SINOPSE DO CASE: Momento de inércia na elaboração de projetos em

engenharia1

Iara Ivila Leal Berredo e Lucas Saraiva Noronha de Melo 2

Eden S. Silva3

1 DESCRIÇÃO DO CASO

A grande característica atual dos mercados é a mundialização dos mesmos. Com

isso, o consumidor exige cada vez mais produtos com mais qualidade e preços baixos. As

empresas, com isso, têm que buscar alcançar objetivos obrigatórios para o atual momento

econômico, que são globalização, competitividade e otimização dos custos. Esse trabalho visa

um estudo prático no que se refere a custos comparativos na construção civil.

O processo de projetar vigas, máquinas e estruturas requerem que muitos fatores

sejam considerados evidenciando assim o custo de: volume de concreto, quantidade de aço,

área de forma, mão-de-obra e seus encargos.

Um grande desafio está diante dos empresários da construção civil, dos

engenheiros e principalmente dos contadores de custo: alcançar a qualidade total com toda a

segurança, sem qualquer incremento no custo, ou melhor, ainda, primando pela sua redução,

pois é através de um eficiente gerenciamento de informações da contabilidade de custos, que a

construção civil poderá alcançar benefícios econômicos e repassá-los aos pretendentes

compradores de imóveis, ou até mesmo incrementando o lucro das indústrias do setor.

Sendo assim, a empresa ENGETOP – Empresa júnior de engenharia civil

localizada em São luís- MA, selecionou alguns alunos do curso de engenharia civil da UNDB,

para realizarem estudo, elaboração e avaliação de projetos de vigas para algumas obras de

pequeno porte.

Com os alunos já selecionados foram-se passados algumas etapas para andamento

das atividades. Primeiramente foi necessário fazer deduções e explicações do momento de

inércia, já conhecido pelos alunos. Com isso, chegaram a duas soluções para o projeto de uma

viga. Mas somente uma delas apresentará menor tensão normal de flexão e terá um percentual

mais eficiente, quando aplicar-se um momento de M = 150 kN.m.

1Case apresentado à disciplina Mecânica Geral, da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco - UNDB.2 Alunos do 3º período, do curso de Engenharia Civil, da UNDB.3Professor Mestre, orientador.

O momento de inércia, cujo símbolo é I, para um objeto em rotação em torno de

um eixo, consiste na soma (ou integral) do produto da massa de todos os pontos pelo

quadrado da respetiva distância ao eixo de rotação.

Em mecânica, é o equivalente da massa de um corpo em movimento de

translação. A segunda lei de Newton diz que uma força F que atua num objeto é igual ao

produto da sua massa m pela sua aceleração a (F = ma). No caso de existir movimento de

rotação, pode escrever-se uma equação semelhante M = Iα, onde M é o momento da força, α a

aceleração angular e I o momento de inércia.

1.2 Momento de Inercia de Área x Massa

Momento de Inércia de Massa: Resistência oposta por um corpo em rotação

a uma mudança em sua velocidade de giro. O momento de inercia desempenha

na rotação um papel um papel equivalente ao da massa no movimento linear.

Por exemplo, se uma catapulta lança uma pedra pequena e uma grande

aplicando à mesma força em cada uma a pedra pequena terá uma aceleração

muito maior do que a grande. Pois o momento de inércia de um objeto depende

de sua massa e da distância da massa ao seu eixo de rotação.

Momento de Inércia de Área: É uma propriedade geométrica da seção

transversal de elementos estruturais. Fisicamente o segundo momento de

inércia está relacionado com as tensões e deformações máximas que aparecem

por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do

material determina a resistência máxima de um elemento estrutural sob

flexão.O segundo momento de área é uma grandeza cujas dimensões são

comprimento à quarta potência (que não devem ser confundida com o conceito

físico relacionado de inércia rotacional cujas unidades são massa por

comprimento ao quadrado).

2 IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DO CASO

Para melhor analisar o projeto de uma viga, é necessário analisar o momento de

inércia e suas respectivas especificações, como a seguir.

2.1 Momento de Inércia

É a Integral do produto dos elementos de área de um objeto pelo quadrado de sua

distância a um eixo. Geralmente é dado em mm4 ou cm4. Ele é um valor sempre positivo por

depender do quadrado das distancias do eixo.

Quanto maior o momento de Inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar.

Para um retângulo de base b e altura h, determinar os momentos de inércia em

relação aos eixos de simetria (Figura).

Para o momento em relação ao eixo X, pode-se supor que a integração ao longo

de uma faixa horizontal de altura dy (de −b/2 a +b/2) é uma parcela infinitesimal, ou seja,

dJx = y2 b dy. Integrando:

 

Usando procedimento similar para o eixo Y, o resultado da integração

é 

2.2 Teorema de Steiner

  

Sejam uma superfície plana de área S e dois sistemas de coordenadas ortogonais

de eixos paralelos X1Y1 e XCYC, com as distâncias entre eixos dadas conforme figura. A

origem do sistema XCYC coincide com o centróide C da superfície.

O teorema de Steiner (ou teorema dos eixos paralelos) relaciona os momentos de

inércia nessa translação de eixos.

I1 =IC +Axd2 

Para a soma de momentos de inércia, deve-se analisar se o centro de gravidade é o

mesmo para todas. Caso positivo, se procede com a soma. Se não, se aplica o teorema de

Steiner para cada peça.

xd: é a distancia do centro de gravidade da peça até o centro de gravidade do conjunto.

S: Área da Peça;

I1 é o momento de inércia que tem o centro de gravidade diferente do centro de gravidade do

conjunto.

2.3 Tensão de Flexão

A tensão normal numa seção transversal de uma viga é: σ=MI.c

I: momento de inércia da seção.

C: da seção situa-se no centro da altura.

M: o momento máximo.

Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da

fórmula de flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão.

A expressão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos

fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores

positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e

causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar

este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais

invertidos.

2.4 Componentes Estruturais

O momento de Inércia de Área numa seção transversal de uma viga em relação a

um eixo que passa pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez (resistência a flexão em

relação ao eixo). Logo após, será calculada sua tensão normal de flexão máxima em cada uma

das peças e o momento de inércia será utilizado para calcular a tensão de flexão com um

momento máximo de 150 kN.m. E com qual percentual ela será mais eficiente.

PEÇA A

Cálculo da área:

A1 = A3 = 200 mm x 15 mm = 3.000 mm2

A2 = 30 mm x 300 mm = 9.000 mm2

Cálculo do momento de inércia de área:

I1 = I3 = (bh3) /12 = 200*153 / 12 = 200 x 3.375 / 12 = 56.250 mm4

I2 = (bh3) /12 = 30*3003 / 12 = 30 x 27.000.000 / 12 = 67.500.000 mm4

Obs: Como o centro de gravidade das peças 1 e 3 são diferentes da peça 2, devo aplicar o

teorema de Steiner.

Is = I1 + Axd2

Is = 56.250 mm4 + (3000 mm2 x 157,52)

Is = 74.475.000 mm4

Como I1 e I3 são simétricos em relação ao centro de gravidade, pode-se multiplicar

o momento de inércia desta por 2 e somar ao momento de inércia da peça 2.

Ia = I2 + 2Is

Ia = 67.500.000 mm4+ 2 (74.475.000 mm4)

Ia = 216.450.000 mm 4

Cálculo da máxima tensão de flexão:

σ=MI.c

σ = (150 x 106) / 216.450.000 x 165

σ = 114 MPa

PEÇA B

Cálculo da área:

A1 = A3 = 200 mm x 30 mm = 6000 mm2

A2 = 15 mm x 300 mm = 4500 mm2

Cálculo do momento de inércia de área:

I1 = I3 = (bh3) /12 = 200*203 / 12 = 200 x 8.000 / 12 = 133.333 mm4

I2 = (bh3) /12 = 15*3003 / 12 = 15 x 27.000.000 / 12 = 33.7500.000 mm4

Obs: Como o centro de gravidade das peças 1 e 3 são diferentes da peça 2, devo aplicar o

teorema de Steiner.

Is = I1 + Axd2

Is = 133.333,333 mm4 + (6000 mm2 x 1652)

Is = 163.483.333,333 mm4

Como I1 e I3 são simétricos em relação ao centro de gravidade, pode-se multiplicar

o momento de inércia desta por 2 e somar ao momento de inércia da peça 2.

Ib = I2 + 2Is

Ib = 33.750.000 mm4+ 2 (163.483.333,333 mm4)

Ib = 361.350.000 mm 4

Cálculo da máxima tensão de flexão:

σ=MI.c

σ = (150 x 106) / 361.350.000 x 180

σ = 74,7 MPa

2.5 Solução

Dentre as duas soluções de vigas propostas, de acordo com as especificações

dadas no case, observa-se que a menor tensão normal é do perfil B, de 74,7 MPa.

Porém de acordo com os dados obtidos no momento de inércia da peça A e B,

podemos calcular a eficiência deste resultado, sendo:

Eficiência = (Ia + Ib)/ Ib x 100

(114 – 74,7) / 74,7 x 100 = 53%

Neste sentido, podemos dizer que esta será mais eficiente com um percentual de

53%, vindo a determinar a melhor opção de projeto de uma viga para este caso.

3 CONCLUSAO

Depois de calculada a rigidez de um material através do seu momento de inércia

de área da seção transversal de uma viga em relação ao seu eixo que passa pelo centro de

gravidade, é determinada suas tensões normais máximas, e percebe-se que estes dois

conceitos estão interligados dentro da elaboração de uma viga.

É ainda estabelecida qual viga será mais apropriado ao dado projeto de engenharia

de acordo com as especificações e critérios sobre momento de inércia para elaboração de

projetos estruturais em engenharia.