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1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo

Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo II : Autovalores, Autovetorese Formas Quadráticas

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química UFRJ

[email protected], [email protected]. 21-2562-7535


Sistema Quadrado Homogêneo : n Equações em n Variáveis

Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)

0=XA

1::

xnXnxnA

O SQH tem, obviamente, a Solução Trivial X = 0Todavia, Temos Interesse apenas na Possibilidade de Soluções Não-Triviais, para as quais X ≠ 0


Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1

∑=

=⇔=m

iiim BXABXAAA

121 ]...[


A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :

Tem Solução X Única



∑=

=⇔=m

iiim BXABXAAA

121 ]...[


A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :

Demonstração

Tem Solução X Única

.)..(0

..,...,0000)(

:..

])...([])...[(.

2121

11

212

1

21

21211

SolUmaHáSóeiXXXXAssim

ILAAAAXXABXABXA

EntãoXXDiferentesSoluçõesDuasháqueAdmitaÚnicaéSolA

BAAAPostopAAAAPostopoisSolTemBXA

n

m

iii

nn

n

iii

=⇒=−

=⇒=⇒=⇒=−⇒

==

≠

====

∑

∑

=

=

ααα



BsesomenteABseA

BsesomenteeseA

⇒⇒

BABsesomenteAABBseA

::


O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.

Demonstração B é Suficiente para A

B é Necessário para A

B é Suficiente para AB é Necessário para A



BsesomenteABseA

BsesomenteeseA

⇒⇒

BABsesomenteAABBseA

::



Demonstração B é Suficiente para A

B é Necessário para A

B é Suficiente para AB é Necessário para A

BABsesomenteeseABAAB

BsesomenteeseA

⇔

⇒⇒

:



00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA

00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA



Demonstração

Suficiência

Necessidade



00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA

.....,,)( 21 DLSãoAAAnpAPostoSingularA n⇒<=⇒



Demonstração

Suficiência

00

001

=≠∃⇒⇒

≠==⇒ ∑=

XAcomXSingularA

XcomobtidoserpodeXAXAn

iii



00.0,.0

.).0..(.0

])0([)(

=≠∃/⇒⇒==⇒

=−=⇒

===⇒

XAcomXSingNãoAÚnicaéXSolSempreéXComo

LGpncomeiÚnicaSolTemXA

npAPostoAPostoSingularNãoA

00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA



Demonstração

Necessidade




SQH com DA ≠ 0, só possui a Solução Trivial X = 0

Demonstração

000)(0,.0

.).0..(.0

])0([)(0

==⇒≠⇒==⇒

=−=⇒

===⇒⇒≠

XparaapenasXAADETÚnicaéXSolSempreéXComo

LGpncomeiÚnicaSolTemXA

npAPostoAPostoSingularNãoADA




SQH com Posto(A)=n-1, tem Solução Completa X = β.S onde β éConstante Arbitrária

Demonstração [ ]

SV

V

XX

X

XcomVXXAVXX

XAVXAXAXAXAXA

AssimúnicoéVTeorPeloAVAcomocolocadoserpodeA

DLColaASejaDLColeILColsnTemAnpAPostoLGpnaSolTemXAnAPostonpAAAAPosto

n

n

nnini

n

iiini

n

inii

n

iii

n

innii

n

innii

n

iiinn

n

nn

βββ =

−

=

−=⇒−=⇒=+

−=⇒−=⇒=+

=

−⇒−==

=−=⇒−=⇒−===

−−

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

∑

∑∑∑∑

∑

1

,0)(

0

).,1.2.(

...;..1..11)(..1.01])0([1)(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

MM

L

Por que ?



SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Demonstração Pelo Teor. 2.4, a Sol. Completa é X = β.S onde β é Constante Arbitrária e S é um vetor específico. Como Posto(A)=n-1, DA=0

).(.

0

0

0

;)0(

1

2

1

SQHCompletaSolXSQHdoSoldedireçãoadefine

D

A

A

A

AEntãoAdecofatoresvetor

kk

A

k

T

n

k

T

k

k

T

k

T

k

TT

k

T

n

T

T

Ω=⇒Ω⇒

=

=

Ω

Ω

Ω

=Ω≠Ω

Ω

Ω

Ω

=Ω

β

M

M

M

M

M




SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Exemplo

−=⇒

−=

==Ω−=−=Ω==Ω

ΩΩΩ

=Ω==

+

12

1

36

3

37554

,69564

)1(,39765

0975654321

1321

1211

13

12

11

1

3

2

1

ββ

ββ

XXDando

XUsamosXXX




Solução Completa do SQH pode ser Obtida pela Estratégia Geral de Pivotamento e Análise de Sistemas Lineares.

Exemplo

0975654321

3

2

1

=

XXX

Sistema Quadrado Homogêneo n x n


Exemplo

000

630630

321)(1

000

975654321

000

975654321

3

2

1

−−−−

=

oNormalizadPivô

AumentadoTableauXXX

=−=

⇒=

=−

==

−

−−

ββ

β1

23

3

2)(..123.])0([2)(

:3000

000210101

2000

630210321

2

XX

X

XLGtemSolAPostoAPosto

FimNuloPivô

Pivô

PivôNormaliza


−=12

1βX

Sol. Completa


Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)

Matriz da Forma Quadrática

)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam

∑∑= =

=n

1i

n

1jjiij XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q

)1xn(X,Y)1xn(X)nxn(A

Variáveis da Forma Quadrática

Variáveis da Forma Bilinear

∑∑= =

=n

1i

n

1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F


)1(,)( xnXnxnASejam

[ ]

( ) XAXXAX)X(Q

XA

XA

XA

XXXXAXXXA)X(Q

XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q

TT

n

1jjnj

n

1jjj2

n

1jjj1

n21

n

1jjij

n

1ii

n

1i

n

jjiij

n

1i

n

1jjiij

==

===

=

∑

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑

=

=

=

=== =

= =

M

L

XAXXAXXXAXQ TTn

i

Tn

jjiij∑∑

= =

===1 1

)(



)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam

∑∑= =

=n

1i

n

1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F

[ ]

XAYYAXYXF

YA

YA

XXYAXYXAYXF

TTT

n

jjnj

n

jjj

n

n

i

n

jjij

n

ii

n

jjiij

==

=

=

===

∑

∑∑ ∑∑∑

=

=

= ===

),(

),(

1

11

11 111

ML

YAXXAYXYFXAYYAXYXF

geralemqueNoteTTTTTT ==≠== ),(),(

,



SimétricaMXMXXAXXQ

MMSimétricaAA

MXMXXAA

XXQ

XAXXAXXAXXAXXQ

XQXQXQXQXQComo

XAXXQ

TT

TT

TT

T

TTTTTT

TT

T

,)(

,2

,2

)(

22)(

)(

2)()()()()(

)(

==

=

+==

+=

+=

+=

+=⇒=

=

Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6

Demonstração



SimétricaMXMXXAXXQ

MMSimétricaAA

MXMXXAA

XXQ

XAXXAXXAXXAXXQ

XQXQXQXQXQComo

XAXXQ

TT

TT

TT

T

TTTTTT

TT

T

,)(

,2

,2

)(

22)(

)(

2)()()()()(

)(

==

=

+==

+=

+=

+=

+=⇒=

=


Demonstração



SimétricaAA

M

XMXXAXXQT

TT

+=

==

2

)(


Devido ao Teor. 2.6, deste Ponto em Diante só Consideramos FQscom Matrizes Simétricas, pois :



0)X(Q0X,realnxnsimétricaMXMX)X(QSeja T =⇒==

Classificação de Formas Quadráticas Definição 2.1

)PD(DefinidaPositiva)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧>1

)0Xumlgapara0)X(Q()PSD(daSemidefiniPositiva)X(Q0X0)X(Q

≠=−⇒≠∧≥2

)ND(DefinidaNegativa)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧<3

)0Xumlgapara0)X(Q()NSD(daSemidefiniNegativa)X(Q0X0)X(Q

≠=−⇒≠∧≤4

Indefinida)X(Q0X0)X(Q0)X(Q0)X(Q

⇒≠∧

=<>

5



Seja Q(X) Definida (PD ou ND), Então DM ≠≠≠≠ 0 Teorema 2.7

)0D(SingularNãoMDefinida)X(Q,LogoDefinidaé)X(QpoisAbsurdo0XMX)X(QEm

)SQH(0Xparaocorre0XMAssim

0)M(DETcomDefinidaXMX)X(QAdmita

M

*T**

*

T

≠−⇒

⇒==

≠=

==

Demonstração



Condição Necessária e Suficiente para Q(X) PD (ND) Teorema 2.8

==

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

T

MMMM

MMMMMMMMMMMM

M,XMX)X(Q

L

MOMMM

L

L

L

Quantidades abaixo todas Positivas (Alternem Sinal com M11<0 )

M,...,MMMMMMMMM

,MMMM

,M

333231

232221

131211

2221

121111



0XMYYMX TT ==

Vetores Ortogonais e Conjugados Definição 2.2

realnxn,PD,SimétricaM0Y,0X,1xnVetoresY,X ≠≠

( )0,0

0

>>

==

YYXX

XYYXTT

TTX , Y São Ortogonais

X , Y São Conjugados por M

( )0,0 >> YMYXMX TT



U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Ortogonais, Então Eles São L.I. Teorema 2.9

Demonstração

≠

≠=⇒⊥⊥⊥⊥

0UU)ji(0UU

UUUUi

Ti

jTi

n321 L

.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe

00UU0UUU.emultPr

0com0U.e.i.;D.LeU,,UAdmita

0parasó0U.I.LSeremPara

kkTkk

n

1ii

Tki

Tk

n

1iiin1

n

1iii

=⇒=

=⇒=⇒=⇒

≠=⊥

==

∑

∑

∑

=

=

=

α

ααα

αα

αα

L



U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Conjugados por MSimétrica e P.D. n x n. Então Eles São L.I. Teorema 2.10

Demonstração

>

≠=⇒

0UMU)ji(0UMU

MporConjugadosU,U,Ui

Ti

jTi

n21 L

.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe

00UMU0UMUMU.emultPr

0com0U.e.i.;D.LU,,UAdmita

0parasó0U.I.LSeremPara

kkTkk

n

1ii

Tki

Tk

n

1iiin1

n

1iii

=⇒=

=⇒=⇒=⇒

≠=

==

∑

∑

∑

=

=

=

α

ααα

αα

αα

L



Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

12122

11

n21n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom

−−+++=

++=+=

=

ααα

ααα

OMMMM

LL




Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

12122

11

n21n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom

−−+++=

++=+=

=

ααα

ααα

OMMMM

LL


Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1 calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Mutuamente Ortogonais.



Demonstração

1nT

1n

nT

1n1nnn

T1n

1T1

nT1

1nnT1

2T2

4T2

424T2

1T1

4T1

414T1

2T2

3T2

323T2

1T1

3T1

313T1

1T1

2T1

212T1

PPWP

0PP,...,PP

WP0PP

...PPWP

0PP,PP

WP0PP

PPWP

0PP,PPWP

0PP

PPWP

0PP

−−

−−− −=⇒=−=⇒=

−=⇒=−=⇒=

−=⇒=−=⇒=

−=⇒=

αα

αα

αα

α

MMMM




Demonstração

End

PWPCalc

EndPP

WPCalc

kiFornkFor

WPFazerWWWEntrarSchmidtocessodosumo

k

iikikk

iTi

kTi

ki

n

∑−

=

+=

−=

−==

=

1

1

1121

.

.

1...1...2

;...,,,:PrRe

α

α





Ao Final, os Vetores da Base Ortogonal podem ser Normalizados

EndPPP

n...1kFor

kkk ==


Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

12122

11

n21

n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr

.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom

−−+++=

++=+=

=

ααα

ααα

OMMMM

L

L




Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

12122

11

n21

n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr

.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom

−−+++=

++=+=

=

ααα

ααα

OMMMM

L

L


Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Conjugados pela Matriz


Demonstração

1nT

1n

nT

1n1nnn

T1n

1T1

nT1

1nnT1

2T2

3T2

323T2

1T1

3T1

313T1

1T1

2T1

212T1

PMP

WMP0PMP,...,

PMP

WMP0PMP

PMP

WMP0PMP,

PMP

WMP0PMP

PMP

WMP0PMP

−−

−−− −=⇒=−=⇒=

−=⇒=−=⇒=

−=⇒=

αα

αα

α

MMMM




Demonstração

End

PWPCalc

EndPMP

WMPCalc

kiFornkFor

WPFazerWWWMEntrarConjugadaBaseparaSchmidtocessodosumo

k

iikikk

iTi

kTi

ki

n

∑−

=

+=

−=

−==

=

1

1

1121

.

.

1...1...2

;...,,,,:PrRe

α

α






Ao Final, os Vetores da Base Conjugada podem ser Normalizados

EndPPP

n...1kFor

kkk ==



Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

A Transformação de uma Forma Quadrática Geral do tipo

∑∑= =

==n

1i

n

1jjiij

T XXMXMX)X(Q

Em uma FQ Diagonal de Mesmo Valor, do tipo

)X(YYDYDY)X(Qn

1i

2iii

T ∑=

==

É uma Maneira Rápida de Determinar o Caracter de uma FQ, Pois :


PD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀>⇒=>1

)kumlgapara0D(PSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D

kk

ii

=⇒≠∀≥⇒=≥2

ND)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀<⇒=<3

4

Indefinida)X(Q0Xpara000

)X(Q0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA

ii

ii

ii

⇒≠∀

<=>

⇒

=<>

5



)kumlgapara0D(NSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D

kk

ii

=⇒≠∀≤⇒=≤




[ ]

∑=

=

==

=

=≠≠=

n

1i

2iii

Tn21

iTij

Ti

n21

YD))Y(X(Q:YemDiagonalFQEm

XMX)X(QConverteYUXçãoTransformaaEntão

UUUUMatrizaSeja

)ji(0UMU),ji(0UMU

MporConjugados1xnVetoresU...,,U,USejamnxnSimétricaMSeja

L




[ ]

[ ]

:Dando

)ji(0UMU:ConjugadosSãoVetoresosComo

UMUUMUUMU

UMUUMUUMUUMUUMUUMU

UUUM

U

UU

UMU

YUMUYYUMUYXMX)X(QXUYYUX

:InversíveléçãoTransformaa.I.LSãoU...,,U,UComo

jTi

nTn2

Tn1

Tn

nT22

T21

T2

nT12

T11

T1

n21

Tn

T2

T1

T

TTTTT1n21

≠=

=

=

===⇒=∴= −

L

MOMM

L

L

LM

Demonstração




( ) ∑=

=

=

===

n

1i

2ii

Ti

nTn

2T2

1T1

T

TTT

adaDiagonalizFQYUMU)X(Q

Y

UMU00

0UMU000UMU

Y)X(Q

YUMUYXMX)X(Q

L

MOMM

L

L

Demonstração




[ ]

1n1nn22n11nnn

iTi

kTi

ki23213133

1T1

3T1

311

T1

2T1

2112122

11

n21

UUUIU

etcUMU

IMUUUIU

UMU

IMU,

UMU

IMUUIU

IUIIIIcosCanôniVetoresCom

ConjugadaBaseparaSchmidtocessoPrviaUdeCálculo

−−++++=

−=++=

−=−=→+=

=

=

ααα

ααα

ααα

L

OMMMM

L




1n1nn22n11nnn

23213133

12122

11

UUUIU

UUIUUIU

IU

−−++++=

++=+=

=

ααα

ααα

L

OMMMM

[ ] [ ]

+=

−

000000000

00000

0

UUUIUUU

1nn

3n43

2n4232

1n413121

n21n21

L

L

MOOMMM

L

L

L

LL

α

ααααααααα




I

000000000

00000

0

IU

1nn

3n43

2n4232

1n413121

=

−

−

L

L

MOOMMM

L

L

L

α

ααααααααα




1

1

343

24232

1413121

100001000

10010

1 −

−

−

−−−−−−−−−

=

L

L

MOOMMM

L

L

L

nn

n

n

n

U

α

ααααααααα



Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo

.)(

)(,,

8631674234531234

4

3

2

1

aCongruêncideçãoTransformacomXQarDiagonaliz

XMXXQ

XXXX

XM T=

=

=




34324214144

23213133

12122

11

4321

1000

,

0100

,

0010

,

0001

:Pr..:Re

UUUIUUUIU

UIUIU

IIII

CanônicaBaseSchmidtocessoparaILVetoressolução

ααααα

α

+++=++=

+==

=

=

=

=




−−

−

=

−

=

−

=

=

−=−=−=−=−=−=

−=−=−=−=

−=−=

1926829.818181.

25.

,

01

909091.181818.

,

00175.

,

0001

926829.,818181.,25.

909091.,5.

75.

4321

33

4343

22

4242

11

4141

22

3232

11

3131

11

2121

UUUU

UMUIMU

UMUIMU

UMUIMU

UMUIMU

UMUIMU

UMUIMU

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

ααα

αα

α




=

=

−−−

−−

=

7073171.20000727273.3000075.200004

000000000000

1000926829.100818181.909091.10

25.181818.75.1

44

33

22

11

UMUUMU

UMUUMU

D

U

T

T

T

T

.)(

7073171.2727273.375.24)( 24

23

22

21

4

1

2

DefinidaPositivaéXQ

YYYYYDXQi

iii

−

+++==∑=


Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores

Considere a Matriz Quadrada Abaixo e o Vetor X

)1xn(X),nxn(AÉ Razoável Questionar sob que Casos a Multiplicação da Matriz por X Produz Vetor Paralelo a X :

( ) 0XIAXXA =−⇔= λλEm geral, Interessa Obter as Condições de Validade de (1) em Termos de X e de λλλλ. Ora, a condição X=0 é Solução Trivial de (1), de modo que apenas buscamos Soluções X ≠≠≠≠ 0. O Sistema (1) é um SQH, que Terá Sols. Não Triviais Se e Somente Se:

1

( ) 0IADET =−λ 2



Esta Equação Conhecida como Equação Característica é um Polinômio de Grau n na Variável λλλλ cujas n Raízes (pelo Teor. Fundamental da Álgebra) sempre existirão, sendo expressas como λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn . Esta Lista de Raízes Poderá Conter Números Reais (distintos ou repetidos, parcialmente ou não) e Números Complexos em Pares Conjugados (também com Repetição ou Não). Desta Forma a Eq. (2) Escreve-se:

( ) 0IADET =−λ 2

( )).2()1(

0))...()()((0 321

emdiagonaistermosaosdevidoKonde

KIADETn

n

−=

=−−−−⇔=− λλλλλλλλλ 3

Fazendo as Multiplicações dos Fatores na Eq. (3), Resulta a Forma Polinomial em λλλλ :



3( )( )

∏∑∑ ∑∑∑∑=

−

=

−

+= +=

−

= +==

−−−−

====

=−+−+++−−=−

=−−−−−=−

n

iin

n

i

n

ij

n

jkkji

n

i

n

ijji

n

ii

nn

nnnnnn

nn

IADET

IADET

1

2

1

1

1 13

1

1 12

11

112

21

1

321

,....,,,

0)1()1(...)1(

0))...()()(()1(

λβλλλβλλβλβ

βλβλβλβλλ

λλλλλλλλλ

4

As n Raízes λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn são os Valores Característicos ou Autovalores da Matriz A. Para λλλλ igual a cada λλλλi destes, o SQH Terá Solução Não Trivial Xi pois o Determinante DA será Nulo. Estas Soluções são os chamados Autovetores ou Vetores Característicos da Matriz A . Com λλλλ=0 na Eq. (4), Vem :

( ) ⇒−= nnADET β2)1( A é Singular (DA=0)

se ao menos um dos Autovalores é Nulo.

)(1

ADETn

ii =∏

=

λ


Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo

=

=

321

321

,,,,

3

312101211

XXXsAutovetoresAutovalore

nA λλλ




=

312101211

AResolução : Equação Característica e Busca

de Autovalores

⇒=−−⇒=−−

=++−−−−−−

=−

+−

−−

−−

=

−−

−⇒=−

0)34(0340)21(2)23()13)(1(

012

12

3211

131

1)1(

0312

11211

0)(

223

2

λλλλλλλλλλλ

λλλ

λλ

λλ

λλ IADET

72

72

0

3

2

1

−=

+=

=

λ

λ

λ




=

312101211

AResolução : Busca de Autovetores no SQH

0312101211

0312

11211

11

1

1

1

=

⇒=

−−

−XX

λλ

λ

11 0 X⇒=λ

−=⇒

12013211

3110

1X

−−

=111

1X




=

312101211

A

07112

17212171

0312

11211

22

2

2

2

=

−−−

−−⇒=

−−

−XX

λλ

λ

22 72 X⇒+=λ

−−−

−

−−−

12721712

11711

172

+++

=725

7174

2X=2X

Resolução : Busca de Autovetores no SQH




=

312101211

A

07112

17212171

0312

11211

33

3

3

3

=

++−

+−⇒=

−−

−XX

λλ

λ

33 72 X⇒−=λ

+−+

−

++−

12721712

11711

172

−−−

=725

7174

3X=3X

Resolução : Busca de Autovetores no SQH




=

312101211

ACorrespondência de Autovalores e Autovetores

72720 321 −=+== λλλ

−−

=111

1X

+++

=725

7174

2X

−−−

=725

7174

3X



A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a

)IA(DET)IA(DETLogo

)IA(DET))IA((DET)IA(DET

0)IA(DET:Apara.Carac.Eq

T

TT

λλ

λλλ

λ

−=−

−=−=−

=−


Demonstração


A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a

)IA(DET)IA(DETLogo

)IA(DET))IA((DET)IA(DET

0)IA(DET:Apara.Carac.Eq

T

TT

λλ

λλλ

λ

−=−

−=−=−

=−


Demonstração

A é matriz (n x n), então A e AT têm os mesmos Autovalores. Corolário 2.13a.1

Demonstração

.iguais),...,.e.i(raízescompolinômios)IA(DET)IA(DET n1T λλλλ ⇒−=−


A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b

jjjT

iiiT

jjjiii

Tjiji

Tji

T

YYA,YYA,XXA,XXA

:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X

AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão

.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo

λλλλ

λλ

====

−−≠


Demonstração


A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b

jjjT

iiiT

jjjiii

Tjiji

Tji

T

YYA,YYA,XXA,XXA

:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X

AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão

.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo

λλλλ

λλ

====

−−≠


Demonstração

0YX)(YXYXYXYAX

YXYAXXAXXXA

jTiijj

Tiij

Tijj

Tiij

TTi

jTiij

TTi

Y.multpósTii

TTi

.Transpiii

j

=−⇒=⇒=

= →= →= −

λλλλλ

λλλ

)ji(0YX0YX)( jTij

Tiij

ij ≠= →=− ≠λλλλ )ji(YX ji ≠⊥


Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c

0)IA(DET)IB(DET

0)S(DET).IA(DET)S(DET

1)IB(DET

0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET

0)ISAS(DET)IB(DET

0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA

111

1

1

=−=−

=−=−

=−=−=−

=−=−

=−

=∃⇒

−−−

−

−

λλ

λλ

λλλ

λλ

λ


Demonstração


Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c

0)IA(DET)IB(DET

0)S(DET).IA(DET)S(DET

1)IB(DET

0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET

0)ISAS(DET)IB(DET

0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA

111

1

1

=−=−

=−=−

=−=−=−

=−=−

=−

=∃⇒

−−−

−

−

λλ

λλ

λλλ

λλ

λ


Demonstração

Portanto, sendo Similares, A e BTêm os Mesmos Autovalores λλλλi


Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14

]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(

:Subtraindo0X)IA(0X)IA(

:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A

2121

2121

2

1

21

21

λλλλλλλλ

λλ

λλλλ

=⇒=−⇒≠

=−⇒=−

=−

=−≠≠

≠


Demonstração


Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14

]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(

:Subtraindo0X)IA(0X)IA(

:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A

2121

2121

2

1

21

21

λλλλλλλλ

λλ

λλλλ

=⇒=−⇒≠

=−⇒=−

=−

=−≠≠

≠


Demonstração

No entanto, Note que o mesmo Autovalor λλλλpoderá corresponder a Dois (ou mais) AutovetoresDistintos. Bastará que o SQH tenha 2 ou + G.L.


Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15

m1pp21

iii

ii

X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos

m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A

+

=≠=−

=

λλ


Demonstração

L.I. L.D.


m1pp21

iii

ii

X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos

m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A

+

=≠=−

=

λλ


Demonstração

L.I. L.D.


∑=

+ =p

1iii1p XX:Assim β


0X)IA(

0X)IA(

0X)IA(0X)IA(

1p1p

pp

22

11

=−

=−

=−

=−

++λλ

λλ

M


Demonstração


∑=

+ =p

1iii1p XX β

0)XXA(X)IA( i1p

p

1iii

p

1iii1p =−=−

+==

+ ∑∑ λββλ


0X)IA(

0X)IA(

0X)IA(0X)IA(

1p1p

pp

22

11

=−

=−

=−

=−

++λλ

λλ

M


Demonstração


∑=

+ =p

1iii1p XX β

0)XXA(X)IA( i1p

p

1iii

p

1iii1p =−=−

+==

+ ∑∑ λββλ

0X)(p

1ii1pii =−∑

=+λλβ

⇑0)( 1pii =− +λλβ

Por Quê ?



Demonstração


∑=

+ =p

1iii1p XX β

0XpoisAbsurdo0X 1p1p ≠⇒=

++0)( 1pii =− +λλβ

0Como i1pi =⇒≠ + βλλ

O Absurdo estabelece que Não apenas os p primeiros, mas Todos Autovetores X1 , X2 , ..., Xm de Autovalores Distintos, são L.I.



Se os n Autovalores de A (n x n) são Distintos λλλλ1≠≠≠≠ λλλλ2 ≠≠≠≠ ... ≠≠≠≠ λλλλn , Então os n Autovetores X1 , X2 ,..., Xn são L.I. Corolário 2.15.1



Demonstração

Os Autovalores de A (n x n) Simétrica são Reais. Teorema 2.16

alReLogo.0alResempreéXX

XXXXXXXAX:Xcomanteriora.MultéPr

XXAXXA:ConjugadosCom

XAXXAXXXAAssim

.AdeXAutovetorseueAutovalorumConsidere.wwqueprovamos,alReéwquevaroPrPara

AAeAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja

T

TTTTT

TTTTT

T

λλλ

λλλ

λλ

λλλ

λ

⇒=>

=⇒=−

=⇒=

=⇒=⇒=

=

==



Demonstração

Se Xi e Xj são Autovetores correspondentes a Autovalores Distintos λλλλi ≠≠≠≠ λλλλj de A (n x n) Simétrica, Então Xi e Xj são Ortogonais; isto é Xi

TXj = 0. Teorema 2.17

jijTijij

Tiji

jTijj

Tiij

Tijj

Ti

Ti

Tjj

Tj

Tjj

TTjjjj

Tii

Ti

Tii

TTiiii

jiji

T

XX0XXComo,0XX)(

XXXXXXXAX:Xcom.MultéPr

XAXXAXXXA

XAXXAXXXA

.XeXsAutovetoreseuseosintDistsAutovaloreosSejamAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja

⊥⇒=⇒≠=−

=⇒=−

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

≠

=

λλλλ

λλλ

λλλ

λλλ

λλ



Para matriz A Simétrica (n x n), a um Autovalor λλλλ de Multiplicidade r , corresponderão Exatamente r Autovetores L.I.

Teorema 2.18

Toda matriz A Simétrica (n x n), Possui n Autovetores L.I.Corolário 2.18.1



Demonstração

Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)

..);18.2.(..

);17.2.(

:)(:2.1.,...,,,17.2.

)....()(:1.1

.)(:1.Re,),(

21

21

sautovaloredesautovetoreasãorepautovalordesAutovetoreTeorILapenassãorepetidossautovaloredeosJá

TeorsãosautovaloredesAutovetoreOssAutovaloredequadroseunorepetiçãotemnxnAFase

sãoXXXsautovetoretodosTeorPeloDiferentessAutovalorentemnxnAFase

OrtogonaissAutovetorenAdmitenxnASimétricaTodaFaseAAAssimalSimétricanxnASeja

n

n

T

≠⊥

⊥≠

⊥

≠≠≠

=

λλλ



Demonstração


:)....1(....,,,

.

21

SchmidtzaçãoOrtogonaliAplicandokiXXAAssimmúltiplokautovalordesautovetoresãoXXX

repetidoautovalordesautovetoredezaçãoOrtogonaliaviávelÉ

iai

ak

==−

λλ

1111

23213133

12122

11

... −−+++=

++=+=

=

kkkkkk WWXW

WWXWWXW

XW

αα

ααα

M kk XXdeLCWW ,...,..,..., 11⇒



Demonstração


iaj

i

jijaj

i

jaijj

i

jijj

i

jiji

ak

WXXXAXAWA

autovalordesautovetorecomoWWWTestamos

λβλλβββ

λ

===== ∑∑∑∑==== 1111

21 :...,,,

∑=

=⇒i

jjijikk XWXXdeLCWWW

1121 ,...,.....,, β

⊥TambémSãoWWW k...,, 21

)...1( kiaAssociadoAutovetoréWWWA aiiai =⇒= λλ



Demonstração


Isto é, os Autovetores de Autovalor Repetido, após Ortogonalização Schmidt, Continuam Autovetores, porém, agora apresentando Ortogonalidade.

Em suma, Sempre é possível escrever n Autovetores Ortogonais para uma Matriz A (n x n) Simétrica, mesmo que haja repetição em seus Autovalores.



Demonstração


1

....,,,,

,...,,,,1Re,:2

21

21

=⇒=

−

ii

ii

n

n

PWWP

PPPsOrtonormaisAutovetorenseTornandoosNormalizad

seragorapodemWWWcomoosSimbolizadeanteriorFasenaunidosOrtogonaissAutovetorenOsFase




)(1),(0

)...1(1,

,...,,)(: 21

jiPPjiPPqueTais

niPPPAcom

PPPsAutovetoreExistemSimétricanxnASumaEm

iTij

Ti

iiii

n

==≠=

===

⇒

λ



A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19

987654321

987654321

655433321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep

TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia

bacba

iii

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

=

λλλλλλλλλ





987654321

987654321

655433321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX



bacba

iii

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

=

λλλλλλλλλ


Apenas L.I.




987654321

987654321

655433321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX



bacba

iii

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

=

λλλλλλλλλ


Já Ortogonais

ii XW =




987654321

987654321

655433321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX



bacba

iii

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

=

λλλλλλλλλ

λλλλλλλλλλλOrtogonalizarvia Schmidt




987654321

987654321

655433321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX



bacba

iii

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

=

λλλλλλλλλ


Normalização

iii WWP /=


Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes

A, B (n x n), P e Q (n x n) Não Singulares Definição 2.1

1

1

1

)/,(

)/,(

),(

),(

),(

−

−

−

=

→=

=

→=

→=

→=

→=

QQ

SimilaresUnitariaBAUnitáriaçãoTransformaQAQB

QQ

SimilaresOrtogonalBAOrtogonalçãoTransformaQAQB

sCongruenteBAaCongruêncideçãoTransformaQAQB

SimilaresBAdeSimilaridadeçãoTransformaQAQB

esEquivalentBAiaEquivalêncdeçãoTransformaQAPB

T

T

T

T

T



A (n x n), possui n Autovetores L.I., então A é Similar à Matriz de Autovalores em Diagonal Teorema 2.20

Demonstração

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] 12

1

21

22112121

1

21

21

,0)(,)(..

)(

.,...,,

−

−

=⇒=⇒

=

===

∃≠=⇒

=

PPAPPAPPPPA

PPPPAPAPAPPPAPAPPDETnPPostoILsAutovetoreComo

nxnPPPPMatrizaSejaAdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam

n

n

nnnn

n

n

λλ

λ

λλ

λλλ

OL

LLL

L

PPPPA λλλ 11 −− =⇔=



A (n x n) Inversível, então Autovalores de A-1 são o Inverso de Autovalores A e Autovetores são Iguais aos de A. Teorema 2.21

Demonstração

.,

1.,...,,

1

111

21

entesCorrespondsAutovetoremesmososcomAdesAutovaloredeInversosossãoAdesAutovaloreLogo

PPAPAPAAPPA

AdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam

ii

iiiiiii

n

−

−−− =⇒=⇒=λ

λλ



A (n x n) Inversível com n Autovetores L.I.., então A-1 é Similar àMatriz Diagonal de Inversos de Autovalores Corolário 2.21.1

Demonstração[ ]

12

1

1

1111

11

2121

/1

/1/1

:.,...,,

−−

−−−−

−−

=

=⇒=

=⇔=⇒=

=⇒=

PPA

PPAPPA

PAPPPAPPA

PPPAPAPPAAdeNormalsAutovetorePPP

n

niiin

λ

λλ

λλ

λλλ

λ

O

L

PAP

n

112

1

1

/1

/1/1

−−− =

=

λ

λλ

λO



A (n x n) Simétrica, então A é Similar a uma Matriz Diagonal. Teorema 2.22

Demonstração

PAPPPAA

sAutovaloredeDiagonalMatrizàSimilaréATeorpeloLogoILassimeOrtogonaissAutovetorenpossuiSimétricanxnATeorPelo

T 11

:,20.2.,..,,)(,19.2.

−− =⇒== λλ



Uma Matriz cujas Colunas são ortogonais entre si, é uma Matriz Ortogonal. Teorema 2.23

Demonstração[ ]

[ ]

1)(1)(1)(

)(1)(0:

2

1

21

22212

12111

212

1

21

±=⇒=⇒=

=⇒=

=

=

==≠=⊥

=

−

PDETPDETPPDET

PPIPP

PPPPPP

PPPPPPPPPPPP

PPP

P

PP

PP

jiPPjiPPsãoColunasCujas

PPPPSeja

T

TT

nTn

Tn

Tn

nTTT

nTTT

n

Tn

T

T

T

iTij

Ti

n

L

MOMM

L

L

LM

L



A Simétrica (n x n) é Ortogonalmente Similar à Matriz Diagonal de Autovalores Teorema 2.24

Demonstração

[ ]

==

n

n

n

n

PPPPAssim

entesCorrespondsAutovaloreosSejamnxnSimétricaAdesAutovetoreosPPPSejam

λ

λλ

λ

λλλ

OL 2

1

21

21

21

,

.,...,,

).(...,,,

PAPPPAAPP

OrtogonaléPsãoSimétricaAdesAutovetoreosComoPAPPPAATeorPelo

TTTT

T

=⇔==⇒=

⊥

=⇒==

−

−−

λλ

λλ

1

11

;,

:22.2.



Com M Simétrica (n x n), qualquer Forma Quadrática Q(X) pode ser posta igual à Forma Diagonal com Autovalores. Teorema 2.25

Demonstração

[ ]

sAutovaloreosesAutovetoreosPPPonde

YYYXQ

PXYXPYcomXPPXXQAssim

PPPPPPMPPM

SimétricaéMComoXMXXQQuadráticaFormaaSeja

nn

n

iii

T

TTTTT

n

nT

T

λλ

λλ

λ

λ

λλ

λλλ

,...,...,,,

)(

,)(,

,,

.)(

121

1

2

2

1

21

∑=

==

=⇔==

===⇒=

=

OL



Com M Simétrica (n x n), a Forma Quadrática Q(X) pode ter seu carácter determinado pelos Autovalores de M. Teorema 2.26

Demonstração

[ ] diagonalemAutovalsosnormalizadAutovetsPPP

XPPXXMXXQTeoreSimétricaMXMXXQCom

n

n

TTTT

==

===

λ

λλ

λ

OL1

1 ,

,)(:25.2.,)(

0,0)(0),,...,1(0)(

),...,1(0)(0),,...,1(0)(

),...,1(0)(

:,)(1

2

>≤⇔==≤⇔−

=<⇔−==≥⇔−

=>⇔−

==⇒=⇔= ∑=

ii

ki

i

ki

i

n

iii

TTTT

ummenospeloummenosPeloIndefinidaXQummenospelonidasemidefiniNegativaXQ

nidefinidaNegativaXQummenospelonidasemidefiniPositivaXQ

nidefinidaPositivaXQ

resultaYYYXQPXYXPYUsando

λλλλ

λλλ

λ

λλ




Exemplo

=

=

421252123

)(

M

XMXXQ T




Exemplo

)(],[:

.)()(

6119.7,6587.2,7295.10421

252123

:

3

1

2

321

MeigLambdaPMatlabnosAutovalorecalcularPara

definidaPositivaéXQYXQAssim

sAutovalore

iii

=

−⇒=

===⇒=−

−−

∑=

λ

λλλλ

λλ

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