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MVO-10 Desempenho de Aeronaves(carga horaria: 64 horas)

Flavio Silvestre / Maurıcio Morales

Departamento de Mecanica do VooDivisao de Engenharia AeronauticaInstituto Tecnologico de Aeronautica

2012

Ementa da disciplinaBibliografia recomendada

Plano do cursoIntroducao

Sistemas de referenciaEquacoes do movimento

Ementa da disciplina

MVO-10 - DESEMPENHO DE AERONAVES

I Requisito: nocoes de aerodinamica.

I Horas semanais: 2-1-1-6.

I Conteudo: Desempenho pontual: planeio, voo horizontal, subida,voo retilıneo nao-permanente, manobras de voo, diagramaaltitude-numero de Mach. Desempenho integral: cruzeiro, voohorizontal nao-permanente, subida e voos curvilıneos. Decolagem eaterrissagem.

Flavio Silvestre / Maurıcio Morales MVO-10 Desempenho de Aeronaves 2012




Bibliografia recomendada

I Vinh, N. K., Flight mechanics of high-performance aircraft, NewYork, University Press, 1993;

I Paglione, P., Apostila de MVO-02: Desempenho de Aeronaves, 1985;I Asselin, M., An introduction to aircraft performance, AAIA, 1997

(AIAA Education Series);I Ojha, S. K., Flight performance of aircraft, Washington, AAIA, 1995

(AIAA Ed. Series).

Bibliografia auxiliar:I Talay, T. A., Introduction to the Aerodynamics of Flight. NASA

SP-367, 1975;I Yechout, T. R., Introduction to Aircraft Flight Mechanics. AIAA

Education Series, 2003;I Olson, W. M., Aircraft Performance Flight Testing. Technical

Information Handbook, Air Force Flight Test Center, Edwards AirForce Base, California, 2000;

I Cook, M. V., Flight Dynamics Principles. Elsevier AerospaceEngineering Series, 2007.Flavio Silvestre / Maurıcio Morales MVO-10 Desempenho de Aeronaves 2012




Plano do curso

I Introducao: Prof. MoralesI introducao ao MatLabI modelo atmosfericoI modelo aerodinamicoI modelo propulsivoI componentes de um aviao

I Deducao das equacoes do movimento

I Desempenho nos diversos seguimentos da trajetoriaI cruzeiroI subidaI descida e planeioI decolagem e aterrissagemI curvas

I outras figuras de merito





PARTE I





Introducao

I aeronave concebida pararealizar determinada missao

I ex: PAX, carga, aplicacoesmilitares (alto desempenho),planadores (competicao), ...

I missao: requer uma trajetoriaI decolagem, subida, cruzeiro,

manobras (ex: curvas),descida, aterrissagem

I controle da trajetoriaI tracaoI resultante





Introducao

Caracterısticas de desempenho de interesse:

I intervalo de velocidades de operacao: velocidade mınima, velocidademaxima

I teto de voo

I manobrabilidade: taxa de subida, raio de curvatura, velocidade decurva

I alcance, para uma data quantidade de combustıvel

I tempo de voo, para uma data quantidade de combustıvel





Introducao

Objetivo geral: desempenho maximo paradada situacao. Exemplos:

I problema do alcance: cırculo demaximo raio que contendo asdistancias que se pode percorrer:altitude, tracao, resultanteaerodinamica

I problema da curva coordenada, H=cte:mınimo raio, maxima velocidadeangular

I Problema da decolagem /aterrissagem: mınima pista

I London City, pista: 1500m (BBI:4000m)

I problema da subida / descida: maximarazao de subida / descida

I London City, steep approach: 5,5◦

c dassault

c wikpedia

aeroporto London City





IntroducaoExemplo: informacoes de desempenho do fabricante (fonte: www.embraer.com.br)





definicaotransformacao entre sistemas de referencia: angulos de Eulertransformacao do sistema terrestre para o sistema do corpotransformacao do sistema terrestre para o sistema aerodinamicotransformacao do sistema aerodinamico para o sistema do corpotransformacao do sistema propulsivo para o sistema do corporelacao entre velocidade angular e as derivadas dos angulos de Euler

Sistemas de referenciadefinicao

I sistema terrestre fixoI origem: ponto fixo sobre a superfıcie da TerraI zI : “vertical”, apontando para o centro da TerraI xI e yI : repousam sobre o plano horizontal

I sistema terrestre movelI eixos paralelos ao fixoI origem no CM

I sistema inercial: considerado coincidente com o terrestre fixoI sistema do corpo (“body reference frame”BRF,“body axes”):

velocidades e aceleracoes da aeronaveI sistema aerodinamico: resultante aerodinamicaI sistema propulsivo: tracao

transformacao entre sistemas de referencia







sistema do corpo, “body axes” (Cxbybzb): utilizado em estabilidade econtrole, simulacao de voo e para referenciar grandezas dinamicas medidaspor sensores fixos a estrutura da aeronave como aceleracoes e velocidadesangulares.

yb

xb

zb

CM

longitudinal axis

roll

pitch

yaw

I origem C : CM do veıculo;

I eixo-xb: aribitrario, masnormalmente coincide com alinha de referencia dafuselagem;

I eixo-zb : no plano de simetria daaeronave, apontando para forado ventre da aeronave;

I eixo-yb : completa um triedroortogonal dextrogiro







sistema aerodinamico (Cxayaza): tambem chamado de sistema de tra-jetoria em relacao ao ar, utilizado nos estudos de desempenho de aeronavese para expressar as forcas aerodinamicas

yb

xb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V

I origem C : CM da aeronave;

I eixo-xa : coincide com o vetorvelocidade da aeronave emrelacao ao ar (“vento relativo”)

I eixo-za : no plano de simetriada aeronave, apontando parafora do ventre da aeronave

I eixo-ya : completa um triedroortogonal dextrogiro






Sistemas de referenciatransformacao entre sistemas de referencia: angulos de Euler

Os angulos de Euler expressam a orientacao relativa entre dois sistemasde referencia. Rotacoes sucessivas, numa ordem determinada, levam umsistema a coincidir com o outro. Os tres principais conjuntos de angulosde Euler usados na mecanica do voo sao:

I sistema terrestre movel → sistema do corpo: ψ, θ, φ (proa, atitudelongitudinal, inclinacao lateral)

I sistema terrestre movel → sistema aerodinamico: χ, γ, µ (rumo,angulo de trajetoria, rolamento aerodinamico)

I sistema aerodinamico → sistema do corpo: −β, α, 0 (angulo dederrapagem, angulo de ataque)






Sistemas de referenciatransformacao do sistema terrestre para o sistema do corpo

Do sistema terrestre para o sistema do corpo sao necessarias tres rotacoessucessivas:

yb

xb

zb

θ

ψ

ϕ

x1

y1

z1

x2 y2

z2≡

x3≡

z3

y3≡

CM

xE

yE

zE

O

sistematerrestrefixo

I rotacao de ψ em torno do eixoz1 (vertical)

(x1, y1, z1) → (x2, y2, z2)

I rotacao de θ em torno do eixoy2

(x2, y2, z2) → (x3, y3, z3)

I rotacao de φ em torno do eixox3 ≡ xb do corpo

(x3, y3, z3) → (xb , yb , zb)







1a rotacao: angulo ψ em torno do eixo z do sistema terrestre movel. Nofinal o eixo x esta no plano oxbzb do corpo.

u2 = u1 cosψ + v1 sinψv2 = −u1 sinψ + v1 cosψw2 = w1

u2v2w2

=

cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

︸︷︷︸

Lψ

u1v1w1







2a rotacao: angulo θ em torno do eixo y do primeiro sistema intermediario.No final o eixo x do segundo sistema intermediario coincide com o do corpo.

u3 = u2 cos θ − w2 sin θv3 = v2w3 = u2 sin θ + w2 cos θ

u3v3w3

=

cos θ 0 − sin θ0 1 0

sin θ 0 cos θ

︸︷︷︸

Lθ

u2v2w2







3a rotacao: angulo φ em torno do eixo x do segundo sistema inter-mediario. No final todos os eixos coincidem.

u = u3v = v3 cosφ+ w3 sinφw = −v3 sinφ+ w3 cosφ

u

v

w

=

1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ

︸︷︷︸

Lφ

u3v3w3







Matriz de rotacao para passar do sistema terrestre para o sistema do corpo.

Lbt = LφLθLψ =

cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θ

sinφ sin θ cosψ − cos φ sinψ cos φ cosψ + sinφ sin θ sinψ sinφ cos θ

cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ − sinφ cosψ + cos φ sin θ sinψ cosφ cos θ

Como a matriz Lbt e ortogonal, a transformacao inversa e bastante simples:

Ltb = L−1

bt = LTbt =

cos θ cosψ sinφ sin θ cosψ − cosφ sinψ cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ

cos θ sinψ cosφ cosψ + sinφ sin θ sinψ − sinφ cosψ + cosφ sin θ sinψ

− sin θ sinφ cos θ cosφ cos θ







Exemplo:

I forca peso no sistema terrestre

Wt =

00mg

I forca peso no sistema do corpo

Wb = LbtWt =

−mg sin θmg sinφ cos θmg cosφ cos θ







Para melhor visualizacao:






Sistemas de referenciatransformacao do sistema terrestre para o sistema aerodinamico

Lembrando que:

I sistema terrestre movel → sistema do corpo: ψ, θ, φ (proa, altitudelongitudinal, inclinacao lateral)

I sistema terrestre movel → sistema aerodinamico: χ, γ, µ (rumo,angulo de trajetoria, rolamento aerodinamico)

Entao a matriz de rotacao para passar do sistema terrestre movel para osistema aerodinamico e analoga a matriz que passa do do sistema terrestremovel para o sistema do corpo, bastando apenas trocar ψ, θ e φ por χ, γe µ.

Lat =

cos γ cosχ cos γ sinχ − sinγ

sinµ sinγ cosχ− cosµ sinχ cosµ cosχ+ sinµ sin γ sinχ sinµ cos γcosµ sin γ cosχ+ sinµ sinχ − sinµ cosχ+ cos µ sinγ sinχ cos µ cos γ






Sistemas de referenciatransformacao do sistema terrestre para o sistema aerodinamico

Como a matriz Lat e ortogonal, a transformacao inversa e bastante simples:

Lta = L−1

at = LTat =

cos γ cosχ sinµ sin γ cosχ− cosµ sinχ cosµ sin γ cosχ+ sinµ sinχ

cos γ sinχ cosµ cosχ+ sinµ sin γ sinχ − sinµ cosχ+ cosµ sin γ sinχ

− sin γ sinµ cos γ cosµ cos γ

Exemplo:I velocidade aerodinamica no sistema aerodinamico

(V)a =

V

00

I velocidade aerodinamica no sistema terrestre movel

(V)t = Lta(V)a =

V cosγ cosχV cos γ sinχ−V sin γ






Sistemas de referenciatransformacao do sistema aerodinamico para o sistema do corpo

Do sistema aerodinamico para o sistema do corpo sao necessarias DUASrotacoes sucessivas:

yb

xb

zazb

ya

xa

CM

b

a

plano formadopor x e ya b

plano desimetria x zb b

V

I rotacao de −β em torno doeixo za , pertencente pordefinicao ao plano xbzb daaeronave (plano de simetria)

(xa , ya , za) → (xe , ye , ze)

I rotacao de α em torno do eixoye ≡ yb

(xe , ye , ze) → (xb , yb , zb)







1a rotacao: angulo −β em torno do eixo z . No final os eixos y coincidem

u2 = u1 cosβ − v1 sinβv2 = u1 sinβ + v1 cosβw2 = w1

u2v2w2

=

cosβ − sinβ 0sinβ cosβ 00 0 1

︸︷︷︸

Lβ

u1v1w1







2a rotacao: angulo α em torno do eixo y. No final, todos os eixoscoincidem.

u = u2 cosα− w2 sinαv = v2w = u2 sinα+ w2 cosα

u

v

w

=

cosα 0 − sinα0 1 0

sinα 0 cosα

︸︷︷︸

Lα

u2v2w2







matriz de transformacao do sistema aerodinamico para o sistema do corpo

Lba = LαLβ =

cosα cosβ − cosα sinβ − sinαsinβ cosβ 0

sinα cosβ − sinα sinβ cosα

Exemplo 1:I forca de arrasto aerodinamico no sistema aerodinamico

Da =

−D

00

I forca de arrasto aerodinamico no sistema do corpo

Db = LbaDa =

−D cosα cosβ−D sinβ

−D sinα cosβ







I forca de sustentacao aerodinamica no sistema do corpo

Lb = Lα

00−L

=

L sinα0

−L cosα

I forca lateral aerodinamica no sistema do corpo

Yb =

0Ya

0

I resultante aerodinamica no sistema do corpo

Ab = Db +Yb + Lb =

−D cosα cosβ + L sinα−D sinβ + Ya

−D sinα cosβ − L cosα







Exemplo 2:

I velocidade aerodinamica no sistema aerodinamico

Va =

V

00

I velocidade aerodinamica no sistema do corpo

Vb = LbaVa =

V cosα cosβV sinβ

V sinα cosβ

=

u

v

w

Note que:

α = arctanw

u, β = arcsin

v

V, V =

√

u2 + v2 + w2







Em outras palavras:

I o angulo de derrapagem (β) e o angulo entre o vetor-velocidade e oplano de simetria da aeronave;

I o angulo de ataque (α) e o angulo formado pela componente dovetor-velocidade no plano de simetria da aeronave e a linha dereferencia da fuselagem (LRF).






Sistemas de referenciatransformacao do sistema propulsivo para o sistema do corpo

A transformacao e identica a anterior (do sistema aerodinamico para osistema do corpo), sendo o sistema propulsivo equivalentemente definidopelos angulos αT e βT .1a rotacao: angulo −βT em torno do eixo z do motor. No final os eixosy coincidem.

LβT=

cos(βT ) − sin(βT ) 0sin(βT ) cos(βT ) 0

0 0 1

2a rotacao: angulo αT em torno do eixo y do motor. No final todos oseixos coincidem.

LαT=

cos(αT ) 0 − sin(αT )0 1 0

sin(αT ) 0 cos(αT )






Sistemas de referenciatransformacao do sistema propulsivo para o sistema do corpo

matriz de transformacao do sistema do motor para o sistema do corpo:

Lbp = LαTLβT

=

cos(αT ) cos(βT ) − cos(αT ) sin(βT ) − sin(αT )sin(βT ) cos(βT ) 0

sin(αT ) cos(βT ) − sin(αT ) sin(βT ) cos(αT )

Exemplo:I forca propulsiva no sistema de referencia do motor

(~T )p =

T

00

I forca propulsiva no sistema de referencia do corpo

(~T )b = Lbp(~T )p =

T cos(αT ) cos(βT )T sin(βT )

T sin(αT ) cos(βT )






Sistemas de referenciarelacao entre velocidade angular e as derivadas dos angulos de Euler

ψ, θ e φ sao componentes nao ortogonais de ω

I a velocidade angular φ ja esta no sistema do corpo;

I a velocidade angular θ necessita de uma rotacao φ para ser expressano sistema do corpo;

I a velocidade angular ψ necessita de duas rotacoes (θ e φ) para serexpressa no sistema do corpo.

ωb =

p

q

r

=

φ00

+ Lφ

0

θ0

+ LφLθ

00

ψ

⇔

p

q

r

=

1 0 − sin θ0 cosφ sinφ cos θ0 − sinφ cosφ cos θ

φ

θ

ψ







Invertendo a expressao anterior obtem-se:

φ

θ

ψ

=

1 sinφ tan θ cosφ tan θ0 cosφ − sinφ0 sinφ/ cos θ cosφ/ cos θ

p

q

r

Ou entao:

φ = p + tan θ(q sinφ+ r cosφ)

θ = q cosφ− r sinφ

ψ =q sinφ+ r cosφ

cos θ







Analogamente, tem-se a relacao entre o vetor velocidade angular ω daaeronave nos eixos aerodinamicos e as derivadas dos angulos de Euler χ,γ, µ:

ωa =

paqara

=

1 0 − sin γ0 cosµ sinµ cos γ0 − sinµ cosµ cos γ

µγχ

Ou entao:

pa = µ− χ sin γ

qa = γ cosµ+ χ sinµ cosγ

ra = −γ sinµ+ χ cosµ cos γ





Equacoes do movimento

I Aplicacao da 2a. Lei de Newton

I Casos particulares da dinamica da aeronave:I estudo do desempenho (MVO-10)I estudo da estabilidade (MVO-30)I controle automatico (MVO-20 + MVO-30)

I Estudo do desempenho, hipoteses:I Terra plana (g = cte) e sem rotacao: assumida referencial inercialI movimento de translacao do CG da aeronaveI massa variavel, POREM: variacao no momento linear associada a

queima de combustıvel (mV) e desprezıvel






I 2a. Lei de Newton para translacao:

mdV

d t=

∑

Fext = W

︸︷︷︸

gravidade

+ A︸︷︷︸

aero

+ T︸︷︷︸

prop

(1)

I relacao cinematica:dR

d t= V (2)

I variacao de massa:

dm

d t= − CF (H ,M , π)

︸︷︷︸

consumo especıfico de combustıvel

(3)

deducao no sistema aerodinamico: sistema da trajetoria






Seja:

IdV

d t= derivada temporal do vetor velocidade, medida pelo

observador fixo no referencial inercial;

IδV

δt= derivada temporal do vetor velocidade, medida pelo

observador fixo no sistema nao-inercial, que gira em torno doinercial com velocidade angular ω

Da analise vetorial, tem-se que:

dV

d t=δV

δt+ ω ×V






Sejam:I a velocidade angular ωa do sistema aerodinamico em relacao ao

referencial inercial, expressa no sistema aerodinamico:

ωa =

paqara

=

µ− χ sin γγ cosµ+ χ sinµ cos γ−γ sinµ+ χ cosµ cos γ

I a velocidade do CM da aeronave expressa no sistema aerodinamico:

Va =

V

00

I as forcas externas descritas no sistema aerodinamico:

∑

Fext

a =

Xa

Ya

Za

= Aa +Wa +Ta






Aplicando a 2a Lei de Newton:

∑

Fext

a = m

[δVa

δt+ ωa ×Va

]

⇔

∑~F exta = m

V

00

+m

paqara

×

V

00

= m

V

raV

−qaV

Substituindo as relacoes entre velocidade angular w e as derivadas doangulos de Euler:

Xa

Ya

Za

=

mV

mV (χ cos γ cosµ− γ sinµ)−mV (χ cosγ sinµ+ γ cosµ)

Agora basta expressar as forcas externas no sistema aerodinamicoFlavio Silvestre / Maurıcio Morales MVO-10 Desempenho de Aeronaves 2012





Forcas externas:

I forca aerodinamica

Aa =

−D

Ya

−L

I forca peso

Wa = Lat

00mg

=

−mg sin γmg cos γ sinµmg cos γ cosµ

I forca de tracao

Ta = Lab

F cos(αF ) cos(βF )F sin(βF )

F sin(αF ) cos(βF )

≈

F cos(α− αF ) cos(β − βF )−F cos(α − αF ) sin(β − βF )

−F sin(α− αF )






Substituindo as forcas externas:

mV = F cos(α− αF ) cos(β − βF )−D −mg sin γ

mV (χ cos γ cosµ−γ sinµ) = −F cos(α−αF ) sin(β−βF )+Ya+mg cos γ sinµ

mV (χ cosγ sinµ+ γ cosµ) = F sin(α− αF ) + L−mg cos γ cosµ

Isolando as variaveis de estado:

mV = F cos(α− αF ) cos(β − βF )−D −mg sin γ

mV cos γχ = [L+F sin(α−αF )] sinµ+[Ya−F cos(α−αF ) sin(β−βF )] cosµ

mV γ = [L+F sin(α−αF )] cosµ−[Ya−F cos(α−αF ) sin(β−βF )] sinµ

−mg cos γ






Da velocidade aerodinamica descrita no sistema terrestre movel temos asequacoes cinematicas:

Vt = LtaVa =

V cos γ cosχV cos γ sinχ−V sin γ

=

xtyt

−h

Ou seja:

xt = V cos γ cosχ

yt = V cos γ sinχ

h = V sin γ






Resumo

As equacoes foram deduzidas utilizando o sistema aerodinamico em re-lacao ao sistema terrestre, o qual foi considerado inercial. Ficamos com osseguintes estados e controles:

xxx =

V

χγxtyth

m

uuu =

F

αβµ






No estudo de trajetorias otimas, costuma-se adotar:

I aeronave simetrica

I derrapagem nula(β = 0)

I Ya ≈ 0

I αF ≈ βF ≈ 0

I peso variavel

mV =F (H ,M , π) cosα− D(H ,M , α)

−mg sin γ

mV cos γχ =(F (H ,M , π) sinα+ L(H ,M , α)) sinµ

mV γ =(F (H ,M , π) sinα+ L(H ,M , α)) cosµ

−mg cos γ

x =V cos γ cosχ

y =V cos γ sinχ

h =V sin γ

m =− Ci (H ,M , π)


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