EPII – UNIVÀS – Prof. Paulo Negrão

MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

Fundamentos de Cinemática

1. Preliminares

A Mecânica é o ramo da Física que tem por finalidade o estudo do movimento e do repouso. É dividida em Cinemática, Dinâmica e Estática.

A Cinemática descreve o movimento de um corpo sem se preocupar com suas causas. A Dinâmica estuda as causas do movimento. A Estática analisa as condições para se manter um corpo equilibrado ou em repouso.

Nesta etapa iniciaremos a Cinemática, cujo método de descrição de movimentos emprega, basicamente, as seguintes grandezas: espaço, tempo, velocidade e aceleração.

2. Conceitos Básicos

2.1. Ponto Material

Quando estudamos o movimento de um corpo, muitas vezes é necessário levarmos em conta o seu comprimento, a sua largura e a sua altura. Porém, em certos casos, essas dimensões (comprimento, largura e altura) são muito pequenas em relação ao percurso que esse corpo vai descrever; aí então, desprezamos essas dimensões e consideramos o corpo como se fosse um ponto material.

Considere um automóvel em duas situações de movimento. Quando este automóvel fizer manobras dentro de uma garagem, ele não pode ser encarado como um ponto material, porque devemos levar em conta o seu comprimento, largura e a altura para que não haja colisão.

2.2. Referencial

Note na figura a seguir que o passageiro no interior do ônibus está em repouso em relação ao ônibus e ao motorista, porque a sua posição em relação a eles é sempre a mesma. Já em relação ao observador fixo na Terra, tal passageiro está em movimento, porque sua posição muda com o decorrer do tempo.

Mas quando este carro fizer o percurso de 20 km entre duas cidades A e B, como ilustra a figura a seguir, ele pode ser considerado um ponto material, porque seus 4 m de comprimento tornam-se desprezíveis se comparados aos 20000 m de percurso.

Quando dizemos que um objeto está em movimento, isto significa que sua posição está mudando com o passar do tempo. No entanto, é fácil constatar que o conceito de movimento é relativo, isto é, um objeto pode estar em movimento em relação a um outro, mas pode estar em repouso em relação a um terceiro objeto. Assim, trata-se de um ponto de referência S em relação ao qual é definido a posição do corpo em função do tempo.

para descrever o movimento, o observador deve

definir um sistema de referência ou referencial em relação ao qual o móvel será analisado.

2.4. Trajetória

Consideremos um móvel que esteja em movimento para um dado referencial. Portanto, a posição desse móvel, em relação ao referencial, altera-se no decorrer do tempo.

Se unirmos as sucessivas posições do móvel por uma linha contínua, obteremos a trajetória descrita pelo móvel para o referencial adotado.

Na figura acima, P1, P2, P3, ... representam as sucessivas posições ocupadas pelo móvel, correspondentes aos instantes t1, t2, t3, ... A curva obtida com a união das sucessivas posições ocupadas pelo móvel é denominada trajetória.

Em determinadas situações, considerando-se dois referenciais diferentes, podemos ter duas trajetórias diferentes. Observe a figura a seguir.

A lâmpada que se destaca do teto de um vagão (em tráfego uniforme nos trilhos) cai de forma retilínea em relação ao vagão e, ao mesmo tempo, apresenta trajetória parabólica em relação aos trilhos.

2.5. Deslocamento

Como no item anterior, deslocamento é o espaço percorrido em uma determinada trajetória. Veja:

Um corpo em uma mesma trajetória em espaços diferentes.

A Cinemática não estuda as causas dos movimentos, servindo então para ela qualquer referencial. Assim, se o referencial for o Sol, a Terra gira ao seu redor, e se o referencial for a Terra, o Sol gira ao seu redor.

2.3. Movimento e Repouso

Dizemos que um corpo se encontra em movimento, sempre que a sua posição se modificar, no decorrer do tempo, em relação a certo referencial.

Dizemos que um corpo se encontra em repouso, sempre que a sua posição se mantiver (for a mesma), no decorrer do tempo, em relação a certo referencial.

Trajetória é o caminho determinado por uma sucessão de pontos, por onde o móvel passa em relação a um certo referencial

Concluímos que a variação dos espaços e tempo percorridos por esse corpo é calculada da seguinte forma: ∆S = S2 - S1 ∆t = t2 - t1

Então, se o corpo desloca: • no sentido da trajetória: S2 > S1 → ∆S > 0 • no sentido oposto ao da trajetória: S2 < S1 → ∆S < 0 Agora, se no instante t1 e t2, o corpo estiver na mesma posição teremos: S2 = S1 → ∆S = 0

2.6. Velocidade média - É a taxa de variação da posição de um corpo se esse tivesse se deslocado da posição inicial

à final em velocidade constante. Define-se o vetor velocidade média como sendo:

2.7. Velocidade instantânea - Considere um carro se deslocando em uma estrada. O valor da velocidade do carro num determinado instante denomina-se velocidade escalar instantânea. Note que a velocidade média é diferente da velocidade instantânea. A velocidade instantânea de um automóvel é a velocidade que conseguimos ler através da leitura de um velocímetro. Assim se dissermos que o móvel tem uma velocidade escalar média de 80 km/h, não quer dizer que você manteve a velocidade constante e igual a 100 km/h. Δ = Significa variação, sempre está precedido de alguma outra letra significando variação de alguma coisa;

Recapitulando, temos:

S = Vem do inglês “space“, significa espaço, distância;

T = Vem do inglês “time“, significa tempo, instante, momento;

Vm = Velocidade média;

A = significa aceleração;

O = significa inicial, sempre está procedido de alguma coisa.

É importante lembrar que isso vale tanto para MRU quanto para MRUV (tirando a aceleração, pois como já vimos, não há em MRU)

3. MOVIMENTO UNIFORME

O Movimento Uniforme é qualquer movimento realizado por um corpo que percorre distâncias iguais em tempos iguais, sempre com velocidade constante, ou seja, não importa as causas do movimento, como se iniciou ou como terminou. No MU, o corpo não necessita estar se movimentando em linha reta, em círculos ou em qualquer outra forma, basta que a sua velocidade escalar se mantenha a mesma por todo o tempo.

Suponhamos que você esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do velocímetro fique sempre na

mesma posição, por exemplo, 80 Km, no decorrer do tempo. Nessa condição, você irá percorrer a cada

Num espaço tridimensional, precisamos definir três números, ou "coordenadas", para dar a posição de uma partícula. Isso quer dizer que duas partículas que estejam à mesma altura podem não estar na mesma posição: uma pode simplesmente estar mais "para frente" ou "para o lado" do que a outra. No entanto, existem casos onde podemos restringir o movimento das partículas a uma reta. Por exemplo, podemos pensar em partículas que só podem se mover "para os lados", não podendo nem subir ou descer e nem ir para frente ou para trás.

hora de viagem, em duas horas percorrerá , e assim por diante. O movimento descrito nessa situação é denominado movimento uniforme (MU). O móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais.

4. MOVIMENTO RETILÍNEO

4.2. MRUV (Movimento retilíneo uniformemente variado), onde a aceleração constante e conseqüentemente haverá também variação na velocidade.

Vamos iniciar aprendendo alguns conceitos, ou melhor, significações de alguns termos usados por aqui.

5. CONVERSÕES

Algo que vale para todos os tipos de movimento são as conversões, se o problema te der metros e horas, você deverá dar a resposta em m/s ou em km/h que são as unidades mais usadas. B

Para passar de Km para m - basta multiplicar por 1.000 (mil) e para fazer ao contrário basta dividir.

Exemplo 1: 7km = 7.000m e 14.000 m = 14 km

Para passar de h para s - basta multiplicar por 3.600 (quantidade de segundos em uma hora, 60²). E para fazer ao contrário divide-se por 3.600.

Exemplo 2: 12 h = 43.200 s e 14.400 s = 4 h

Para passar de km/s para m/s - devemos dividir por 3,6. Para passar de m/s para km/h, aí sim deveremos multiplicar.

Exemplo 3: 72 km/h = 20 m/s e 25 m/s = 90 km/h

Agora é a sua vez. Elabore e converta algumas unidades.

6. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME

Sem sombra de dúvidas é a parte mais fácil em questão de movimento, é importante que você tenha uma

boa base aqui. Há algumas fórmulas, embora haja outra maneira mais simples de aprender

Vamos estudar um exemplo simples:

Um ônibus sai às 07h do terminal rodoviário de São Paulo e chega às 17h no terminal rodoviário do Rio de Janeiro. Considerando este movimento uniforme e sabendo que a distância entre os terminais é de 600km determine a velocidade média do ônibus.

Em física, poderemos usar muitas vezes essa “pirâmide” para nos poupar de decorar fórmulas, para descobrir o valor de algo, basta tampá-lo e ver o que sobrou. Por exemplo, para descobrir ΔS (variação de distância), basta multiplicar VM (velocidade média) por ΔT (variação de tempo). Para calcular ΔT, basta dividir ΔS por VM e por aí vai. Gostou?

Quando falamos de movimento retilíneo, ou seja, um movimento em linha reta, podemos estar falando de dois tipos de movimento bastante distintos: 4.1. MRU (Movimento retilíneo uniforme), onde não há aceleração, logo a velocidade será a mesma. O Movimento Retilíneo Uniforme é a mesma coisa que o MU, exceto pelo fato de que, obrigatoriamente, o trajeto percorrido pelo corpo deve ser uma linha reta.

- A variação de espaço é 600 km - a variação de tempo é 17h – 7h = 10h, logo a velocidade média é dada por: Vm = 600 km/10h Vm = 60 km/h

Neste movimento o móvel percorreu 600 km com velocidade constante e igual a 60 km/h, ou seja, um exemplo de movimento retilíneo e uniforme.

Saiba mais...

Por convenção, definimos que, quando um corpo se desloca em um sentido que coincide com a orientação da

trajetória, ou seja, para frente, então ele terá uma v>0 e um >0 e este movimento será chamado movimento progressivo. Analogamente, quando o sentido do movimento for contrário ao sentido de orientação da trajetória, ou

seja, para trás, então ele terá uma v<0 e um <0, e ao movimento será dado o nome de movimento retrógrado.

EXERCÍCIOS DE VELOCIDADE MÉDIA E MOVIMENTO UNIFORME

01. A função horária dos espaços de um móvel é s = 5 + 3t.Considere s em metros e t em segundos. Determine: a) o espaço inicial e a velocidade do móvel. b) o espaço do móvel no instante t = 10 s. 02. Um móvel se desloca obedecendo à seguinte função horária: s = 50 - 20t. a) Qual é o espaço inicial e a velocidade do móvel? b) Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços? c) Qual é o espaço e a velocidade do móvel no instante t = 10 s? 03. Dois móveis, A e B, percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e velocidades com intensidades respectivamente iguais a 2,0m/s e 1,0m/s e sentidos indicados na figura.

No instante t0, o móvel A está posicionado em A0 e o móvel B em B0. Adotando-se o ponto 0 como origem dos espaços e o instante t0 como origem dos tempos, determine: a) as equações horárias para os movimentos de A e B; b) a distância entre os móveis A e B no instante t1 = 10,0s. 04. Sabe-se que o tempo que um motorista leva para pôr os pés no freio, a partir do instante em que ele vê um acontecimento (tempo de reação), é de, aproximadamente, 0,70 segundos. Se um carro está trafegando numa avenida a 108 km/h (igual a 30,0m/s), apenas nesse intervalo de tempo de reação do motorista o carro percorrerá uma distância de, aproximadamente, a)2,0m b) 10,0m c) 21,0m d) 40,0m e) 50,0m 05. Conhecida pelo nome de seu idealizador, a sonda de Behm determinava com precisão a profundidade do leito oceânico. Consistia em um cartucho explosivo que era detonado na água, em um dos lados do casco do navio. O abalo produzido, propagando-se na água, atingia o leito do mar e refletia-se para a superfície, onde, do outro lado da embarcação, um microfone protegido do som inicial pelo casco do navio recolhia o eco proveniente do fundo. Um navio em águas oceânicas, após detonar uma sonda, registra o eco 1,2s após a detonação. Sabendo-se que o módulo da velocidade de propagação do som na água do mar é 1,4. 103m/s, a profundidade local do leito é, aproximadamente: a) 260m b) 420m c) 840m d)1 260m e)1 680m 06. Um atirador aponta sua arma para o alvo, situado a 225m de distância, e dispara um projétil. O impacto do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 1,6 s após o disparo. Sendo 340 m/s a velocidade de propagação do som no ar, determine a velocidade do projétil, suposta constante. 07. Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade, encontra-se uma pessoa que ouve dois sons separados por um intervalo de tempo de 0,18s. O primeiro dos sons se propaga através do trilho com uma

velocidade de 3400m/s, e o segundo através do ar, com uma velocidade de 340m/s. O comprimento do trilho em metros será de: a) 340m b) 68m c) 168m d) 170m 08. A distância que separa dois automóveis, num dado instante (t0), é 50 km. Ambos per correm a mesma estrada retilínea, no mesmo sentido com movimentos uniformes. O carro da frente tem velocidade escalar de 60 km/h e o de trás, 70 km/h. a) Determine após quanto tempo o de trás alcançará o da frente. b) Quantos quilômetros deverá andar o de trás até alcançar o da frente? 09. O sr. José sai de sua casa caminhando com velocidade escalar constante de 3,6km/h, dirigindo-se para o supermercado que está a 1,5km. Seu filho Fernão, 5 minutos após, corre ao encontro do pai, levando a carteira que ele havia esquecido. Sabendo-se que o rapaz encontra o pai no instante em que este chega ao supermercado, podemos afirmar que a velocidade escalar média de Fernão foi igual a: a) 5,4km/h b) 5,0km/h c) 4,5km/h d) 4,0km/h e) 3,8km/h 10. Dois trens, A e B, de 200 m e 250 m de comprimento, respectivamente, correm em linhas paralelas com velocidades de 18 km/h e 27 km/h, em sentidos opostos. O tempo que decorrerá desde o instante em que começam a se cruzar até o instante em que terminam o cruzamento é: a) 10 s. b) 25 s. c) 36 s. d) 40 s. e) 50 s.

EXERCÍCIOS DE GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME 01. O gráfico abaixo representa o espaço (s) em função do tempo (t) para o movimento de um ponto material.

a) Calcule a velocidade escalar e o espaço inicial. b) Classifique o movimento e escreva a equação horária do espaço. c) Determine o instante t1 em que o ponto material passa pela origem dos espaços. 02. Um móvel se desloca sobre uma reta conforme o diagrama a seguir. O instante em que a posição do móvel é de +20m é:

a) 6 s b) 8 s c) 10 s d) 12 s e) 14 s 03. Considere o gráfico posição x tempo para um carro que se desloca ao longo de uma estrada retilínea (eixo Ox) onde a velocidade máxima permitida é de 80km/h.

Tendo como base o gráfico acima, considere as afirmações: I. O carro partiu da origem. II. O carro nunca se afastou mais do que 100 km do seu ponto de partida. III. O carro excedeu o limite de velocidade entre a 2.a e a 3.a hora. IV. O carro deslocou-se sempre afastando-se da origem. V. O carro esteve sempre em movimento entre t = 0 e t = 7h. VI. A distância entre o ponto de partida e a posição em t = 7h é de 30 km. Somente está correto o que se afirma em: a) II e III b) II e IV c) I e III d) V e VI e) IV, V e VI 04. Um caminhão C de 25m de comprimento e um automóvel A de 5,0m de comprimento estão em movimento em uma estrada. As posições dos móveis, marcadas pelo pára-choque dianteiro dos veículos, estão indicadas no gráfico para um trecho do movimento. Em determinado intervalo de tempo o automóvel ultrapassa o caminhão.

Durante a ultrapassagem completa do caminhão, o automóvel percorre uma distância, em metros, igual a. a) 5 b) 15 c) 18 d) 20 e) 60 05. O gráfico da velocidade escalar de um móvel em função do tempo é dado na figura seguinte. Calcule:

a) o deslocamento escalar do móvel entre 0 e 30 s

b) a velocidade escalar média de todo o movimento