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1 – Alguns Conceitos de Vetores:

a) Reta orientada (eixo) quando se define um sentido para o percurso, considerando positivo e indicado por uma seta:

+ r

-

b) Segmento orientado denominado por um par de pontos, sendo o 1º a origem do segmento e o 2º a extremidade.

2º = B Segmento representado por AB; A seta caracteriza o sentido do segmento;

1º = A

c) Segmento nulo a extremidade coincide com a origem A ≈ B.

A ● B

d) Segmento oposto BA é o oposto de AB.

A B

e) Medida do segmento é o comprimento ou módulo do segmento indicado por .

A

u * = 5 . uc, onde, uc = unidade de comprimento; x x

f) Segmentos nulos comprimento igual a zero.

g) Segmentos opostos = .

A B

* quanto possuem o mesmo tamanho; A B

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2 - Direção e Sentido:

a) Segmentos com a mesma Direção retas suportes paralelas ou coincidentes.

A B ●

* Onde indica paralelismo; C D

●

A B C D ● ● * retas paralelas ou pontos coincidentes;

Observação: segmentos opostos possuem sentido contrário.

b) Segmentos eqüipolentes possuem mesma direção, sentido e comprimento.

AB e CD têm mesma direção, sentido e comprimento.

Onde, direção é Vertical, Horizontal, etc. Sentido é o destino (direita, esquerda).

D B D

● COnde AB II CD e AC II BD;

● B uc● A A C

c) Segmentos nulos são eqüipolentes representados por AB ~ CD.

Propriedades: AB ~CD = reflexiva; AB ~CD; CD ~AB = simétrica; AB ~CD e CD ~EF, então, AB ~EF = transitiva;

B D F

A C E

Exercício: dado um segmento AB e um ponto C, existe um único ponto D, tal que AB ~CD. B D

A C 2/6

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3 - Vetores Um vetor é determinado por um segmento orientado AB. É o conjunto de todos os segmentos eqüipolentes a AB.

A Y Forma Vetor AB; Uma seta representa o vetor;

B X

= { XY / XY ~AB} sendo XY um segmento qualquer;Lê-se: Vetor é igual a XY, tal que XY é eqüipolente a AB.

a) Vetor determinado : por AB = ou B-A ou .

b) Vetores iguais : quando e , se ~ .

c) Vetores nulos : Segmentos nulos determinam em único vetor, chamado Vetor Nulo, ou Vetor Zero ou .

d) Vetores opostos : = , o vetor é o oposto de e é indicado por - ou por -.

e) Vetor unitário : | | = 1 (módulo de ) módulo vetor unitário;

f) Versor: É o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de , porém, comprimento único.

g) Vetores Colineares : Se tiverem a mesma direção. e são colineares se AB e CD pertencerem a mesma reta ou retas paralelas.

h) Vetores Coplanares : Vetores do mesmo plano.

4 - Operações com Vetores

4.1 – Adição de Vetores3/6

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= + (então, V começa no fim de U e S é o resultado da Soma)

B

A C

B

A C Paralelogramo ABCD Soma = Sempre a diagonal maior.

D

4.1.1 – Propriedades da Adição:

Comutativa: + = + .

Associativa: ( + ) + = . ( + )Observação: Impossível somar 3 vetores, soma-se 2 e depois o seguinte.

Exemplo:( + ) + ( + ) =

+ = S

Existe somente um vetor nulo , tal que, para todo vetor se tem: + = + =

Qualquer que seja o vetor , existe um só vetor - (vetor oposto), tal que:

+ (- ) =- + = 0

4.2 – Diferença de Vetores:

= + = O resultado é sempre a diagonal menor do paralelogramo.Resultado é o vetor diferença.

- (sentido contrário) Lógica da Adição:

= + (- ) (+ = ligação do vetor)4/6

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(mesmo sentido e direção)

4.3 – Multiplicação por um número real:

= k +

Módulo: | | = | k . | = | k | . | |

Direção a mesma de ;Sentido o mesmo de se k > 0;

o contrário de v se k < 0;

Exemplos:

Quanto é 2 ?

ou Quanto é -3 ?

Observações: 1– Se k=0 ou = , o produto sempre é o vetor . 2 – O versor de um vetor ≠ 0 é o vetor unitário.

Exemplo: = | | . :. (ou seja)

=

| | =

4.3.1 – Propriedades da Adição:

Associativa: a (b ) = (a b) .

Distributiva em relação à adição de escalares.(a + b) =

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(a ) + (b ) Onde a e b são os escalares.

Distributiva em relação à adição de vetores.a ( + ) = (a ) + ( a ) Onde a é o escalar.

Identidade: 1 . =

Observações: e não colineares são sempre coplanares. Então:

A1 (direção de ) e A2 (direção de ) serão sempre representados no plano e .

* Sempre com dois vetores multiplicando ou não os escalares, sempre estão no mesmo plano.

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