Na raiz , temos: = b

 A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ex.

 

42pois24 2 n a

RADICAL

O número n é chamado índice;O número a é chamado radicando;O número b é chamado raiz.

2

RadiciaçãoRaiz quadrada de um número positivo “a” é o número positivo que elevado ao quadrado dê “a”.

Exemplos:

9 3 49 7 81 9

1 1 0 0 1,21 1,1 6,25 2,5

1 1

4 2 0,04 0,2

636

5

3

25

9

ban

Radical

Radicando

Índice Raiz enézima de a

A Raiz Enézima de a

Propriedades da Radiciação

aa e)

aa d)

aa c)

0)(b b

a

b

ab)

abb a a)

pn pmn m

nmn m

n mmn

nn

n

nnn

Propriedades dos radicais:

nnn babaa )

Se :,,,,, temosNpNnZmRbRa

pn pmn m aab )

)0() bb

a

b

ac

n

n

n

n mmn aad )

npp n aae )

3333 102525

6 423 2.23 2 555

4

4

4

3

5

3

5

322288 55

3 3533 5

6233 777

Radicais Semelhantes

Dois ou mais radicais são semelhantes, quando possuem o mesmo índice e mesmo radicando

32 37

3 54 3 56

e

e

RADICIAÇÃO

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:                  ou                  

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.                 

De modo geral, definimos:

                   , com a    IR,m,n,   IN, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário, isto é,vale também a volta.                    

O exercício que foi resolvido anteriormente na multiplicação, pode também agora ter esta resolução:

60 13260 13360

1335

4

4

3

3

2

5

4

4

3

3

25 44 33 2 ..... aaaaaaaaaaa

RADICIAÇÃO

Potência com expoente racional Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

n

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

q

p

n

m

b

a

b

a

baba

a

a

a

aaa

..

.

Simplificando Radicais

23632233223

32233232883 b)

2222 8 a)

224

2425

236 336 36

Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.

Exemplos:

RADICIAÇÃO

“Introdução” de um fator no radical

33 333 33 567.27.27.2 Processo prático: 33 33 567.272

44 44 300003.10310

1805.656 2

5005.10510 2

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Adição e Subtração

Exemplo 1: Efetue: Resolução: Os três radicais são semelhantes, pois possuem o mesmo índice 2 e o mesmo radicando 3. Adicionando algebricamente os coeficientes, podemos escrever:

37333

32731337333

Exemplo 2: Efetue: Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são verdadeiramente semelhantes. Simplificando cada um dos radicais, teremos:

1843283

214212242623.42222.33.242223 2253

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Adição e Subtração

Exemplo 3: Efetue: Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são semelhantes dois a dois. Simplificando cada um dos radicais, teremos:

864 8112540075

536355.235355.25.3 28 46 34 242

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:Multiplicação

Exemplo 1: 5.2Resolução: Os dois são homogêneos, pois possuem o mesmo índice 2. Multiplicando os radicandos e conservando o índice, podemos escrever: 105.25.2

Exemplo 2: Efetue: 5 44 33 2 .. aaa

Resolução: Os três radicais são heterogêneos, pois possuem índices diferentes. Reduzindo-os ao mesmo índice, teremos: 60 13360 48454060 4860 4560 405 44 33 2 ...... aaaaaaaaaa

E simplificando o radical teremos:60 133a 60 13260 13120 .. aaaa

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:

Divisão

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:

Divisão

RADICIAÇÃO

Operações com Radicais:

Potenciação

55 355553

5 822.2.22.2.22

Logo, 1.35 33

5 1 .22

7 67 337 37 32

7 3 55.55.55

Logo, 3.27 62

7 3 .55

n mrm

n r aa

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.

Radiciação

RADICIAÇÃO

2642864 633 e Logo, 63 2 6464

2.3

3813981 4 e Logo, 42 2 8181 2.2

28644096 333

2240964096 12 12123

ou

De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais envolvidos, podemos indicar a radiciação de um radical assim:

nmn m aa .

Operações com Radicais:

Expressões RADICIAÇÃO

333 984185484182548418

327918811838418 3333

333

25

4

125

14

25

1115

125

14

25

11

5

3

125

14

5

4

125

64

125

5014

5

2

125

14333

246416.416.13:5216.13:52 333333

2

1

3.7.2

3.7

3.7.2

3.23.5

7.3.2

3.25.3

588

127522

22

RADICIAÇÃO

Desenvolvendo Produtos Notáveis

246224422222422.222222

96366.36.3363.6322

30.213330.21033.103.1010310.310310222

RADICIAÇÃO

Racionalização de Denominadores

Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração, o que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador, esse processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional, para que assim possamos trabalhar com tranquilidade com a fração que agora teremos

     o denominador     é um número irracional e deve ser eliminado.

Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.

Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por     ficará:

Note que      é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.

RADICIAÇÃO

Racionalização de Denominadores

Prosseguindo:

    

Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).

RADICIAÇÃO

Racionalização de Denominadores

Raízes não-quadradas

Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2), é necessário utilizar um artifício.

Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original, e o expoente do radicando seja o valor do índice menos um. Por exemplo:

é o fator racionalizante de          

ou

RADICIAÇÃO

Racionalização de DenominadoresSoma de raízes no denominador

         

Veja:

Deve-se multiplicar por

Isso porque a multiplicação de           por           é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a2 - b2), isto é, os radicais somem!

                                                    

                               

 é o fator racionalizante de  

 é o fator racionalizante de                     é o fator racionalizante de