Modelos Bidimensionais Contínuos - IME-USPgiapaula/Aula 11-Modelos Bidimensionais II... ·...
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Modelos Bidimensionais Contínuos
Bacharelado em Economia - FEA - Noturno
1o Semestre 2016
Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 1 / 54
Objetivos da Aula
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 2 / 54
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Nesta aula discutiremos alguns conceitos envolvendo VariáveisAleatórias Contínuas Bidimensionais, as definições de funçãodensidade de probabilidade conjunta, função densidade deprobabilidade marginal e função densidade de probabilidadecondicional, bem como o cálculo de esperança e variânciacondicional. Discutiremos o conceito de independência entre variáveisaleatórias e apresentaremos a definição de covariância e correlaçãolinear entre variáveis aleatórias. Alguns exemplos serão apresentados.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 3 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 4 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua univariada.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
distância percorrida
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 5 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 6 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade. Em termos matemáticos
∫
+∞
−∞
f (x)dx = 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 6 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5] (X ∼ U[1, 5]),a função densidade de probabilidade de X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 7 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5] (X ∼ U[1, 5]),a função densidade de probabilidade de X é definida por
f (x) = 1
4 1 ≤ x ≤ 5,0 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 7 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Descrição de f (x)
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 8 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 9 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral
∫ 5
1
14
dx =14
∫ 5
1dx
=14
x |51
=14(5 − 1)
=44= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 9 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 10 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b]. Em termos matemáticos
P(a ≤ X ≤ b) =∫ b
af (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 10 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 11 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral
∫ 2
1
14
dx =14
∫ 2
1dx
=14
x |21
=14(2 − 1)
=14= 0, 25.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 11 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
Descrição P(1 ≤ X ≤ 2)
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 12 / 54
Esperança
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 13 / 54
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 14 / 54
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por
µ = E(X ) =
∫
+∞
−∞
xf (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 14 / 54
Variância
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 15 / 54
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 16 / 54
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − E(X )]2
= E(X 2)− [E(X )]2,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 16 / 54
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − E(X )]2
= E(X 2)− [E(X )]2,
em que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 16 / 54
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − E(X )]2
= E(X 2)− [E(X )]2,
em que
E(X 2) =
∫
+∞
−∞
x2f (x)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 16 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 17 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
(altura, idade)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
(altura, idade)
(custo do sinistro, valor do seguro)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
(altura, idade)
(custo do sinistro, valor do seguro)
(temperatura mínima, temperatura máxima)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
(altura, idade)
(custo do sinistro, valor do seguro)
(temperatura mínima, temperatura máxima)
(saldo poupança, saldo fundo investimento)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Definição
Uma função (X ,Y ) definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua bivariada.
Exemplos
(altura, idade)
(custo do sinistro, valor do seguro)
(temperatura mínima, temperatura máxima)
(saldo poupança, saldo fundo investimento)
(despesas médicas, despesas com educação)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 18 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Função densidade de probabilidade conjunta
A função densidade de probabilidade conjunta de uma variávelaleatória bidimensional (X ,Y ) é uma função f (x , y) ≥ 0 cujo volumetotal sob a superfície seja igual à unidade.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 19 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Função densidade de probabilidade conjunta
A função densidade de probabilidade conjunta de uma variávelaleatória bidimensional (X ,Y ) é uma função f (x , y) ≥ 0 cujo volumetotal sob a superfície seja igual à unidade. Em termos matemáticos
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
f (x , y)dxdy = 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 19 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo distribuição bidimensional
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional no domínio[0, 1]× [0, 1] com função densidade de probabilidade conjunta definidapor
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 20 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo distribuição bidimensional
Seja (X ,Y ) uma variável aleatória bidimensional no domínio[0, 1]× [0, 1] com função densidade de probabilidade conjunta definidapor
f (x , y) =
4xy 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 10 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 20 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Descrição de f (x , y)
x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f(x,y)
0
1
2
3
4
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 21 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Distribuição Uniforme Bidimensional
O volume total sob a superfície pode ser calculada diretamente pelasolução da integral dupla
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 22 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Distribuição Uniforme Bidimensional
O volume total sob a superfície pode ser calculada diretamente pelasolução da integral dupla
∫ 1
0
∫ 1
04xydxdy = 4
∫ 1
0xdx
∫ 1
0ydy
= 4[x2/2]10[y2/2]10
= 4 × (1/2)× (1/2)
= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 22 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) corresponde ao volume soba superfície formada pelos intervalos [a, b]× [c, d ].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 23 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) corresponde ao volume soba superfície formada pelos intervalos [a, b]× [c, d ]. Em termosmatemáticos
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =∫ b
a
∫ d
cf (x , y)dxdy .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 23 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo distribuição bidimensional
A probabilidade P(0 ≤ X ≤ 1/2; 0 ≤ Y ≤ 1/2) pode ser calculadadiretamente pela solução da integral dupla
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 24 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo distribuição bidimensional
A probabilidade P(0 ≤ X ≤ 1/2; 0 ≤ Y ≤ 1/2) pode ser calculadadiretamente pela solução da integral dupla
∫ 1/2
0
∫ 1/2
04xydxdy = 4
∫ 1/2
0xdx
∫ 1/2
0ydy
= 4[x2/2]1/20 [y2/2]1/2
0
= 4 × (1/8)× (1/8)
= 1/16.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 24 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Descrição do domínio de (0 ≤ X ≤ 1/2; 0 ≤ Y ≤ 1/2)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 25 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições marginais
As funções densidade de probabilidade marginais de X e Y são,respectivamente, definidas por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 26 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições marginais
As funções densidade de probabilidade marginais de X e Y são,respectivamente, definidas por
fX (x) =
∫
+∞
−∞
f (x , y)dy e
fY (y) =
∫
+∞
−∞
f (x , y)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 26 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Esperanças marginais
Consequentemente temos que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 27 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Esperanças marginais
Consequentemente temos que
E(X ) =
∫
+∞
−∞
xfX (x)dx e
E(Y ) =
∫
+∞
−∞
yfY (y)dy .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 27 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variâncias marginais
As variâncias de X e Y são definidas por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 28 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variâncias marginais
As variâncias de X e Y são definidas por
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2 e
Var(Y ) = E(Y 2)− [E(Y )]2.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 28 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variâncias marginais
As variâncias de X e Y são definidas por
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2 e
Var(Y ) = E(Y 2)− [E(Y )]2.
em que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 28 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variâncias marginais
As variâncias de X e Y são definidas por
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2 e
Var(Y ) = E(Y 2)− [E(Y )]2.
em que
E(X 2) =
∫
+∞
−∞
x2fX (x)dx e E(Y 2) =
∫
+∞
−∞
y2fY (y)dy .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 28 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições condicionais
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y0 édefinida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 29 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições condicionais
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y0 édefinida por
f (x |y0) =f (x , y0)
fY (y0)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 29 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições condicionais
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y0 édefinida por
f (x |y0) =f (x , y0)
fY (y0)
para fY (y0) > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 29 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições condicionais
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y0 édefinida por
f (x |y0) =f (x , y0)
fY (y0)
para fY (y0) > 0. Similarmente, a função densidade de probabilidadecondicional de Y dado X = x0 é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 29 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Distribuições condicionais
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y0 édefinida por
f (x |y0) =f (x , y0)
fY (y0)
para fY (y0) > 0. Similarmente, a função densidade de probabilidadecondicional de Y dado X = x0 é definida por
f (y |x0) =f (x0, y)fX (x0)
para fX (x0) > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 29 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Independência
Independência entre X e Y
As variáveis aleatórais X e Y são ditas independentes se
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 30 / 54
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Independência
Independência entre X e Y
As variáveis aleatórais X e Y são ditas independentes se
f (x , y) = fX (x)fY (y),
para todo par (x , y).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 30 / 54
Exemplo
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 31 / 54
Exemplo
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo
Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além doatendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção dotempo gasto com o serviço personalizado e com o serviço de caixaconvencional, respectivamente.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 32 / 54
Exemplo
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo
Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além doatendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção dotempo gasto com o serviço personalizado e com o serviço de caixaconvencional, respectivamente. Vamos supor que (X ,Y ) têm funçãodensidade de probabilidade conjunta dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 32 / 54
Exemplo
Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
Exemplo
Um banco resolveu apostar num serviço personalizado além doatendimento convencional. Em um dia sejam X e Y a proporção dotempo gasto com o serviço personalizado e com o serviço de caixaconvencional, respectivamente. Vamos supor que (X ,Y ) têm funçãodensidade de probabilidade conjunta dada por
f (x , y) = 6
5(x + y2) 0 < x < 1; 0 < y < 10 c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 32 / 54
Exemplo
Descrição de f (x , y)
x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f(x,y)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 33 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O volume total sob a superfície deve valer 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 34 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
O volume total sob a superfície deve valer 1.
∫ 1
0
∫ 1
0
65(x + y2)dxdy =
65
∫ 1
0(
∫ 1
0(x + y2)dx)dy
=65
∫ 1
0(
∫ 1
0xdx +
∫ 1
0y2dx)dy
=65
∫ 1
0(12+ y2)dy
=65(
∫ 1
0
12
dy +
∫ 1
0y2dy)
=65(12+
y3
3|10) =
65(12+
13)
= 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 34 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Qual a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia?
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 35 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Qual a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia?
P(0 < X < 1/4; 0 < Y < 1/4) =65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0(x + y2)dy)dx
=65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0xdx +
∫ 1/4
0y2dy)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 35 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Qual a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia?
P(0 < X < 1/4; 0 < Y < 1/4) =65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0(x + y2)dy)dx
=65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0xdx +
∫ 1/4
0y2dy)dx .
em que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 35 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Qual a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia?
P(0 < X < 1/4; 0 < Y < 1/4) =65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0(x + y2)dy)dx
=65
∫ 1/4
0(
∫ 1/4
0xdx +
∫ 1/4
0y2dy)dx .
em que
∫ 1/4
0xdy +
∫ 1/4
0y2dy =
x4+
y3
3|1/40 =
x4+
1192
.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 35 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Então a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 36 / 54
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Então a probabilidade de ambos os serviços não ocuparem mais doque 1/4 do tempo num determinado dia fica dada por
P(0 < X < 1/4; 0 < Y < 1/4) =65
∫ 1/4
0(x4+
1192
)dx
=65(
∫ 1/4
0
x4
dx +
∫ 1/4
0
1192
dx)
=65(x2
8|1/40 +
1192
14)
=65(1/16
8+
1192
14)
=7
640.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 36 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuições marginais
As funções densidade de probabilidade marginais de X e Y são,respectivamente, dadas por
fX (x) =65
∫ 1
0(x + y2)dy e
fY (y) =65
∫ 1
0(x + y2)dx .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 37 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição marginal de X
A função densidade de probabilidade marginal de X fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 38 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição marginal de X
A função densidade de probabilidade marginal de X fica dada por
fX (x) =65
∫ 1
0(x + y2)dy
=65(x +
∫ 1
0y2dy
=65(x +
y3
3|10)
=65(x +
13), 0 < x < 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 38 / 54
Exemplo
Descrição de fX (x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 39 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição marginal de Y
A função densidade de probabilidade marginal de Y fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 40 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição marginal de Y
A função densidade de probabilidade marginal de Y fica dada por
fY (y) =65
∫ 1
0(x + y2)dx
=65(
∫ 1
0xdx + y2)
=65(x2
2|10 + y2)
=65(12+ y2), 0 < y < 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 40 / 54
Exemplo
Descrição de fY (y)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
y
f(y)
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 41 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição condicional
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = 0, 5fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 42 / 54
Exemplo
Exemplo
Distribuição condicional
A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y = 0, 5fica dada por
f (x |y = 0, 5) =f (x , y = 0, 5)fY (y = 0, 5)
=65(x + 1
4)65(
12 + 1
4)
=43(x +
14)
para 0 < x < 1.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 42 / 54
Exemplo
Exemplo
Esperança de X
A esperança de X fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 43 / 54
Exemplo
Exemplo
Esperança de X
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
∫ 1
0xfX (x)dx
=
∫ 1
0
65
x(x +13)dx
=65
∫ 1
0x2dx +
65
∫ 1
0
x3
dx
=65
x3
3|10 +
65
13
x2
2|10
=6
15+
630
=35.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 43 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de XTemos que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 44 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de XTemos que
E(X 2) =
∫ 1
0x2fX (x)dx
=
∫ 1
0
65
x2(x +13)dx
=65(
∫ 1
0x3dx +
∫ 1
0
x2
3dx)
=6
20+
630
=12.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 44 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de XTemos que
E(X 2) =
∫ 1
0x2fX (x)dx
=
∫ 1
0
65
x2(x +13)dx
=65(
∫ 1
0x3dx +
∫ 1
0
x2
3dx)
=6
20+
630
=12.
Assim, Var(X ) = 12 − (3
5)2 = 7
50 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 44 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de XTemos que
E(X 2) =
∫ 1
0x2fX (x)dx
=
∫ 1
0
65
x2(x +13)dx
=65(
∫ 1
0x3dx +
∫ 1
0
x2
3dx)
=6
20+
630
=12.
Assim, Var(X ) = 12 − (3
5)2 = 7
50 . Logo, DP(X ) =√
7/50 ∼= 0, 374.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 44 / 54
Exemplo
Exemplo
Esperança de Y
A esperança de Y fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 45 / 54
Exemplo
Exemplo
Esperança de Y
A esperança de Y fica dada por
E(Y ) =
∫ 1
0yfY (y)dy
=
∫ 1
0
65
y(12+ y2)dy
=65
∫ 1
0
y2
dy +65
∫ 1
0y3dy
=6
10y2
2|10 +
65
y4
4|10
=6
20+
620
=35.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 45 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de YTemos que
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 46 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de YTemos que
E(Y 2) =
∫ 1
0y2fY (y)
=
∫ 1
0
65
y2(12+ y2)dy
=65
∫ 1
0
y2
2dy +
65
∫ 1
0y4dy
=15+
625
=1125
.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 46 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de YTemos que
E(Y 2) =
∫ 1
0y2fY (y)
=
∫ 1
0
65
y2(12+ y2)dy
=65
∫ 1
0
y2
2dy +
65
∫ 1
0y4dy
=15+
625
=1125
.
Assim, Var(Y ) = 1125 − (3
5)2 = 1
25 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 46 / 54
Exemplo
Exemplo
Variância de YTemos que
E(Y 2) =
∫ 1
0y2fY (y)
=
∫ 1
0
65
y2(12+ y2)dy
=65
∫ 1
0
y2
2dy +
65
∫ 1
0y4dy
=15+
625
=1125
.
Assim, Var(Y ) = 1125 − (3
5)2 = 1
25 . Logo, DP(Y ) =√
1/25 = 0, 20.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 46 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 47 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Coeficiente de Correlação Linear
O coeficiente de correlação linear entre X e Y é definido por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 48 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Coeficiente de Correlação Linear
O coeficiente de correlação linear entre X e Y é definido por
ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )
√
Var(X)√
Var(Y ),
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 48 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Coeficiente de Correlação Linear
O coeficiente de correlação linear entre X e Y é definido por
ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )
√
Var(X)√
Var(Y ),
em que Cov(X ,Y ) = E(XY )− E(X )E(Y ) e
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 48 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Coeficiente de Correlação Linear
O coeficiente de correlação linear entre X e Y é definido por
ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )
√
Var(X)√
Var(Y ),
em que Cov(X ,Y ) = E(XY )− E(X )E(Y ) e
E(XY ) =
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
xyf (x , y)dxdy .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 48 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Exemplo
Esperança de XY
E(XY ) =
∫ 1
0
∫ 1
0xy
65(x + y2)dxdy
=65
∫ 1
0(
∫ 1
0(x2y + xy3)dx)dy
=65
∫ 1
0(y
x3
3|10 + y3 x2
2|10)dy
=65
∫ 1
0(y3+
y3
2)dy
=6
15(y2
2|10) +
610
(y4
4|10)
=6
1512+
610
14=
720
.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 49 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Então, Cov(X ,Y ) = 7/20 − (3/5)(3/5) = −0, 01 e o coeficiente decorrelação linear entre X e Y fica por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 50 / 54
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de Correlação Linear
Coeficiente de correlação linear
Então, Cov(X ,Y ) = 7/20 − (3/5)(3/5) = −0, 01 e o coeficiente decorrelação linear entre X e Y fica por
ρ(X ,Y ) =−0, 01
√
7/50√
1/25= −0, 134.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 50 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Sumário
1 Objetivos da Aula
2 Variáveis Aleatórias Contínuas Univariadas
3 Esperança
4 Variância
5 Variáveis Aleatórias Contínuas Bivariadas
6 Exemplo
7 Coeficiente de Correlação Linear
8 Distribuição Normal Bivariada
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 51 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
Se (X ,Y ) têm distribuição normal bivariada de médias (µx , µy ),variâncias (σ2
x , σ2y ) e coeficiente de correlação linear ρ, então a função
densidade de probabilidade conjunta é definida por
f (x , y) =1
2πσxσy
√
1 − ρ2exp[−
12(1 − ρ2)
(x − µx
σx)2
−2ρ(x − µx)(y − µy )
σxσy+ (
y − µy
σy)2],
para −∞ < x , y < +∞.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 52 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Densidade Normal Bivariada
x
−4
−2
0
2
4
y
−4
−2
0
2
4
f(x,y)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 53 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
Marginais e Condicionais
Se (X ,Y ) têm distribuição normal bivariada de médias (µx , µy ),variâncias (σ2
x , σ2y ) e coeficiente de correlação linear ρ, então
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 54 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
Marginais e Condicionais
Se (X ,Y ) têm distribuição normal bivariada de médias (µx , µy ),variâncias (σ2
x , σ2y ) e coeficiente de correlação linear ρ, então
as distribuições marginais são normais X ∼ N(µx , σ2x ) e
Y ∼ N(µy , σ2y );
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 54 / 54
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
Marginais e Condicionais
Se (X ,Y ) têm distribuição normal bivariada de médias (µx , µy ),variâncias (σ2
x , σ2y ) e coeficiente de correlação linear ρ, então
as distribuições marginais são normais X ∼ N(µx , σ2x ) e
Y ∼ N(µy , σ2y );
as distribuições condicionais X |Y = y0 e Y |X = x0 são normais,respectivamente, N(µx + ρσx
σy(y0 − µy ), σ
2x (1 − ρ2)) e
N(µy + ρσyσx(x0 − µx), σ
2y (1 − ρ2)).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Modelos Bidimensionais Contínuos 1o Semestre 2016 54 / 54