Noção Intuitiva de Limites - Matemática - Cálculo

8/17/2019 Noção Intuitiva de Limites - Matemática - Cálculo

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NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES

Suponha que você desconhece uma forma de calcular a área de um círculo.

Mas sabe calcular a área de um triângulo. E sabe conceitos mais básicos de matemática.

Sendo assim, observe a seguinte situação : Temos um círculo com determinado raio e observemos ainscrição de polígonos regulares nesse círculo. Ou seja, temos um mesmo círculo, redesenhadovárias vezes, com polígonos regulares inscritos em cada reprodução, sempre aumentando o númerode lados dos polígonos, conforme sugere figura abaixo :

Polígono de 06 lados Polígono de 08 lados Polígono de 10 lados

O que se pode concluir a respeito dessa observação ?

1) A MEDIDA QUE SE AUMENTA O NÚMERO DE LADOS DO

POLÍGONO INSCRITO, A ÁREA DESTE, SE APROXIMA DA ÁREADO CÍRCULO.

2) A MEDIDA QUE SE AUMENTA O NÚMERO LADOS DO POLÍGONOINSCRITO, PERCEBE-SE QUE NUNCA A SUA ÁREAULTRAPASSARÁ A ÁREA DO CÍRCULO, LOGO A ÁREA DOCÍRCULO É ENTÃO UM VALOR LIMITE INATINGÍVEL PELAÁREA DOS POLÍGONOS, POR MAIOR QUE SEJA O NÚMERO DELADOS DESSES POLÍGONOS. (Releia essa conclusão considerando que apalavra “limite” nela contida, tem seu sentido comum e amplo. Não a associe, por

enquanto, a noção de “limite matemático” (sentido estrito), até porque você ainda nãoconcluiu essa explicação.)

3) NA SITUAÇÃO APRESENTADA, NÃO EXISTE UM POLÍGONO QUE

TERÁ A ÁREA IGUAL A ÁREA DO CÍRCULO, POR MAIORQUE SEJA SEU NÚMERO DE LADOS.

Você concorda com essas conclusões intuitivas ? VOCÊ precisa enxergar a veracidade delas antesde prosseguirmos. São noções simples, intuitivas, não havendo necessidade de nenhum

conhecimento matemático elevado.


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Caso não tenha entendido INTEGRALMENTE essas 03 conclusões, releia-as, pois não adiantará prosseguir sem isso.

Prosseguindo (caso tenha entendido as conclusões) :

Em outras palavras, pode-se dizer que a área dos polígonos TENDE a área do círculo. De outra

forma mais completa : A área dos polígonos, a medida que se aumenta seu número de lados, SEAPROXIMA de um valor EXISTENTE (ainda que inicialmente desconhecido e que trata-se da áreado círculo).

Você deve então se perguntar : Sim, mas para que servem essas conclusões se elas não expõemIGUALDADES e sim APROXIMAÇÕES, TENDÊNCIAS ?

Servem sim. Essas conclusões são FUNDAMENTAIS para se entender o SENTIDO PRÁTICO deLIMITE MATEMÁTICO.

A seguir então esclarece-se a famosa DÚVIDA dos estudantes que começam a estudar CÁLCULO.

“PARA QUE ESTUDAR LIMITE ?”

Voltemos a situação dos polígonos inscritos no círculo.

Veja o seguinte : Em coerência com tudo que foi escrito até aqui, você já sabe que não é possívelcalcular a área do círculo através da área de UM DETERMINADO POLÍGONO, pois, comoexposto na observação 3, nenhum dos polígonos (por maior que seja seu numero de lados) terá suaárea IGUAL a área do círculo).

Porém, sabe-se que, a medida que se aumenta-se o número de lados do polígono, sua área TENDE aum VALOR FIXO (que é a área do circulo). Veja que esse valor fixo EXISTE. Apesar de nunca seIGUALAR a esse valor fixo, sabe-se que a área dos polígonos APROXIMAM-SE CADA VEZMAIS DESSE VALOR FIXO (NUNCA ULTRAPASSANDO-O) A MEDIDA QUE O NÚMERODE LADOS DOS POLÍGONOS AUMENTA.

Aí está a utilidade de limite matemático. O limite matemático introduz uma idéia nova, nunca visto por você até então.

O LIMITE MATEMÁTICO É A FERRAMENTA PARA CÁLCULO DE VALORESLIMÍTROFES, FRONTEIRIÇOS, AINDA QUE ESSES VALORES SEJAM INATINGÍVEIS

POR PROCESSOS DE CÁLCULO JÁ CONHECIDOS (OPERAÇÕES FUNDAMENTAISDA MATEMÁTICA). É PRATICAMENTE UMA NOVA OPERAÇÃO MATEMÁTICA.

Ou seja, voltando a situação prosposta, É A FERRAMENTA QUE PODEMOS DISPOR PARACÁLCULAR A ÁREA DO CÍRCULO, a partir da observação de que ela é o valor LIMÍTROFE daTENDÊNCIA QUE A ÁREA DOS POLÍGONOS INSCRITOS POSSUEM AO SEAPROXIMAREM DESSE VALOR FIXO, A MEDIDA QUE ELES AUMENTAM O NUMERODE LADOS.

RESUMINDO :

LIMITE É UM CÁLCULO DA TENDÊNCIA


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E repare que, no caso acima exposto, essa TENDÊNCIA é justamente a área do círculo. Ou seja,temos a partir de agora uma nova ferramenta de cálculo matemático (limite matemático) para essassituações em que é possível calcular algo de forma INDIRETA, através de uma determinadaTENDÊNCIA.

Olha a diferença :

Quando calcula-se a área de um retângulo pela fórmula A = b x h, sabe-se que a área do retângulo éIGUAL ao produto da sua base pela sua altura.

Já no caso proposto a área do círculo pode ser descrita como :

Acirculo = lim A polígono n

onde :

Acírculo - área do círculoA polígono – área do polígonon – número de lados do polígono

deve-se ler essa expressão matemática acima da seguinte maneira para melhorar sua compreensão :

A área do círculo pode ser calculada através do limite que possui a área do polígono inscrito amedida que o seu número de lados tende a infinito.

Nessa frase a palavra limite tem os dois sentidos : sentido matemático e sentido comum. Os doissentidos concordam-se.

E como aprender a calcular limites ?

Existem várias TÉCNICAS para cálculo de limites. Você aprenderá essas técnicas aos poucos. Oimportante aqui não é aprender a CALCULAR LIMITES e sim ENTENDER o que eleREPRESENTA. A medida que você for aprendendo essas técnicas, iremos inclusive, chegarmos aconclusão de que a área de um círculo pode ser calculada pela expressão : .r 2, onde r é o raio docírculo, partindo-se do princípio aqui exposto.

Para fecharmos o entendimento completo de limite, vamos aplicar a mesma idéia a uma outrasituação. Dessa vez uma visão mais algébrica. Caso você não tenha entendido por completo asituação do círculo, leia a situação seguinte (pois ela não faz associação a conhecimentos degeometria) e assim, pode ser que agora você entenda finalmente.

Veja a seguinte função : f(x) = x3/x.

x3/x é igual a x2 somente para x diferente de zero. Logo a função acima é bem semelhante afunção g(x) = x2, com a única diferença que a primeira não pode ser definida no ponto x=0. Ou seja,f(x) é a função g(x) com um “buraco” no zero. Vejamos o gráfico abaixo da função f(x):


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Gráfico da função f(x) = x3/x

Repare o seguinte :

a) Não existe f(0).

b) A medida que x aproxima-se de zero, a função f(x) APROXIMA-SE de zero. (veja desenhoabaixo)

Sendo assim, apesar de não existir f(0), pode-se dizer que :


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lim f(x) = 0x0

O limite da função f(x), quando x tende a zero, é igual a zero; ou(Veja, o limite é igual a zero e não a função)

A função f(x) TENDE a zero quando x TENDE a zero;

Concluindo :

Quando foi calculado o limite acima, não estava-se interessado em calcular f(0). Na verdade não fazsentido calcular f(0) pois esse valor NÃO EXISTE. Estava-se interessado em calcular o limite da

função a medida que x aproximava-se de zero. Esta nova forma de cálculo (limites), pode ser muitoútil na prática, conforme já foi mostrado que poderia-se calcular a área do círculo a partir da área deum polígono inscrito neste circulo.

ESSE É O SENTIDO DE CÁLCULO DO LIMITE.

CÁLCULO DA TENDÊNCIA DA FUNÇÃO E NÃO DOVALOR DA FUNÇÃO EM SI.

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