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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto

Departamento de Economia

Disciplina: REC0215 – Microeconomia I Docente Responsável: Jaylson Silveira

3. Comportamento do produtor e oferta 3.1. Tecnologia de produção

Leitura básica: Varian (2006, cap. 18), Nicholson (2005, cap. 7).

Fatores de produção: são os insumos utilizados em processos produtivos, podendo ser classificados

em categorias amplas, como terra, trabalho, bens de capital e matérias primas.

Bens de capital ou capital físico: são bens produzidos e utilizados como insumos em processos

produtivos, como máquinas, computadores, tratores, prédios, etc.

Firma: é qualquer organização que realiza a transformação de certos insumos (que possui e/ou

compra) em produtos (que vende).

Restrições de uma firma: uma firma está sujeita a duas restrições básicas. Uma delas é a restrição

tecnológica, pois somente algumas combinações de insumos constituem formas viáveis de produzir

certa quantidade de um produto. A outra é a restrição econômica, ou seja, uma firma toma suas

decisões de produção condicionada pelas estruturas dos mercados de fatores (nos quais demanda

insumos) e de produtos (onde vende sua produção).

Hipótese simplificadora: estudaremos a restrição tecnológica do caso uniproduto, ou seja,

focaremos o caso em que a firma produz apenas um tipo de produto, cuja quantidade denotaremos

por y, utilizando uma combinação de insumos ),,,,( 1 ni xxx KK , na qual 0≥ix é a quantidade

utilizada do fator de produção ni ,,2,1 K= .

Planos de produção: é uma lista que especifica as quantidades dos insumos utilizados para produzir

uma determinada quantidade de produto. Um plano de produção pode ser representado como um

vetor 11 ),,,,,( +

ℜ∈−−−n

ni yxxx KK , onde os componentes (ou coordenadas) com valores

estritamente negativos indicam os insumos utilizados1 e o componente (ou coordenada) com valor

estritamente positivo a quantidade produzida.

1 E o módulo deles (as) as respectivas quantidades empregadas no processo produtivo.

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Planos de produção factíveis: são planos de produção tecnologicamente possíveis.

Conjunto de produção: é o conjunto 1+ℜ∈

nY formado por todos os planos de produção factíveis, ou

seja, por todas as listas de combinações de insumos e produto tecnologicamente viáveis. Este

conjunto representa todas as escolhas tecnológicas que uma firma se defronta.

Função de produção: é a função ),,,,( 1 ni xxxfy KK= que associa a cada combinação de insumos

n

ni xxx+

ℜ∈),,,,( 1 KK a quantidade máxima y que pode ser produzida. A função de produção

),,,,( 1 ni xxxf KK define a fronteira do conjunto de produção.

Figura 18.1 de Varian (2006, cap. 18).

Produto médio: o produto físico médio do fator de produção i, denotado por iPMe , é a quantidade

produzida por unidade do insumo i, ou seja, i

nii

x

xxxfPMe

),,,,( 1 KK= para 0>ix .

Produto marginal: o produto físico marginal do fator de produção i, denotado por iPM , é a variação

da produção gerada pela variação em uma unidade do insumo i, ceteris paribus. Mais precisamente,

pode ser definida, em termos discretos, como a taxa média de variação da função de produção com

relação ao insumo i:

ii

niniii

x

y

x

xxxfxxxxfPM

∆

∆=

∆

−∆+=

),...,,...,(),...,,...,( 11 .

Ou, em termos contínuos, como a derivada parcial da função de produção com relação ao insumo i:

i

ni

ixi

x

xxxf

x

yPM

i ∂

∂≡

∆

∆=

→∆

),...,,...,(lim 1

0,

se este limite existir. se o fator de produção i contribui para a produção, então 0>iPM para toda

combinação de insumos factível ),,,,( 1 ni xxx KK .

Curto e longo prazo: o curto prazo de uma firma é aquele intervalo de tempo em que há pelo menos

um fator de produção fixo, ou seja, há pelo menos um insumo cuja quantidade a firma não pode

alterar. Já no longo prazo todos os fatores de produção são variáveis, ou seja, a firma pode alterar

quaisquer das quantidades utilizadas dos insumos.

Princípio dos rendimentos físicos (produtividades marginais) decrescentes: quanto mais se utiliza

um fator de produção i, ceteris paribus, a contribuição deste fator para o aumento da produção

tende a ser cada vez menor, ou seja, o produto físico marginal do fator de produção i é estritamente

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decrescente com relação à quantidade utilizada deste fator. Em termos matemáticos, esse princípio

pode ser estabelecido supondo que 0),...,,...,(

21

2

<∂

∂

i

ni

x

xxxf para todo ni ,,2,1 K= .

Figura 18.5 de Varian (2006, cap. 18).

Isoquanta: é o conjunto }),(:),{()( 212

21 yxxfxxyQ =ℜ∈=+

formado por todas as combinações de

insumos ),( 21 xx que geram o mesmo nível (máximo) de produção y.

Exemplo: tipos de tecnologias e suas isoquantas.

• Tecnologia com fatores de produção combinados em proporções fixas (tecnologia Leontief):

},min{),( 2121 bxaxxxf = , em que 0>a e 0>b são constantes paramétricas.

Valores das constantes paramétricas: 2=a , 1=b .

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

2

4

y

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• Tecnologia com fatores de produção substitutos: 2121 ),( bxaxxxf += , em que 0>a e 0>b

são constantes paramétricas.

Valores das constantes paramétricas: 5=a , 1=b .

58

0

1

2

3

4

5

x1

0

1

2

3

4

5

x2

0

10

20

30

y

0

1

2

3

4x1

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

• Tecnologia Cobb-Douglas: baxAxxxf 2121 ),( = , em que 0>A , 0>a e 0>b são constantes

paramétricas.

Valores da constantes paramétricas: 1=A , 2/1=a , 2/1=b .

0

2

4

6

8

x1

0

2

4

6

8

x2

0

2

4

6

8

y

0

2

4

6

8

x1

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

Algumas propriedades da tecnologia: duas premissas comuns sobre as propriedades da tecnologia

são monotonicidade ou livre descarte (free disposal) e convexidade. Uma tecnologia apresenta

monotonicidade ou livre descarte quando é sempre possível a absorção de quantidades adicionais de

pelo menos um insumo sem que isto acarrete redução da produção. A função de produção é, sob tal

suposição, não-decrescente com relação a cada um de seus fatores de produção (os produtos

marginais são não-negativos) e, portanto, as isoquantas não são positivamente inclinadas. Uma

tecnologia é convexa quando a média ponderada de duas combinações de insumos ),( 21 xx e ),( 21 zz

que geram uma produção y, gera uma produção igual ou maior do que y.

Figura 18.4 de Varian (2006, cap. 18).

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Taxa técnica de substituição (ou taxa marginal de substituição técnica): Mede a taxa à qual a firma

deve substituir um insumo por outro para manter a produção constante. Intuitivamente, a taxa

técnica de substituição do insumo 2 por insumo 1, denotada por ),( 21 xxTTS , é a quantidade de

insumo 2 que a firma pode reduzir por usar uma unidade adicional do insumo 1 e manter a sua

produção constante ou, alternativamente, é a quantidade adicional de insumo 2 que a firma deve

usar para abrir mão de uma unidade do insumo 1 e manter constante sua produção. A partir da

função de produção podemos determinar a ),( 21 xxTTS . Considere uma firma que está utilizando a

seguinte combinação de insumos ),( 21 xx . Imaginemos uma variação na quantidade utilizada de

cada insumo ),( 21 xx ∆∆ , de maneira que a nova combinação ),( 2211 xxxx ∆+∆+ gere o mesmo nível

de produto y ou , equivalentemente, que a produção se mantenha constante ( 0=∆y ). Devemos ter,

então:

02211 =∆+∆=∆ xPMxPMy .

Logo, a taxa média de variação ao longo da isoquanta )(yQ , a qual pertence a combinação de

insumos ),( 21 xx , supondo 02 >PM , é dada por:

2

1

1

2

PM

PM

x

x−=

∆

∆.

A ),( 21 xxTTS é, por definição, o módulo desta taxa:

2

1

1

221 ),(

PM

PM

x

xxxTTS =

∆

∆−= .

Façamos o mesmo exercício utilizando as ferramentas do cálculo. O diferencial total da função de

produção ),( 21 xxf é, por definição:

22

211

1

21 ),(),(dx

x

xxfdx

x

xxfdy

∂

∂+

∂

∂= ,

o qual fornece uma aproximação da variação da produção y quando a firma passa da combinação de

insumos ),( 21 xx para a combinação ),( 2211 dxxdxx ++ . Se a firma se mantém na mesma isoquanta

)(yQ , ou seja, sua produção se mantém constante, então 0=dy . Logo,

0),(),(

22

211

1

21=

∂

∂+

∂

∂dx

x

xxfdx

x

xxf,

da qual obtemos a derivada da isoquanta cuja produção associada é ),( 21 xxfy = :

2

1

2

21

1

21

),(1

2

),(

),(

21PM

PM

x

xxf

x

xxf

dx

dx

xxfy

−≡

∂

∂

∂

∂

−=

=

,

supondo 02 >PM . Enfim, a ),( 21 xxTTS pode ser expressa como o módulo desta derivada:

60

2

1

2

21

1

21

21 ),(

),(

),(PM

PM

x

xxf

x

xxf

xxTMS ≡

∂

∂

∂

∂

= .

Exemplos de cálculo da ),( 21 xxTTS : na lousa.

Implicação do livre descarte e da convexidade da tecnologia: a propriedade de livre descarte torna a

),( 21 xxTTS positiva. Por sua vez, a propriedade de convexidade implica que a ),( 21 xxTTS é

decrescente, ou seja, conforme aumenta-se a quantidade do insumo 1 (2) menor a quantidade do

insumo 2 (1) que é possível reduzir tal que o nível de produção mantenha-se constante.

Rendimentos ou retornos de escala:

• Uma firma apresenta rendimentos decrescentes de escala se ao aumentarmos todas as

quantidades dos insumos na mesma proporção, a produção dessa firma varia numa

proporção menor que a variação das quantidades utilizadas dos insumos. Formalmente, a

função de produção ),,,,( 1 ni xxxf KK apresentará rendimentos decrescentes de escala se

),,,,(),,,,( 11 nini xxxtftxtxtxf KKKK < para todo 1>t .

• Uma firma apresenta rendimentos constantes de escala se ao se aumentarmos todas as

quantidades dos insumos na mesma proporção, a produção dessa firma varia na mesma

proporção que a variação das quantidades utilizadas dos insumos. Formalmente, a função de

produção ),,,,( 1 ni xxxf KK apresentará rendimentos constantes de escala se

),,,,(),,,,( 11 nini xxxtftxtxtxf KKKK = para todo 1>t .

• Uma firma apresenta rendimentos crescentes de escala se aumentarmos todas as

quantidades dos insumos na mesma proporção, a produção dessa firma varia numa

proporção maior que a variação das quantidades utilizadas dos insumos. Formalmente, a

função de produção ),,,,( 1 ni xxxf KK apresentará rendimentos crescentes de escala se

),,,,(),,,,( 11 nini xxxtftxtxtxf KKKK > para todo 1>t .

Elasticidade de substituição no arco: Mede a variação percentual média da razão entre os fatores de

produção 12 xx relativa à variação de um por cento (para cima ou para baixo) da ),( 21 xxTTS ao

longo de uma isoquanta, ou seja,

)(

),(

),(

)(

),()(

),()(

),(),(

)()(

12

21

21

12

21

12

21

12

21

21

12

12

xx

xxTTS

xxTTS

xx

xxTTSxx

xxTTSxx

xxTTSxxTTS

xxxx

∆

∆=

∆

∆

=∆

∆

=σ)

.

61

Elasticidade de substituição no ponto: É uma aproximação da variação percentual da razão entre os

fatores de produção 12 xx relativa à variação de um por cento (para cima ou para baixo) da

),( 21 xxTTS , quando esta variação é infinitesimal (suficientemente pequena) ao longo de uma

isoquanta. Formalmente:

σσ)

021

lim→∆

=TTS

.

Supondo que 12 xx é uma função derivável da ),( 21 xxTTS e usando a definição de elasticidade de

substituição no arco, podemos estabelecer que:

)(

),(

),(

)(

12

21

21

12

xx

xxTTS

xxdTTS

xxd=σ .

Exemplo: A função de produção com elasticidade de substituição constante (na lousa).

Exercícios: Resolva todas as “Questões de Revisão” propostas por Varian (2006, cap. 18). Resolva

os “Problems” 7.1, 7.3, 7.5 e 7.7 de Nicholson (2005, cap. 7).