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Cálculo III Professora: Renata Gomes 1o Semestre/2015

Aluno: Matrícula:

EMENTA DO CURSO:

1. Funções Vetoriais2. Integrais Múltiplas3. Integrais Curvilíneas4. Integrais de Superfície

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:

[1] FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B. São Paulo: Makron Books,2007.

[2] STEWART, J. Cálculo.São Paulo: Cenage Leatning, 2013. V. 2.

AVALIAÇÕES:

1a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:

2a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:

3a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:

4a Prova: Data: / / Nota da Prova: Nota do Trabalho:

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1 Funções Vetoriais

1.1 Definição

Chamamos de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, afunção que a cada t ∈ I associa um vetor ~f do espaço. Denotamos

~f = ~f(t)

O vetor ~f(t) pode ser escrito como

~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k

Assim, podemos dizer que a função vetorial ~f determina três funções reais de t:f1(t), f2(t) e f3(t). Reciprocamente, as três funções reais f1, f2 e f3 determinam a funçãoreal ~f(t).

Observamos que, dado um ponto P (x, y, z) do espaço, o vetor

~r = x~i+ y~j + z~k

é chamado vetor posição do ponto P.A cada ponto P (x, y, z) corresponde um único vetor posição e vice-versa. Dessa forma,

podemos usar a notação (v1, v2, v3) para representar um vetor ~v e também para representaras funções vetoriais.

1.2 Operações com funções vetoriais

Dadas as funções vetoriais

~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k e ~g(t) = g1(t)~i+ g2(t)~j + g3(t)~k

definidas para t ∈ I, podemos definir novas funções vetoriais como segue:

a) ~h(t) = ~f(t)± ~g(t) = (f1(t)± g1(t))~i+ (f2(t)± g2(t))~j + (f3(t)± g3(t))~k.

b) ~w(t) = ~f(t)× ~g(t)

=

~i ~j ~k

f1(t) f2(t) f1(t)g1(t) g2(t) g3(t)

= (f2(t) ·g3(t)−f3(t) ·g2(t))~i+(f3(t) ·g1(t)−f1(t) ·g3(t))~j+(f1(t) ·g2(t)−f2(t) ·g1(t))~k

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c) ~v(t) = p(t) · ~f(t) = p(t) · f1(t)~i+ p(t) · f2(t)~j + p(t) · f3(t)~k

onde p(t) é uma função definida em I.

Também podemos definir uma função real

h(t) = ~f(t) · ~g(t) = f1(t) · g2(t) + f2(t) · g2(t) + f3(t) · g3(t)

1.2.1 Exemplos

1. Podemos expressar o movimento de uma partícula P , sobre uma circunferência deraio 1, pela função vetorial ~f(t) = cos t~i + sen t~j. Nesse caso, a variável t representa otempo e P (f1)(t), f2(t)) nos dá a posição da partícula em movimento.

2. Dadas as funções vetoriais

~f(t) = t~i+ t2~j + ~k e ~g(t) = t3~i+~j

e a função real h(t) = r2 − 1, determinar:

a) ~f(t) + ~g(t)

b) 2~f(t)− ~g(t)

c) ~f(t)× ~g(t)

d) [h(t)~f(t)] · ~g(t)

e)~f( 1a) + ~g( 1

a) para a 6= 0.

1.3 Limite e Continuidade

1.3.0.1 Definição

Seja ~f = ~f(t) uma função vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t0,exceto possivelmente no próprio t0. Dizemos que o limite de ~f(t) quando t aproxima-se det0 é ~a e escrevemos

limt→t0

~f(t) = ~a,

se para todo ε > 0, existe δ > 0, tal que |~f(t) = ~a| < δ.Geometricamente, podemos afirmar que a direção, o sentido e o comprimento do vetor

~f(t) tendem para os de ~a, quanto t→ t0.

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1.3.1 Proposição

Sejam ~f(t) = f1(t)~j+ f2(t)~i+ f3(t)~k e a1~j+ a2~i+ a3~k. O limt→t0

~f(t) = ~a se, e somente se,

limt→t0

fi(t) = ai, i = 1, 2, 3.

1.3.2 Propriedades

Sejam ~f(t) e ~g(t) duas funções vetoeriais e h(t) uma função real, definidas em ummesmo intervalo. Se

limt→t0

~f(t) = ~a, limt→t0

~g(t) = ~b e limt→t0

h(t) = m,

então:

a) limt→t0

[~f(t)± ~g(t)] = ~a±~b;

b) limt→t0

[~f(t) · ~g(t)] = ~a ·~b;

c) limt→t0

[~f(t)× ~g(t)] = ~a×~b;

d) limt→t0

[h(t)~f(t)] = m~a.

1.3.3 Exemplos

1. Calcular limt→√

2(t2~i+ (t2 − 1)~j + 2~k

2. Calcular limt→0

~f(t), onde ~f(t) = sentt~i+ t~j

3. Seja ~f(t) = ~a+2~bt−2 , onde ~a =~i e ~b = 2~j − ~k. Calcular:

a) limt→0

~f(t);

b) limt→2

[(t2 − 4t+ 4)~f(t)].

4. Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 3t~i− 2~j + 4t2~k. Calcular:

a) limt→1

[~f(t) + ~g(t)];

b) limt→1

[~f(t) · ~g(t)];

c) limt→1

[~f(t)× ~g(t)].

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1.3.4 Definição

Uma função vetorial ~f = ~f(t), definida em um intervalo I, é contínua em t0 ∈ I, se

limt→t0

[~f(t) = ~f(t0)].

Da prposição 1.4.1 segue que ~f(t) é contínua emt0 se, e somente se, suas componentessão funções contínuas em t0.

1.3.5 Exemplos

1. Verificar se a função ~f(t) = sen t~i+ cos t~j + ~k é contínua em t0 = π.

2. Verificar se a função

~g(t) =

sen t

t~i+~j, t 6= 0

2~i+~j, t = 0

é contínua em t0 = 0.

3. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções:

a) ~g(t) = 1t~i+ t2~j;

b) ~h(t) = ln t~j + 2~k.

1.4 Curvas

1.4.1 Definição

Dada uma função vetorial contínua ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k, t ∈ I, chamamoscurva o lugar geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição ~f(t), t ∈ I.

Figura 1 –

Se ~f(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, a curva C coincide com atrajetória da partícula.

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1.4.2 Exemplo

Descrever a trajetória L de um ponto móvel P , cujo deslocamento é expresso por~f(t) = t~i+ t~j + 3~k.

1.5 Representação paramétrica de curvas

Sejam

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

funções contínuas de uma variáel t, definidas para t ∈ [a, b].

Figura 2 –

As equações acima são chamadas equções paramétricas de uma curva e t é o parâmetro.Dadas as equações paramétricas de uma curva, podemos obter uma equação vetorial

para ela. Basta considerar o vetor posição ~r(t) de cada ponto da curva. As componentesde ~r(t) são precisamente as coordenadas do ponto.

Escrevemos:

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, a ≤ t ≤ b.

Se as funções x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são constantes, a curva degenera-se numponto.

1.5.1 Exemplos

1. A equaçõa vetorial ~r(t) = t~i+t~j+t~k representa uma reta, cujas equações paramétricassão

x(t) = t

y(t) = t

z(t) = t

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2. As equações paramétricas

x = 2 cos ty = 2sentz = 3t

representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial corres-pondente é?

1.5.2 Definição

Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curvaque não é plana chama-se curva reversa. A curva do exemplo 1 é plana e a curva doexemplo 2 é reversa.

1.5.3 Definição

a) Uma curva parametrizada ~r(t), t ∈ [a, b], é dita fechada se ~r(a) = ~r(b).b) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto quanto

t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.

1.5.4 Parametrização de uma reta

A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por ~r(t) = ~a+ t~b, sendo ~a e ~bvetores constantes e t um parâmetro real.

Considerando as coordenadas de A(a1, a2, a3) que coincidem com as componentes dovetro ~a e considerando também as componentes do vetor ~b = (b1, b2, b3), reescrevemos aequação como

~r(t) = (a1 + tb1)~i+ (a2 + tb2)~j + (a3 + tb3)~k

E assim podemos dizer que as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto(a1, a2, a3) e tem direção b1~i+ b2~j + b3~k são

x(t) = a1 + tb1

y(t) = a2 + tb2

z(t) = a3 + tb3

1.5.5 Exemplo

1. Determinar a representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A(2, 1,−1)na direção do vetor ~b = 2~i− 3~j + ~k.

2. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa por A(2, 0, 1) eB(−1, 1

2 , 0).

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1.5.6 Parametrização de uma circunferência

Uma equação vetorial da circunferência de raio a, com centro na origem, no plano xy, é

~r(t) = a cos t~i+ a sent~j, 0 ≤ t ≤ 2π.

Figura 3 –

Assim, obtemos:

x(t) = a cos ty(t) = a sent

Quando a circunferência não está centrada na origem, a equação vetorial é dada por:

~r(t) = ~r0 + ~r1(t)

onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1 = a cos t~i+ a sent~j, 0 ≤ t ≤ 2π.

Figura 4 –

Portanto, nesse caso, a equação vetorial é dada por

~r(t) = (x0 + a cos t)~i+ (yo + a sent)~j, 0 ≤ t ≤ 2π.

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De forma análoga obtemos uma equação vetorial para uma circunferência contida noplano xz ou yz.Também podemos obter uma equação vetorial para uma circunferênciacontida em um plano paralelo a um dos planos coordenados.

1.5.7 Exemplo

1. Obter equações paramétricas da circunferência x2 + y2 − 6x− 4y + 4 = 0 no planoz = 3.

2. A equação vetorial ~r(t) = 2~i + 3 cos t~j + 3 sent~k representa uma circunferência.Determinear a correspondente equação cartesiana.

1.5.8 Parametrização de uma elipse

Uma equação vetorial de uma elipse, no plano xy, com centro na origem e eixos nasdireções x e y é

~r(t) = a cos t~i+ b sent~j, 0 ≤ t ≤ 2π.

Se a elipse estiver centrada em (x − 0, y0) e seus eixos forem paralelos aos eixoscoordenados, sua equação vetorial é

~r(t) = ~r0 + ~r1(t),

onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1(t) = a cos t~i+ b sent~j, 0 ≤ t ≤ 2π.Assim,

~r0(t) = (x0 + a cos t)~i+ (y0 + b sent)~j, 0 ≤ t ≤ 2π.

1.5.9 Exemplo

1. Escrever uma equação vetorial da elipse 9x2 + 4y2 = 36, no plano xy.2. Escrever uma equação vetorial da elipse da figura abaixo.

Figura 5 –

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1.5.10 Parametrização de uma hélice circular

A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superfície cilíndricax2 + y2 = a2.

Figura 6 –

As equações paramétricas da hélice circular são:

x(t) = a cos ty(t) = a sentz(t) = at tgθ

onde θ é o ângulo BAC.Fazendo tgθ = m, temos que a equação vetorial da hélice circular é:

~r(t) = a cos t~i+ a sent~j + amt~k

1.5.11 Exemplo

Representar graficamente a hélice circular ~r(t) = cos t~i+ sent~j + t~k para 0 ≤ t ≤ 3π.

1.5.12 Parametrização de uma ciclóide

A ciclóide pode ser descrita pelo movimento do ponto P (0, 0) de um círculo de raio a,centrado em (0, a), quando o círculo gira sobre o eixo dos x.

As equações paramétricas da ciclóide são:

x(t) = a(t− sent)y(t) = a(1− cos t)

A equação vetorial da ciclóide é:

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Figura 7 –

~r(t) = a(t− sent)~i+ a(1− cos t)~j.

Quando t varia de 0 a 2π obtemos o primeiro arco da ciclóide.

1.5.13 Exemplo

Escrever a equação vetorial da curva desrita pelo movimento de uma cabeça de pregoem um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25cm.

1.5.14 Parametrização de uma hipociclóide

Uma hipociclóide é a curva descrita pelo movimento de um ponto fixo P , de um círculode raio b, que gira dentro de um círculo de raio a, a > b.

Figura 8 –

As equações paramétricas da hipociclóide são

x(t) = (a− b) cos t+ b cos (a−b)bt

y(t) = (a− b) sent− b sen (a−b)bt

A equação vetorial correspondente é

~r(t) = [(a− b) cos t+ b cos (a−b)bt]~i− [(a− b) sent− b sen (a−b)

bt]~j.

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Os cúspides ocorrem nos pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o pontoP . Portanto, ocorrem quando

at = n · 2πb, n = 1, 2, 3...ou

t = n · 2π ba, n = 1, 2, 3, ...

Um caso particular muito usado é o da hepiciclóide de quatro cúspides que é obtidafazendo b = a

4 .Dessa forma as equações paramétricas são

x(t) = a cos3 t

y(t) = a sen3t

Assim, uma equação vetorial da hipociclóide é dada por

~r(t) = a cos3 t~i+ a sen3t~j, t ∈ [0, 2π].

Eliminando o parâmetro t das equações x(t) = a cos3 t

y(t) = a sen3t, obtemos a equação cartesiana dessa hipociclóide, que é dada por

x23 + y

23 = a

23 .

1.5.15 Exemplo

Dada x 23 + y

23 = 2, encontrar uma equação vetorial dessa hipociclóide.

1.5.16 Parametrização de outras curvas

Uma curva pode ser representada por equções paramétricas ou por uma equaçãovetorial. Existem outras formas de representação de uma curva. A intersecção de duassuperfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.

1.5.17 Exemplos

1. Escrever a equação vetorial para y = 5x+ 3 no plano z = 2.2. A interseção entre superfícies z = x2 + y2 e z = 2.3. Representar parametricamente a curva dada pela intersecção das superfícies x+y = 2

e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y).

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1.6 Exercícios

1. A posição de uma partćula no plano xy, no tempo t, é dada por x(t) = et, y(t) = tet.

a) Escrever a função vetorial ~f(t) que descreve o movimento dessa partícula.

b) Onde se encontrará a partícula em t = 0 e em t = 2?

2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode serexpresso pela função vetorial

~r(t) = 1−cos tm

~i+ (2t+ t− sentm

~j),

onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante t = 0 et = π.

3. Sejam ~f(t) = ~at + ~bt2 e ~g(t) = t~i + sent~j + cos t~k, com ~a = ~i + ~j e ~b = 2~i − ~j;0 ≤ t ≤ 2π. Calcular:

a) ~f(t) + ~g(t)

b) ~f(t) · ~g(t)

c) ~f(t)× ~g(t)

d) ~a · ~f(t) +~b · ~g(t)

e) ~f(t− 1) + ~g(t+ 1)

4. Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dadopor

~r(t) = t~i+ 1t−2~j + ~k.

a) Determinar a posição da partícula no instante t = 0 e t = 1.

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b)Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posição da partícula?

5. Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 2t~i+~j − 3t2~k, t ≥ 0. Calcular:

a) limt→1

[~f(t) + ~g(t)]

b) limt→1

[~f(t)− ~g(t)]

c) limt→1

[3~f(t)− 12~g(t)]

d) limt→1

[~f(t) · ~g(t)]

e) limt→1

[~f(t)× ~g(t)]

f) limt→1

[(t+ 1)~f(t)]

6. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável:

a) limt→π

[cos t~i+ t2~j − 5~k]

b) limt→−2

[ t3 + 4t2 + 4t

(t− 2)(t− 3)~i+~j]

7. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:

a) ~f(t) = ~a sent+~b cos t em [0, 2π] onde ~a =~i e ~b =~i+~j

b) ~g(t) = 1t~i+ (t2 − 1)~j + et~k

c) ~h(t) = e−t~i+ ln t~j cos 2t~k

8. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:

a) x = 2 cos t e y = 2 sent, 0 ≤ t ≤ 2π

b) x = 4 cos t, y = 4 sent e z = 2, 0 ≤ t ≤ 2π

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c) x = 2 + 4 sent e y = 3− 2 cos t, 0 ≤ t ≤ 2π

9. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas:

a) ~r(t) = (12t, 3t+ 5)

b) ~r(t) = (t− 1, t2 − 2t+ 2)

10. Identifique as curvas a seguir e dê sua equação paramétrica:

a) 2x2 + 2y2 + 5x+ 2y − 3 = 0

b) 2x2 + 5y2 − 6x− 2y + 4 = 0

11. Determinar uma equação paramétrica da reta que passa pelo ponto A, na direçãodo vetor ~b, onde

a) A(1, 12 , 2) e ~b = 2~i−~j

b) A(0, 2) e ~b = 52~i−~j

12. Determine uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B,sendo:

a) A(2, 0, 1) e B(−3, 4, 0)

b) A(5,−1,−2) e B(0, 0, 2)

13. Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:

a) x2 + y2 = 4, z = 4

b) y = 2x2, z = x3

c) 2(x+ 1)2 + y2 = 10, z = 2

d) x = ey, z = ex

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1.7 Derivada

1.7.1 Definição

Seja ~f(t) uma função vetorial. Sua derivda é uma função vetorial ~f ′(t), definida por

~f ′(t) = lim∆t→0

~f(t+ ∆t)− ~f(t)∆t ,

para todo t, tal que o limite existe. Se a derivada ~f ′(t) existe em todos os pontos deum intervalo I, dizemos que ~f é derivável em I.

Temos que ~f ′(t) = f ′1(t)~i+ f ′2(t)~j + f ′3(t)~k

1.7.2 Exemplo

1. Se ~f(t) = t2~i+ cos t~j + (5t− 1)~k, qual a derivada dessa função vetorial?2. Qual a derivada de ~g(t) = (2t− 3)3~i+ e−5t~j?

1.7.3 Interpretação geométrica da derivada

Seja ~f(t) uma função vetorial derivável em um intervalo I. Quando t percorre I, aextremidade livre do vetor ~f(t) descreve uma curva C no espaço.

Para cada t ∈ I, ~f(t) é o vetor posição do correspondente ponto sobre a curva.

Sejam P e Q os pontos de C correspondentes aos vetores posição ~f(t) e ~f(t + ∆t),respectivamente. A reta que passa por P e Q é secante à curva C e o vetor ∆~f =~f(t + ∆t) − ~f(t) coincide com o segmento PQ. Como ∆t é escalar, ∆~f

∆t tem a mesmadireção do segmento PQ.

Quando ∆t→ 0 (Q→ P ), a reta secante se aproxima da reta tangente à curva C emP .

Assim, se ~f ′(t) 6= 0, ~f ′(t) é um vetor tangente à curva C. Seu sentido é o do movimentoda extremidde livre do vetor ~f(t) ao crescer t.

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1.7.4 Exemplo

1. Dada ~f(t) = t~i + t2~j, determinar ~f ′(t). Esboçar a curva C descrita por ~f(t) e osvetores tangentes ~f ′(1), ~f ′(−1) e ~f ′(0).

2. Determinar um vetor tangente à curva C, descrita pela equação vetorial ~g(t) =cos t~i+ sent~j + ~k, t ∈ [0, 2π], no ponto P (0, 1, 1).

1.7.5 Interpretação física da derivada

Consideremos uma partícula em movimento no espaço. Suponhamos que, no tempo t,~r(t) é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas cartesianas.Ao variar t, a extremidade livre do vetor ~r(t) descreve a trajetória C da partícula.

Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+ ∆t. Então∆~r = ~r(t + ∆t) − ~r representa o deslocamento da partícula de P para Q, ocorrido nointervalo de tempo ∆t.

A taxa média de variação de ~r(t) no intervalo ∆t é dada por

~r(t+∆t)−~r∆t

e é chamada velocidade média da partícula no intervalo de tempo ∆t. A velocidadeinstantânea da partícula no tempo t, que denotamos por ~v(t), é definida pelo limite

~v(t) = lim∆t→0

~r + ∆t− ~r∆t

quando esse limite existe.Portanto, quando ~r(t) é derivável, a velocidade instantânea da partícula é dada por

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~v(t) = ~r′(t).

Analogamente, se ~v(t) é derivável a aceleração da partícula é dada por

~a(t) = ~v′(t)

1.7.6 Exemplos

1. O vetor poposição de uma partícula em movimento no plano é ~r(t) = t~i + 1t+1~j,

t ≥ 0.

a) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer t.b) Esboçar a trajetória da partícula, desenhando os vetores velocidade no tempo t = 0 et = 1.

2. Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se movesegundo a lei

~r(t) = cos 2t~i+ sen2t~j + ~k

Mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleraçãoé perpendicular ao vetor velocidade.

1.7.7 Regras de derivação

Sejam ~f(t) e ~g(t) funções vetoriais e h(t) uma função real, deriváveis em um intervaloI. Então, para todo t ∈ I, temos:

a) (~f(t) + ~g(t))′ = ~f ′(t) + ~g′(t)b) (h(t)~f(t))′ = h(t)~f ′(t) + h′(t)~f(t)c) (~f(t) · ~g(t))′ = ~f ′(t) · ~g(t) + ~f(t) · ~g′(t)d) (~f(t)× ~g(t))′ = ~f ′(t)× ~g(t) + ~f(t)× ~g′(t)

1.7.8 Derivadas sucessivas

Seja ~f(t) uma função derivável em um intervalo I. Sua derivada ~f ′(t) é uma funçãoveotrial definida em I. Se ~f ′(t) é derivável em um ponto t ∈ I, a sua derivada é chamadaderivada segunda de ~f no ponto t e é representada por ~f ′′(t).

1.7.9 Exemplo

1. Sejam h(t) = t e ~f(t) = cos t~i+ sent~j.

a) Determinar (h(t)~f(t))′.b) Mostrar que ~f ′(t) é ortogonal a ~f(t).

2. Mostrar que ~f ′(t) é ortogonal a ~f(t) sempre que |~f(t)| é uma constante.

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1.7.10 Curvas Suaves

Uma curva pode ter pontos angulosos.

1.7.11 Exemplo

1. Seja ~r(t) = t2~i+ t3~j, −1 ≤ t ≤ 1.A figura abaixo mostra essa curva. O ponto (0, 0), correspondente a t = 0, é um ponto

angulosos. Observamos que ~r′(0) = ~0.

Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos.Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tangente única que varia continuamentequando se move sobre a curva.

Sempre que uma curva C admite uma parametrização ~r(t), t ∈ I ⊂ R, que tem derivadacontínua ~r′(t) e ~r(t) 6= 0, para todo t ∈ I, C é uma curva suave ou regular.

Uma curva é suave por partes se puder ser dividida em um número finito de curvassuaves.

1.7.12 Exemplo

a) Retas, circunferências, elipses, hélices são curvas suaves.b) A curva do exemplo 1.7.11 é uma curva suave por parte.c) A ciclóide e a hipociclóide são curvas suaves por partes.

1.7.13 Orientação de uma curva

Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C, temos dois possíveis sentidosde percurso. A escolha de um deles como sentido positivo define uma orientação na curvaC.

Vamos supor que a curva C seja representada por

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].

20

Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C o sentido no qual a curva é traçadaquando o parâmetro cresce de a até b . O sentido oposto é chamada sentido negativo sobreC.

1.7.14 Definição

Dada uma curva orientada C, representada por

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].

a curva −C é definida como a curva C com orientação oposta. A curva −C é dada por

~r−(t) = ~r(a+ b− t) = x(a+ b− t)~i+ y(a+ b− t)~j + z(a+ b− t)~k, t ∈ [a, b].

1.7.15 Exemplo

1. Parametrizar a circunferência de centro na origem e raio a no sentido horário.2. Parametrizar o segmento de reta que une o ponto A(0, 0, 1) ao ponto B(1, 2, 3), no

sentido de A para B.3. Parametrizar o segmento de reta que une o ponto (1, 2, 3) ao ponto (0, 0, 1)

1.7.16 Comprimento de Arco

Seja C uma curva dada pela equação vetorial

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].

Vamos calcular o comprimento l de um arco AB, com t ∈ [a, b].Seja C uma curva suave parametrizada por ~r(t), a ≤ t ≤ b. Então,

l =∫ b

a

|~r′(t)|dt

.

ou ainda

l =∫ b

a

|~r′(t)|dt =∫ b

a

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt

Se a curva C é suave por partes, seu comprimento é dado por

l =∫ t1

a

|~r′(t)|dt+∫ t2

t1

|~r′(t)|dt+ ...+∫ t2

t1

|~r′(t)|dt

21

1.7.17 Exemplo

1. Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é ~r(t) = t~i+ t23~j,

para 1 ≤ 4.2. Encontrar o comprimento da hélice circular ~r(t) = (cos t, sent, t) do ponto A(1, 0, 0)

a B(−1, 0, π).

1.7.18 Função comprimento de arco

Na integral

l =∫ b

a

|~r′(t)|dt

, se substiruímos o limite superior b por um limite variável t, t ∈ [a, b], a integral setransforma em uma função de t.

Escrevemos

s(t) =∫ t

a

|~r′(t)|dt

A função s = s(t) é chamada função comprimento de arco e mede o comprimento dearco de C no intervalo [a, t].

1.7.19 Exemplo

1. Escrever a função comprimento de arco da circunferência de raio R.2. Encontrar a função comprimento de arco da hélice circular r(t) = (2 cos t, 2 sent, t).

1.7.20 Reparametrização de curvas por comprimento de arco

É conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como parâmetro o comprimentode arco s. Para reparametrizarmos uma curva suave C, dada por

~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].

procedemos como segue:

a) calculamos s = s(t), usando

s(t) =∫ t

a

|~r′(t)|dt

;b) encontramos a sua inversa t = t(s), 0 ≤ s ≤ l;c) finalmente, reescrevemos ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b] como

~h(s) = ~r(t(s)) = x(t(s))~i+ y(t(s))~j + z(t(s))~k, 0 ≤ s ≤ l.

22

Temos, então, que ~h(s) descreve a mesma curva C que era dada por ~r(t), mas comuma nova parametrização, em que a variável s, 0 ≤ s ≤ l, representa o comprimento dearco de C.

1.7.21 Exemplo

1. Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva C : ~r(t) = (R cos t, R sent),0 ≤ t ≤ 2π

2. Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por ~r(t) = (et cos t, et sent),t ≥ 0.

3. Dada uma curva C representada por ~r(t), mostrar que, se |~r′(t)| = 1, então oparâmetro t é o parâmetro comprimento de arco de C.

4. Verificar que a curva C : ~h(s) = ( s√5 ,

2s√5), s ≥ 0 está parametrizada pelo comprimento

de arco.5. Seja C uma curva suave reparametrizada pelo comprimento de arco. Mostrar que,

se C é representada por ~h(t), então |~h′(s)| = 1.

1.8 Exercícios

1. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:a) ~f(t) = cos3 t~i+ tgt~j + sen2t~k

b) ~g(t) = sent cos t~i+ e−2t~j

c) ~h(t) = (2− t)~i+ t3~j − 1t~k

2. Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado.a) ~f(t) = (t, t2, t3), P (−1, 1,−1)b) ~g(t) = (t, et), P (1, e)3. Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, noponto indicado.a) ~f(t) = (et, e−1, t2 + 1); P (1, 1, 1).b) ~g(t) = (4 + 2 cos t, 2 + 2 sent, 1); P (4, 4, 1).4. Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determinar,ainda, o módulo desses vetores no instinto dado.a) ~r(t) = 2 cos t~i+ 5 sent~j + 3~k, t = π

4

b) ~r(t) = et~i+ e−2t~j; t = ln25. A posição de uma partícula em movimento no palno, no tempo t, é dada por

x(t) = 12(t− 1)

y(t) = 14(t2 − 2t+ 1)

a) Escrever a função vetorial ~f(t) que descreve o movimento dessa partícula.b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração.

23

c) Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração no instante t = 5.6. Dados ~f(t) = t~j + t2~k e ~g(t) = t2~j − t~k, determinar:a) (~f(t)× ~g(t))′

b) (~f(t) · ~g(t))′

c) (~f(t)× ~f(t))′

d) (~g(t) · ~g(t))′

7. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:a) ~r(t) = (et cos t, et sent, et), 0 ≤ t ≤ 1.b) ~r(t) = (2t3, 2t,

√6t2), 0 ≤ t ≤ 3.

24

1.9 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

Como no caso das funções vetoriais de uma variável, se ~f é uma função vetorialdas variáveis x, y, z, definida em um domínio D ⊂ R3, ela pode ser expressa na forma~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+ f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k, onde f1, f2 e f3 são funções escalaresdefinidas em D.

As funções escalares f1, f2 e f3 são chamadas componentes da função vetorial ~f outambém funções coordenadas.

Analogamente, se ~f é definida em um domínio D ⊂ R2, podemos escrever:

~f = f1(x, y)~i+ f2(x, y)~j + f3(x, y)~k

1.9.1 Exemplo

1. ~f(x, y, z) = xz~i+ xy~j + 2√z~k é uma função vetorial definida em todos os pontos

(x, y, z) de R3 tais que z ≥ 0. Suas funções coordenadas são dadas por f1(x, y, z) = xz,f2(x, y, z) = xy e f3(x, y, z) = 2

√z.

2. ~f(x, y) = x~i+√

1− x2 − y2~j é uma fuunção vetorial definida em todos os pontosde R2 tais que x2 + y2 ≤ 1. Isto é, o domínio de ~f é o círculo unitário centrado na origem.As finções coordenadas são f1(x, y) = x, f2(x, y) =

√1− x2 − y2 e f3(x, y) = 0.

1.10 Exercícios

1. Determine o domínio das seguintes funçoes vetoriais:a) ~f(x, y) = x~i+ y~j +

√4− x2 − y2

b) ~g(x, y) = 1x~i+ xy~j

c) ~p(x, y, z) = ( 1x, 1y, 1z)

d) ~r(x, y, z) =√

2− x2 − y2~i

1.11 Limite e Continuidade de Funções Vetoriais de Várias Variáveis

1.11.1 Definição

Seja P0(x0, y0, z0) um ponto de um domínio D e ~r0 seu vetor posição. Seja ~f umafunção vetorial definida em D, exceto, possivelmente, em ~r0. Seja ~a = a1~i+ a2~j + a3~k umvetor constante. Se ~r é o vetor posição do ponto P (x, y, z), dizemos que lim

~r→~r0

~f(x, y, z) = ~a

se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que |~f(x, y, z)− ~a| < ε sempre que 0 < |~r − ~r0| < δ.De forma análoga às funções veotriais de uma variável, se ~f(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z))

e ~a = (a1, a2, a3), temos:

lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)

~f(x, y, z) = ~a⇔ lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)

~fi(x, y, z) = ~ai, para i = 1, 2, 3.

25

Também as propriedades dos limites são análogas às propriedades para funções vetoriaisde uma variável.

1.11.2 Exemplo

1. Dada a função vetorial ~f(x, y) = y~i− x~j, determinar lim~r→~0

~f(x, y).

2. Se ~f(x, y, z) = (ex−1, y(x−1)x2−1 , 3xz), determinar lim

(x,y,z)→(1,2,1)~f(x, y, z).

1.11.3 Definição

Seja ~f(x, y, z) definida em um domínio D. Dizemos que ~f é contínua em um pontoP0(x0, y0, z0) ∈ D se

lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)

~f(x, y, z) = ~f(x0, y0, z0).

Se ~f é contínua em cada ponto do domínio D, dizemos que f é contínua em D.De forma análoga às funções vetoriais de uma varável, temos que ~f é contínua em D

se, e somente se, as três funções coordenadas f1, f2 e f3 são contínuas em D.

1.11.4 Exemplo

1. A função vetorial dada no exemplo anterior 1 é contínua em todos os pontos doplano.

2. A função vetorial dada no exemplo anterior 2 é contínua em todos os pontos(x, y, z) ∈ R3 tais que x 6= ±1.

3. A função vetorial ~f(x, y, z) = −k~r|~r|3 , onde k é constante positiva e ~r é o vetor posição

do ponto (x, y, z), é contínua em todos os pontos de R3, exceto na origem, ponto no quala função não está definida.

1.12 Derivadas Parciais de Funções Vetoriais

1.12.1 Definição

Seja ~f = ~f(x, y, z) uma função vetorial. A derivada parcial de ~f em relação a x, quedenotamos por δ ~f

δx, é definida por

δ ~fδx

= lim∆x→0

~f(x+ ∆x, y, z)− ~f(x, y, z)∆x

para todo (x, y, z), tal que o limite existe.Analogamente,

δ ~fδy

= lim∆y→0

~f(x, y + ∆y, z)− ~f(x, y, z)∆y e δ ~f

δz= lim

∆z→0

~f(x, y, z + ∆z)− ~f(x, y, z)∆z

26

Se ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+ f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k, de maneira análoga à derivadade função vetorial de uma variável, temos

δ ~fδx

= δf1δx~i+ δf2

δx~j + δf3

δx~k;

δ ~fδy

= δf1δy~i+ δf2

δy~j + δf3

δy~k; e

δ ~fδz

= δf1δz~i+ δf2

δz~j + δf3

δz~k.

1.12.2 Exemplo

1. Dada a função vetorial ~f(x, y, z) =√x~i+ xyz2~j + 4eyz~k, determinar suas derivadas

parciais.2. Dada a função ~f(u, v) = (uev, u2v), determinar δ ~f

δuno ponto (2, 0) e δ ~f

δvno ponto

(−1, 1).

1.12.3 Interpretação geométrica

Seja ~f = ~f(x, y, z) uma função vetorial contínua. Se todas as variáveis, exceto uma,que pode ser tomada como parâmetro, permanecem fixas, então ~f descreve uma curva noespaço.

A derivada parcial de ~f em relação a x no ponto P0(x0, y0, z0) é derivada da função~g(x) = ~f(x, y0, z0) no ponto x0. Portanto, se no ponto P0, δ

~fδx6= 0, esse vetor é tangente à

curva dada por ~g(x).Analogamente, no ponto P0, δ

~fδy

é um vetor tangente à curva dada por ~h(y) = ~f(x0, y, z0

e δ ~fδz

é um vetor tangente à curva dada por ~p(z) = ~f(x0, y0, z).

1.12.4 Exemplo

1. Seja ~f a função dada por ~f(x, y, z) = y2~i+ z cosx~j + z senx~k.a) Descrever a curva obtida fazendo y = 0 e z = 3.b) Representar nessa curva a derivada parcial δ ~f

δxno ponto P0(π6 , 0, 3).

2. Seja ~f a função vetorial definida por ~f(u, v) = (u cos v, u senv, 4− u2), para 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 2π.a) Determinar as curvas obtidas fazendo u =

√2 e v = π

4 , respectivamente.b) Determinar δ ~f

δu(√

2, π4 e δ ~fδv

(√

2, π4 representando-os geometricamente.

1.12.5 Derivadas parciais sucessivas

As derivadas parciais de uma função vetorial de várias variáveis ~f são também funçõesvetoriais de várias variáveis. Se as derivadas parciais dessas funções vetoriais existem, elassão chamadas derivadas parciais de 2a ordem de ~f .

Se ~f = ~f(x, y), temos quatro derivadas parciais de 2a ordem dadas por

27

δ2 ~fδx2 = δ

δx( δ ~fδx

) ;δ2 ~fδyδx

= δδy

( δ ~fδx

);δ2 ~fδyδx

= δδx

( δ ~fδy

);δ2 ~fδy2 = δ

δy( δ ~fδy

) .

Se ~f = ~f(x, y, z), cada uma das três derivadas parciais de 1a ordem origina trêsderivadas parciais de 2a ordem.

1.12.6 Exemplo

1. Dada a função ~f(x, y, z) = ( sen(xy + 2z), ex seny, xlnyz) determinar δ2 ~fδzδx

e δ3 ~fδyδzδx

.2. Dada a função ~f(x, y, z) = (x4y2, y4 + z4, xyz), determinar δ2 ~f

δyδxe δ2 ~fδxδy

no pontoP (2, 1, 4).

1.12.7 Teorema de Schwarz

Suponhamos que ~f = ~f(x, y) seja obtida sobre uma bola aberta B((x0, y0); r) e que δ ~fδx,

δ ~fδy, δ2 ~fδyδx

e δ2 ~fδxδy

também sejam definidas em B. Então, se δ2 ~fδyδx

e δ2 ~fδxδy

são contínuas em B,temos δ2 ~f

δyδx(x0, y0) = δ2 ~f

δxδy(x0, y0).

1.13 Exercícios

1. Calcular o lim~r→~r0

~f(x, y, z), dados:

a) ~f(x, y, z) = (x2 + y2, xyz, x−2x2−4); r0 = (2, 1, 1)

b) ~f(x, y, z) = (ex, senyy, x+ y + z), r0 = (1, 0, 1

2)2. Determine os seguintes limites:a) lim

(x,y)→(1,2)( 1xy,√xy)

b) lim(x,y,z)→(0,1,π

4 )(xyseny

x, cosx, tgyz)

3. Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais:a) ~f(x, y) = (xy, x2 − y2, 2)b) ~h(x, y) = (xlny, ylnx)4. Calcular as derivadas parciais de 1a ordem das seguintes funções:a) ~f(x, y, z) = √y~i+ x2y2z2~j + exyz~k

b) ~g(x, y, z) = (x−yx+y , 2x, 3)

c) ~p(x, y) = (e2x, xye3y

5. Dada ~f(x, y, z) = (exy, eyz, exz), encontrar δ ~fδx

+ δ ~fδy

+ δ ~fδz.

6. Determinar δ3 ~fδxδyδz

sendo ~f(x, y, z) = (xy4, xz3 + 1, xeyz).7. Encontrar δ2 ~f

δx2 e δ2 ~fδy2 das seguintes funções:

a) ~f(x, y, z) = (xyz, lny, lnz)b) ~f(x, y, z) = (ey senx, ex seny, z)