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Modelagem Matemática IVAula 01
1) Regras da Disciplina2) Plano de Ensino e Bibliografia3) Introdução às ED’s4) Atividade: Corpos em Queda Livre5) Considerações Finais
1
Apresentação do ProfessorDr. Eng. Juliano J. Scremin
● Graduação em teologia, FTU - SP 1997;
● Proficiência em língua coreana, Univ. Sun Moon,
Cheon-an, Coréia do Sul 1999;
● Graduação em engenharia civil, UFPR 2008;
● Mestrado em métodos numéricos em engenharia,
PPGMNE / UFPR, mecânica computacional, método
dos elementos finitos aplicado a análise termo-
estrutural de barragens de CCR, setembro de 2011;
● Doutorado em teorias de vigas no PPGECC/UFPR,
fevereiro de 2020;
E-mail: [email protected]
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Regras da Disciplina
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Sistema de Avaliação● Avaliação Bimestral (AB);
○ Conforme calendário anunciado pela coordenação do curso
● Notas Extras (NE);○ Atividades individuais ou em equipes (trios);
○ Algumas serão realizadas em sala de aula e outras como tarefa domiciliar;
○ Valor de 0,10 até 0,50 pontos cada (conforme definido pelo professor);
○ As notas obtidas nestas atividades reduzem o peso da avaliação bimestral;
○ Não há penalização na nota bimestral caso alguma atividade não seja feita ou seja avaliada
com nota zero (as atividades são facultativas);
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Cálculo da Nota Bimestral
● NB: Nota do Bimestre (que aparecerá no portal)
● AB: Nota da Prova Bimestral
● NE: Notas Extras
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Site para Respostas de Atividades
www.jjscremin.com/ativ
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Grupo de Whatsapp:● O professor solicita que os alunos cadastrem-se no grupo de Whatsapp da
disciplina enviando um e-mail para:
○ Título do E-mail : “Grupo de MM4”
○ O corpo do e-mail deve conter:
■ Nome do Aluno
■ Número de Matrícula
■ Número de Telefone com Código de Área
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Plano de Ensino e Bibliografia
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Objetivo da Disciplina
O aluno deverá ser capaz de:
Modelar e resolver problemas que são representados por
Equações Diferenciais
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Plano de Ensino - 1° BimestreModelagem de Problemas representados por Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem;
○ Leis de Crescimento e Decaimento ○ Resfriamento de Corpos (Calor e Temperatura)○ Esvaziamento de Reservatório (Energia Potencial e Cinética)○ Datação por Carbono-14 ○ Corpos em queda livre (Dinâmica)○ Circuitos Elétricos RL ○ Juros Compostos Continuamente
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Plano de Ensino - 2° BimestreModelagem de Problemas representados por Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem e Métodos Numéricos de Soluções de Equações Diferenciais;
○ Lei de Hooke○ Sistemas Massa-Mola em Vibração Livre e Forçada○ Circuitos Elétricos RCL○ Modelos de Presa-Predador
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Bibliografia EssencialBOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard
C. Equações diferenciais elementares
e problemas de valores de contorno. 9.
ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2010. xvi,
607 p. ISBN 9788521617563.
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Bibliografia Essencial ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R.
Equações diferenciais. 3. ed. São
Paulo: Pearson Makron Books, c2001.
2 v. ISBN 8534612919 (v1).
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Introdução às EDs
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O que são Equações
Diferenciais?
Equações que envolvemuma função incógnita
(variável dependente) e suas derivadas, além de variáveis independentes
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Equações Diferenciais – Exemplos 1
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𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡+𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 5𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡)
x(t) e y(t) são funções incógnitas (variáveis dependentes)
t é a variável independente
𝑑𝑦(𝑥)
𝑑𝑥= 0,5 𝑥𝑦(𝑥)
y(x) é a função incógnita (variável dependente)
x é a variável independente
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0,5 𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝑑𝑦
𝑑𝑡= 5𝑥 + 𝑦
Equações Diferenciais – Exemplos 2
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𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+𝜕2𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2= 0
u(x,y) é a função incógnita (variável dependente)
x e y são as variáveis independentes
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2+ 16𝑥(𝑡) = 0
x(t) é a função incógnita (variável dependente)
t é a variável independente
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 16𝑥 = 0
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+𝜕2𝑢
𝜕𝑦2= 0
Porque estudarEquações
Diferenciais?
Muitos “Modelos” querepresentam fenômenos estudados nas ciências e
na engenharia são caracterizados por
Equações Diferenciais
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Modelagem
19
Problema Físico, Químico, Biológico, Financeiro etc
Modelo Matemático: Equacionamento do Fenômeno
Simplificações
Exemplo de Modelo:
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Modelo Estrutural
Aplicações de Equações Diferenciais (1)
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Corpo em Queda Livre
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2= 𝑔
Esvaziamento de um Tanque
𝑑ℎ
𝑑𝑡= −𝑘 ℎ
Aplicações de Equações Diferenciais (2)
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Paraquedas
𝑚𝑑𝑣
𝑑𝑡= 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣2
Catenária de uma Ponte em Cabos Suspensos
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= −𝑘 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
Aplicações de Equações Diferenciais (3)
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SistemaMassa-Mola
𝑚𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 𝑘𝑦 = 0
Pêndulo
𝐿𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
“Solução” de uma Equação
Diferencial
Resolver uma equação diferencial significa
encontrar uma função que satisfaça a referida
equação
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Equações Algébricas x Equações Diferenciais
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(1) 3𝑥2 − 5𝑥 + 8 = 0
(2) − 1
6𝑥 + 8 = 0
(3) 𝑥3−𝑥 + 1 = 0
As soluções são valores numéricos;
(1) 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 0
(2) 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑥𝑦1/2
(3) 𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
As soluções são as funções (ou famílias de funções) y=f(x) incógnitas que satisfazem cada equação
Verificação de uma Solução
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Verificar se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-∞ , +∞):
(a) 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑥𝑦1/2 sendo a função 𝑦 =1
16𝑥4
(b) 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ y = 0 sendo a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥
Corpos em Queda Livre
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Enunciado do Problema P01A:
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Duas esferas maciças de diâmetro “d = XX cm” serão lançadas do topo de uma torre de altura “h = XX m”.
• A esfera “A” é feita de concreto, com peso específico 24 kN/m³.
• A esfera “B” é feita de aço, com peso específico 78,5 kN/m³ .
Considerando a gravidade como sendo g = 10m/s² e desprezando a resistência do ar, responda os questionamentos a seguir:
Questões para o Problema P01A:
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Q01) Qual é o peso da esfera “A” em kN ?
Q02) Qual é a massa da esfera “B” em kg ?
Q03) Atribua “1” para verdadeiro e “0” para falso: (respostas possíveis 101; 111; 001 etc)
( ) Logo antes de tocar o chão a velocidade da esfera “A” será menor do que a velocidade da esfera “B” caso ambas sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre;
( ) Logo antes de tocar o chão a aceleração da esfera “A” será maior do que a aceleração da esfera “B” caso ambas sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre;
( ) Caso sejam lançadas com velocidade nula do topo da torre ambas esferas chegarão ao mesmo tempo ao chão;
Conceito Físico: A aceleração da gravidade é igual para ambas esferas e, não havendo influência da
resistência do ar ou do vento, ambas ganham velocidade na
mesma taxa (g).
30
Modelo
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É uma Idealização.
Implica em simplificações quanto à:
GEOMETRIA, FORÇAS,
CONDIÇÕES DE SUPORTE,
COMPORTAMENTO DOS
MATERIAIS e etc
Idealização do problema P01A
• Desprezada a resistência do ar;• Desprezada a influência do vento;• Gravidade considerada com um
valor aproximado (10m/s²);
Equacionamento do Problema P01A:
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a(t) : equação de aceleração
v(t) : equação da velocidade
y(t) : equação da posição (solução da ED)
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
𝑎 𝑡 = 𝑔 = 10𝑚/𝑠2
𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡=𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑔
𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
Integração da Equação (1)
33
y(t) : função incógnita
t : variável independente𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑔
𝑣 𝑡 = න𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2𝑑𝑡 =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1
Integrando 1 vez temos a equação de velocidade “v(t)” com o surgimento de 1 constante de integração:
Integração da Equação (2)
34
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
නන𝑑2𝑦 𝑡
𝑑𝑡2𝑑𝑡 =𝑦(𝑡) = 𝑔
𝑡2
2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2
Integrando 2 vezes temos a equação de posição “y(t)” com o surgimento de 2 constantes de integração:
𝒚(𝒕) = 𝒈𝒕𝟐
𝟐+ 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐
SOLUÇÃO GERAL :
Solução Geral
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𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
• Solução que envolve “constantes” arbitrárias (no caso C1 e C2) a serem determinadas conforme as condições que delimitam (contornam) o problema.
• Uma SOLUÇÃO GERAL pode ser transformada em uma SOLUÇÃO PARTICULAR mediante a aplicação de CONDIÇÕES DE CONTORNO.
• Quais seriam as “Condições de Contorno” do problema em questão?
𝒚(𝒕) = 𝒈𝒕𝟐
𝟐+ 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐
Condições de Contorno
36
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
• O que sabemos do problema em questão:
a) As esferas partem do “topo da torre”b) As esferas partem com “velocidade nula”
• “Partem” aqui significa t = 0;
Valores conhecidos da função solução “y(t)” ou de suas derivadas para determinados valores da variável independente “t”.
Condições de Contorno
37
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
(a) As esferas partem do “topo da torre”(b) As esferas partem com “velocidade nula”
𝑦 𝑡 = 0 = 0
* A posição da esfera no tempo t = 0 é y = 0
• Logo, conforme a condição (a), “partir do topo da torre” significa:
𝑣 𝑡 = 0 =𝑑𝑦 𝑡 = 0
𝑑𝑡= 0
* A velocidade da esfera no tempo t = 0 é dy/dt = 0
• Por sua vez, conforme a condição (b), “partir com velocidade nula” significa:
Aplicação das Condições de Contorno (1)
38
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
(a) 𝑦 0 = 0
(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0
𝑑𝑡= 0
𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2
2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2
𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1
𝑎 𝑡 =𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑔
Aplicação das Condições de Contorno (2)
39
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
(a) 𝑦 0 = 0
(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0
𝑑𝑡= 0
𝑣 𝑡 =𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑔𝑡 + 𝐶1
Aplicando (b)
0 = 𝑔. 0 + 𝐶1
0 = 𝐶1
• C1, é portanto a velocidade “v” da esfera no tempo “t = 0”, ou seja, C1= vo;
Aplicação das Condições de Contorno (3)
40
𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
(a) 𝑦 0 = 0
(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0
𝑑𝑡= 0
Aplicando (a) sendo que C1 já é conhecido (C1= 0)
0 = 𝑔02
2+ 𝐶10 + 𝐶2
• C2, é portanto a posição “y” da esfera no tempo “t = 0”, ou seja, C2= yo;
𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2
2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2
0 = 𝐶2
Solução Particular para y(0)=0 e v(0)=0
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𝑦 = 0
𝑦 = ℎ
(a) 𝑦 0 = 0
(b) 𝑣 0 =𝑑𝑦 0
𝑑𝑡= 0
𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2
2
𝐶2 = 0
𝐶1 = 0
SOLUÇÃO PARTICULAR :
𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2
2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2SOLUÇÃO GERAL :
𝑦 𝑡 = 10𝑚
𝑠2𝑡2
2
Questões para o Problema P01A:
42
Considerando os dados, as simplificações adotadas e o equacionamento desenvolvido para y(0) = 0 e v(0) = 0, responda as questões abaixo:
Q04) Quanto tempo as esferas demorarão para atingir o chão [ em s ] ?
Q05) Qual a velocidade das esferas logo antes de atingirem o chão [ em m/s ] ?
Considerando que as esferas fossem lançadas com uma velocidade inicial para baixo de 5 m/s:
Q06) Quanto tempo as esferas demorarão para atingir o chão [ em s ] ?
Q07) Qual a velocidade das esferas logo antes de atingirem o chão [ em m/s ] ?
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Atividade Prática
Enunciado do Problema P02A:
44
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial “vo=XX m/s”.
Considerando a gravidade como sendo g = 10m/s² e desprezando a resistência do ar e efeito do vento (a bola sobe e desce em uma linha reta), responda os questionamentos a seguir:
Q01) Qual máxima altura que a bola atingirá [ em m ]?
Q02) Em quanto tempo a bola atingirá esta altura [ em s ]?
Q03) Qual deve ser a velocidade inicial para que bola chegue à h2=XX m de altura em um local com gravidade gn = XX m/s² [ resposta em km/h ]?
Considerações Finais
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Classificação das ED’s pela Ordem
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• Equações Diferenciais são classificadas quanto à maior “Ordem” de derivada que aparece na expressão;
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡= 5𝑦 𝑡 + 2
𝑑2𝑦 𝑡
𝑑𝑡2− 5
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡− 25𝑦 𝑡 = 10
𝑑4𝑦 𝑥
𝑑𝑥4=5
3𝑥5 − 2𝑥𝑦(𝑥)
Equação Diferencial de 1ª Ordem
Equação Diferencial de 2ª Ordem
Equação Diferencial de 4ª Ordem
Observações:
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• Uma ED de 1° Ordem com apenas uma variável independente implica em uma Solução Geral com 1 constante de integração e logo faz se necessária 1 condição de contorno para se obter uma Solução Particular.
• Por sua vez, uma ED de 2° Ordem com apenas uma variável independente implica em uma Solução Geral com 2 constantes de integração e logo fazem se necessárias 2 condições de contorno para se obter uma Solução Particular.
Caso do Problema Estudado: 𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡2
2+ 𝐶1𝑡 + 𝐶2
FIM
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