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ExponencialProf: Thiago Lainetti
Potência
É todo número escrito na forma:
Lê-se: a elevado a n.
base
expoente = a.a.a.a ... .a.a
fatores
ann
Exemplo:
Obs: apenas os expoentes 2 e 3 recebem nomes
diferenciados.
Expoente 2 é quadrado.
Expoente 3 é cubo.
Repetimos a base quantas vezes o
expoente mandar e efetuamos.
4³ =3 fatores
4.4.4 = 64
1)40
Outros Exemplos:
2) (−5)0
3) 21
4) 1
5
1
5) (−4)1
6) 52
7) (−3)2=
8) 02 =
9) 2
3
2=
10) −23 =
11) −(−2)3=
= 1
= 1
=1
5
= 2
= −4
= 25
−3 . −3 = 9
0.0 = 0
2
3. 2
3=4
9
−2.2.2 = −8
- −2 . (−2). −2
8=
Potência com expoente negativo
Invertemos a base e o
expoente perde o sinal.
1) 3−1 =
2) 3−2 =
3) (−3)−3 =
4)2
3
−2
=
𝑎
𝑏
−𝑛
=𝑏
𝑎
𝑛
1
31=
1
3
1
32=
1
9
1
(−3)3=
1
−27=−
1
27
1
23
2 =1
49
=9
4
Potência de expoente racional
Seja 𝑎 ∈ ℝ+∗ e
𝑝
𝑞∈ ℚ∗, então:
𝑎 =𝑞𝑎𝑝
𝑝
𝑞numerador expoente da base
denominador índice da raiz
1) 31
2 = 3
2) 82
3 =382 = 4
As potências de expoente
irracional são definidas por
“aproximação” de potências
racionais, mas apenas para
bases não-negativas.
Exemplo:
𝑝
𝑞
Propriedades da Potenciação
53. 52 =
34. 3−1 =
25
22=
25
2−2=
53 2 =
532= 59
(2.3)2 = 22. 32
3
5
2
=32
52
𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦
𝑎𝑥
𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦
𝑎𝑥 𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦
𝑎
𝑏
𝑥
=𝑎𝑥
𝑏𝑥
(𝑎. 𝑏)𝑥= 𝑎𝑥. 𝑏𝑥
1
2
3
4
5
52+3 = 55
34−1 = 33
25−2 = 23
25−(−2) = 27
53.2 = 56
Cuidado!
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Toda equação que apresenta incógnita no
expoente é denominada equação exponencial,
como por exemplo:
1) 5r = 25
2) 3s = 81
3) 2t + 1 =9
8
4) 5x2 −4 = 1
5) 2x+1 + 2𝑥 − 2𝑥−2 = 88
6) 32x = 3x + 72
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
EXPONENCIAIS
Resolver uma equação é obter o valor da incógnita que
torna a igualdade verdadeira. No caso da equações
exponenciais, é importante lembrar que:
1) Se 2m = 25, então m = 5;
Se duas potências de mesma base são iguais,
então os seus expoentes também o são.
Exemplos:
2) Sendo 36 = 3t, então t = 6.
Vamos resolver alguns dos exemplos anteriores
2) 3s = 81
3) 2t + 1 =9
81) 5r = 25
5r = 52
r = 2
S = {2}
Fatorando 81:
3s = 34
s = 4
S = {4}
Subtraindo 1 nos dois
membros:
2t =𝟗
𝟖- 1 ⟹ 2t =
𝟗 − 𝟖
𝟖
2t =𝟏
𝟖⟹ 𝟐𝒕 = 𝟐−𝟑
t = - 3 ⟹ S = {-3}
4) 5𝑥2 − 4 = 1
Reescrevendo a equação dada, temos:
Então: 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎
Resolvendo a equação do 2º grau, temos que
as raízes são: - 2 e 2
S = {- 2, 2}.
𝟓𝐱𝟐 − 𝟒 = 𝟓𝟎
Lembrar:
𝟐− 𝟐 =𝟏
𝟐𝟐=𝟏
𝟒
5) 2𝑥+1 + 2𝑥 − 2𝑥−2 = 88
Utilizando as propriedades da potenciação, reescrevemos
a equação:
𝟐𝐱. 𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟐𝐱. 𝟐− 𝟐 = 𝟖𝟖
Colocando 2x em evidência:
𝟐𝐱(𝟐 + 𝟏 − 𝟐− 𝟐) = 𝟖𝟖
Efetuando os cálculos, obtemos que 𝟐 + 𝟏 −𝟏
𝟒=
𝟖+𝟒−𝟏
𝟒=
𝟏𝟏
𝟒.
Então:
𝟐𝐱.𝟏𝟏
𝟒= 𝟖𝟖
S = {5}.de onde obtemos que x é igual a 5.
𝟐𝐱= 𝟖𝟖.𝟒
𝟏𝟏
𝟐𝐱= 𝟑𝟐
𝟐𝐱= 𝟐𝟓
6) 32𝑥 = 3𝑥 + 72
Reescrevendo a equação, temos:
Vamos substituir 3x por m, então: m2 = m + 72
Passando todos os termos pro mesmo lado:
Resolvendo a equação do 2º grau, obtemos as raízes:
Retomando a substituição inicial: 3x = m, teríamos:
Então, x = 2, S = {2}.
m2 - m - 72 = 0
9 e – 8.
(3x)2 = 3x + 72
3x = - 8 ou 3x = 9
𝟑𝐱= 𝟑𝟐
Função exponencial
Exemplo:
Chama-se função exponencial toda função 𝑓:ℝ ⟶ ℝ+∗ tal que
f(x) = 𝑎𝑥, com a ∈ ℝ e 0 < 𝑎 ≠ 1.
𝑎) 𝑓 𝑥 = 3𝑥
b) 𝑓 𝑥 = 7𝑥
c) 𝑓 𝑥 =1
2
𝑥
d) 𝑓 𝑥 = (0,7)𝑥
• está todo acima do eixo Ox;
• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;
• é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1;
• o eixo x é assíntota do gráfico.
O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1,
tem as seguintes características:
Exemplo:
a > 1
𝑎) 𝑓 𝑥 = 2𝑥
Função crescente
b) 𝑔 𝑥 =1
2
𝑥Exemplo:
0 < 𝑎 < 1 Função decrescente
Certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei
Q(t) = k ⋅ 2–0,5t, em que k é uma constante, t indica o tempo em
minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas,
no instante t. Considerando os dados desse processo de
decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de k
e de a.
Exemplo:
2048 = k · 2-0,5.0
A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).
Substituindo esses pontos na função, temos:
k = 2048
Q(a) = 2048 · 2-0,5.a
2-0,5.a = 1
4
2– 0,5.a = 2-2
– 0,5·a = -2
a = 4
512 = 2048 · 2-0,5.a
Q(t) = k ⋅ 2–0,5t
49x + 7x + 4 > 5
Inequação exponencial
Exemplos:
3x < 243
2x+1 + 2x−1 ≥ 19
É toda inequação que apresenta a variável no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.
Se a > 1, a função definida por f(x) = ax é crescente
e seu gráfico está representado abaixo.
1Caso
Se 0 < a < 1, a função definida por f(x) = ax é
decrescente e seu gráfico está representado abaixo
2Caso
Exemplo:
34x − 2 < 32x + 8
Sendo a base maior que 1, temos:
4x − 2 < 2x + 8
4x − 2x < 8 + 2
2x < 10
x < 5
S = {x R / x < 5}
Resumo:
Inverter o sinal da desigualdade quando a base
estiver entre 0 e 1.
1 Reduzir ambos os membros a uma base comum.
2
Manter o sinal da desigualdade entre os
expoentes quando a base for maior que 1
S = {x R / x > 4}
(0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 11
Temos, agora, a base maior que zero e menor que 1, logo:
5x − 1 > 2x + 11
5x − 2x > 11 + 1
3x > 12
x > 4
Exemplo:
Exercise Time!