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UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS-UNICAMP

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA APLICADA E

COMPUTACIONAL

DISCIPLINA: MODELOS E MÉTODOS MATEMÁTICOS

PROFESSOR: RICARDO M. MARTINS

MODELO PRESA PREDADOR

LOTKA - VOLTERRA

DANILO FALCAO - RA: 154171

JORGE MENOR - RA: 154372

RAIMUNDO MARCOLINO - RA:

154170

CAMPINAS-SP

MAIO/2015

of 21 INTRODUÇÃO

O modelo presa – predador ou Lotka – Volterra trata da interação entre duas espécies,

onde uma delas (presa) dispõe de alimentos em abundância e a outra espécie (predador) tem

como suprimento alimentar a população de presa

Alfred J. Lotka (1880-1949)

Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfred_Lotka

Alfred J. Lotka (1880-1949).

No ano de 1925 estudou a interação predador-presa e publicou um livro chamado “Elements

of Physical Biology” . Famoso pelo seu trabalho em dinâmica populacioonal.

2 apresentação.nb

of 21

Vito Volterra (1860 – 1940)

Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Vito_Volterra

Vito Volterra (1860 – 1940).

Matemático e físico italiano. A essência de seu trabalho está resumida em seu livro Theory of

functionals and of Integral and Integro-Differential Equations (1930).

apresentação.nb 3

of 21 MODELAGEM

Sejam:

x = x(t) a densidade populacional das presas em um instante t;

y = y(t) a densidade populacional dos predadores em um instante t

4 apresentação.nb

of 21 Se modelarmos os encontros possíveis entre presa e predador pelo termo bilinear xy, o

sistema fica:

dx

dt

= ax - Αxy = xHa - ΑyL, dy

dt

= -cy + Γxy = yH-c + ΓxL.

(1)

onde a, Α, c e Γ são constantes positivas.

As equações (1) são chamadas equações de Lotka - Volterra em referência ao matemático

americano Alfred J Lotka (1980 - 1949) e ao italiano Vito Volterra (1860 - 1940)

O sistema presa – predador é não linear, mas pode ser analisado qualitativamente.

Fazendo

dy

dx

=yH-c+ΓxL.xHa-ΑyL

(2)

A equação (2) é separável, podemos resolver do seguinte modo:

àHa - ΑyL

y

ây = àH-c + ΓxL

x

âx

-clnx + Γx =

lny - Αy + k H3Londe k é uma constate de integração.

apresentação.nb 5

of 21Para representar as trajetórias usamos o método gráfico de Volterra:

z = f HxL = -clnx + Γx

w = g HyL = alny - Αy

z = w + k

Modelo clássico presa – predador obtido por Gause em testes de laboratórios em

1934

6 apresentação.nb

of 21 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO

Uma análise qualitativa é feita através dos pontos de equilíbrio.

O sistema presa – predador está em equilíbrio quando sua variação é nula.

:dx

dt

= ax - Αxy = 0 ® x = 0 ou y =a

Α

dy

dt

= -cy + Γxy = 0 ® y = 0 ou x =c

Γ

Os pontos críticos são:

H0, 0L e

c

Γ

,

a

Α

Análise do sistema linear correspondente próximo do ponto (0,0), desprezando os termos não

lineares

X' = J a 0

0 -c

N X, X' = AX e A = J a 0

0 -c

N H4L

Os autovalores e autovetores do sistema linear (4), são respectivamente,

r1 = a, Ξ1

= J 1

0

N

H5L

r2 = -c, Ξ2

= J 0

1

N

apresentação.nb 7

of 21 Solução geral é da forma:

X = C1 Ξ1

er

1t

+ C2 Ξ2

er

2t

X = c1 J 1

0

N eat

+ c2 J 0

1

N e-ct H6L

Os autovalores têm sinais contrários, neste caso (0,0) é um ponto de sela, logo, instável

8 apresentação.nb

of 21

Vamos analisar agora o ponto J c

Γ

,a

Α

Npara encontrar o sistema linear correspondente ao sistema

não linear (1), fazemos uma mudança de variável:

x = u +

c

Γ

e y = v +

a

Α

H7L

substituindo as Eqs. (7) no sistema (1) e despresando os termos não lineares encontramos o

sistema linear correspondente.

d

dt

J u

v

N =

0-Αc

Γ

Γa

Α

0

J u

v

N e A =

0-Αc

Γ

Γa

Α

0

H8L

Os autovalores do sistema (8) são

det

0 - r-Αc

Γ

Γa

Α

0 - r

= 0

r2

+ ac = 0

r = -i ac e r = i ac H9L

apresentação.nb 9

of 21 As soluções reais do sistema (8) são periódicas de período

2 Τ

ac

:u HtL = k

c

Γ

Cos ac t

v HtL = ka

Α

c

a

Sin ac t

:x HtL =

c

Γ

+ kc

Γ

Cos ac t

y HtL =a

Α

+ ka

Α

c

a

Sin ac t

H10L

As trajetórias do sistema (8) podem ser encontradas fazendo:

du

dv

= -

Αc

Γ

v

Γa

Α

u

Γ2

au

du

dv

= -Α2

cv

à Γ2

au âu = -à Α2

cv âv

Γ2

au2

+ Α2

cv2

= k

u2

k

Γ2

a

+

v2

k

Α2

c

= 1 H11L

onde k é uma constante de integração. Portanto, a Eqs. (11) são elipses em torno do ponto crítico

J c

Γ

,a

Α

N, que é um ponto de equilíbrio chamado de centro, pois fica no centro das trajetórias

elípticas, logo é estável.

10 apresentação.nb

of 21

A transferência das características dos pontos de equilíbrio dos sistemas linearizados (4) e (8)

correspondentes aos pontos críticos do sistema quase linear (1) é dada através do Teorema de

Linearização de Lyaponov-Poincaré.

As trajetórias fechadas em torno do ponto crítico J c

Γ

,a

Α

N descreve o ciclo ecológico.

A questão fundamental que deu origem ao modelo presa - predador foi a observação do biológo

italiano D’Ancona, que constatou um aumento relativo da população de tubarões no Mar Mediterrâ-

neo no período da I Guerra Mundial quando o perigo de bombardeios reduziu a pesca na região.

apresentação.nb 11

of 21EXEMPLO

O sistema abaixo pode ser interpretado como sendo a interação entre duas espécies com densi-

dades populacionais x(t) e y(t)

:dx

dt

= 1.5 x - 0.5 xy

dy

dt

= -0.5 y + xy

H12Londe a = 1.5, Α = 0.5, c = 0.5 e Γ = 1

Os pontos críticos são as soluções do sistema algébrico, onde o sistema está em equilíbrio:

:dx

dt

= 1.5 x - 0.5 xy = 0

dy

dt

= -0.5 y + xy = 0

H13L

[email protected] x - 0.5 x y � 0 && -0.5 y + x y � 0, 8x, y<D

88x ® 0., y ® 0.<, 8x ® 0.5, y ® 3.<<

Logo, os pontos críticos são (0,0) e (0.5,3)


of 21

Para encontrar o sistema linear correspondente ao sistema não linear (12) próximo da origem,

basta desprezar os termos não lineares, logo:

d

dt

J x

y

N = J 1.5 0

0 -0.5

N J x

y

N ou X' = Ax onde A = J 1.5 0

0 -0.5

N H14L

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema linear (14)

A = K1.5 0

0 -0.5

O;

Eigenvalues@AD

81.5, -0.5<Eigenvectors@AD

88-1., 0.<, 80., -1.<<

A solução geral é da forma:

X HtL = c1 J 1

0

N e1.5 t

+ c2 J 0

1

N e-0.5 t

,

x HtL = c1 e1.5 t

e y HtL = c2 e-0.5 t H15L

Assim, a origem é um ponto de sela para o sistema linear (14) e o não - linear (12), e portanto,

instável.


of 21Soluções X HtL = c1 e

1.5 t população de presas, para diferentes valores de c1.

Plot@8-4 [email protected] tD, -2 [email protected] tD, -1 [email protected] tD, 0, 1 [email protected] tD,

2 [email protected] tD, 4 [email protected] tD<, 8t, 0, 2<, AxesLabel -> 8t, x Presas<D

0.5 1.0 1.5 2.0

t

-40

-20

20

40

Presas x


of 21Soluções y HtL = c2 e

-0.5 t população de predadores para diferentes valores de c2.

Plot@8-4 [email protected] tD, -2 [email protected] tD, -1 [email protected] tD, 0, 1 [email protected] tD,

2 [email protected] tD, 4 [email protected] tD<, 8t, 0, 5<, AxesLabel -> 8t, y Predadores<D

1 2 3 4 5

t

-4

-2

2

4

Predadores y


of 21

As trajetórias do sistema (14) são encontradas fazendo

dx

dy

=

1.5 x

-0.5 y

Þ à1

x

âx = à-3

y

ây Þ lnx + 3 lny = k Þ elnx+3 lny

= ek

xy3

= k Þ y =

k

x

3 onde k é uma constante de integração.

PlotB:1

x

3,

2

x

3,

3

x

3,

4

x

3 >, 8x, 0, 10<, AxesLabel -> 8x presas, y Predadores<F

2 4 6 8 10

presas x

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Predadores y


of 21 Para encontrarmos o sistema linear correspondente próximo ao ponto crítico (0.5,3) fazemos uma

mudança de variável:

x = u + 0.5 e y = v + 3 H16LSubstituindo as Eqs.(16) no sistema não linear (12) encontramos o sistema

du

dt

= -0.25 v - 0.5 uv

dv

dt

= 3 u + uv

Desprezando os termos não lineares, encontramos

d

dt

J u

v

N = J 0 -0.25

3 0

N J u

v

N ou U' = BU onde B = J 0 -0.25

3 0

N, U = J u

v

N H17L


of 21 Os autovalores e autovetores da matriz B do sistema (17) são

B = K0 -0.25

3 0

O

880, -0.25<, 83, 0<<Eigenvalues@BD

80. + 0.866025 ä, 0. - 0.866025 ä<Eigenvectors@BD

880. - 0.27735 ä, -0.960769 + 0. ä<, 80. + 0.27735 ä, -0.960769 + 0. ä<<

Como os autovalores são imaginários puros o ponto crítico (0.5 , 3) é um centro do sistema linear

(17) e, portanto, um ponto crítico estável para esse sistema. Representa um ponto de equilíbrio

estável para as populações de presas e predadores.


of 21As trajetórias são encontradas fazendo

dv

du

=

3 u

-0.25 v

à -0.25 v âv = à 3 u âu

3 u2

+ 0.25 v2

= K

Onde é uma constante de integração. As trajetórias do sistema (17) são elipses centradas no

ponto crítico (0.5,3)

s = DSolveBv'@uD �

3 u

-0.25 v@uD, v, uF;

Plot@Evaluate@v@uD �. s �. C@1D ® Range@0, 10DD, 8u, -5, 5<, AxesLabel ® 8u, v<D

-4 -2 2 4

u

-4

-2

2

4

v


of 21s1 = DSolveBy'@xD �

3 Hx - 0.5L

-0.25 Hy@xD - 3L, y, xF;

Plot@Evaluate@y@xD �. s1 �. C@1D ® Range@-10, 10DD, 8x, -5, 5<, AxesLabel ® 8x, y<D

-4 -2 2 4

x

-2

2

4

6

8

y

Tajetórias do sistema (17) nas variáveis x(t) e y(t) em torno do ponto de equilíbrio (0.5,3).


of 21

Usando as Eqs. (10), podemos encontrar soluções para o sistema linear (12)

x HtL =

c

Γ

+ k

c

Γ

Cos ac t e y HtL =

a

Α

+ k

a

Α

c

a

Sin ac t

a = 1.5; Α = 0.5; c = 0.5; Γ = 1;

k = 10;

PlotB:c

Γ

+ k

c

Γ

CosB a c tF ,

a

Α

+ k

a

Α

c

a

SinB a c tF >,

8t, 0, 10<, PlotLegends ® "Expressions", AxesLabel ® 8Tempo, yx<F

2 4 6 8 10

Tempo

-15

-10

-5

5

10

15

20

yx

0.5 ´1

1

+ 10 ´ 0.5 cosJ 1.5 ´ 0.5 tN

1.5

0.5

+

10 ´ 1.5

0.5

1.5

sin 1.5 ´ 0.5 t

0.5


of 21 BIBLIOGRAFIA

BOYCE, William E. & DI PRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de

Valores de Contorno. 8º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.

FIGUEIREDO, Djairo Guedes de e NEVES, Aloísio Ferreira. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio

de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (CMU) e CNPq,1997.

Rodney, Carlos Bassanezi. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estraté-

gia. 3ª edição - São Paulo - SP: Contexto, 2006.


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