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Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite

Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello

UFES – Universidade Federal do Espırito SantoDI – Departamento de Informatica

CEUNES – Centro Universitario Norte do Espırito SantoDCEL – Departamento de Computacao e Eletronica

Variaveis Aleatorias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22

Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas

Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.

Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como

F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .

Obtemos a funcao cumulativa de X a partir da distribuicaoconjunta fazendo

FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .

Similarmente, a funcao cumulativa de Y e dada por

FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .



Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.

Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como

F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .


FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .


FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .



Antes: distribuicoes de probabilidade com uma unica VA.Agora: expressoes de probabilidade envolvendo duas ou maisVAs.Sejam X e Y duas VAs. A funcao distribuicao deprobabilidade cumulativa conjunta de X e Y e definida como

F (a, b) = P(X ≤ a,Y ≤ b), a, b ∈ R .


FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ a,Y ≤ ∞) = F (a,∞) .


FY (b) = P(Y ≤ b) = F (∞, b) .


Variaveis Aleatorias Conjuntamente Distribuıdas (cont.)

Se X e Y sao VAs discretas entao podemos definir a funcaode probabilidade conjunta de X e Y como

p(x , y) = P(X = x ,Y = y) .

As funcoes de probabilidade de X e Y sao obtidas a partir dep(x , y) tomando-se

pX (x) =∑

y :p(x ,y)>0p(x , y) pY (y) =

∑x :p(x ,y)>0

p(x , y) .



Se X e Y sao VAs contınuas, entao elas sao ditasconjuntamente contınuas se existir uma funcao f (x , y), comdomınio R× R, onde

P(X ∈ A,Y ∈ B) =

∫B

∫A

f (x , y) dx dy ,

para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.

A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se

fX (x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy fY (y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx .




P(X ∈ A,Y ∈ B) =

∫B

∫A

f (x , y) dx dy ,

para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .

As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se

fX (x) =

∫ ∞−∞


∫ ∞−∞

f (x , y)dx .




P(X ∈ A,Y ∈ B) =

∫B

∫A

f (x , y) dx dy ,

para todos os possıveis conjuntos de numeros reais A,B ⊆ R.A funcao f (x , y) e chamada de funcao densidade deprobabilidade conjunta de X e Y .As funcoes densidade de probabilidade de X e Y sao obtidas apartir de f (x , y) tomando-se

fX (x) =

∫ ∞−∞


∫ ∞−∞

f (x , y)dx .



Proposicao 1Se X e Y sao VAs e g e uma funcao de duas variaveis, entao

E [g(X ,Y )] =∑

y

∑x

g(x , y) p(x , y) no caso discreto

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x , y) f (x , y) dx dy no caso contınuo.



Exemplo 1Se g(X ,Y ) = X + Y , entao, no caso contınuo

E [X + Y ] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x + y) f (x , y) dx dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x f (x , y) dx dy +

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

y f (x , y) dx dy

= E [X ] + E [Y ] .

Para o caso discreto, e para quaisquer constantes a e b, tem-se

E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ] .



Exemplo 2Calcule o valor esperado da soma obtida quando tres dadoshonestos sao rolados.

Solucao: Tome X como a VA indicando a soma. EntaoX = X1 + X2 + X3, onde Xi representa o valor obtido no i-esimodado. Logo

E [X ] = E [X1] + E [X2] + E [X3] = 3(7/2) = 21/2 .



Exemplo 2Calcule o valor esperado da soma obtida quando tres dadoshonestos sao rolados.Solucao: Tome X como a VA indicando a soma. EntaoX = X1 + X2 + X3, onde Xi representa o valor obtido no i-esimodado. Logo

E [X ] = E [X1] + E [X2] + E [X3] = 3(7/2) = 21/2 .



Exemplo 3Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parametros ne p.

Solucao: A VA X indica o numero de sucessos em nexperimentos, onde a probabilidade de sucesso de cadaexperimento e p. Assim, temos que

X = X1 + X2 + . . .+ Xn ,

onde cada Xi e uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p. Logo

E [X ] = E [X1] + E [X2] + . . .+ E [Xn] = np .



Exemplo 3Calcule o valor esperado de uma VA binomial X com parametros ne p.Solucao: A VA X indica o numero de sucessos em nexperimentos, onde a probabilidade de sucesso de cadaexperimento e p. Assim, temos que

X = X1 + X2 + . . .+ Xn ,

onde cada Xi e uma VA de Bernoulli com E [Xi ] = p. Logo

E [X ] = E [X1] + E [X2] + . . .+ E [Xn] = np .


Variaveis Aleatorias Independentes

As VAs X e Y sao independentes se para todo a, b

P(X ≤ a,Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,

isto e, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} sao independentes.

Se X e Y sao independentes, entao

F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b .

No caso discreto, temos p(x , y) = pX (x) pY (y).Para o caso contınuo, vale f (x , y) = fX (x) fY (y).Provas: Ross, Cap. 2.


Variaveis Aleatorias Independentes

As VAs X e Y sao independentes se para todo a, b

P(X ≤ a,Y ≤ b) = P(X ≤ a) P(Y ≤ b) ,

isto e, se os eventos {X ≤ a} e {Y ≤ b} sao independentes.Se X e Y sao independentes, entao

F (a, b) = FX (a) FY (b) para todo a, b .

No caso discreto, temos p(x , y) = pX (x) pY (y).Para o caso contınuo, vale f (x , y) = fX (x) fY (y).Provas: Ross, Cap. 2.


Variaveis Aleatorias Independentes (cont.)

Proposicao 2Se as VAs X e Y sao independentes entao para quaisquer funcoesg e h:

E [g(X ) h(Y )] = E [g(X )] E [h(Y )] .

Proposicao 3Se X1, . . . ,Xn sao VAs independentes, entao:

V( n∑

i=1Xi

)=

n∑i=1

V (Xi ) .



Media Amostral

Se X1, . . . ,Xn sao independentes e identicamente distribuıdas,entao a VA X =

∑ni=1 Xi/n e chamada de media amostral.

Se E [Xi ] = µ e V (Xi ) = σ2, entao

E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .

Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem

V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .



Media Amostral




E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .

Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.

Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem

V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .



Media Amostral




E [X ] = µ V (X ) = σ2/n .

Exemplo 4Calcule a variancia de uma VA binomial X com parametros n e p.Solucao: Temos que X = X1 + . . .+ Xn, onde cada Xi e uma VAde Bernoulli com V (Xi ) = p(1− p). Da Proposicao 3, vem

V (X ) = V (X1) + . . .+ V (Xn) = n p(1− p) .


Teoremas de Limite

Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.Prova:

E [X ] =

∫ ∞0

xf (x)dx

=

∫ a

0xf (x)dx +

∫ ∞a

xf (x)dx

≥∫ ∞

axf (x)dx

≥∫ ∞

aaf (x)dx

= a∫ ∞

af (x)dx = aP(X ≥ a)


Teoremas de Limite

Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.

Prova:

E [X ] =

∫ ∞0

xf (x)dx

=

∫ a

0xf (x)dx +

∫ ∞a

xf (x)dx

≥∫ ∞

axf (x)dx

≥∫ ∞

aaf (x)dx

= a∫ ∞



Teoremas de Limite

Proposicao 4 – Desigualdade de MarkovSeja X uma VA tomada somente para valores nao negativos, entaopara qualquer a > 0: P(X ≥ a) ≤ E [X ]/a.Prova:

E [X ] =

∫ ∞0

xf (x)dx

=

∫ a

0xf (x)dx +

∫ ∞a

xf (x)dx

≥∫ ∞

axf (x)dx

≥∫ ∞

aaf (x)dx

= a∫ ∞



Teoremas de Limite (cont.)

Proposicao 5 – Desigualdade de ChebyshevSeja X uma VA com media µ e variancia σ2, entao para qualquerk > 0:

P(|X − µ| ≥ k) ≤ σ2

k2

Prova: Como (X − µ)2 e uma VA nao-negativa, podemos usar adesigualdade de Markov (com a = k2) para obter

P((X − µ)2 ≥ k2) ≤ E [(X − µ)2]

k2 =σ2

k2 .

Para se completar a prova basta observar que(X − µ)2 ≥ k2 ⇐⇒ |X − µ| ≥ k.



Utilidade

As desigualdades de Markov e Chebyshev sao importantes poispermitem estabelecer limites de probabilidades quandosomente a media e/ou variancia sao conhecidas, isto e, adistribuicao de probabilidade e desconhecida.Exemplo: Analise estatıstica de dados.Se a distribuicao for conhecida as probabilidades desejadaspodem ser calculadas de forma exata e nao e necessario usarlimites.



Exemplo 5Atraves de uma analise do historico de producao de uma fabricaverificou-se que o numero de itens produzidos em uma semana euma VA com media 500 e variancia 100.

a O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producaodessa semana seja ao menos 1000?

b O que se pode dizer sobre a probabilidade de que a producaodessa semana fique entre 400 e 600?



Exemplo 5 – SolucaoX : o numero de itens produzidos em uma semana.

a Pela Desigualdade de Markov:

P(X ≥ 1000) ≤ E [X ]

1000 =500

1000 =12 .

b Pela Desigualdade de Chebyshev:

P(|X − 500| ≥ 100) ≤ σ2

1002 =1

100 .

Logo,P(|X − 500| < 100) ≥ 1− 1

100 =99

100e podemos concluir que a probabilidade da producao dessasemana ficar entre 400 e 600 e ao menos 0.99.



O teorema a seguir e um resultado famoso da teoria deprobabilidade.Descricao: a media de uma sequencia de VAs independentescom a mesma distribuicao converge com probabilidade 1 paraa media da distribuicao.

Teorema 1 - Lei dos Grandes NumerosSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, e seja E [Xi ] = µ. Entao, comprobabilidade 1,

X1 + . . .+ Xnn → µ quando n→∞ .


Teoremas de Limite (cont.)O teorema a seguir fornece um metodo aproximado para secalcular a probabilidade da soma de VAs independentes.Tambem explica o fato de que as frequencias empıricas demuitas populacoes naturais exibem uma curva normal.

Teorema 2 - Teorema do Limite CentralSejam X1, . . . ,Xn uma sequencia de VAs independentes com umadistribuicao em comum, com media µ e variancia σ2. Adistribuicao da VA definida como

X1 + . . .+ Xn − nµσ√

n

tende para a distribuicao normal padrao quando n→∞. Isto e,

P[

X1 + . . .+ Xn − nµσ√

n ≤ a]→ 1√

2π

∫ a

−∞e − x2/2dx .



Observacao: o Teorema do Limite Central se aplica para qualquerdistribuicao de Xi .

Exemplo 6

A vida util de uma bateria e uma VA com media de 40 horas edesvio padrao de 20 horas.Uma bateria e utilizada ate falhar quando e entao substituıdapor uma nova.Assumindo um estoque de 25 baterias, todas com vida utilindependente, calcule uma aproximacao para probabilidade deque mais de 1100 horas de uso sejam obtidas.



Exemplo 6 – SolucaoXi : vida util da i-esima bateria utilizada.Busca-se p = P(X1 + . . .+ X25 > 1100), que pode ser aproximadapor

p = P[

X1 + . . .+ X25 − 100020√

25>

1100− 100020√

25

]≈ P[N(0, 1) > 1]

= 1− Φ(1)

≈ 0.1587


Processos Estocasticos

DefinicaoUm processo estocastico (PE) {X (t), t ∈ T} e uma colecao deVAs, isto e, para cada t ∈ T , X (t) e uma VA.

O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.




O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.

Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.




O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.

O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.




O ındice t pode ser interpretado como tempo. Nesse caso,X (t) e chamado de estado do processo no tempo t.Exemplos: X (t) = numero total de clientes que entraram emum supermercado no tempo t; ou o numero total de vendasfeitas em uma loja no tempo t, etc.O conjunto T e chamado de conjunto indexador dos processos.T e contavel ⇒ PE de tempo discreto.T e um intervalo real ⇒ PE de tempo contınuo.


Processos Estocasticos (cont.)

Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.

O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.



Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.

⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.



Exemplos: {Xn, n = 0, 1, . . .} e um PE de tempo discretoindexado por inteiros nao-negativos. {X (t), t ≥ 0} e um PEde tempo contınuo indexado por numeros nao-negativos.O conjunto de todos os possıveis valores que as VAs podemassumir e chamado de espaco de estados de um processoestocastico.⇒ um PE e uma famılia de VAs que descrevem a evolucao notempo de algum processo do mundo real.


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