PROBABILIDADE

Módulo 18 – Frente 4 – Apostila 2

CONCEITO DE PROBABILIDADE “...Shelly disse que a perspectiva ‘negativa’ para a nota, adotada

em abril, indica que a probabilidade de rebaixamento do Brasil é ‘superior’ a 50%. ”

Época Negócios: 9 de setembro de 2015

“...O valor mínimo da aposta é R$ 3,50 por 6 números marcados e a probabilidade de acerto na sena é de 1/ 50.063.860.”

Capital News: 9 de setembro de 2015

“Norton também enfatiza que encontrar tumores ainda pequenos, algo que a mamografia pode fazer, aumenta a probabilidade de que a paciente evite a remoção do seio e a quimioterapia.”

Bol notícias: 12 de novembro de 2009

PROBABILIDADE As possibilidades são todos os possíveis resultados de

um evento.

Probabilidade é a chance de que determinado resultado ocorra.

Toda probabilidade é uma proporção, apresentada como porcentagem, ou como uma chance em cada x vezes.

A probabilidade de ocorrer um evento é uma fração de todos os possíveis resultados.

TEORIA DAS PROBABILIDADES

As probabilidades são calculadas para experimentos aleatórios – aqueles que, se repetidos, têm resultados incertos, mas com a mesma chance de ocorrer.

Ex.: Não importa quantas vezes um dado é lançado, só existem seis possibilidades de resultados: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. E que resultado dará é um evento impossível de prever com certeza.

A PROBABILIDADE COMO SENDO UMA RAZÃO

Experiência

Roda da Matemática

Filme: Quebrando a banca

EXPERIMENTO ALEATÓRIO Experimento aleatório é um

procedimento cujo resultado é incerto. Exemplos:

Jogar uma moeda Sortear um número inteiro de um a cem Lançar um dado

ESPAÇO AMOSTRAL (OU DE PROBABILIDADES)

O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório é o espaço amostral (S)

Jogar uma moeda S = {cara, coroa}

Sortear um número inteiro de um a cem S = {1,2,...,100}

Lançar um dado S = {1,2,3,4,5,6}

EVENTO Evento é qualquer subconjunto do

espaço amostral E = {cara} (sortear cara) E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e

28) E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no

dado)

UNIÃO DE EVENTOS Ocorre quando pelo menos um dos

eventos A e B ocorre

A B

INTERSEÇÃO DE EVENTOS Ocorre quando os dois eventos A e B

ocorrem simultaneamente

A B

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES

São aqueles nos quais a ocorrência de um elimina qualquer probabilidade de

ocorrer o outro.(i.e., não há elementos comuns entre eles)

Ex.: Qual a probabilidade de você sortear um número que seja par,

primo e maior que 5?Nenhuma, porque o único número primo par é 2, que é menor que 5. Acima de 2, todos os primos são pares.

PROBABILIDADE (OBJETIVA)

Proporção de ocorrência de um evento Freqüência relativa:

(resultados favoráveis) / (resultados possíveis)

Assume valores entre 0 e 1

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

)()()(

S de elementos de númeroA de elementos de número)(

SnAnAPAP

possíveis casos de Nºfavoráveis casos de NºadeProbabilid

EXEMPLOS Ex. 1: Consideremos o experimento Aleatório do

lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara.

Espaço amostral: S = cara, coroa n(S) = 2

Evento A: A = cara n(A) = 1 Como , temos ou 0,50 =

50%)()()(SnAnAP

21

)( AP

Ex. 2: No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?

Espaço amostral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6

Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2

31)(

62)(

)()()( APAPSnAnAP

PROBABILIDADE (SUBJETIVA) Interpretação subjetiva: é uma

estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento.

Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas

PROBABILIDADE DA UNIÃO E PROBABILIDADE CONDICIONAL

Módulo 19 – Frente 4 – Apostila 3

PROBABILIDADE DA UNIÃO

Eventos mutuamente exclusivos,i.e., P(A B) = 0

P(A B) = P(A) + P(B)

Eventos exaustivos (não excludentes)P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Ex.: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou

um número ímpar?

Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

Evento A: número 3 A = {3} n(A) = 1

Evento B: número ímpar B = {1, 3, 5} n(B) = 3

A B = {3} {1, 3, 5} = {3}n(A B) = 1P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A B) =

P(A B) =

61

63

61

63

Ex.: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas,

qual é a probabilidade de que essa carta sejavermelha ou um ás?

N(S) = 52Evento A: a carta é vermelha n(A) = 26Evento B: a carta é ás n(B) = 4n(A B) = 2 )()()()( BAPBPAPBAP

522

524

5226

)( BAP

5228

)( BAP

%8,53137

)( BAP

PROBABILIDADE CONDICIONADA

Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B

Probabilidade de A condicionada a B

𝑃(𝐴 | 𝐵) = 𝑃(𝐴 𝐵) 𝑃(𝐵)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO E LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE

Módulo 20 – Frente 4 – Apostila 3

EVENTOS INDEPENDENTES A e B são independentes se a ocorrência de um

deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente:

P(A | B) = P(A)

Pela expressão anterior, se A e B são independentes:

P(A B) = P(A).P(B)

Note que neste caso A B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos

EXEMPLO: Numa urna, existem quatro bolas brancas numeradas de 1 a 4

e seis bolas pretas numeradas de 1 a 6; considere os eventos A: número par B: bola preta C: número primo.

LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE Em uma família, a probabilidade de

nascerem n crianças, das quais k sejam meninos e n – k sejam meninas, é dada por:

p(k meninos, n – k meninas) =

Quando usamos essa fórmula, dizemos que estamos aplicando o método binomial.

ቀ𝑛𝑘ቁ𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘