Momento de Inercia
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Mecanica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC
Anexo
Momentos de Inercia em relacao a um eixo
1. Introducao
Define-se momento de inercia de um sistema discreto de partıculas em relacao a umeixo, como
I =!N
i=1 mi r2in
em que ’rin ’ e a distancia da partıcula ’i’ ao eixo.
No caso de se ter um com corpo, com uma distribuicao contınua de massa, de densidade’!’, a expressao anterior toma a forma:
Icorpo ="
corpo r2n dm =
"corpo r2
n ! dV
em que ’rn’ e a distancia de cada ponto ao eixo considerado e ’dm’ a massa elementar contidano volume ’dV ’.
Conhecido o momento de inercia em relacao a um eixo que passe pelo centro de massade um objecto pode calcular-se o momento de inercia em relacao a qualquer outro eixo a eleparalelo a distancia ’d’ atraves da expressao:
I = M d2 + I(CM)
Demonstracao: Partindo da expressao que relaciona a energia cinetica entre um referencialgenerico e o referencial do centro de massa (que se desloca com velocidade ’"vCM ’):
Ec = 12 M v2
CM + E(CM)c
12 I #2 = 1
2 M (# d)2 + 12 I(CM) #2
e, assim, tem-se a expressao desejada
I = M d2 + I(CM)
Para o calculo do momento de inercia de um sistema constituıdo por diversas partes podeser conveniente calcular o momento de inercia de cada uma dessas partes separadamente.Atendendo a aditividade do somatorio e do integral, tem-se
Itotal =!M
!=1 I!
1
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2. Momentos de Inercia
De uma forma breve serao calculados alguns dos momentos de inercia mais frequentes.Para tal serao utilizadas as expressoes referidas no ponto anterior.
2.1 Haste fina
Considera-se uma haste de espessura desprezavel, de comprimento ’L’ e de densidadelinear de massa ’$’.
2.1.1 Eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular a haste
I ="
haste r2n dm
I ="
haste r2n $ dx = $
" L/2!L/2 x2 dx = $ [x3
3 ]L/2!L/2
I = "3 (L3
8 ! !L3
8 ) = 112 $ L3 = 1
12 ($ L) L2
I = 112 M L2
2.1.2 Eixo perpendicular ao extremo da haste
I = M d2 + I(CM)
I = M (L2 )2 + 1
12 M L2
I = 13 M L2
2.2 Cilindro (e Disco)
Considere-se um cilindro de raio ’R’, altura ’h’ e de densidade ’!’. No caso de umdisco ter-se-a uma densidade superficial ’%’ e a altura esta contida na passagem da densi-dade volumica a densidade superficial (! = % h). Os calculos serao feitos em coordenadascilındricas (r, &, z)
2.2.1 Cilindro macico, calculo em relacao ao seu eixo
I ="
cil. r2n dm
I ="
cil. r2 ! (r dr d& dz) = !" R0 r3 dr
" 2#0 d&
" h0 dz
I = ! [ r4
4 ]Ro " [&]2#0 " [z]h0 = ! " R4
4 " 2 ' " h = 12 (' R2 h !) R2
I = 12 M R2
2.2.2 Cilindro oco (de raios R1 e R2), calculo em relacao ao seu eixo
Pode considerar o calculo anterior usando como limites da integracao para ’r’ os valoresde R1 e R2. Assim,
I = 12 ' (R4
2 ! R41) h ! = 1
2 ' (R22 + R2
1) (R22 ! R2
1) h !
2
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I = 12 (' (R2
2 ! R21) h !) (R2
2 + R21)
I = 12 M (R2
2 + R21)
Nota: Tinha-se obtido o mesmo resultado retirando ao momento de inercia de um cilindromacico de raio R2 o momento de inercia de um cilindro macico de raio R1.
2.2.3 Cilındro macico, calculo em relacao a um eixo perpendicular ao seu eixo epassando pelo centro
I ="
cil. r2n dm =
"cil. (r
2 cos2& + z2) dm ="
cil. (r2 cos2& + z2) ! (r dr d& dz)
I = !"
cil. r (r2 cos2& + z2) dr d& dz
I = !" R0 r3 dr
" 2#0 cos2& d&
" L/2!L/2 dz + !
" R0 r dr
" 2#0 d&
" L/2!L/2 z2 dz
I = ! R4
4 ' h + ! R2
2 2 ' 13
h3
4 = (! ' R2 h) (R2
4 + h2
12 )
I = 14 M R2 + 1
12 M h2
2.3. Esfera
2.3.1 Em relacao a um eixo que passa pelo seu centro
Calculo do momento de inercia de uma esfera homogenea de raio ’R’ e massa especıfica ’!’em relacao a um eixo que passa pelo seu centro:
Iesf. ="
esf. r2n dm
em que ’rn = r sen &’ e a distancia de um ponto da esfera ao eixo considerado e, usandocoordenadas esfericas, tem-se:
dm = ! dV com dV = r2 sen & dr d& d(
Substituindo na expressao do momento de inercia, tem-se
Iesf. ="
esf. (r sen &)2 ! r2 sen & dr d& d(
Iesf. = !" R0 dr r4
" #0 d & sen3&
" 2#0 d(
fazendo o calculo dos integrais," 2#0 d( = [(]2#
0 = 2 '" #0 d & sen3& = [!cos & + 1
3 cos &]#0 = [!23 cos &]#0 = !2
3 (cos ' ! cos 0) = 43
" R0 dr r4 = [ r5
5 ]R0 = R5
5
e substituindo,
Iesf. = ! R5
5 " 43 " 2 ' = 2
5 ! ( 43 ' R3) R2 = 2
5 (! Vesf.) R2
e, finalmente,
Iesf. = 25 M R2
3