2

Corpo Rígido: Sistema de Forças Equivalentes

•Forças externas e internas

•Princípio da transmissibilidade

•Momento de força em relação a um ponto

3

Forças Externas e Internas

Forças externas

F N1 N2 mg1 mg2

Forças internas

par ação e reação

F12 = - F21

F 1 2

P1

1 2 F F12 F21

N2 N1

P2

4

Forças Externas e Internas

N1 N2

F

mg

Forças externas

F mg N1 N2

Forças e Momentos internos

par ação e reação

F12 = - F21 M12 = - M21

Fx12

N1

mg

1

N2

F

Fx21

2

M12 M21

Fy12 Fy21

5

Princípio da Transmissibilidade

F F

linha de ação

=

N1 N2

F

mg

N1 N2

F

mg

=

6

Momento de força em relação a um ponto

FrM0

senFrM0

Módulo do produto vetorial

Produto vetorial

Direção: perpendicular ao plano

definido por Fer

Sentido: regra da mão direita

0M

r

F

F

0M

r

7

)braço(dsenr

r

d

0

A

FdM0

Nm m N

F

0M

d

r

8

kFL)jF(iLM

jFF;iLr

FrM

0

0

FLM0

kFLsenM

jFFjLiLsenr

FrM

0

0

;cos

FLsenM0

d = L

x

y

i

j

Exemplo 1

90o

d

0 A

L

F

r

d 0

A

L

F

d = Lsen

r

9

Momento de força com relação a origem

do sistema de referência OXYZ

x

y z

r

F

0

A

X

Y

Z

Fx

Fy

Fz

kzjyixr

kFjFiFF zyx

FrM0

k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(

FFF

zyx

kji

M xyzxyz

zyx

0

kMjMiMM z0y0x00

yFxFM

xFzFM

zFyFM

xyz0

zxy0

yzx0

10

x

y z

r

F

0

A

X

Y

Z

Fx

Fy

Fz

)m(k3j1i4r

)N(k100j300i100F

FrM0

)Nm(k1300j100i1000

100300100

314

kji

M0

Nm13001)100(4300yFxFM

Nm1004)100(3)100(xFzFM

Nm100033001)100(zFyFM

xyz0

zxy0

yzx0

Exemplo 2

11

)N(k100j300i100F

)Nm(k1300j100i1000M0

X M0

M0z

M0y M0x

Z

Y

r

F

0 A

dFsenFrM0

M0 = 1643 Nm

d = 4,95 m F = 332 N = 1030

)m(k3j1i4r

x

y z

r

F

0

A

Y

Z

Fx

Fy

Fz

0M X

12

)Nm(FrM0

Exemplo 3

3 m

1m 4m

AF

0

A

X

Y

Z

BF

CF

C

FA = 300N

FB = 200N

FC = 100N

A B C SI

F 300 N

d 5 m

M0 1500 Nm

FdM0

A -1200 0 900 1500

B

C

0M

i

k

j

0M

13

kzjyixr B/A

kFjFiFF AzAyAxA

AB/AB FrM

k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(

FFF

zyx

kji

M AxAyAzAxAyAz

AzAyAx

B

kMjMiMM BzByBxB

yFxFM

xFzFM

zFyFM

AxAyBz

AzAxBy

AyAzBx

Momento de força com relação a

um ponto qualquer (ponto B)

BA xxx BA yyy

BA zzz

BAB/A rrr

x

y z

Ar

AF

0

A

X

Y

Z

FAx

FAy

FAz

B

B/Ar

Br

Y’

X’

Z’

14

)Nm(FrM B/AB

Exemplo 4

FA = 300N

FB = 200N

FC = 100N

A B C SI

F N

d m

MB Nm

FdMB

A

B

C

BM

i

k

j

0M

3 m

1m 4m

AF

0

A

X

Y

Z

BF

CF

C

B

Y’

X’

Z’

300

4

1200

200

0

0

100

2,5

250

-1200 0 0 1200

0 0 0 0

0 250 0 250

3

4

53o

53o

FC

FCX

FCY

C

1,5 B

2 FCX = FCcos(53º) = 80 N

FCY = FCsen(53º) = 60 N

FC = 100 N 2,5

16

Corpo Rígido: Sistema de Forças Equivalentes

•Teorema de Varignon

•Binário ou Par conjugado

•Representação de uma dada força em uma força atuando num ponto O e em um

binário

•Redução de um sistemas de forças em uma força e um binário

17

Teorema de Varignon

Pierre Varignon ( born in

1654 in Caen - died on

December 23, 1722 in Paris)

was a French

mathematician.

http://www.mathdaily.com/l

essons/Pierre_Varignon

1F

0

A

X

Y

Z

2F

3F

r

...FrFr...)FF(r 2121

...FFF 21

forçasdastetansulRe:F

“O momento gerado por um sistema de forças concorrentes

pode ser calculado somando-se os momentos de cada força

ou avaliando-se o momento da força resultante equivalente.”

18 k500j1600i1200M

)j300i400()k4j1i3(M

FrM

0

0

0

Exemplo 5

N5000300400FF

k0j300i400F

222

o37

750,0400

300tg

)m(k4j1i3r

i)N400(F

j)N300(F

2

1

2F

1F

A

F

3 m

1m

0

Y

Z

4m

1F

A

X

2F

F

r

k400j1600i0Fr

k900j0i1200Fr

FrFrM

2

1

210

+

k500j1600i1200M0

19

Exercício 1

B

50o

A

240 mm

180 mm

1000 N

Uma força de 1000 N atua na extremidade A da estrutura da figura

abaixo. Determinar o momento de força com relação ao ponto B, a) da

força de 1000N e b) de suas componentes nas direções horizontal e

vertical.

20

50o

A

240 mm

180 mm

1000 N

B

21

Binário ou Par conjugado

BB/A0

BA0

BA0

MFrM

F)rr(M

)F(rFrM

FdMMM

senrFMM

B0

B/AB0

0)F(F

FdM B/Ar

d B

A

X

F

d

F

0

Y

Z

B

A

Ar

Br

B/Ar

M

22

Binário ou Par conjugado

X

Y F

F

M

B

A

F

F

M

A

B

M = Fd M = Fd

0)F(F

23

Binários Equivalentes

Binário 1 Binário 2

M = F1d1 M = F2d2

M = F1d1 = F2d2

Y

Z

X

5cm 12N

12N

M Y

Z

X

4cm

15N

15N

M

Y

Z

X

d2

2M

2F

2F

Y

Z

X

d1

1M

1F

1F

21 MM

• Direção

• Sentido

• Intensidade

24

Soma de Binários

21B

2B/A1B/AB

21B/AB

B/AB

MMM

FrFrM

)FF(rM

RrM

X

Y

Z d1

1F

1F

2F

1M

2M

A B

2F

R

R

B/Ar

Y

1M

2M

BM

0 X

Z

25

Soma de Binários

1 0 0 -100 100

2

3

k

j

nM

i

nM

RM

1

2

3

X

Y

Z

1M

Z

X

Y

N100

N100

N300A

B N300

N200

N200

1m

1

2

3

cubo

(Nm)

26

Na estrutura da figura abaixo determinar a) os momentos dos binários 1

e 2; b) o momento resultante dos dois binários; c) a soma dos momentos

de cada uma das forças com relação ao ponto O; Dimensões da estrutura

em centímetro.

Exercício 2

100N

X

Y

Z 20

50

50

20

200N

200N 100N

0

A

B

C

D 1

2

27

Representação de uma dada força em uma força

atuando num ponto O e em um binário

0M

FF

r =

F

r

F

F

=

FrM0

28

90o

d

0 A

L

F

r

90o

d

0 A

L

F

r

F

F

90o

d

0 A

L

F

r

0M

FLM0

29

Redução de um sistemas de forças em uma

força e um binário

x

y

AF

0

A

X

Y

Z

BF

CF

C

z

Z

Y

AF

0 X

BF

CF

AFOM

BFOM

CF

OM

Y

Z

F

0 X

ROM

CBA FFFF

CBA F0

F0

F00 MMMM

30

Exemplo 6

3 m

1m 4m

AF

0

A

X

Y

Z

BF

CF

C

FA = 300N; FB = 200N; FC = 100N

SI

A 0 300 0 N

B N

C N

R N

SI

A -1200 0 900 Nm

B Nm

C Nm

Nm

0M

i

k

j

i

k

j

F

R0M

0 X

Y

Z

AF0M

FA