Dia da Matemática IIDMA-UFVO segundo Dia da Matemática foi realizado com successo em

27 de Abril de 2018. O evento foi realizado pelo Programa dePós-Graduação e pelo Curso de Graduação em Matemática.Tivemos o prazer de receber os professores visitantes RenatoVidal Martins (UFMG) e Isaia Nisoli (UFRJ). Agradecemosa todos os docentes e estudantes participantes.

*Residue formulas for logarithmic folia-tions and applications.Correa, M. ; Machado, D. S., Transactions of the AmericanMathematical Society, 2018, (Classificação CAPES: A1 ).Neste artigo consideramos o problema de fornecer versões

do Teorema de Baum-Bott para variedades complexas não-compactas do tipo X̃ = X − D, com X uma variedadecomplexa compacta e D um divisor em X. Obtivemostais versões nos casos em que D tem singularidades dotipo cruzamentos normais. Como aplicação apresentamosuma caracterização de quando uma hipersuperfície lisa,invariante por uma foliação F de dimensão um no Pn,contém todas as singularidades de F .

*Max Noether’s Theorem for integralcurves.Contiero, A.; Feital, L.; Martins, R. V., Journal of Algebra, 2018,(Classificação CAPES: A1 ).

*A class of parabolic equations drivenby the mean curvature flow.De Araujo, A. L.A.; Montenegro, M.S. , Proceedings of the Edin-burgh Mathematical Society, 2018, (Classificação CAPES: A2 ).

*Some results on Riccati equations, Flo-quet theory and applications.Lemos, A.; Alvez, A. M. ; Araujo, A. L. A. ; Pedroso, K. M. Jour-nal of Fixed Point Theory and Applications, 2018, (ClassificaçãoCAPES: B1 ).

*Stability of a thermoelastic mixture withsecond soundAlves, M. ; Muñoz Rivera, J.E.; Vera Villagran, O. ; Ferreira,M. ,Mathematics and Mechanics of Solids, 2018, (ClassificaçãoCAPES: B1 ).

TÓPICOS PRINCIPAIS

-GRANDES MATEMÁTICOSp. 2

-ENTREVISTAS:*Marinês Guerreiro*Pouya Mehdipour p. 3

-IV SEMAT-UFV-NOTICIAS p. 5

-PROJETOS DE PESQUISAS:* Musica e Matemática* Hipótese de Riemann p. 6

-DESAFIO MATEMÁTICO p. 8

COLABORADORES:*Rafael C. Silva*Hoechst C. da Silva

JMat UFVEDITORES

Pouya MehdipourWalter Vargas

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JMatUFV 4 de Julho de 2018 ‖ 10:05h

JMatUFV , 4 de Julho de 2018 GRANDES MATEMÁTICOS N◦2 2 / 8

Perda de dois Grandes MatemáticosRef: impa.br/page− noticias,

Manfredo Perdigão do Carmo:1928 a 2018

Manfredo Perdigão do Carmo era umgaroto em Maceió quando tirou notabaixa na prova de inglês. O francês jádominava, mas ainda faltava entendera língua inglesa. Ouviu falar de um

certo professor, o melhor da cidade,mas as lições eram caras.

Tratou de conseguir o livro usadopelo mestre. Sempre que havia aula,se postava do lado de fora da casa dodocente, na surdina, ouvindo pela va-randa o que era ensinado. E assimaprendeu inglês.

Não é pelo talento para línguas,porém, que Manfredo ganhou notori-edade. Pesquisador emérito do IMPA(Instituto Nacional de MatemáticaPura e Aplicada), ele é um dos maio-res responsáveis pela consolidação daGeometria Diferencial como área depesquisa no Brasil. Manfredo chegouao IMPA em 1959, trazido por umamigo de infância, quando o Institutoainda dava seus primeiros passos. En-genheiro de formação, ele começou ali,como estagiário, a carreira de mate-mático.

Anos depois, já imerso na área,foi fazer doutorado nos Estados Uni-dos, na Universidade da Califórnia.Foi orientado pelo chinês Shiing-ShenChern, uma das maiores referênciasem Geometria Diferencial do mundo.

De volta ao Brasil, retornou aoIMPA, onde, além da atividade depesquisa, foi professor. Tinha famade hipnotizar os estudantes e suas au-las, assim como os livros que publicou,tratavam de forma simples e didáticaassuntos deveras complexos e abstra-tos.

Morreu no dia 30 de abril de 2018,no Rio de Janeiro, aos 89 anos, emdecorrência de uma parada cardíaca.Deixa a mulher, Leny, com quem pas-sou 52 anos de sua vida. Também fi-cam os filhos Manfredo Júnior e Cláu-dia e o neto João.

Ref: www.washingtonpost.com,

Anatole Katok: 1944 à 2018

Anatole Katok, um matemático ame-ricano que foi líder na exploração teó-rica de Sistemas Dinâmicos, um as-sunto que trata da maneira como as-pectos complexos do mundo real -incluindo clima, doença e economia- mudam e se desenvolvem com otempo, morreu em 30 de abril, em umcentro médico em Danville, PA. Eletinha 73 anos. As causas foram pneu-monia e complicações de uma infec-ção, disse sua esposa, Svetlana Katok.

Nos últimos anos de sua vida, A.Katok foi diretor do Centro de Di-nâmica e Geometria da PennsylvaniaState University. Antes de ir para aPenn State em 1990, ele lecionou porseis anos no California Institute of Te-chnology e de 1978 à 1984 na facul-

dade da Universidade de Maryland.Entre colegas, ele foi saudado por re-volucionar o estudo de Sistemas Dinâ-micos através de matemática sofisti-cada. Gregory Margulis, um membroda faculdade de matemática da Uni-versidade de Yale, chamou-o de “umdos gigantes”.

Em seu trabalho acadêmico, A.Katok se aventurou em áreas queabraçaram alguns dos aspectos maisintrigantes da Matemática Moderna,incluindo o que tem sido chamadode Teoria do Caos, simbolizado pelo“efeito borboleta”.Houve uma época em que os cientis-tas achavam que a previsão exata erapossível para muitos sistemas naturaisimportantes no mundo a nossa volta,particularmente aqueles compostos departículas inanimadas, como as quecompõem a atmosfera e governam oclima. A crença era que o perfeitoconhecimento do estado do sistema edas regras de interação que prevale-ciam entre seus componentes permiti-ria previsões perfeitas. No entanto, ograu desejado de precisão muitas ve-zes se mostrou impossível de obter e,às vezes, a evolução de um sistemapoderia depender com grande sensibi-lidade apenas do tipo de informaçãoque não poderia ser obtida com pre-cisão - seu estado em um dado mo-

mento. Isso introduziu a idéia docaos, a sugestão de que alguns sis-temas (como a atmosfera) dependemtão sensivelmente de suas característi-cas iniciais que uma perturbação tãoleve quanto a asa a bater de uma bor-boleta em uma região do sistema podeinduzir um evento maior como um fu-racão em outra.

Buscar entender tais sistemas e osmecanismos que causam suas com-plexidades têm sido um grande em-preendimento matemático dos últimosanos, no qual A. Katok alcançou emi-nência.

A colaboração do A. Katok comseu ex-aluno Boris Hasselblatt resul-tou no livro “Introdução à Teoria Mo-derna dos Sistemas Dinâmicos”, publi-cado pela Cambridge University Pressem 1995. É considerado uma enciclo-pédia dos sistemas dinâmicos moder-nos e está entre as publicações maiscitadas na área.

Ele morava no State College, naPensilvânia, e era membro da Ame-rican Mathematical Society e mem-bro da Academia Americana de Artese Ciências. Uma cadeira foi recente-mente investida em seu nome no De-partamento de Matemática da PennState. Além disso, o Centro de Dinâ-mica e Geometria foi dotado e reno-meado em sua homenagem.

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 ENTREVISTAS N◦2 3 / 8

Professora Marinês GuerreiroAprender é um ato de esforço, dedicação, insistência e persistência que é recompensado pelo enten-dimento! A compreensão gera a vontade de aprender mais e de enfrentar novos desafios!

A Professora Marinês Guerreiro pos-sui graduação em Licenciatura Plenaem Matemática pela UFSM (1988),mestrado em Matemática pela UnB(1991) e Ph. D. em Matemática pelaUniversity of Manchester (1997), In-glaterra. Ela iniciou seus trabalhos naUFV em agosto de 1991 como Auxi-liar e é Professora Titular desde maiode 2014. A seguir, apresentamos umaentrevista feita com ela sobre sua áreade pesquisa e pedimos opiniões paramelhora do nível de pesquisa no de-partamento.

(1)Antes da UFV, já traba-lhou em outras universidades?Se sim, quais?Resposta:Não, minha carreira começou na UFVquinze dias antes da obtenção do graude Mestre em Matemática.

(2)Durante estes anos, quaisfunções acadêmicas você já assu-miu na UFV? Qual o período detempo em cada uma delas?Resposta:Desde o meu ingresso no DMA-UFV,além das atividades de docência, fuidesignada para trabalhar em váriascomissões e bancas de naturezas di-versas e participei ativamente na or-ganização de eventos.

Fui coordenadora do Curso de Ma-temática de 2001 a 2003 e mem-bro da comissão coordenadora, porvários períodos. De 2005 a 2008,fui Chefe do Departamento de Ma-temática, quando foi criado o Pro-grama de Pós-Graduação em Mate-mática(PPGM) da UFV. Fui membroda Comissão Coordenadora do PPGMem diversos períodos e docente doPrograma desde o seu início, tendoorientado até o momento seis estudan-tes de mestrado. Participei tambémdo Programa de Mestrado Profissionalem Matemática em Rede Nacional, oPROFMAT, tendo orientado cinco es-tudantes neste programa.

Atuei ativamente na Comissão do

CCE que discutiu o PDFA-UFV e naformatação do Projeto REUNI-UFVpara as Licenciaturas. De novembrode 2008 a fevereiro de 2010, exercio cargo de Pró-Reitora de Ensino daUFV.

Desde o início de minha carreira,sempre gostei de orientar estudantesde Iniciação Científica. Já foram maisde 50 projetos orientados ao longodesse tempo. Tenho muita satisfa-ção em ver o sucesso de meus ex-orientados em suas carreiras.

(3)Qual sua área de pesquisa?Resposta:A área é Álgebra e já desenvolvi pes-quisas sobre Grupos Algébricos e Ál-gebras de Lie e suas representações eatualmente o foco é em aplicações deestruturas algébricas à Teoria de Có-digos Corretores de Erros.

(4)Entre seus projetos de pes-quisa quais acha mais importan-tes na sua opinião?Resposta:-Classificação de representações degrupos algébricos simples com estabi-lizadores de vetores de dimensão ≥ 0.-Aplicações da Teoria de Álgebras deGrupo à Teoria de Códigos Corretoresde Erros.

(5)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?Resposta:O ambiente de pesquisa no DMA me-lhorou nos últimos anos. Existem gru-pos de pesquisa internos, mas falta di-versificação de temas e interação ex-terna, principalmente com pesquisa-dores fortes de outros países. A cap-tação de recursos externos por meiode projetos ainda é muito insipiente,considerando o número de docentes doPPGM.

(6)Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?Resposta:Atrair pesquisadores sêniores ativos

em suas áreas, por meio de bolsas deProfessor Visitante, por exemplo, po-deria auxiliar os grupos a diversificarseus temas de pesquisa. Mais docen-tes realizando pós-doutorado em ins-tituições de renome nacional e inter-nacional, propiciaria mais oportunida-des para intercâmbios de estudantes einterações com outros grupos de pes-quisa. Ir além das montanhas locais etrazer o que está lá para cá!

(7)Existe um grupo de pes-quisa na sua área na UFV?Quando foi criado?Resposta:Sim, o grupo Álgebra e MatemáticaAplicada, criado em 1996.

(8)Quem são os membros?Resposta:Além de mim, na Álgebra, os profes-sores Abílio, Allan, Anderson Tiago,Bhavinkumar, Lia, Rogério e Sônia.

(9)Qual a frequência de semi-nários ou reuniões do grupo?Resposta:Esse grupo existe e a interação entreos membros , bem como os seminários,se dá pelos temas comuns de pesquisa.

(10)Poderia nos dar uma ex-plicação, sobre sua área, em 5 ou10, linhas listando os principaisfocos e possíveis aplicações?Resposta:Representar estruturas algébricas sig-nifica, a grosso modo, trazer idéiasabstratas para um contexto mais con-creto. Representações de grupos algé-bricos e álgebras de Lie têm aplicaçõesem muitos problemas da Física. É umtema muito interessante por envolverferramentas algébricas diferentes. ATeoria de Códigos Corretores de Er-ros é a base da Tecnologia da Informa-ção e utiliza desde Álgebra Linear atéTeoria de Extensões de Corpos, alémde várias estruturas algébricas em suaformulação e desenvolvimento. É umaárea de pesquisa em plena atividade eevolução. �

Frases de Grandes Matemáticos:

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido.

-Jean le Rond D’Alembert

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 ENTREVISTAS N◦2 4 / 8

Professora Pouya Mehdipour BalagafshehA Professora Pouya Mehdipour possuigraduação em Matemática pela GU(Guilan University), Irã, mestrado emMatemática pelo IASBS (Institute forAdvanced Studies in Basic Sciences),Irã, e D. Sc. em Matemática pelaUSP/ICMC (2014), Brasil. Ela ini-ciou seus trabalhos na UFV em maiode 2017, como Professor Adjunto A. Aseguir, apresentamos uma entrevistafeita com ela sobre sua área de pes-quisa e pedimos opiniões para melhorado nível de pesquisa no departamento.

(1)Antes da UFV, já traba-lhou em outras universidades?Se sim, quais?Não.

(2)Qual sua área de pesquisa?Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergó-dica.

(3)Entre seus projetos de pes-quisa quais acha mais importan-tes na sua opinião?Um dos últimos trabalhos com umacolega do Irã. Construímos uma fer-radura Smale para endomorfismos edefinimos um novo mapa de deslo-camento local. Esperamos que issopossa ajudar na classificação de siste-mas dinâmicos, como difeomorfismoslocais.

(4)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?Acredito que deveria haver mais se-minários, pois, apesar de seguirmosáreas de pesquisas diferentes, a parti-cipação em seminários propiciam quefaçamos um contato de áreas distin-

tas. E isso, como bem sabemos, podeexpandir nossas linhas de pesquisa,em especial no nosso programa de pós-graduação. Tomara que melhoremosnossas colaborações de pesquisa noDMA.

(5)Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?Seminários em grupo e comunicaçãocientífica pode ajudar a criar atrati-vos. Como exemplo temos o Dia daMatemática, um projeto que a prin-cipio desejo que ocorra pelo menosuma vez por semestre. Este tem porobjetivo fazer com que cada um dosmembros do DMA, que trabalhe empesquisa, se encontre e compartilheideias com outros colegas. Este pro-jeto conta, e espero continuar com esseauxílio, com boa participação de nos-sos colegas na apresentação de tra-balhos. Sempre acreditei que mesmose não estivéssemos na área relacio-nada aos projetos / seminários, essestipos de reuniões poderiam gradual-mente criar interação científica entrenós e, de fato, com o Dia da Matemá-tica, estamos criando tal ambiente.

(6)Existe um grupo de pes-quisa na sua área na UFV? emcaso, Quem são os membros?Além de mim, os professores André,Alexandre, Walter, Enoch , Bulmer eOscar.

(7)Qual a frequência de semi-nários ou reuniões do grupo?Posso dizer que pelo uma vez por se-mestre. No momento eu trabalho com

o Prof. Walter num projeto relaci-onado a endomorfismos tipo Morse-Smale. A cada duas- três semanas nosencontramos e trabalhamos na pes-quisa.

(8)Poderia nos dar uma expli-cação, sobre sua área, em 5 ou10, linhas listando os principaisfocos e possíveis aplicações?No doutorado, ingressei na área deSistemas Dinâmicos em que sempretive interesse. Por sugestão do Prof.Ali Tahzibi, meu orientador de dou-torado, comecei a estudar e trabalharem sistemas dinâmicos do tipo caosdeterminística/endomorfismos. Emminha tese, fiz um estudo especial so-bre medidas de SRB para endomorfis-mos não-uniformemente hiperbólicos.Nessa direção, tenho um projeto sobreunicidade de tais medidas em varieda-des Riemannianas compactas e sua er-godicidade estável. Além disso, desde2016, comecei a trabalhar em um pro-jeto para construir uma ferradura deSmale m→ 1 para endomorfismo, emconjunto com a Profa. S. Lameie daUniversidade de Guilan. Os resulta-dos preliminares relacionados a esteprojeto serão apresentados no formatode um pôster no ICM-2018 e possodizer que este projeto e outros pro-jetos relacionados são meu foco prin-cipal de estudo. Sobre sua aplicação,posso dizer que sempre pensei em re-lacionar endomorfismos com o mundodos sistemas neurais. Espero que umdia possamos ver as aplicações nestaárea de estudo.�

Piadas Matemática:

Um matemático, um biólogo e um físico estão num café observando pessoas entrando e saindo de umcasa. Primeiro eles observam que entraram duas pessoas. Só que passado pouco tempo reparam que

saíram três pessoas.O físico diz:

“A medição não foi exata”.O biólogo diz:

“Eles devem ter se reproduzido”.O matemático diz:

“Se mais uma pessoa entrar na casa, ela ficará vazia”.

Frases de Grandes Matemáticos:

Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aosfenômenos do mundo real.

-N. Lobachevsky

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 NOTICIAS N◦2 5 / 8

IV SEMAT- UFV- No período de 21 a 24 de março de 2018, realizamos aIV Semana Acadêmica de Matemática do Campus-Viçosada UFV com o tema “A Matemática potencializando ofuturo”. Ocorreram palestras, mesas redondas, minicur-sos, comunicações científicas, cinema, teatro e deliciososmomentos de conversa e descontração denominados Cafécom Arte. A adesão de nossos estudantes e professores foiexpressiva totalizando mais de 230 inscritos. Contamos,também, com a participação de diferentes instituições -IFET Sudeste de Minas, UFJF, UFVJM, UFES, UFBA,UNESP/Rio Claro, UFRGS – além de nossos estudantes eprofessores da UFV-Florestal. Tivemos a alegria de rece-ber professores da Educação Básica de Viçosa e professoresvisitantes de outras IES. Agradecemos o apoio de todosque colaboraram conosco. Não poderíamos deixar de re-gistrar, também, nossos agradecimentos ao Coral da UFVque, sob a regência do Maestro Ciro Tabet, abrilhantou asessão de encerramento do evento.

- Na foto 1: Professores compõem a mesa na aberturaoficial do evento (acima à esquerda); os estudantes João,Felipe e Leonardo tocando (acima à direita); a Profa .Margareth com os participantes da mesa redonda C. F.Azevedo – Dep. de Estatística (UFV), P. C. Emiliano –Dep. de Estatística (UFV), R. P. Gonçalves – COLUNI(UFV), D. S. Monte-Mor – FUCAPE - ES (no centro, àesquerda); Prof. M. C. Borba da UNESP autografa livro(ao centro); Profa. C. Ripoll-UFRGS (no centro à direita);estudantes no minicurso da profa. Marli-UFV (abaixo ès-querda); R. C. Picanço – Dep. de Matemática (UFV), J.D. G. Hollerbach – Dep. de Educação (UFV), J. Moreira– Doutoranda UNICAMP, Profa. Marli -Dep. de Mate-mática (UFV)- Na foto 2: Estudantes do DMA numa performanceteatral inspirados em Malba Tahan (acima à esquerda);Profa. Marinês (acima à direita); estudante Hoechst to-cando no Café com Arte (no centro à esquerda); Profa.Simone (ao centro); o maestro Ciro e o coral da UFV(no centro à direita); alguns dos organizadores do evento(abaixo à esquerda), foto do evento (abaixo à direita).

NOTÍCIAS DO DMA

Mestrado em Mate-mática

O Programa de Pós-Graduação do DMA-UFV,informa que no mês de Se-tembro de 2018 iniciarão asinscrições para o programade Verão 2019 e o MestradoAcadêmico em Matemática.Mais informações em:http : //www.dma.ufv.br

Dia da MatemáticaIIIO Departamento de Mate-mática da UFV pretendeorganizar Dia da Matemá-tica III no próximo semestrecom previsão de um mini-curso sobre classificação desuperfices compactas. Ainiciativa tem por intençãopromover a interação cien-tífica no DMA.

Semana do Fazen-deiroEntre os dias 14/07 e 20/07de 2018, a Profa. MarliDuffles do DMA e suaequipe apresentarão, pormeio de atividades e brin-cadeiras para todas as ida-des, o projeto “As Proteínasfazem bem para Saúde”. Oprojeto será desenvolvidono espaço da mini-fazenda.

Nova Funcionária

Desde o dia 08/06/2018, oDMA conta com a atuaçãoda assistente administra-tiva Betânia Morely dePaula Cota, na Secretariado Departamento. Ela énatural de Rio Paranaíba.Desejamos boas-vindas àBetânia.

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 PROJETOS DE PESQUISA N◦2 6 / 8

Música e matemáticaA matemática está presente em diversas situações cotidianas, desde o dinheiro que contamos até amúsica que ouvimos. Assim, a intenção aqui é restringir um pouco as aplicações e trabalhar acercado conceito de campo harmônico.

Foto: dsousa10.wordpress.com

Hoechst C. Silva,O campo harmônico é uma sequênciade acordes que provém de uma dadaescala. Ele tem diversas utilidades,dentre as quais vamos destacar a prin-cipal que é determinar o tom da mú-sica. Sabendo o tom, conseguimos sa-ber quais notas podemos usar em solospara que o som produzido seja agra-dável. Se tocarmos duas notas dis-tintas simultaneamente, digamos defrequências 220Hz e R · 220 Hz, comR um número real positivo,o questio-namento é: para quais números R talsonoridade seria agradável? Uma res-posta teórica interessante seria dizerque as duas frequências serão agradá-veis (harmônicas) se a razão entre elasfor um número inteiro. Porém, exis-tem alguns números racionais que re-presentam a razão entre as frequênciasde duas notas e, para grande parte dapessoas, soam de forma ruim, como1093826 e 211

198 . Uma explicação para talfato é que uma nota é formada porciclos no tempo(frequência) e quandotal fração resultante é tipo 3

2 , o nossocérebro consegue identificar o padrãodos ciclos e, assim, o som ouvido éagradável, já no caso de 1093

826 e 211198 ,

o nosso cérebro não identifica os pa-drões e por esse motivo o som nãosoa agradável. Neste sentido, dizemosque 1093

826 é um número mais “compli-cado” que 3

2 , por causa do tamanhodo denominador. Dessa forma, po-demos alterar a resposta inicial parafrações com denominadores pequenos.Mas ainda assim não estamos com-pletamente corretos, pois existem no-tas que soam muito bem juntas, ape-sar da razão de suas frequências serum número irracional, desde que essenúmero esteja próximo a um racio-nal não “complicado”. Ao contrário

do que parece, isso é uma coisa boa,visto que vários instrumentos, como opiano, não são afinados usando razõesracionais. Tal instrumento é afinadode modo que meio tom corresponde amultiplicar a nota anterior por 12

√2,

que é irracional. Logo, podemos di-zer que os números R procurados sãoaqueles cuja razão entre as notas sejaum número racional com denomina-dor pequeno ou esteja suficientementepróxima de um número racional dessetipo. O quão pequeno o denominadore quão próximo deve estar o irracio-nal depende da apuração do ouvido dapessoa que escuta as notas.

Ouvido absoluto

Pessoas com ouvido absoluto podemidentificar e/ou reproduzir qualquernota musical sem ao menos terem umtom de referência. Assim, o cérebrode pessoas desse tipo é capaz de en-tender os ciclos dados por frações dotipo 1093

826 e 211198 , ou seja, se a razão

entre frequências for um número ra-cional qualquer, o som gerado soarábem para essas pessoas, assim comose tal razão for um irracional sufici-entemente próximo de um desses raci-onais. Como os racionais são densosnos reais, estamos falando que provaresse fato se resume em conseguir co-brir o intervalo (0, 1) com intervalosabertos, isto é, queremos que cada ra-cional esteja dentro de um intervaloaberto. Para isso, poderíamos usar opróprio intervalo (0, 1), porém o desa-fio aqui é determinar tal cobertura demodo que a soma dos comprimentosdos intervalos seja estritamente menorque 1. Para realizar tal tarefa, pri-meiro devemos enumerar os númerosracionais entre 0 e 1, ou seja, vamosorganizá-los em uma lista infinita, daseguinte forma:

1

2,

1

3,

2

3,

1

4,

3

4,

1

5,

2

5,

3

5,

4

5,

1

6,

2

6...

Assim, cada número racional apare-cerá exatamente uma vez na lista.Agora para garantir que cada númeroracional seja coberto, vamos especifi-

car um intervalo para cada número ra-cional. Para tal, basta tomar a série:

∞∑n=1

ε

2n.

Vale observar que tal série convergepara ε, com ε um número positivosuficientemente pequeno. Daí, deve-mos ajustar os intervalos de formaque o comprimento do n-ésimo inter-valo coincida com o n-ésimo termo dasoma. Assim, a soma infinita dos com-primentos dos intervalos da coberturase aproxima de 0 < ε < 1, ou seja,construímos uma cobertura do inter-valo (0, 1) de forma que a soma dosintervalos da cobertura seja estrita-mente menor que 1. Dessa forma, pes-soas com o ouvido absoluto podem de-terminar precisamente quais notas fa-zem parte de um dado campo harmô-nico instantaneamente, mesmo semouvir a nota ou os acordes do campoharmônico já que, como vimos, essaspessoas são capazes de compreendere distinguir quaisquer combinações denotas musicais até mesmo aquelas ra-zões mais “complicadas”. Vale obser-var que tal fato é realmente surpre-endente, pois na construção acima, seconsiderarmos ε = 0.3 e escolhermosum número entre 0 e 1, temos 70%de chance deste número estar fora dosintervalos centrados nos racionais, ouseja, tais números são extremamenteraros. Se tomarmos um ε menor, porexemplo ε = 0, 01, e transladarmos oproblema para o intervalo (1, 2), ve-mos que apenas 1% dos números es-tão dentro dos intervalos da cober-tura, isto é, apenas 1% dos númerosentre 1 e 2 soam bem com uma notadada. Uma curiosidade é que apósdescobrirmos quais razões soam bemou não e essa porcentagem de valoresque soam bem dentro de um intervalo,para um ε dado, conseguimos explicarpor que temos exatamente 12 notas naescala cromática. Tal convenção de-corre do fato de que as 12-ésimas raí-zes das potências de 2 têm a tendênciade estarem próximas aos números ra-cionais com denominadores pequenos,com menos de 1% de erro. �

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 PROJETOS DE PESQUISA N◦2 7 / 8

Hipótese de RiemannPesquisadores de Física-Matemática descobriram funções que podem facilitar a solução da hipótesede Riemann. Se os resultados pudessem ser rigorosamente verificados, então, finalmente, provariamo Problema que vale um prêmio milionário de US$ 1.000.000 do Clay Mathematics Institute.

Foto:Pinterest.com.au

Igor S. Reis,Enquanto a hipótese de Riemann re-monta a 1859, nos últimos 100 anos,os matemáticos têm tentado encontraruma função de operador como a quefoi descoberta aqui, pois ela é conside-rada um passo fundamental na prova.

“Para nosso conhecimento, esta éa primeira vez que um operador ex-plícito - e talvez surpreendentementerelativamente simples - foi identificadocujos autovalores (‘soluções’ na termi-nologia da matriz) correspondem exa-tamente aos zeros não triviais da fun-ção zeta de Riemann,” Dorje Brody,um físico-matemático da Brunel Uni-versity London e coautor do novo es-tudo, disse à Phys.org.

O que ainda precisa ser compro-vado é o segundo passo fundamental:que todos os autovalores são númerosreais e não imaginários. Se o traba-lho futuro puder provar isso, ele fi-nalmente provaria a hipótese de Ri-emann.

Brody e seus coautores, os físicos-matemáticos Carl Bender, da Univer-sidade de Washington, em St. Louis, eMarkus Müller, da University of Wes-tern Ontario, publicaram seu trabalhoem uma edição 2017 da Physical Re-view Letters.

Espaçamento de primos:

A hipótese de Riemann é tão forteporque está profundamente ligada àTeoria dos Números e, em particular,aos números primos. Em seu artigo de1859, o matemático alemão BernhardRiemann investigou a distribuição dosnúmeros primos - ou, mais precisa-mente, o problema “dado um inteiro

N , quantos números primos existemmenores que N?”

Riemann conjeturou que a distri-buição dos números primos menoresque N está relacionada aos zeros nãotriviais (zeros triviais acontecem parapares negativos) do que é agora cha-mado de função zeta de Riemann,ζ(s). A equação funcional do Rie-mann é:

ζ(s) = 2s πs sin(π s

2)Γ(1− s)ζ(1− s),

onde,

Γ(s) =

∫ +∞

0

e−x xsdx

x;

ζ(s) =1

Γ

∫ +∞

0

1

ex − 1xsdx

x.

A hipótese de Riemann era que to-dos os zeros não triviais se encontramao longo de uma única linha verti-cal ( 1

2 + it) no plano complexo sig-nificando que seu componente real ésempre 1

2 , enquanto seu componenteimaginário varia conforme você sobe edesce a linha.

Nos últimos 150 anos, os mate-máticos encontraram literalmente tri-lhões de zeros não triviais, e todoseles têm um componente real de 1

2 ,exatamente como Riemann pensou.Acredita-se que a hipótese de Rie-mann é verdadeira e muitos trabalhosforam feitos com base nessa suposi-ção. No entanto, apesar dos esforçosintensivos, a hipótese de Riemann deque todos os infinitos zeros estão nessaúnica linha ainda não foi provada.

Soluções idênticas:

Uma das pistas mais úteis para provara hipótese de Riemann veio da teo-ria da função, que revela que os va-lores da parte imaginária, t, em quea função desaparece, são números dis-cretos. Isto sugere que os zeros nãotriviais formam um conjunto de nú-meros reais e discretos, que é exata-mente como os autovalores de outrafunção chamada operador diferencial,que é amplamente utilizado na Física.

No início dos anos 1900, essa si-milaridade levou alguns matemáticos

a perguntar se realmente existe umoperador diferencial cujos autovalorescorrespondem exatamente aos zerosnão triviais da função zeta de Rie-mann. Hoje essa idéia é chamada deconjectura de Hilbert-Pólya, em ho-menagem a David Hilbert e GeorgePólya apesar do fato de que nenhumdeles publicou nada sobre isso.

“Como não há publicação de Hil-bert ou Pólya, a afirmação exata doprograma de Hilbert-Pólya está su-jeita, até certo ponto, à interpretação,mas provavelmente não é insensato di-zer que consiste em duas etapas:

(a) encontrar um operador cujo au-tovalores correspondem aos ze-ros não triviais da função zetade Riemann e

(b) determinam se os autovaloressão reais,” disse Brody.

“O foco principal do nosso trabalhoaté agora foi o passo (a)”, disse ele.“Estamos apenas começando a pensarsobre o passo (b) e, de fato, como en-frentar esse desafio. Se será difícil oufácil preencher os passos que faltampara o passo (b), neste ponto não po-demos especular é necessário mais tra-balho para obter uma melhor percep-ção quanto à escala de dificuldade en-volvida.”

O operador:

Uma das coisas interessantes sobreo operador recém-descoberto é queele tem laços estreitos com a Fí-sica Quântica. Em 1999, quandoos físicos-matemáticos Michael Berrye Jonathan Keating estavam investi-gando a conjectura de Hilbert-Pólya,eles fizeram outra conjectura impor-tante. Se um tal operador existisse,eles disseram, então deveria corres-ponder a um sistema quântico teóricocom propriedades particulares. Issoagora é chamado de conjectura deBerry-Keating. Mas ninguém jamaisencontrou tal sistema antes, e esse éum segundo aspecto importante donovo trabalho.

“Nós identificamos uma condiçãode quantização para o Hamiltoniano

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JMatUFV , 4 de Julho de 2018 DESAFIO MATEMÀTICOS N◦2 8 / 8

de Berry-Keating, essencialmente ve-rificando a validade da conjectura deBerry-Keating”, disse Brody.

Hamiltonianos são frequentementeusados para descrever a energia de sis-temas físicos. O novo operador, no en-tanto, não parece descrever nenhumsistema físico, mas sim uma funçãopuramente matemática.

“Pode ser decepcionante, mas talhamiltoniano não parece representarsistemas físicos de maneira óbvia; oupelo menos até agora não encontra-mos nenhuma indicação de que nossohamiltoniano corresponde a qualquersistema físico”, disse Brody.

Mas pode-se perguntar por quepublicar na PRL? A resposta é porquemuitas das técnicas usadas para al-guma análise heurística em nosso tra-balho que são sugestivas são empres-tadas das técnicas da teoria quânticasimétrica de PT pseudo-hermitiana,desenvolvida nos últimos 15 anos oumais. A compreensão convencio-nal da conjectura de Hilbert-Pólyaé que o operador (hamiltoniano) de-veria ser hermitiano, e naturalmente

vincula isso à Teoria Quântica, se-gundo a qual os hamiltonianos sãoconvencionalmente exigidos como her-mitianos. Estamos propondo umaforma pseudo-hermitiana do problemaHilbert-Pólya, que para nós parece va-ler a pena explorar mais.

Soluções Reais:

Agora, o maior desafio que resta émostrar que os autovalores do opera-dor são números reais. Em geral, ospesquisadores estão otimistas de queos autovalores sejam realmente reaise, em seu artigo, eles apresentam umforte argumento para isso com base nasimetria do PT, um conceito da Fí-sica Quântica. Basicamente, a sime-tria PT diz que você pode alterar ossinais de todos os quatro componen-tes do espaço-tempo (três dimensõesde espaço ou “paridade” e uma dimen-são de tempo) e, se o sistema for PTsimétrico, o resultado será o mesmocomo o original.

Embora a natureza em geral nãoseja simétrica ao PT, o operador queos físicos construíram é simétrico.

Mas, agora os pesquisadores queremmostrar que essa simetria é quebrada.Como eles explicam em seu artigo, sepode ser mostrado que a simetria doTP é quebrada para a parte imaginá-ria do operador, então segue que osautovalores são todos números reais,o que finalmente constituiria a provahá muito tempo esperada da hipótesede Riemann.

“O que temos explorado até agoracontém poucas idéias relacionadas àTeoria de Números; ao passo que po-deríamos esperar que, dada a sua im-portância na Teoria de Números, cer-tamente qualquer tentativa que fizessesucesso no estabelecimento da hipó-tese de Riemann oferecesse pontos devista teóricos”, disse Brody. “É claroque não é necessário que isso acon-teça, no entanto, seria interessante in-vestigar se algum dos aspectos dinâ-micos do sistema hipotético descritopelo nosso Hamiltoniano poderia estarligado a certos resultados teóricos dosnúmeros. A esse respeito, a análiseclássica em nosso Hamiltoniano seriaum dos próximos objetivos”.�

Desafios Matemáticos

André Junqueira

Quase todo mundo já ouviu falarno Sudoku, um jogo numérico criadopelo arquiteto aposentado HowardGarns e que começou a ser publicadonos Estados Unidos no final dos anos70 e que, desde então, invadiu revis-tas, jornais e sites do mundo inteiro.Mas o que pouca gente sabe é queesse jogo é apenas uma variação sim-plificada de um passatempo matemá-tico milenar que já desafiou vários ma-temáticos famosos e que é conhecidocomo quadrado mágico.

Um quadrado mágico é uma matrizn×n na qual devemos colocar nas en-tradas os números naturais entre 1 en2 (sem repetição) e de tal modo quea soma dos elementos numa mesma li-

nha, coluna e diagonal seja constante.Tal constante é dita constante mágicae é dada por n(n2+1)

2 . Quadrados má-gicos eram comuns na cultura chinesa,onde reza a lenda que uma tartarugafoi vista num rio com um quadradomágico 3× 3 desenhado em seu casco.Um quadrado mágico 3 × 3 datadode 2800 a.C. foi encontrado na Chinae numa notação moderna tem o se-guinte aspecto:

4 9 23 5 78 1 6

Um misterioso quadrado mágico foiusado pelo pintor alemão Albrecht

Durer, um dos pioneiros no estudoda perspectiva, na gravura Melanco-lia, de 1514. É um quadrado mágico4 × 4 que tem a curiosidade de quetambém podemos obter a constantemágica ao somarmos as quatro entra-das centrais e as quatro entradas dasquinas.

Para quem deseja se aprofundarmais nesse tema dos quadrados mági-cos, sugerimos a leitura do excelentelivro de W. S. Andrews, que está nasreferências bibliográficas. Nesta edi-ção, o desafio para o leitor será des-cobrir o quadrado mágico 4 × 4 quefoi usado na gravura Melancolia. Napróxima edição divulgaremos a res-posta.

Referências:1- https : //ru− clip.com/video/cyW5z −M2yzw/music− and−measure− theory.html2- https : //phys.org/news/2017− 04− insight−math−million− dollar − problem− riemann.html3- http : //pt.brasilia.mfa.ir/index.aspx?fkeyid = &siteid = 424&pageid = 5614&newsview = 467619

Agradecimento: Agradecemos o apoio de todos(as) os(as) colegas que participaram desta versão do Jornal,Comissão do JMAT do DMA e, em especial, à Profa. Marinês Guerreiro que nos auxiliou na edição final.

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