Os números inteiros são constituídos dos números naturais {1, 2, 3...} e dos seus simétricos {0, -1, -2, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.

A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).

Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

[editar] Aplicações

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porem que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (28 para bytes, 232 para 32-bit arquitecturas,

etc). No entanto, o uso de técnicas de Inteligência Artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

RSA

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT, e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção desse sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, ...). Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural.Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um arterístico (*) tira-se o 0 (zero)

O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 quadros na parede") ou a ordenação ("Esta é a 2ª maior cidade do país"). Propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na Teoria dos Números. Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela combinatória.

Uma construção do conjunto dos número naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de Axiomática de Peano

Notação

Os números naturais podem ser usados para contar (uma maçã, duas maçãs, três maçãs...).

Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:

Nota: deve-se tomar o cuidado para não confundir 0 e {0}, pois 0 é o número zero, ao

passo que {0} é o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero.

[editar] A história dos números naturais e o estado do zero

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um.[1]

O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuiam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da idéia do zero como um número com seu próprio numeral. Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.1 Os Olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para "nenhum", "nullae", foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades abstratas) é comumente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.

No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

[editar] Propriedades Algébricas

adição multiplicação

Fechamento ou Fecho:a + b   é um número natural

a × b   é um número natural

Associatividade: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × cComutatividade: a + b  =  b + a a × b  =  b × aExistência de um Elemento neutro:

a + 0  =  a a × 1  =  a

Distributividade: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)Nenhum divisor de zero: Se ab = 0, então ou a = 0 ou b = 0 (ou os dois)

Números primos entre siOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

(Redirecionado de Primo relativo)

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Os números 4 e 9 são primos entre si porque a diagonal não intercepta nenhum dos pontos reticulados

Chamamos de números primos entre si (ou coprimos), um conjunto de números onde o único divisor comum a todos eles for o número 1.

[editar] Explicação

Um conjunto de números inteiros é chamado de mutuamente primo se não existir um inteiro que divida todos os elementos. Por exemplo, os inteiros 30, 42, 70 e 105 são mutuamente primos. Entretanto, aos pares, não são primos entre si.

Esta definição é transferida para outras áreas. Por exemplo, dois polinómios com coeficientes inteiros são primos entre si se não houver um polinômio não-constante que divida ambos.

O número de inteiros positivos menores que n, que são primos com n, é dado pela função totiente de Euler...

[editar] Exemplo

Verificar se são coprimos entre si os números 20 e 21:

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Divisores de 21: 1, 3, 7 e 21.

Resposta: Os números 20 e 21 são primos entre si, pois o único divisor comum entre os dois é o 1.

Pode-se provar que, para n > 1, n e n + 1 são primos entre si.

EQUAÇÕES DE 1º GRAU    

Conta a lenda que um discípulo de Pitágoras lhe perguntou quantos alunos tinha a sua Escola.

Pitágoras respondeu-lhe:

“Metade estudam Geometria, a quarta parte a Natureza, a sétima parte meditam simplesmente e há ainda três mulheres.”

 

Quantos alunos tinha a Escola de Pitágoras?

Para responder a esta pergunta vamos utilizar uma equação do 1º grau:

Na equação

x = x/2 + x/4 + x/7 + 3

Temos:

Incógnita: x

1º membro: x

2º membro: x/2 + x/4 + x/7 + 3

Quatro termos com a incógnita: x ; x/2 ; x/4 ; x/7

Um termo independente: 3

 

Sabemos que, por exemplo::

 

80 não é solução da equação, porque

80 = 80/2 + 80/4 + 80/7 + 3 PROPOSIÇÃO FALSA

28 é solução da equação, porque

28 = 28/2 + 28/4 + 28/7 + 3     PROPOSIÇÃO VERDADEIRA

    EQUAÇÕES LITERAIS

          Chama-se equação literal a uma equação onde aparecem uma ou mais letras para além da incógnita.

           Para resolver uma equação literal, decide-se qual é a incógnita e consideram-se as outras letras como se fossem números conhecidos (parâmetros).

           Ex.   Considere um rectângulo de dimensões x e y e escreva uma formula para:

determinar o perímetro p, conhecidos x e y; determinar x, conhecidos p e y.

           Resolução:  

A fórmula p = 2x + 2y permite determinar o perímetro p, conhecidos x e y.

Para determinar x, conhecidos p e y, partimos da equação   p = 2x + 2y e resolvemo-la em ordem a x, isto é, consideramos x como incógnita.

p= 2x + 2y Û - 2x = - p + 2y Û 2x = p – 2y Û

                   

 

 

 

EQUAÇÕES DE 2º GRAU    

DEFINIÇÕES:DEFINIÇÕES:

   As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma                 ax2 + bx +  c = 0, em que a, b e c são números reais e a ¹ 0.

                      a é o coeficiente de x2

                      b é o coeficiente de x e c é o termo independente.

 

Uma equação diz-se completa se  b e c são diferentes de zero;

caso contrário, temos uma equação incompletas.

Quando uma equação do 2º grau tem a forma ax2 + bx + c = 0,

diz-se que está na forma canónica.   

 

 

   EQUAÇÕES COMPLETAS EQUAÇÕES COMPLETAS                Como foi referido temos uma equação completa se b e c são diferentes de zero. Este tipo de equação resolve-se através da fórmula resolvente, que permite obter, mais

rapidamente as soluções de qualquer equação do 2º grau.      Vamos deduzir a formula resolvente, a partir da equação            

ax2 + bx + c = 0,    a ¹ 0

 

             

         

      A resolução desta equação conduziu-nos à FÓRMULA RESOLVENTE DAS

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

:

                                    

      

 

          É chamado o binómio discriminante. Sendo muito útil para                                          determinarmos quantas soluções têm as equações de 2º grau.

A equação não tem soluções reais.  

A equação tem uma só solução real.  

A equação tem duas soluções reais.    

 

 

EQUAÇÕES INCOMPLETAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS   

 

Uma equação do 2º grau será incompleta se se verificar um dos três casos como possíveis.

EQUAÇÕES INCOMPLETASEQUAÇÕES INCOMPLETAS   axax2 2 = 0= 0     comcom   b = 0b = 0   ee c = 0c = 0                                                                                                           axax2 2 + c = 0 + c = 0 comcom   b = 0b = 0                                                                                                           axax2 2 + bx = 0+ bx = 0   comcom   c = 0c = 0

   Caso em que Caso em que b = 0 b = 0 e e c = 0c = 0

Consideremos a equação    2x2 = 0 ÛÛ                                       x 2 0 = ÛÛ                                       x  =  0

Caso em que Caso em que b = 0 b = 0

                 Por exemplo a equação Por exemplo a equação           3x 3x2 2 - 12 = 0 - 12 = 0 Û                                              Û 3x3x2 2 =12 =12 Û  Û x2 3/21 = Û  Û x2 4 = Û Û                           2 = x   ٧ 2- = x

Caso em que Caso em que c = 0 c = 0

Consideremos a equaçãoConsideremos a equação   3x 3x2 2 + 7x = 0.+ 7x = 0.Para resolvermos esta equação temos de aplicar a Para resolvermos esta equação temos de aplicar a lei do anulamento do produtolei do anulamento do produto..

   LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO

       Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus factores é nulo.        Simbolicamente:             ab = 0 Û 0 = a ٧ 0 = b0 = cba              Û 0 = a ٧ 0 = b ٧ 0 = c...             

Pomos x em evidência e aplicamos a lei do anulamento do produto:                     x (3x + 7) = 0 Û 0 = x ٧ 0 = 7 + x3 Û 0 =x ٧ 3/7- = x

 

Exercícios de Equações de 1º Grau1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?    

 2) Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

 3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.     

 4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Em matemática, resolver uma equação é encontrar quais valores (números, funções, conjuntos, etc.) satisfazem determinada condição expressa através de uma equação (duas expressões relacionadas por uma igualdade). Estas expressões contém uma ou mais incógnitas, que são variáveis livres para as quais são procurados valores que verifiquem a condição. Para ser preciso, nem sempre procura-se valores, mas em geral uma expressão matemática. Uma solução da equação é uma atribuição de expressões às incógnitas que satisfaça a equação; em outras palavras, expressões que, quando são substituídas no lugar das incógnitas tornam a equação uma tautologia (uma afirmação que se pode demonstrar que é verdadeira).

Por exemplo, a equação x + y = 2x − 1 tem para a incógnita x a solução x = y + 1,

pois ao substituir x por y + 1 na equação original o resultado é (y + 1) + y = 2(y + 1) − 1, que é uma afirmação verdadeira. Também é possível considerar a variável y

como sendo a incógnita e, neste caso, a solução obtida é y = x − 1. Uma terceira opção

é tratar tanto x quanto y como sendo incógnitas e deste modo obter diversas soluções,

como (x,y) = (1,0) (isto é, x = 1 e y = 0), e (x,y) = (2,1) e, em geral, (x,y) = (a + 1,1) para todos os possíveis valores de a.

Dependendo do problema, a tarefa pode ser determinar uma solução – neste caso qualquer uma serve – ou todas as soluções. O conjunto de todas as soluções é chamado de conjunto-solução. Também é possível que a tarefa seja encontrar uma solução, entre várias possíveis, que seja a melhor em algum sentido. Problemas desta natureza são chamados de problemas de otimização, no entanto, não é comum se referir à resolução de um problema de otimização como sendo a "resolução de uma equação".

Uma expressão como "uma equação em x e y", ou "resolva para x e y", implica que as

incógnitas são aquelas indicadas: neste caso, x e y.

Visão geral

De forma geral, tem-se uma situação tal qual

f(x1,...,xn) = c,

na qual c é uma constante, que possui um conjunto de soluções S da forma

{(a1,...,an) ∈ Tn|f(a0,...,an) = c}

em que Tn é o domínio da função. Note que o conjunto-solução pode ser vazio (quando não existem soluções), unitário (caso exista exatamente uma solução), finito, ou infinito (se houver uma infinidade de soluções).

Por exemplo, uma expressão como

3x + 2y = 21z

pode ser resolvida primeiramente através da modificação da equação de tal forma que a igualdade seja preservada, como por exemplo subtraindo 21z de ambos os membros da equação para obter

3x + 2y − 21z = 0

Neste caso particular, não há apenas uma solução para a equação, mas uma infinidade delas, formando um conjunto que pode ser denotado por

{(x, y, z)|3x + 2y − 21z = 0}.

Uma solução em particular é x = 20/3, y = 11, z = 2. Na verdade, o conjunto-solução deste exemplo descreve um plano em um espaço tridimensional, que passa pelo ponto (20/3, 11, 2).

[editar] Conjuntos-solução

Se o conjunto solução é vazio, então não existem valores que possam ser atribuídos a cada xi de tal modo que

f(x0,...,xn) = c

seja verdade para um determinado c.

Por exemplo, examinando o caso clássico em uma variável, dada uma função

considere a equação

f(x) = −1

O conjunto solução é {}, uma vez que nenhum número real positivo resolve esta equação. No entanto, se a definição da função for modificada (mais especificamente, o domínio da função), pode ser possível determinar soluções para esta equação. Assim, se fosse definida a função

a equação

g(x) = −1

teria {i, −i} como conjunto solução, onde i é a unidade imaginária. Esta solução possui exatamente duas soluções.

Já foi visto que certos conjuntos-solução podem descrever superfícies. Por exemplo, do estudo da matemática elementar, sabe-se que o conjunto-solução de uma equação da forma ax + by = c em que a, b, e c são constantes reais forma uma reta no espaço vetorial R2. Por outro lado, nem sempre é fácil representar graficamente os conjuntos-solução – por exemplo, o conjunto-solução de uma equação da forma ax + by + cz + dw = k (em que a, b, c, d e k são constantes reais) é um hiperplano.

[editar] Métodos de resolução

[editar] Força bruta, tentativa e erro, palpite

Se o conjunto solução de uma equação é restrito a um conjunto finito (como no caso de equações em aritmética modular, por exemplo), ou pode ser limitado a um número finito de possibilidades (como certos tipos de equação Diofantina), o conjunto solução pode ser obtido via força bruta, isto é, testando cada um dos valores possíveis. Pode ser que o número de possibilidades a serem consideradas, embora finito, seja tão grande

que uma busca exaustiva não é factível; isto é, na verdade, um requisito para fortes métodos de encriptação.

Assim como em todos os tipos de solução de problemas, tentativa e erro pode em alguns casos prover uma solução, em particular quando o formato da equação, ou sua similaridade com uma outra equação com solução conhecida, pode levar a um "palpite inspirado" para uma solução. Se um palpite, ao ser testado, falha como solução, considerações a respeito desta falha podem conduzir a um palpite modificado.

[editar] Álgebra elementar

Equações envolvendo funções lineares ou funções racionais simples com uma variável real desconhecida, digamos x, tais como

podem ser resolvidas usando os métodos de álgebra elementar.

[editar] Sistemas de equações lineares

Pequenos sistemas de equações lineares podem ser resolvidos semelhantemente através do uso de álgebra elementar. Para resolução numérica de sistemas maiores, algooritmos baseados em álgebra linear são utilizados.

[editar] Equações polinomiais

[editar] Resolução de uma equação do primeiro grau

Equação do 1° grau é toda equação que pode ser expressa na forma ax+b=0, com 'a' diferente de zero. Nessas equações o expoente da incógnita será sempre igual a 1.Para resolvê-las podemos seguir os seguintes passos:

Caso a equação esteja com a incógnita em formato fracionário, multiplica-se a equação pelo MMC dos denominadores das variáveis. Exemplo:

Atenção:esse passo apenas será necessário se a incógnita estiver em forma de fração,para números em forma de fração será mais fácil resolver a fração dividindo numerador por denominador!

Deveremos saber de antemão que a equação possui 2 membros,o 1º antes do sinal de igual e o 2º depois. Soma-se ou subtrae-se, multiplica-se ou divide-se os 2 membros até que apenas a varável esteja no primeiro membro. Geralmente, soma-se ou subtrae-se antes de multiplicar e dividir.

Por último, testa-se a raiz substituindo a incógnita da equação inicial pelo valor obtido. A raiz é valida se os dois membros forem iguais.

Exemplo

[editar] Resolução de uma equação do segundo grau

Equação do 2º grau é toda aquela que se apresenta na forma:

, .

Onde a é diferente de zero e representa o número que acompanha a incógnita ao

quadrado,b o que acompanha a incógnita a 1º potência, e c um número desacompanhado de incógnita.

[editar] Fórmula de Bhaskara

Pode-se seguir o seguintes passos para resolver a equação:

1°. Devemos achar um valor chamado Δ (delta).

A fórmula que determina o valor de delta é a seguinte:

[editar] Exemplo

4x2 − 5x + 1 = 0:

2°. Agora que já aprendemos a calcular o valor do Δ, vamos aprender a calcular o valor

de x. O valor de x é dado pela seguinte fórmula:

Essa fórmula nos dá dois valores para x: e .

[editar] Exemplo (continuação)

Portanto para a equação anterior temos:

Somando-se os passos acima temos a fórmula de Bhaskara completa:

[editar] Cálculo por Soma e Produto

Ideal para valores inteiros e pequenos. Calcula-se o valor da soma das raízes

e do produto . Então, fatora-se P e

combina-se os possíveis valores dos fatores do produto para saber quais têm soma S.

Note que, se P > 0, as raízes têm o mesmo sinal (neste caso, os fatores possíveis do

produto terão sempre o mesmo sinal da soma), e se P < 0, as raízes têm sinais opostos (neste último caso, os fatores possíveis do produto podem ter qualquer um dos sinais e o sinal da soma equivale ao sinal da raiz de maior módulo).

[editar] Exemplo

. Se , logo

. Portanto, para que o P = 6, x1 + x2 = 5 ou x1 + x2 = 7.

Como S = 5, então .

. Se P = − 3 < 0, então uma raiz é

negativa e outra é positiva. Se S = − 2 < 0, então a raiz de maior módulo é negativa.

Se e S < 0, então a raiz negativa será − 3 (pois seu

módulo, 3, é o maior) e a raiz positiva será 1. Logo, x1 = − 3 e x2 = 1.se um numero possui um expoente negativo consequentemente o numero vira-rá uma fração.

[editar] Nota

Quando for impossível achar o valor de x devido ao fato de delta ser negativo podemos escrever no conjunto solução:

S= ou S= { }

Quando x1 = x2 bastará escrever o valor de x uma vez no conjunto solução.

Razão

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b  ou a : b. 

Exemplo: 

Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 

Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. 

 

Lendo Razões

    

 

Termos de uma Razão

Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. 

Exemplo:  Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.

As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm 

 

Velocidade média,  é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo:

Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro. 

Velocidade= 320/4 = 80 

Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área. 

 

Exemplo: 

O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população  de 6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará. 

Razões Inversas 

Vamos observar as seguintes razões. 

Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.

Observe que o  conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.

O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1 

Dizemos que as razões são  inversas. 

Exemplos:   

A razão entre duas quantidades nada mais é do que o quociente entre elas. Por exemplo, dados os números 3 e 5, sua razão é 3/5, que em notação decimal é igual a 0.6. Se a e b são dois números quaisquer, podemos denotar sua razão por a/b, ou por a:b, e se referir a ela como "a razão de a para b".

Exemplo

"...o avião foi perdendo altura, a razão de 7 mil pés por minuto e se despedaçou."[1]

Nesta frase, as duas quantidades envolvidas são:

7 mil pés 1 minuto

mas esta mesma razão pode ser calculada usando outras duas quantidades, por exemplo:

14 mil pés 2 minutos

Observação: Este tipo de razão, que envolve uma distância e uma quantidade de tempo, é bastante utilizado e por ser de grande importância recebe um nome especial: velocidade. A ciência na qual se estuda a velocidade e outros conceitos relacionados é a Física.

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A

B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 = 4

3

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3

6= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A

B= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

LíquidoSituação

1Situação

2Situação

3Situação

4Suco puro  3  6  8  30

Água  8 16 32  80Suco

pronto11 22 40 110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A

B=

C

D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A

B=

C

D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3

4=

6

8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x

3=

4

6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B,    C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)

m(CD)=

2

4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.

Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância Densidade [g/cm³]madeira 0,5gasolina 0,7

álcool 0,8alumínio 2,7

ferro 7,8mercúrio 13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:

Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

Proporções com números

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

A

B=

C

D

1. Os números A, B, C e D são denominados termos2. Os números A e B são os dois primeiros termos3. Os números C e D são os dois últimos termos4. Os números A e C são os antecedentes5. Os números B e D são os consequentes6. A e D são os extremos7. B e C são os meios8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma

constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

Para a proporção

A

B=

C

D

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

A+B

A=

C+D

C   e   

A-B

A=

C-D

C

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

A+B

B=

C+D

D   e   

A-B

B=

C-D

D

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

A+C

B+D=

A

B=

A-C

B-D   e   

A+C

B+D=

A-C

B-D=

C

DGrandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma

proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X

Y= K

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

15 minutos50 cm

30 minutos100 cm

45 minutos150 cm

     

     

     

2. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

Tempo (min) Altura (cm)15 5030 10045 150

3. Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

4. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

15

30=

50

100=

1

2

6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

15

45=

50

150=

1

3

7. Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h)80 1

160 2240 3

9. Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

10. Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.

11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

1

2=

80

160=

1

3

12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

2

3=

160

240=

1

3

13. Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

2.o melhor aluno receberá 24 livros

3.cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros

4.cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros

5.cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros

6.cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros

Alunos escolhidos Livros para cada aluno1 242 123 84 66 4

7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

4=

1

12/6=

1

2e

12

6=

1

2/4=2

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

6=

1

12/4e

12

4=

1

2/6

Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

8. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

9.1 hora, velocidade média de 120 Km/h

10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h

11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)120 160 240 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Elementos históricos sobre a Regra de três

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X

Y= K   e   

W

Z= K

assim

X

Y=

W

Z

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)10 5415 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

10

15=

54

X

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas

também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A · B = K    e   C · D = K

segue que

A · B = C · D

logo

A

C=

D

B

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)180 20200 T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

180

200=

T

20

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

SituaçãoGrandeza 1

Grandeza 2

Grandeza 3

Grandeza 4

Grandeza 5

Grand...Grandeza ?

Situação 1

A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação 2

A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1

Z2=

A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

Z1 = A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …

Z2 A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Z1

Z2=

A1 · B2 · C1 · D2

A2 · B1 · C2 · D1

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)

5 6 400

7 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são

diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

400

x=

5×6

7×9

que pode ser posta na forma

400

x=

30

63

Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)

200 4 2

500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

2

X=

200×5

500×4

que pode ser posta como

2

X=

1000

2000

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

Porcentagem

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:

42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255

42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

Juros Simples

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.

2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.

3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

j =C · i · t

100

Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

652,00 - 450,00 = 202,50

A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

X% de 450,00 = 40,50

X/100.450,00 = 40,50

450 X / 100 = 40,50

450 X = 4050

X = 4050 / 450

X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:

3% de C = 960,00

3/100 C = 960,00

3 C / 100 = 960,00

3 C = 96000

C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A

p=

B

q

A solução segue das propriedades das proporções:

A

p=

B

q=

A+B

p+q=

M

p+q= K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p  e  B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A

2=

B

3=

A+B

5=

100

5= 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A

8=

B

3=

A-B

5=

60

5=12

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

X1

p1

=X2

p2

= ... =Xn

pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1

p1

=X2

p2

 =...= Xn

pn

=X1+X2+...+Xn

p1+p2+...+pn

=M

P= K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A

2=

B

4=

C

6=

A+B+C

P=

120

12=10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A

2=

B

4=

C

6=

2A+3B-4C

2×2+3×4-4×6=

120

-8= – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A

1/p=

B

1/q=

A+B

1/p+1/q=

M

1/p+1/q=

M.p.q

p+q= K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A

1/2=

B

1/3=

A+B

1/2+1/3=

120

5/6=

120.2.3

5= 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A

1/6=

B

1/8=

A-B

1/6-1/8=

10

1/24= 240

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn

inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

X1

1/p1

=X2

1/p2

= ... =Xn

1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1

1/p1

=X2

1/p2

=...=Xn

1/pn

=X1+X2+...+Xn

1/p1+1/p2+...+1/pn

=M

1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A = B = C = A+B+C = 220 = 240

1/2 1/4 1/6 1/2+1/4+1/6 11/12

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A

1/2=

B

1/4=

C

1/6=

2A+3B-4C

2/2+3/4-4/6=

10

13/12=

120

13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários! :-)

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

A

c/p=

B

d/q=

A+B

c/p+d/q=

M

c/p+d/q=

M.p.q

c.q+p.d=K

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A

2/5=

B

3/7=

A+B

2/5+3/7=

58

29/35= 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A

4/6=

B

3/8=

A-B

4/6-3/8=

21

7/24= 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn

diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

X1

p1/q1

=X2

p2/q2

=...=Xn

pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1

p1/q1

=X2

p2/q2

=...=Xn

pn/qn

=X1+X2+...+Xn

p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

A

1/4=

B

2/5=

C

3/6=

A+B+C

1/4+2/5+3/6=

115

23/20= 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A

1/2=

B

10/4=

C

2/5=

2A+3B-4C

2/2+30/4-8/5=

10

69/10=

100

69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40

meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50x40=2000;  p2=60x30=1800;  p 3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A

2000=

B

1800=

C

1200

A solução segue das propriedades das proporções:

A

2000=

B

1800=

C

1200=

A+B+C

5000=

25000

5000= 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

Matemática para concursos/Regra de três simples e regra de três compostaOrigem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.

Nessa página, exercícios que contenham problemas envolvendo a regra de três (simples e/ou composta).

[Exercícios sobre Regra de três

1. (CFO-93) Se uma vela de 360 mm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?

20 minutos

0

30 minutos

2h 36 min

3h 20 min

3h 18min

2. (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 15 operários deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

53

54

56

58

3. (FESP-96) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:

90 dias

80 dias

12 dias

36 dias

64 dias

4. (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?

10

20

15

30

6

5. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

2h30min18s

2h37min8s

2h37min30s

2h30min30s

2h29min28s

6. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em:

18 dias

3 dias

20 dias

6 dias

16 dias

7. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é:

8

9

10

12

15

8. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários para essa substituição foi:

1.029

1.050

1.470

1.500

1.874

9. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:

24 min

30 min

32 min

36 min

50 min

Enviar

Pontuação actual: 0 certas em 0

{< font color=gray>(UNFMG) Uma blusa custa R$ 30,00 e está na promoção com um desconto à vista de 20%. Qual será o preço dessa blusa ? |type="()"} -R$ 40,00 -R$ 23,00 +R$ 24,00 -R$ 50,00 -R$ 18,00 </quiz>

[editar] Gabarito1 2 3 4 5 6 7 8 9

D B E C C C D C B

Resolução

[editar] 1

Logo:

Altura Tempo

1,8mm 1min

360mm x

x = = 200 min = 3 horas (180 min) e 20 minutos

[editar] 2

A previsão era de 40 dias e, como já se passaram 13, os 30 operários deveriam concluir a obra em 40 − 13 = 27 dias. Mas ficaram apenas 15 daqueles 30 operários (pois saíram 15). Como o número de trabalhadores diminuiu pela metade, pode-se esperar que o restante da obra demore mais do que o previsto para ser concluído. Para saber exatamente quanto tempo ainda falta, basta aplicar a regra de três, levando em conta que o tempo é inversamente proporcional a quantidade de operários. Assim:

Operários Dias

30 27

15 x

Como os valores são inversamente proporcionais, então Logo

Portanto, a resposta correta é a segunda.

Poderíamos também resolver esta questão sem o uso da regra de três, o que para alguns pode ser mais difícil e para outros mais fácil:

Sabendo que 30 operários fazem o serviço em 40 dias, podemos concluir que 15 fazem em 80 dias. Já que no 13° dia o número de operários reduziu à metade (15), e que a razão entre 40 e 80 (os dias) é x2, então logo 80 − (13.2) é igual a quantidade de dias restantes para a conclusão da obra, ou seja, 54.

[editar] 3

3) Se esse tecido possui 36m x 1 de largura, isso significa que a nova medição será de 12m x 2 de largura Logo:

Operários Dias Horas/dia Tecido

12 90 8 36

15 x 6 24

x é inversamente proporcional ao número de empregados e às horas trabalhadas. Então:

dias

[editar] 4

Se:

Operários Dias Horas/dia Muro

20 45 6 1

x 15 8 1/3

x é inversamente proporcional ao número de dias e às horas trabalhadas. Então:

operários

v t 45 3.5 60 x 60x=45*3.5 60x=157,5 157,5/60=2,652

Você pode detalhar o Tempo: 1 hora=60 min 1 minuto =60 s R=2,652 horas R=2 h +0,625 * 60=37,5 minutos R=2 h + 37,5 min R=0,5 * 60 =30 segundos R = 2 horas + 37 minutos + 30 segundos

[editar] 6

8 16 12 15 16 12→ x= 8.50.12 x= 4800

15 50 x 8 50 x 15.16 240

x= 20

[editar] 7

12 | 5 | 30 | 6

18 | 10 | 20 | x

x*30*12*5=18*10*20*6

x=12

[editar] 8

49 tábuas | 300cm x 15cm = 4.500 cm

X tacos | 20cm x 7,5 cm = 150 cm

1.Verificamos que são ao todo 49 tábuas para preencher 4.500 cm.

2. E que são precisos 30 tacos para preencher o espaço de uma tábua, pois 4.500/150 = 30/1

3. Logo, São necessários 49 x 30 tacos para preencher o espaço somente com tacos = 1.470 tacos.

[editar] 9

1m15s | 1h

x | 24h

(1m15s)*24=x

(24m + 360 seg) = x

x = 24m + 360s/60s

x = 24m + 6m

x = 30 minutos

1m15s= 75s então

75s --- 1h

x --- 24h

x= 75s*24h

x= 1800s (1800s/60s)= 30min.

Regra de três compostaOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Ir para: navegação, pesquisa

A regra de três composta, na matemática, é uma forma de se descobrir valores de grandezas a partir de outros valores já existentes. Um modelo reduzido deste método é a regra de três simples, utilizada quando a comparação se dá apenas entre três valores. A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir um único valor a partir de três, cinco ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que os valores referentes a uma mesma classe de objeto devem estar na mesma unidade de medida. [1]

Exemplos práticos

Na análise de como iremos resolver um problema através da regra de três composta, deve-se levar em conta se as grandezas relacionadas são directamente ou inversamente proporcionais. Vejamos a seguir como na prática estas duas situações se comportam.

[editar] Exemplo 1

Temos o seguinte enunciado: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, quantos operários vai precisar?", para resolver este problema adotaremos a seguinte lógica:

a) Vamos elaborar um esquema onde “x” é a incógnita.

Estantes Operários Dias

10 50 5

10 x 2

b) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, faz-se mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) estantes? Caso tenha respondido que fazem mais ↓ , você acertou! Agora vamos assinalar no quadro.

Estantes Operários

10 50

↓ ↓

10 x

c) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, precisa-se de mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) dias? Claro que é menos ( ↑ ). Vamos assinalar no quadro.

Operários Dias

50 5

↓ ↑

x 2

d) O quadro final e completo fica assim.

Estantes Operários Dias

10 50 5

↓ ↓ ↑

10 x 2

e) Vamos criar e resolver a equação.

Atenção que o número de dias foi invertido porque se trata de uma grandeza inversamente proporcional.

Fazendo as contas:

A carpintaria precisará de 125 operários.

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessarios para descarregar 125 m³?

Horas Caminhões Areia em m³

8 20 160

5 x 125

Sempre onde estiver x a seta é para baixo, ou seja, diretamente proporcional. Ela pode estar em qualquer posição ou lugar. Sempre a seta é para baixo. Ficará assim]. Montando a proporção e resolvendo, ficará assim. Então, serão necessários 25 caminhões.

] Transformando regra de três composta em regra de três simples

Uma maneira fácil (sem precisar decorar regras) de resolver uma regra de três composta é transformá-la em regra de três simples, tomando o cuidado de usar o que for diretamente proporcional.

Por exemplo:

a quantidade de dias é inversamente proporcional à quantidade de operários

a quantidade de estantes é diretamente proporcional à quantidade de operários

Então não se deve armar a regra de três simples com a quantidade de dias.

Deve-se armar a regra de três simples com a quantidade de estantes fabricadas por dia.

Exemplo: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 40 operários para fazer 10 estantes em 5 dias. Quantas estantes ele fabricará em oito dias, sabendo ele que só poderá usar 30 empregados?"

Solução:

40 operários produzem 10/5 = 2 estantes por dia

Os 30 operários farão x/8 estantes por dia

Armando a regra de três simples:

40 - 230 - x/8

40.x/8 = 30x2

x = 12 estantes

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que

envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,

portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em

colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes

em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com

motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de

energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia

produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)

1,2--------400

1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia

1,2---------400↓

1,5---------- X↓

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos

uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Área--------Energia

1,2---------400↓

1,5-----------x↓

1,2X = 400.1,5

x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um

determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo

percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400-----------------3

480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo

400↓-----------------3↑

480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros

mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que

esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai

para cima

velocidade----------tempo

400↓-----------------X↓

480↓---------------- 3↓

480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª

coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar

que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos

uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se

comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas----preço (R$)

3------------- 120

5---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e

resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou

determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido

para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑------------------------20↓

5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑

5↑------------------------20↑

5x = 8. 20

passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo

para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar

que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e

resolvendo a equação temos:

EXERCICIOS

1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28

minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias.

Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias

gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas

levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9

marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)

6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40

operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos.

Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de

areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo

trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos

litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4

horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo.

Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg

de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15

pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças

produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60

km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o

mesmo percurso? (R:4)

15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela

fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00

quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12

operários para fazer a mesma casa? (R:20)

18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos

litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o

mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)

20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas.

Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30

linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,

quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de

mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que

se correspondem:

Horas --------caminhões-----------volume

8↑----------------20↓----------------------160↑

5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número

de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para

cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de

caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo

na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o

produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume

8↑----------------20↓----------------------160↓

5↑------------------x↓----------------------125↓

20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.

Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens----- carrinhos------ dias

8-----------------20--------------5

4-------------------x-------------16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a

razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto

a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a

razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das

outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos

EXERCICIOS

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia.

Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?

(R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros

serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.

Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia?

(R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer

864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que

trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer

um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo

serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos

alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ?

(R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em

quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia?

(R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia

durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000

parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão

10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas

de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão

extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).

11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para

construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16

operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

(R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por

dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria

viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60

km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido

com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1

metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R:

2025 metros.)

14) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de

tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de

altura? (R: 3 latas)

15) Três máquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8

máquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo número de

horas por dia (R: 6 dias )

16) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gatam 4 horas. Para

produzir 15 camisas, 4 máquinas quantas horas gastam? (R: 6 horas)

17) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão

produzidas por 12 operários em 6 dias ? (R: 5 peças)

18) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 Kg de ração, Em quantos dias

15 cachorros coEXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

1) A piscina de um clube tem 2 m de profundidade, 10m de

comprimento e 6 m de largura. Para enchê-la de água, serão

necessários

a) 120 litros

b) 360 litros

c) 3600 litros

d) 120.000 litros X

e) 240.000 litros

....__........................X + 1

2) A solução da equação 2 = 32 é

a) x = 0

b) x = 2

c) x = 4 X

d) x = 6

e) x = 8

3) A planta de um terreno está na escala de 1/600 se a frente desse

terreno mede 4 cm na planta na realidade a medida é de ;

a) 4m

b) 10 m

c) 12 m

d) 24 m X

e) 60 m

4) Numa pequena empresa com 20 funcionários a distribuição dos

salarios é a seguinte:

Nº de funcionários salario

10 R$ 400,00

06 R$ 500,00

04 R$ 1.000,00

O salário médio dessa empresa é de

a) R$ 430,00

b) R$ 500,00

c) R$ 550,00 X

d) R$ 630,00

e) R$ 800,00

5) Dividir o numero de visitantes do Zôo por 0,02 é o mesmo que

multiplicá-lo por :

a) 20

b) 30

c) 50 X

d) 60

e) 100

6) Um filhote de 7 meses de tamanduá bandeira (espécie ameaçada

de extinção) recebe 15 visitas a cada 10 minutos . Ao final de 8 horas

de visita, ele foi visto por

a) 880 pessoas

b) 780 pessoas

c) 750 pessoas

d) 720 pessoas X

e) 680 pessoas

7) Em virtude do aumento de despesas, o Zôo precisou majorar o

preço do seu ingresso para crianças acima de 12 anos e adultos até

65 anos, de R$ 7,50 para R$ 9,00. A taxa percentual de aumento foi

de

a) 25%

b) 20% X

c) 15%

d) 10%

e) 1,5%

8) Qual é o volume de concreto necessário para refazer o fundo da

piscina do Urso Polar, tendo em vista que o fundo tem 25 m de

comprimento ,4 m de largura e 50 cm de espessura em metros

quadrados ?

a) 200

b) 100

c) 80

d) 50 X

e) 45

9) Um Cercado está sendo preparado para receber a Ema Branca,

com sua bela plumagem e olhos azuis. Ele terá o formato de um

triângulo retângulo com dois de seus maiores lados medindo 8 m e 10

m O perímetro do cercado é

a) 28 m

b) 26 m

c) 24 m X

d) 22 m

e) 20 m

10)Resolvendo a equação x² + 2x –3 = 0 obtemos os valores

a) x=1 e x=-3 X

b) x=2 e x = 3

c) x= 3 e x = -3

d) x= -2 e x = 3

e) x= -1 e x= 3

11) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é

a) 63

b) 74 ...................... dados an = a1 + (n – 1) r

c) 87

d) 98 X

e) 104

12) Um livro com três capitulos possui 217 paginas . O segundo

capitulo tem o dobro de paginas do primeiro e o terceiro tem o dobro

do segundo . Qual o numero de paginas do primeiro capitulo?

a) 19

b) 27

c) 31

d) 43

e) 51

13) A soma dos salários de Claudia e de seu marido é R$ 1900.00 O

dobro do salário de Claudia é igual ao triplo do salário de seu marido .

Qual o salario de claudia ?

a) 702

b) 815

c) 905

d) 1140 X

e) 1215

14) A expressão √90 : √160

a) 2

b) ¾ X

c) 4

d) 4/5

e) 5

15) O vazamento de água no cano de uma torneira, causado por

buraco do tamanho da cabeça de um prego, desperdiça 3200 litros de

água por dia. Nesse caso, são disperdiçados por hora

aproximadamente.

a) 53,2 litros de água

b) 100,0 litros de água

c) 133,3 litros de água X

d) 224,5 litros de água

e) 320,0 litros de água

16) Na Bahia de Mimoso e seu entorno, são produzidas 1.700.000

toneladas de grão de soja o que equivale a 2/3 da produção baiana.

A produção baiana de soja é de

a) 2.550.000 toneladas X

b) 2.380.000 toneladas

c) 1.950.000 toneladas

d) 1.133.000 toneladas

e) 560.000 toneladas

17) Joça gastou metade de uma lata de tinta para pintar uma sala .

Em seguida gastou 3,0 litros para pintar a cozinha restaram 2,0 litros

da lata. Então na lata havia.

a) 4 litros de tinta

b) 5 litros de tinta

c) 7 litros de tinta

d) 8 litros de tinta

e) 10 litros de tinta

18) Numa bicicleta de aro 26, cujo diâmetro da roda é de

aproximadamente 66 cm o numero de voltas completas que as rodas

precisam dar para um percurso de 207,24 m é de:usar C= 2πr com

pi= 3,14

a) 50 voltas

b) 100 voltas X

c) 150 voltas

d) 200 voltas

e) 250 voltas

19) A piscina de um clube tem 2 m de profundidade, 10m de

comprimento e 6 m de largura. Para enchê-la de água, serão

necessários

a) 120 litros

b) 360 litros

c) 3600 litros

d) 120.000 litros

e) 240.000 litros

________________________x + 1

20) A solução da equação 2 = 32 é

a) x = 0

b) x = 2

c) x = 4 X

d) x = 6

e) x = 8

21) A planta de um terreno está na escala de 1/600 se a frente desse

terreno mede 4 cm na planta na realidade a medida é de ;

a) 4m

b) 10 m

c) 12 m

d) 24 m X

e) 60 m

22) Numa pequena empresa com 20 funcionários a distribuição dos

salarios é a seguinte:

Nº de funcionários salario

10 R$ 400,00

06 R$ 500,00

04 R$ 1.000,00

O salário médio dessa empresa é de

a) R$ 430,00

b) R$ 500,00

c) R$ 550,00 X

d) R$ 630,00

e) R$ 800,00

23) Marcos quer viajar de Recife a Curitiba passando por São Paulo.

Sabe-se que há 3 roteiros diferentes entre Recife e São Paulo e 4

roteiros diferentes de São Paulo a Curitiba, de quantas maneiras

diferentes ele poderá viajar de Recife a Curitiba?

a) 3

b) 4

c) 7

d) 12 X

e) 16

24) Uma loja coloca em promoção 20 camisetas, das quais 4

apresentam defeitos. Escolhendo-se uma camiseta ao acaso , a

probabilidade dela ser defeituosa é de

a) 20%

b) 25%

c) 30%

d) 40%

e) 45%

25) Numa bicicleta de aro 26, cujo diâmetro da roda é de

aproximadamente 66 cm, o numero de voltas completas que as rodas

precisam dar para um percurso de 207,24 m é de:

---------dados --------C=2piR

a) 50 voltas

b) 100 voltas X

c) 150 voltas

d) 200 voltas

e) 250 voltas

26) Uma fabrica possui 63 funcionários. O departamento médico

dessa fabrica convocou para exame médico 1 funcionário no primeiro

dia, 2 funcionários nos segundo dia, e 4 funcionários no terceiro dia ,

e assim por diante após cinco dias ainda estavam faltando para fazer

o exame médico.

a) 56 funcionários

b) 48 funcionários

c) 38 funcionários

d) 32 funcionários X

e) 26 funcionários

27) Um baralho tem 52 cartas . Ao tirar uma aleatoriamente, a

probabilidade de que seja do naipe de ouros é de:

a) 12,5 %

b) 30 %

c) 20 %

d) 25 % X

e) 33 %

28) Os cinco primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo

primeiro termo é 2 e a razão é 3 , são:

a) (2,5,8,11,14)

b) (2,6,36,72,108)

c) (2,6,18,72,144)

d) (2,6,18,54,162) X

e) (2,8,36,108,216)

29) Numa caixa existem, ao todo, 96 bolinhas de bilhar, sendo 80

brancas e 16 vermelhas supondo que todas tenham a mesma chance

de serem retiradas da caixa, qual é aproximadamente, a

probabilidade de uma pessoa, de olhos fechados, retirar um bolinha

branca?

a) 40%

b) 67%

c) 95%

d) 88%

e) 83% X

30) Quanto se pagará, ao fim de 3 meses, por um empréstimo de R$

1.000,00 com juros de 10% ao mês

a) 1.310,00

b) 1.321,00

c) 1.351,00

d) 1.340,00

e) 1.331,00

31) O número inteiro positivo multiplicado pelo seu sucessor

(consecutivo) é igual a 12. O número é:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

e) 8

32)Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto

receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?

a) R$ 12.300,00

b) R$ 10.400,00

c) R$ 11.300,00

d) R$ 13.100,00

e) R$ 13.200,00 x

33) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta

uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de

130 m de altura?

a) 290m

b) 390m X

c) 490m

d) 590m

e) 690m

34) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença

entre os salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é:

a) R$ 5500,00

b) R$ 4500,00 X

c) R$ 4000,00

d) R$ 5000,00

e) R$ 3500,00

35) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros .

Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população

total ?

a) 1.360.000

b) 13.600.000 X

c) 136.000.000

d) 10.531.840

e) 105.318.400

36) O valor da expressão (1/2 + 1/4) : 1/3 é

37) O valor da expresão (2³)² : √64 + √ 144 é

38) Pedro e Ana resolveram juntar dinheiro para comprar uma casa

todo o mês eles economizavam R$ 1.000,00 Ana contribuia com R$

400,00 e Pedro R$ 600,00. Compraram a casa mais eles brigaram.

Venderam-na e dividiram o dinheiro de acordo com a porcentagrm de

contribuição de cada um. A porcentagem recebida por Ana foi de

39) Um numero somado com o seu dobro é igual a sua terça parte

mais 80 unidades. Esse numero é

40) O perimetro de um terreno retangular é de 320 metros. O lado

menor é 1/3 do lado maior. Quanto mede o lado mede o lado mair do

terreno em metros ?

41) A quantos minutos correspondem 10.800 segundos? E Quantas

Horas?

42) A quantos dias e quantas horas correspondem 8.460 minutos?

43) A quantos minutos e quantos segundos correspondem 2.145

segundos ?

44) 3 Kg de feijão foram divididos em sacos de 500 g cada um .

Quantos sacos foram utilizados ?

45) Um caminhão está transportando 1 tonelada de batatas

distribuídas em sacos. Cada saco pesa cerca de 50 kg Quantos sacos

de batata esse caminhão está transportando ?

46)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão

aritmética (PA) então o valor de x é:

a) -16

b) -14

c) -18

d) -12

e) -20

47) A metade de um numero é igual a terça parte de 27 . Esse

número é:

a) 4

b) 8

c) 15

d) 18

e) 21

48) Para adquirir um carro que custa R$ 4.500,00, preciso de 3 meses

do meu salário mais R$ 360,00 logo meu salário é de :

a) R$ 1.180,00

b) R$ 1.200,00

c) R$ 1.380,00

d) R$ 1.500,00

e) R$ 1.620,00

49) Um jardineiro trabalha de 2ª a 6ª feira ganhando 12 reais por dia

de trabalho . Aos sábados sempre faz um serviço extra recebendo 15

reais . Após 5 semanas de trabalho quantos reais ele terá recebido?

a) 275

b) 350

c) 375

d) 400

e) 425

50) A solução da equação 2x + 5x + 1200 = 10x é:

a) 200

b) 250

c) 300

d) 400

e) 450

51) A expressão que se torna verdadeira quando x substituído por 5

é:

a) 3x – 7 = 10

b) 20 – 2x = 5

c) 5( x + 3 ) = 45

d) x( x – 2) = 18

e) 4x – 8 = 2x + 2

52) A solução do sistema de equações

--( x / 2) + (y / 5 ) = 4

---x – y = 15

a) (5 , 10)

b) (10 , 10)

c) ( -10 , 5)

d) ( 10 , -5)

e) ( 5 , 5 )

53) A solução da equação 5( x + 3 ) – 2( x-1)= 20 é:

a) 3

b) 1

c) 0

d) 9

54) O triplo de um numero , mais dois , é igual ao próprio numero,

mais 8 . Esse número é :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

55) A expressão (-x-y)² é igual a:

a) x²+ 2xy + y² X

b) -x² - 2xy -y²

c) x² + y²

d) x² – y²

56) Um trabalhador recebeu uma gratificação de R$750,00 e gastou

dois terços com alimentos e o restante com transportes. Quanto ele

gastou com transportes?

(a)R$250,00

(b)R$260,00

(c)R$280,00

(d)R$290,00

(e)R$300,00

57) Qual a solução do sistema de equações abaixo?

x-y=3

2x+y=9

(a)x=1 e y=0

(b)x=2 e y=3

(c)x=3 e y=2

(d)x=4 e y=1 X

(e)x=5 e y=3

58) Pedro é dois anos mais velho que seu irmão. Como a soma das

idades atuais deles é 42, pode-se afirmar que, agora, Pedro tem

(a)15 anos

(b)18 anos

(c)22 anos

(d)25 anos

(e)28 anos

59) A planta de uma casa está na escala 1/200. Qual o comprimento

real do corredor desta casa se, na planta, o seu comprimento é de

1,5cm?

(a)2,5m

(b)3,0m

(c)6,0m

(d)7,5m

(e)9,0m

60) Uma conta telefônica apresentou R$35,00 de gastos com a

assinatura e 240 pulsos. Se o custo de cada pulso é de R$0,17, qual

foi o valor da conta?

(a)R$43,50

(b)R$52,30

(c)R$61,90

(d)R$66,40

(e)R$75,80 X

61) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x;

10; 12. Podemos concluir que x vale

(a)3

(b)4

(c)5

(d)6

(e)8

62) Um fogão que custava R$600,00 teve o preço aumentado de

15%. Qual o preço do fogão após o aumento?

(a)R$610,00

(b)R$625,00

(c)R$640,00

(d)R$655,00

(e)R$690,00

63) Quantos anagramas podemos formar com a palavra PROVA?

(a)15

(b)50

(c)120

(d)250

(e)500

64)Um restaurante serve três tipos de carnes(bife à milanesa, frango

grelhado e almondegas)

e quatro tipos de acompanhamentos (arroz carreteiro, espaguete,

salada e pene).

De quantas formas podemos escolher o cardápio que tenha um tipo

de carne e um tipo de acompanhamento?

(a)4

(b)6

(c)8

(d)10

(e)12

65) Considere que o ponteiro dos segundos de um relógio muda de

posição a cada segundo. Qual o valor aproximado da probabilidade de

ele estar entre os 5 primeiros segundos do minuto em um instante

qualquer que voce olhar para o relógio?

(a)2,5%

(b)4,0%

(c)6,2%

(d)8,3%

(e)9,5%

66)-Pedro e Ana resolveram juntar dinheiro para comprar uma casa.

Todo mês eles economizavam R$1.000,00.Ana contribuía com

R$400,00 e Pedro com R$600,00.Compraram a casa, mas eles

brigaram. Venderam-na e dividiram o dinheiro de acordo com a

porcentagem de contribuição de cada um.A porcentagem recebida

por Ana foi de

(a)40%

(b)35%

(c)45%

(d)30%

(e)50%

nsumirão 75 kg de ração ? (R: 14 dias)

PercentagemIr A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).

Significado

Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão:

para 1.Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, "loja".

Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na umidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x).

Símbolo

Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática

.

Porém, alguns documentos altamente antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos.

Símbolo no século XV

Símbolo no século XVII

Símbolo a partir do século XVIII

Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smith estudou um manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". Com o tempo a palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria evoluído para um segundo círculo.

Ponto percentual

Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens.

Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.

O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.

Juros simples e porcentagemPorcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc.

A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples.

Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão?

Equacionando e montando a regra de 3 temos:

Na regra de 3, quando as grandezas são diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a comissão) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se vê abaixo:

Ora, se 100 x = 3500 3, então

Logo, a comissão será de R$ 105,00.

Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição:

3% = logo 3% de R$ 3.500,00 seriam x R$ 3.500,00 = R$ 105,00.

Alguns termos de matemática financeiraComo estamos falando de finanças, os termos mais usados, de acordo definições reduzidas, serão:

Capital = o dinheiro em questão; Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado; Capital final = o capital depois de decorrido o tempo determinado; Tempo = determinado período em que se modifica o valor do capital; Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial; Prejuízo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial; Juros = Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de um capital; Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo.

Juros simplesPode parecer óbvio, mas o produto de uma sapataria é o sapato, da papelaria é o papel e similares. No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo.

Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc), serão cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros.

De uma maneira geral o juro simples (J) produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (t) é calculada assim:

Exemplo: Você coloca seu suado dinheiro na poupança, digamos R$ 1.000,00. Após um mês qual será o juro a receber se a taxa é de 0,5% ao mês?

Logo, o banco lhe pagará R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 mês.

Veja que a taxa de juros 0,5% foi colocada em sua forma fracionária.

Exemplo: Você vai utilizar o seu cheque especial de R$ 1000,00 por um mês, sendo que a taxa é de 15% ao mês. Quanto pagará de juros?

Logo, você pagará R$ 150,00 ao banco.