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Métodos numéricos para a resolução de

equações não-linearesProf. Dino Franklin

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Tipo de problemas● Encontrar as raízes de f(x), ou f(x) = 0

f (x)=2 x2−5 x+2

f (x)=x2+ln (x)

f (x)=81 x4−108 x3+24 x+20

f (x)=ex−3 x

f (x)=x3+cos(x)

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Equações não-lineares● Teorema 1

Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é, f(a).f(b)<0 , então existe pelo menos um ponto x em [a, b], tal que f(x)=0

● Defnição 1

Se f : [a, b] é uma função dada, um ponto → ℝ x [a, b] é um ∈ zero (ou raiz) de f se f(x)=0

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Equações não-lineares● Zeros de uma função

y = x  - 42

Roots(or Zeros)

y

x2-2

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Método da bissecção● Método da bissecção

avaliando-se, iterativamente, f(x) para o ponto médio de [a,b]:

– ou a raiz é encontrada

em f(x), com x=(a+b)/2

– ou o intervalo [a, b]

é reduzido pela metade

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Método da bissecção● Exemplo 1: Encontre um zero de f(x) perto de x=0

usando o método da bissecção

● Antes de se iniciar o processo iterativo, é necessário defnir [a, b] inicial

– Para isso, geralmente, faz-se uma amostragem

f (x)=(x+1)2 .ex2−2−1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 4,4k 6.389 -1 -0.865 0.472 65.5 17,5k

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Método da bissecção● continuação Ex.1

– Aplicando-se o método para [0, 1] para t = 4

– Quando terminar?

k a b xk

f(xk)

0 0 1 0.5 -0.6090

1 0.5 1 0.75 -0.2726

2 0.75 1 0.875 0.02310

3 0.75 0.875 0.8125 -0.1397

4 ...

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Critérios de Parada1) Quantidade máxima de iterações

laço infnito x precisão da máquina

2) Tolerância

erro absolutono caso de precisão pré-fxada ( ε ≤ 10-m , onde m é a quantidade de casas decimais)

erro relativo

|xk+1−xk| ≤ ϵ

|xk+1−xk||xk+1|

≤ ϵ

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Método da bissecção● continuação Ex.1: para [0, 1] , t = 4 e εabs ≤ 10-3

– Na 10a iteração, x=0.8668 e f(x)≈0 com εabs ≤ 10-3

k a b xk

f(xk) ε

abs

0 0 1 0.5 -0.6090 -

1 0.5 1 0.75 -0.2726 0.25

2 0.75 1 0.875 0.02310 0.125

3 0.75 0.875 0.8125 -0.1397 0.0625

4 0.8125 0.875 0.8438 -0.06232 0.0313

5 0.8438 0.875 0.8594 -0.02071 0.0156

6 0.8594 0.875 0.8672 0.0009162 0.0078

7 0.8594 0.8672 0.8633 -0.009965 0.0039

8 0.8633 0.8672 0.8653 -0.004402 0.002

9 0.8653 0.8594 0.8663 -0.001607 0.001

10 0.8663 0.8672 0.8668 -0.0002063 0.0005 (≤ 10-3)

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1

Método da bissecção● Exercício 1: Encontre um zero de f(x) usando o

método da bissecção com t=5 para a equação

– Encontre a solução com precisão de, pelo menos, 3 casas decimais.

f (x)=x2+ ln (x)

Solução: x=0.653

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Pontos fxosDefnição. Dada uma equação do tipo x=Ψ(x), onde Ψ é uma função contínua qualquer, chamada função de ponto fxo. Qualquer x solução dessa equação é um ponto fxo de Ψ.

● Exemplo 2: f (x)=x2−x−2=0

funções de ponto fixo e pontos fixos: x=ψ 1(x)=x2−2 → x=2 e x=−1

x=ψ 2(x)=√2+x → x=2

x=ψ 3(x )=1+ 2x

→ x=2 e x=−1

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Pontos fxos● Interpretação geométrica

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Método da iteração linear● Seja x0 uma aproximação inicial para a raiz x ,

então

● Exemplo 2 (revendo):

xk+1=ψ (xk) , para k=0,1,2, ...

f (x)=x2−x−2=0x0=2.5

ψ 2(x)=√2+x

xk+1 = ψ 2(xk) = √2+ xk

x1=√2+2.5 = 2.1213203x2=√2+2.1213203 = 2.0301035

x3=√2+2.0301035 = 2.0075118

x4=√2+2.0075118 = 2.0018771x5=√2+2.0018771 = 2.0004692 ...converge para x .

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1

Método da iteração linear● continuação do Ex.2:

● Escolhendo outra função de ponto fxo:

xk+1 = ψ 1(xk) = x2−2x0 = 2.5

x1 = 2.52−2 = 4.25

x2 = 4.252−2 = 16.0625

x3 = 16.06252−2 = 256.00391...nesse caso, o processo iterativo diverge.

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Método da iteração linear● Teorema

Seja Ψ uma função contínua em [a, b], tal que Ψ(x) ∈ [a, b]. Se existem

– Ψ’ em [a, b]– e uma constante 0 < k < 1 com

Então, para qualquer x0 em [a, b], a sequência xk+1=Ψ(xk) converge para o único ponto fxo em [a, b]

|ψ ' (x)| ≤ k para todo x∈(a , b)

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Método da iteração linear– Revendo o exemplo anterior (Ex.2):

a) Para Ψ1(x) = x2-2 , tem-se que Ψ1’(x) = 2x

para ser convergente |Ψ1’(x)| = |2x| < 1 ,

ou seja, -½ < x < ½

b) Para Ψ2(x) = √(2+x),

para ser convergente

ψ '2(x) = 1

2√2+x

|ψ '2| < 1

2√2+x > 1

x > 14−2 → x > −1.75

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Ordem de convergência● Defnição

Sejam { xk } o resultado da aplicação de um método numérico na k-ésima iteração e ek=(xk- x) o erro.

Se existir um número p≥1 e uma constante c>0, tais que:

Então, p é a ordem de convergência do método

limk→∞

|ek||ek−1|

p = c

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1

Ordem de convergência● Estimação de p

Para k sufcientemente grande:

|ek+1| ≃ c .|ek|p

|ek| ≃ c .|ek−1|p

|ek+1||ek|

≃ ( ek

ek−1)p p ≃

log ( ek+1

ek)

log ( ek

ek−1)

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Ordem de convergência– Revendo o exemplo anterior (Ex.2)

– Método da iteração linear (p=1)

xk+1 = √2+xk

p ≃

log ( ek+1

ek)

log ( ek

ek−1)ek = |xk−x|

k xk

ek=|x

k-x| p

0 2.5 0.5 -

1 2.1213 0.1213 -

2 2.0301 0.030310 0.985

3 2.0075 0.00751 0.996

4 ... ... … ( tende a 1 )

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Método da iteração linear● Exercício 2

– Aplique o método de iteração linear para encontrar as raízes de f(x)=2x2-5x+2 “suponha que as raízes sejam próximas de x1=0.5 e x2=2.0”

● Qual função de ponto fxo é apropriada para encontrar x1?

a) xk+1 = ψ 1(x) = 2. xk

2+2

5

b) xk+1 = ψ 2(x) = √ 5. xk

2−1

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Método da iteração linear● continuação do Ex.2

– Ou seja, Ψ1(x) é apropriada para encontrar uma raiz na vizinhança de x1=0.5

a) xk+1 = ψ 1(x) = 2. xk

2+2

5

|ψ 1 '|=|4 x5 | < 1

→ ψ 1 ' definida em todo x∈ℝ

→ converge para −1.25<x<1.25

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1

Método da iteração linear● continuação do Ex.2

Ou seja,Ψ2(x) não é apropriada para encontrar uma raiz na vizinhança de x1=0.5

b) xk+1 = ψ 2(x) = √ 5. xk

2−1

|ψ 2 '|=| 5

4√ 5 x2

−1| < 1

→ ψ 2 ' é definida em x ≥ 25

(Δ≥0)

→ converge para x > 1+ 140

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Método da iteração linear● continuação do Ex.2

● E qual função de ponto fxo é apropriada para encontrar x2?

● Encontre as raízes usando o método iterativo linear com x0=0.7 e x0=2.2, t=5 e erro relativo máximo de 1%.

a) xk+1 = 2. xk

2+2

5

b) xk+1 = √ 5. xk

2−1

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Método de Newton (-Raphson)● Suponha f contínua em [a, b] e x0 uma aproximação de

x, f(x)=0, tal que f’(x0)≠0 e |x-x0| pequeno o sufciente. Considerando os primeiros termos da expansão da série de Taylor em torno de x0 :

f (x)≈ f (x0)+(x−x0) f ' (x0)+(x−x0)

2

2f ' ' (ϵ ) para ϵ entre x e x0

Como f (x)=0 e supondo (x−x0)2 muito pequeno,

0≈ f (x0)+(x−x0) f ' (x0)

x≈x1=x0−f (x0)f ' (x0)

⇒ xk+1=xk−f (xk)f ' (xk)

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Método de Newton-Raphson● Interpretação geométrica

tg(α )=f ' (x0)=f (x0)−0

x0−x1

x1=x0−f (x0)f ' (x0)

xk+1=xk−f (xk)f ' (xk)

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Método de Newton-Raphson● Visualização geométrica das iterações

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Método de Newton-Raphson● Exemplo 3: Encontre a raiz de f(x)=4.cos(x)-ex

usando o método de NR, com t=3, x0=1 e erro<10-2

– Preparação: f’(x)=-4.sen(x)-ex

– Aplicando o método de NR:

x0=1

x1=1−4cos (1)−e1

−4 sen(1)−e1 =1−−0.557−6.08

=0.908 e eabs=|1−0.908|=0.092

x2=0.908−4 cos(0.908)−e0.908

−4 sen(0.908)−e0.908 =0.905 e eabs=|0.908−0.905|=0.003<10−2

xk+1=xk−f (xk)f ' (xk)

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Estimativa inicial● (Método do gráfco) Separar f(x)=0 em f1(x) e f2(x), e

estimar x para f1(x)=f2(x)

– Exemplo 4: f(x)=√x-5.e-x » f1(x)=√x e f2(x)=5.e-x

se cruzam em x ≈ 1.4, então, por exemplo, x0=1.4

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1

Método de Newton-Raphson

Ou seja, a ordem de convergência do método de Newton é quadrática…. Desde que...

Da série de Taylor para f (x )=0 e dividindo por f ' (xn) , pode-se escrever

0≈f (xn)f ' (xn)

+(x−xn) f ' (xn)

f ' (xn)+

f ' ' (ϵ n)(x−xn)2

2 f ' (xn)

de N-R: xn+1=xn−f (xn)f ' (xn)

ou seja, xn=xn+1+f (xn)f ' (xn)

tem-se que

x−xn+1=f ' ' (ϵ n)(x−xn)

2

2 f ' (xn) como en=|(x−xn)| ,

en+1=f ' ' (ϵ n)2 f ' (xn)

.en2

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Método de Newton-Raphson● Condições de convergência do método

– f’’(x) for contínua no intervalo

– f’(x) for contínua e ≠0 no intervalo

– x0 estiver sufcientemente perto de x

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Método de Newton-Raphson● Exercício 3

– Encontre as raízes de f(x)=2x2-5x+2 usando o método de Newton, com 5 dígitos signifcativos e erro máximo de 10-3, para:

a) x0=0

b) x0=1.5

c) x0=10.0

x = 0.5

x = 2.0

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Método de Newton-Raphson● Exercício 4

– Encontre as raízes de f(x)=-x4+3x2+2 usando o método de Newton, com 5 dígitos signifcativos e erro máximo de 10-3, para x0=1

NÃO CONVERGE.x fca oscilando entre -1 e 1

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1

Método das Secantes– O método de N-R é efciente, porém sua principal desvantagem

é a necessidade de se calcular f´(x) a cada iteração.

● O método das secantes é uma adaptação do método de Newton que estima f’(x) a partir da fórmula

que gera a seguinte fórmula de recorrência

– Observe que o método das secantes necessita de duas estimativas iniciais: x0 e x1

f ' (xk)=f (xk)−f (xk−1)

xk−xk−1

xk+1=xk−1 . f (xk)−xk . f (xk−1)

f (xk)−f (xk−1)

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Método das Secantes● Interpretação geométrica

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1

Método das Secantes● Convergência

– A ordem de convergência é ≈1.618– As condições necessárias são as mesmas do

método de N-R● f’’(x) contínua no intervalo● f’(x) contínua e ≠0 no intervalo● x0 sufcientemente perto de x

– Pode ser mais efciente que N-R pois somente f(xk) precisa ser calculado a cada passo

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1

Método das Secantes● Exemplo 5

– Determine a raiz positiva de f(x)=√x-5.e-x pelo método das secantes, com erro inferior a 10-2

● Use o método do gráfco para estimar x0 e x1

● O que corre se inicializarmos com

x0=3.2 e x1=3.3

Converge para x=1.43045

x<0 e √x » número imaginário

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1

Método das Secantes● Exercício 5

– Encontre uma aproximação para √5, com pelo menos 4 dígitos signifcativos corretos, usando o método das secantes em f(x)=x2-5

k xk

f(xk) erro

0 2 -1 -

1 3 4 1

2 2.2 -0.16 0.8

3 2.230769 -0.023669 0.030769

4 2.236111 0.00019290 0.00534188

5 2.236068 2.2882x10-7 4.3185x10-5

Por exemplo, x0=2 e x1=3

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Método das Secantes● Exercício 6

– Calcule a raiz de f(x) com pelo menos 4 dígitos signifcativos corretos, usando o método das secantes e x0=0 e x1=4.

– Raiz (x≈0.207)f (x)= 1

(x+ 12)

2 −2

k xk

f(xk) erro

0 0 2 -

1 4 -1.95062 4

2 2.025 -1.99898 1.975

3 31.8487 -1.99999 33.8737

4 402.683 -2 434.531

5 -858854 -2 859256

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1 Método Regula Falsi (da Falsa posição)

● Como geralmente não é possível saber se a(s) estimativa(s) inicial(s) está(ão) “sufcientemente perto” , os métodos de N-R e das secantes podem não convergir.

● O método Regula Falsi usa a mesma fórmula de recorrência do método das secantes, porém – não aplica necessariamente a fórmula à xk e xk-1

– aplica em xk e na última iteração anterior, i, tal que f(xk ) e f(xi ) tenham sinais diferentes

● Isso garante que o método Regula Falsi sempre convirja.

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1 Método Regula Falsi (da Falsa posição)● Interpretação geométrica

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1 Método Regula Falsi (da Falsa posição)

● Exercício 7– Calcule a raiz de f(x) com pelo menos 4 dígitos

signifcativos corretos, usando o método Regula Falsi e x0=0 e x1=4.

f (x)= 1

(x+ 12)

2 −2

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C05

1 Sistemas de equações Não-lineares

● Método da Iteração Linear

{ x=F (x , y , z)y=G(x , y , z)z=H (x , y , z) { xk+1=ψ F (xk , y k , zk)

y k+1=ψ G(xk , y k , zk)zk+1=ψ H (xk , yk , zk)

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1

Sistemas de equações N-L● Iteração linear

– Condições de convergênciaa) F, G e H e suas derivadas parciais são contínuas na vizinhança de (x, y, z)

b) na vizinhança

de (x, y, z)

c) (x0, y0, z0) está sufcientemente perto de (x, y, z)

→|∂ψ F

∂ x | + |∂ψ F

∂ y | + |∂ψ F

∂ z | ≤ k < 1

→|∂ψG

∂ x | + |∂ψG

∂ y | + |∂ψG

∂ z | ≤ k < 1

→|∂ψ H

∂ x | + |∂ψ H

∂ y | + |∂ψ H

∂ z | ≤ k < 1

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1

Sistema de equações N-L● Exemplo 5: Encontre a raiz do SENL, com t=5 e (x0 ,y0 )

=(0.9, 1.1) e erro < 10-3 usando o método da iteração linear

– Reescrevendo com as

funções de ponto fxo

– Verifcando convergência

{ f (x , y )=0.2 x2+0.2 x y−x+0.6

g (x , y)=0.4 x+0.1 x y2− y+0.5

{ x=ψ f=0.2 x2+0.2 x y+0.6

y=ψ g=0.4 x+0.1 x y2+0.5

∂ψ f

∂ x=0.4 x+0.2 y

∂ψ f

∂ y=0.2 x → |0.58|+|0.18|<1

∂ψ g

∂ x=0.4+0.1 y2

∂ψ g

∂ y=0.2 x y → |0.521|+|0.198|<1

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1

Sistema de equações N-L● continuação Ex.5

k xk

yk Erro X Erro y

0 0.9 1.1 - -

1 0.96 0.9689 0.06 0.1311

2 0.97035 0.97412 0.1035 0.00522

3 0.97736 0.8022 0.0071 0.0061

4 0.98265 0.98485 0.00529 0.00464

5 0.98668 0.98837 0.00402 0.00352

6 0.98975 0.99106 0.00307 0.00268

7 0.9921 0.99311 0.00235 0.00205

8 0.9939 0.99469 0.00181 0.00158

9 0.99529 0.9959 0.139 0.00121

10 0.99636 0.99683 0.00107 0.00093

11 0.99719 0.99755 0.00083 0.00072

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1

Sistema de equações N-L● Método de Newton

– Da expansão da série de Taylor para uma aproximação (x0 , y0 )

Fazendo f e g =0 e desprezando ordens maiores

{ f (x , y)=f (x0 , y0)+∂ f (x0 , y0)

∂ x(x−x0)+

∂ f (x0 , y0)∂ y

( y− y0)+...

g (x , y)=g (x0 , y0)+∂g (x0 , y0)

∂ x(x−x0)+

∂g (x0 , y0)∂ y

( y− y0)+...

{ ∂ f (x0 , y0)∂ x

(x−x0)+∂ f (x0 , y0)

∂ y( y− y0)=−f

∂ g(x0 , y0)∂ x

(x−x0)+∂ g(x0 , y0)

∂ y( y− y0)=−g

Obs: calculados para x0 e y0

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1

Sistema de equações N-L● Método de Newton

– Resolvendo o sistema pela regra de Cramer, obtém-se para a próxima aproximação:

x1−x0=|−f

∂ f∂ y

−g ∂ g∂ y

||∂ f∂ x

∂ f∂ y

∂ g∂ x

∂ g∂ y

|=

−f∂ g∂ y

+g∂ f∂ y

J (f , g)y1− y0=

|∂ f∂ x

−f

∂ g∂ x

−g||∂ f∂ x

∂ f∂ y

∂ g∂ x

∂ g∂ y

|=

−g∂ f∂ x

+f∂ g∂ x

J (f , g)

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1

Sistema de equações N-L● Método de Newton

– Portanto, para um sistema de 2 eqs e 2 incógnitas, tem-se as seguintes fórmulas de recorrência:

xk+1=xk−[ f∂g∂ y

−g∂ f∂ y

J ( f , g) ](xk , y k)

yk+1= yk−[ g∂ f∂ x

−f∂ g∂ x

J ( f , g) ](xk , y k)

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1

Sistema de equações N-L● Exemplo 8

Se possível, encontre a raiz do sistema abaixo usando o método de Newton com erro relativo <10-3 e (x0 , y0 )=(1.3, 0.8)

– Encontrando as derivadas parciais

{ f : x2+ y2=2g : x2− y2=1

∂ f∂ x

=2 x ∂ f∂ y

=2 y

∂ g∂ x

=2 x ∂ g∂ y

=−2 y

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1

Sistema de equações N-L● continuação do Ex.8

k xk

yk

f(xk,y

k) g(x

k,y

k) ∂f/∂x ∂f/∂y ∂g/∂x ∂g/∂y J(x

k,y

k) Erro x

relatErro y relat

0 1.3 0.8 0.33 0.05 2.6 1.6 2.6 -1.6 -8.32 -

1 1.22692 0.7125 0.0129965 -0.002316 2.453846 1.425 2.45385 --1.425 -6.99346 0.0595611 0.122807

2 1.224747 0.707127 3.36e-5 2.4e-5 2.44949 1.41425 2.44949 -1.41425 -6.92841 1.8e-3 7.6e-3

3 1.224749 0.707107 1.6e-6 2.9e-5

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Exercícios de revisão● Exercício 8

– A equação

representa a estimativa do tamanho de uma população, inicialmente com 1 milhão, e 435 mil imigrantes no ano.

Ou seja, 1 564 000 é a estimativa para um ano com taxa de natalidade λ. Usando os métodos estudados:

a) Encontre λ com uma precisão de 10-4 ;

b) Estime o tamanho da população no fnal do 2o ano, supondo que 500mil imigraram no 2o ano.

1564000=1000000 eλ+ 435000λ (eλ−1)

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Exercícios de revisão● continuação Ex.8● Utilizando o método de iteração linear, uma função

de ponto fxo poderia ser:

– Verifcando a convergência:

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Exercícios de revisão● continuação Ex.8● Utilizando o método de Newton:

– Condições para a convergência:● λ ≠0, pois f(λ) e f´(λ) contínuas, e f´(λ)≠0

f (λ ) = 106×eλ + 4.35×105 (eλ−1)λ − 1.564×106

f '(λ ) = 106×eλ + 4.35×105×(−1

λ 2×(eλ−1) + 1

λ (eλ ))

f ' (λ ) = 5000(eλ (200λ 2+87 λ−87)+87)

λ2

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Exercícios de revisão● continuação Ex.8

a) k λ

kf(λ

k) f’(λ

k) erro

0 1 1901734.42 3153281.83

1 0.39690312 457188.882 1771815.60 0.603097

2 0.1388690 51625.6356 1387698.16 0.258034

3 0.10166665 895.689483 1339833.641 0.037202

4 0.10099814 0.28227736 1338989.23 0.000669

5 0.10099793 2.79397e-8 1338988.97 2.108e-7

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Exercícios de revisão● continuação Ex.8

b) Para λ=0,100998, das condições ● População inicial início 2o ano: 1 564 000 ● População que imigrou: 500 00

– e da equação

● Tem-se que, a população no fnal do 2o ano será de: 2 256 334 habitantes

f (λ ) = 1.564×106×eλ + 5×105 (eλ−1)λ

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Exercícios de revisão– Exercício 9

Se possível, encontre uma solução para o sistema de equações

– Usando o método da iteração linear– Usando o método de Newton

{15 x+ y2−4 z=13x2+10 y−z=11y2−25 z=−22

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

– Utilizando o método de iteração linear, as funções de ponto fxo poderiam ser dadas por:

{x=ψ f (x , y , z)=− y2+4 z+1315

y=ψ g( x , y , z)=−x2+ z+1110

z=ψ h(x , y , z)= y2+2225

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9● Derivadas parciais

das Ψi:

● Convergência

– para (x0 , y0 , z0 )

∂ψ f

∂ x=0

∂ψ f

∂ y=−2 y

15

∂ψ f

∂ z= 4

15∂ψ g

∂ x=−x

5

∂ψ g

∂ y=0

∂ψ g

∂ z= 1

10∂ψ h

∂ x=0

∂ψ h

∂ y=2 y

25

∂ψ h

∂ z=0

|∂ψ f

∂ x | + |∂ψ f

∂ y | + |∂ψ f

∂ z | < 1

|∂ψ g

∂ x | + |∂ψ g

∂ y | + |∂ψ g

∂ z | < 1

|∂ψ h

∂ x | + |∂ψ h

∂ y | + |∂ψ h

∂ z | < 1

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

a) Usando o método da iteração linear k x

ky

kz

k Erro x Erro y Erro z

0 1 1 1

1 16/15 11/10 23/25 |1 -16/15| |1-11/10| |1-23/25|

2

3

4

5

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton– Da série de Taylor truncada para 3 eqs/incs:

{∂ f∂ x

(x−x0) + ∂ f∂ y

( y− y0) + ∂ f∂ z

(z−z0) = −f

∂ g∂ x

(x−x0) + ∂ g∂ y

( y− y0) + ∂ g∂ z

(z−z0) = −g

∂h∂ x

(x−x0) + ∂h∂ y

( y− y0) + ∂h∂ z

( z−z0) = −h

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton (continuação)– O Jacobiano é dado por:

J (x , y , z )=|∂ f∂ x

∂ f∂ y

∂ f∂ z

∂ g∂ x

∂ g∂ y

∂ g∂ z

∂h∂ x

∂h∂ y

∂h∂ z

|

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton (continuação)– As fórmulas de recorrência fcam:

xk+1=xk+

|−f ∂ f∂ y

∂ f∂ z

−g ∂ g∂ y

∂ g∂ z

−h ∂h∂ y

∂h∂ z

|J (x , y , z ) yk+1= yk+

|∂ f∂ x

−f ∂ f∂ z

∂ g∂ x

−g ∂ g∂ z

∂h∂ x

−h ∂h∂ z

|J (x , y , z)

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton (continuação)– Encontrando as derivadas parciais:

∂ f∂ x

=15 ∂ f∂ y

=2 y ∂ f∂ z

=−4

∂ g∂ x

=2 x ∂ g∂ y

=10 ∂ g∂ z

=−1

∂h∂ x

=0 ∂h∂ y

=2 y ∂h∂ z

=−25

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton (continuação)● Usando a notação (∂f/∂x = fx)

k xk

yk

zk f g h f

xf

yf

zg

xg

yg

zh

xh

yh

z J Erro x

Erro y

Erro z

0 1 1 1 -1 -1 -2 15 2 -4 2 10 -1 0 2 -25 -3636

1

2

3

4

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Exercícios de revisão● continuação Ex.9

b) Usando o método de Newton– Exemplo de implementação da solução

● Alunos Marcelo e Adriano 2018/1C:\Users\Dino\UFU\Disciplinas\GBC051\function_Newton_3eq_3incog.c