Multiplicadores de Lagrange - IfCE

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia

do Ceará

Licenciatura em Física

Cálculo III

R C

Multiplicadores de

Lagrange

M M S

Fortaleza

Junho - 2011

Multiplicadores de Lagrange Página 2

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia

do Ceará

Licenciatura em Física

Cálculo III

R C

Multiplicadores de

Lagrange

M M S

Fortaleza

Junho - 2011

Seminário apresentado no curso de

Cálculo III no turno da noite.


SUMÁRIO

Introdução..................................................................................04

Definição.....................................................................................05

Método........................................................................................06

Aplicações...................................................................................08

Referências Bibliográficas........................................................08


Multiplicadores de Lagrange

I. Introdução:

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) era considerado um matemático francês,

porém ele nasceu em Turim, Itália. Filho primogênito, seu pai era funcionário público,

na função de contador. Tinha como pensamento: "Se eu tivesse sido rico, provavelmente

não teria dedicado a minha vida à matemática.”

Utilizaremos os multiplicadores de Lagrange para facilitar a resolução de

problemas de Máx. e Min. em funções de duas ou mais variáveis, quando existir uma

determinada condição que chamaremos de vínculo, para esses pontos críticos.

Antes mesmo de iniciarmos o nosso assunto iremos relembrar e falar alguns

conhecimentos básicos. Falaremos de Curvas de nível e Gradientes.

a. Curva de Nível:

A curva de nível de uma função: é uma curva para

qual suas variáveis assumem um valor constante.

Devemos sempre analisar a função, verificando se

existe solução e quais as soluções possíveis.

Ao lado observamos as curvas de níveis para a

equação da circunferência ( x² + y² = K ). Onde a nossa

constante K assume vários valores que variam de k = 0 até

k > 0. Note que k, não assume valores negativos.

b. Gradiente de uma Função:

Definimos gradiente de uma função, o vetor que aponta para a máxima taxa de

uma função. Sua principal característica é que são sempre perpendiculares a curva de

nível de uma dada função.

Observemos aqui, como encontramos o vetor gradiente, nas principais

coordenadas:

• Coordenadas Cartesianas:

• Coordenadas Cilindricas:

• Coordenadas Esféricas:

êêê zyx z

f

y

f

x

ff

êêê zz

ffff

1

êêêf

r

f

rr

ff

r

sin

11


II. Definição:

Consideremos que sempre haverá um vínculo entre duas funções. Partiremos

inicialmente de f(x,y) = z e g(x,y) = k.

Note que existem pontos onde o gráfico vermelho cruza o gráfico azul.

Calcularemos, portanto os gradientes dessas funções nesses pontos.

Note que:

),(//),( yxgyxf

Podemos concluir que, numericamente:

),(),( gf

Vejamos, se um número real qualquer, pode ser escrito como um número real

vezes um outro. Exemplo, 824 . Partiremos desse princípio, para a nossa conclusão.

Onde λ é o fator de proporcionalidade, representando um número real e chamado de

multiplicador de Lagrange.


III. Método

Suponha que queiramos encontrar os extremos de uma função f de três variáveis

x, y e z, sujeitos ao vínculo g(x,y,z) = 0. Introduzindo uma nova variável λ, que é o

nosso multiplicador de Lagrange, e formando a função auxiliar F para a qual

F(x,y,z, λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z)

Agora teremos então de encontrar os pontos críticos da função F de variáveis x,

y, z e λ, ou seja:

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 F = 0

O vínculo que teremos será:

g(x,y,z) = 0 (1)

Agora resolvemos g para z e obtemos:

z = h(x,y)

Onde h está definida numa bola aberta B((x0, y0); r) e f(x, y, h(x,y)) tem um

extremo relativo em (x0, y0, h(x0, y0)). Suponha agora que as derivadas parciais

primeiras de f, g e h existam em B e g3(x,y, h(x,y)) ≠ 0 em B. Como f tem um extremo

relativo em (x0, y0, h(x0, y0)), as derivadas parciais primeiras de f se anulam nesse ponto.

Pela regra da cadeia:

em (x0, y0, h(x0, y0)) f1 + f3 = 0 e f2 + f3 = 0 (2)

Se em (1) derivarmos implicitamente em relação a x e depois a y e

considerarmos z como a função derivável h de x e y, então no ponto (x,y), na bola aberta

B

g1 + g3 = 0 e g2 + g3 = 0

ou, equivalente, pois g3 ≠ 0 na bola aberta B,

em (x, y) de B = - e = -

onde os valores funcionais de g1, g2 e g3 estão em (x, y, h(x, y)). Se os valores e

forem substituídos nas relações (2), então, no ponto (x0, y0, h(x0, y0))

f1 + f3 = 0 e f2 + f3 = 0


Além disso,

f3 – g3 = 0

em qualquer ponto onde g3 ≠ 0. Assim, em (x0, y0, h(x0, y0)),

f1 + g1 = 0 f2 + g2 = 0 e f3 + g3 = 0 Se = - f3 / g3, então essas equações podem ser escritas como:

f1 +g1λ= 0 f2 + g2 λ = 0 f3 + g3 λ = 0 (3)

Além disso, como f tem um extremo relativo em (x0, y0, h(x0, y0)) e esse extremo

está sujeito ao vínculo g(x, y, z) = 0, então

g(x0, y0, h(x0, y0)) = 0 (4)

Se

F(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) (5)

e se z0 = h(x0, y0), então (3) e (4) equivalem a

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 F = 0 em (x0, y0, z0)

Dessa forma concluímos que um ponto (x0, y0, z0) onde a função f tem um

extremo relativo está entre os pontos críticos da função F, definida por (5).

Obs1: Para cada um dos vínculos que a função F tenha, terá também um

multiplicador de Lagrange. Ou seja, se tivermos de achar os extremos de uma função

f(x, y, z) que tenha como vínculos g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0, encontraremos os pontos

críticos da função F de cinco variáveis x, y, z, λ e μ.

F(x,y,z,λ,μ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + μh(x, y, z)

De forma vetorial as equações (3) podem ser escritas:

em (x0, y0, z0) onde


IV. Aplicações

Como vimos anteriormente os multiplicadores de Lagrange são um método para

calcular os extremos de uma função, dessa forma podemos usá-los da mesma forma que

aplicamos as derivadas no , para cálculos de otimização, para construção de gráficos

e etc...

Na Física os multiplicadores de Lagrange serão aplicados na Mecânica Clássica no

estudo do princípio de Hamilton e na dinâmica Lagrangeana, no cálculo de correntes

elétricas estacionárias, podemos ainda aplicar para descobrir os movimentos que um

corpo (sistema macroscópico) pode executar no equilíbrio termodinâmico.

Referências Bibliográficas

• Louis Leithold. O cálculo com geometria analítica. Vol 2. 3ª Edição. Ed.

HARBRA ltda 1990.

• Simmons. Cálculo com geometria Analítica. Vol 2. 1ª Edição. Ed. Makron

Books 1988.

• YouTube:

– CALCULANDO - Multiplicadores de Lagrange;

– Teorema de Lagrange;

– Multiplicadores de Lagrange e Vínculos Holônomos - Aula 1 até 8;

– Multiplicadores de Lagrange. Parte 1 até Parte 6;

Materiais utilizados para apresentação:

Pincel, apagador, quadro branco, DataShow, Caixa de som.

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