Modelos Teóricos Modelos Teóricos Discretos de Discretos de ProbabilidadeProbabilidade

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Modelos Teóricos Discretos de Modelos Teóricos Discretos de ProbabilidadeProbabilidade

Na resolução de problemas estatísticos, Na resolução de problemas estatísticos, muitos deles apresentam muitos deles apresentam características características semelhantessemelhantes..

Portanto, pode-se desenvolver Portanto, pode-se desenvolver modelos modelos específicosespecíficos para cada tipo de problema, em para cada tipo de problema, em função de suas características:função de suas características:– Os Os possíveis valorespossíveis valores que a variável aleatória x pode que a variável aleatória x pode

assumirassumir– A A função de probabilidadefunção de probabilidade associada à variável associada à variável

aleatória xaleatória x– O O valor esperadovalor esperado da variável aleatória da variável aleatória– A A variância e o desvio-padrãovariância e o desvio-padrão da variável aleatória da variável aleatória

x. x.

Distribuição de BernoulliDistribuição de Bernoulli

Características do modelo:Características do modelo:– Variável aleatória x só pode assumir valores 0 e Variável aleatória x só pode assumir valores 0 e

1.1.– P(x=0)=q e P(x=1) = pP(x=0)=q e P(x=1) = p– Onde p + q =1Onde p + q =1

Descrição do modelo:Descrição do modelo:– Neste caso o , e Neste caso o , e

p qpx )(2

qpx .)(

Distribuição de BernoulliDistribuição de Bernoulli Exemplo: Exemplo:

– No lançamento de uma moeda, a variável No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x anota o número de caras obtidas. aleatória x anota o número de caras obtidas. Determine a média, a variância e o desvio-Determine a média, a variância e o desvio-padrão.padrão. Neste caso os valores de x são 0 e 1, portanto é uma Neste caso os valores de x são 0 e 1, portanto é uma

distribuição Bernoulli.distribuição Bernoulli.

– Então:Então:

– Média: Média:

– Variância:Variância:

– Desvio-padrão: Desvio-padrão:

XX 00 11

P(xP(x))

0,0,55

0,0,55

p 5,0

qpx )(2 25,05,05,0

qpx .)( 5,025,0

Distribuição de Bernoulli Distribuição de Bernoulli - exercícios -- exercícios -

Uma caixa contém 12 canetas das Uma caixa contém 12 canetas das quais 5 são defeituosas. Uma caneta quais 5 são defeituosas. Uma caneta é selecionada ao acaso e a variável é selecionada ao acaso e a variável aleatória x anota o número de aleatória x anota o número de canetas defeituosas obtidas. canetas defeituosas obtidas. Determine a média e o desvio-Determine a média e o desvio-padrão de x.padrão de x.

– Resp: Média =1/6 e Desv. Padr = 0,37Resp: Média =1/6 e Desv. Padr = 0,37

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Características do modelo:Características do modelo:

– Experimento admite apenas dois resultados – S: Sucesso, F: Experimento admite apenas dois resultados – S: Sucesso, F: fracasso.fracasso.

– Com p(S)=p e p(F)=q - Com eventos independentes.Com p(S)=p e p(F)=q - Com eventos independentes.– Onde ocorrem “k” sucesso e “(n-k)” fracassos.Onde ocorrem “k” sucesso e “(n-k)” fracassos.

Descrição do modelo:Descrição do modelo:– X: 0, 1, 2, 3, ......., nX: 0, 1, 2, 3, ......., n

– . Onde k = numero de sucesso e. Onde k = numero de sucesso e

– Média:Média:

– Variância: Variância:

pn

qpnx ..2

knk qpk

nkxp

)(

!)!(

!

kkn

n

k

n

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Exemplo:Exemplo:

– Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo

uma peça defeituosa, a média e o desvio padrãouma peça defeituosa, a média e o desvio padrão..

Experimento: Examinar uma peça. Experimento: Examinar uma peça. CD - CD - p(cd)=0,1p(cd)=0,1

SD - p(sd)=0,9SD - p(sd)=0,9

N= 12 repetições independentes.N= 12 repetições independentes. Se convencionarmos CD como sucesso. Então Se convencionarmos CD como sucesso. Então

estamos procurando por 1 sucesso (k=1)estamos procurando por 1 sucesso (k=1)

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Respostas :Probabilidade:Respostas :Probabilidade:

– MasMas

– Então:Então:

– A probabilidade de sair uma peça com defeito é de A probabilidade de sair uma peça com defeito é de 37,66%. Logo, a probabilidade de sair um a peça 37,66%. Logo, a probabilidade de sair um a peça sem defeito é 62,34%sem defeito é 62,34%

1121 )9,0()1,0(1

12

k

n

knk qpk

nkxp

)(

!)!(

!

kkn

n

k

n

!1)!112(

!12

!1)!11(

!12

1239916800

479001600

11234567891011

123456789101112

knk qpk

nkxp

)( 1121 )9,0()1,0(

1

12

111 )9,0()1,0(12 3766,0

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Agora podemos calcular a média, e desvio Agora podemos calcular a média, e desvio

padrão:padrão:

Média:Média:

Variância: Variância:

Desvio padrão:Desvio padrão:

XX DefeitDefeitoo

Sem Sem DefeitoDefeito

P(x)P(x) 0,3760,37666

0,62340,6234

pn

qpnx ..2

p q

5192,43766,012

8172,26234,03766,012

qpnx ..)( 8172,2 6785,1

ExercíciosExercícios Um levantamento efetuado em um pregão Um levantamento efetuado em um pregão

da bolsa de valores mostrou que naquele da bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia:probabilidade de que neste dia:– Todas as ações tenham se valorizadoTodas as ações tenham se valorizado– Exatamente 3 ações tenham se valorizado.Exatamente 3 ações tenham se valorizado.

Resp: a) 0,1% b) 21,5%Resp: a) 0,1% b) 21,5%