Noções de Conjuntos

Digenes Santos [email protected] 1

SIMBOLOGIA MATEMTICA

Smbolo Significado Smbolo Significado

a b a menor do que b a b a menor ou igual a b

a b a maior do que b a b a maior ou igual a b

a b a muito menor do que b a b a muito maior do que b

Mais ou menos a b a diferente de b

a b a aproximado a b a b a congruente (igual) a b

Implica que, se Se, e somente se

Existe | Existe apenas um

No existe | Tal que

Para todo Infinito

Ou E Unio Interseo Pertence a No pertence a

Est contido em No est contido em

Contm No contm Conj. dos Nmeros Naturais Conj. dos Nmeros Inteiros

Conj. dos Nmeros Racionais I Conj. dos Nmeros Irracionais

Conj. dos Nmeros Reais Conj. dos Nmeros Complexos

NOES DE CONJUNTOS

Na teoria de conjuntos, no so definidos os conceitos de conjunto, elemento e pertinncia, ou seja, so conceitos

primitivos, aceitos sem definio/demonstrao. Temos uma noo intuitiva do que seja, mas no podemos

precisar/descrever uma definio. INTUITIVAMENTE, podemos entender conjunto como uma lista, coleo, classe de

objetos, etc...

Normalmente os conjuntos so indicados com letras maisculas e os elementos com letras minsculas, mas isso no

impede de termos um conjunto C qualquer com elementos apenas de letras maisculas.

: { , , , , , }Ex A a b c d e f {1, 2, 3, , , , , }B b d g h n { , , , , , , , }C A B C D E F G H

Os elementos de um conjunto so separados por vrgulas e inseridos entre duas chaves, que neste caso determinam o

conjunto.

Lembre-se: Dentro das chaves, existem APENAS elementos.

Relao de Pertinncia: Quando queremos fazer relaes entre elementos e conjuntos, usamos os smbolos, ou para indicar, respectivamente, que um elemento pertence ou no pertence a um determinado conjunto.

: { , , }Ex a a b c (pertence) ou { , , }d a b c (no pertence)

Lembre-se: Para relacionar elemento e conjunto, S podemos usar as relaes de pertinncia, desta forma errada

a utilizao como nos seguintes exemplos, { , }a a b ou { , },d a c por estarmos relacionando elemento e conjunto.

Relao de Incluso: Quando queremos fazer relaes entre conjuntos, usamos os smbolos, , , e

para indicar, respectivamente, que um conjunto est contido, no est contido, contm ou no contm outro determinado

conjunto.

:{ } { , , }Ex a a b c (est contido), { } { , , }d a b c (no est contido), { , , } { }a b c b (contm) e

{ , , } { }a b c f (no contm).

Lembre-se: Para relacionar conjuntos, S podemos usar as relaes de incluso, desta forma errada a utilizao

como nos seguintes casos: { } { , , }a a b c ou { } { , , },d a b c por estarmos relacionando conjuntos.


Podemos representar basicamente um conjunto das seguintes formas:

a) Enumerando (escrevendo) seus elementos:

: { , , , , }Ex A a b c d e f {1, 2, 3, 4, 5 }B {1, 2, 3, 4, 5 }C

b) Descrevendo atravs de uma propriedade especfica:

{ | }A x x tem a propriedade P forma genrica

: { | }Ex B x x cidadebrasileira conhecida comoVeneza brasileira { }B Recife

: { | 500}Ex C x x natural e menor que {0,1, 2, 3, 4, 5 }C

c) Pelo diagrama de Venn, (John Venn, ingls, 1834-1923) que um modo de visualizar um conjunto atravs de uma

curva fechada simples.

: { , , , , , }Ex A a b c d f r { , , , , , 8 }B v g t r

ALGUMAS DEFINIES IMPORTANTSSIMAS...

Conjunto Finito: Um conjunto dito finito quando podemos enumerar seus elementos, mesmo esse conjunto sendo difcil de escrever, ou mesmo impossvel na prtica.

: { , , ,1, }Ex A a b c {1, 2, 3, 4,..., 897}B { | }C x x a populao mundial

Conjunto Infinito: Um conjunto dito infinito quando NO podemos enumerar seus elementos, ou seja, no conseguimos escrever todos os seus elementos.

: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,...}Ex A {2, 4, 6,8,10,...}B { | 3}C x x mltiplo de

Conjunto Unitrio: o conjunto formado por apenas UM elemento. : { | }Ex A x x nem negativo nem positivo {0}A

: { | , 3 6 0}Ex B x x x { 2}B

Conjunto Vazio ou Nulo: o conjunto formado por NENHUM elemento. : { | 2}Ex A x x mpar e mltiplo de { }A

: { | 32 }Ex B x x ms do ano com dias { }B

Obs.: { }C NO um conjunto vazio, mas sim um conjunto unitrio, onde o conjunto representa, neste caso, um elemento do conjunto .C Como j foi dito, o que se encontra dentro das chaves (so) elemento(s).

Conjunto Universo: o conjunto formado por todos os elementos dos conjuntos em questo. : { , , , , , }Ex A a b c d w t {1, 2, 3, 4}B { , , }C w r t { , , , , , , ,1, 2,3, 4}U A B C a b c d w r t

Igualdade de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B eles so iguais se, ambos tiverem os

mesmos elementos, ou seja, todo elemento de A tambm for elemento de B e todo elemento de B tambm for elemento de .A

Notao: A B ( , )A B x x A x B

: { , , , },Ex A a b c d { , , , , , },B a b c d c a logo .A B {1, 2, 3, 4, 3,1},C {1, 2, 3, 4},D logo .C D

Subconjunto: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B o conjunto A ser subconjunto de ,B se todo

elemento pertencente ao conjunto A tambm pertencer ao conjunto .B Neste caso, se um elemento pertencer ao conjunto

,A ento, obrigatoriamente pertencer ao conjunto .B

Notao: A B ( , )A B x x A x B

: { , , , },Ex A a b c d { , , , , , },B a b c d e f logo A B { , , , 4}D k y w , { , , , 4},E y w k logo D E


Subconjunto Prprio: Dado dois conjuntos A e ,B o conjunto A chamado Subconjunto Prprio de ,B

quando A B e .A B

: {1, 3, }Ex A b e {1, 2,3, , },B a b podemos notar que A B e ,A B portanto A subconjunto prprio de .B

Unio de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B chama-se conjunto unio ao conjunto

formado pelos elementos que esto em A ou esto em .B

Notao: A B ( { | })A B x x A x B

: { , , }Ex A a b c { , , }B a b { , , ,1, 2}C A B a b c

Note que: A A B e ,B A B para quaisquer conjuntos A e .B

Interseo de Conjuntos: Dado dois (ou mais) conjuntos A e ,B chama-se interseo de A e ,B ao

conjunto formado pelos elementos que pertence a A e que tambm pertence a .B


: { , , }Ex A a b c { , , }B a b { , }C A B a b

Note que: A B A e ,A B B para quaisquer conjuntos A e .B

Conjuntos Disjuntos: Dado dois conjuntos A e ,B dito conjuntos disjuntos quando a interseo entre A

e B vazia, ou seja, no possuem elemento comum, portanto .A B

: { , , }Ex A a b c { , , }B d A B

Diferena de Conjuntos: Dado dois conjuntos A e ,B chama-se diferena entre os conjuntos A e ,B ao

conjunto formado pelos elementos que esto em A e NO esto em .B


: { , , , , }Ex A a b c v f { , ,1, 2}B a b { , , }C A B c v f {1, }D B A

Note que: ,A B A para quaisquer conjuntos A e .B

Complementar de B em :A Dado dois conjuntos A e ,B tal que ,B A ou seja, B subconjunto de ,A

chamado de complementar de B em ,A ao conjunto formado pelos elementos que esto em A e NO esto em .B

Notao: B A B

Outra representao: ___

' { | , }A A x x U x A

: { , , , , , , , }Ex A a b c d e f g h { , , , }B a b f g { , , , }C A B c d e h D B A

Note que: A A U A A U U ( ') 'A A

Conjunto de Conjuntos, ou Famlia de Conjuntos: Pode ocorrer que elementos de um conjunto tambm sejam conjuntos.

: {{ , },{ , , }}Ex A a b g h i {{ ,1},{ , , }, }B a g h i

Conjunto de Elementos e Conjuntos: Dado um conjunto, podemos ter como elementos desse conjunto, tanto elementos como conjuntos. Vale ressaltar que dentro de um conjunto, temos apenas elementos.

: {1, 2,{3,4},{ , }}Ex A a b { , ,{ , },{{ , }}}B a b a b a b

Conjunto das partes de um conjunto: Dado um conjunto ,A chama-se conjunto das partes de ,A ao

conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto .A O nmero de elementos do conjunto das partes de A dado

pela frmula ( ) 2 ,xP A onde x o nmero de elementos do conjunto .A

: { , , }Ex A a b c ( ) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }}P A a b c a b a c b c a b c


CONJUNTOS NUMRICOS

Conjunto dos Nmeros Naturais. Notao: {0,1, 2, 3, 4, 5, 6...}

* {1, 2, 3, 4, 5, 6...} Conjunto dos nmeros naturais no-nulos (asterisco).

Obs: O * (asterisco) quer dizer excluso do zero, para qualquer conjunto numrico.

Conjunto dos Nmeros Inteiros Notao: {..., 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5,...}

* ..., 3, 2, , 1, 2, 3,... Conjunto dos nmeros inteiros no-nulos.

1, 2, 3, 4, 5,... Conjunto dos nmeros inteiros no negativos.

* { } Conjunto dos nmeros inteiros positivos.

1, Conjunto dos nmeros inteiros no positivos.

*_ 1 Conjunto dos nmeros inteiros negativos.

Obs: O nmero "0" (zero) nem positivo e nem negativo.

Conjunto dos Nmeros Racionais: Notao: {..., 4, 3, 2, 1/ 2, 1/3, 1/ 4, 0, 1, 3/ 2;1,7;1,8; 1,333...,}

O conjunto , o conjunto formado pelos nmeros que podem ser colocados na forma / ,a b com *,a eb ou seja, um nmero fracionrio, vale ressaltar que, neste caso, fracionrio ao que queremos dizer, tanto

o numerador quando o denominador DEVEM ser nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero.

Obs: Como nos conjuntos anteriores o obedece s mesmas regras de *, , , etc...

Conjunto dos Nmeros Irracionais:

Notao: {..., 8, 7, 3, ,...}I

I= o conjunto formado pelos nmeros que NO podem ser colocados na forma / ,a b com *,a eb ou seja,

NO podem ser colocados na forma de frao com *.a e b

Conjunto dos Nmeros Reais: Notao: I

o conjunto formado pela unio dos Conjuntos dos Nmeros Racionais e Irracionais.

Conjunto dos Nmeros Complexos: o conjunto formado pela unio do Conjunto dos Reais e pelas razes de ndice par e radicando negativo.

Notao: ,n r onde n (par) o ndice e r o radicando negativo.

Resumindo: I

2 4 1 4 15 4 27

-7/5 -1,333... 0,1555.... 8/3 0,5 -3,2

-5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4

I 3

- 3 4


EXERCCIOS DE CONJUNTOS

1) Sendo {1, 2, 3, 4},A {0, , },B {4, 5, 6}C e

{2, 4},D calcule:

)a A B . : ){1,2}Resp a

)b B C . : )Resp b

)c B D . : )Resp c

)d A B . : )Resp d

)e A D . : ) 1, 2, 3, 4Resp e A

)f B C . : ) 0,1, 2, 4, 5, 6Resp f

) \g A B . : ) 3, 4Resp g

) \h B C . : ) 0,1, 2Resp h B

) \i B D . : ) 0,1Resp i

) Aj C D . : ) 1, 3Resp j

)k A B D . : ) 0,1, 2, 3, 4Resp k

)l A B D . : )Resp l

2) Quais os nmeros que se devem ser escritos nos lugares x e y nos seguintes diagramas:

) ( ) 12a n A . : ) 07Resp a

) ( ) 20b n A B . : )Resp b

) ( ) 10 ( ) 15c n A e n B . : )Resp c x e y

( ) 20d n A B e n A B . : )Resp d x e y

) ( ) 12e n A B C . : ) 01Resp e

) ( ) 8f n A B . : ) 06Resp f

3) Dado {2, 3, 6},A classifique em V ou :F

) 2 ) ) 2,3 ) 2,6

) ) ) )

a A b A c A d A

e A f A g A h A

. : ) ) ) )

) ) ) )

Resp a V b V c F d V

e F f V g F h V

4) Classifique em V ou :F

) 0 {0,1, 2, 3, 6} ) { , } ) {0}

) 0 ) ) { ,{ }}

){ } { ,{ }} ) { ,{

a b a a b c

d e a f a a a

g a a a h

}}

) { ,{ }} )

a

i a j

. : ) ) ) ) )

) ) ) ) )

Resp a V b F c F d F e F

f V g V h V i V j F

5) Classifique em V ou :F * *

_

* 2

_

3

) ) ) {0}

) _ ) )

) ( 3) ) 2 / 7 )1/ 2

a b c

d e f

g h I i

. : ) ) ) ) )

) ) ) )

Resp a F b V c V d F e V

f F g V h V i F


6) Classifique em V ou :F

) { } ) { } ) { }

) {{ }} ) {{ }} ) { ,{ }}

. : ) ) ) ) ) )

a b c

d e f

Resp a V b F c V d F e V f F

7) De acordo com o conjunto

{1, 2,{3}, 4},A podemos afirmar que:

) ) 1, 2 )

) ) ( ) 3

a A b A c A

d A e n A

. : ) ) ) ) )Resp a F b F c F d V e F

8) Sejam os conjuntos {1, 2, 3, 4}U e {1, }.A O

conjunto B tal que {1}B A e B A U :

) ) ) 1, ) 1, 3, 4 )

. :

A B C D E U

Resp D

9) (Cesgranrio-93) Se A e B so conjuntos,

( )A A B igual a:

) ) ) ) )

. :

A A B B C A B D A B E A B

Resp E

10) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, assinale a alternativa verdadeira:

) ( ) ) ( ) ( )

) )

)

. :

A A B B B A B A B

C A B A B D A B B A

E A B A B

Resp B

11) (PUC.MG-97) Considere os seguintes subconjuntos de nmeros naturais:

{0,1, 2, 3, 4, 5,...}, { | 6 20},P x x

{ | },A x P x par { | 48}B x P x divisor de e

{ | 5}.C x P x mltiplo de O nmero de elementos

do conjunto ( )A B C :

) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6

. :

A B C D E

Resp A

12) (ETFRJ) Dados dois conjuntos no vazios A e ,B se

ocorrer ,A B A podemos afirmar que:

) .

) .

) .

) .

) .

. :

A A B

B Isto nunca pode acontecer

C B um subconjunto de A

D B um conjunto unitrio

E A um subconjunto de B

Resp C

13) (UFPE-96) A expresso 4 4

3 1 3 1

um

nmero:

( ) .

( ) 4.

( ) .

( ) 3.

( ) .

. :

Real irracional

Natural divisvel por

Natural par

Inteiro divisvel por

Primo

Resp F V V F F

14) Se ,A B e C so conjuntos tais que

( ) {6, 7}C A B e ( ) {4,5},C A B ento C

igual a:

) 4, 5 ) 6, 7 ) 4, 5, 6

) 5, 6, 7 ) 4, 5, 6, 7

. :

a b c

d e

Resp E

15) (EDUSP) Depois de n dias de frias, um estudante

observa que:

( 1 ) 7 , .

( 2 ) .

( 3 ) 5 .

( 4 ) 6 .

Choveu vezes de manh ou tarde

Quando chove de manh no chove tarde

Houve tardes sem chuva

Houve manhs sem chuva

Ento n igual a:

) 7 ) 9 )10 )11 ) . . .

. :

A B C D E n d a

Resp B

16) (UFOP/MG) Numa sala de aula com alunos,

jogam xadrez, so homens ou jogam xadrez e

mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que:

) .

) .

) 29 .

) .

) .

. :

A so mulheres

B so homens

C mulheres no jogam xadrez

D homens no jogam xadrez

E homens jogam xadrez

Resp C

17) (UFRS) A condio necessria e suficiente para que ,A B B C e C A :

) )

) ) )

. :

A A B C B A C

C A B C D C E A C

Resp C

18) O conjunto A subconjunto de B e ,A B

( )A B A igual a:

) ) ) ) )

. :

a B b A c d A B e A B

Resp A


19) Considere os seguintes conjuntos:

{1, 2,{1, 2}},A {{1}}B e {1,{1},{2}}.C Assinale

a alternativa falsa:

) {2} ) {{1}}

) )

) ( ) {{1, 2}}

. :

A A B B B C

C B C A B D B C

E A P A

Resp A

20) (U. MACK-80) Dados os conjuntos ,A B e ,C no

vazios, sabe-se que ;A B ento sempre se tem:

) ) )

) )

. :

A A C B A B C B C

D A B C E A C B

Resp E

21) (Fuvest-94) Os nmeros x e y so tais que

5 10x e 20 30.y O maior valor possvel de

/x y :

. :1/ 2Resp

22) Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol,

18 de basquete e 12 gostam dos dois. Quantos no

gostam nem de futebol e nem de basquete? . :01Resp

23) De um total de 800 pessoas examinadas por um

grupo de mdicos pesquisadores, 500 tinham sintomas

de uma doena ,A 200 tinham sintomas de outra doena

B e 130 tinham sintomas das duas doenas. Quantas

no tinham nem doena A nem doena ?B . :230Resp

24) Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318

gostavam de uma mercadoria ,A 264 de uma

mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantos no gostavam da mercadoria A e nem da ?B

. :30Resp

25) Um mdico me disse: De 100 pessoas que eu

examino, 65 tm gripe e 45 tm gripe e outra doena.

Quantas dessas 100 crianas examinadas pelo mdico

tm outras doenas?

. :80Resp

26) Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4

escrevem em vermelho. Quantas escrevem em azul como

em vermelho? . :02Resp

27) Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou:

quem Flamengo? 36 levantaram o brao. A seguir,

perguntou: quem Internacional? 28 levantaram o

brao. Quantos alunos so, ao mesmo tempo, Flamengo e

Internacional.

. : 22Resp

28) Em uma escola os alunos devem estudar uma lngua, podendo ser o ingls ou o francs. Se quiserem podem

estudar as duas. Sabendo que: H 200 alunos estudando

francs, h 130 alunos estudando ingls e o total de

alunos 300. Determine quantos alunos estudam ingls

e francs. . :30Resp

29) Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mo

esquerda e dois com as duas mos. Quantos escrevem

com a mo direita? . : 26Resp

30) De 24 carros que estavam no estacionamento, 17

eram Volkwagens e 10 eram de 1977. Quantos carros

eram Volkwagens de 1977?

. :03Resp

31) Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam futebol de

salo, 18 jogam tambm basquete e 11 praticam os trs

esportes. Quantos s jogam futebol? . :61Resp

32) Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames

para a Escola Tcnica e 12 para o Colgio Naval. S um

deles no fez exame. Quantos fizeram exames s para o

Colgio Naval?

. :07Resp

33) Em uma escola, cujo total de alunos 600, foi feita

uma pesquisa sobre refrigerantes que os alunos

costumavam beber. Os resultados foram: 200 alunos

bebem o refrigerante ,A 20 alunos bebem o refrigerante

A e o refrigerante B e 100 alunos no bebem A nem .B Quantos bebem apenas o refrigerante ,A quantos

bebem apenas o refrigerante ,B quantos bebem B e

quantos bebem A ou .B

. :180, 300, 320, 500 .Resp respectivamente

34) O Servio de Orientao Educacional de uma escola

verificou, num questionrio apresentado a 800 rapazes,

que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos

dois. Portanto, o total daqueles que no gostam de futebol

nem de cinema ?

) 670 ) 230 )100 ) 30

) , .

. :

a b c d

e no se pode determinar pois o enunciado absurdo

Resp B


35) Dos 42 alunos de uma turma, 8 foram reprovados

em Matemtica, 6 em Portugus e 5 em Cincias. 4

foram reprovados em Portugus e Matemtica, 3 em

Matemtica e Cincias e 2 em Portugus e Cincias.

Sabendo que 2 foram reprovados nas trs matrias, diga

quantos no foram reprovados em nenhuma dessas

matrias.

. :30Resp

36) Uma pesquisa mostrou que, em cada 100 pessoas,

60 assistem novela ,A 50 assistem novela ,B 50

assistem novela ,C 30 assistem s novelas A e ,B

20 assistem s novelas B e ,C 30 assistem s novelas

A e C e 10 s trs novelas. Quantos no assistem a

novelas? . :10Resp

37) Foi feita uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os

jornais que costumavam ler e o resultado foi o seguinte:

1100 lem o Dirio, 1300 lem o Estado, 1500 lem a

Folha, 300 lem o Dirio e o Estado, 500 lem a Folha

e o Estado, 400 lem a Folha e o Dirio e 100 lem a

Folha, o Dirio e o Estado. Perguntas:

) ?

) ?

) ?

) ?

) ?

)

a Quantas lem apenas o Dirio

b Quantas lem apenas o Estado

c Quantas lem apenas o Estado e a Folha

d Quantas no lem nenhum dos trs jornais

e Quantas lem apenas um dos trs jornais

f Quan

?

. : ) ) 600 ) ) )1800 )

tas lem mais de um dos trs jornais

Resp a b c d e f

38) Numa classe de 45 alunos temos: 22 jogam futebol,

26 jogam vlei, 15 jogam basquete, 12 jogam futebol e

vlei, 6 jogam vlei e basquete, 10 jogam futebol e

basquete e 4 praticam os trs esportes.

) ?

) ?

) ?

) ?

) ?

)

a Quantos alunos no praticam esporte

b Quantos praticam vlei

c Quantos praticam apenas vlei

d Quantos praticam apenas dois esportes

e Quantos praticam mais de dois esportes

f Quantos praticam ?

. : ) ) 26 ) ) ) 04 )

dois ou mais esportes

Resp a b c d e f

39) (CEFET/PR2003) Dados os conjuntos

{1, 2, 3, 4, 5},A {4, 5, 6, 7},B {7,8, 9},C A

{3,8, 9}C B e {4},A B C o nmero de

elementos do conjunto C :

) ) ) ) )

. :

A B C D E

Resp E

40) (UFPE2003) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre as preferncias em

relao aos produtos A e .B os resultados da pesquisa

indicam que:

310 pessoas compraram o produto ,A

220 pessoas compraram o produto ,B

110 pessoas compraram os produtos A e ,B

510 pessoas no compraram nenhum dos dois produtos.

Indique o nmero de consumidores entrevistados

dividido por 10.

. :Resp

41) (CFS_B2_2002) Classifique em V ou :F

*

*

( )

( )

( )

( )

( )

Assinale a alternativa correta:

)

)

)

)

. :

A F F V V F

B F F V V V

C V F V F F

D V F V V F

Resp D

42) (EEAR2003) Sejam os conjuntos

{ | 2},A x x mltiplo de { | 2 9}B x x e

{ | 5}.C x x A soma dos elementos que formam o

conjunto ( )A B C :

) ) ) )

. :

A B C D

Resp B

43) (PUC.MG2003) Em uma pesquisa foi feita com 120

empregados de uma firma, verificou-se o seguinte:

Tm casa prpria: 38. Tm curso superior: 42. Tm plano de sade: 70. Tm casa prpria e plano de sade: 34. Tm casa prpria e curso superior: 17. Tm curso superior e plano de sade: 24. Tm casa prpria, plano de sade e curso

superior: 15.

Qual a porcentagem dos empregados que no se

enquadram em nenhuma das situaes anteriores?

) ) )

) )

. :

A B C

D E

Resp A


44) (PUC.MG2002) Considere os seguintes conjuntos de

nmeros naturais: { | 0 25}A x x e

{ |16 25}.B x x O nmero de elementos do

conjunto A B :

) ) ) )

. :

A B C D

Resp A

45) (Colgio Naval-1987) Considere os conjuntos

{1, , }A e {1, , }B e as cinco afirmaes:

. {1}

. {2} ( )

. {1}

. {1, 2,{1, 2}}

. {{2}}

I A B

II B A

III A

IV A B

V B A

Logo,

) .

) .

) .

) .

)

A Todas as afirmaes esto erradas

B Se existe uma afirmao correta

C As afirmaes mpares esto corretas

D As afirmaes III eV esto corretas

E As afirmaes I e IV so as nicas incorretas

.

. :Resp D

46) (Colgio Naval-1997) Considere o conjunto A dos nmeros primos positivos menores do que 20 e o

conjunto B dos divisores positivos de 36. O nmero de

subconjuntos do conjunto diferena B A :

) 32 ) 64 )

) )

. :

A B C

D E

Resp C

47) (Escola Naval-1989) Considere os conjuntos { }A x

e { ,{ }}B x A e as proposies:

. { }

. { }

.

.

. { , }

I A B

II x A

III A B

IV B A

V x A B

As proposies falsas so:

) , ) , ) , ,

) , , ) ,

. :

A I III eV B II IV eV C II III IV eV

D I III IV eV E I III e IV

Resp C

48) (FGV1980) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas vrias pessoas acerca de suas preferncias

em relao a 3 produtos: ,A B e .C Os resultados da

pesquisa indicaram que:

210 pessoas compram o produto .A 210 pessoas compram o produto .B 250 pessoas compram o produto .C 20 pessoas compram os 3 produtos. 100 pessoas no compram nenhum dos 3

produtos.

60 pessoas compram os produtos A e .B 70 pessoas compram os produtos A e .C 50 pessoas compram os produtos B e .C

Quantas pessoas foram entrevistadas?

) ) )

) )

. :

A B C

D E

Resp D

49) (SESC2010-professor) Uma sondagem foi realizada para saber o comportamento dos eleitores em relao aos

candidatos A e ,B obtendo-se o seguinte:

1/3 dos entrevistados jamais votariam no candidato .A

2/ 7 dos entrevistados jamais votariam no candidato .B

427 dos entrevistados votariam nos dois candidatos, se fosse possvel.

1/5 dos entrevistados jamais votariam em quaisquer dos dois candidatos.

Quantas pessoas foram entrevistadas nessa

sondagem?

) ) 735 ) 854 )1281 ) 2135

. :

A B C D E

Resp B

50) Sejam os conjuntos ,A B e C subconjuntos do

conjunto universo .U Sabendo que o conjunto A tem

40 elementos, o conjunto A B tem 20 elementos,

B C tem 22 elementos, A C tem 18 elementos e

A B C tem 11 elementos, o nmero de elementos

do conjunto B igual ao de .C Sabendo que A B C

tem 99 elementos, quantos elementos tem ( ) ?B C A

. :59Resp

51) (AFA1998) Em um grupo de n cadetes da

Aeronutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21

jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam

e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2

fazem os trs esportes. Qual o valor de ,n sabendo-se

que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos

um desses esportes?

) ) ) )

. :

A B C D

Resp C


52) (ITA2004) Considere as seguintes afirmaes sobre

o conjunto {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}:U

. ( ) 10.

. ( ) 10.

. {5} .

.

I U e n U

II U e n U

III U e U

IV

Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s).

) .

) .

) .

) .

) .

. :

A Apenas I e III

B Apenas II e IV

C Apenas II e III

D Apenas IV

E Todas as afirmaes

Resp C

53) (UPE2010-MAT1) Dados A e B conjuntos, a

operao de diferena simtrica ( ) definida por

.A B A B A B Se {1,{1}, , }A a e

{1, 2,{ }, , },B a b ento o conjunto A B igual a:

){1,{1}, ,{ }, 2, , }

){1, }

){{1},{ }, 2, }

){{1}, ,{ }, 2, }

)

. :

A a b

B a

C b

D b

E

Resp D

54) (UPE2011-SSA_1-FASE) Desde as primeiras

dcadas do Sculo ,XX sabe-se que a compatibilidade

de doaes sanguneas determinada pela presena ou

ausncia dos antgenos A e B e do fator .Rh As

pessoas com antgeno ,A apenas, no sangue so ditas

com sangue do tipo A e aquelas com antgeno ,B

apenas, so ditas com sangue tipo .B A presena dos

dois antgenos torna a pessoa do tipo ,AB e a ausncia

dos dois torna-a do tipo O. Em uma aldeia indgena com

131 habitantes, o antgeno A foi detectado em 96

delas, e o antgeno ,B em 82. Sabendo-se que 55 delas

possuem ambos os antgenos e que metade das que no

possuem nenhum antgeno do tipo , ditas .Rh A

quantidade de ndios com tipo sanguneo O igual a:

) 8 .

) 4 .

) 23 .

) 8 .

) .

. :

A Indivduos

B Indivduos

C Indivduos

D Indivduos

E Nenhumu indivduos

Resp B

55) (EsPCEx2001) Dados os conjuntos:

{ | }.

{ | }.

{ | }.

{ | }.

x x um nmero real

x x um nmero racional

x x um nmero natural

P x x um nmero primo

e considerado as afirmaes:

.

.

.

. )

. )

I P

II

III P

IV P

V P

esto corretas as afirmaes:

) ) )

) ) ,

. :

A I e II B II eV C III e IV

D IV eV E I II eV

Resp E

56) (UPE2010-MAT1)Sejam , , e ,

respectivamente, os conjuntos dos nmeros naturais,

inteiros, racionais e reais. Assinale a nica alternativa

FALSA.

)

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( )

) ( ) ( )

. :

A

B

C

D

E

Resp B

Bibliografia:

Ttulo: Questes de Matemtica

Autor: Manoel Jairo Bezerra.

Editora: Companhia Editora Nacional

Ttulo: Matemtica para Concursos

Autores: Hilder Ges e

Ubaldo Toar

Editora: ABC Editora

Ttulo: Coleo Elementos da Matemtica-vol. I

Autores: Marcelo Rufino de Oliveira e

Mrcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

Editora Vestseller

Ttulo: Fundamentos de Matemtica Elementar Vol. I

Autores: Gelson Iezzi e

Carlos Murakami

Editora: Atual Editora

Ttulo: Temas e Metas Vol. I

Autor: Antnio dos Santos Machado

Editora: Atual Editora


Estrias para boi descansar no pasto

Estando caminhando pelo deserto um jovem, porm,

muito inteligente calculista, sempre ao lado do seu

inseparvel confidente e amigo, observou trs irmos

discutindo ferozmente, logo o matemtico tratou de

verificar o que estava se passando, aproximo-se e

perguntou a um dos homens por que tanta discrdia e

logo ouviu:

-Somos irmos - disse o mais velho, e recebemos

como herana esses 35 camelos. Segundo a vontade de

meu pai, devo receber a metade, o meu irmo Hamed

Namir, uma tera parte, e ao Harim, o mais moo, deve

caber apenas a nova parte. No sabemos, porm como

dividir dessa forma 35 camelos, pois metade de 35

17,5! Como fazer a partilha se a tera parte de 35,

tambm no exata?

- muito simples- replicou o homem que

calculava.- Encarrego-me de fazer, com justia, essa

diviso, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da

herana este belo animal que pertence ao meu amigo e

que est aqui em boa hora!

Vou agora- disse dirigindo aos trs irmos fazer a

diviso justa dos camelos que agora so, como vm, em

nmero de 36.

Voltando para o mais velho dos irmos, assim

falou:

Devias receber, meu amigo, a metade de 35, isto 17,5.

Recebers a metade de 36 que 18. Nada tens a

reclamar, pois saste lucrando bastante na diviso!

E voltando para o segundo irmo, continuou:

Devias, Hamed Namir, receber um tero de 35, isto

, 11 e um pouco. Vais receber um tero de 36, isto , 12.

No poders protestar, pois, tambm saste com lucro

visvel na transao.

E ao mais moo:

Devias Harim Namir, segundo a vontade de teu

pai, receber a nona parte de 35, isto , 3 e tanto. Vais

receber a nona parte de 36, isto , 4. O lucro foi

igualmente notvel. S tens a agradecer-me pelo

resultado!

E o homem que calculava concluiu:

- Pela vantajosa diviso feita entre os irmos

Namir, partilha em que todos os trs saram lucrando,

couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao

terceiro, o que d um resultado (18+12+4)=34 camelos.

Dos 36 camelos, sobraram dois. Um pertence, como j

sabem, ao meu amigo; o outro cabe a mim por direito por

ter resolvido, a contento de todos, o complicado

problema da herana.

Extrado do livro O Homem que Calculava Malba Tahan

Cai tarde e o dia termina, mas, o senhor continua conosco.

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