A Modelagem Matemática no ensino e na aprendizagem de Matemática

Por muito tempo, vimos e fomos sujeitos a um quadro onde o ensino e à

aprendizagem da Matemática tinha como preocupação central o treinamento

dos alunos em exercícios com respostas prontas, o aluno adquiria

conhecimento mecânico, o ensino era partindo de repetições, onde o aluno não

pensava e não agia. Era nesse contexto que se limitava a transmissão de

informações e ensino programado, onde os exercícios eram sequências de

repetidas regras, reprodução de um conhecimento transmitido. Freire assinala

que: “Quando entro em uma sala de aula, devo estar sendo um ser aberto a

indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, às suas inibições; um ser

crítico e inquiridor [...]”. (FREIRE, 2001,p.52).

Entretanto, o processo educacional é muito mais que transmitir

conhecimentos, é necessário que além de adquirirem conhecimentos

matemáticos, os alunos devem ser responsáveis em relação aos outros e a

sociedade em que vivem, ser um cidadão democrático e através da formação

escolar, criar habilidades para um contínuo aprendizado. Esse mesmo

processo deve dar condições aos alunos para que eles possam analisar e

argumentar criticamente a realidade cultural, social e política em que vivem.

Nossas escolas exercem papéis muito importantes no desenvolvimento

de habilidades e competências para a formação de pessoas capazes de

superar obstáculos que surgem no nosso cotidiano. Segundo o pedagogo

Antonio Carlos Gomes da Costa (1999), somente através da educação é

possível o homem se desenvolver como ser humano. Sendo a educação única

via para o desenvolver humano, é papel de a escola concorrer para que as

gerações futuras se desenvolvam, sendo capaz de viver, conhecer e produzir

numa sociedade de muitas transformações.

Sendo assim, as interações com o meio na qual vivemos faz da

matemática uma poderosa ferramenta para resolução de muitos problemas,

que surgem em nossas vidas e muitas vezes não conseguimos o resolver

completamente.

As várias formas de pensar e as mais diferentes maneiras de busca para

resolver esse problemas nos deixa algumas perguntas:

Em quais situações a modelagem matemática nos auxilia nas

buscas por estratégias para solucionar esses problemas?

Seria ela capaz, de nos ajudar a resolver problemas do nosso

contexto escolar ?

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (1999), faz

referência a modelagem para modelar a realidade.

Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. [...] Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. (BRASIL, 1999, p.251).

Barbosa(2001) diz que há três estratégias diferentes de modelar:

Caso 1: O professor apresenta a descrição de uma situação-problema

com as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado,

cabendo aos alunos o processo de resolução;

Caso 2: O professor traz para a sala de aula um problema de outra área

do conhecimento, cabendo aos alunos a coleta das informações

necessárias à sua resolução;

Caso 3: A partir de temas não matemáticos, os alunos formulam e

resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de

informações e simplificação das situações-problema.

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Formulação do problema professor professor professor/aluno

Simplificação professor professor/aluno professor/aluno

Coleta de dados professor professor/aluno professor/aluno

Solução professor/aluno professor/aluno professor/aluno

Tabela 1: Tarefas no processo de Modelagem

Modelagem Matemática

Muitos autores têm trabalhado com a Modelagem Matemática no ensino

de matemática.

O que é Modelagem Matemática?

Em termos genéricos, ela foi conceituada como a aplicação de

matemática em outras áreas do conhecimento.

Barbosa (2001) diz que:

“Modelagem trata-se de um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar por meio da matemática, situações com referência na realidade”. (Barbosa, 2003, p.3)

Segundo Bassanezi (2004),

“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”. (Bassanezi, 2004, p.24)

Bassanezi explica que a “Modelagem é eficiente a partir do momento

que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações

da realidade, ou seja, que estamos sempre elaborando sobre representações

de um sistema ou parte dele”. (2004, p.24).

Modelos Matemáticos

Em seu livro Bassanezi explica que a Modelagem Matemática de uma

situação ou problema real deve seguir uma sequência de etapas,

simplificadamente visualizadas no esquema da figura:

Figura 1 (BASSANEZI, 2002, P.27)

Experimentação – É uma atividade essencialmente laboratorial

onde se processa a obtenção de dados;

Abstração: É o procedimento que deve levar à formulação dos

Modelos Matemáticos;

a. Seleção de variáveis;

b. Problematização ou formulação aos problemas teóricos numa

linguagem própria da área em que se está trabalhando;

c. Formulação das hipóteses;

d. Simplificação.

Resolução: O modelo matemático é obtido quando se substitui a

linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática

coerente – é como num dicionário, a linguagem matemática

admite “sinônimos” que traduzem os diferentes graus de

sofisticação da linguagem natural;

Validação: É o processo de aceitação ou não do modelo

proposto. Nesta etapa, os modelos, juntamente com as hipóteses

que lhes são atribuídas, devem ser testados em confronto com os

dados empíricos, comparando suas soluções e previsões com os

valores obtidos no sistema real. O grau de aproximação desejado

destas previsões será o fator preponderante para validação;

Modificação: Alguns fatores ligados ao problema original podem

provocar a rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os

modelos são obtidos considerando simplificações e idealizações

da realidade, suas soluções geralmente não conduzem às

previsões corretas e definitivas, pois o aprofundamento da teoria

implica na reformulação dos modelos. Nenhum modelo deve ser

considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poder-se-

ía dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação

de novos modelos, sendo esta reformulação dos modelos uma

das partes fundamentais do processo de modelagem.

Biembengut e Hein (2005) descreve o modelo de Modelagem Matemática,

onde a matemática e a realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é

o meio de fazer com que eles venham a interagir.

Figura 2 (BEIMBENGUT;HEIN, 2003, P.13)

Esse modelo permite nos representar um modelo matemático que envolve

procedimentos agrupados em três etapas e seis subetapas:

Interação

Reconhecimento da situação-problema;

Familiarização com o assunto a ser modelado referencial teórico.

Matematização

Formulação do problema hipóteses;

Resolução do problema em termos do modelo;

Modelo matemático

Interpretação da solução;

Validação do modelo avaliação.

Caso o modelo não seja concluído, o processo deve voltar a segunda

etapa – Matematização – alterando ou trabalhando outras hipóteses, variáveis,

etc.

Figura 3 (BEIMBENGUT;HEIN, 2005, P.15)

É importante ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que

registre todas as fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma

adequada (Biembengut, 1999).

A Modelagem Matemática no Brasil está interligada a trabalho de projeto,

onde os estudantes são separados em grupos, onde será definido um tema para

investigarem a partir da matemática tendo o suporte de um professor.

Por que incluir Modelagem Matemática nas aulas de matemática?

Bassanezi (1994) diz que em geral são apresentados cinco argumentos:

motivação, facilitação de aprendizagem, preparação para utilizar a matemática

em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e

compreensão do papel sócio-cultural da matemática.

As atividades de Modelagem contribui para formação de pessoas críticas,

tornando o aluno um cidadão reflexivo.

Segundo Barbosa (2001) a Modelagem pode potencializar a intervenção

das pessoas nos debates e nas tomadas de decisões sociais que envolvem

aplicações matemáticas, o que parece ser uma contribuição para alargar as

possibilidades de construção e consolidação de sociedades democráticas.

O que é uma atividade de Modelagem

Modelagem são atividades colocadas onde existem algumas condições

que proporcionam ações e discussões, é uma problematização a ser

investigada. Na problematização deve haver perguntas e/ou problemas e na

investigação deve-se buscar, selecionar, organizar e manipular as informações

refletindo sobre elas.

Etapas de uma modelagem

Para Bassanezi (2012) a modelagem é o processo de criação de modelos

onde estão definidas as estratégias de ação do indivíduio sobre a realidade,

mais especificamente sobre a sua realidade, carregada de interpretações e

subjetividades próprias de cada modelador.

Dessa forma a Modelagem Matemática é vista como uma estratégia

utilizada para explicar ou entender algumas situações reais, selecionando

argumentos essenciais e os formalizando (modelo matemático).

1. Procedimentos

1.1 Escolha de temas

O primeiro passo é escolher um tema, eles podem ser escolhidos pelo

professor ou pelo aluno, no entanto se for escolhido pelo aluno eles se sentirão

responsáveis pelo processo e sua participação será mais efetiva. Porém o

professor deverá orientar nas escolhas.

1.2 Coleta de dados

Com o tema já escolhido, devem-se buscar informações sobre o assunto,

podendo ser pesquisados em revistas, bibliografias, livros, internet, em

pesquisas entre outros.

Esses dados coletados devem ser organizados em tabelas, pois dessa

forma haverá uma análise mais eficiente e posteriormente esses dados podem

ser utilizados para construção de gráficos para se analisar o comportamento.

1.3 Análise de dados e formulação de modelos

Após encontrar os dados e analisá-los deve-se buscar um modelo

matemático através de variáveis, dessa forma é importante se entender como é

a variação das variáveis envolvidas no fenômeno analisado.

1.4 Validação

No processo de validação o modelo pode ser aceito ou rejeitado ao fazer

a comparação do modelo com os dados. Um bom modelo irá prever novos

resultados ou relações insuspeitas. Será fundamental para se compreender

melhor uma situação e diagnosticá-la. Porém nem sempre o modelo terá bons

resultados e será necessário reformulá-lo modificando as variáveis ou as leis de

formação estabelecidas.

Nesse trabalho, foi elaborado aulas para uma turma do 2º ano do ensino médio

utilizando a modelagem matemática como forma diferenciada de resolver

situações utilizando o conteúdo de funções.

Modelagem Matemática na Educação Matemática

Consideremos três perspectivas de Modelagem Matemática na Educação

Matemática: a de Bassanezi (1994), Galbraith e Clatworthy (1990), e Borba,

Meneghetti e Hermini (1997), esses autores falam a respeito de como a

Modelagem Matemática de se instituir em sala de aula.

Ambas perspectivas falam da utilização da Matemática estudando

problemas ou situações reais entre seus objetivos. Bassanezi (1994) leva em

consideração os interesses dos estudantes, o meio na qual a modelagem é

efetivada e os seus recursos quando usada em sala de aula. Para Galbraith e

Clatworthy (1990):

os alunos deveriam aprender a cooperar como membros de uma equipe, deveriam desenvolver confiança e competência em comunicações escritas e verbais e, portanto, deveriam aprender a preparar relatórios (individuais e em grupos) e ser articulados ao explicar e defender decisões tomadas, métodos usados e conclusões alcançadas (p.138)

Borba, Meneghetti e Hermini (1997), enfatizam a importância de os alunos

escolherem o tema (ou problema) a ser trabalhado por meio da Modelagem.

Essas perspectivas sobre a Modelagem Matemática indicam como

acontecem as atividades, porém não diz muito sobre a Matemática e a realidade.