3◦ Encontro UFV-UFJF e o Diada Matemática V

O 5a Dia da Matemática e o 3◦ Encontro UFV-UFJF fo-ram realizados com successo nos dias 08/11 e 11/11 de 2019,respectivamente. O 5a Dia da Matemática foi coordenadopela Profa Catarina Mendes de Jesus (UFV) e o 3◦ EncontroUFV-UFJF pelo Prof. Anderson L. A de Araújo. Nestes en-contros, além de docentes e estudantes do DMA, nos brinda-ram com palestras, os professores visitantes Tatiana A. Gou-veia (UFJF), Alana C. Felippe (UFOP) e Willian V. França(UFJF). Agradecemos a todos os participantes.

A. L. A. Araújo E. Leite C. Mendes de Jesus M. S. Alves

Maximum and comparison principles to Lane-Em-den systems.E. Leite; M. Montenegro; Journal of the London Mathematical So-ciety, 2019. (Classif. CAPES: A1 ).

This paper focuses on maximum and comparison principles related to theLane-Emden systems. As applications, we establish existence and unique-ness of solution for the nonhomogeneous counterpart of the system as well asAleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) type estimates. Lower bounds for prin-cipal eigenvalues of Lane-Emden systems in terms of the domain measure arealso derived.

Positive solutions of quasilinear elliptic equationswith exponential nonlinearity combined with con-vection term.A. L. A. Araújo; L. F. O. Faria; Journal of Differential Equations,2019. (Classif. CAPES: A1 ).

O objetivo do artigo foi estabelecer a existência de soluções positivas paraum problema de Dirichlet elíptico não linear na dimensão N envolvendo o N-Laplaciano. A não linearidade considerada depende do gradiente da funçãodesconhecida e um termo exponencial. Nesse caso, métodos variacionais nãopodem ser aplicados e a abordagem usada baseou-se no método de aproximaçãoem uma classe de espaços normados de dimensão finita.

Invariants of Stable Maps from the 3-Sphere tothe Euclidean 3-Space.N. B. Humani; C. Mendes de Jesus; J. Palacios;Bulletin of theBrazilian Mathematical Society, 2019. (Classif. CAPES: A2 ).

Exponential stability of laminated Timoshenko be-ams with boundary/internal controls.M. S. Alves; R. N. Monteiro; Journal of Mathematical Analysis andApplications, 2019. (Classif. CAPES: B1 ).

TÓPICOS PRINCIPAIS

GRANDES MATEMÁTICOS p. 2

-PROJETOS DE EXTENSÃO p. 3

-ENTREVISTAS:* Amarísio da S. Araújo* Alana C. Felippe p. 4

-PROJETOS DE PESQUISA p. 6

-DESAFIO MATEMÁTICO-NOTÍCIAS p. 8

COLABORADORES:*Augusto C. C. Ribeiro*Ígor S. Reis*Poliana R. A. de Paula

JMat UFVEDITORES

Pouya MehdipourAdy Cambraia Junior

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JMatUFV 20 de Dezembro de 2019 ‖ 14:52h

JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 Grande Matemáticos N◦5 2 / 8

Cédric Villani (Medalha de Fields 2010 )To the University UFV, All my best maths, By love Math! (C. Villani).

Cédric Villani

Mensagem do C. Villani para UFV

Cédric Villani é um conceituado ma-temático francês, nascido em 1973.Professor-pesquisador de Matemáticadesde 2000, trabalhou em Paris, Lyon,Atlanta, Berkeley, Princeton e IHESde Bures-sur-Yvette. Em 2009, che-fiou o Instituto Henri Poincaré, umdos mais antigos institutos de pes-quisa do mundo em Matemática e Fí-sica Teórica. Antes de se tornar mem-bro do Parlamento, também foi mem-bro dos conselhos científicos da EDF,Orange e Boston Consulting Group.

Agraciado em 2010 com a MedalhaFields, popularmente conhecida comoo “Nobel da Matemática”, Villani tam-bém se destaca por seu estilo peculiar:traja ternos bem cortados, acompa-nhados de colete e um lenço de sedano lugar da gravata, carrega um re-lógio de bolso e usa vistosas abotoa-duras nos pulsos. Cravado na lapela,leva sempre um grande broche de ara-nha.

Sua vida como pesquisador foi co-roada com a Medalha Fields em 2010,com trabalhos sobre Álgebra e Geo-metria. Desde então, dedicou ener-gia incansável ao compartilhamentode conhecimento por meio de confe-rências para todos os públicos, em to-

dos os continentes e através de seuslivros.

As suas principais áreas de inves-tigação são a teoria cinética (equaçõesde Boltzmann e Vlasov e as suas vari-antes) e o transporte óptimo e as suasaplicações, campo em que é autor deduas obras de referência.

Em 2012, escreveu o livro“Théorème Vivant” 1, no qual buscadescrever de um modo impressionista,do ponto de vista do coração, como échegar a uma descoberta matemáticaimportante.

Os Prêmios

Além da Medalha Fields, CédricVillani foi honrado com os prêmiosda European Mathematical Society(2008), Henri Poincaré (2009), Fermat(2010), dentre outros.

Medalha Fields: A Medalha Fieldsé o prêmio mais conhecido em Mate-mática. Inaugurada em 1936, as me-dalhas são concedidas no quadrienalCongresso Internacional de Matemá-ticos. Sempre foi comparada com oPrêmio Nobel e considerada a distin-ção máxima que um matemático podereceber.

Prêmio European MathematicalSociety: A European MathematicalSociety (EMS) é uma organização eu-ropeia dedicada ao desenvolvimentoda Matemática na Europa. O Con-gresso Europeu de Matemática ocorrea cada quatro anos, sob a coordenaçãoda EMS, no qual dez prêmios são con-cedidos em “reconhecimento a contri-buições de excelência em Matemáticapor jovens pesquisadores com idadenão superior a 35 anos”.

Prêmio Henri Poincaré: O PrêmioHenri Poincaré, patrocinado pela Fun-dação Daniel Iagolnitzer, foi criado em1997, em reconhecimento a contribui-ções de destaque em Física Matemá-tica. O prêmio também é destinado aoreconhecimento e suporte de jovens deexcepcional potencial, que já fizeramcontribuições ao campo da Física Ma-temática. O comitê responsável pelacessão do prêmio é designado pela As-

sociação Internacional de Física Mate-mática (IAMP).

Prêmio Fermat: Concedido peloInstitut de Mathématiques de Tou-louse, da Université Paul Sabatier, acada dois anos, para trabalhos de pes-quisa em áreas nas quais as contri-buições de Pierre de Fermat tenhamsido decisivas: Princípios Variacio-nais, Fundamentos de Probabilidade,Geometria Analítica e Teoria dos Nú-meros. A primeira premiação ocorreuem 1989 e, em 1995, Andrew Wiles foiagraciado por seus trabalhos que cul-minaram na demonstração do ÚltimoTeorema de Fermat.

Alguns livros publicados

Teorema Vivo: A proposta do livroé justamente tornar inteligível as nu-ances e os desafios do pensamento deum pesquisador deste campo da ciên-cia. Ele permite que o leitor entrena intimidade do seu laboratório, ou“labô” como dizem os franceses. Estaporta aberta dá a oportunidade deacompanhar dois momentos cruciais:a gênese de uma descoberta matemá-tica e o momento da publicação de umartigo com o novo resultado, ou me-lhor, o novo teorema.

Tópicos em Transporte Ideal:Este livro é uma introdução ao pro-blema de minimização de Monge-Kantorovich e suas ramificações emvários ramos da Matemática. Desti-nado a servir tanto como uma pes-quisa recente quanto como um li-vro didático para estudantes, abrangetanto a teoria, as aplicações àmecânica de fluidos, desigualdadesgeométrico-funcionais e o estudo deequações dissipativas. Muitos exercí-cios e problemas estão incluídos.

Transporte ideal, antigo e novo:Pode ser considerado como a sequên-cia do livro sobre transporte ideal, em-bora possa ser lido de forma indepen-dente e se baseie em opções de apre-sentação bastante diferentes. A apre-sentação é mais focada em geometria,probabilidade e sistemas dinâmicos.

1“Teorema Vivo”, traduzido para o português e publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, em 2019.

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 PROJETO DE EXTENSÃO N◦5 3 / 8

LMAC

Lógica Matemática, Aprendi-zagem e Cidadania surgiu da per-cepção de que a dificuldade dos es-tudantes em aprender, principalmenteMatemática, reside também na faltade uma formação básica sobre raciocí-nio lógico dedutivo. A habilidade deorganizar o pensamento e o conheci-mento de modo sistemático é necessá-ria a todas as pessoas e o estudo daLógica auxilia muito no seu desenvol-vimento.

A professora titular Marinês Guer-reiro (DMA-UFV) coordena, desde2018-I, a equipe formada por Dio-vana Mussolin e Letícia Freitas (Li-cenciatura em Matemática), FredericoSouza e Tenilson Neves (BachareladoemMatemática) da UFV, na execuçãodas atividades do projeto.

Objetivos

Um dos objetivos é proporcionar aoportunidade a cidadãos em geral deconhecer e aprender noções de Ló-gica e do raciocínio dedutivo, a fimde aplicá-las a problemas em diversasáreas do conhecimento e no dia-a-dia,além de fazer a distinção dos diferen-tes tipos de argumentos (válidos, cor-retos, falaciosos, sofismas).

Outros objetivos são capacitar aequipe a produzir os materiais utili-zados nos cursos ofertados e a organi-zar a logística das atividades, além deprepará-los para atuar como monito-res/ministrantes nos cursos.

Atividades Realizadas

O minicurso Técnicasos membrosd de demonstração iniciou as ati-vidades do projeto no SIA 2018 efez parte das programações do Sim-pósio na Faculdade Santa Marcelina,em Muriaé e do I SIAMA - Semana

de Integração Acadêmica da Matemá-tica, em maio de 2019. O LógicaMatemática: um curso introdu-tório foi ministrado em módulos aolongo do ano de 2019 para os estudan-tes do primeiro ano do CAp-COLUNI,para os jovens da Escola de Evangeli-zação da Comunidade Aliança de Mi-sericórdia em BH e para o públicoem geral, na UFV. Também compôsa programação do I SIAMA (UFV),do X ECEM - Encontro Científico deEducação e Matemática, no IFMG Su-deste, no Campus Rio Pomba, e daXXXI SEMAT da Faculdade SantaMarcelina, em Muriaé. No segundosemestre de 2019, o projeto ampliou asua atuação fora da UFV, em parceriacom o Projeto Se você quer, você pode,que atende a crianças da comunidadePau de Cedro, região rural de Viçosa.Uma palestra também foi realizada naEscola Estadualos membros d Orme-zinda Alves Duarte, em São Sebastiãoda Vargem Alegre-MG.

Planos para 2020

Novos membros na equipe, minicur-sos, palestras, desafios nas redes soci-ais e a ampliação das parcerias estãoprogramados para 2020. Siga as no-vidades do projeto pelo Instagram eFacebook Lógica Matemática.

CINEMATO projeto “Cinemat: a matemá-tica pelas lentes do cinema” co-meçou a ser idealizado por volta deagosto de 2017 e, em 20/11/2017, aprimeira metragem foi rodada para osestudantes. Em agosto de 2018, o pro-jeto foi submetido e reconhecido pelaFUNARBIC.

Muitos estudantes sofrem com ochoque do primeiro contato com amatemática nas universidades, o quepode gerar um grande impacto navida escolar, além de um alto índicede evasão. Segundo a professora Dra.Marli D. D. Moreira, advindo das al-tas taxas de evasão do curso, surgiu anecessidade de mostrar que a matemá-tica é bela e necessita de um domínioda linguagem e, como qualquer lin-guagem, este conhecimento não vemde uma hora para outra, ele é prove-

niente de uma construção de conheci-mentos e nada melhor do que o cinemapara ajudar a desvendar tal face.

O CINEMAT propõe a exibição defilmes, documentários e vídeos rela-cionados com a matemática seguidade atividades exploratórias e debatessobre os conceitos apresentados pelofilme, algumas vezes utilizando atémesmo entrevistas. O objetivo é “in-vestigar que matemática é reveladapelas lentes do cinema”, favorecendoa enculturação matemática.

O projeto é uma maneira de en-sinar matemática tendo o cinemacomo principal ferramenta tornando aaprendizagem mais leve, dinâmica edivertida. Há toda uma preparaçãoe um cuidado especial da orientadoraMarli e seu orientando Pablo C. P. G.Tureta de contextualizar o filme em

relação ao meio matemático, identifi-car figuras importantes para a histó-ria matemática, retratados ou citadosno enredo e formulação de um questi-onário não só para fixação do conhe-cimento, como também para um feed-back dos espectadores.

No início de 2019, os resultadosdo projeto foram apresentados em umcongresso internacional na Europa,mostrando quão importante o projetotem sido para motivar os estudantes.Pablo ainda enfatiza a importânciadesta conquista devido à desvaloriza-ção tanto da educação quanto da utili-zação do cinema como meio didático.

Mais informações: http://www.dma.ufv.br/dma/inicio.php?secao=extensao&id=14 e no CA-MAT (Centro Acadêmico de Mate-mática).

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 ENTREVISTAS N◦5 4 / 8

Professor Amarísio da Silva Araújo (UFV)O prof Amarísio da Silva Araújo, pos-sui Graduação em Matemática ( Ba-charelado e Licenciatura) pela Univer-sidade Federal de Viçosa (1990), Mes-trado em Matemática pela Universi-dade de Brasília (1992) e Doutoradoem Computação Aplicada pelo Ins-tituto de Pesquisas Espaciais (2014).Atualmente, é professor Adjunto IVda Universidade Federal de Viçosa,onde trabalha desde fevereiro de 1993.

(1) Antes da UFV, já tra-balhou em outras universidades?Se sim, quais?

Não. A UFV é a minha primeira eúnica casa profissional, na qual inicieia minha carreira em julho de 1992.

(2) Durante esses anos, quefunções acadêmicas você assu-miu?

Exerci a orientação acadêmica devários estudantes do curso de Mate-mática. Participei de várias comis-sões internas do DMA: coordenaçãode curso, de ensino, de extensão etc.;membro externo das coordenações doscursos de Economia e de Engenhariade Alimentos; comissão técnica de ela-boração do vestibular da UFV.

(3) Qual sua área de pes-quisa?

Considerando o meu doutorado emComputação Aplicada, a área de pes-quisa relativa à minha Tese é a de Pro-blemas Inversos.

(4) Qual dos seus projetos depesquisa você considera mais im-portante?

Atualmente, estou inserido em umúnico projeto de pesquisa intitulado:

“Estimativa da Mudança no Ciclo Hi-drológico da Mata Atlântica: Mo-delo Inland”, numa coorientação deMestrado, inserida no Grupo de Pes-quisa em Micrometeorologia do De-partamento de Engenharia Agrícolada UFV.

(5) Qual sua opi-nião/sugestão para a melhoriado nível de pesquisa no DMA?

O nível de pesquisa em Matemá-tica no DMA depende muito da de-dicação dos seus pesquisadores. Paratal dedicação, é preciso que lhes se-jam garantidos tempo e incentivos defomento, proporcionando-lhes a pos-sibilidade de interação com pesquisa-dores de outras instituições, a par-ticipação em congressos científicos eos processos contínuos de capacita-ção. É muito importante também quese mantenha o zelo na formação dosgraduandos em Matemática da UFV,considerando que estes são potenci-ais ingressantes no Programa de Pós-Graduação em Matemática do DMA.

(6) Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?

Para garantir o processo naturalde qualificação de suas pesquisas, épreciso que se faça o essencial: criarinstrumentos de apoio e incentivo àrealização de atividades de pesquisa edesenvolvimento, de difusão e absor-ção de conhecimentos científicos.

(7) Existe um grupo de pes-quisa na sua área na UFV?Quando foi criado?

Não existe um grupo de pesquisa

na minha área na UFV, mas existemvários grupos, especialmente nas en-genharias, que trabalham com proble-mas que, de alguma forma, são resol-vidos como problemas inversos.

(8) Quem são os membros?Qual a frequência de semináriosou reuniões do grupo?

Como respondido no item 7, nãohá.

(9) Uma breve explicação so-bre sua área, de 5 à 10 linhas,listando os principais focos epossíveis aplicações.

Problemas Inversos são problemasque envolvem a determinação de umacausa (desconhecida) a partir de umefeito (dado) medido ou observado.Tais problemas aparecem em diver-sas aplicações, tais como em geofísicae ciências ambientais: exploraçõessísmicas, detecção de petróleo etc.;em saúde: tomografias, eletrocardi-ografias etc.; em engenharias: testesnão-destrutivos em componentes etc.;de maneira geral, em diversos estudosquantitativos e qualitativos de Física,Química, Biologia, Economia, etc. Aárea de Problemas Inversos é, por-tanto, uma área multidisciplinar queenvolve profissionais de diversas áreas,como as mencionadas acima, e, obvia-mente, matemáticos. Na Matemática,em particular, envolve conhecimentosde Análise, Geometria, Álgebra Li-near, Equações Diferenciais, AnáliseNumérica, etc.

Piada Matemática:

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 ENTREVISTAS N◦5 5 / 8

Professora Alana Cavalcante Felippe (UFOP)A professora Alana Cavalcante Fe-lippe possui graduação em Matemá-tica pela Universidade Federal deOuro Preto (2010), mestrado em Ma-temática pela Universidade Federal deViçosa (2013) e doutorado em Mate-mática pela Universidade Federal deMinas Gerais (2018) . Atualmente éprofessora efetiva da Universidade Fe-deral de Ouro Preto - campus JoãoMonlevade.

(1)Antes da UFOP, já tra-balhou em outras universidades?Se sim, quais?

Desenvolvo minhas atividades naUniversidade Federal de Ouro Preto –campus João Monlevade, desde 2013,quando fui aprovada no concurso.

(2)Durante esses anos, quefunções acadêmicas você assu-miu? Quanto tempo em cadauma delas?

Em relação ao ensino, além de mi-nistrar aulas, desenvolvi o programapiloto de tutoria na disciplina de Cál-culo I, que posteriormente foi imple-mentado também em Ouro Preto emvirtude dos resultados positivos. Atu-almente faço parte da comissão de de-senvolvimento de uma Especializaçãono Ensino Interdisciplinar.

Em relação à extensão, desenvolvitrês projetos de extensão. O primeirose intitulava “Aprendendo matemáticaatravés de Atividades Lúdicas” no pe-ríodo de 2014-2015. O segundo se inti-tulava “Reciclar com uso da Matemá-tica” no período de 2018-2019. Devidoà demanda da comunidade externa, oterceiro está sendo desenvolvido e seintitula “Reduzir, Reutilizar e Reciclarcalculando”.

Também participei da ComissãoOrganizadora do Festival de Invernode Ouro Preto em 2018 e 2019.

Em relação à pesquisa, cursei meudoutorado no período de 2015-2018 naUFMG.

Em relação às atividades admi-nistrativas, participei como membrodo Colegiado de Engenharia de Pro-dução (2014), Colegiado de Sistemasde Informação (2015) e do Colegiadode Engenharia Elétrica (2018-2020).Participei como membro do Comitê deÉtica em Pesquisa (2015) e membrodo Comitê de Extensão (2018-2020).

(3)Qual sua área de pesquisa?Teoria das folheações holomorfas/

Geometria Algébrica ; Teoria das Sin-gularidades/Topologia e Geometria.

(4)Qual dos seus projetos depesquisa você considera mais im-portante?

Todos os projetos têm sua impor-tância em sua área.

(5)A universidade que vocêtrabalha tem um programa depós-graduação em matemática?Se sim, qual seu nível de pes-quisa? Existe um grupo de pes-quisa em sua área?

A UFOP não apresenta um pro-grama de pós em matemática. Desen-volvo a minha pesquisa sozinha e emparceria com docentes de outras uni-versidades.

(6) Como podemos criar atra-tivos para melhorar o nível depesquisa em universidades?

Um atrativo seria o investimentoem pesquisas e consequentemente nainovação, no entanto a falta de re-cursos é uma realidade. Outro atra-

tivo seria a criação de políticas dentrodos departamentos para a dedicaçãodo professor à pesquisa, reduzindo suacarga horária no ensino e extensão.

(7)Uma breve explicação so-bre sua área de pesquisa, de 5 à10 linhas, listando os principaisfocos e possíveis aplicações.

Sim. O grupo "Equações Diferen-ciais e Aplicações" foi criado em 2011e conta com a participação de váriosprofessores do DMA.(8)Quem são os membros? Quala frequência de seminários oureuniões do grupo?

Participam do grupo os professoresAmarísio, Anderson Araújo, ArianeEntringer, Cristiane Valadares, EdirLeite, Edson Teixeira, Fernanda Oli-veira, Jéssyca Lange, Lilian Neves,Luciana Bragança, Margareth Alvese Sandro Romero. Ainda não tive aoportunidade de me reunir com todoseles.(9)Uma breve explicação sobresua área de pesquisa, de 5 à 10linhas, listando os principais fo-cos e possíveis aplicações.

No estudo de distribuições ho-lomorfas e folheações em varieda-des projetivas complexas, técnicasálgebro-geométricas tem sido utiliza-das. Estamos interessados em anali-sar quando os feixes tangente e conor-mal decompõem, juntamente com aspropriedades do esquema singular. Oobjetivo deste trabalho é caracterizarestas distribuições cujo feixe tangentee conormal não tem cohomologia in-termediária.

Frases de Grandes Matemáticos:

*Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, não é a posse, mas o ato de chegar lá, que garante omaior prazer. Quando esclareço e esgotei um assunto, afasto-me dele para voltar à escuridão;

o homem nunca satisfeito é tão estranho: se ele completou uma estrutura,então não é para morar nela pacificamente, mas para começar outra.Imagino que o conquistador do mundo deva se sentir assim, que,

depois de um reino mal ser conquistado,estende os braços para os outros.

* A matemática é a rainha da ciência e a aritmética, a rainha da matemática.

-Carl Friedrich Gauss.

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 PROJETOS DE PESQUISA N◦5 6 / 8

O Teorema de Hahn-Banach

Hans Hahn

Stefan Banach

Gabriela Cristina de Sá,A Análise Funcional é um ramo damatemática que trata do estudo de es-paços vetoriais de dimensão infinita.Se destaca por desempenhar um papelcrucial em Análise Não-Linear, Teo-ria do Controle, Otimização, EDP’s ena moderna Teoria de Espaços de Ba-nach. Um dos teoremas fundamentaisdesta área é o chamado Teorema deHahn-Banach.

A forma atual mais geral do Teo-rema de Hahn Banach foi publicadaem 1929, por S. Banach, e generali-zada para espaços vetoriais comple-xos, por H. Bohnenblust. Formasmais simples do teorema foram prova-das por Helley, em 1912, e por Hahn,

em 1922. Em 1927, Hahn melhorou oresutado para funcionais definidos emespaços de Banach.

A essência do Teorema de Hahn-Banach, em sua versão para espaçosnormados, é que funcionais linearescontínuos definidos em um subespaçoG de um espaço normado E podemser estendidos a todo espaço E pre-servando linearidade, continuidade e ovalor da norma. A peça fundamentalpara a demonstração do Teorema é oLema de Zorn. Este Lema é equiva-lente ao Axioma da Escolha e garanteque todo conjunto parcialmente orde-nado, não vazio, no qual todo subcon-junto totalmente ordenado é limitadosuperiormente tem um elemento ma-ximal.

Teorema 1 (Teorema de Hahn-Ba-nach Generalizado). Seja X um es-paço vetorial sobre R ou C e p umfuncional linear subaditivo com valo-res reais em X, isto é, para x, y ∈ X,

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

e, para cada escalar α,e pelo Insta-gram e Facebook do projeto e do

p(αx) = |α|p(x).

Além disso, seja f um funcional lineardefinido em um subespaço Z de X quesatisfaz

|f(x)| ≤ p(x).

Então f adimite uma extensão f sobreX que satisfaz

|f(x)| ≤ p(x),∀x ∈ X.

O Teorema de Hahn-Banach épeça chave para a prova do seguinteresultado. Todo espaço normado se-parável é isomorfo isometricamente aum subespaço de l∞. O caso E = {0}

é trivial. Seja E um espaço normadoseparável não trivial e D = {xn :n ∈ IN} um subconjunto enumeráveldenso em E. Podemos claramente su-por 0 /∈ D. Para cada n ∈ IN , existeum funcional linear φn ∈ E′ tal que||φn|| = 1 e φn(xn) = ||xn||. Consi-dere o operador

T : E → l∞, T (x) = (φn(xn)).

É claro que |φn(x)| ≤ ||φn||||x|| =||x||, para todos n ∈ IN e x ∈ E, por-tanto, T está bem definido no sentidoque (φn(x)) ∈ l∞, para todo x ∈ E.Além disso, T é linear e

||T (xk|| = sup{|φn(xk)| : n ∈ IN}

≤ ||x||,

o que prova em particular que T é con-tínuo. Note que:

||T (x)|| = sup{|φn(x)| : n ∈ IN}

≤ ||x||,

||T (xk|| = sup{|φn(xk)| : n ∈ IN}

≥ |φk(xk)| = ||xk||,

para todo k ∈ IN . Das desigualda-des anteriores, ||T (xk)|| = ||xk||, paratodo k ∈ IN . A densidade do con-junto {xn : n ∈ IN} e a continuidadeda função x ∈ E −→ ||T (x)|| impli-cam ||T (x)|| = ||x||, para todo x ∈ E.Assim, T é um isomorfismo isométricoentre E e T (E). A demonstração doteorema e mais resultados podem serencontrados em (1).Referências:

(1)- E. Kreyszing, Introductory Func-tional Analysis with applications,1978.[2]- RUDIN, W., Functional Analy-sis, 2a Edição. McGraw-Hill Science,1991. �

Frases de Grandes Matemáticos:

*A Matemática é a criação mais bonita e mais poderosa do espírito humano.

* Um matemático é uma pessoa que pode encontrar analogias entre teoremas;um matemático melhor é aquele que pode ver analogias entre provas

e um ainda melhor pode notar analogias entre teorias.

* Pode-se dizer que um matemático realmente excepcional é aquele que pode ver analogias entre

analogias. -Stefan Banach.

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 DESAFIO MATEMÀTICOS N◦5 7 / 8

Ergodicidade e Mixing

Foto: https : //www.math.uci.edu/

Neemias Martins,A Teoria Ergódica é um ramo dos sis-temas dinâmicos que estuda as pro-priedades estatísticas das dinâmicasdeterminísticas, usando a Teoria daMedida. Uma propriedade estatís-tica é uma propriedade que expressao comportamento ao longo do tempode sistemas dinâmicos dotados de me-didas invariantes. Por determinís-tico, queremos dizer que as equaçõesque determinam a dinâmica não pos-suem perturbações ou ruídos aleató-rios. Os primeiros resultados im-portantes da teoria são: o TeoremaKrylov-Bogolyubov (existência de me-didas invariantes), o Teorema da Re-corrência de Poincaré e o Teorema Er-gódico de Birkhoff.

Existe uma relação relevante en-tre a ergodicidade e a propriedade demixing (misturadora), que se associacom os Sistemas Dinâmicos Caóticos.Tais propriedades foram o objeto deestudo deste trabalho.

Medidas Invariantes

Uma σ−álgebra em um conjunto X éuma coleção A de subconjuntos de Xque satisfaz as seguintes condições(i) ∅, X ∈ A;(ii) Se E ∈ A, então X \ E ∈ A;(iii) Se Ei ∈ A, para i = 1, ..., n, ...,

então∞⋃i=1

Ei ∈ A.

O par (X,A) é dito espaço men-surável. Uma medida em um es-paço mensurável (X,A) é uma funçãoµ : A → [0,+∞] que cumpre as con-dições a seguir(i) µ(∅) = 0;(ii) µ(E) ≥ 0, para todo E ∈ A;

(iii) µ

( ∞⋃i=1

Ei

)=

∞∑i=1

µ(Ei), para

toda coleção de subconjuntos de Adois a dois disjuntos.

A terna (X,A, µ) é dita um es-paço de medida e os subconjuntos deA são chamados conjuntos mensurá-veis. Uma transformação T : X → Xé mensurável se T−1(E) ∈ A, paratodo E ∈ A.

Considere (X,A, µ) um espaço demedida e T : X → X uma trans-formação mensurável. A medidaµ é invariante por T , ou T pre-serva a medida, se, para todo con-junto mensurável E ∈ A, tem-seµ(T−1(E)

)= µ(E).

Teorema (Krylov-Bogolyubov).Sejam (X,A, µ) um espaço de medidae T : X → X uma aplicação contí-nua. Então existe ao menos uma me-dida invariante por T.

Qual é o comportamento das tra-jetórias quando viajam por um longotempo? A primeira resposta a essapergunta foi o teorema da Recorrên-cia de Poincaré, que afirma que quasetodos os pontos em qualquer subcon-junto do espaço de fase eventualmenterevisitam o conjunto. O teorema a se-guir é uma das aplicações do teoremaanterior.

Teorema (Recorrência de Poin-caré). Sejam T : X → X uma trans-formação mensurável e µ uma medidainvariante por T. Seja E ⊂ X qual-quer conjunto mensurável com medidapositiva. Então, para µ-quase todoponto x ∈ E, existem infinitos valo-res de n para os quais Tn(x) está emE.

Ergodicidade e Mixing

Sejam (X,A, µ) um espaço mensurá-vel e T : X → X uma transformaçãomensurável que preserva a medida µ.Ergodicidade: A transformação T éergódica se, para cada E ∈ A comT−1(E) = E, tem-se µ(E) = 0 ouµ(E) = 1.Mixing: A transformação T é mixingse, para cada A,B ∈ A, tem-se

limn→∞

µ(Tn(A) ∩B) = µ(A)µ(B).

Intuitivamente, sob iterações de T ,o conjunto A se espalha sobre X atéque a proporção de A encontrada emqualquer conjunto B seja igual a pro-porção de A em X.

Em Física e Termodinâmica, ahipótese ergódica de Boltzmann dizque, por longos períodos de tempo, otempo gasto por um sistema em al-guma região do espaço de fase é pro-porcional ao volume dessa região. OTeorema Ergódico de Birkhoff afirmaque a média de tempo de uma fun-ção ao longo das trajetórias existe emquase todos os pontos e está relacio-nada à média de volume do espaço.Em especial, quando T é um sistemaergódico, essa média é a mesma paraµ−quase todos os pontos.

Teorema (Ergódico de Birkhoff).Seja (X,A, µ) um espaço de probabi-lidade e T : X → X uma transforma-ção que preserva medida e é ergódica.Então, para qualquer f integrável, amédia de f ao longo da trajetória deT é, para µ−quase todo ponto, igual amédia de f sobre o espaço X, ou seja,se

Sn =1

n

n−1∑i=0

f(T i(x)), x ∈ X,

então,

limn→∞

Sn =1

µ(X)

∫X

f(x)µ(dx) q.t.p.

Teorema. Toda transformação mi-xing é ergódica.

Referências:

[1]- PETERSEN, K. Ergodic Theory.Cambridge University Press, 1983.[2]- LASOTA. A; MACKEY, M.C.Chaos, Fractals, and Noise, Stochas-tic Aspects of Dynamics, Springer-Verlag New York Inc; v.97, 1994.

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JMatUFV , 20 de Dezembro de 2019 NOTICIAS N◦5 8 / 8

Desafios MatemáticosAndré Junqueira

É um fato bem conhecido que nãoexistem fórmulas gerais para as raízesde um polinômio de grau maior que 4.Com isso resta a possibilidade de es-tudarmos padrões geométricos sobre alocalização dessas raízes e assim sur-giu a chamada teoria geométrica depolinômios. Um resultado bem clás-sico é o teorema de Gauss-Lucas queenunciamos a seguir.

Teorema (Gauss-Lucas). Todos ospontos críticos de um polinômio nãoconstante estão contidos no fêcho con-vexo das raízes de f . Além disso, seos zeros são simples e não colineares,então nenhum ponto crítico se escon-tra na fronteira do fêcho convexo.

Uma questão importante em cál-culo numérico é saber localizar as raí-zes de um polinômio. Cauchy provouo seguinte resultado:

Teorema (Gauss-Lucas). Se f(z) =an + an−1z + ... + a0z

n é um polinô-mio, então suas raízes estão contidasna bola de centro na origem e raio 1+max{|an−1/an|, |an−2/an|, ..., |a0/an|}.

Para finalizar, vamos comentar so-bre um resultado surpreendente quemelhora o teorema de Gauss-Lucas,no caso particular de polinômios degrau 3.

Teorema (Marden). Seja f um po-linômio de grau 3 tal que suas raí-

zes sejam simples e não colineares noplano complexo. Se T é o triângulocom vértices nas raízes de f , entãoexiste uma única elipse que é tangenteaos lados do triângulo e cujos focos daelipse são os pontos críticos de f .

Para quem quiser saber mais deta-lhes sobre essa área, sugerimos o livroGeometry of Polynomials, de MorrisMarden. O problema desta edição é oseguinte:

Problema: Mostre que o polinômio

f(x) = 1 + x+x2

2!+ ...+

x2n

(2n)!não

possui raízes reais, para todo n ∈ IN .

NOTÍCIAS DO DMA

Programa de Verão2020- DMANo período de 06/01 a06/03/2020, o Departa-mento de Matemática daUFV, promoverá o XIIPrograma de Verão em Ma-temática, que inclui o XIIWorkshop de Verão em Ma-temática do DMA. Maisinformações: http://www.dma.ufv.br/verao2020/

Concurso de Profes-sor TitularNo início de 2020, ocor-rerá o concurso para umavaga de cargo isolado de do-cente da Carreira do Magis-tério Superior, Classe Pro-fessor Titular-Livre, em re-gime DE, com lotação noDMA-CCE, para a área deÁlgebra, conforme o EDI-TAL No 106/2019.

Dia da MatemáticaIVO Departamento de Ma-temática da UFV organi-zará o Dia da MatemáticaVI no próximo semestre.O evento tem por objetivopromover a integração cien-tífica entre os pesquisado-res do DMA. Mais infor-mações: http://www.dma.ufv.br/diamatematica/

Concurso de Profes-sor SubstitutoO Departamento de Mate-mática da UFV terá umavaga de professor substi-tuto para o primeiro se-mestre de 2020. O editalserá publicado em breve.Mais informações:https://www3.dti.ufv.br/gps/processos-seletivos/destaques .

Referências:1- https : //www.leffest.com/convidados/2015/cedric− villani/2- http : //recalibrando.com.br/3- https : //cedricvillani.org/biographie4- https : //wikipedia.org/wiki5- https : //www.bookofproofs.org/history6- https : //impa.br/noticias7- https : //www.brainyquote.com/

Errata: Na versão anterior em desafios matemáticos ocorreu um erro de digitação. A afirmação correta é“Sugestão: Para resolver esse problema use a igualdade

∑∞n=1

1n2 = π2

6 . ”

Agradecimento: Agradecemos o apoio dos membros da Comissão do Jornal da Matemática, em particular, o Prof.André Junqueira da Silva Corrêa e a Profa. Marinês Guerreiro que nos ajudaram na edição desta versão.

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