Introduo:

Modelagem Numrica O que entendemos como modelo numrico? O que seria um modelo matemtico?

H diferentes fenmenos na natureza, muitos deles despertam a curiosidade humana e para entend-los e reproduzi-los lanamos mo de princpios e de leis pr-determinadas.

Naturalmente, tais fenmenos so observados nas diferentes reas do conhecimento humano.

No caso especfico das engenharias, tais fenmenos para serem entendidos e reproduzidos so descritos utilizando-se os princpios e as leis da fsica.

Por sua vez, a fsica utiliza nas suas formalizaes a linguagem universal da matemtica.

Por exemplo, se desejarmos explicar a queda livre de um corpo sujeito aos efeitos da atrao gravitacional quais leis da fsica utilizaremos?

Qual princpio da fsica poderamos aplicar para explicar a queda do corpo?

Neste exemplo temos:

1) Observao do fenmeno Queda livre de um corpo; 2) Identificamos as leis da fsica que aplicaremos - Foras que atuam no corpo atrito e atrao gravitacional; e,

3) Princpio fsico aplicado Conservao da energia.

Reparem que poderemos escrever um modelo matemtico que nos permite determinar, por exemplo:

A velocidade com a qual o corpo chega superfcie

A trajetria que o corpo seguir para chegar mais rpido superfcie.

O modelo matemtico descrito ser resolvido analiticamente, se o nosso problema for linear.

Por sua vez, se for no-linear, a soluo s ser obtida a partir de modelos numricos ou de simplificaes.

Reparem que antes de termos um modelo numrico, teremos sempre um modelo matemtico.

H diferentes tcnicas para o desenvolvimento de um modelo numrico, no nosso caso, aplicaremos s diferenas finitas.

Equaes em Diferenas

Vamos comear a abordagem da modelagem numrica analisando equaes que surgem das solues obtidas com as diferenas finitas.

Muitos fenmenos podem ser analisados a partir das suas observaes.

Tais observaes so organizadas de forma sistemtica. Seguindo um princpio lgico o que nos permite obter concluses especfica de determinado fenmeno.

Como j foi comentado, a percepo de um determinado fenmeno nos estimula a model-lo.

Porm, antes da modelagem necessrio a observao e a coleta de dados que caracterizam determinado fenmeno.

Obteno dos dados: Experimentos em campos Experimentos em laboratrios Resultados de modelos matemticos

Estamos lidando com dados que podem ser registrados ao longo do tempo, num determinado lugar fixo.

Podemos ter registros no espao, para um instante de tempo fixo.

Podemos ter uma combinao de tempo e espao.

De forma geral, haver uma conexo entre as informaes e, eventualmente, poderemos criar uma relao direta entre as diferentes informaes.

Vejamos alguns exemplos:

Dinheiro guardado numa poupana

Emprstimo obtido para a compra de um determinado bem

O resfriamento de um lquido em contato com algum elemento que possua temperatura inferior

O comportamento da presso do leo num poo num teste de produo de um determinado reservatrio

H diferentes situaes possveis

Qualquer propriedade da natureza que conseguirmos mensurar, direta ou indiretamente, poder ser modelada utilizando-se as Equaes em Diferenas

Vejamos um exemplo:

Ao tomarmos um emprstimo bancrio R$ 20.000,00 para a compra de um automvel.

A financeira cobra uma taxa anual de 6,9 % por ano e propem como pagamento mensal o valor de R$ 450,00.

Com as informaes acima poderamos tentar responder:

1) Qual ser a minha dvida aps passar o primeiro ms?

2) Quanto tempo levarei para saldar a dvida contrada?

Vamos montar o nosso modelo:

Definindo:y0=R $20.000,00 Dvida inicial=6,9 /ano Taxa de juros anual ou=6,9 /12= Taxa de juros mensal=R $450,00 Valor da prestao mensal sugerida pela financeira

(2.01)

Com as informaes de (2.01), teremos:

y1=y0+ y0y1=(1+) y0

(2.02)

O resultado (2.02) nos diria o quanto estaramos devendo aps completar o primeiro ms.

Substituindo os valores:

y1=(1+) y0y1=(1+0,00575)20000,00450,00=R $19.665,00

(2.03)

Qual ser a dvida aps o segundo ms?

O raciocnio o mesmo:

y2=(1+) y1y2=(1+0,00575)19665,00450,00=R $19.328,00

(2.04)

Se induzirmos o raciocnio, podemos escrever:

y3=(1+) y2y4=(1+) y3y5=(1+) y4...........................yn=(1+) yn1

(2.05)

O resultado final de (2.05) o que chamamos de Equao em Diferenas, escrita em funo dos ndices n e n-1.

Os ndices destacados, no nosso modelo, representam os passos de tempo e, neste exemplo, a unidade bsica o ms.

Como identificar o passo de tempo n no qual a dvida deixa de existir?

Basta fazermos:

yn=(1+) yn1=0 (2.06)

Mais adiante retomaremos o problema acima.

Vejamos mais uma aplicao das equaes em diferenas.

Como determinar a rea de um crculo sem aplicarmos a equao tradicional? Ou melhor, como podemos deduzir a equao que calcula a rea de um crculo?

Primeiro, vamos circunscrever um quadrado de lado l dentro d um crculo (Figura 2.1).

Figura 2.1 Quadrado circunscrito num crculo

Como primeira aproximao, diremos que a rea do nosso crculo a rea do quadrado.

Acirculo=Aquadrado=l.l =l2

(2.07)

O resultado obtido uma aproximao grosseira, visualmente percebemos o erro cometido.

Numa segunda tentativa, poderamos circunscrever no nosso crculo um polgono de oito lado (octgono), por exemplo (Figura 2.2).

Figura 2.2 Octgono circunscrito num crculo

Agora, se tentarmos aproximar a rea do crculo pela rea do octgono teremos um resultado mais preciso.

Como se calcula a rea de um octgono?

Intuitivamente, percebemos que a preciso do resultado poder ser melhorada a medida que nosso polgono possua mais lados.

Clculo da rea de polgono

Na Figura 2.3 observamos um octgono circunscrito num circulo.

Figura 2.3 Circulo circunscrito num octgono

Na Figura 2.3 dividimos o nosso octgono em oito tringulos iguais e, por simplicidade, determinamos que o nosso crculo seja de raio unitrio.

Agora, calculamos a rea de um dos tringulos:

Atringulo=(b.h)

2b base e h alturaAoctgono=8 Atringulo

(2.08)

No nosso caso, teremos, conforme mostrado na Figura 2.4:

Figura 2.4 Um dos tringulos que compe o nosso octgono

Assim:

=28

(2.09)

Das relaes trigonomtrica podemos escrever:

cos(2)=

hr

e

sen(2)=

b2r

(2.10)

Logo:

h=r cos[12(28)] e

b=2rsen[12(28)]

(2.11)

Agora, com os resultados (2.10) e (2.11) podemos calcular a rea do nosso tringulo:

Atringulo=(b.h)

2=

12[2rsen[

12(28)]rcos[

12(28)]]=

12[2r2sen[

12(28)]cos[

12(28)] ] (2.12)

Mas,

sen(2a)=2sen(a)cosa(a) (2.13)

O nosso resultado (2.12) pode ser escrito como:

Atringulo=12[r 2sen[(

28)] ] (2.14)

A rea do octgono pode ser escrita como:

Aoctgono=8 Atringulo

Aoctgono=82[r 2sen[(

28)] ]

(2.15)

Se o nosso polgono tivesse 9 lados (enegono):

Aenegono=9Atringulo

Aenegono=92[r 2 sen[(

29)]]

(2.16)

Logo, se desejarmos obter a rea de um polgono de n lados podemos expandir os resultados acima:

An=n2[r 2 sen[(

2n)]] (2.17)

Reparem, que a medida que n cresce, mais preciso fica o resultado.

O que acontece se tomarmos o limite quando n vai pro infinito?

limn

An= limn

n2[r 2sen[(

2n)]]= r 2 (2.18)

Para ngulos suficientemente pequenos podemos escrever:

sen() (2.19)

Quando n suficientemente grande, no necessariamente infinito, a condio (2.15) pode ser aplicada e teremos:

An=n2[r 2 sen[(

2n)]]=

n2[r 2(

2n)]= r 2 (2.20)

Utilizando-se as Equaes em Diferenas encontramos a Equao que nos permite calcular a rea de um crculo.

Pergunta: possvel obter o valor exato da rea de um crculo? Por qu?

As Equaes em Diferenas lidam diretamente com sequncias, assim lembraremos de algumas particularidades de uma sequncia numrica.

Por exemplo:

1,2,3,4 , ... an=n, n=1,2,3, ... limn

an= (2.21)

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Sequncia an

an

2,4,6,8, ... bn=2n, n=1,2,3, ... limn

bn= (2.22)

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

Sequncia bn

bn

0,12

,23

,34

, ... cn=11n

, n=1,2 ,3,... limn

cn=1 (2.23)

0 2 4 6 8 10 120

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Sequncia cn

cn

1,12

,14

,18

,... d n=(1)n

2n, n=0,1,2 ,3, ... lim

n dn=0 (2.24)

0 2 4 6 8 10 12

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

Sequncia dn

dn

1,1,1,1,... en=(1)n , n=0,1,2 ,3, ... lim

n en=? Indeterminado. (2.25)

0 2 4 6 8 10 12

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

en

en

0 2 4 6 8 10 12

-2

-1

0

1

2

3

4

5

an

bn

cn

dn

en

Os exemplos listados acima, do ponto de vista matemtico so todos aceitveis.

Por outro lado, do ponto de vista fsico alguns dissabores podem surgir, dependendo da situao.

Quando nos deparamos com sequncias, h sempre questes bsicas a serem respondidas:

1) H termo geral?

2) O que acontece com a sequncia no infinito (nmero relativamente grande de elementos)?

3) Os termos convergem a um valor finito?