Faculdade Anhanguera de São José dos Campos

Curso: Engenharia............................................................

Semestre:............. Turma:................

Turno:........................

Dia de aula:........................

ATPs de Cálculo 2

Derivadas

Nome completo dos componentes do grupo RA Curso

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

São José dos Campos, SP

2015

1

FACULDADE ANHANGUERA

DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS

CURSO DE BACHARELADO

EM ENGENHARIA:

.........................................................

Professora/orientadora:

Luciana Castellano de Vasconcellos Anhanguera Educacional

Atividade Prática Supervisionada (ATPs)

de cálculo 2: Derivadas

RESUMO

Palavras-Chave:

ATPs de Cálculo 2

2

ETAPA 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos bási-

cos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo

natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as

operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis. Para realizá-la,

devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t → 0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da

função V (velocidade instantânea), a partir da função S (espaço), utilizando o conceito da derivada que

você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço. Dar um e-

xemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a

aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

PASSO 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções

“S(m) x t(s)” e “V(m/s) x t(s)” para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular

a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Mostre também a relação matemática (de derivada e integral) entre as funções: espaço, velocidade

e aceleração. Por último, dê um exemplo de integral simples (com a regra usada).

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Tabela 1:

Figura 1: Função “S(m) x t(s)” e função “V(m/s) x t(s)”

A função “S(m) x t(s)” obtida é do tipo:

A função “V(m) x t(s)” obtida é do tipo:

Cálculo da Variação do Espaço Percorrida:

Cálculo da variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

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Relação matemática entre as 3 funções

Regra para integral de polinômio com exemplo

PASSO 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a

derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (es-

paço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é

a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

PASSO 4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo

de função você tem. Calcular a área (use integral) formada pela função aceleração para o intervalo dado

acima e comparar o resultado obtido com o cálculo da variação de velocidade realizado no passo 2, subitem

2.1 e fazer uma análise a esse respeito. Elaborar um relatório com os resultados obtidos de todos os passos

realizados nessa etapa 1 para entregar ao professor.

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Figura 2: Plote da função.

A função é do tipo:

Cálculo da área formada pela função aceleração para o intervalo dado

Comparação do resultado obtido e análise

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ETAPA 2

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em situações rela-

cionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais aprofundada sobre o con-

ceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que é muito usada, mas que muitas ve-

zes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente li-

gado a vários fenômenos naturais. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

O que é a Constante de Euler? Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída

a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter

sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Podemos expressar esse número com 40

dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos

uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inúmeros sites na

internet que trazem informações ricas sobre esse assunto. Construir uma tabela com os cálculos e resulta-

dos aplicados na fórmula abaixo,

n

nn

e

11lim

ou se considerarmos n = 1 / h , ela se torna hh he

1

0 1lim

utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, es-

boçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Resumo

ATPs de Cálculo 2

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Tabela e gráfico

Conclusão

PASSO 2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita

de uma PG. Fazer um resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e ex-

plicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similari-

dades e as diferenças.

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Resumo

Constante de Euler – Relações, semelhanças e diferenças com Série e PG

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PASSO 3: Crescimento populacional

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”, a-

presentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tem-

po. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomando

as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e

sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a

população presente em um determinado instante t.

N(t) = No . er.t

, onde temos:

t = 0 no instante inicial

r = uma constante que varia com a espécie da população

No = A população existente/presente no instante inicial.

É obvio que o gráfico dessa função depende de r e No. A utilização desse modelo parte do pressupos-

to de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. Dessa forma, ele serve

mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie populacional, do

que um modelo que realmente mostra o que ocorre. Com base nas informações acima, considerar uma colô-

nia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, per-

cebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus,

quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

PASSO 4

Construa uma tabela e plote um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, obser-

vando o que ocorre a cada 4 horas. Fazer um relatório com todos os dados solicitados nos quatro passos da

Etapa 2, para entregar ao seu professor.

Cálculo da constante r

Cálculo da população

Resposta:

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Tabela 2:

Figura 3:

ETAPA 3

Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas, Derivadas Trigo-

nométricas, Aplicações de Derivadas.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em situações do co-

tidiano. No campo da engenharia, muitas são as situações em que a aplicação a derivada para soluções de

problemas que se fazem presentes. O domínio das regras básicas e de níveis mais avançados é necessário.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia que você e

sua equipe decidem abrir. Essa sua empresa, desejando inovar, na apresentação de sua nova linha de óleo

para cozinha, contrata vocês para criarem uma nova embalagem da lata, a qual deverá armazenar o produto.

Depois de muito pensarem, vocês decidiram que a lata deverá ser construída de forma que seja um cilindro

circular reto de volume máximo que possa ser inscrito em uma esfera de diâmetro D = (10+A) cm, onde A é

dado pelo último algarismo da somatória do 7º algarismo de cada RA que compõe o seu grupo.

Exemplo: Se o grupo é uma dupla com os seguintes RA’s 100456912 e 1000063467, observa-se que o 7º

número do primeiro RA é nove e o 7º número do segundo RA é 3. Somatória desses dois números resulta em

12. O último algarismo do número 12 (que é a somatória) é 2. Portanto, nesse caso D = 10 + 2 = 12.

Com base nessas informações e admitindo que 1 litro = 1 dm3, utilizando a regra do produto para de-

rivação, calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela comporta. Obser-

var a figura 1 (abaixo).

Figura 1

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Notar que a altura da lata (H) é igual a soma de h + h, ou seja: H = 2h e que D = 2.R

Nome da empresa: _______________________________________

Slogan: _________________________________________________

Mostre como o grupo obteve os valores de D e de H

Cálculo da altura máxima

Cálculo do volume de óleo que a lata comporta

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PASSO 2

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1. Fazer um relatório justifican-

do de forma positiva a utilização dessa nova embalagem, que deverá ser apresentada a diretoria da empresa.

Figura 4: Layout com escala.

Relatório

PASSO 3

Analisar o texto abaixo e responda a pergunta:

A empresa criada adquiriu uma nova máquina para evasão do óleo dentro das latas que serão comer-

cializadas. O bico da envasadura é em formato de uma pirâmide hexagonal regular invertida, com 40 cm de

altura e de aresta da base de 10 cm. O óleo escoa por meio de uma pequena abertura no bico da pirâmide,

após a pirâmide atingir seu volume máximo. Sabendo que o óleo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s, com

que velocidade o nível do óleo estará se elevando quando atingir 20 cm de altura?

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PASSO 4

Calcule:

Qual é o volume máximo de óleo que cabe no bico?

Qual é a velocidade com que o nível do óleo estará se elevando quando atingir 45 cm de altura?

Resposta:

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ETAPA 4

Aula-tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da Economia.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em situações do co-

tidiano aplicadas a Indústria, Comércio e Economia. Há uma ideia errônea de que o uso da derivada é limita-

do ao campo da engenharia. Economistas e administradores também lançam mão das regras da derivação

para análise das funções marginais para tomada de decisões. Para realizá-la, siga os passos descritos.

PASSO 1

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da sua empresa, sua equipe concluir que a Função Preço e a Função Custo

em relação à quantidade produzida de 1000 unidades, são dadas respectivamente por:

“P(q) = – 0,1.q + B” e “C(q) = 0,002.q3 – 0,6.q

2 +100q + B”

em que “B” representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo, obser-

vando o seguinte arredondamento:

Caso a soma dê resultado variando entre [1000 e 1300[, utilizar B = 1000;

Caso a soma dê resultado variando entre [1300 e 1600[, utilizar B = 1500;

Caso a soma dê resultado variando entre [1600 e 1900], utilizar B = 2000;

Caso a soma dê resultado variando entre [1900 e 2100], utilizar B = 2500;

e assim sucessivamente.

Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função Receita em milhares de

reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico.

Cálculo de B

Tabela 3: Função Custo.

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Tabela 4: Função Receita.

Figura 5: Função receita versus custo.

PASSO 2

Responda:

Para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)?

Intervalo:

Justificativa:

Para qual quantidade produzida o lucro será o máximo?

Intervalo:

Justificativa:

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Fazer todas as análises, utilizando a primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas,

mostrando os pontos de lucros crescentes e decrescentes.

PASSO 3

Responder:

Qual o significado da Receita Média Marginal?

De posse das funções P(q) e C(q), quando q = 10, qual o valor de P e de C

Sendo a função Custo Médio [Cme(q)] da produção dado por Cme = C(q)/q, calcular o custo médio

para a produção de 100.000 unidades.

É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

PASSO 4

Organizar todo seu material de acordo com o padrão ABNT e entregar ao seu professor.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS