das tensões de corte

superiores às correspondentes superfícies novas (S1 e S3).




0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

tauxlimτLIM

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

tauxlimτLIM


Tensões de corte máximas

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

tauxlimτLIM

Superfície LIMmáx

0pτ

µ LIMavg

S1 0.506 0.100 S1US 0.440 0.100 S2 0.601 0.100 S3 0.679 0.100 S3US 0.239 0.100



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

tauxlimτLIM

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

tauxlimτLIM

.

Figura 7.7- Tensões de corte em regime limite para as superfícies novas e usadas (µLIM = 0.10).

A comparação das Figuras 7.7 e 7.8, mostra claramente que as tensões de corte em regime de

filme completo são, no mínimo, uma ordem de grandeza inferiores às tensões de corte em

regime limite, o que está de acordo com os valores típicos dos coeficientes de atrito médios

observados para estes dois regimes, isto é, 0.05 < µLIM < 0.20 e 0.005 < µEHDR < 0.05 (ver

Tabelas das figuras 7.7 e 7.8).




0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

4,00E+07

5,00E+07

6,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tauxehdrτEHDR

0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

4,00E+07

5,00E+07

6,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tauxehdrτEHDR



0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

4,00E+07

5,00E+07

6,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tauxehdrτEHDR

Superfície EHDRmáx

0pτ

µ EHDRavg

S1 0.0316 0.0235 S1US 0.0361 0.0304 S2 0.0340 0.0262 S3 0.0307 0.0215 S3US 0.0389 0.0323



0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

4,00E+07

5,00E+07

6,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tauxehdrτEHDR

0,00E+00

1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

4,00E+07

5,00E+07

6,00E+07

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

tauxehdrτEHDR

.

Figura 7.8- Tensões de corte em regime de filme completo para as superfícies novas e usadas.

Nas Figuras 7.9 a 7.12, apresentam-se as tensões de corte em regime misto (τMIX) para cada

uma das superfícies e para os quatro valores do coeficiente de atrito limite (µLIM - 0.05, 0.10,

0.15 e 0.20) considerados.


A comparação entre as Figuras 7.9 a 7.12 mostra, claramente, que as tensões de corte em

regime misto (τMIX) aumentam significativamente à medida que o coeficiente de atrito limite

aumenta, sobretudo no caso das superfícies S1, S1US e S2.

No caso das superfícies S3 e S3US tal não se observa, uma vez que para estas superfícies o

valor da função de repartição de carga (fΛ) é igual a 1, o que significa que a carga tangencial

absorvida pelo contacto directo entre os picos de rugosidade (regime limite) é muito reduzido

ou mesmo nulo.


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

Superfície rectificada (S2) Tensões de corte máximas

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

Superfície MIXmáx

0pτ

µ MIXavg

S1 0.1640 0.0382 S1US 0.0934 0.0355 S2 0.1850 0.0383 S3 0.0355 0.0220 S3US 0.0389 0.0323


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

Figura 7.9- Tensões de corte em regime misto (µLIM = 0.05) para as superfícies novas e usadas.


As tensões de corte suportadas pela superfície S1 são em geral ligeiramente inferiores às

suportadas pela superfície S2 (ver Figuras 7.9 a 7.12) o que é devido ao facto desta superfície

suportar menor carga tangencial em regime limite, tendo em atenção que

( )1.2MIX EHDR LIM1 - f= f +τ τ τΛ Λ⋅ ⋅

e

(1 - fΛ,S2) = 0.583 < (1 - fΛ,S1) = 0.614


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03(m)

(Pa)

TAUXmist

τMIX

Superfície τ MIX

máx

Hp µ MIX

avg

S1 0.319 0.0689 S1US 0.170 0.0528 S2 0.360 0.0675 S3 0.0413 0.0232 S3US 0.0389 0.0323


0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmist

τMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX



Observa-se algo de análogo mas mais significativo quando se comparam entre si as superfíces

S1 e S1US, qualquer que seja o valor de µLIM considerado.



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

Superfície MIXmáx

0pτ

µ MIXavg

S1 0.474 0.0995 S1US 0.246 0.0701 S2 0.536 0.0967 S3 0.0493 0.0244 S3US 0.0389 0.0323



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

.

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX


Refira-se, finalmente, que no caso das superfícies S1 e S2, as tensões de corte em regime

misto (τMIX) atingem em vários pontos da superfície valores muito elevados, da ordem dos

600 MPa (ver Figura 7.11 para µLIM = 0.15), o que é um valor extremamente elevado com

consequências nefastas ao nível da resistência à fadiga da superfície.




0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

Superfície MIXmáx

0pτ

µ MIXavg

S1 0.629 0.1302 S1US 0.322 0.0874 S2 0.711 0.1258 S3 0.057 0.0256 S3US 0.039 0.0323



0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX

.

0,00E+00

2,00E+08

4,00E+08

6,00E+08

8,00E+08

1,00E+09

1,20E+09

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03

(m)

(Pa)

TAUXmitτMIX



7.6.4- Tensões no interior dos sólidos em contacto (para µLIM = 0.15)

Conhecidos os campos de pressões (pMIX) e de tensões de corte (τMIX) superficiais, em regime

misto de lubrificação, é possível determinar o tensor das tensões em qualquer ponto da

superfície ou do interior dos sólidos em contacto. Uma vez obtido o tensor das tensões podem

calcular-se as correspondentes tensões equivalentes, nomeadamente, a tensão de corte

máxima (τMÁX), segundo o critério de Tresca, e a tensão de corte octaédrica (τOCT), segundo o

critério de Von-Mises.

Nas Figuras 7.13, 7.14 e 7.15 apresentam-se, respectivamente, a tensão principal máxima

(σ1), a tensão principal mínima (σ3) e a tensão de corte ortogonal, adimensionalizadas em

relação à pressão máxima de Hertz, em cada ponto do interior do sólido, para todas as

superfícies e para um valor do coeficiente de atrito limite (µLIM) de 0.15.

Na Figura 7.16 apresenta-se a tensão de corte máxima adimensionalizada em relação à

pressão máxima de Hertz (τMÁX/p0) em cada ponto do interior do sólido, para todas as

superfícies e para um valor do coeficiente de atrito limite (µLIM) de 0.15.

Verifica-se, que quer a sub-superfície S1 quer a sub-superfície S2 apresentam valores da

tensão de corte máxima (τMÁX) extremamente elevados e significativamente superiores aos da

sub-superfície S3, o que é de esperar tendo em atenção os campos de pressões (pMIX) e de

tensões de corte (τMIX) a que estavam submetidas cada uma das correspondentes superfícies

(ver Figuras 7.6 e 7.11). As sub-superfícies S1US e S3US exibem valores da tensão de corte

máxima (τMÁX) bastante inferiores aos das correspondentes superfícies novas S1 e S3.

Na Figura 7.14 apresenta-se a tensão de corte octaédrica (τOCT) em cada ponto do interior do

sólido, para todas as superfícies e para um valor do coeficiente de atrito limite (µLIM) de 0.15.


Os valores correspondentes à superfície S3US podem ser considerados como os

correspondentes ao contacto liso equivalente e ser usados como valores de referência. No caso

da superfície S3 os valores das tensões adimensionais τmax e τoct à superfície (ou próximo) são

muito idênticos aos obtidos para profundidades de 0.7za

(superfície lisa). Nestes casos, em

que o nível à superfície e interior são próximos, o critério de Dang–Van poderia ser aplicado

em profundidade, de forma a estudar os riscos de iniciação de fissuras de fadigas, em zonas

aonde não ocorre micropitting.



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.0

8-0

.04

0

0

0.04

0.08

490 495 500 505 510 515 520 525 530 535 540 545

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Superfície rectificada (S2) Tensões de tracção principais máximas

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.7-0.5

-0.3

-0.1 -0.1

470 472 474 476 478 480 482 484 486 488 490

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Localização Superfície 0

Valor da tensãop

x/a z/a

S1 0.17 1.003 0 S1US 0.12 1.003 0 S2 0.31 0.898 0 S3 0.04 1.034 0 S3US 0.05 1.003 0


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.15

-0.1

2

-0.09 -0.06

- 0.0

30

0

0.03

490 495 500 505 510 515 520 525 530 535 540 545

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Figura 7.13- Tensão principal máxima adimensional (σ1/p0) no interior dos sólidos em contacto

(µLIM=0.15).

(µm)

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0

0

0.02

0.02

0.04

0.04

0.06

0.06

0.08

0.08

0.1

0.10.12

0.14

490 495 500 505 510 515 520 525 530 535 540 545

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

(µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.18

-0.14

-0.1-0.06

-0. 0

2 0.02

490 495 500 505 510 515 520 525 530 535 540 545

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-3.3-3.1-2.9-2.7 -2.5

-2.3

-2.3

-2.1 -2.1-1.9

-1.9 -1

-1.7

-1.7

-1.7

-1.5

-1.5-1.3

-1.1

215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-2-1.75 -1.7

5

-1.5

-1. 5

-1.25

-1. 25

-1.25

-1

-1

240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Superfície rectificada (S2) Tensões de compressão principais máximas

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-3-2.5

-2.5-2

-2-1. 5

-1.5

-1 -1

300 302 304 306 308 310 312 314 316 318 320

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1


Valor da tensãop x/a z/a

S1 -4.08 -0.232 0 S1US -2.53 -0.114 0

S2 -4.74 0.140 0 S3 -1.52 -0.385 0

S3US -1.15 0.289 0


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-1.3-1

-1

-1 -1 -1

-1

180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 200

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-1.1 -1.05

-1 - 1

- 1

-1

-0.9

5

-0. 9

5

-0. 95

-0.9

5

-0.9

-0.9 -0

.9

-0.9

330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350

2

4

6

8

10

12

14

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Figura 7.14- Tensão principal mínima adimensional (σ3/p0) no interior dos sólidos em contacto

(µLIM=0.15).

(µm)

(µm*0.5)

(µm) (µm)

(µm)

(µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

0

00

0.1

0.1

0.1

0.10.1

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.3

0.3 0.3

0.3

0.3

0.30.

30.30.3

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.6

160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180

2

4

6

8

10

12

14

-1

-0.5

0

0.5

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.1

-0.1

0

0

0

0

0. 1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2 0.2 0.2

0.3

240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260

2

4

6

8

10

12

14

-1

-0.5

0

0.5

1

Superfície rectificada (S2) Tensões de corte ortogonais máximas

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.3

-0.2

-0.2

-0. 1

-0.1

- 0.1

0

0

0

0.1

0.1

0.1

0.2 0.2

0.2

0.3

0.30.4

0.4

0.50.5

0.6 0.7

75 80 85 90 95

2

4

6

8

10

12

14

-1

-0.5

0

0.5

1


Valor da tensãop

x/a z/a

S1 0.69 -0.451 0.004S1US 0.36 -0.118 0.004S2 0.76 -0.837 0.004S3 0.19 -0.788 0.004S3US 0.13 0.285 0.004


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

-0.05

-0.05

0

0

0

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

0.1

0.15

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100

2

4

6

8

10

12

14

-1

-0.5

0

0.5

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

00

0

0 0.05

0.05

0.05

0.1

330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350

2

4

6

8

10

12

14

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 7.15- Tensão de corte ortogonal adimensional (τxz/p0) no interior dos sólidos em contacto

(µLIM=0.15).

(µm)

(µm*0.5)

(µm) (µm)

(µm)

(µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2 0.2

3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4 0.4

0

0.5

0.5

0.50.5

0.5 0.5

0.60.6

0.6

0.7 0.8

210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

140.2

0.3

0.3

0.3 0.30.

4

0.40.5

240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.4

0.4

0.6 0.6

0.8

1

295 300 305 310 315

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Localização Superfície

MÁXmax

0pτ x/a z/a

S1 0.96 -0.232 0 S1US 0.58 -0.114 0 S2 1.11 0.140 0 S3 0.32 -0.385 0.002 S3US 0.25 0.289 0.004


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.24

0.24

0.24

0.24

0.3

180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 200

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.18

0.18

0.2

0.2 0.2

0.2

0.20.22

0.22

0.22

0.22

0.24

330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 7.16- Tensão de corte máxima adimensional (τmax/p0) no interior dos sólidos em contacto

(µLIM=0.15).

(µm)

(µm*0.5)

(µm) (µm)

(µm)

(µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.10.20.20.3

0.3

0.30.3

0.3

0.3

0.30.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5 0.50.6

0.6

0.6

0.7

270 272 274 276 278 280 282 284 286 288 290

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.20.30.4

240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Superfície rectificada (S2) Tensões de corte octaédricas máximas

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.2

0.2 0.4

0.6 0.

8

290 292 294 296 298 300 302 304 306 308 310

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Localização Superfície

MÁXoct

0pτ x/a z/a

S1 0.79 0.044 0 S1US 0.49 -0.114 0.002S2 0.98 0.140 0.002S3 0.28 -0.385 0 S3US 0.21 0.289 0


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.18

0.18

0.18

0.21 0. 21 0.

21

0.21

0.24

180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 200

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.16

0.18

0.18

0. 18

0.2

330 332 334 336 338 340 342 344 346 348 350

2

4

6

8

10

12

14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 7.17- Tensão de corte octaédrica adimensional (τoct/p0) no interior dos sólidos em contacto

(µLIM=0.15).

(µm)

(µm*0.5)

(µm) (µm)

(µm)

(µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)


7.6.5- Aplicação do Critério de Fadiga Multiaxial de Dang-Van

Na aplicação do Critério de Fadiga Multiaxial de Dang-Van para determinação do risco de

iniciação de fissuras de fadiga, foram considerados os seguintes casos:

• As cinco superfícies anteriormente referidas, S1, S1US, S2, S3 e S3US;

• Os quatro valores possíveis do coeficiente de atrito limite (µLIM), isto é, 0.05, 0.10,

0.15 e 0.20, anteriormente considerados;

• Quatro valores possíveis para β, isto é, 500, 600, 700 e 800 [MPa];

• A presença ou não de tensões residuais [σRES], nas superfícies e sub-superfícies.

Foram considerados vários valores para o coeficiente de atrito limite (µLIM) já que não há

garantia do valor correcto a considerar para cada superfície. O mesmo se aplica ao valor de β

como foi anteriormente referido.

A determinação da função de repartição de carga fΛ, do coeficiente de atrito limite (µLIM) e da

resistência da superfície β, implica uma correlação com resultados experimentais resultantes

de ensaios de micropitting em engrenagens, o que certamente obrigará à realização de uma

longa e extensa campanha experimental.

No entanto, o facto de serem conhecidos valores de referência para estes parâmetros permite

realizar um varrimento na vizinhança de tais valores, obtendo-se uma caracterização muito

precisa sobre a sua influência no comportamento à fadiga de contacto dos flancos dos dentes

de engrenagens.


A Tabela 7.7 mostra o número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga (NIF)

determinados para cada superfície em função do coeficiente de atrito limite (µLIM), de β e da

presença ou não de tensões residuais [σRES]. A análise da Tabela 7.7 permite, de imediato,

estabelecer algumas considerações interessantes:

1. Só ocorre iniciação de fissuras de fadiga nas superfícies novas S1 e S2, onde os

valores de rugosidade inicial são consideráveis (Rq = 0.56 µm);

2. A superfície S3 e as superfícies usadas (ou rodadas) S1US e S3US têm um risco de

iniciação de fissuras de fadiga muito baixo;

3. Na presença de tensões residuais e para β ≥ 700 MPa, o risco de iniciação de fissuras

de fadiga é nulo em todas as superfícies e qualquer que seja o valor do coeficiente de

atrito limite.

Tabela 7.7 - Número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga (NIF) em cada superfície.


No caso das superfícies S1 e S2 podem ainda ser estabelecidas algumas considerações

adicionais (ver Tabela 7.7 e Figuras 7.18, 7.19, 7.20 e 7.21):

4. À medida que aumenta o coeficiente de atrito limite (µLIM) aumenta também o

número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga, para β ≤ 600 MPa , quer se

considerem ou não as tensões residuais (ver Figuras 7.18, 7.19 e 7.20);

5. À medida que aumenta a resistência da superfície (β) diminiu, drasticamente, o

número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga, quer se considerem ou não as

tensões residuais (ver Figura 7.21);

6. Para β ≥ 700 MPa, a influência do coeficiente de atrito limite (µLIM) só se faz sentir

na ausência tensões residuais [σRES] (ver Tabela 7.7);

7. A presença de tensões residuais [σRES] provoca uma diminuição drástica do número

de pontos de iniciação de fissuras de fadiga (ver Figuras 7.20 e 7.21).

Nº de Pontos de Iniciação de Fissuras de Fadiga - Sem Tensões Residuais

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Coeficiente de Atrito Limite

S1-500

S2-500

Nº de Pontos de Iniciação de Fissuras de Fadiga - Sem Tensões Residuais

0

5

10

15

20

25

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20Coeficiente de Atrito Limite

S1-600

S1-700

S2-600

S2-700

Figura 7.18- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, na ausência de

tensões residuais e para β igual a 500, 600 e 700 MPa.


Nº de Pontos de Iniciação de Fissuras de Fadiga (NIF) - Com Tensões Residuais

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Coeficiente de Atrito Limite

S1-500

S1-600

S2-500

S2-600

Figura 7.19- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, na presença de

tensões residuais e para β igual a 500 e 600 MPa.

Nº de Pontos de Iniciação de Fissuras de Fadiga (NIF) - Sem e Com Tensões Residuais

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Coeficiente de Atrito Limite

S1-500 s/ TR

S1-500 c/ TR

S2-500 s/ TR

S2-500 c/ TR

Figura 7.20- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, para β igual a 500

MPa: Influência das tensões residuais.


Nº de Pontos de Iniciação de Fissuras de Fadiga (NIF) - sem e com Tensões Residuais

1

10

100

500 600 700 800 β [MPa]

S1 - s/TR

S1 - c/TR

S2 - s/TR

S2 - c/TR

Figura 7.21- Nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga para as superfícies S1 e S2, para µLIM igual a

0.20: Influência de β e das tensões residuais.

Na Figura 7.21 está sintetizada a influência de β sobre o nº de pontos de iniciação de fissuras

de fadiga (NIF), para as superfícies S1 e S2. À medida que β aumenta o NIF diminiu

significativamente, na presença ou não de tensões residuais e para qualquer uma das

superfícies.

A Figura 7.21 mostra também que existe alguma proporcionalidade entre o logaritmo decimal

do nº de pontos de iniciação de fissuras de fadiga (NIF) e o inverso de β, isto é,

( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∝ −101log NIFβ

,

quer se considerem ou não as tensões residuais.

8. Finalmente, verifica-se que, na presença de tensões residuais, o comportamento das

superfícies S1 e S2, em termos do número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga,

é muito semelhante, como mostram as Figuras 7.20 e 7.21.


Na Figura 7.22 mostra-se a localização dos pontos de iniciação de fissuras de fadiga (cor

vermelha), na superfície e na sub-superfície (Z ≤ 15µm), para µLIM = 0.15, β = 500 MPa e

para as cinco superfícies estudadas, na presença de tensões residuais e numa escala de 0.2 a 1.

É notório que as superfícies S1US, S3 e S3US, não apresentam qualquer ponto de iniciação de

fadiga, enquanto nas superfícies S1 e S2 as zonas de iniciação de fadiga podem ocorrer até

uma profundidade entre 10 a 12 µm.

Na Figura 7.23 apresenta-se um resultado obtido nas mesmas condições da Figura 7.22,

(Z ≤ 15µm, µLIM = 0.15, β = 500 MPa), mas agora na ausência de tensões residuais. Em

relação às superfícies S1US, S3 e S3US a situação mantém-se, não ocorrendo nenhum ponto

de iniciação de fissuras fadiga. Já no que diz respeito às superfícies S1 e S2 observa-se um

aumento muito importante das zonas onde ocorre iniciação de fissuras, atingindo, nalguns

casos, uma profundidade superior à analisada (Z ≤ 15µm) [140-146].

A comparação entre as Figuras 7.22 e 7.23 mostra, claramente, a importância das tensões

residuais de compressão, da super-rectificação (superfície S3) e da rodagem (superfícies

S1US e S3US), sobre a iniciação de fissuras de fadiga.

Nas Figuras 7.24 e 7.25 comparam-se as superfícies S1 e S2, para Z ≤ 15µm e µLIM = 0.15, na

presença ou não de tensões residuais, e para todos os valores de β (500 MPa ≤ β ≤ 800 MPa).

Tal como na Figura 7.21, à medida que β aumenta, diminiu significativamente a zona de

iniciação de fissuras de fadiga, mais na superfície S1 do que na superfície S2, atingindo cada

vez uma menor profundidade, independentemente da presença ou não de tensões residuais.

Note-se, no entanto, que para β = 500 MPa e β = 600 MPa, mesmo na presença de tensões

residuais, as zonas de iniciação de fissuras de fadiga são numerosas, atingindo uma

profundidade da ordem de 10 µm.

Nas Figuras 7.26 e 7.27 comparam-se as superfícies S1 e S2, para Z ≤ 15µm e β = 600 MPa,

na presença ou não de tensões residuais, e para todos os valores de µLIM (0.05, 0.10, 0.15 e


0.20). Tal como nas Figuras 7.18, 7.19 e 7.20, à medida que µLIM aumenta, também aumenta a

zona de iniciação de fissuras de fadiga, mais na superfície S2 do que na superfície S1,

atingindo cada vez uma maior profundidade, independentemente da presença ou não de

tensões residuais.



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 7.22- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van,

considerando as tensões residuais instaladas (µLIM = 0.15, β = 500 MPa).

(µm)

(µm)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)




50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

.

Figura 7.23- Zonas de iniciação de fissuras de fadiga (micropitting) segundo o critério de Dang-Van, não

considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15, β=500MPa).

(µm) (µm)

(µm) (µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)


Superfície de série (S1), β = 500 MPa Superfície rectificada (S2) , β = 500 MPa

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15).

(µm)

(µm)

(µm)

(µm) (µm)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)


Superfície de série (S1), β = 500 MPa Superfície rectificada (S2), β = 500 MPa

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

. Superfície de série (S1), β = 800 MPa Superfície rectificada (S2), β = 800 MPa

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


considerando as tensões residuais instaladas (µLIM=0.15).

(µm)

(µm)

(µm) (µm)

(µm)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)


Superfície de série (S1), µLIM = 0.05 Superfície rectificada (S2), µLIM = 0.05

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

. Superfície de série (S1), µLIM = 0.20 Superfície rectificada (S2), µLIM = 0.20

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


considerando as tensões residuais instaladas (β = 600 MPa).

(µm)

(µm) (µm)

(µm) (µm)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)



50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

. Superfície de série (S1), µLIM = 0.20 Superfície rectificada (S2), µLIM = 0.20

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

2

4

6

8

10

12

14

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


considerando as tensões residuais instaladas (β = 600 MPa).

(µm) (µm)

(µm)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5) (µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm*0.5)

(µm)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm*0.5)

(µm)

(µm)


7.6.6- Análise de alguns pontos de iniciação de fissuras de fadiga

Neste parágrafo efectua-se a análise de alguns pontos de iniciação de fisuras de fadiga das

superfícies de série (S1) e rectificada (S2), as únicas onde ocorrem iniciação de fissuras de

fadiga.

Para cada ponto considerado calcula-se a relação máx

hyd

τβ - α p⋅

mais desfavorável ao longo do

ciclo de carregamento aplicado, ocorrendo a iniciação de uma fissura de fadiga segundo o

critério de Dang-Van quando essa relação for igual ou superior a 1. O valor desta relação

depende, como se verificou, do valor do coeficiente de atrito limite (µLIM) e da resistência do

material (β). De uma maneira geral a zona de iniciação de fissuras de fadiga aumenta à

medida que aumenta o coeficiente de atrito limite (µLIM) e que diminui o valor de β.

As Figuras 7.28 e 7.29 apresentam o diagrama de Dang-Van correspondentes a cada ciclo de

carregamento para os pontos de abcissa x= 172 (0.342 mm) e x=304 (0.606 mm) para as

superfícies de série (S1) e rectificada (S2), respectivamente, e situados à profundidade de Z

=1 (Z=0 µm - pontos da superfície), considerando ou não a inclusão de tensões residuais e

para um coeficiente de atrito limite (µLIM) igual a 0.15 e β igual a 500 MPa. As Figuras 7.30 e

7.31 apresentam o historial das tensões para esses mesmos pontos .



0.00E+00

1.00E+09

2.00E+09

3.00E+09

4.00E+09

5.00E+09

6.00E+09

-6.00E+09 -5.00E+09 -4.00E+09 -3.00E+09 -2.00E+09 -1.00E+09 0.00E+00 1.00E+09

Pressão hidroestática

τmáx

Taumax

Recta DV

Taumax

Figura 7.28- Diagramas de Dang-Van para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1): a vermelho-

ciclo de Dang-Van não considerando as tensões residuais, a azul- ciclo de Dang-Van

considerando as tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).


0.00E+00

1.00E+09

2.00E+09

3.00E+09

4.00E+09

5.00E+09

6.00E+09

-6.00E+09 -5.00E+09 -4.00E+09 -3.00E+09 -2.00E+09 -1.00E+09 0.00E+00 1.00E+09

Pressão hidroestática

τmax

Taumax

Recta DV

Taumax

Figura 7.29- Diagrama de Dang-Van para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) : a vermelho-

ciclo de Dang-Van não considerando as tensões residuais, a azul- ciclo de Dang-Van

considerando as tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

max

RESsem στ⎡ ⎤⎣ ⎦

max

REScom στ⎡ ⎤⎣ ⎦

max

REScom στ⎡ ⎤⎣ ⎦

max

RESsem στ⎡ ⎤⎣ ⎦



-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σxx (Pa)

sxxσxx


-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σzz (Pa)

szzσzz


-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σyy (Pa)

syyσyy


-2,00E+080,00E+002,00E+084,00E+086,00E+088,00E+08

0 10 20 30 40 50

numero caso

τxz (Pa)

txzτxz


-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σxx (Pa)

sxxσxx


-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σzz (Pa)

szzσzz


-1,00E+10

-5,00E+09

0,00E+000 10 20 30 40 50

numero caso

σyy (Pa)

syyσyy


-2,00E+080,00E+002,00E+084,00E+086,00E+088,00E+081,00E+09

0 10 20 30 40 50numero caso

τxz (Pa)

txzτxz

Figura 7.30- Histórico das tensões σx, σy, σz e τxz para o ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1),

considerando ou não a inclusão das tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

Figura 7.31- Histórico das tensões σx, σy, σz e τxz para o ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2),

considerando ou não a inclusão das tensões residuais (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

Carregamento nº Carregamento nº





As Figuras 7.32 e 7.33 representam as rugosidades compostas, o campo de pressões normais e

tangenciais em regime misto, para o ponto de abcissa 0.342 mm da superfície S1 e para o

ponto de abcissa 0.606 mm da superfície S2, respectivamente. O ponto de abcissa 0.342 mm

encontra-se representado a vermelho e o de abcissa 0.606 mm representado a verde.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(µm) Rugosidade composta de S1

0.0E+00

1.0E+09

2.0E+09

3.0E+09

4.0E+09

5.0E+09

6.0E+09

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(Pa) PMIX

0.0E+00

1.0E+08

2.0E+08

3.0E+08

4.0E+08

5.0E+08

6.0E+08

7.0E+08

8.0E+08

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(Pa) τMIX

Figura 7.32- Rugosidade e campo de pressões e de tensões tangenciais misto para o ponto x=172, z=1 da

superfície de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).


-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(µm) Rugosidade composta de S2

0.0E+00

1.0E+09

2.0E+09

3.0E+09

4.0E+09

5.0E+09

6.0E+09

7.0E+09

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(Pa) PMIX

0.0E+00

1.0E+08

2.0E+08

3.0E+08

4.0E+08

5.0E+08

6.0E+08

7.0E+08

8.0E+08

9.0E+08

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

(Pa) τMIX

Figura 7.33- Rugosidade e campo de pressões e tensões tangenciais misto para o ponto x=304, z=1 da

superfície rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

O ponto da superfície S1 (a vermelho) corresponde a um pico de rugosidade absoluto o que

conduz à formação de um pico de pressão muito importante e consequentemente a uma

reduzida espessura do filme lubrificante e a fortes tensões tangenciais. O ponto da superfície

S2 (a verde) embora não corresponda a um pico de rugosidade absoluto, apresenta uma

combinação pressão normal- tensão tangencial muito desfavorável.

O estudo destes pontos de iniciação de fissuras de fadiga mostra a coerência do modelo como

um todo: o ponto de iniciação de fadiga corresponde a um pico de rugosidade (absoluto ou


relativo), o que provoca uma forte sobrepressão, uma fraca espessura de lubrificante, e por

conseguinte elevadas tensões tangenciais.

Por último, apresenta-se a orientação dos planos críticos, ou seja a orientação preferencial de

formação das fissuras. Estes planos são definidos pelo seu vector normal. Obtém-se sempre

um par de planos simétrico em relação ao eixo das abcissas dado que o cálculo das tensões é

efectuado considerando a hipótese de deformações planas. Este par de planos tem a mesma

inclinação relativamente à superfície, e forma por conseguinte uma fissura. Da mesma

maneira, por razões de simetria em relação ao centro do referencial, obtém-se sempre 2 pares

de fissuras.

O espaço é assim percorrido em 360º em redor do eixo Z, e em 180º à volta do eixo Y, com

um passo de 5º (ou seja uma matriz de 73 linhas e 37 colunas). Para cada um dos planos assim

definido, calcula-se o valor para qual a relação τ + αPhyd é máxima. Obtém-se assim para cada

orientação um valor que varia entre 0 e 1, sendo o valor 1 o que designa os planos mais

desfavoravelmente orientados face ao carregamento. Em abcissa temos a orientação (em

graus) dos planos críticos em relação ao eixo dos X, no plano XY, e em ordenada encontra-se

a orientação dos planos em relação ao eixo dos Z.

As Figuras 7.34 e 7.35 apresentam a matriz que contém os valores de τ + αPhyd para cada uma

das orientações do plano numa escala de 0 a 1, para as superfícies de série e rectificada,

respectivamente, considerando ou não a presença de tensões residuais e µLIM= 0.15 e β= 500

MPa. As Figuras 7.36 e 7.37 apresentam os planos críticos no espaço, no plano XY e no plano

XZ, para a superfície de série e rectificada, respectivamente, considerando ou não a presença

de tensões residuais. São indicadas as direcções da velocidade de rolamento, do atrito e dos

eixos. É também indicada a abertura das fissuras no plano XY e o ângulo formado com a

superfície. A superfície é representada pelo plano XY. De notar que, há normalmente duas

figuras, cujo as fissuras são simétricas em relação ao centro do referencial.


0 90 180 270 360º0

45

90

135

180º

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50º

115º

Eixo de Simetria

fissura 2fissura 1

c=50 310 115130 230 65

Orientação do planoem relação eixo Z

Orientação do planoem relação eixo X

Simétrico em relação eixo X (0º ou 180º)

130º

65º

130º 230º 310º 0 90 180 270 360º0

45

90

135

180º

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50º

115º

Eixo de Simetria

fissura 2fissura 1

c=50 310 115130 230 65




130º

65º

130º 230º 310º

Com [σRES] Sem [σRES]

Figura 7.34- Matriz que contém os valores de τ + αPhyd para cada uma das orientações do plano, para o

ponto x=172, z=1 da superfície de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

0 90 180 270 360º0

45

90

135

180º

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

55º

120º

Eixo de Simetria

fissura 2fissura 1

c=55 305 120125 235 60




60º

125º 235º 305º

0 90 180 270 360º0

45

90

135

180º

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50º

115º

Eixo de Simetria

fissura 2fissura 1

c=50 310 115130 230 65




130º

65º

130º 230º 310º


Figura 7.35- Matriz que contém os valores de τ + αPhyd para cada uma das orientações do plano, para o

ponto x=304, z=1 da superfície rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).


X+

Y+Z+

Vr

F

X+X+

Y+ Z+

80º 54.0411º

Vr

F

X+

Y+Z+

Vr

F

X+X+

Y+ Z+

80º 54.0411º

Vr

F


Figura 7.36- Planos críticos no espaço, no plano XY e no plano XZ, para o ponto x=172, z=1 da superfície

de série (S1) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

X+

Y+Z+

Vr

F

X+X+

Y+ Z+

70º 44.8121º

Vr

F

X+

Y+Z+

Vr

F

X+X+

Y+ Z+

80º 54.0411º

Vr

F


Figura 7.37- Planos críticos no espaço, no plano XY e no plano XZ, para o ponto x=304, z=1 da superfície

rectificada (S2) (µLIM = 0.15 e β = 500 MPa).

As fissuras de ambas superfícies estão dirigidas no sentido do atrito, com uma abertura de 80º

para a superfície S1 e de 70º para a superficie S2, no caso da presença de tensões residuais e

com uma abertura de 80º, para ambas as superfícies, no caso da não inclusão dessas mesmas

tensões. A inclinação das fissuras em relação à superfície, na presença das tensões residuais, é


de 54º para a superfície S1 e de 44,8º para a superfície S2, que é um pouco superior às

inclinações geralmente constatadas experimentalmente (de 10 a 30º).


Foram analisadas as rugosidades superficiais dos flancos dos dentes de uma engrenagem,

correspondentes a três processos de fabrico alternativos: a superfície de série (denominada

S1), a superfície rectificada (S2) e a superfície super-rectificada (denominada por S3). Foram

ainda analisadas as superfícies S1 e S3 após rodagem, designadas respectivamente por S1US

e S3US.

Cada perfil de rugosidade corresponde a um comprimento de apalpação de 6000 µm e um

passo de apalpação de 2 µm, discretizado em 3001 pontos de apalpação. Cada caso de

contacto elementar analisado correspondente a 2.4 vezes a semi-largura do contacto Hertziano

(a = 455 µm), isto é 1092 µm, a que correspondem 545 pontos de discretização.

As condições de funcionamento são idênticas para todas as superfícies, e correspondem às

encontradas na zona imediatamente abaixo da linha primitiva do flanco do dente de uma

engrenagem, zona onde prioritariamente, ocorre a avaria de

micropitting geradora de micro-escamas ou pits. As propriedades do lubrificante são as do

óleo ELF XT 3556.

Da referência [145] foram retiradas as medidas das tensões residuais a diferentes

profundidades para os três tipos de superfície, antes e após os ensaios de fadiga realizados no

banco de engrenagens. Estas tensões foram medidas segundo duas direcções: longitudinal e


transversal, ao longo do programa “rectificação dos dentes das engrenagens” da UET de

Tribologia.

A função de repartição de carga fΛ tem a forma ( )Λ 5.2

1f =0.61+ Λ

para uma velocidade

tangencial no ponto primitivo de 7.5 m/s.

O contacto foi deslocado sobre o perfil de rugosidade com um passo de 50 µm (25 pontos de

discretização), sendo possível definir 99 contactos elementares (99 posições) ao longo de cada

perfil de rugosidade, isto é, ao longo da linha de engrenamento.

Um ciclo completo de carregamento, corresponde à solução de 99 casos de contacto, isto é,

corresponde a 99 soluções de:

• Pressões de contacto em regime limite (Campos [53]) - pLIM;

• Pressões de contacto em regime de filme completo (Ai e Cheng [2-4]) – pEHDR;

• Pressões de contacto em regime misto – ( )Λ ΛMIX EHDR LIM1 - fp = f × p + × p ;

• Tensões de corte em regime limite - τLIM = µLIM x pLIM;

• Tensões de corte em regime de filme completo (Sottomayor [299]) - τEHDR;

• Tensões de corte em regime misto – ( )τ τ τΛ Λ1.2MIX EHDR LIM1 - f= f × + × ;

• Tensor das tensões em cada ponto (Castro [61]) - ⎡ ⎤⎣ ⎦Pσ .


O critério de Dang-Van é, então, aplicado ao ciclo de carregamento correspondente a cada

superfície, recorrendo aos 99 casos de contacto e correspondentes tensões instaladas, sendo

determinado ponto a ponto o risco de iniciação de fissuras de fadiga:

[ ]máx

hydR =

τβ - α pσ α β ⋅, ,

Para os pontos da superfície ou sub-superfície que apresentam um risco de fadiga superior a 1,

admite-se a iniciação de uma fissura de fadiga, sendo determinada a orientação preferencial

das correspondentes fissuras de fadiga.

A superfície super rectificada (S3) apresenta um campo de pressões em regime misto (pMIX),

muito menos perturbado do que as outras superfícies novas (S1 e S2). Tal diferença está

relacionada com o valor da espessura específica do filme lubrificante em cada caso e com os

correspondentes valores da função de repartição de carga, verificando-se que no caso da

superfície S3 a força normal é quase totalmente suportada pelo filme lubrificante

elastohidrodinâmico enquanto no caso das superfícies S1 e S2 cerca de 60% da força normal é

suportada pelo contacto directo entre os picos de rugosidade.

Também as superfícies usadas (S1US e S3US) mostram reduções muito significativas do

campo de pressões em regime misto (pMIX), quando comparadas com as respectivas

superfícies novas (S1 e S3). A justificação é idêntica, isto é, durante o funcionamento da

engrenagem o progressivo desgaste da superfície conduz a uma diminuição da rugosidade dos

flancos dos dentes (Rq), a um aumento da espessura específica do filme lubrificante (Λ) e da

função de repartição de carga (fΛ). Logo, a carga suportada pelo filme lubrificante aumenta

em detrimento da carga suportada pelo contacto directo entre os picos de rugosidade, o que se

traduz numa diminuição da intensidade dos picos de pressão.

Segundo vários autores [20, 137, 155, 165, 205, 273, 332, 352], o coeficiente de atrito limite

(µLIM) apresenta normalmente valores que se situam entre 0.05 e 0.20, dependendo de vários


factores, nomeadamente, a rugosidade das superfícies, as velocidades de rolamento e

escorregamento e as características do lubrificante. Não sendo possível definir com exactidão

o valor de µLIM correspondente a cada superfície considerada e para o lubrificante usado,

optou-se por realizar os cálculos para quatro valores diferentes de µLIM , respectivamente,

0.05, 0.10, 0.15 e 0.20.

As tensões de corte em regime misto (τMIX) aumentam significativamente à medida que o

coeficiente de atrito limite aumenta, sobretudo no caso das superfícies S1, S1US e S2.

Verifica-se, que quer a sub-superfície S1 quer a sub-superfície S2 apresentam valores da

tensão de corte máxima (τMÁX) extremamente elevados e significativamente superiores aos da

sub-superfície S3, o que é de esperar tendo em atenção os campos de pressões (pMIX) e de

tensões de corte (τMIX) a que estão submetidas cada uma dessas superfícies.

Os valores dos parâmetros da recta de Dang-Van são os mesmos utilizados na referência [40].

O parâmetro α é igual a 0.987 e o parâmetro β é igual a 827 MPa. Contudo, é importante

salientar que estes resultados foram obtidos a partir de um reduzido número de ensaios

realizados com provetes que não reflectem adequadamente o comportamento das camadas

superficiais carbo-nitruradas e maquinadas dos flancos dos dentes de engrenagens, pelo que

não existe garantia do valor correcto a considerar para cada superfície. Deste modo efectuou-

se um varrimento na vizinhança destes valores de referência, obtendo-se uma caracterização

muito precisa sobre a sua influência no comportamento à fadiga de contacto dos flancos dos

dentes das engrenagens.

Deste modo, a aplicação do Critério de Fadiga Multiaxial de Dang-Van para determinação do

risco de iniciação de fissuras de fadiga permitiu caracterizar a influência de vários parâmetros

sobre a iniciação de fissuras de fadiga de contacto responsáveis pelo micropitting: Ra, Λ, fΛ,

pMIX, τMIX, µLIM, β, …


Os resultados da modelação confirmaram plenamente os resultados experimentais obtidos em

ensaios de engrenagens realizados com pinhões de caixas de velocidade normais por um

fabricante de automóveis.

Em funcionamento as superfícies S1 e S2 originam, com grande frequência, o aparecimento

de micropitting, o que nunca acontece com a superfície S3. O micropitting gerado na

superfície S1 é não evolutivo, e após alguns milhares de ciclos a superfície torna-se mais

“suave” (S1US) e o micropitting não evolui para formas de avaria mais severas (pitting). O

mesmo aconteceu com a superfície S2 não analisada (S2US).

Tais ensaios de engrenagens foram realizados anteriormente independentemente deste

trabalho, o qual confirmou qualitativamente os resultados experimentais obtidos., e de acordo

com a análise efectuada os valores de coeficiente de atrito devem ser superiores a 0.05 e o

valor do parâmetro β inferior a 800 MPa.

CONCLUSÃO

PESQUISA BIBLIOGRÁFICA

A fadiga de contacto resulta da aplicação de tensões cíclicas sobre a superfície e a sub-

superfície dos flancos activos dos dentes das engrenagens. As modificações progressivas do

estado de tensão/deformação do material ocorrem de cada vez que é excedido o valor limite

de endurance das tensões que o material pode suportar [125]. Como em todos os fenómenos

de fadiga, este tipo de deterioração caracteriza-se por periodos de incubação bastante longos,

da ordem das dezenas de milhões de ciclos, não ocorrendo nunca de forma instantânea.

Na fadiga de contacto podem ocorrer diversas formas de deterioração da superfície, e as

fissuras de fadiga podem ter origem na própria superfície ou no interior do material,

usualmente nas zonas onde se desenvolvem as máximas tensões de Hertz (tensões de

contacto). A fadiga de contacto é, assim, a responsável pelo aparecimento de micropitting,

pitting, spalling e outras formas de destruição das superfícies.

O micropitting é um processo de degradação superficial, consistindo na formação de

pequenos micropits ou micro-escamas pouco profundos ( 10 µm a 20 µm) na superfície de


contacto, com diâmetros individuais que em geral não ultrapassam os 100 µm. O spalling é

uma forma de degradação por fadiga de contacto mais extensa, que se distingue do

micropitting pela suas maiores dimensões à superfície e em profundidade, envolvendo a

criação de spalls ou crateras com diâmetros que podem atingir vários milímetros e com

profundidades que podem variar entre os 100 µm e alguns milímetros. O pitting pode resultar

do desenvolvimento ou agravamento da avaria de micropitting, originando escamas de

maiores dimensões, devido à continuação em funcionamento do contacto.

A fadiga superficial pode aparecer devido à existência de defeitos nos materiais,

nomeadamente deslocações e inclusões. Sob a acção de tensões de corte importantes, as

deslocações tendem a escorregar. Ao encontrarem uma inclusão são forçadas a empilharem-

se, dando origem a uma fissura por baixo dos respectivos hemiplanos atómicos. A fadiga nos

contactos elastohidrodinâmicos é normalmente devida aos seguintes factores: características

dos materiais, lubrificantes, condições de funcionamento e micro-geometria das superfícies.

São inúmeros os parâmetros que influenciam o comportamento à fadiga (micropitting) de uma

engrenagem, tais como a pressão superficial de Hertz, a velocidade de escorregamento e

rolamento, a rugosidade, o atrito, as propriedades do lubrificante (e aditivos), etc. e embora se

trate de um tipo de degradação superficial muito corrente, os métodos de previsão actuais

ainda não conseguem traduzir a influência de todos estes parâmetros. É complexo conjugar

todos estes parâmetros de forma a obter um critério de dimensionamento satisfatório. Na

maioria dos casos a pressão é o único critério utilizado, sendo necessária uma melhor

compreensão dos mecanismos de degradação, de forma a melhorar a previsão da vida de uma

engrenagem.


profundidade, quer superficialmente. A previsão da vida à fadiga de um contacto EHD é

muito complexa, quer pela quantidade de variáveis influentes no processo de fadiga, quer pela

sua variação ao longo do tempo e da zona de contacto. Dentro dos principais modelos de

previsão destacam-se: o de Lundberg & Palmgren, o de Tallian, o de Harris & Ioannides e os

critérios de fadiga multiaxial tais como os de Sines, Crossland e de Dang-Van.

Conclusão [287/366]

MODELAÇÃO DO MICROPITTING NOS FLANCOS ACTIVOS DOS DENTES DE ENGRENAGENS

Neste trabalho desenvolveu-se uma modelação numérica do mecanismo de micropitting dos

flancos activos dos dentes de engrenagens, tendo como principal objectivo uma melhor

previsão da iniciação de fissuras de fadiga na superfície e sub-superfície Hertzianas. O

modelo de micropitting arquitectado e desenvolvido procurou responder a este conjunto de

requisitos com o objectivo de atingir uma previsão da iniciação de fissuras de fadiga na

superfície e sub-superfície Hertzianas o mais correcta possível.

Em forma de resumo os passos para a modelação do micropitting em engrenagens, em regime

misto de lubrificação são:

1. Superfícies em contacto- A micro-geometria das superfícies tem grande influência ao

nível do micro-contacto, sendo determinante em termos dos valores das tensões

instaladas localmente nas superfícies e sub-superfícies. Os picos de rugosidade mais

salientes podem induzir valores das pressões no contacto muito superiores à pressão

máxima de Hertz e valores das tensões de corte muito superiores aos correspondentes

a um contacto liso em regime de filme completo. Deste modo, deve efectuar-se uma

medição dos perfis de rugosidade das superfícies em contacto (roda e pinhão) e, se

necessário, proceder a uma primeira filtragem para eliminar a curvatura do perfil dos

dentes (eliminando os comprimentos de onda macroscópicos e eventuais “ruídos” de

medição.

Composição dos perfis de rugosidade das duas superfícies em contacto e determinação

das componentes frequenciais através da análise de Fourier do perfil de rugosidade

composta.

2. Pressões normais e tensões tangenciais de contacto em regime misto de

lubrificação- A obtenção dos campos de pressões para a lubrificação em regime misto

recorre à solução elástica para a determinação do campo de pressões seco rugoso

(considerada equivalente à lubrificação em regime limite – limite superior (pLIM)) e a

um modelo simplificado para obtenção do campo de pressões em lubrificação EHD


rugosa (considerada equivalente à lubrificação em regime de filme completo – limite

inferior (pEHDR)). A percentagem de cada uma das componentes do contacto misto é

definida pela função de repartição de carga.

A função de repartição de carga fΛ tem a forma ( )Λ 5.2

1f =0.61+ Λ

para uma velocidade

tangencial no ponto primitivo de 7.5 m/s e é uma função global ao nível do contacto e

que depende apenas da espessura do filme lubrificante, podendo ser considerada

constante no interior do contacto.

A distribuição de pressão em regime misto (PMIX) pode então ser determinada pela

expressão: ( )Λ ΛMIX EHDR LIM1 - fp = f × p + × p

A partir das condições de funcionamento, das propriedades dos materiais, dos campos

de pressões normais e da geometria do filme lubrificante, é possível determinar a

distribuição de pressões tangenciais (tensões de corte superficiais) em ambos os

regimes (filme completo rugoso τEHDR e filme limite τLIM).

As tensões de corte em filme completo τEHDR são determinadas tendo em conta o

comportamento energético do filme lubrificante, nomeadamente a dissipação viscosa

no interior do contacto e a evacuação de calor por convecção e por condução através

das superfícies metálicas. Dependem também da espessura do filme lubrificante. Para

tal efeito foi usado um valor da espessura do filme lubrificante que garantisse a

condição de filme completo, isto é, ΛFilme Completo = 2.

As tensões de corte em regime limite (τLIM) são determinadas directamente a partir das

correspondentes pressões normais, usando a lei de Coulomb e definindo um

coeficiente de atrito limite, isto é, τLIM = µLIM x pLIM.

O modelo desenvolvido para a obtenção de campos de tensões de corte em regime

misto de lubrificação recorre, portanto, às soluções dos campos de tensões de corte em

regime limite (τLIM=µLIM.PLIM) e a um modelo para obtenção dos campos de tensões

de corte em lubrificação EHDR (filme completo rugoso (τEHDR)). A contribuição de

cada uma das componentes para o contacto misto é definida por uma função de

repartição da carga tangencial no contacto. A partir destas duas componentes e através

da função de repartição de carga, fΛ, determinam-se as tensões de corte em regime de

lubrificação misto através da expressão: ( )1.2MIX EHDR LIMf (1 f )Λ Λτ = τ + τ −


3. Tensões instaladas na sub-superfície Hertziana- As pressões contacto, normais e

tangenciais, são utilizadas na determinação do campo de tensões elásticas ⎡ ⎤⎣ ⎦elPσ em

qualquer ponto no interior dos sólidos em contacto [22, 60], tendo em consideração as

tensões residuais devidas aos tratamento térmicos e/ou mecânicos sofridos pelas

engrenagens ⎡ ⎤⎣ ⎦resPσ . Logo, em qualquer ponto do interior dos

sólidos, ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦el res

P P Pσ σ + σ= .

As tensões elásticas devidas às pressões de contacto, normais e tangenciais, são

determinadas usando um modelo desenvolvido por Castro [60], onde se considera que

o maciço se deforma em estado plano de deformação, hipótese que é inteiramente

compatível com o caso do contacto linear entre sólidos, e permite obter os tensores das

tensões ⎡ ⎤⎣ ⎦elPσ em qualquer ponto do interior dos sólidos em contacto. Podem, ainda,

ser determinadas, em cada ponto, a Tensão de Corte Máxima (Critério de Tresca -

τmáx), a Tensão de Corte Octaédrica (Critério de von-Mises - τoct) e qualquer outro tipo

de tensão equivalente.

De um modo geral podem definir-se as tensões residuais ⎡ ⎤⎣ ⎦resPσ como as tensões que

existem presentes num determinado componente, quando este se encontra em

equilíbrio mecânico e não está sujeito a nenhum esforço exterior. A introdução

voluntária de pré-tensões é um dos meios mais eficazes para melhorar a resistência à

fadiga de componentes e estruturas, tanto no domínio da construção mecânica como

da construção metálica. As tensões residuais são introduzidas pelos tratamentos

superficiais de pré-tensão. Na fadiga de contacto, assim como na fadiga clássica dos

materiais, as tensões residuais de compressão aumentam a duração de vida dos

componentes uma vez que retardam a formação e a propagação das fissuras de fadiga.

Pelo contrário, as tensões residuais de tracção, assim como as de compressão de um

valor absoluto relativamente grande, são nefastas em termos de comportamento à

fadiga.

4. Critério de fadiga multiaxial- O critério de Dang-Van permite prever os locais onde

preferencialmente pode ocorrer a nucleação de fissuras de fadiga de contacto, para o

caso de uma solicitação de fadiga multiaxial. Este critério tem por base a hipótese de

que a formação de uma fissura é um fenómeno microscópico, à escala de um ou vários


grãos, sendo de facto inadequado considerar que o material é homogéneo e isotrópico.

Dang-Van propõe, portanto, a determinação do ciclo de carregamento microscópico

[σ], com o auxílio de uma aproximação elastoplástica e a partir do ciclo de tensões

macroscópicas [Σ]. Um cálculo iterativo permite determinar para cada ponto da

discretização o estado adaptado do material, isto é o estado que faz com que o ciclo de

tensões do material não saia do domínio elástico.

A modelação do critério de fadiga acumulada de Dang-Van, implica a determinação

do ciclo de tensões a que está submetido cada ponto da superfície e da sub-superfície

dos sólidos em contacto. O ciclo de tensões é obtido deslocando o contacto ao longo

da linha de engrenamento, isto é, ao longo do perfil de rugosidade composto dos

flancos activos dos dentes. Deste modo obtém-se para cada ponto da superfície e da

sub-superfície do sólido um ciclo de tensões.

Conhecido esse ciclo de tensões é possível aplicar um critério de fadiga acumulada,

neste caso o critério de Dang-Van, permitindo avaliar o “risco de iniciação” de

fissuras de fadiga, definido por: [ ]

máx

hydR =

τβ - α pσ α β ⋅, ,

.


hyd

τβ - α p⋅

mais desfavorável ao longo do

ciclo de tensões aplicado, representa esse risco de iniciação. Se esta relação for igual

ou superior a 1 ocorre a iniciação de uma fissura, segundo o critério de Dang-Van.

Pode, assim, construir-se uma carta de riscos de iniciação, representando este risco

para cada ponto da superfície e sub-superfície.

RESULTADOS DA MODELAÇÃO

Para comprovar a validade do modelo a probabilidade de iniciação de fissuras de fadiga

conducentes à avaria de micropitting foi correlacionada com a rugosidade dos flancos de 3

engrenagens rectificadas por processos diferentes, com valores típicos do coeficiente de atrito

limite e com valores característicos das propriedades mecânicas das camadas superficiais

carbonitruradas.

A análise de todos os casos permitiu estabelecer algumas considerações interessantes:


1. Só ocorre iniciação de fissuras de fadiga nas superfícies novas S1 e S2, com

valores de rugosidade inicial considerável (Rq = 0.56 µm);

2. A superfície S3 e as superfícies usadas (ou rodadas) S1US e S3US têm um

risco de iniciação de fissuras de fadiga nulo;

3. Na presença de tensões residuais e para β ≥ 700 MPa, o risco de iniciação de

fissuras de fadiga é nulo em todas as superfícies e qualquer que seja o valor do

coeficiente de atrito limite.

No caso das superfícies S1 e S2 puderam ainda ser estabelecidas algumas considerações

adicionais:

4. À medida que aumenta o coeficiente de atrito limite (µLIM) aumenta também o

número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga, para β ≤ 600 MPa, quer se

considerem ou não as tensões residuais;

5. À medida que aumenta a resistência da superfície (β) diminui, drasticamente, o

número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga, quer se considerem ou não

as tensões residuais;

6. Para β ≥ 700 MPa, a influência do coeficiente de atrito limite (µLIM) só se faz

sentir na ausência tensões residuais [σRES] ;

7. A presença de tensões residuais [σRES] provoca uma diminuição drástica do

número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga;

8. Finalmente, verifica-se que, na presença de tensões residuais, o

comportamento das superfícies S1 e S2, em termos do número de pontos de

iniciação de fissuras de fadiga, é muito semelhante.


A análise dos resultados permitiu também estabelecer uma proporcionalidade entre o

logaritmo decimal do número de pontos de iniciação de fissuras de fadiga (NIF) e o inverso

de β, isto é,

( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∝ −101log NIFβ

,

quer se considerem ou não as tensões residuais.

A análise da superfície e o respectivo estudo dos pontos de iniciação de fissuras de fadiga

permitiram confirmar plenamente os resultados experimentais obtidos em ensaios de

engrenagens realizados anteriormente independentemente deste trabalho e mostraram a

coerência do modelo como um todo: o ponto de iniciação de fadiga corresponde a um pico de

rugosidade (absoluto ou relativo), o que provoca uma forte sobrepressão, uma fraca espessura

de lubrificante, e por conseguinte elevadas tensões tangenciais.

TRABALHO FUTURO

Após apreciação do trabalho desenvolvido e do conjunto de resultados obtidos, várias

propostas de desenvolvimento futuro do trabalho podem ser avançadas, tais como:

1. Validação experimental do modelo desenvolvido: Função de repartição de carga,

coeficiente de atrito limite e a iniciação de micropitting.

2. Implementação de um modelo de comportamento elasto-plástico das superfícies e sub-

superfícies em contacto.

3. Determinação experimental do coeficiente de atrito limite e das propriedades

mecânicas das superfícies endurecidas (cementadas, carbonitruradas, ...)

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ANEXO A

A.1- Contacto Normal entre sólidos elásticos (Teoria de Hertz)

A.1.1- Apresentação do problema de contacto normal seco

A Figura A.1 mostra, esquematicamente, a geometria do contacto entre dois sólidos.

Z

1

2X

Plano

Tangente

Comum

Superfície

Superfície

(x,y)

2Z

1ZO

Y

Figura A.1 – Representação esquemática de dois sólidos em contacto seco [301].

No caso do problema de contacto normal, quando postas em contacto e na ausência de

solicitação exterior as duas superfícies tocam-se pelo menos num ponto O designado por


ponto inicial de contacto. O plano XOY, simultaneamente tangente às duas superfícies em O é

designado por plano tangente comum. A carga é aplicada segundo o eixo OZ, sendo portanto

perpendicular ao plano tangente comum.

A.1.2- Hipóteses da teoria de Hertz

A teoria de Hertz que permite analisar o problema do contacto puramente normal entre dois

sólidos de revolução elásticos, foi desenvolvida a partir de várias hipóteses de base sendo de

destacar as seguintes [284]

a) Os sólidos em contacto são perfeitamente homogéneos, isotrópicos e

elásticos de acordo com a lei de Hooke;

b) Os sólidos podem ser considerados como semi-espaços elásticos;

c) As superfícies são definidas por dois raios de curvatura principais 1xR ,

2xR e 1yR , 2yR conhecidos na vizinhança do ponto inicial de contacto;

d) Após a aplicação da carga normal forma-se em torno do ponto inicial de

contacto uma superfície de contacto;

e) As dimensões da área de contacto entre os dois sólidos são muito

pequenas quando comparadas com os raios de curvatura das superfícies

dos sólidos;

f) A área de contacto é elíptica;

g) A área de contacto é plana e paralela ao plano tangente comum;

h) A carga é aplicada segundo a direcção OZ, perpendicular ao plano

tangente comum.

Anexo A [321/366]

A.1.3- Semi-espaços elásticos

Por acção da solicitação exterior, os dois sólidos de revolução deformam-se elasticamente,

originando uma pequena área de contacto na vizinhança do ponto inicial de contacto.

A análise do problema mostra que as deformações elásticas locais são muito pequenas, e que

as tensões de contacto estão muito concentradas junto à superfície de contacto, decrescendo

rapidamente quando se afastam do ponto inicial de contacto.

S

Y

Fn

P

Superfície1

x

y dsO

NormalComum

Z

X

Figura A.2 – Superfície do corpo 1 deformada e as pressões normais aplicadas [301].

Cada um dos sólidos, isoladamente, pode ser assimilado a um semi-espaço elástico submetido

às pressões de contacto numa zona muito pequena (área de contacto) da superfície, como se

mostra na Figura A.2. Esta idealização na qual cada um dos sólidos, de superfície arbitrária, é

visto como um semi-espaço limitado pelo plano da sua superfície é usada quase

universalmente na teoria das deformações elásticas e permite modelizar com grande precisão

as condições existentes no contacto entre dois sólidos.


A.1.4- Modelo de contacto: geometria não deformada

A geometria não deformada da cada sólido pode ser definida, no sistema de eixos (O,X,Y.Z),

como sendo a distância de um ponto da superfície de cada um dos sólidos ao plano tangente

comum segundo OZ:

( )yxfZ ,11 = , (A.1)

( )yxfZ ,22 = , (A.2)

sendo a distância entre dois pontos, segundo a normal ao plano comum, OZ, igual a (ver

Figura A.1):

( )yxfZZH nd ,21 =+= . (A.3)

(x,y)

1ZRx1

X

Plano

Tangente

Comum

Z

Ry11Superfície

α

Y

zr

=z r2R

2=>pequeno

z

α

R

Figura A.3 – Raios principais de curvatura e geometria não deformada do corpo 1 [301].

Conhecendo os raios principais de curvatura de cada uma das superfícies dos sólidos na

vizinhança do ponto inicial de contacto é possível definir a geometria não deformada. A

análise da Figura A.3 mostra que a geometria da superfície 1, isto é a distância de cada ponto

da superfície ao plano tangente comum (O,X,Y), é na vizinhança do ponto de contacto (para

pequenos valores de X e Y) definida por:

Anexo A [323/366]

1

2

1

2

1 22 yx Ry

RxZ

⋅+

⋅= , (A.4)

sendo portanto função dos raios principais de curvatura, 1xR e 1yR .

De igual modo a geometria não deformada da superfície 2 é definida pela expressão:

2

2

2

2

2 22 yx Ry

RxZ

⋅+

⋅= . (A.5)

A geometria global não deformada do contacto, representada pela equação (A.3), pode ser

agora definida por:

2221 yBxAZZH nd ⋅+⋅=+= , (A.6)

Onde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

1121

xx RRA e ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

1121

yy RRB .

A equação (A.6) é válida para as aplicações mais correntes, tais como rolamentos e

engrenagens, nas quais os planos principais de curvatura das duas superfícies em contacto são

coincidentes.


A.1.5- - Modelo de contacto: geometria deformada

Plano XOY

Fn

T2

O

δ2

Superfície2

Z

δ

FnT1

δ 1Superfície1

uz 22S

uz11S

Figura A.4 – A deformação dos corpos elásticos num contacto puramente normal [301].

Após a aplicação da solicitação, os centros de curvatura das superfícies 1 e 2 deslocam-se

elasticamente das quantidades 1δ e 2δ respectivamente, na direcção paralela a OZ. A

aproximação dos centros de curvatura, usualmente designada por deformação global ou

penetração, isto é, a soma de 1δ e 2δ , altera a distância entre os pontos 1S e 2S , a qual passa

a ser definida por

δ−+= 21 ZZH G , (A.7)

com

21 δδδ += .

Se estes fossem os únicos deslocamentos elásticos que sofrem os dois sólidos, eles

interpenetrar-se-iam na vizinhança do ponto inicial de contacto, como mostra a Figura A.4.

Como a existência de penetração é fisicamente impossível, as superfícies 1 e 2 deformam-se

localmente na vizinhança do ponto O, a zona de contacto, sofrendo deslocamentos 1zu e 2zu ,

respectivamente. Assim, após a deformação global, a geometria final, isto é , a distância entre

os pontos 1S e 2S é representada pela equação

Anexo A [325/366]

2121 zz uuZZH ++−+= δ . (A.8)

Se dois pontos 1S (x,y,z) e 2S (x,y,z), após deformação, estão situados no interior da área de

contacto, a expressão (A.8) toma a forma

021 =++− zznd uuH δ . (A.9)

Se 1S (x,y,z) e 2S (x,y,z) estão fora da área de contacto

021 >++− zznd uuH δ . (A.10)

Então, após a aplicação da solicitação a ser transmitida entre dois sólidos, a distância entre

dois quaisquer pontos, 1S (x,y,z) e 2S (x,y,z), é representada pela inequação

021 ≥++− zznd uuH δ , (A.11)

isto é,

0≥+− nnd uH δ , (A.12)

onde 21 zzn uuu += é a diferença dos deslocamentos normais de cada uma das superfícies,

quando sujeitas a uma distribuição de pressão normal p(x,y).

A resolução do problema passa pela determinação da distribuição da pressão entre os sólidos,

pela área de contacto e pela penetração. Tal resultado deve conduzir a deslocamentos normais

da superfície que satisfaçam a equação (A.9) dentro da área de contacto e a inequação (A.10)

fora da área de contacto.


A.1.6- - Deslocamentos de pontos da superfície em contacto normal

Conhecidas as pressões normais de contacto, p(x,z), é muito simples determinar a geometria

deformada do contacto, recorrendo à expressão (A.12), uma vez que un e δ dependem apenas

de p(x,y). Assim:

nndd uHH +−= δ , (A.13)

A.1.7- - A força normal transmitida

Após a deformação elástica das superfícies o contacto entre os sólidos acontece num conjunto

de pontos para além do ponto inicial de contacto, dando origem a uma pequena área através

da qual é transmitida a força entre os dois sólidos. Como se considera um carregamento

puramente normal a força normal ( nF ) tem de ser equilibrada pelas pressões normais que se

desenvolvem no interior da área de contacto, ou seja

( )∫= Sn dxdyyxpF , , (A.14)

em que p(x,y) corresponde à pressão normal em cada ponto de contacto.

ANEXO B

B.1- Parâmetros reológicos do lubrificante

Todos os comportamentos existentes num modelo reológico são obrigatoriamente

representados por um parâmetro, cujo valor, em conjunto com o próprio modelo em si,

determina a sua contribuição na deformação total sofrida pelo lubrificante no interior do

contacto.

B.1.1- Viscosidade

A viscosidade é sem dúvida o parâmetro reológico de maior relevância no estudo da

lubrificação. Na lei de Newton, o modelo reológico mais simples, a viscosidade é o único

parâmetro caracterizador do lubrificante. A sua influência é sentida em todas as zonas do

contacto, nomeadamente, no convergente onde é factor essencial na formação da espessura de

filme e na zona de Hertz onde o seu grande aumento com a pressão é responsável pela

manifestação de comportamentos não Newtonianos.

Surgiram inúmeras leis para descrever a variação da viscosidade com a temperatura e a

pressão, inicialmente com base unicamente empírica e mais tarde com base na estrutura

atómica e/ou molecular e no comportamento físico dos lubrificantes.

Lei resultante da conjugação da lei de piezoviscosidade de Barus com a lei de

termoviscosidade de Reynolds, usualmente conhecida apenas por lei de Barus,


( ))(0

0TTPe −−⋅⋅= δαµµ (B.1)

ou noutra variante,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

⋅=)11(

00TT

P

eβα

µµ (B.2)

Trata-se de uma lei de base unicamente empírica, no entanto, devido, à sua simplicidade, por

conter em si a lei de Reynolds normalmente utilizada numa análise apenas hidrodinâmica e

ainda por ser a primeira a conter a variação com a pressão é a lei mais comummente utilizada

[301, 284].

Esta lei apresenta grandes limitações na previsão da viscosidade, nomeadamente, para

pressões elevadas, em que prevê viscosidades muito elevadas, e para gamas de temperatura

grandes. Por outro lado os dois parâmetros nela intervenientes,α, e β ou δ não são

independentes da própria pressão e temperatura.

B.1.2- Outros parâmetros reológicos

B.1.2.1- Módulo de corte transversal

Houpert [166] 1980 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

⋅=)11(

00TT

P GG

eGGβα

Barlow et al. (segundo Evan

& Johnson [118]) 1978 PGG Gα+= 0

Bair & Winer [13] 1992 ( )PTbaG ⋅−=

Anexo B [329/366]

B.1.2.2- Tensão de Ree-Eyring

Houpert [166] 1980 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

⋅=)

11(

00TT

P

RERE

RERE

eβα

ττ

PRERERE αττ += 0

B.1.2.3- Tensão limite

Houpert [166] 1980 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

⋅=)

11(

00TT

P

LL

LL

eττ βα

ττ

B.1.3- Outras propriedades físicas do lubrificante

B.1.3.1- Condutibilidade térmica

A espessura do filme lubrificante que separa as superfícies em contacto é extremamente fina,

pelo que a condução de calor através dos sólidos que constituem o contacto é o mais

importante modo de evacuação do calor gerado. Assim, a condutibilidade térmica do

lubrificante é um parâmetro essencial no equilíbrio térmico do contacto.

A maioria dos autores considera a condutibilidade térmica do lubrificante constante, no

entanto, estudos efectuados por Bridgeman (segundo Winer [135]) e mais tarde por Richmond

et al. (segundo Winer [135] e Wang [325]), demonstram que os lubrificantes apresentam uma

condutibilidade térmica quando submetidos a uma pressão de 1.2-1.5 GPa que é cerca de duas

vezes superior à apresentada à pressão atmosférica.


A importância desta variação da condutibilidade térmica com a pressão parece não ser

relevante quando se trata do cálculo da espessura do filme lubrificante, uma vez que esta é

essencialmente formada no convergente onde as pressões são baixas. No entanto, como

referem B Gecim & W. O. Winer [135], quando se pretende fazer um estudo do

comportamento térmico e da tracção num contacto EHD onde a equação da energia é

resolvida dentro da zona de Hertz, portanto a pressões elevadas, a consideração de uma

condutibilidade térmica variável é, sem dúvida, importante.

Wang et al [325] ajustaram os resultados experimentais apresentados por Richmond et al.

(segundo Wang [325]) a uma curva que foi posteriormente utilizada por S.Wang, T.F.Conry e

C. Cusano [324].

( )PPKK KKf ⋅+⋅+= βα 1/0 (0.22)

Esta expressão para variação da condutibilidade térmica com a pressão apresenta dois

parâmetros, um coeficiente primário, Kα e um secundário, Kβ .

A variação da condutibilidade térmica com a temperatura é também um facto, diminuindo

ligeiramente com o aumento da temperatura [319], no entanto essa variação é muito mais

reduzida do que com a pressão, pelo que é normalmente desprezada não sendo sequer

mencionada na bibliografia quando se trata de análise de contactos elastohidrodinâmicos.

B.1.3.2- Densidade

A densidade de um lubrificante é também função da temperatura e pressão, no entanto a

influência da temperatura é normalmente desprezada, já o efeito da pressão, principalmente

quando se trata de estabelecer a espessura do filme lubrificante e portanto a geometria

deformada das superfícies em contacto é de importância fundamental. Dowson e Higginson

[103] formulam uma equação de variação da densidade com a pressão que é quase

universalmente usada,

Anexo B [331/366]

PP⋅+

⋅+=

7.116.01

0ρρ (B.3)

B.1.3.3- Calor específico

Normalmente considera-se que o calor específico de um lubrificante não varia com a

temperatura e com a pressão.

B.1.4- Formulação do modelo viscoelásto-plástico com tensão limite

B.1.4.1- Elasticidade

Se o lubrificante for considerado linear elástico, da definição de tensão de corte elástica [139,

144, 166, 177, 299, 301] obtém-se que

Ge

eτ

γ = . (B.4)

Derivando em ordem ao tempo, obtém-se a velocidade de deformação elástica,

Ge

eτ

=γ (B.5)

B.1.4.2- Plasticidade – modelo de Bair e Winer

Segundo o modelo de Bair e Winer [12], para um lubrificante com um comportamento

reológico do tipo visco-plástico, a velocidade de deformação visco-plástica é definida por


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

L

Lvp n

ττ

ητ

γ 1 , (B.6)

onde τL é a tensão limite.

B.1.4.3- Viscoelasticidade plasticidade

Se a definição de visco-plasticidade (B.6) for introduzida no modelo de Maxwell como sendo

a componente viscosa não linear, obtém-se um modelo de Maxwell modificado com

características viscoelásto-plásticas [12]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+=

L

Levpe n

G ττ

ηττ

γγγ 1 . (B.7)

A determinação das tensões tangenciais pelo modelo viscoelásto-plástico é formalmente

idêntica ao caso viscoelástico.

B.1.4.4- Análise do comportamento do modelo viscoelástico plástico

O modelo pode assumir um comportamento elástico ou viscoso de acordo com a relação

existente entre a velocidade de rolamento, comprimento do contacto, modúlo de corte

transversal e viscosidade conforme definido pelo número de Deborah. No entanto o modelo

pode também assumir um comportamento viscoso linear de acordo com a lei de Newton

[301].

O modelo reológico viscoelástico plástico como apresentado anteriormente é definido pela

expressão (B.7),

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+=

L

Levpe n

G ττ

ηττ

γγγ 1

Anexo B [333/366]

Verifica-se que o termo que representa a elasticidade, expressão (B.5),

Ge

eτ

=γ

Tende para 0 à medida que o valor do módulo de corte transversal, G, aumenta. Logo, quando

G toma valores muito elevados o modelo reológico reduz-se na prática a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−==

L

Lvp n

ττ

ητ

γγ 1

que corresponde à expressão (B.6), que representa o modelo reológico viscoso não linear com

tensão limite.

Reorganizando a expressão (B.6) em ordem a τ , obtém-se

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

LeLτηγ

ττ 1 , (B.8)

e tendo em consideração que segundo a lei de Newton, ητγ N= , de onde, ηγτ =N que

substituindo em (B.8) permite obter

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

L

N

eLττ

ττ 1 . (B.9)

A Figura B.1 apresenta a variação da tensão obtida pelo modelo viscoso com tensão limite

com o aumento da tensão limite


τ

τN

=0.1τN

τL

=10τN

τL

=1τN

τL

τL

τL [1-e ]τN

τL(- )

τL Figura B.1 – Variação da tensão de corte no filme lubrificante com o aumento da tensão limite [301].

Como se pode verificar pela análise da figura B.1 o valor da tensão calculada através do

modelo viscoso com tensão limite tende rapidamente para a tensão obtida pelo modelo

Newtoniano à medida que a tensão limite aumenta.

Assim, pode-se concluir que o modelo viscoelástico de Maxwell com tensão limite, tende para

o modelo Newtoniano quando os parâmetros reológicos módulo de corte transversal e tensão

limite assumem valores muito elevados.

Verifica-se que a tensão obtida pelo modelo viscoso com tensão limite, não é nunca superior

ao valor da tensão limite. Este comportamento é previsível uma vez que a tensão limite actua

como uma tensão máxima admissível no lubrificante.

B.1.4.5- Velocidade de deformação

Quando existe escorregamento em duas direcções ortogonais a equação (B.7) é substituída

pelo seguinte sistema de duas equações [301],

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=

)1

)1

bnG

anG

L

eL

e

yyy

L

eL

e

xxx

ττ

ητ

τττ

γ

ττ

ητ

τττ

γ

, (B.10)

Anexo B [335/366]

22yxe τττ += . (B.11)

As tensões tangenciais são funções espaciais e logo a sua derivada deverá observar a regra de

derivação em cadeia para funções de mais do que uma variável

( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=

zt

yt

xt

zyxz

zyxy

zyxx

zyx zyxx ,,,,,,,,,, ττττ (B.12)

Considerando que existe apenas rolamento na direcção do eixo xx, pode-se afirmar que

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∂∂

==∂∂

≠=∂∂

0

0

0

Wzt

Vyt

Uxt

(B.13)

E, portanto,

( ) ( )zyxUzyx xx

x ,,,, ττ∂∂

= . (B.14)

B.1.4.6- Tensões tangenciais

Definindo,

( ) ( ) ( )x

zyxxzyxLimzyx xx

xxx ∆

∆−−=

∂∂

→∆

,,,,,,

0

τττ , (B.15)

quando ∆x é pequeno o limite pode ser aproximado pelo quociente finito


( ) ( )x

zyxxzyx xx

∆∆−− ,,,, ττ

, (B.16)

obtendo-se

( ) ( ) ( )x

zyxxzyxUzyx xx

x ∆∆−−

=,,,,

,,ττ

τ , (B.17)

e por analogia

( ) ( ) ( )x

zyxxzyxUzyx yy

y ∆

∆−−=

,,,,,,

τττ . (B.18)

Definindo,

τx (x) → Tensão de corte τxz no ponto x,

τx (x-∆x) → Tensão de corte τxz no ponto (x-∆x),

τx (x) → Tensão de corte τyz no ponto x,

τx (x-∆x) → Tensão de corte τyz no ponto (x-∆x),

E substituindo em (B.10) obtém-se, após agrupar os termos comuns,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∆=

∆

∆−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∆=

∆∆−

+

r

er

ey

yy

r

er

ex

xx

shxG

Uxx

xxGUx

shxG

Uxx

xxGUx

ττ

ητ

ττ

τγ

ττ

ητ

ττ

τγ

11

11

(B.19)

Dividindo a segunda equação pela primeira, determina-se que

( ) ( )

( ) ( )( )( ) Cxx

xxx

GUx

xxx

GUx

x

y

xx

yy

==

∆∆−

+

∆

∆−+

ττ

τγ

τγ

. (B.20)

Introduzindo a constante C na definição da tensão equivalente (B.11) obtém-se

( ) 21 Cxxe +=ττ . (B.21)

Anexo B [337/366]

Substituindo a definição de tensão equivalente, função da tensão de corte na direcção do eixo

ox e de C, na equação (B.10), a velocidade de deformação segundo o eixo OX pode ser escrita

como

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

−∆−∆

−∆

=

2

2

1

11

C

xLnC

xxxG

UxxG

UxL

xLxxx τ

τ

η

τττγ . (B.22)

Igualando a zero e reordenando, determina-se que

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1

11

2

2=−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

−∆−∆

−∆

x

C

xLnC

xxxG

UxxG

Ux

r

xrxx γ

ττ

η

τττ . (B.23)

B.1.5- Solução numérica do modelo viscoelasto plástico

Para se obter o valor de τx(x) da equação (B.23), procede-se a uma iteração por bissecções

sucessivas entre 0.0 e 0.999 τL.

Se o valor de τx (x) é encontrado neste intervalo, τy (x) é calculado pela equação (B.20).

Se o valor de τx (x) não se encontra dentro deste intervalo, isso significa que o valor de τe seria

maior do que τL, o que é impossível fisicamente de acordo com o modelo de comportamento

do lubrificante considerado. Também numericamente ocorreria um erro já que se estaria a

calcular o logaritmo de um número negativo. Neste caso, considera-se que τe é igual a τL e

determina-se τx (x) e τy (x) pelas equações (B.20) e (B.21) [301].

ANEXO C

C.1- Comportamento Térmico de um contacto EHD em regime de

filme completo

No trabalho elaborado por Sottomayor [301] adoptou-se a solução térmica proposta por

Tevaarwerk [301, 314] em 1980. Esta selecção foi baseada em dois aspectos [291]:

i)As capacidades do modelo e a quantidade de informação que ele fornece quando

aplicado integralmente, o que embora fora do âmbito deste trabalho permite um

posterior estudo detalhado do comportamento térmico de um contacto EHD,

ii)O permitir, através de uma simplificação que não compromete os resultados

obtidos, calcular expeditamente os principais dados referentes ao comportamento

térmico que são necessários ao cálculo da tracção num contacto EHD.

Quando aplicado integralmente, embora com tempos de cálculo longos para um processo de

ajuste de parâmetros, este modelo térmico permite:

O cálculo da temperatura do filme lubrificante a nível local nas três direcções do contacto, x,

y e z;

A localização do plano de corte (tensão máxima ao longo do contacto);

O cálculo do fluxo de calor para cada superfície;

O cálculo separado da temperatura de cada superfície.


Quando utilizada a simplificação feita por Tevaarwerk, com tempos de cálculo relativamente

pequenos, este modelo permite [301]:

O cálculo da temperatura no plano de corte (supostamente a meio da espessura do

filme lubrificante);

O cálculo do fluxo de calor para cada superfície (supostamente iguais);

O cálculo da temperatura nas superfícies (supostas à mesma temperatura).

C.1.1- Equação da energia - caso geral

O comportamento energético de um sólido ou do escoamento de um fluido, considerando:

- regime permanente,

- a ausência de fontes de calor externas, e

- a pressão constante ao longo da espessura de filme,

pode ser descrito pela seguinte equação [139],

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

zEW

yEV

xEUρ →A

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ρρρρ 111

zW

yV

xUp →B

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

zTK

zyTK

yxTK

x

→C

(C.1)

Anexo C [341/366]

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+

222222

2

212

yW

zV

yU

xV

zU

xW

zW

yV

xU

zW

yV

xU

η

λ

→

D

onde cada termo representa um determinado fenómeno termodinâmico:

A - Convecção,

B - Compressão adiabática,

C - Condução, e

D - Dissipação viscosa, usualmente designada por φ .

Os vários parâmetros representam as seguintes grandezas físicas:

E - Energia interna,

T - Temperatura,

U,V,W - Velocidades nas direcções x, y e z respectivamente,

ρ - Densidade,

η - Viscosidade,

λ - Viscosidade volúmica (3λ+2η=0),

K - condutividade térmica.

Definindo a Energia Interna E em função da Entalpia I, obtém-se


ρpIE −= ,

E, considerando a teoria das variações, pode-se escrever

ppIE ∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂−∂=∂

ρρ11 , (C.2)

sendo a variação de Entalpia definida por

pT

TTCI p ∂⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+∂=∂ρρ11 , (C.3)

e o coeficiente de expansão térmica, ν, definido por

ρν

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ 1T

. (C.4)

Substituindo Error! Reference source not found. e (C.4) em (C.2), obtém-se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂−∂−∂=∂

ρρν 1ppTTCE p ,

ou em termos das três direcções do espaço

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

=∂∂

ρρν 1

xp

xpT

xTC

xE

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

=∂∂

ρρν 1

yp

ypT

yTC

yE

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

=∂∂

ρρν 1

zp

zpT

zTC

zE

p .

Substituindo as definições da variação da energia interna na equação da energia, reordenando

os dois primeiros termos e considerando a condutibilidade térmica constante dentro do

contacto, obtém-se a equação da energia para um contacto EHD, no caso geral

Anexo C [343/366]

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

zEW

yEV

xEUC pρ →A’

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−zpW

ypV

xpUTν →B’

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTK

→C’

(C.5)

( )zyx ,,φ+ →D’

Onde cada termo (A’, B’, C’ e D’) representa:

A`- Arrefecimento por convecção,

B`- Aquecimento de compressão,

C`- Arrefecimento por condução,

D`- Aquecimento viscoso.

C.1.1.1- Equação da energia para as superfícies

É possível reduzir o problema térmico de dois sólidos em contacto em movimento relativo, ao

de uma fonte de calor em movimento num semi-espaço infinito em que o plano de contacto é

considerado adiabático com a excepção da área da fonte de calor [301, 314], como se mostra

na figura C.1.


Ti

Ti

T (x,y)

q (x,y)T (x,y)

q (x,y)

T (x,y)

T (z)h

U

U

1

2

s2

s1

2

1

ci x

z

Figura C.1 – Equivalente térmico do contacto Hertziano idealizado com fluxo de calor e distribuição de

temperaturas diferentes no filme lubrificante e nos sólidos. [301]

Retomando a equação da energia na forma (C.1),

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

zEW

yEV

xEUC pρ →A’

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−zpW

ypV

xpUTν →B’

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTK →C’

( )zyx ,,φ+ →D’

e considerando que [301]:

- as superfícies se deformam de uma forma puramente elástica e são isotrópicas,

- o aquecimento viscoso e o aquecimento por compressão não são significativos no

caso das superfícies dos sólidos, (=> D`=B`=0),

Anexo C [345/366]

- só existe velocidade na direcção de rolamento, eixo ox, (=> V=W=0),

a equação da energia pode ser escrita [314] na forma,

xTU

zT

yT

xT si

isisisisi

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

α2

2

2

2

2

2

(C.5)

onde siα é a difusividade do material dos sólidos em contacto, definida por,

si

psisi K

Csi

ρα =

e siT é a temperatura da cada superfície.

Como se pode ver na figura C.2, as condições fronteira do problema são:

isi TT = para ±∞=z , em que Ti é a temperatura de cada sólido num ponto afastado

da fonte de calor;

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

±= hz

si

zT

, no exterior da área de aplicação da fonte de calor, e

( )sihz

si

Kyxq

zT ,

2

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

±=

, no interior da área de aplicação da fonte de calor.

Adimensionalizando as coordenadas x, y e z da equação (C.5) fazendo,

2

2

22

2 11XT

axT

XT

axTaXx

axX sisisisi

∂∂

=∂∂

⇒∂∂

=∂∂

⇒=⇒=

2

2

22

2 11YT

byT

YT

byTbYy

byY sisisisi

∂∂

=∂∂

⇒∂∂

=∂∂

⇒=⇒=


2

2

22

2 11ZT

cZT

ZT

czTcZz

czZ sisisisi

∂∂

=∂∂

⇒∂∂

=∂∂

⇒=⇒=

onde a, b e c representam as dimensões do contacto nas direcções x, y e z, respectivamente.

Substituindo em (C.5) obtém-se

XT

aU

ZT

cYT

bXT

asi

siisisisi

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ 1111

2

2

22

2

22

2

2 α ,

E, finalmente, multiplicando por 2a , obtém-se

XTP

XT

aU

ZT

ca

YT

ba

XT si

esisi

siisisisi

∂∂

=∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ 1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

α .

O termo sii aU α , é o número adimenssional de Peclet ( esisii PaU =α ), que indica qual o

modo de transferência de calor que é predominante [301]. Valores elevados de Pes

correspondem a uma transferência de calor essencialmente por convecção, e valores baixos de

Pes a uma transferência de calor essencialmente por condução.

C.1.1.2- Equação da energia para o filme lubrificante

Retomando a equação da energia na forma (C.5),

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

zEW

yEV

xEUC pρ →A’

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−zpW

ypV

xpUTν →B’

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

2

2

2

2

2

zT

yT

xTK →C’

( )zyx ,,φ+ →D’

e considerando as seguintes hipóteses simplificativas:

Anexo C [347/366]

- o lubrificante é incompressível (⇒ B`= 0),

- só existe velocidade na direcção de rolamento, eixo ox, e esta é igual à velocidade

média das superfícies nessa direcção (⇒ V = W = 0),

a equação da energia pode ser escrita na forma [314]

( )x

TUK

zyxzT

yT

xT f

ff

fff

∂

∂=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂αφ ,,

2

2

2

2

2

2

, (C.6)

onde fα é a difusividade do fluido lubrificante definida por f

pfff K

Cρα = .

Adimensionalizando as coordenadas x, y e z, fazendo:

2

2

22

2 11XT

axT

XT

axT

aXxaxX ffff

∂

∂=

∂

∂⇒

∂

∂=

∂

∂⇒=⇒= ,

2

2

22

2 11YT

byT

YT

byT

bYybyY ffff

∂

∂=

∂

∂⇒

∂

∂=

∂

∂⇒=⇒= ,

2

2

22

2 11ZT

cZT

ZT

czT

cZzczZ ffff

∂

∂=

∂

∂⇒

∂

∂=

∂

∂⇒=⇒= ,

em que a, b e c representam as dimensões do contacto nas direcções x, y e z, respectivamente,

e substituindo na equação (C.6), obtém-se

( )XT

aUK

zyxZT

cYT

bXT

af

ff

fff

∂

∂=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 1,,1112

2

22

2

22

2

2 αφ ,

e, finalmente, multiplicando por c2 determina-se que

( )XT

acUzyx

Kc

ZT

YT

bc

XT

ac f

ff

fff

∂

∂=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ 22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,, αφ .


Nos contactos EHD a espessura de filme (h ≡ c) é muito inferior às restantes dimensões do

contacto, portanto, c<<a e b, o que implica que a transferência de calor por condução na

direcção ox e oy podem ser desprezadas quando comparadas com a direcção z, obtendo-se

( )XT

PXT

ahUzyx

Kh

ZT f

eff

ff

f

∂

∂=

∂

∂=+

∂

∂ 22

2

2

,, αφ . (C.7)

O termo ahU f2α , é o número adimensional de Peclet do fluido ( eff PahU =2α ).

U1

U2

Ts2

Ts1

Ti

-1 10

z

x

Figura C.2 – Contacto idealizado com espessura de filme lubrificante constante a separar os dois sólidos

[301].

As condições fronteira do problema, como se pode verificar analisando a figura C.2, são:

( )zyxTT if ,,= na entrada do contacto ( )1−=X

( )yxTT sif ,= para 21±=Z ; 2

hz ±=

O termo da fonte de calor na equação (C.7), pode ser subdividido em duas componentes, uma

devida à compressão do lubrificante e outra devida ao corte do mesmo lubrificante.

A componente devida à compressão está provavelmente igualmente distribuída ao longo da

espessura de filme [314].

Anexo C [349/366]

A componente devida ao corte pode também ser considerada igualmente distribuída ao longo

da espessura, no entanto é aceitável considerar que ela está concentrada apenas num plano

paralelo as superfícies dos sólidos [314].

Considerando esta simplificação, é possível estabelecer uma condição fronteira extra no plano

de corte (x,y,zc),

( )f

c

zz

f

KzyxQ

X c

,,Γ−=

∂

∂

=

θ

onde Γ representa o coeficiente de repartição do fluxo de calor entre as duas superfícies.

Blok [38], O´Donoghue, Cameron [253] e Bordenet [44] baseados no conceito de

temperaturas "flash", apresentam uma forma de cálculo da razão entre o fluxo de calor que é

emitido para cada superfície, γ = q1/q2.

O coeficiente de repartição Γ pode ser obtido a partir de γ, sabendo que

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

+=Γ⇒Γ−=

Γ=

2

1

2

1

11

qq

Qq

Qq

γ

γγ .

Definindo a temperatura na superfície de dois discos em contacto, como sendo,

21

21

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

sisisi

si

si

isi UC

KbK

qTρπ

,

a razão entre o fluxo da calor emitido para cada superfície pode, portanto, ser obtida dividindo

esta equação quando definida na superfície 1 pela mesma equação definida na superfície 2,

obtendo-se


21

2222

1111

2

1

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

spsss

spsss

s

s

UCKUCK

TT

qq

ρρ

γ .

O coeficiente de repartição do fluxo de calor entre as superfícies, Γ depende portanto das

[301]:

- Temperaturas nas superfícies,

- Velocidades das superfícies,

- Propriedades físicas das superfícies.

Os trabalhos experimentais de Merritt [227, 301] sobre a repartição de temperatura no filme

lubrificante entre dois discos em rotação, em regime elastohidrodinâmico, verificaram uma

distribuição do tipo parabólica em que o vértice da parábola se desloca para perto do disco

mais lento, assim,

Γ = 0 ⇒ o plano de corte está na superfície 1,

o fluxo de calor para a superfície 1, q1 → 0 ,

a coordenada da posição do plano de corte, zc → h/2.

Γ = 0.5 ⇒ o plano de corte está a meio da espessura de filme,

o fluxo de calor para a superfície 1, q1 → q2 ,

a coordenada da posição do plano de corte, zc = 0.

Γ = 1 ⇒ o plano de corte está na superfície 2,

o fluxo de calor para a superfície 2, q2 → 0 ,

a coordenada da posição do plano de corte, zc → -h/2.

Anexo C [351/366]

A coordenada da posição do plano de corte, zc , na espessura de filme pode ser definida por

(ver figura C.3)

( )Γ−= 212hzC .

z

x

U

h

qαh/2

-h/2

1

q2

1

α2

1

U2Ts2

Ts1

Figura C.3 – Localização do plano de corte. [301]

1α e 2α são a distância adimensional do plano de corte as respectivas superfícies, sendo

definidas por

Γ=1α .

12 −Γ=α .

C.1.2- Solução das equações de energia. Métodos numéricos

O problema da solução das equações de energia foi ultrapassado fazendo uso de soluções

conhecidas, para o fluxo de calor constante, ou para a temperatura na fronteira constante,

aplicadas a cada célula da discretização, após o que se efectua uma assemblagem dos

resultados para obter a temperatura na área de contacto.


C.1.2.1- Solução para a temperatura das superfícies

Devido ao valor de Pes a que a maior parte dos contactos elastohidrodinâmicos operam (10 <

Pés < 1500), o principal modo de transporte de calor é a convecção, e pouco calor se difunde

na direcção (oy) perpendicular à direcção de rolamento. Nestas condições a variação de

temperatura na direcção perpendicular ao rolamento é desprezável.

Portanto, uma faixa de largura infinita aproximaria a solução com pequeno erro [314].

Assim, pode-se subdividir a zona de contacto em faixas com a direcção de rolamento que são

tratadas isoladamente das outras. Estas faixas são depois divididas em células para aplicação

do método, como se pode ver pela Figura C.4, que representa a faixa central do contacto

[301].

z

x

x

y

a

q

α

∆Ti

j

≡

Figura C.4 – Faixa central do contacto e fonte de calor genérica qj [301]

Carslaw e Jaeger [58], dão a solução para a variação de temperatura numa faixa da superfície

de largura considerada infinita sujeita a um fluxo de calor constante. Esta variação de

temperatura pode ser calculada pela equação

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=∆−

61602

515022

2SKSKe

axSKSKe

axeqaT a

Pa

Pa

xP

ss

eseses αα ααπλ

, (C.8)

Anexo C [353/366]

onde K0 e K1 são as funções de Bessel modificadas de 2ª espécie, de ordem zero e um

respectivamente, e

( )α+= xa

PesS25 , (C.9)

( )α−= xa

PesS26 , (C.10)

sendo ji xxx −= a distância entre a célula i e a célula j.

A equação (C.8) permite calcular a variação da temperatura, na célula i da superfície de cada

sólido, devido à influência de uma fonte de calor constante colocada na célula j, posicionada a

uma distância X.

Para a resolução do problema completo com fonte de calor não constante, basta considerar

uma fonte de calor constante correspondente a cada célula como um caso isolado, após o que,

devido à linearidade do problema, se pode aplicar uma sobreposição dos efeitos de cada uma

das fontes de calor sobre uma dada célula da discretização.

Efectuando esta operação para todas as células, equações (C.11), obtém-se a temperatura em

cada célula da superfície de cada sólido [44, 253, 269, 301, 314]:

{ } [ ] { }jijsi qRT =∆ , (C.11)

{ }siT∆ - vector temperatura,

[ ]ijR - matriz dos coeficientes de influência,

{ }jq - vector fluxo de calor,

j

siij q

TR ∆= - coeficiente de influência da fonte de calor j sobre a célula i.


sendo o coeficiente de influência do fluxo de calor colocado na posição j, sobre a temperatura

na superfície da célula colocada na posição i, definido por

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=

−

ijij

es

ijij

esesij

SKSKea

xSKSKe

ax

eaR aP

ijaP

ijaPx

sij 6160

25150

22

2

αα ααπλ

C.1.2.2- Solução para a temperatura no filme lubrificante

A solução da equação (C.7) para o filme completo é complexa, sendo no entanto possível

encontrar a solução para um cilindro de fluido, com fonte de calor interna igualmente

distribuída, plano de corte a meio do filme lubrificante, paredes adiabáticas e os dois topos

sujeitos a uma temperatura conhecida.

Esta solução é mais facilmente conseguida através de transformadas de Laplace, como

delineado por Carslaw e Jaeger [58], e apresentado por Tevaarwerk [314].

Efectuando as mudanças de variável

hzz

Z c−=

e

aaxX +

= ,

e considerando as simplificações previamente definidas, o problema é representado pela

equação [44, 269, 314]

( )XTPzyx

Kh

ZT

eff ∂

∂=+

∂∂ ,,

2

2

2

φ , (C.12)

submetida às seguintes condições fronteira e condições iniciais:

Anexo C [355/366]

T=0 para X≤ 0 ∀Z,

T=Ts1 para X>0 e Z=α1,

T=Ts2 para X>0 e Z=α2.

Obtém-se, assim, que

φψψψ 321 +Γ+=∆ QTT isif , (C.13)

com

Γ1=Γ e Γ2=1-Γ

e,

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]{ }∑∞

=

+++−+−=0

1 12121n

iin ZnZnerfc ξαξαψ ,

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++−+−−= ∑

∞

=02 12121

nii

n

f

YnierfcYnierfcYierfcK

h ξαξαξξ

ψ ,

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++−+−−= ∑

∞

=0

222

2

3 1212141

nii

n

f

ZnerfciZnerfciK

h ξαξαξ

ψ ,

o que dá a temperatura do lubrificante para a coordenada Z, permitindo determinar a

temperatura na espessura do filme.

Se se pretender apenas obter a temperatura máxima do lubrificante localizada no plano de

corte onde z=zc e Z=0, obtém-se [44, 269, 314]

φψψψ cicsicfc QTT 321 +Γ+=∆ , (C.14)

com

Γ1=Γ e Γ2=1-Γ


e,

( ) ( )[ ]{ }∑∞

=

+−=0

1 1212n

in

c nerfc ξαψ ,

( ) ( )[ ]{ }⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= ∑

∞

=02 12121

ni

n

fc nierfc

Kh ξα

πξψ ,

( ) ( )[ ]{ }⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−= ∑

∞

=0

22

2

3 121241

ni

n

fc nerfci

Kh ξαξ

ψ ,

χξ 4efP

= ,

onde

( )a

xx i−= 0χ

é a distância adimensional à entrada do contacto, e erfc, ierfc, i2erfc são funções de erro.

Finalmente para obter a temperatura num dado ponto i do filme lubrificante, que é o resultado

do conjunto das influências que um dado volume de lubrificante sofreu até chegar ao ponto i,

é possível aplicar uma forma simplificada discretizada do integral de Duhamel apresentada

por Hildebrand (segundo Tevaarwerk [301, 314])

( )∑−

=+ ∆−⋅−=

1

01 ))(,(),(),(),(

i

kkki XkiZXZFXZFXZ ψθ , (C.15)

em que

XkiZ ∆− )(,(ψ é o coeficiente de influência da célula k sobre a célula i,

),( XZF é o parâmetro em causa.

No caso da expressão (C.14) a expressão (C.15) toma a forma

Anexo C [357/366]

( )∑−

=

++=1

0

),(i

kinternadissipadasuperíciei DPTXZθ , (C.16)

em que

XkiTTT cSSsuperficie kk∆−⋅−=

+)()( 11

ψ

XkiQQP ckkkkdissipada ∆−⋅Γ−Γ= ++ )()( 211 ψ

XkiD ckkinterna ∆−⋅−= + )()( 31 ψφφ

C.2- Hipótese simplificativa proposta por Tevaarwerk

Para simplificar os cálculos, Tevaarwerk [314], propôs uma hipótese simplificativa que

consiste em considerar que o plano de corte se situa sempre a meio da espessura do filme

lubrificante, plano (X,Y,Zc=0.5), e ainda que os números de Peclet das superfícies são iguais,

(o que implicaria que as velocidades e características das superfícies são iguais), que o

coeficiente de repartição Γ é 0.5, pelo que a temperatura das duas superfícies serão iguais,

uma vez que recebem e absorvem a mesma quantidade de calor.

Esta hipótese proposta por Tevaarwerk, não se verifica a partir do momento em que os

números de Peclet sejam diferentes, o que no caso mais geral é causado pela existência de

escorregamento, trata-se no entanto de uma aproximação válida cuja principal consequência é

perder informação sobre a temperatura em cada superfície mas que não altera

significativamente a temperatura do plano de corte e ainda menos o coeficiente de atrito

[301].

A aplicação da hipótese simplificativa de Tevaarwerk diminui consideravelmente a

complexidade uma vez que:


O cálculo da temperatura das superfícies é aplicado apenas uma vez em cada

iteração pois as temperaturas das superfícies são iguais;

O cálculo do fluxo de calor do plano de corte para as superfícies é aplicado apenas

uma vez em cada iteração pois o calor que vai para cada superfície é igual;

Uma vez que se impõe que o plano de corte se localiza a meio da espessura do filme,

não é preciso uma iteração externa para localizar a posição do plano de corte na

espessura de filme evitando o cálculo de todo o problema n vezes.

C.2.1- Solução para a temperatura no plano de corte

O cálculo da temperatura do lubrificante no plano de corte é obtido a partir da expressão

(C.17)

φψψψ ccsc QTT 321 +Γ+=∆ , (C.17)

com Γ=0.5, e

( )∑∞

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

01 2

112n

nc nerfc ξψ ,

( ) ( )[ ]{ }⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= ∑

∞

=02 1121

n

n

fc nierfc

Kh ξ

πξψ ,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= ∑

∞

=0

22

2

3 2112

41

n

n

fc nerfci

Kh ξξ

ψ ,

onde erfc, ierfc e i2erfc são funções de erro e ξ e χ como definidos anteriormente.

Anexo C [359/366]

A assemblagem dos resultados pode uma vez mais ser feito utilizando a expressão

( )∑−

=

++=1

0

),(i

kinternadissipadasuperíciei DPTXZθ .

C.2.2- Determinação do fluxo de calor dissipado, dissipação interna e

potência dissipada por corte

C.2.2.1- - Fluxo de calor

O fluxo de calor que o filme lubrificante transmite às superfícies, pode ser obtido por

derivação da solução para a temperatura do fluido, equação (C.17), em ordem a Z na parede,

ou seja, quando Z=0.5 [301, 314]

21

21±=

∂

∂−==

z

ff Z

TKqq , (C.18)

φϕϕϕ 321 +Γ+= QTq s , (C.19)

com Γ=0.5, e

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ){ }∑∞

=

+−− −−=0

121 11

2 22

n

nnnf eeh

K ξξ

π

ξϕ ,

( )∑∞

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

02 2

1231

2 n

n nerfcnerfcerfc ξξξϕ ,

( ) [ ] ( )[ ]{ }∑∞

=

+−−=0

3 11n

n nierfcnierfch ξξξ

ϕ ,

onde erfc e ierfc são funções de erro e ξ e χ como definidos no capítulo 3.


C.2.2.2- Potência dissipada

Admitindo a hipótese que o corte acontece apenas num plano paralelo às superfícies, o valor

do calor dissipado pelas tensões de corte pode ser definido por [301, 314],

VUQ yx ∆⋅+∆⋅= ττ .

C.2.2.3- Dissipação interna

A função de dissipação interna φ é definida como sendo o produto da tensão equivalente pela

velocidade de deformação [166, 282, 301, 324], isto é,

γτφ = .

C.2.3- Determinação do fluxo de calor dissipado, dissipação interna e

potência dissipada por corte

C.2.3.1- Fluxo de calor

O fluxo de calor que o filme de lubrificante transmite às superfícies, pode ser obtido por

derivação da solução para a temperatura do fluido, equação (C.14), em ordem a Z na parede,

ou seja, quando Z=α1 e Z=α2 [44, 269, 314],

21 ,2,1

αα=∂

∂−=

z

ff Z

TKq , (C.20)

Anexo C [361/366]

φϕϕϕ 321 +Γ+= QTq isii , (C.21)

( ) ( )[ ] [ ]{ }∑ −+− −−=222222 422

1 12 ξαξα

π

ξϕ ii nnnf ee

h

K,

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }∑∞

=

+−+−−=0

2 12321n

iin

i nerfcnerfcerfc ξαξαξαϕ ,

( ) [ ] ( )[ ]{ }∑∞

=

+−−=0

3 2221n

iin nierfcnierfch ξαξα

ξϕ ,

onde erfc e ierfc são funções de erro e ξ e χ como definidos anteriormente.

C.2.3.2- Potência dissipada

Admitindo a hipótese que o corte acontece apenas e integralmente num plano paralelo as

superfícies em contacto, o valor do calor dissipado pelas tensões de corte pode ser definido

por [301, 314]

VUQ yx ∆⋅+∆⋅= ττ . (C.22)

C.2.3.3- Dissipação interna

A função de dissipação interna φ é definida como sendo o produto da tensão equivalente pela

velocidade de deformação [166, 282, 301, 324], isto é


γτφ = . (C.23)

C.2.4- Aquecimento no convergente

A modelação da pressão e geometria deformada pela teoria de Hertz (anexo A), como

apresentado anteriormente não contempla a existência de pressão fora da zona de Hertz, pelo

que as pressões no convergente são nulas. Esta limitação do modelo não permite que a

solução térmica adoptada calcule qualquer variação de temperatura no convergente uma vez

que se a pressão é nula também as tensões o são.

A impossibilidade do cálculo das temperaturas no convergente apresenta alguns

inconvenientes. Um seria a não contabilização da forte influência da temperatura na espessura

de filme, no entanto esta influência encontra-se já contabilizada pelo factor de correcção da

espessura de filme como apresentado no ponto 1.4 do capítulo 3.

Outro inconveniente é a não inclusão do aumento de temperatura no convergente na variação

total da temperatura do lubrificante. Verifica-se, no entanto, que o aumento de temperatura no

convergente, embora essencial ao cálculo da espessura de filme, é muito reduzido,

especialmente quando comparado com o verificado na zona de alta pressão. Verifica-se,

ainda, que o aumento de temperatura no convergente diminui significativamente na passagem

para a zona de alta pressão devido a uma grande condução de calor para as superfícies à

medida que a espessura de filme diminui drasticamente. Assim, tendo em linha de conta estes

dois factores a contribuição do convergente na variação total da temperatura do lubrificante

pode ser considerada pouco significativa e como tal não contabilizada.

ANEXO D

D.1- Utilização do modelo de cálculo das tensões de corte em

regime de filme completo para determinação dos parâmetros

reológicos do lubrificante

A procura dos valores dos parâmetros reológicos que permitem melhor aproximação aos

resultados experimentais é feita pelo método de Levemberg-Markquardt que recorre a uma

combinação dos métodos do gradiente (método de Cauchy) e de Newton. Este método

apresenta as vantagens de uma grande simplicidade, rapidez e excelente convergência na

vizinhança da solução, sendo particularmente atractivo nos problemas de regressão em que a

função corresponde a um somatório de quadrados [203, 271, 299, 301].

A formula de recorrência do método do gradiente (método de Cauchy) para a optimização de

funções de n variáveis pode ser definida por [203, 271],

)(1 KKK XfhXX ∇−=+ (D.1)

onde:

KX Valor na iteração K,

1+KX Valor na iteração seguinte,


h Passo,

)( KXf∇ Gradiente da função em KX ,

)( KXf Função,

este método apresenta como vantagens uma convergência segura, embora com problemas na

vizinhança do ponto óptimo, e como principal desvantagem a de ser relativamente lento.

A formula de recorrência do método de Newton para a optimização de funções de n variáveis

pode ser definida por [203, 271],

)()( 11 KKKK XfXHXX ∇−= −+ (D.2)

onde:

1)( −KXH Matriz Hesseana,

e os restantes termos como definidos para a expressão (D.1),

este método apresenta como vantagem uma convergência rápida e como desvantagem uma

convergência pouco segura.

A semelhança formal entre os métodos do gradiente e de Newton levou Markquardt a,

introduzindo ligeiras modificações, fazer a sua combinação de forma a evitar as desvantagens

e aproveitar as vantagens de ambos.

Assim, introduzindo uma matriz identidade no método do gradiente obtém-se [203, 271, 301]

)(11 KKK XfIhXX ∇−= −+ (D.3)

onde:

I Matriz identidade,

Anexo D [365/366]

365

e os restantes termos como definidos para a expressão (D.1),

e fazendo intervir um passo h no método de Newton obtém-se

)()( 11 KKKK XfXHhXX ∇−= −+ (D.4)

o que permite fazer a conjugação dos dois métodos obtendo-se como formula de recorrência

[ ] )()( 11 KKKK XfIXHhXX ∇+−= −+ λ . (D.5)

Na fórmula de recorrência do método de Levenberg-Marquardt o parâmetro λ determina a

influência de cada um dos métodos por que é composto.

Estes métodos foram concebidos para a optimização de funções, ou seja para a determinação

de máximos e mínimos de funções, situação em que )( KXf seria por exemplo o modelo

EHD e em que KX seriam as condições de funcionamento, por exemplo, P0, U, T0, etc.

Assim, ao aplicar o método obter-se-ia o conjunto de condições de funcionamento que

conduziriam ao valor máximo ou mínimo, conforme a situação, do resultado de )( KXf , o

coeficiente de atrito Numµ [301].

Na situação em causa, a determinação dos parâmetros reológicos por ajuste de um modelo

EHD a resultados experimentais, é feita uma alteração do significado da função )( KXf e de

KX . Assim, )( KXf passa a ser o somatório do quadrado das diferenças entre o valor

experimental, Expµ , e o valor numérico, Numµ , calculado pelo modelo nas condições de

funcionamento respectivas, ou seja, [ ]∑=

−=N

iKiNumiExpK XXf

1

2)()( µµ em que N é o número

de casos experimentais, e KX passa a ser os parâmetros reológicos a determinar. Ao aplicar o

método, tal como na situação anterior, vai-se obter o máximo ou o mínimo de )( KXf ,

conseguido com o valor dos parâmetros reológicos procurados.

Na prática o método inicia-se com um valor elevado de λ , isto é, tomando uma direcção de

pesquisa muito próxima da direcção do método do gradiente. Se o valor de )(Xf diminuir,


então na próxima iteração o valor de λ é diminuído. Pelo contrário, se o valor de )(Xf

aumentar, na próxima iteração o valor de λ é incrementado. Pode dizer-se que enquanto a

pesquisa do mínimo progredir a direcção de pesquisa de Levenberg-Markquardt se vai

aproximando da direcção de pesquisa de Newton (o que permite tirar proveito da

convergência quadrática do método de newton). Quando a pesquisa do mínimo registar um

retrocesso o último ponto é ignorado e a nova direcção de Levenberg-Markquardt afasta-se da

direcção de Newton e aproxima-se da direcção do método do gradiente (a fim de abandonar

uma região desfavorável e na qual a função se afasta de uma quadrática, recorrendo para isso

à convergência “segura” embora lenta do método do gradiente). Na vizinhança do mínimo o

parâmetro λ é sucessivamente reduzido pelo que a direcção de pesquisa nas últimas iterações

é, virtualmente, a direcção de Newton (pelo menos é desejável que assim seja) [299, 301]

Verifica-se assim que cada iteração no método Levenberg-Markquardt implica o cálculo da

matriz Hesseana, )( KXH e do gradiente, )( KXf∇ , o que acarreta a necessidade de recorrer

inúmeras vezes à função a ajustar, função essa que nesta aplicação é o modelo EHD. Assim,

tempos de corrida longos do modelo EHD implicariam tempos de ajuste dos parâmetros

inaceitáveis.

MODELAÇÃO DO MICROPITTING - Repositório Aberto · 4.2.3- Tensões normais e tangenciais...

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